2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案(word精校解析版)
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⎪ 2013 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分.1．已知集合 M = {0,1, 2}， N = {x }，若 M N = {0,1, 2, 3} ，则 x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0⎧ 1, (x ≥ 1)f (x ) = x 2.设 ⎨ ⎪⎩2, (x < 1)，则 f (1) 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C. 球D.四棱柱4. 函数 y = 2 c os x , x ∈ R 的最小值是（）侧 侧侧侧 侧侧侧侧侧A ．-3B ．-1 C.1D ．35. 已知向量a = (1, 2), b = (x , 4) ，若a ∥ b ，则实数 x 的值为（）侧侧 3侧侧侧A. 8B. 2C ．-2D ．-8 6. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取 45 名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15, 5, 25B ．15,15,15C ．10, 5, 30D ．15,10, 207. 某袋中有 9 个大小相同的球，其中有 5 个红球，4 个白球，现从中任意取出 1 个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）A. 1 5B. 14C.49D.598. 已知点(x , y ) 在如图所示的平面区域（ 阴影部分）内运动，则 z = x + y 的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．59. 已知两点 P (4, 0), Q (0, 2) ，则以线段 PQ 为直径的圆的方程是（）y(1,2)(3,2)A ． (x + 2)2 + ( y +1)2 = 5(x - 2)2 + ( y -1)2 = 5B ． (x - 2)2 + ( y -1)2 oD ． (x + 2)2 + ( y +1)2 = 10C ．(1,0) x侧 侧 8侧侧侧10. 如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A ,B 到点C 的距离 AC = BC = 1 km ，且∠ACB = 1200 ，则 A , B 两点间的距离为（）B= 10A 1km C3 2 ) A.km B ． km C ．1.5 kmD ． 2 km二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分． 11．计算： log 2 1+ log 2 4 =.．12. 已知1, x ,9 成等比数列，则实数 x = ．13.经 过 点 A (0, 3) ， 且 与 直 线 y = -x + 2 垂 直 的 直 线 方 程是．14. 某程序框图如图所示， 若输入的 x 的值为 2 ， 则输出的 y 值为 .15.已知向量 a 与 b 的夹角为 ， a = 4.， 且 a b = 4 ， 则 b =（第 14 题图）三、解答题：本大题共 5 小题，满分 40 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 6 分）已知cos = 1,∈(0,) 2 2（1） 求tan 的值；（2） 求sin(+的值. 6开始 输入 xx > 0 ?否是输出结束y = xy = 2x -12某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了 100 位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注 a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求 a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有 1000 名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元？18．（本小题满分 8 分）侧 侧 17侧侧侧如图，在三棱锥 A - BCD 中， AB ⊥平面 BCD ， BC ⊥ BD ， BC = 3， BD = 4 ，直线AD 与平面 BCD 所成的角为450 ，点 E , F 分别是 AC , AD 的中点.（1） 求证： EF ∥平面 BCD ； A（2） 求三棱锥 A - BCD 的体积.DC侧侧 18侧侧侧FEB已知数列{a n}满足： a3=-13 ，a n=a n-1+ 4 (n >1, n ∈N ) .（1）求a1 , a2 及通项a n ；（2）设S n是数列{a n}的前n项和S n，则数列S1，S2，S3，…中哪一项最小？并求出这个最小值.20．（本小题满分10 分）已知函数 f (x) = 2x+⋅ 2-x(∈R)（1）当=-1 时，求函数f (x) 的零点；（2）若函数f (x) 为偶函数，求实数的值;（3）若不等式1≤ f (x) ≤4 在x ∈[0,1] 上恒成立，求实数的取值范围. 22 2 ⎩2013 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCABDCDCA二、填空题 11、 2； 12、 ±3 ； 13、 x - y + 3 = 0 ；14、 ； 15 、 4三、解答题：16、（1） ∈(0, ),∴cos > 0 ，从而cos = 21 - sin 2= 2 （2） s in 2+ c os 2= 2sincos + 1 - 2sin 2 =3 + 1 217、（1）高一有：200⨯1200 = 120 （人）；高二有200 -120 = 80 （人） 2000（2） 频率为0.015 ⨯10 + 0.03⨯10 + 0.025 ⨯10 + 0.005 ⨯10 = 0.75∴人数为0.75 ⨯ 2000 = 1500 （人）⎧f (0) = b = 6 18、（1）⇒ ⎧a = -2⇒ f (x ) = x 2 - 2x + 6 ⎨ f (1) = a + b + 1 = 5 ⎨ = 6 ⎩ ⎩b（2） f (x ) = x 2 - 2x + 6 = (x -1)2 + 5, x ∈[-2, 2]∴ x = 1时， f (x ) 的最小值为 5， x = -2 时， f (x ) 的最大值为 14.19、(1) a 1 = 2, a n = 2a n -1 ,∴a 2 = 4, a 3 = 8a n= 2(n ≥ 2, n ∈ N *) ，∴{a } 为首项为 2，公比为 2 的等比数列，∴a = 2 ⋅ 2n -1 = 2n a n -1(2) b n= log 2 a n n= log 2n= n ，∴ S n= 1 + 2 + 3 + + n = n (n + 1)220、（1） C : (x + 1)2 + ( y - 2)2 = 5 - k ，∴C (-1, 2) （2）由5 - k > 0 ⇒ k < 5⎧x - 2 y + 4 = 0 （3）由⎨(x + 1)2 + ( y - 2)2= 5 - k ⇒ 5 y 2 -16 y + 8 + k = 0 3n设M (x , y ), N (x , y ), 则 y +y =16, y y =8 +k，∆= 162 - 20(8 +k ) > 0 ⇒k <241 12 2 1 2 5 1 2 5 54k -16x1 =2 y1- 4, x2= 2 y2- 4,∴x1x2= (2 y1- 4)(2 y2- 4) = 4[ y1y2- 2( y1+y2) + 4] =5OM ⊥ON ,∴x x +y y = 0, 即 4k -16+8 +k= 0 ⇒k =8(满足k <24)1 2 1 2 5 5 5 52014 年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页时量120 分钟，满分100 分.一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，满分40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A.圆柱B.圆锥C.圆台D.球2.已知元素a ∈{0,1, 2, 3}，且a ∉{0,1, 2}，则a 的值为A.0B.1C.2D.33.在区间[0, 5] 内任取一个实数，则此数大于3 的概率为A.1 5 B.25C.3 5 D.454.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是A.2B.3C.4D.5ABC5.在△中，若AB ⋅AC = 0 ，则△ABC 的形状是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形6.sin120 的值为A.22 B.-1 C.32D.-227.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，异面直线BD 与A1C1的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直8.