2015济南市学考实验集团一模数学
山东省济南市平阴县2015届九年级第一次模拟检测试题及答案
A B D C 2015年平阴初中学业水平考试阶段性调研测试(2015.4)数 学 试 题第I 卷（选择题 共45分）一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.下列实数中是无理数的是 A ．－1B ．12C ．πD ．02.一几何体的主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是下列几何体中的3.下列各式计算正确的是A ．53232a a a =+B ．532)(a a =C ．326a a a =÷ D ．43a a a =⋅ 4.未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为A.0.845³104亿元B.8.45³103亿元C.8.45³104亿元D.84.5³102亿元 5.下列标志中，可以看作是轴对称图形的是6．若分式112--x x 的值为零，则x 的值为A.0B.1C.-1D.±17．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为A.100)1(1442=-xB.144)1(1002=-xA FGKJ PQC.100)1(1442=+xD.144)1(1002=+x 8.实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A.ac ＞bcB.|a ﹣b|=a ﹣bC.﹣a ＜﹣b ＜cD.﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c 9.已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a 与b 的大小关系是A.a ＞bB.a=b C ．a ＜b D ．以上都不对 10.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是 A.1,1,2 B.1,1,2C.1,1,3D.1,2,3 11.有一箱子装有3张分别标示4、5、6的号码牌，已知小武以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个二位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数，若先后取出2张牌组成二位数的每一种结果发生的机会都相同，则组成的二位数为7的倍数的概率是A.61B.41C.31D.21 12.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是13．如图，已知在Rt△ABC 中，AB=AC=2，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG ；然后取GF 的中点P ， 连接PD 、PE ，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ ； 再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第三个内接正 方形……依次进行下去，则第n个内接正方形的边长为A ． 121()32n -⋅ B ．11()2n - C ． 21()32n ⋅ D ．1()2n14．如图，在半径为6cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC上一点，且∠D=30°，下列四个结论： ①OA ⊥BC ；②BC=36cm ；③sin ∠AOB=23； ④四边形ABOC 是菱形．其中正确结论的序号是 A. ①②③④ B. ①③ C.②③④D.①③④15. 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：① 4ac ﹣b 2＜0； ② 3b+2c ＜0；③ 4a+c ＜2b ； ④ m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1）， 其中错误的结论是A. ①B. ②C. ③D. ④第Ⅱ卷（非选择题 共75分）注意事项：第Ⅱ卷为非选择题，请考生用0.5mm 黑色中性笔在答题卡指定位置处作答．二、填空题(本大题共6个小题．每小题3分，共18分．) 16.计算：x x 43- =_________．17.已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为41，则a 等于 .18.计算：mm m m 21112++++= . 19.如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为 . 20.计算：︒---60sin 283 = .21.如图所示，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，点P 为双曲线y ＝6x(x ＞0) 上的一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线段PE 、PF ，当PE 、PF 分别与线段AB 交于点C 、D 时， AD²BC 的值为 ．三、解答题(本大题共7个小题．共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)22.(1) (本小题满分3分)解不等式：236+>-x x(2) (本小题满分4分)解方程组：⎩⎨⎧=-=+②①72552y x y x23.(1) (本小题满分3分)已知：如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 边上，BE=DF ，连接CE ，AF ．求证：AF=CE ．(2) (本小题满分4分)如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA.求：劣弧BC的长．（结果保留π）24．(本小题满分8分)甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？25．(本小题满分8分)在某市开展的“体育、艺术2+1”活动中，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图．请你结合图中的信息解答下列问题：（1）样本中喜欢B项目的人数百分比是，其所在扇形统计图中的圆心角的度数是；（2）把条形统计图补充完整；（3）已知该校有1000人，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少？26．(本小题满分9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数)0(≠=m xmy 的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为（n ，6），点C 的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标；（3）在x 轴上求点E ，使△ACE 为直角三角形．（直接写出点E 的坐标）27题备用图A B C D F PQ NM 27题图1 B ACNAB C D EF M P Q27题图2 如图1所示，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D 为边BC 上任意一点，以直线AD 为对称轴，作Rt△ABC 的轴对称图形Rt△AEF，点M 、点N 、点P 、点Q 分别为AB 、BC 、EF 、EA 的中点．(1)求证：MN=PQ ；(2)如图2，当BD=13BC 时，判断点M 、点N 、点P 、点Q 围成的四边形的形状，并说明理由；(3)若BC=6，请你直接写出当○1BD=0；○2BD=3；○3BD=2；○4BD=6时，点M 、点N 、点P 、点Q 围成的图形的形状．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．2015年平阴学业水平考试阶段性调研测试2015.4数学试题参考答案与评分标准16. )2)(2(-+x x x 17. 3 18. 1 19. 20 20. 23-21. 252三、解答题22. (1)x-6>3x+2 解：x-3x>2+6， ·············································································· 1分 -2x>8 ·················································································· 2分 解得：x<-4 ····················································································· 3分(2) ⎩⎨⎧=-=+②①72552y x y x解：①+② 得： ·············································································· 1分6x =12， x =2， ······················································································ 2分把x =2代入①得：y =23， ·································································· 3分∴方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧==232y x ·································································· 4分23.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，DC =AB ，∴CF ∥AE ，----------1分∵DF =BE ，∴CF =AE ，∴四边形AFCE 是平行四边形，----------2分∴AF =CE ． -----------------------------------3分(2)解：连接OC,OB ，∵AB 为圆O 的切线，∴∠ABO=90°，------------------------------------1分在Rt △ABO 中，OA=2，∠OAB=30°， ∴OB=1，∠AOB =60°，----------------------------2分 ∵BC ∥OA ，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC ， ∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC =60°-------------------------------3分∴劣弧长为=π．---------------------------4分24.解：设乙每分钟打x 个字，则甲每分钟打（x+5）个字----------1分由题意得，=，--------------------------------4分解得：x=45，----------------------------------------6分 经检验：x=45是原方程的解．---------------------------7分 答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字---------8分25.解：（1）1﹣44%﹣8%﹣28%=20%，-------------------------2分所在扇形统计图中的圆心角的度数是：360³20%=72°-----3分（2）调查的总人数是：44÷44%=100（人），-------------------1分则喜欢B 的人数是：100³20%=20（人），-------------------2分 （3）全校喜欢乒乓球的人数是1000³44%=440（人） -----------2分 26.解：（1）过点A 作AD⊥x 轴于D ，∵C 的坐标为（﹣2，0），A 的坐标为（n ，6），∴AD=6，CD=n+2，---1分 ∵tan∠ACO=2，∴==2，解得：n=1，---2分故A （1，6），∴m=1³6=6，∴反比例函数表达式为：xy 6=，-----3分 又∵点A 、C 在直线y=kx+b 上，∴，解得：，∴一次函数的表达式为：y=2x+4；----------4分（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧+==426x y xy -----------------1分解得：x=1或x=﹣3，---------------------------------------2分 ∵A（1，6），∴B（﹣3，﹣2）；-------------------------------3分 （3）E 1（1，0）；E 2（13，0）．----------------------------2分27.(1)证明：∵△ABC 与△AEF 关于直线AD 对称， ∴△ABC ≌△AEF ，∴AC =AF ，-----------------------------------1分∵点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、BC 、EF 、EA 的中点， ∴MN 、PQ 分别是△ABC 和△AEF 的中位线， ∴MN =12AC ，PQ =12AF ，∴MN =PQ .-----------------------------------------2分(2)解：当BD =13BC 时，点M 、点N 、点P 、点Q 围成的四边形是矩形. ······ 1分 连结BE 、MN 、PQ∵点M 、点Q 是AB 、AE 的中点，∴MQ ∥BE 且MQ =12BE ∵点N 是BC 中点，∴BN =12BC ，又∵BD =13BC ，∴DN =BN ﹣BD =12BC －13BC =16BC ，∴DN BD =122分 ∵点B 与点E 关于直线AD 对称，∴BE ⊥AD ， 同理PN ⊥AD ，∴BE ∥PN ，∴△PDN ∽△EDB ，∴PN BE =DN BD= 12， ··········· 3分∴MQ ∥PN 且MQ =PN ，∴四边形MQNP 是平行四边形， ∵MN =PQ ，∴四边形MQNP 是矩形. ··················································· 4分 (3)当BD =0 或3时，点M 、点N 、点P 、点Q 围成等腰三角形； ·············· 1分 当BD =2或6时，点M 、点N 、点P 、点Q 围成矩形； ··························· 3分28.解：（1）由题意，得A （0，2），B （2，2），E 的坐标为（32，0），-----------------1分∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++==0329422422c b a b a c 解之：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=24989c b a ∴该二次函数的解析式为：249892++-=x x y -3分（2）如图，过点D 作DG ⊥BE 于点G ．由题意，得ED=32+1=35，EC=2+32=38，BC=2， ∴BE=3104964=+-----------------------------1分 ∵∠BEC=∠DEG ，∠EGD=∠ECB=90°，∴△EGD ∽△ECB ， ∴ BEDEBC DG = ∴DG=1．-----2分 ∵⊙D 的半径是1，且DG ⊥BE ， ∴BE 是⊙D 的切线；-----------------------------------------------------------------------------------3分（3）由题意，得E （32-，0），B （2，2）．设直线BE 为y=kx+h （k≠0）．则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+03222h k h k 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2143h k ∴直线BE 为：y=2143+x -----------------1分 ∵直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，对称轴直线为x=1，∴点P 的纵坐标y=45，即P （1，45）．∵MN ∥BE ，∴∠MNC=∠BEC ．∵∠C=∠C=90°，∴△MNC ∽△BEC ，∴BC MC EC CN = ∴t CN 34= ∴DN=t 34﹣1，∴S △PND =21DN•PD=8565-t S △MNC =21CN•CM=32t 2．S 梯形PDCM =21（PD+CM ）•CD=t 2185+．∵S=S △PND +S 梯形PDCM ﹣S △MNC =)20(34322<<+-t t t -----2分∵抛物线S=)20(34322<<+-t t t 的开口方向向下，∴S 存在最大值．当t=1时，S 最大=32.3分。