不等式(x +1)(x - 2) ≤ 0 的解集为A.{x | -1 ≤x ≤ 2}B. {x | -1 <x < 2}C. {x | x ≤-1或x ≥ 2}D. {x | x <-1或x > 2}= ,9. 点 P (m ,1) 不在不等式 x + y - 2 < 0 表示的平面区域内，则实数 m 的取值范围是A. m < 1B. m ≤ 1C. m ≥ 1D. m > 110. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分. 11. 样本数据-2, 0, 6, 3, 6 的众数是.12. 在∆ABC 中, 角 A 、 B 、C 所对应的边分别为 a 、b 、c ，已知 a = 1, b = 2, sin A = 1，则3 sin B ＝.13. 已知a 是函数 f ( x ) = 2 - log 2 x 的零点, 则实数 a 的值为 .14. 已知函数 y = sin x (> 0) 在一个周期内的图像如图所示，则的值为.15. 如图 1，矩形 ABCD 中， AB = 2BC , E , F 分别是 AB , CD 的中点，现在沿 EF 把这个矩形折成一个二面角 A - EF - C （如图 2）则在图 2 中直线 AF与平面 EBCF 所成的角为 .三、解答题：本大题共 5 小题，满分 40 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分 6 分）⎧x , ⎪ 已知函数 f (x ) ⎨ 4 ⎪⎩ xx ∈[0, 2], x ∈(2, 4].（1）画出函数f (x) 的大致图像；（2）写出函数f (x) 的最大值和单调递减区间.17.（本小题满分8 分）某班有学生50 人，期中男同学300 人，用分层抽样的方法从该班抽取5 人去参加某社区服务活动.（1）求从该班男、女同学中各抽取的人数；（2）从抽取的5 名同学中任选2 名谈此活动的感受，求选出的2 名同学中恰有1 名男同学的概率.18.（本小题满分8 分）已知等比数列{a n }的公比q = 2 ，且a2 , a3 +1, a4 成等差数列.（1）求a1及a n ；（2）设b n =a n +n ，求数列{b n }的前5 项和S5 .19.（本小题满分8 分）已知向量 a = (1, sin), b = (2,1).（1）当=时，求向量2a +b 的坐标；6（2）若a ∥b，且∈(0, ) ，求sin(+2) 的值. 420.（本小题满分10 分）已知圆C : x2+y2+ 2x - 3 = 0 .（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) 两点，求证：1 +1 为定值；x 1 x 2（3）斜率为1 的直线m 与圆C 相交于D, E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大.n ⎩2014 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题 4 分，满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C D B BACDACA二 、填空题（每小题 4 分，满分 20 分） 11.6 12. 23 13.4 14.2 15. 45 （或）4三 、解答题（满分 40 分）16. 解：(1)函数 f (x ) 的大致图象如图所示; ............................................ 2 分 (2)由函数 f ( x ) 的图象得出,f ( x ) 的最大值为 2, ........................ 4 分 其单调递减区间为[2, 4] ........... 6 分17. 解: (1) 30 ⨯ 5 = 3 (人), 50 20⨯ 5 = 2 (人),50所以从男同学中抽取 3 人, 女同学中抽取 2 人; ......................................................... 4 分 (2)过程略.P ( A ) = 3 ........................................................................................................................8 分518. 解 : (1) a = 2n -1; ....................................................................................................... 4 分(2) S 5 = 46 ...................................................................................................................... 8 分19. 解: (1) (4, 2) ; ........................................................................................................... 4 分(2)2 + 6 .....................................................................................................................8 分420. 解: (1)配方得( x + 1)2+ y 2 = 4 , 则圆心 C 的坐标为(-1, 0) , .............................. 2 分 圆的半径长为2 ; ............................................................................................................ 4 分(2) 设直线l 的方程为 y = kx ,⎧x 2 + y 2 + 2x - 3 = 0 联立方程组⎨ y = kx ,b - 1 2b - 1 2 2 4 - d 2 2 b - 1 2 2 消去 y 得(1 + k 2 ) x 2 + 2x - 3 = 0 , .................................................................................... 5 分⎧x + x = - 2则有: ⎪ 1 2 ⎨ 1 + k 2 3 ………………………………………………6 分 ⎪x x⎪⎩ 1 2 = - 1 + k 2 所 以 1 + 1 = x 1 + x 2 = 2为 定值 .............................................................................. 7 分x 1 x 2 x 1 x 2 3(3) 解法一 设直线 m 的方程为 y = kx + b , 则圆心 C 到直线 m 的距离d =, 所以 DE = 2= 2(4 - d 2 ) + d 2, ....................................................... 8 分S ∆CDE =DE ⋅ d = ⋅ d ≤ = 2 ,2当且仅当 d = ,即 d = 时, ∆CDE 的面积最大, ......................................... 9 分从而 = , 解之得b = 3 或b = -1 ,故所求直线方程为 x - y + 3 = 0 或 x - y - 1 = 0 ........................................................ 10 分解法二 由(1)知 CD = CE = R = 2 ,所以 S ∆CDE =CD ⋅ CE ⋅ sin ∠DCE = 2sin ∠DCE ≤ 2 ,当且仅当CD ⊥ CE 时, ∆CDE 的面积最大, 此时 DE = 2 , .......................................................................................... 8 分设直线 m 的方程为 y = x + b则圆心 C 到直线 m 的距离 d =, .......................................................................... 9 分由 DE = 2 = 2 = 2 , 得 d = ,由 = ,得b = 3 或b = -1 ,故所求直线方程为 x - y + 3 = 0 或 x - y - 1 = 0 ........................................................ 10 分R 2 - d 24 - d 2124 - d 2 4 - d 2 2 122 b - 1 2R 2 - d 2 2b b a2015 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量 120 分钟，满分 100 分 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖南卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南文科数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖南,文1)已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i 答案:D解析:由已知得z=(1-i)2=-2i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i=-1-i.2.(2015湖南,文2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰好是第2,3,4,5组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.3.(2015湖南,文3)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:由x>1能推得x3>1,充分性成立.由x3>1得(x-1)(x2+x+1)>0,∵x2+x+1>0恒成立,∴x>1,∴“x>1”是“x3>1”的充要条件.故选C.4.(2015湖南,文4)若变量x,y满足约束条件x+y≥1,y-x≤1,x≤1,则z=2x-y的最小值为()A.-1B.0C.1D.2答案:A解析:画出满足约束条件的平面区域如图.作直线y=2x,平移直线y=2x,当x=0,y=1,即直线过点A(0,1)时,z取得最小值,此时z min=2×0-1=-1.故选A.5.(2015湖南,文5)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.67B.37C.89D.49答案:B解析:由题意得,输出的S 为数列1(2n -1)(2n +1)的前3项和,而1(2n -1)(2n +1)=112n -1-1,即S n =1 1-1=n .故当输入n=3时,S=S 3=3,故选B . 6.(2015湖南,文6)若双曲线x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A. 73B.54C.43D.53答案:D解析:∵双曲线的渐近线方程为y=±b ax ,且过点(3,-4),∴-4=-b ×3,∴b a =43.∴离心率e= 1+ b 2= 1+ 4 =5,故选D .7.(2015湖南,文7)若实数a ,b 满足1a +2b=ab ,则ab 的最小值为( ) A. B.2C.2D.4答案:C解析:由已知1+2= ab ,可知a ,b 同号,且均大于0.由 =1a +2b ≥2 2ab,得ab ≥2 2.即当且仅当1=2,即b=2a 时等号成立,故选C .8.(2015湖南,文8)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 答案:A解析:要使函数有意义,应满足 1+x >0,1-x >0,解得-1<x<1,即函数f (x )定义域为(-1,1),关于原点对称.此时f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又f (x )=ln 1+x 1-x=ln 21-x-1 ,由复合函数的单调性可知f (x )在(0,1)上是增函数.故选A .9.(2015湖南,文9)已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC ,若点P 的坐标为(2,0),则|PA +PB +PC|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:B解析:设坐标原点为O ,则PA +PB +PC =PO +OA +PO +OB +PO +OC =3PO +OB +(OA +OC ),由于AB ⊥BC ,所以AC 是圆的直径,因此OA +OC =0,于是|PA +PB +PC |=|3PO +OB |= (3PO +OB )2= 9|PO |2+6PO ·OB +|OB |2= 9×22+12-6OP ·OB= 37-6|OP ||OB |cos ∠POB= 37-12cos ∠POB ,故当∠POB=π时,cos ∠POB 取最小值-1,此时|PA +PB +PC |取最大值7.10.(2015湖南,文10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积()A.89πB.8 27πC.24(2-1)3D.8(2-1)3答案:A解析:由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h=l2-r2=32-12=22.故该圆锥的体积V=πr2h=π×12×22=22π.由题意可知,加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体ABCD-EFGH的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方体的棱长为x.在轴截面SMN中,由O1G∥ON可得,O1G=SO1,即22x=22-x22,x=22.所以正方体的体积为V1=2233=16227.所以该工件的利用率为V1=1622722π3=8.故选A.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015湖南,文11)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)=.答案:{1,2,3}解析:∁U B={2},A∪(∁U B)={1,2,3}.12.(2015湖南,文12)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为.答案:x2+y2-2y=0解析:∵ρ=2sin θ,且ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,∴ρ2=2ρsin θ,∴x2+y2=2y.∴曲线C的直线坐标方程为x2+y2-2y=0.13.(2015湖南,文13)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.答案:2解析:如图所示,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|=3+(-4)=1,故圆的半径r=1cos60°=2.14.(2015湖南,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是. 答案:(0,2)解析:函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=2x-2,x≥1,2-2x,x<1的图象与直线y=b的交点个数.如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当0<a<2时,直线y=a与y=g(x)有两个交点.所以a 的取值范围为(0,2).15.(2015湖南,文15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案:π解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.则Aπ4ω,2,B-3π4ω,-2,由|AB|=23,得πω+(22)2=23,解得πω=2,即ω=π2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015湖南,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为4=1,不中奖的概率为1-1=2>1.故这种说法不正确.17.(本小题满分12分)(2015湖南,文17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A.(1)证明:sin B=cos A;(2)若sin C-sin A cos B=3,且B为钝角,求A,B,C.解:(1)由a=b tan A及正弦定理,得sin A=a=sin A,所以sin B=cos A.(2)因为sin C-sin A cos B=sin[180°-(A+B)]-sin A cos B=sin(A+B)-sin A cos B=sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B=cos A sin B,所以cos A sin B=3.由(1)sin B=cos A,因此sin2B=3.又B为钝角,所以sin B=32,故B=120°.由cos A=sin B=3知A=30°.从而C=180°-(A+B)=30°.综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.18.(本小题满分12分)(2015湖南,文18)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,CC 1的中点.(1)证明:平面AEF ⊥平面B 1BCC 1;(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°,求三棱锥F-AEC 的体积. 解:(1)证明:如图,因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点,所以AE ⊥BC. 因此,AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ,所以,平面AEF ⊥平面B 1BCC 1. (2)设AB 的中点为D ,连结A 1D ,CD. 