2015年山东省实验中学高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年山东省实验中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）i为虚数单位，若，则|z|＝（）A．1B．C．D．22．（5分）已知集合M＝{x|}，集合N＝{x|﹣2≤x＜3}，则M∩N为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，﹣2]C．[﹣2，2）D．（﹣3，3] 3．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 4．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝C．f（x）＝e x D．f（x）＝sin x 5．（5分）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．30B．40C．24D．726．（5分）已知x、y满足，则z＝2x+4y的最小值为（）A．5B．﹣5C．6D．﹣67．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x＝对称8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[，2]，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知a n＝（）n，把数列{a n}的各项排列成如下的三角形状：记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（11，2）（）A．（）67B．（）68C．（）101D．（）102 10．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）＝f（x2）时总有x1＝x2，则称f（x）为单函数．则①函数f（x）＝（x﹣1）3是单函数：②函数f（x）＝是单函数③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）④若函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数以上命题正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．①③④二、填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知a、b∈R+，2a+b＝2，则+的最小值为．12．（5分）已知P是面积为S三角形ABC内部点，则三角形PBC的面积大于的概率是．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则＝．14．（5分）已知点A（﹣2，1）和圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，一条光线从A 点发射到x轴上后沿圆的切线方向反射，则这条光线从A点到切点所经过的路程是．15．（5分）已知函数，f（x）是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线x＝1对称，且f（x）＝x（0＜x≤1）．若函数y＝f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同）．则实数a的取值范围是．三、解答题（共6个大题，75分）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cos A﹣a cos C＝0，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．17．（12分）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩，例如：表中语文成绩为B等级的共有20+18+4＝42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b的值；（Ⅲ）已知a≥10，b≥8，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面P AD；（2）求证：面P AB⊥平面PDC．19．（12分）已知数列{a n}是正数等差数列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，满足2S n+b n＝1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）如果c n＝a n b n，设数列{c n}的前n项和为T n，是否存在正整数n，使得T n ＞S n成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．20．（13分）已知函数f（x）＝e x﹣x﹣1（Ⅰ）求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：（Ⅱ）若方程f（x）＝a，在[﹣2，ln2]上有唯一零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）对任意x≥0，f（x）≥（t﹣1）x恒成立，求实数t的取值范围．21．（14分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．2015年山东省实验中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）i为虚数单位，若，则|z|＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵，∴|||z|＝||，即2|z|＝2，∴|z|＝1，故选：A．2．（5分）已知集合M＝{x|}，集合N＝{x|﹣2≤x＜3}，则M∩N为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，﹣2]C．[﹣2，2）D．（﹣3，3]【解答】解：由集合M中的不等式变形得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，即M＝（﹣3，2），∵N＝[﹣2，3），∴M∩N＝[﹣2，2）．故选：C．3．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1【解答】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：若x≤﹣1，或x≥1，则x2≥1．故选：D．4．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝C．f（x）＝e x D．f（x）＝sin x 【解答】解：∵A：f（x）＝x2、C：f（x）＝e x，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：f（x）＝的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）＝sin x既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）＝sin x符合输出的条件故选：D．5．（5分）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．30B．40C．24D．72【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，上部为四棱锥的组合体，如图所示；所以，该几何体的体积为V＝V四棱锥+V长方体＝×3×4×（6﹣2）+3×4×2＝40．故选：B．6．（5分）已知x、y满足，则z＝2x+4y的最小值为（）A．5B．﹣5C．6D．﹣6【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：∵z＝2x+4y故z A＝﹣6，z B＝36，z C＝5故z＝2x+4y的最小值是﹣6故选：D．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x＝对称【解答】解：由题意可得＝π，解得ω＝2，故函数f（x）＝sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin[2（x﹣）+φ]＝sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ＝﹣，故函数f（x）＝sin（2x﹣），故当x＝时，函数f（x）＝sin＝1，故函数f（x）＝sin（2x﹣）关于直线x＝对称，故选：D．8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[，2]，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵e，∴2≤≤4，又∵c2＝a2+b2，∴2≤≤4，即1≤≤3，得1≤≤．由题意知，为双曲线的一条渐近线的方程，设此渐近线与实轴所成的角为θ，则，即1≤tanθ≤．∵0＜θ＜，∴≤θ≤，即θ的取值范围是．故选：C．9．（5分）已知a n＝（）n，把数列{a n}的各项排列成如下的三角形状：记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（11，2）（）A．（）67B．（）68C．（）101D．（）102【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（11，2）表示第11行的第2个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第11行的最后一个项的项数为112＝121，即为a121；②每一行都有2n﹣1个项，所以第11行有2×11﹣1＝21个项，得到第11行第一个项为121﹣21+1＝101，所以第12项的项数为101+2﹣1＝102；所以A（11，2）＝a102＝（）102，故选：D．10．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）＝f（x2）时总有x1＝x2，则称f（x）为单函数．则①函数f（x）＝（x﹣1）3是单函数：②函数f（x）＝是单函数③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）④若函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数以上命题正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．①③④【解答】解：①中函数f（x）＝（x﹣1）3，是函数f（x）＝x3是单调函数，故∃x1，x2∈A且f（x1）＝f（x2）时，有x1＝x2，满足“单函数”的定义；②中函数f（x）＝，当x＝0或x＝4时，f（x）＝2，故∃x1，x2∈A且f（x1）＝f（x2）时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；③由“单函数”的定义可得f（x1）＝f（x2）时总有x1＝x2，故其逆否命题：x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）成立，故③为真命题④中函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，但在整个定义域上有增有减时，可能会存在x1≠x2，使x1≠x2，从而不满足“单函数”的定义；综上真命题有①③．故选：C．二、填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知a、b∈R+，2a+b＝2，则+的最小值为4．【解答】解：∵a、b∈R+，2a+b＝2，∴+＝（+）（2a+b）＝（4++）≥（4+2）＝4当且仅当＝时取等号，联立＝和2a+b＝2可解得a＝且b＝1，故答案为：4．12．（5分）已知P是面积为S三角形ABC内部点，则三角形PBC的面积大于的概率是．【解答】解：设AB、AC上分别有点D、E满足AD＝AB，且AE＝AC∴△ADE∽△ABC，∴DE∥BC，且DE＝BC，∵A到DE的距离等于A到BC距离的，∴DE到BC的距离等于△ABC高的，当动点P在△ABC内部运动，且在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC 的距离，因此，当P在△ADE内运动时，△PBC的面积大于△ABC面积的，∴△PBC的面积大于的概率是P＝＝（）2＝．故答案为：．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则＝0．【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系则A（0，0）B（2，0），C（2，2），D（0，2）∵E为CD的中点，F为AD的中点∴E（（1，2），F（0，1）∴＝（1，2），＝（﹣2，1）则＝1×（﹣2）+2×1＝0故答案为：014．（5分）已知点A（﹣2，1）和圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，一条光线从A 点发射到x轴上后沿圆的切线方向反射，则这条光线从A点到切点所经过的路程是2．【解答】解：如图所示，设A关于x轴的对称点为A′，则A′（﹣2，﹣1），A′C＝＝5．由光学性质可知，A′在反射线上，因为反射线与圆相切，所以这条光线从A点到切点所经过的路程是＝2．故答案为：2．15．（5分）已知函数，f（x）是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线x＝1对称，且f（x）＝x（0＜x≤1）．若函数y＝f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同）．则实数a的取值范围是．【解答】解：因为f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1）．所以f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．则f（x）是周期为4的函数，由f（x）＝x（0＜x≤1）画出f（x）和y＝的图象（第一象限部分）：．因为函数y＝f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点，所以y＝f（x）与y＝+a在区间[﹣10，10]上有10个不同的交点，因为y＝f（x）与y＝是奇函数，所研究第一象限的部分交点问题即可，而y＝+a的图象是由y＝的图象上下平移得到，由图得，向上平移时保证图象第三象限的部分在x轴的下方，则第一象限的部分有4个交点，第三象限的部分有6个交点，同理向下平移时保证图象第一象限的部分在x轴的上方，则第一象限的部分有6个交点，第三象限的部分有4个交点，即，解得．故答案为：．三、解答题（共6个大题，75分）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cos A﹣a cos C＝0，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵（2b﹣c）cos A﹣a cos C＝0，由正弦定理，得（2sin B﹣sin C）cos A﹣sin A cos C＝0，∴2sin B cos A﹣sin（A+C）＝0，sin B（2cos A﹣1）＝0，∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵，即∴bc＝3①由余弦定理可知cos A＝＝∴b2+c2＝6，②由①②得，∴△ABC为等边三角形．17．（12分）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩，例如：表中语文成绩为B等级的共有20+18+4＝42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b的值；（Ⅲ）已知a≥10，b≥8，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得；＝0.18，解得n＝100，即抽取的学生人数是100；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n＝100；∴＝30%，解得a＝14；又7+9+a+20+18+4+5+6+b＝100，解得b＝17；（Ⅲ）设“语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少”为事件A，由（Ⅱ）得，a+b＝31，且a≥10，b≥8；∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14种；其中b+11＞a+16的有：（10，21），（11，20），（12，19）共3种；∴所求的概率为P＝．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面P AD；（2）求证：面P AB⊥平面PDC．【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．所以在△CP A中，EF∥P A，又P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD；（2）平面P AD⊥平面ABCD平面P AD∩面ABCD＝AD⇒CD⊥平面P AD⇒CD⊥P A正方形ABCD中CD⊥ADP A⊂平面P ADCD⊂平面ABCD又，所以P A2+PD2＝AD2所以△P AD是等腰直角三角形，且，即P A⊥PD．因为CD∩PD＝D，且CD、PD⊂面PDC所以P A⊥面PDC又P A⊂面P AB，所以面P AB⊥面PDC．19．（12分）已知数列{a n}是正数等差数列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，满足2S n+b n＝1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）如果c n＝a n b n，设数列{c n}的前n项和为T n，是否存在正整数n，使得T n ＞S n成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，∵a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列，∴依条件有，即，解得（舍）或d＝1，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）＝n．…（2分）由2S n+b n＝1，得，当n＝1时，2S1+b1＝1，解得，当n≥2时，，所以，所以数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，故．…（5分）（2）由（1）知，，所以①②得．…（9分）又．所以，当n＝1时，T1＝S1，当n≥2时，，所以T n＞S n，故所求的正整数n存在，其最小值是2．…（13分）20．（13分）已知函数f（x）＝e x﹣x﹣1（Ⅰ）求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：（Ⅱ）若方程f（x）＝a，在[﹣2，ln2]上有唯一零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）对任意x≥0，f（x）≥（t﹣1）x恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝e x﹣x﹣1，∴f′（x）＝e x﹣1．…（1分）∴f′（1）＝e﹣1，f（1）＝e﹣2，∴求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣（e﹣2）＝（e﹣1）（x ﹣1）．化简得所求切线的方程为y＝（e﹣1）x﹣1．…（3分）（Ⅱ）f′（x）＝e x﹣1，当x∈（﹣2，0）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减；当x∈（0，ln2）时，f′（x）≥0，f（x）单调递增．…（5分），f（ln2）＝1﹣ln2．…（6分）∵f（﹣2）＞f（ln2）．函数f（x）＝a，在[﹣2，ln2]上有唯一零点，等价于，f（ln2）＜a≤f（﹣2）或a＝f（0），即或a＝0．∴实数a的取值范围是或a＝0．…（8分）（Ⅲ）令g（x）＝f（x）﹣（t﹣1）x＝e x﹣1﹣tx，则g′（x）＝e x﹣t．∵x≥0，∴e x≥1．…（9分）（i）当t≤1时，g′（x）≥0，g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（0）＝0．即f（x）≥（t﹣1）x恒成立．…（11分）（ii）当t＞1时，e x﹣t＝0，x＝lnt，当x∈（0，lnt）时，g′（x）≤0，g（x）单调递减，当x∈（0，lnt）时，g（x）＜g（0）＝0，此时不满足题设条件．…（12分）综上所述：实数t的取值范围是t≤1．…（13分）21．（14分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点，∴…（1分）又∵椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形，∴b＝1，∴椭圆的方程为…（3分）（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为：y＝k（x﹣1）代入椭圆方程，消去y，可得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则…（5分）∵∴＝m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2＝＝＝…（7分）＝＝…（9分）当，即时，为定值…（10分）当直线l的斜率不存在时，由可得，∴综上所述，当时，为定值…（12分）。