因为△ABC 是正三角形,所以CD ⊥AB.又三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1,于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角.由题设,∠CA 1D=45°,所以A 1D=CD= 3AB= 3.在Rt △AA 1D 中,AA 1= A 1D 2-AD 2= 3-1= 2,所以FC=1AA 1=2.故三棱锥F-AEC 的体积V=1S △AEC ·FC=1×3×2=6.19.(本小题满分13分)(2015湖南,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n+2=3S n -S n+1+3,n ∈N *. (1)证明:a n+2=3a n ; (2)求S n .解:(1)由条件,对任意n ∈N *,有a n+2=3S n -S n+1+3,因而对任意n ∈N *,n ≥2,有a n+1=3S n-1-S n +3.两式相减,得a n+2-a n+1=3a n -a n+1,即a n+2=3a n ,n ≥2. 又a 1=1,a 2=2,所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1, 故对一切n ∈N *,a n+2=3a n .(2)由(1)知,a n ≠0,所以an +2n=3,于是数列{a 2n-1}是首项a 1=1,公比为3的等比数列;数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列.因此a 2n-1=3n-1,a 2n =2×3n-1.于是S 2n =a 1+a 2+…+a 2n =(a 1+a 3+…+a 2n-1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=3(3n -1), 从而S 2n-1=S 2n -a 2n =3(3n -1)-2×3n-1=3(5×3n-2-1). 综上所述,S n = 32(5×3n -22-1),当n 是奇数,3(3n2-1),当n 是偶数. 20.(本小题满分13分)(2015湖南,文20)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 22+x 2b2=1(a>b>0)的一个焦点.C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC 与BD同向. (1)求C 2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率.解:(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1. ① 又C 1与C 2的公共弦的长为2 6,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为 ± 6,32,所以94a 2+6b2=1.②联立①,②得a 2=9,b 2=8,故C 2的方程为y 2+x 2=1. (2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).因AC 与BD 同向,且|AC|=|BD|,所以AC =BD ,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4,③ 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y=kx+1. 由 y =kx +1,x 2=4y ,得x 2-4kx-4=0,而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4. ④由 y =kx +1,x 2+y 2=1得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0,而x 3,x 4是这个方程的两根, 所以x 3+x 4=-16k9+8k2,x 3x 4=-649+8k2.⑤将④,⑤代入③,得16(k 2+1)=162k2(9+8k 2)2+4×649×8k2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2,所以(9+8k 2)2=16×9,解得k=± 6,即直线l 的斜率为± 64.21.(本小题满分13分)(2015湖南,文21)已知a>0,函数f (x )=a e x cos x (x ∈[0,+∞)).记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点.(1)证明:数列{f (x n )}是等比数列;(2)若对一切n ∈N *,x n ≤|f (x n )|恒成立,求a 的取值范围. 解:(1)f'(x )=a e x cos x-a e x sin x= 2a e x cos x +π4.令f'(x )=0,由x ≥0,得x+π=m π-π, 即x=m π-3π,m ∈N *.而对于cos x +π4 ,当k ∈Z 时,若2k π-π2<x+π4<2k π+π2,即2k π-3π4<x<2k π+π4,则cos x +π4>0;若2k π+π2<x+π4<2k π+3π2,即2k π+π4<x<2k π+5π4,则cos x +π4<0.因此,在区间 (m -1)π,mπ-3π 与 mπ-3π,mπ+π 上,f'(x )的符号总相反,于是当x=m π-3π(m ∈N *)时,f (x )取得极值,所以x n =n π-3π(n ∈N *).此时,f (x n )=a e nπ-34πcos nπ-3π =(-1)n+1 2a e nπ-34π.易知f (x n )≠0,而f (x n +1)n )=(-1)n +2 2a 2e (n +1)π-34π(-1)n +1 22a enπ-34π=-e π是常数,故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)=2a e π4,公比为-e π的等比数列.(2)对一切n ∈N *,x n ≤|f (x n )|恒成立,即n π-3π4≤2a 2enπ-34π恒成立,亦即2a≤enπ-34πnπ-3π4恒成立(因为a>0).设g (t )=e t (t>0),则g'(t )=e t (t -1)t 2.令g'(t )=0得t=1.当0<t<1时,g'(t )<0,所以g (t )在区间(0,1)上单调递减.当t>1时,g'(t )>0,所以g (t )在区间(1,+∞)上单调递增.因为x 1∈(0,1),且当n ≥2时,x n ∈(1,+∞),x n <x n+1,所以[g (x n )]min =min{g (x 1),g (x 2)}=min g π ,g 5π =g π =4e π4,因此,x n ≤{f (x n )}恒成立,当且仅当 2≤4e π4.解得a ≥2πe -π4,故a 的取值范围是2πe -π4,+∞ .。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (理科)解析版
2015年高考湖南卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运 算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数 的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.2.设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C.【考点定位】1.集合的关系；2.充分必要条件.【名师点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件，属于容易题，高考强调集合作为工具与其他知 识点的结合，解题的关键是利用韦恩图或者数轴求解，充分，必要条件的判断性问题首要分清条件 和结论，然后找出条件和结论之间的推出或包含关系.3.执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( )A.67 B.37 C.89 D.49【答案】B.【考点定位】1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题， 解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图 问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规 律，若循环次数较少可以全部列出.4.若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当2-=x ，1=y 时，min 3(2)17z =⨯--=-的最小值是7-，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.5.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A .奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 【答案】A.【考点定位】函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的 判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函 数单调性的判断，即可求解.6.已知5x x 的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）33- D .-6【答案】D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386B.2718C.3413D.4772 附：若2(,)XN μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P【答案】C.【考点定位】1.正态分布；2.几何概型.【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结 合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知 识点的基本概念.8.已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则P A P B P C ++的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中 档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的 最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.9.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以 )sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三 角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）A.89πB.169πC.34(21)πD.321)π【答案】A.【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.20(1) x dx⎰-= .【答案】0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .【答案】4.【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.【名师点睛】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方面的理解与记忆.13.设F是双曲线C：22221x ya b-=的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 . 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行 等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b a c +=，焦点坐标，渐近线方程等性质， 也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = . 【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列 基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.15.已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（Ⅰ）如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）180MEN NOM ∠+∠=； （2）FE FN FM FO ⋅=⋅【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.【名师点睛】本题主要考查了圆的基本性质等知识点，属于容易题，平面几何中圆的有关问题是高考考查 的热点，解题时要充分利用圆的性质和切割线定理，相似三角形，勾股定理等其他平面几何知识点的交汇.（Ⅱ）已知直线35:132x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M 的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值. 【答案】（1）0222=-+x y x ；（2）18.的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1821==⋅|t |t |MB||MA|. 【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易 题，在方程的转化时，只要利用θρcos =x ，θρsin =y 进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程， 实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极 坐标与参数方程中同样适用.（Ⅲ）设0,0a b >>，且11a b a b+=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.【名师点睛】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子 作等价变形，再利用基本不等式即可求解，第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明， 否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）9]8. 【解析】【考点定位】1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）107；（2）详见解析.【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一 直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计 的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以 关注.19.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.【答案】（1）详见解析；（2）24.【考点定位】1.空间向量的运用；2.线面垂直的性质；3.空间几何体体积计算. 【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的性质以及空间几何体体积计算，属于中档题，由于空间向量工具的引入，使得立体几何问题除了常规的几何法之外，还可以考虑利用向量工具来解决，因此有关立体几何的问题，可以建立空间直角坐标系，借助于向量知识来解决，在立体几何的线面关系中，中点是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线而线线平行是平行关系的根本，在垂直关系的证明中线线垂直是核心，也可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直.20.已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为（1）求2C 的方程； （2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形【答案】（1）22198y x+=；（2）（i）6±，（ii）详见解析.【考点定位】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此 类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，222c b a +=等；（2）当看到题目中出现 直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条 件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整 体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.21.已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点，证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列（2）若21a e ≥-，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。