【济南一模_文数】2015年3月济南市高三模拟考试数学试题(文)及答案
2015年高考模拟考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则 A.{}1,3-B.{}1,1,3-C.{}1,1,3,3--D.{}1,1,3--2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数y = A.[)1,+∞B.()1,+∞C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是 A.若a b <，则22ac bc < B.若0,0a b c >><，则c c a b< C.若a b >，则()()22a cbc +>+ D.若0ab >，则2a bb a+≥ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.9 B.16 C.25 D.367.已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=A.7B.6C.5D.48.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln,ln ,ln a b c πππ===，则A.()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f a f c >>C. ()()()f c f a f b >>D. ()()()f c f b f a >>9. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A.2 B.3 C.2D.510.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则角C=__________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 设函数()223cos2sin 3f x x x ωω=+-（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π.（I ）求ω的值；（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14. （I ）求n 的值；（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18. （本小题满分12分） 如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动.（I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ；（II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19. （本小题满分12分）数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （II ）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20. （本小题满分13分）已知函数()()0xf x e ax a a R a =+-∈≠且.（I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；（II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x 交于T 点. （i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上； （ii ）求TF PQ的取值范围.文科数学参考答案一、选择题 CBABD BACDC二、填空题11.25 12.3π13. 2π 14. 1 三、解答题16. 解：（Ⅰ）()2sin 2f x x x ωω=+=2sin(2)3x πω+……………………4分∴2=22ππω，即12ω= ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =2sin()3x π+,将函数)(x f y =的图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，即()g x =2sin(2)3x π+ ……………………8分由22+2232k x k πππππ-≤+≤，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，……………………10分 ∴()g x 的单调递增区间是：5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈ …………12分17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分（2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为:（1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3,1a ）,（2a ,3）,（3, 2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥，所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分 在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点， 所以//EF PD …………………………………4分 又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面所以EF //平面PBD .……………………………6分（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA I 平面ABCD AB =, 90DAB ∠=o，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PA IDA A =,,PA DA PDA ⊂平面,所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分 又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n q a a . ∴12n n a -=，21nn S =-， …………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分 （II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+，∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分. …………………9分∵*N n ∈, …………………10分当2n ≥∴数列{}n T 是一个递增数列，…………………12分 20. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x+=)('，…………………1分0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分∴'()1xf x e =-∵在)0,(-∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('x f x f >单调递增， ∴0=x 时)(x f 取极小值.1-=∴a . …………………3分易知)(x f 在)0,2[-上单调递减，在]1,0(上)(x f 单调递增；且;31)2(2+=-e f ;)1(e f =)1()2(f f >-.…………………4分 当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.312+e…………………5分（Ⅱ）a e x f x+=)('，由于0>xe .①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x.…………………8分 当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a aa a f ， 所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分 ②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x-==+=.在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增，所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分 函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ，解得02<<-a e .综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+，221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ， 即2243(,)3434mG m m -++，……………7分 4344343322m m m m k OG-=+⋅+-=，设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-），43mk OT -=Θ，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当0m ≠时，13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ-+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m4311222++⋅=m m .……………11分 )1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令12+=m t .则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t tt t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g .所以||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法二：（i ）设T 点的坐标为),4(m ，当0=m 时，PQ 的中点为F ，符合题意. ……………5分 当0m ≠时，mk m k PQ FT 3,3-==.3:(1)PQ l y x m-=- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分 12322210+=+=m m y y y ，121231200+=-=m my x ， 即)123,1212(22++m m m G ，……………7分 4121212322m m m m k OG =+⋅+=，又4m k OT =Θ. 所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ= ……………10分 当0m ≠时， 9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ -+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 129422++⋅=m m .……………11分 )939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分所以1)3()(=>g t g . 所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分 当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分 222104342k k x x x +=+=，200433)1(kk x k y +-=-=， 即)433,434(222k k k k G +-+，……………7分 kk k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），kk OT 43-=，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分 当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112kk ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211k t +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。
山东省济南市高三数学下学期第一次模拟考试试题 文
2015年高考模拟考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则A.{}1,3-B.{}1,1,3-C.{}1,1,3,3--D.{}1,1,3--2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数()3log 21y x =-的定义域为A.[)1,+∞B.()1,+∞C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是A.若a b <，则22ac bc <B.若0,0a b c >><，则c c a b <C.若a b >，则()()22a cbc +>+D.若0ab >，则2a bb a +≥6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.9 B.16 C.25 D.367.已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=A.7B.6C.5D.48.已知函数()y f x =是R上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln,ln ,a b c ππ===A.()()()f a f b f c >> B. ()()()f b f a f c >> C.()()()f c f a f b >>D.()()()f c f b f a >>9. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.510.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x xωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x=；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有 A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则角C=__________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________.14.设,,a b c r r r 是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 设函数()223cos 2sin 3f x x x ωω=+-（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π.（I ）求ω的值；（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14.（I ）求n 的值；（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18. （本小题满分12分） 如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动.（I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ； （II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19. （本小题满分12分）数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20. （本小题满分13分） 已知函数()()0x f x e ax a a R a =+-∈≠且.（I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；（II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l与直线4x =交于T 点. （i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）求TF PQ的取值范围.2015年3月济南市高三模拟考试 文科数学参考答案 一、选择题CBABD BACDC 二、填空题11.25 12.3π13. 2π14. 1+15.三、解答题16. 解：（Ⅰ）()2sin 2f x x x ωω=+=2sin(2)3x πω+……………………4分 ∴ 2=22ππω，即12ω=……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =2sin()3x π+,将函数)(x f y =的图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，即()g x =2sin(2)3x π+ (8)分由22+2232k x k πππππ-≤+≤，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，……………………10分∴()g x 的单调递增区间是：5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈ …………12分17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分（2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续摸取2个小灯笼的所有基本事件为:（1, 1a ）,（1,2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3,1a ）,（2a ,3）,（3,2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23=……………………12分18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥， 所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分 在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点， 所以//EF PD …………………………………4分又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面 所以EF //平面PBD .……………………………6分（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA I 平面ABCD AB =, 90DAB ∠=o，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PA I DA A =,,PA DA PDA ⊂平面, 所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分 又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n q a a .∴12n n a -=，21nn S =-， …………………3分 设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d =∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分（II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+，∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ . (9)分∵*N n ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-<⎪+⎝⎭ …………………10分当2n ≥时，()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+-∴数列{}n T 是一个递增数列， ∴113n T T ≥=.综上所述，1132n T ≤<. …………………12分 20. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x+=)('，…………………1分 0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分∴'()1xf x e =- ∵在)0,(-∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('x f x f >单调递增， ∴0=x 时)(x f 取极小值.1-=∴a . …………………3分易知)(x f 在)0,2[-上单调递减，在]1,0(上)(x f 单调递增；且;31)2(2+=-ef ;)1(e f =)1()2(f f >-.…………………4分 当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.312+e …………………5分（Ⅱ）a e x f x+=)('，由于0>x e . ①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x .…………………8分当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a a a a f ，所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分 ②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x-==+=.在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增，所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ， 解得02<<-a e .综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分 21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分（Ⅱ）解法一： （i ）设:1PQ l x my =+，221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ，即2243(,)3434mG m m -++，……………7分4344343322m m m m k OG-=+⋅+-=， 设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-），43mk OT -=Θ，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当0m ≠时，13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ-+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m4311222++⋅=m m .……………11分)1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令12+=m t .则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分所以1)1()(=>g t g .所以||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分解法二：（i ）设T 点的坐标为),4(m ，当0=m 时，PQ 的中点为F ，符合题意. ……………5分当0m ≠时，m k m k PQ FT 3,3-==.3:(1)PQ l y x m -=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分12322210+=+=m my y y ，121231200+=-=m my x ， 即)123,1212(22++m mm G ，……………7分4121212322m m m m k OG=+⋅+=，又4m k OT =Θ. 所以OTOG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ = ……………10分当0m ≠时，9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ-+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m129422++⋅=m m .……………11分)939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF 令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分所以1)3()(=>g t g . 所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分 当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠） ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分222104342k k x x x +=+=，200433)1(k k x k y +-=-=， 即)433,434(222k k k k G +-+，……………7分k k k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），k k OT 43-=，所以OT OG k k =， 线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T . 1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=.=-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112k k ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211k t +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t tt t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。
2015年济南市市中区数学一模试题(1)
C2015年初三数学模拟试题(2015.04)第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 12()2⨯-的结果是A ．－4B ．－1C ．14- D ．322. 如图，直线a ∥b ，AC ⊥AB ，AC 交直线b 于点C ，∠1=60°，则∠2的度数是A ．50°B ．45°C ．35°D ．30° 3. 下列运算正确的是A ．3232a a a =+B ．()a a a =÷-2C ． ()623a a a -=⋅-D ．()63262a a =4. APEC 峰会是亚太经合组织最高级别的会议，据网上公布的数据，2014年金秋有来自数十个亚太地区经济界领导人、媒体记者及全球各界名流超过8000人齐聚北京，参加APEC 峰会.将8000用科学计数法表示应为A ．3108⨯ B ．4108.0⨯ C ．21080⨯ D ．4108⨯ 5. 已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法正确的是A ．中位数是6B ．平均数是4C ．众数是3D ．方差是56. 如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量出MN 的 长为12m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述 错误的是A ．AB=24mB ．MN ∥ABC ．△CMN ∽△CABD ．CM ：MA=1：27. 形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如右图所示，则其主视图是 8. 已知点P （3m -，1m -）在第二象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是9. 下列说法不正确．．．的是 A ．一组邻边相等的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 10.正比例函数y=kx （k ≠0）的图象在第二、四象限，则一次函数y=x+k 的图象大致是A ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．ABDC第19题图11. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为1.5，AC=2，则sinB 的值是A ．23B ．32C ．4D ．312. 如图，已知点A （-1，0）和点B(1，2)，在y轴上确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足条件的点P 共有A.5个 B ．4个 C ．3个 D.2个13. 若不等式组⎩⎨⎧->-≥+2210x x a x 无解，则实数a 的取值范围是A ．a ≥－1B ．a ＜－1C ．a ≤1D ．a ≤－114. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋k =0的两个根，则k 的值是A ．27B ．36C ．27或36D ．18 15. 当12≤≤-x 时，二次函数()122++--=m m x y 有最大值4，则实数m 的值为A ．47- B ．3或3- C ．2或3- D ．2或3或47-第Ⅱ卷（非选择题 共75分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中的横线上）16. 把代数式2218x -分解因式17. 如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比BC 与水平宽度AC 之比），坝高 BC=3m ，则坡面AB 的长度是18. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，PC PC= ．19. 如图，已知A （4，a ），B （﹣2，﹣4）是一次函数y =kx +b 的图象和反比例函数y =xm的图象的交点．则△A O B 的面积为 ．20. 如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，则tan ∠EAF 的值= ．21. 如图，已知121=A A , 9021=∠A OA , 3021=∠OA A ,以斜边2OA 为直角边作直角三角形，使得 3032=∠OA A ,依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含o 30角的直角三角形，则Rt △A 2014OA 2015的面积为 ．C17 17题图20题图18题图o第23(1)题图三、解答题（本大题共7个小题，共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22. （本小题满分7分）（1）解方程：x 2﹣5x ﹣6=0； （2）计算：12)21(30tan 3)21(01+-+---23. （本小题满分7分）（1）已知：如图，点A ，C ，D ，B 在同一条直线上，AC = BD ，AE =BF ，∠A =∠B . 求证：∠E =∠F .（2） 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角 高度为60°（A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据 计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）． （参考数据：≈1.414，≈1.732）24. （本小题满分8分）CBA 篮球联赛正在如火如荼的进行，爸爸想通过一个游戏决定小明能否看今晚的比赛：在一个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着一个实数，分别为3，2，22（每张卡片除了上面的实数不同以外其余均相同），爸爸让小明从中任意取一张卡片，如果抽到的卡片上的数是有理数，就让小明看比赛，否则就不能看． （1）请你直接写出按照爸爸的规则小明能看比赛的概率；（2）小明想了想，和爸爸重新约定游戏规则：自己从盒子中随机抽取两次，每次抽取一张卡片，第一次抽取后记下卡片上的数，再将卡片放回盒中抽取第二次，如果抽取的两数之积是有理数，自己就看比赛，否则就不看．请你用列表法或树状图法求出按照此规则小明看比赛的概率．25. （本小题满分8分）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？26. （本小题满分9分）如图，点A (1,6)和点M (m ，n )都在反比例函数(0)k y k x=>的图像上.(1)求反比例函数的解析式；(2)当m =3时，求直线AM 的解析式，并求出△AOM 的面积；(3)如图2，当1m >时，过点M 作MP ⊥x 轴，垂足为P ，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，试判断直线BP 与直线AM 的位置关系，并说明理由.FABDEC图327.（本小题满分9分）四边形ABCD 是正方形，AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 是直线AD 上两动点，且DF AE =，CF 所在直线与对角线BD 所在直线交于点G ，连接AG ，直线AG 交BE 于点H ．（1）如图1，当点E 、F 在线段AD 上时， ①求证：DCG DAG ∠=∠；②猜想AG 与BE 的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO ，试说明HO 平分BHG ∠；（3）当点E 、F 运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出BHO∠的度数．图128.（本小题满分9分） 如图①，直线l : y=mx+n(m<0,n>0)与x ,y 轴分别相交于A ，B 两点，将△AOB绕点O 逆时针旋转90°，得到△COD ，过点A ，B ，D 的抛物线P 叫做l 的关联抛物线，而l 叫做P 的关联直线.（1）若l : y=－2x+2,直接写出P 表示的函数解析式，若P : y=－x 2－3x+4，直接写出l 表示的函数解析式. （2）求P 的对称轴（用含m ,n 的代数式表示）；（3）如图②，若l : y=－2x+4，P 的对称轴与CD 相交于点E ，点F 在l 上，点Q 在P 的对称轴上.当以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；（4）如图③，若l : y=mx －4m ，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH 中点，连接OM .若OM=10，直接写出l ，P 表示的函数解析式.（图①） （图②） （图③）图2。
济南市槐荫区2015年学业水平考试模拟考试一模数学试题
ACDEF4题图12Da b(a ∥b )C21平行四边形B12A ABCD E CP 10题图2015年学业水平考试模拟考试槐荫区一模 数学试题第I 卷（选择题 共45分）一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. －5的绝对值是A. 5B. －5C.15D. 15-2. 我国经济飞速发展，2014年的GDP 为63.6万亿元，用科学记数法表示63.6万亿元为 A. 0.636×106亿元 B. 6.36×105亿元 C. 6.36×104亿元D. 63.6×105亿元 3. 下列运算正确的是 A2±B ．2C ．326a a =（-） D ． 248a a a = 4. 如图，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 上，EF ∥AB ．若∠CEF =100°，则∠ABD 的度数是A ．60°B ．50°C ．40°D ．30° 5. 一组数据－1、2、1、0、3的中位数和平均数分别是 A ．1，0 B ．2，1 C ．1，2 D ．1，1 6. 若a ＜b ，下列式子不成立．．．的是 A ．a ＋1＜b ＋1 B ．3a ＜3b C ．如果c ＜0，那么ac ＜bc D ．－0.5a ＞－0.5b 7. 下列图形中，∠2＞∠1的是8. 下列一元二次方程没有实数根的是A. 290x -=B. 210x x --=C. 29304x x -+-= D. 210x x ++=9. 已知□ABCD 的周长为40，AB =BC －2，则对角线AC 的取值范围为A. 2＜AC ＜20B. 2＜AC ＜40C. 10＜AC ＜20D. 5＜AC ＜21 10. 如图，菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE .则∠DEC 的大小为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°11. 已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3y x =+上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数12题图A B C D EF 14题图2()y abx a b x =-++A. 有最大值－4.5B. 有最大值4.5C. 有最小值4.5D. 有最小值－4.5 错误！未找到引用源。