2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理科）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i zi +=-1)1(2(i 是虚数单位)，则复数z=A. i +1B. i -1C. i +-1D. i --12. 设A 、B 是两个集合，则“A B A = ”是“B A ⊆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的3=n ，则输出的S ＝A.76 B. 73C. 98D. 944. 若变量x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则yx z -=3的最小值为A. 7-B. 1-C. 1D. 2 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是A. 奇函数，且在)1,0(是增函数B. 奇函数，且在)1,0(是减函数C. 偶函数，且在)1,0(是增函数D. 偶函数，且在)1,0(是减函数 6. 已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=aA. 3B. 3-C. 6D. 6- 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为A. 2386B. 2718C. 3413D. 4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P.8. 已知点A, B, C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ . 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9 9. 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕA. 125πB. 3πC.4π D. 6π 10. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=） A. π98 B. π916C.π2124）－（ D.π21212）－（二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.⎰=-20)1(dx x __________.12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________.13. 设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.14.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________.15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.,,,)(23a x x a x x x f 若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________.俯视图侧视图正视图三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题纸中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分. Ⅰ.（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（i ） 180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅. Ⅱ.（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值. Ⅲ.（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： （i ） 2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.F17. (本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角. (Ⅰ) 证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖. 每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球. 在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (Ⅰ) 求顾客抽奖1次能获奖的概率； (Ⅱ) 若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分13分)如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上. (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1； (Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积.BDQ20. (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62. (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且与同向.（i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax ，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点. 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立.2015年高考湖南卷理科数学参考答案一、选择题D C B A A D C B D A 二、填空题 11. 0 12. 4 13.5 14. 13-n 15. ),1()0,(∞+-∞三、解答题 16. Ⅰ. 证明：(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即90=∠=∠ONE OME ，因此 180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于 360，故 180=∠+∠NOM MEN .(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅.Ⅱ.解： (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=，将222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x .(ii ) 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入0222=-+x y x 得018352=++t t .设这个方程的 两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t tⅢ.证明： 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab （i ）由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a .(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 可同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理 10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.17. 解：（Ⅰ）由A b a ta n =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π. 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B .(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A . 于是)22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(s i n2s i n 21s i n 22+--=-+=A A AF因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A .由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(.18. 解：（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}.由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥，且 211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=. 又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ，所以 512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ， )()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P , 故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P .(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ，于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KK KX 的数学期望为553)(=⨯=X E . 19. 