2015年山东省济南市历下区一模数学试题(含答案)
2015济南市历下区数学模拟试题(2015.4)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为45分；第Ⅱ卷满分为75分．本试卷满分为120分．考试时间为120分钟．答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第Ⅰ卷（选择题 共45分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. －5的倒数是（ ）A ．5B ．－5C ．51D ．51-2. 如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝70°，则∠1的度数是（ ）A.70°B.100°C.110° D．130° 3. 2014年，历下的教育惠民政策引起了社会的广泛关注,其中包括投入3600万元,免费为区属义务教育阶段中小学生提供校服. 3600万元用科学记数表示为（ ） A ．71036⨯元 B ．61036⨯元 C ．7106.3⨯元 D ．6106.3⨯元 4. 如图，一个几何体是由六个大小相同，棱长为1的立方块组成，则从上面看到的图形的面积是( )A. 6B. 5C. 4D. 3第1题图第4题图5. 下列计算正确的是（ ） A ．（-2）3 = 8B ．11()33-=C ． 428a a a =·D ．236a a a =÷6. 化简 的结果是（ ） A. a ＋b B.aC. a —bD. b7. 如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD交于点O ，下列说法错误．．的是（ ） A ．AB ∥DC B ．OA =OC C ．AC ⊥BD D ． AC =BD8.一次函数y =（m —1）x +m 2的图象过点（0，4），且y 随x 的增大而增大，则m 的值 为（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-2或2 9. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若∠CAB ＝40°， 则∠ADC 的度数为（ ）A. 25°B. 30°C. 45°D. 50° 10. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3．将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转至矩形AB ′C ′D ′，使得点B ′恰好落在对角线BD 上，连接DD ′，则DD ′ 的长度为（ ）A.3 B ．5 C ．3+1 D ．2 11. 如图，直线(0)x t t =>与反比例函数xky =（x >0）、xy 1-=（x >0）的图象分别交于B 、C 两点，A 为y 轴上任意一点，∆ABC 的面积为3，则k 的值为（ ）22a b a b a b---第10题图 第7题图第9题图第11题图A. 2B. 3C ．4D ．512. 某学习小组有6人，在一次数学测验中的成绩分别是：115，100，105，90，105，85，则他们成绩的极差和众数分别是（ ） A.30和115 B.30和105 C.20和100 D.15和10513.如图，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，点M 为边AB 上的一动点，点N 为边AC 上的一动点，且∠MDN ＝90°，则cos∠DMN 为（ ）A. 54B. 55C. 53D. 51014.大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚.这启发人们设计了一种新的加减记数法. 比如：9写成11，11011-=； 198写成220，2200220-=； 7683写成，总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算（ ）A. 1990B. 2068C. 2134D. 3024 15. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个 结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a +c ＜2b ；③3b +2c ＜0； ④m （am +b ）+b ＜a （m ≠﹣1）， 其中正确结论的个数是（ ）第13题图第15题图A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个第Ⅱ卷（非选择题 共75分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中的横线上）16.分解因式：42-a = .17. 四边形的外角和为m ，五边形的外角和为n ，则m n （填 “< 或 = 或 >”号）.18. 某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图，已知骑自行车上学的学生有26人，则采用其他方式上学的学生人数为 人. 19.已知点（m ，n ）在抛物线122+=x y 的图象上，则1242+-n m = .20. 如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 .21. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2. 三、解答题（本大题共7个小题，共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22. （本小题满分7分）(1) 计算： 45sin 48- .(2)解不等式组84113422x x x x +<-⎧⎪⎨-⎪⎩≥第21题图第18题图第20题图23. （本小题满分7分）(1)如图，四边形ABCD 、四边形AEFD 是平行四边形. 求证：△ABE ≌△DCF(2)如图，CB 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PB =2，PA 切⊙O 于A 点，PA =4.求⊙O 的半径.24. 应用题分式方程（本小题满分8分）我区某校九年级的同学利用清明假期外出踏青、赏春. 从学校到景区共10千米，一部分同学骑自行车先出发，10分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达集合地点．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求两部分同学分别每小时走多少千米？25.（本小题满分8分）为进一步弘扬祖国优秀传统文化，历下区教育局主办了“‘首善奖’历下区青少年书法大赛”.某校有2位同学获得一等奖，3位同学获得二等奖，随机抽取获奖同学谈谈他们的参赛体会.（1）抽取一位同学谈体会，请直接写出该同学是二等奖获得者的概率； （2）抽取两位同学谈体会，求两位同学分别是一等奖和二等奖获得者的概率.（用树状图或列表法求解）第23（1）题图第23（2）题图26. （本小题满分9分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0， d）、C（－3，2）.（1）求d的值；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移a个单位，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图像上.请求出这个反比例函数和此时直线B′C′的解析式；（3）在（2）的条件下，直线'C'⊥x轴于M．P是B交y轴于点G，作M'C线段'PBB面积相等，求点P坐标．PMC和△'B上的一点，若△''C第26题图27. （本小题满分9分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P，求线段EP1长度的最大值1与最小值．28. （本小题满分9分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1, 0)、C (3, 0)、D (3, 4)．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，以每秒21个单位的速度沿线段AD 向点D 运动，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥x 轴交抛物线于点M ，交AC 于点N ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）当t 为何值时，△ACM 的面积最大？最大值为多少？（3）点Q 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD 向点D 运动，当t 为何值时，在线段PE 上存在点H ，使以C 、Q 、N 、H 为顶点的四边形为菱形？备用图第28题图参考答案二、填空题 16. （a —2）（a ＋2） 17. = 18. 4 19. —1 20. 5521. 32 三、解答题 22.（104sin 45(3)4︒+-π+- 解：22-22=…………………………………..2分=……………………………………………….3分（2）解不等式组84113422x x x x +<-⎧⎪⎨-⎪⎩≥解：解①得： x ＞3…………………………………………..1分解②得： x ≥2…………………………………………...2分∴不等式组的解集是x ＞3………………………………..4分 23.（1）证明：∵四边形ABCD 、四边形AEFD 是平行四边形 ∴AD=BC ，AD=EF ∴BC ＋CE=EF ＋CE即BE=CF ……………………………………………..……………….1分 ∵AB ∥CD ，AE ∥DF∴∠ABE =∠DCF ，∠AEB =∠DFC ………………………………...2分 ∴△ABE ≌△DCF ………………………………………………3分 （2）解：如图，连接OA …………………………………………………………1分 ∵P A 切⊙O 于A 点，① ② 第23（1）题图∴OA ⊥P A ……………………………………………………………………………..….2分 设OA=x ∴OP= x +2 在Rt △OP A 中x 2+42=( x +2)2………………………………………………….....3分 ∴x=3…………………………………………………………....4分 ∴⊙O 的半径为3. 24.解：设骑车同学每小时走x 千米，根据题意得：6121010+=x x …………………………………………………................................................................3分 解得x =30………………………………………………………………........................................5分 经检验x =30不是增根………………………………………………………6分 x =60……………………………………………………………………………………….7分. 答：骑车同学每小时走30千米，乘车的同学每小时60千米………………………….8分 25.（1）53………………………………………………………………………………..2分 （2）设获得一等奖的同学为A 1、A 2，获得二等奖的同学B 1、B 2、B 3， 列表格：………………………………………………………………………………………………5分 ∵共有20种情况，两位同学分别是一、二等奖的获得者有12种，……………………………...7分 ∴532012==P ……………………………………………………………………………..8分 26.解：（1）作CN ⊥x 轴于点N . ………………………………………………………....1分 在Rt △CNA 和Rt △AOB 中 ∵NC ＝OA ＝2，AC ＝AB∴Rt △CNA ≌Rt △AOB ……………………………………………………………………………..２分则BO ＝AN ＝3—2＝1，∴d ＝1……………………………………………………………………………………...３分 （2）设反比例函数为ky x=，点'C 和'B 在该比例函数图像上， 设'C （a ，2），则'B （a ＋3，1）把点'C 和'B 的坐标分别代入ky x=，得k ＝ a 2；k ＝a ＋3， ∴a 2＝a ＋3，a ＝3，…………………………………………………………………4分 则k ＝6，反比例函数解析式为6y x=………………………………………………..５分 得点'C （3，2）；'B （6，1）.设直线C ′B ′的解析式为y ＝ax ＋b ，把C ′、B ′两点坐标代入得3261a b a b +=⎧⎨+=⎩∴解之得：133a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；∴直线C ′B ′的解析式为133y x =-+………………………………………………………..６分（3）连结'BB∵B （0，1），'B （6，1）∴'BB ∥x 轴…………………………………………………7分设P （m ，331+-m ），作PQ ⊥'C M ，PH ⊥'BB ∴S △PC ’M =21×PQ ×M C '＝21×（3-m ）×２＝3-m Ｓ△P ＢＢ’＝ 21×PH ×'BB ＝21×（1331-+-m ）×６＝6+-m ∴)3(-m ＝6+-m ……………………………………………………………………8分 ∴29=m ∴Ｐ（29，23）………………………………………………………………………….９分 27.解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C 1B =∠ACB =45°，BC =BC 1，∴∠CC 1B =∠C 1CB =45°∴∠CC 1A 1=∠CC 1B +∠A 1C 1B =45°+45°=90°（2）∵由旋转的性质可得：△ABC ≌△A 1BC 1∴BA =BA 1，BC =BC 1，∠ABC =∠A 1BC 1 ∴11BC BA BC BA =∠ABC +∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1 ∴∠ABA 1=∠CBC 1∴△ABA 1∽△CBC 1∴25165422=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CB AB S S CBC ABA∵S △ABA 1=4，∴S △CBC 1=425． （3）过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，∵△ABC 为锐角三角形，∴点D 在线段AC 上在Rt △BCD 中，BD =BC ×sin 45°=225①如图1，当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小．最小值为：EP 1=BP 1﹣BE =BD ﹣BE =225﹣2． ②如图2，当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1 在线段AB 的延长线上时，EP 1最大最大值为：EP 1=BC +BE =5+2=7．28.解：（1）∵抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋4，……………………………………………....1分 代入点C (3, 0)，可得a ＝－1．…………………………………………………………2分 ∴y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3．……………………………………………………..3分（2）∵P （112t +，４） 将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－(x －1)2＋4＝2144t -． ∴M （112t +，2144t -） 设直线AC 的解析式为b kx y +=，将A （１,４），C （３,０）得：62+-=x y 将112x t =+代入得t y -=4 ∴N （112t +，t -4）∴MN 2211(4)(4)44GE t t t t =---=-+． ∴1)2(4141)(2122+--=+-==+=+=∆∆∆t t t MN CE AP MN S S S CMN AMN AMC ． ∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1．（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，∵Ｎ（112t +，t -4），P （112t +，４） ∴P Ｎ＝４—（t -4）＝t ＝CQ 又∵PN ∥CQ ∴四边形FECQ 为平行四边形∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形 PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝22)4()212(t t -+- ∴222)4()212(t t t =-+-． 整理，得240800t t -+=．解得120t =-220t =+． ②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=t ，NQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形 EQ 2＝CQ 2，得：222)24()212(t t t =-+-． 整理，得213728000t t -+=．(1320)(40)0t t --=．所以12013t =，4=t （舍去）．图１图２。
2015年山东省济南市历下区中考数学一模试卷和答案
2015年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣5的倒数是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣2．（3分）如图，已知AB∥CD，∠A=70°，则∠1度数是（）A．70°B．100°C．110° D．130°3．（3分）2014年，历下的教育惠民政策引起了社会的广泛关注，其中包括投入3600万元，免费为区属义务教育阶段中小学生提供校服．3600万元用科学记数表示为（）A．36×107元B．36×106元C．3.6×107元D．3.6×106元4．（3分）如图，一个几何体是由六个大小相同，棱长为1的立方块组成，则从上面看到的图形的面积是（）A．6 B．5 C．4 D．35．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣2）3=8 B．（）﹣1=3 C．a4•a2=a8 D．a6÷a3=a26．（3分）化简﹣的结果是（）A．a+b B．a C．a﹣b D．b7．（3分）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC8．（3分）一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣2或29．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ADC 的度数为（）A．25°B．30°C．45°D．50°10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长度为（）A．B．C．+1 D．211．（3分）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．512．（3分）某学习小组有6人，在一次数学测验中的成绩分别是：115，100，105，90，105，85，则他们成绩的极差和众数分别是（）A．30和115 B．30和105 C．20和100 D．15和10513．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN=90°，则cos∠DMN为（）A．B．C．D．14．（3分）大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚．这启发人们设计一种新的加减计数法．比如：9写成1，1=10﹣1；198写成20，20=200﹣2；7683写成13，13=10000﹣2320+3总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算53﹣31=（）A．1990 B．2068 C．2134 D．302415．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中的横线上）16．（3分）分解因式：a2﹣4=．17．（3分）四边形的外角和为m，五边形的外角和为n，则m n（填“＜或=或＞”号）．18．（3分）某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图，已知骑自行车上学的学生有26人，则采用其他方式上学的学生人数为人．19．（3分）已知点（m，n）在抛物线y=2x2+1的图象上，则4m2﹣2n+1=．20．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为．21．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是cm2．三、解答题（本大题共7个小题，共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．（7分）（1）计算：﹣4sin45°．（2）解不等式组．23．（7分）如图，四边形ABCD、四边形AEFD是平行四边形．求证：△ABE≌△DCF．24．（8分）如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB=2，PA切⊙O 于A点，PA=4．求⊙O的半径．25．（8分）应用题分式方程我区某校九年级的同学利用清明假期外出踏青、赏春．从学校到景区共10千米，一部分同学骑自行车先出发，10分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达集合地点．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求两部分同学分别每小时走多少千米？26．（8分）为进一步弘扬祖国优秀传统文化，历下区教育局主办了“‘首善奖’历下区青少年书法大赛”．某校有2位同学获得一等奖，3位同学获得二等奖，随机抽取获奖同学谈谈他们的参赛体会．（1）抽取一位同学谈体会，请直接写出该同学是二等奖获得者的概率；（2）抽取两位同学谈体会，求两位同学分别是一等奖和二等奖获得者的概率．（用树状图或列表法求解）27．（9分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B（0，d）、C（﹣3，2）．（1）求d的值；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移a个单位，在第一象限内B、C两点的对应点B′C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时直线B′C′的解析式；（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G，作C′M⊥x轴于M．P是线段B′C′上的一点，若△PMC′和△PBB′面积相等，求点P坐标．28．（9分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．29．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C，动点P从点A 出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P 作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？2015年山东省济南市历下区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣5的倒数是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣【分析】根据倒数的定义可直接解答．【解答】解：﹣5的倒数是﹣．故选：D．2．（3分）如图，已知AB∥CD，∠A=70°，则∠1度数是（）A．70°B．100°C．110° D．130°【分析】两条直线平行，内错角相等，然后根据邻补角的概念即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∠A=70°，∴∠2=70°（两直线平行，内错角相等），再根据平角的定义，得∠1=180°﹣70°=110°，故选：C．3．（3分）2014年，历下的教育惠民政策引起了社会的广泛关注，其中包括投入3600万元，免费为区属义务教育阶段中小学生提供校服．3600万元用科学记数表示为（）A．36×107元B．36×106元C．3.6×107元D．3.6×106元【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3600万元有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．【解答】解：3600万元=3.6×107元．故选：C．4．（3分）如图，一个几何体是由六个大小相同，棱长为1的立方块组成，则从上面看到的图形的面积是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，中间一个小正方形，俯视图的面积为5，故选：B．5．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣2）3=8 B．（）﹣1=3 C．a4•a2=a8 D．a6÷a3=a2【分析】根据积的乘方，可判断A；根据负整数指数幂，可判断B；根据同底数幂的乘法，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D．【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A错误；B、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故B正确；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；故选：B．6．（3分）化简﹣的结果是（）A．a+b B．a C．a﹣b D．b【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式===a+b．故选：A．7．（3分）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故A选项正确；B、菱形的对角线不一定相等，故B选项错误；C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故C选项正确；D、菱形的对角线互相平分，OA=OC，故D选项正确．故选：B．8．（3分）一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣2或2【分析】由y随x的增大而增大，根据一次函数的性质得m﹣1＞0；再由于一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），则m2=4，然后解方程，求出满足条件的m的值．【解答】解：根据题意得m﹣1＞0且m2=4，解得m=2．故选：B．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ADC的度数为（）A．25°B．30°C．45°D．50°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACD=90°，继而求得∠ABC的度数，然后由圆周角定理，求得∠ADC的≜度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∠∠ABC=90°﹣∠CAB=50°，∴∠ADC=∠ABC=50°故选：D．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长度为（）A．B．C．+1 D．2【分析】先求出∠ABD′=60°，利用旋转的性质即可得到AB=AB′，进而得到△ABB′是等边三角形，于是得到∠BAB′=60°，再次利用旋转的性质得到∠DAD′=60°，结合AD=AD′，可得到△ADD′是等边三角形，最后得到DD′的长度．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，∴AD=BC=，∴tan∠ABD==，∴∠ABD=60°，∵AB=AB′，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′=60°，∴∠DAD′=60°，∵AD=AD′，∴△ADD′是等边三角形，∴DD′=A D=BC=，故选：A．11．（3分）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据点B、C的横坐标，代入反比例函数的解析式求出纵坐标，表示出BC的长，根据三角形面积公式求出k的值．【解答】解：由题意得，点C的坐标（t，﹣），点B的坐标（t，），BC=+，则（+）×t=3，解得k=5，故选：D．12．（3分）某学习小组有6人，在一次数学测验中的成绩分别是：115，100，105，90，105，85，则他们成绩的极差和众数分别是（）A．30和115 B．30和105 C．20和100 D．15和105【分析】根据极差的定义用最大值减去最小值求出他们成绩的极差，再根据众数的定义即可得出答案．【解答】解：他们成绩的极差是115﹣85=30；105出现了2次，出现的次数最多，则众数是105；故选：B．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN=90°，则cos∠DMN为（）A．B．C．D．【分析】连结AD，如图，先利用勾股定理计算出BC=10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得DA=DC=5，则∠1=∠C，接着根据圆周角定理得到点A、D在以MN为直径的圆上，所以∠1=∠DMN，则∠C=∠DMN，然后在Rt△ABC中利用余弦定义求∠C的余弦值即可得到cos∠DMN．【解答】解：连结AD，如图，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴BC==10，∵点D为边BC的中点，∴DA=DC=5，∴∠1=∠C，∵∠MDN=90°，∠A=90°，∴点A、D在以MN为直径的圆上，∴∠1=∠DMN，∴∠C=∠DMN，在Rt△ABC中，cosC===，∴cos∠DMN=．故选：D．14．（3分）大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚．这启发人们设计一种新的加减计数法．比如：9写成1，1=10﹣1；198写成20，20=200﹣2；7683写成13，13=10000﹣2320+3总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算53﹣31=（）A．1990 B．2068 C．2134 D．3024【分析】根据新的加减计数法，可得数字上一杠表示减去它，据此分别求出53、31的值各是多少；然后把它们求差，求出算式53﹣31的值是多少即可．【解答】解：53﹣31=（5000﹣200+30﹣1）﹣（3000﹣240+1）=4829﹣2761=2068故选：B．15．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．【解答】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵﹣=﹣1，∴b=2a，∴3b+2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把x=m（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中的横线上）16．（3分）分解因式：a2﹣4=（a+2）（a﹣2）．【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4=（a+2）（a﹣2）．17．（3分）四边形的外角和为m，五边形的外角和为n，则m=n（填“＜或=或＞”号）．【分析】根据多边形的外角和为360°，即可解答．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，∴四边形的外角和为360°，五边形的外角和为360°，∴m=n．故答案为：=．18．（3分）某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图，已知骑自行车上学的学生有26人，则采用其他方式上学的学生人数为4人．【分析】根据题意先求出本班的总人数，然后再根据采用其他方式上学的学生占的比例求出采用其他方式上学的学生人数．【解答】解：由图可知骑车上学的学生占本班学生上学方式的52%，又知步行上学的学生有26人，∴本班学生总数：26÷52%=50人，由图可知采用其他方式上学的学生占本班学生上学方式的1﹣40%﹣52%=8%，∴采用其他方式上学的学生人数为50×8%=4人．故答案为：4．19．（3分）已知点（m，n）在抛物线y=2x2+1的图象上，则4m2﹣2n+1=﹣1．【分析】将（m，n）代入y=2x2+1得n=2m2+1，再将2m2﹣n=﹣1整体代入4m2﹣2n+1即可得到式子的值．【解答】解：将（m，n）代入y=2x2+1得，n=2m2+1，整理得，2m2﹣n=﹣1，∴4m2﹣2n+1=2（2m2﹣n）+1=2×（﹣1）+1=﹣1故答案为﹣1．20．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为．【分析】连接CE，求出CE⊥AB，根据勾股定理求出CA，在Rt△AEC中，根据锐角三角函数定义求出即可．【解答】解：连接CE，∵根据图形可知DC=1，AD=3，AC==，BE=CE==，∠EBC=∠ECB=45°，∴CE⊥AB，∴sinA===，故答案为：．21．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是32cm2．【分析】连接BD，EF，可看出阴影部分的面积等于正方形的面积+一个三角形DGB的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．【解答】解：连接BD，EF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∴△ABD的面积=正方形ABCD的面积=×6×8=24（cm2），阴影部分的面积=△ABD的面积+△BDG的面积（G为BF与DE的交点），∵△BCD中EF为中位线，∴EF∥BD，EF=BD，∴△GEF∽△GDB，∴DG=2GE，∴△BDE的面积=△BCD的面积．∴△BDG的面积=△BDE的面积=△BCD的面积=×24cm2=8cm2，∴阴影部分的面积=24cm2+8cm2=32cm2，故答案为32．三、解答题（本大题共7个小题，共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．（7分）（1）计算：﹣4sin45°．（2）解不等式组．【分析】（1）由于sin45°=，利用二次根式的乘法法则化简，然后利用二次根式的加减法则即可求解．（2）根据不等式的性质求出不等式①和②的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】（1）计算：﹣4sin45°．解：=2﹣2=0；（2）解不等式组解：解①得：x＞3，解②得：x≥2∴不等式组的解集是x＞3．23．（7分）如图，四边形ABCD、四边形AEFD是平行四边形．求证：△ABE≌△DCF．【分析】由四边形ABCD、四边形AEFD是平行四边形，可得AD=BC，AD=EF，继而证得BE=CF，又由AB∥CD，AE∥DF，可得∠ABE=∠DCF，∠AEB=∠DFC，则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD、四边形AEFD是平行四边形，∴AD=BC，AD=EF，∴BC+CE=EF+CE，即BE=CF，∵AB∥CD，AE∥DF，∴∠ABE=∠DCF，∠AEB=∠DFC，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．24．（8分）如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB=2，PA切⊙O 于A点，PA=4．求⊙O的半径．【分析】设圆的半径是x，利用勾股定理可得关于x的方程，求出x的值即可【解答】解：如图，连接OA，∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA，设OA=x，∴OP=x+2，在Rt△OPA中x2+42=（x+2）2∴x=3∴⊙O的半径为3．25．（8分）应用题分式方程我区某校九年级的同学利用清明假期外出踏青、赏春．从学校到景区共10千米，一部分同学骑自行车先出发，10分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达集合地点．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求两部分同学分别每小时走多少千米？【分析】设骑车同学速度为x千米/小时，乘汽车同学速度为2x千米/小时，根据题意可得，同样走10千米骑自行车的同学所用的时间比乘汽车同学多用10分钟，据此列方程求解．