解法一： （Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,, 因为1AA ,1DD是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //，于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面. 由题设知 AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以⊥BC 平面11A ABB , ⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥.因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠,所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BABABR , 于是 1ABBR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC ,显然有⊂PQ 平面BRPC , 故 PQ AB ⊥1.DB(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ， 因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ，过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，PNM ∠是二面角A QD P --的平面角. 所以 73cos =∠PNM ，即 73=PN MN ，从而340=MN PM . 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知，平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6. 设MD ＝t ，则.366222ttMD MQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形，所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE . 于是21==DEED MD PM , 所以t MD PM 22==，从而t t t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM . 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D , )0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m .(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m PQ ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅, 所以AB ⊥1，即PQ AB ⊥1.(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n 即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=. 又平面AQD 的一个法向量是BD)1,0,0(2=n ，所以45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ，而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q . 再设)10(1≤<=λλDD ，而)6,3,0(1-=DD ，由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=. 因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn ，32=λ，从而)4,4,0(P .于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .20. 解：(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为（0，1），因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2） 联立（1）（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y . (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D .(i )因AC 与同向，且 ||||BD AC =，所以 =，从而 2413x x x x -=-，即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+. （3） 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916kx x k k x x +-=+-=+ （5）将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±. (ii )由 y x 42=得 2'xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1x M ，所以)1,2(1-=x ，而)14,(211-=x x ，于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ，因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠ 180是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. 解：(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<. 令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ.对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f . 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反，于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ. 此时，)(1)()1()sin()(ϕπϕπϕπ-+--=-=n a n n a n e n e x f ，易知0)(≠n x f ，且πϕπϕπa n a n n a n n n e ee xf x f -=--=-+-+++)(1])1[(21)1()1()()(是常数，故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a e x f ，公比为πa e -的等比数列.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立，即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a>0）. 设)0()(>=t t e t g t ，则0)1()('2=-=t t e t g t 得1=t ，当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增.从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(. 因此，要使（*）式恒成立，只需e g a a =<+)1(12，即只需112->e a . 而当112-=e a 时，由311t a n 2>-==e a ϕ且由20πϕ<<知，23πϕπ<<. 于是1322-<<-e πϕπ，第11页 共11页且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ，因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立. 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立.。
2015年高考文科数学湖南卷(含详细答案)
20.（本小题满分13分）
已知抛物线C:x24y的焦点F也是椭圆C:
12
y2x2
a2b21(ab0)的一个焦点,C1
无
--------------------量x,y满足约束条件yx≤1,则z2xy的最小值为()
A.1B.0C.1D.2
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
9.已知点A,B,C在圆x2y21上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则
|PAPBPC|的最大值为()
121212
各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果;
（Ⅱ）有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认
为正确吗?请说明理由.
效
数学试卷第1页（共36页）
数学试卷第2页（共36页）
数学试卷第3页（共36页）
17.（本小题满分12分）
C的极坐标方程为2sin,则曲线C的直角坐标方程为.