【解答】解：设骑车同学速度为x千米/小时，乘汽车同学速度为2x千米/小时，由题意得，﹣=，解得：x=30，经检验：x=30是原分式方程的解，且符合题意，则2x=60．答：骑车同学速度的为30千米/小时，乘汽车同学速度的为60千米/小时．26．（8分）为进一步弘扬祖国优秀传统文化，历下区教育局主办了“‘首善奖’历下区青少年书法大赛”．某校有2位同学获得一等奖，3位同学获得二等奖，随机抽取获奖同学谈谈他们的参赛体会．（1）抽取一位同学谈体会，请直接写出该同学是二等奖获得者的概率；（2）抽取两位同学谈体会，求两位同学分别是一等奖和二等奖获得者的概率．（用树状图或列表法求解）【分析】（1）直接根据概率公式解答；（2）根据题意，列表或列出树状图，然后用概率公式解答．【解答】解：（1）P=；（2）设获得一等奖的同学为A1、A2，获得二等奖的同学B1、B2、B3，列表格：树状图：∵共有20种情况，两位同学分别是一、二等奖的获得者有12种，∴P==．27．（9分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B（0，d）、C（﹣3，2）．（1）求d的值；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移a个单位，在第一象限内B、C两点的对应点B′C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时直线B′C′的解析式；（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G，作C′M⊥x轴于M．P是线段B′C′上的一点，若△PMC′和△PBB′面积相等，求点P坐标．【分析】（1）作CN⊥x轴于点N，证明Rt△CNA和Rt△AOB，据此即可求出AN=OB=1，进而得解；（2）分别用含有a的代数式表示出点B′，C′的坐标，并用待定系数法求反比例函数解析式，即可得解；（3）设出点P的坐标，根据面积相等得到方程，据此即可得解．【解答】解：（1）作CN⊥x轴于点N．在Rt△CNA和Rt△AOB中，，∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL），则BO=AN=3﹣2=1，∴d=1；（2）设反比例函数为y=，点C′和B′在该比例函数图象上，设C′（a，2），则B′（a+3，1）把点C′和B′的坐标分别代入y=，得k=2a；k=a+3，∴2a=a+3，a=3，则k=6，反比例函数解析式为y=．得点C′（3，2）；B′（6，1）；设直线C′B′的解析式为y=ax+b，把C′、B′两点坐标代入得，解得：；∴直线C′B′的解析式为：y=﹣；（3）连结BB′∵B（0，1），B′（6，1），∴BB′∥x轴，设P（m，），作PQ⊥C′M，PH⊥BB′=×PQ×C′M=×（m﹣3）×2=m﹣3∴S△PC’MS△PBB’=×PH×BB′=×（）×6=﹣m+6∴m﹣3=﹣m+6∴m=∴P（，）．28．（9分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【分析】（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积；（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°，∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，∴∠ABA1=∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴，=4，∵S△ABA1∴S=；△CBC1（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB 的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7．29．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C，动点P从点A 出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？【分析】（1）根据矩形的性质可以写出点A的坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a 的值；（2）利用待定系数法求得直线AC；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标，进一步表示点M，N的坐标，得出面积关于t的二次函数，由二次函数的最值可以求解；（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上，分CH是边和对角线两种情况讨论即可．【解答】解：（1）A（1，4），由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1．∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1+，4）．∴将x=1+代入y=﹣2x+6中，解得点N的纵坐标为y=4﹣t，∴把x=1+，代入抛物线的解析式中，可求点M的纵坐标为4﹣，∴MN=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，又点A到MN的距离为，C到MN的距离为2﹣，=S△AMN+S△CMN=×MN×+×MN×（2﹣）即S△ACM=×2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．的最大值为1．当t=2时，S△ACM（3）由题意和（2）知，（3，0），Q（3，t），N（，4﹣t），AB=4，AG=4﹣（4﹣t）=t，BG=4﹣t，可求AC=，当H在AC上方时，如图2，过点N作NG⊥AB，由四边形CQNH是菱形，可知：CQ=CN=t，此时，AN=﹣t，NG∥BC，∴，，解得：t=20﹣，当点H在AC下方时，如图3，由四边形CQNH是菱形，可知：CH=HN=CQ=t，∴HE=4﹣t﹣t=4﹣2t，EC=2﹣，在直角三角形CHE中，CE2+HE2=CH2，∴，解得t=或t=4（舍去），所以，以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形时，t=或t=20﹣8．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
【2015山东省实验中学一模】山东省实验中学2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题及答案
山东省实验中学2015届高三第一次模拟考试2015山东省实验中学一模 文科数学试题说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
试题答案请用2B 铅笔或0．5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第I 卷 （共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意）1．i 为虚数单位，若),||i z i z +=-=则A ．1BC D ．22．已知集合，则为A ．（-2，3）B ．C ．D ．3．命题：“若x 2<1，则-1<x<1”的逆否命题是 A ．若B ．若-1<x<1，则x 2<1C ．若x>1或x<-1，则x 1>1D ．若4．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．B ．C ．D ．5．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．30B ．40C ．24D ．726．已知x ，y 满足的最小值为A ．5B ．-5C ．6D ．-67．函数的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f （x ）的图象A ．关于点对称B ．关于直线对称C ．关于点对称D ．关于直线对称8．已知双曲线，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是9．已知的各项排列成如下的三角形状：10．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)=f(x 2)时总有x 1=x 2，则称f(x)为单函数．则 ①函数f （x ）=（x-1）3是单函数： ②函数是单函数③若f （x ）为单函数，④若函数f （x ）在定义域内某个区间D 上具有单调性，则f （x ）一定是单函数以上命题正确的是 A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．①③④第II 卷（非选择题，共1 00分）二、填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分） 11．已知a 、b ∈R +2a+b=2，则的最小值为 。
济南市2015年毕业、升学模拟数学试卷2015.6.1
济南市2015年初中毕业、升学数学考试模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1． －5的倒数是（ ）A ．－5B ．15C ．－15D ．52． 全球可被人类利用的淡水总量约占地球上总水量的0.00003．其中数字0.00003用科学记数法表示为（ ）A ．0.3³10－4B ．3³10－4C ．0.3³10－5D ．3³10－53． 计算23)(a 的结果是（ ） A ．5aB ．9aC ．6aD ．32a4． 右图是由4个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．5． 已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．15，15B ．15，14C ．16，14D ．16，156． 如果一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形7． 扇形的半径为30cm ，圆心角为120°，此扇形的弧长是（ ）A ．20πcmB ．10πcmC ．10 cmD ．20 cm8．已知一次函数y kx b =+,当02x ≤≤时,对应的函数值y 的取值范围是24y -≤≤,则k b ∙的值为（ ）A. 12B. －6C. －6或－12D. 6或129． 已知点A （1， y 1）、B（y 2）、C （2-，y 3）在函数212(1)2=+-y x 上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1 ＞y 2 ＞y 3 B ． y 2 ＞y 1 ＞y 3 C ．y 3 ＞y 1 ＞y 2 D ．y 1 ＞y 3 ＞y 210、设二次函数c bx x y ++=2，当1≤x 时，总有0≥y ，当31≤≤x 时，总有0≤y ，那么c 的取值范围是( ) A.3=c B.3≥c C.31≤≤c D.3≤c 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．16的平方根是 ．12．x 的取值范围是 ． 13．因式分解：x 3－4x ＝ .14．若一粒米的质量约是0.000012kg ，将数据0.000012用科学记数法表示为15．若关于x 的方程023222=+-++n n nx x 有两个实数根x 1、x 2，则n x x 521+⋅ 的最小值为 ． 16．如图，在⊙O 中,AB 是直径，CD 是弦，∠D ＝40°,则∠AOC ＝ 度．D（第16题）A E DF（第17题）CC ADB O（第14题）（第4题）17． 如图，□ABCD 中AD ＝2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ， 且AE ＝4，则AB 的长为 ．18．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 、DE ，将△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处．若AB ＝3，BE : EC ＝4 : 1，则线段DE 的长为 ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．）19．（本小题满分10分）计算（1）20150(1)32)-+-+； （2）()()22x y xy y y x -+--．20．（本小题满分8分）如图，函数y ＝2x 和y ＝32-x +4的图象相交于点A ，求点A 的坐标； 根据图象，直接写出不等式2x ≥32-x +4的解集．21．（本小题满分8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某校对部分学生及家长就校园安全知识的了解程度，进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参与调查的学生及家长共有 人；（2）在扇形统计图中，“基本了解”所对应的圆心角的度数是 度；在条形统计图中，“非常了解”所对应的学生人数是 人； （3）若全校有2050名学生，请你估计对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生共有多少人？22．（本题满分8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O． （1）平移△AOB ，使得点A 移动到点D ，画出平移后的三角形 （不写画法，保留画图痕迹）； （2）在第（1）题画好的图形中， 除了菱形ABCD 外，还有哪种特殊的平行四边形？请给予证明．ABCDO学生及家长对校园非常了基本 了解很少 了解 不了解5%学生及家长对校园安全知识了解程度某市教育系统举行“中国梦”演讲比赛，希望中学准备从甲、乙、丙三位教师和A 、B 两名学生中选取一位教师和一名学生参加比赛．（1）若随机选一位教师和一名学生，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果； （2）求恰好选中有教师甲和学生A 的概率．24．（本小题满分8分）如图，为了开发利用海洋资源，我勘测飞机测量钓鱼岛附属岛屿之一的北小岛（又称为鸟岛） 两侧端点A 、B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的北小岛上方点C 处测得端点A 的 俯角为30°，测得端点B 的俯角为45°，求北小岛两侧端点A 、B 的距离．25．（本小题满分8分）如图，一个边长为8cm 的△ABC 的高与⊙O 的直径相等，⊙O 与BC 相切于点B ， ⊙O 与AB 相交于点D ，求BD 的长．26．（本小题满分10分）甲、乙两专卖店某段时间内销售收入y (元)与天数x (天)的函数图象如图所示．在这期间乙专卖店停业装修一段时间，重新开业后，乙专卖店的日均销售收入是原来的2倍．请解决下列问题： （1）直接写出甲专卖店销售收入y (元)与天数x (天)之间的函数关系式 ； （2）求图中a 的值；（3）多少天后甲、乙两店的销售总收入刚好达到3万元？（第25题）y甲店乙店（第26MNCAB（第24题）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，动点P 从点D 出发，以每秒5个单位的速度向点B 匀速运动，同时动点Q 从点A 出发，以每秒4个单位的速度向点D 匀速运动，运动的时间为t 秒（0＜t ＜2）． （1）连接CQ ，当t 为何值时CQ ＝BC ；（2）连接AP ，BQ ，若BQ ⊥AP ，求△ABP 的面积； （3）求证PQ 的中点在△ABD 的一条中位线上．28．（本小题满分13分）如图1，△ABC 中，点A 、B 、C 三点的坐标分别为A (－1，，B (－3，0)，C (－1，0)；如图2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转∠α(0°＜α＜180°)得△DEC ，点A 和点D 对应，作EF ⊥x 轴， DG ⊥x 轴，垂足分别为F 点和G 点．（1）当∠α＝30°时，求D 、E 两点的坐标；（2）当∠α为何值时，△DEC 、△EFC 和△DCG 都相似；（3）在旋转过程中，若抛物线经过D 、E 、C 三点，请求出一条以y 轴为对称轴的抛物线的解析式．PQACBD（第27题）(第28题图1)(第28题图2)2015年济南市初中毕业、升学考试 数学模拟试题参考答案与评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．±4 12．x ≥3 13．(2)(2)x x x +-14．100° 15．316．41718．934三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19．（本小题满分10分）（1）解：原式＝－1+3＋1 ------------------------------------------------------------------ 3分＝3． -------------------------------------------------------------------------- 5分（2） 原式＝22222x xy y xy y xy -++-+ -------------------------------------- 8分 ＝22x y -． ------------------------------------------------------------ 10分 20．（本小题满分8分）解：（1）由题意，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==4322x y xy ， ------------------------------------------ 3分 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==323y x ， ------------------------------------------------------------4分 ∴ A 的坐标为（23，3）； ------------------------------------------------------ 5分 （2）由图象，得不等式的解集为：x ≥23． -------------------------------------- 8分 21．（本小题满分8分）解：（1）400； ----------------------------------------------------------------------------- 2分 （2）135；62 ------------------------------------------------------------------------- 6分（3）调查的学生的总人数是：62＋73＋54＋16＝205（人），对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生是62＋73＝135（人），则 全校有2050名学生中，达到“非常了 解”和“基本了解”的学生是： 2050³135205= 1350（人）． --------------------------------------------------- 8分 22．（本小题满分8分）解：（1）作图正确，写出结论（写出结论1分）． -------------------------------- 3分 （2）还有特殊的四边形是矩形OCED ． ---------------------------------------- 4分 理由如下：∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ，AO =OC ，BO =OD 由平移知：AO =CO ，BO =CE ∴OC =DE ，OD =CE∴四边形OCDE 是平行四边形 ---------------------------------------------------------- 6分 ∵AC ⊥BD ∴∠COD =90°★保密材料 阅卷使用∴□OCED是矩形． ----------------------------------------------------------------------- 8分23．（本小题满分10分）解：（1）用列表法或树状图表示所有可能结果如下：------------------------------------------------------------------------------------------ 6分（2）因为共有6种等可能的结果，选中教师甲和学生A的情况有1种， ------------------------------------------------------------------------------------------- 7分所以P（恰好选中有教师甲和学生A）＝16．------------------------------- 10分24．（本小题满分8分）解：过点C作CD⊥AB于点D，∵∠MCA=30°，∠NCB=45°，∴∠ACD=60°，∠BCD=45°， ---------- 1分∵CD=100米，∴AD=tan60°·CD=1003米，BD=CD=100米， ---------------------------- 5分∴AB=AD+BD=1003+100（米）． -------------------------------------------- 7分答：岛屿两侧端点A、B的距离为（1003+100）米． --------------------- 8分25．（本小题满分8分）解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，连接OB．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．------------------------------ 1分在Rt△ABF中，AB＝8，∠ABC＝60°，∴AF＝AB²sin60°＝8＝ --- 3分又∵△ABC的高与⊙O的直径相等，∴⊙O的直径为∴OB＝·································4分又∵⊙O与BC相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠OBA＝30°．过点O作OE⊥BD，垂足为E，∴BD＝2BE．------------------------------------- 5分在Rt△OBE中，OB＝OBA＝30°，∴BE＝OB²cos30°＝3， ------------------------------------------------- 7分∴BD＝6（cm）． ----------------------------------------------------------------------------- 8分26．（本小题满分10分）B C第25题F（第24题）MNCA BD解：（1）x y 600= ---------------------------------------------------------------------------- 2分 （2）当2x =时，100y =．∵ 乙专卖店重新开业后的日均销售收入是原来的2倍， ∴22010000284810000⨯=--a---------------------------------------------------------- 4分 解得30000=a ---------------------------------------------------------------------- 5分（3）乙店重新开业后，乙店的销售收入y 与天数x 的函数关系式为：180001000)28(100010000-=-+=x x y ． -------------------------------- 6分当0≤x ≤20时，30000500600=+x x ．解得11300=x ．舍去． ----- 7分 当2<x ≤28时，3000010000600=+x ．解得3100=x ．舍去． ----- 8分 当28<x ≤48时，30000180001000600=-+x x ．解得30=x ． ---- 9分 答：经过30天，甲、乙两店销售收入合在一起刚好达到3万元． ----- 10分27．（本小题满分13分）解：（1）∵AQ ＝4t ，AD ＝8，∴DQ ＝8－4t ． 又∵AB ＝6，∴由勾股定理得：CQ． ---------------- 1分∵CQ ＝BC 8，解得：t ＝2－2． ------------------------ 3分（2）过点P 作PE ⊥AD ，垂足为E ， ∴AB ∥PE ，∴△DEP ∽△DAB ，∴DB DPAB PE DA DE ==， ∴10568tPE DE ==， ∴DE ＝4t ，EP ＝3t ，∴AE ＝8－4t ． -------------------------------- 5分 又∵BQ ⊥AP ，AB ⊥AD ，∴∠ABQ +∠BAP ＝90°，∠EAP +∠BAP ＝90°， ∴∠ABQ ＝∠EAP ．∵∠BAQ ＝∠APE ，∴△BAQ ∽△AEP ． ------------------------------------------------------------------------- 6分 ∴PE AQ AE BA =，即ttt 34486=-， 解得：t ＝87． --------------------------------------------------------------------------------- 7分∴ AE ＝92，PQA CBD 第27题（1）P Q ACB D E第27题（2）∴ △ABP 的面积为12³6³92＝272． ------------------------------------------------- 8分（3）过点P 作PF ⊥AB ，垂足为F ，连接QF 、DF ，DF 交PQ 于O ． ∴AD ∥PE ，∴△PFB ∽△DAB ，∴PF BPAD DB=． ------------------------------- 9分 ∴105108tPF -=， ∴PF ＝8－4t ． ∴PF =DQ ，∴四边形QFPD 为平行四边形． ----- 11分∴点O 是PQ 和DF 的中点．过点O 作MN ∥AB 交AD 、BD 于M 、N 两点，则1DM ODAM OF==． ∴M 是AD 的中点，同理N 是BD 的中点，∴MN 是△ABD 的中位线，∴PQ 的中点O 在△ABD 的中位线MN 上． --------------------------------------- 13分 28．解：（1）D （－13）， ------------------------------------------------------- 1分E （－11）. ------------------------------------------------------ 2分（2）①如图2，当∠α＝30°时，△DEC 、△EFC 和△DCG 都相似.理由如下：∵A (－1，，B (－3，0)，C (－1，0) ∴BC ＝2，AC ＝ACB ＝90° ∴AB ＝4∴sin A ＝12---------------------------------------------------------------------- 3分 ∴∠A ＝30°，∠ABC ＝60°∴△DEC 中，∠EDC ＝30°，∠DEC ＝60°，∠ECD ＝90° ∵∠ECF ＝30°，∠ECD ＝90° ∴∠DCG ＝60° ∴∠CDG ＝30°∴在△DEC 、△EFC 和△DCG 中PQA CB DFONM 第27题（3）(第28题图1)(第28题图2)∠EDC ＝∠ECF ＝∠CDG ＝30° ∠ECD ＝∠EFC ＝∠CGD ＝90°∴△DEC ∽△CEF ∽△DCG . --------------------------------------------- 4分 同理可得以下三种情况：②如图3，当∠α＝60°时，△DEC ∽△ECF ∽△CDG ； ----------- 5分③如图4，当∠α＝120°时，△DEC ∽△ECF ∽△CDG ； ---------- 6分 ④如图5，当∠α＝150°时，△DEC ∽△CEF ∽△DCG . ---------- 7分（3）由（2）②可知，当∠α＝60°时，点 E 、D 关于y 轴对称， ---- 8分∴此时抛物线的对称轴为y 轴. ---------------------------------------- 9分 求得：E （－2、D （2---------------------------- 10分 设y ＝ax 2＋c ，代入C (－1，0) 、D （2，得0,4a c a c +=⎧⎪⎨+⎪⎩解得：a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩分 ∴ 抛物线的解析式为： y=x 2------------------------ 13分(第28题图3)(第28题图4)(第28题图5)。
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2015年实验集团初三数学质量检测 2015.4
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页．考试时间120分钟．
2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的地方．
3．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效．
4．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：（本大题共12个小题.每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.）
1、实数1，﹣1，﹣，0，四个数中，最小的数是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．-
2
1
2、如图，直线l 1∥l 2， ∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（ ） A ．55° B 。
60° C 。
65° D 。
70°
3、用4个小立方块搭成如图所示的几何体，该几何体的左视图是（ ）
4、截至2014年1月初，济南户籍总人口613.4万人，其中613.4万人用科学记数法表示为（ ）
A ．6.134×210人
B ．613.4×410人
C ．6.134×510人
D ．6.134×6
10人 5、下列计算正确的是（ ）
A. 6
3
2
a a a =∙ B. 2
2))((b a b a b a -=-+ C. ()
322
3
b a ab = D. 5a —2a=3
6、某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8,9,8,7,10.这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A ．8,8 B.8.4,8 C.8.4,8.4 D.8,8.4 7、已知点P （a －1，a ＋2）在平面直角坐标系的第二象限内，则a 的取值范围在数轴上可表示（阴影部分）为( )
8、对于反比例函数y = 1
x
，下列说法正确的是（
）
A ．图象经过点（1，-1）
B ．图象位于第二、四象限
C ．图象是中心对称图形
D ．当x
＜0时，y 随x 的增大而增大
9、化简
21
1m
m m m -÷- 的结果是（ ）
A ．m
B ．m 1
C ．1-m
D ．1
1
-m
C D 10题
10、如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB 的长度为（）
A．1 B．
C ．D．2
11、若关于x的一元二次方程(k－1) x 2＋2x－2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞
1
2
B．k≥
1
2
C．k＞
1
2
且k≠1D．k≥
1
2
且k≠1
12、某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每
天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务. 设原计划每天铺设管道x米，则可得方程
A.20
4000
10
4000
=
-
-x
x
B. 20
10
4000
4000
=
-
-
x
x
C.20
4000
10
4000
=
-
+x
x
D. 20
10
4000
4000
=
+
-
x
x
13、在平行四边形ABCD中，对角线AC=4，BD=6，P是线段BD上一动点，过P作EF//AC，与□ABCD的两边分别交于E、F．设BP=x，EF=y，则反映y与x之间关系的图象是（）
14.定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实
数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B.3 C.4 D.5
15.已知二次函数1
2
3
2+
-
-
=x
x
y，当自变量m
x=时，对应的函数值y大于0，那么设自变量分别3
-
m和3
+
m时，对应的函数值分别是
1
y和
2
y，则下列判断正确的是：( )
A.0
,0
2
1
<
<y
y B.0
,0
2
1
>
<y
y C. 0
,0
2
1
<
>y
y D. 0
,0
2
1
>
>y
y
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题纸横线上）
16、
函数y=x的取值范围是
17、分解因式：322
2
x x y xy
-+=______________________________
18、小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数约是_______.
19、如图，1
∠的正切值等于 .
20、如图4，在等边△ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为。
21题图
13题图
21、如图，等腰Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，顶点A 在反比例函数x
y 3
=
（0>x ）的图像上，连接OA ，则22OA OC -=
三.解答题：本大题共7个小题，共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分7分）
1
223sin 30--° （2）化简：)3()1)(1(---+a a a a
23.（本小题满分7分）
（1）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交
于点C .若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）；
（2）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E,F.
求证：四边形AECF 是平行四边形.
24. （本小题满分8分）某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔.毛笔单价是钢笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买的钢笔支数比毛笔多30支.钢笔、毛笔的单价分别是多少元？
25. （本小题满分8分）学校举办一项小制作评比活动．作品上交时限为3月1日至30日，组委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的作品件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2：3：4：6：4：1．第三组的件数是12． 请你回答：
（1）本次活动共有 件作品参赛；各组作品件数的众数是 件；
（2）经评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？ （3）小制作评比结束后，组委会决定从4件最优秀的作品A 、B 、C 、D 中选出两件进行全校展示，请用树状图
或列表法求出刚好展示作品B 、D 的概率．
26. （本小题满分8分）如图， 直线l ：3
64
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ．点P 从点N 出发，以每秒1个单位长度的速度沿N →O 方向运动，点Ｑ从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿O →M 的方向运动．已知点ＱP 、同时出发，当点Ｑ到达点M 时，ＱP 、两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）直接写出点M ，N 的坐标；
（2）当t 为何值时，Ｑ
P 与l 平行？ （3）设四边形．．．MNPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求S 的最大值．
27. （本小题满分8分）如图所示，（1）正方形ABCD 及等腰Rt △AEF 有公共顶点A,∠EAF=900
, 连接BE 、DF.将Rt △AEF 绕点A 旋转,在旋转过程中，BE 、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；
(2)将（1）中的正方形ABCD 变为矩形ABCD ，等腰Rt △AEF 变为Rt △AEF ，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；
(3)将（2）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且∠BAD=∠EAF=α，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段BE 、DF 的数量关系，用α表示出直线BE 、DF 形成的锐角β.
28. （本小题满分8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），
与x轴交于两点A，B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、
E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
x。