13.若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)相交于A,B两点,且AOB120(O为
坐标原点),则r.
14.若函数f(x)|2x2|b有两个零点,则实数b的取值范围是.
15.已知0,在函数y2sinx与y2cosx的图象的交点中,距离最短的两个交点的
A.6B.7C.8D.9
10.某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新
工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为
A.8
9π
B.8
27π
24(21)3
C.
π
D.8(21)3
2015湖南(理)高考数学精校解析版
2015·湖南卷(理数)1．L4[2015·湖南卷] 已知（1－i ）2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i1．D [解析] 由题得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i＝－i(1－i)＝－1－i ，故选D.2．A2[2015·湖南卷] 设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．C [解析] 由集合的运算知，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，故选C. 3．L1、D4[2015·湖南卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )图1-1A.67B.37C.89D.493．B [解析] 第一次循环后S ＝11×3＝13，i ＝2；第二次循环后S ＝11×3＋13×5＝12×1－13＋13－15＝25，i ＝3；第三次循环后S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12×1－13＋13－15＋15－17＝37，此时i ＝4>3，退出循环，输出结果S ＝37.故选B.4．E5[2015·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－7B ．－1C ．1D ．2 4．A [解析] 画出可行域，平移直线y ＝3x －z ，在直线x ＋y ＝－1与y ＝1的交点A (－2，1)处z 取最小值，故z min ＝3×(－2)－1＝－7.5．B3、B4、B7[2015·湖南卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数 5．A [解析] 由已知可得，f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln 21－x －1，y ＝21－x－1在(0，1)上为增函数，故y ＝f (x )在(0，1)上为增函数．又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故y ＝f (x )为奇函数． 6．J3[2015·湖南卷] 已知x －a x5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－ 3C ．6D ．－66．D [解析] 由二项展开式的通项公式得T r ＋1＝C r 5(x )5－r －a x r ＝(－a )r C r 5x 5－r 2－r 2＝(－a )r C r 5x 52－r ，令52－r ＝32，得r ＝1，所以－a C 15＝30，解得a ＝－6.7．I3、K3[2015·湖南卷] 在如图1-2所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )图1-2A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若X ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.7．C [解析] 设X 服从标准正态分布N (0，1)，则P (0<X ≤1)＝12P (－1<X ≤1)＝0.341 3，故所投点落入阴影部分的概率P ＝S 阴S 正方形＝0.341 31＝n10 000，得n ＝3413.8．F4、F2[2015·湖南卷] 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．B [解析] 方法一：因为A ，B ，C 均在单位圆上，A ，C 为直径的端点，所以P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|.又|PB →|≤|PO →|＋1＝3，所以|P A →＋PB →＋PC →|≤4＋3＝7，故选B.方法二：因为A ，B ，C 均在单位圆上，A ，C 为直径的端点，所以可令A (cos x ，sin x )，B (cos(x ＋α)，sin(x ＋α))，C (－cos x ，－sin x )，0<α<π，则P A →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6，sin(x ＋α))，|P A →＋PB →＋PC →|＝[cos （x ＋α）－6]2＋sin 2（x ＋α）＝37－12cos （x ＋α）≤7. 9．C4、C9[2015·湖南卷] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π69．D [解析] 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.10．G2、G7、B12、K3[2015·湖南卷] 某工件的三视图如图1-3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )图1-3A.89πB.169πC.4（2－1）3πD.12（2－1）3π10．A [解析] 方法一：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此正四棱柱的底面对角线为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，x 1＝2－h2，∴h ＝2－2x ，x ∈(0，1)，其体积V 长＝(2x )2h ＝2x 2(2－2x )≤2x ＋x ＋2－2x 33＝1627当且仅当x ＝23时取等号，V圆锥＝13π×12×2＝23π，得利用率为162723π＝89π. 方法二：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此正四棱柱的底面对角线为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，x 1＝2－h2，∴h ＝2－2x ，x ∈(0，1)，其体积V 长＝(2x )2h ＝2x 2(2－2x )＝－4x 3＋4x 2，令V 长′＝－12x 2＋8x ＝0，得当x ＝23时，V 长取最大值1627.又V 圆锥＝13π×12×2＝23π，得利用率为162723π＝89π，故选A.11．B13[2015·湖南卷] ⎠⎛02(x －1)d x ＝________．11．0 [解析] ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎪⎪12x 2－x 20＝12×4－2＝0.12．I1、I2[2015·湖南卷] 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图1-4所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．图1-412．4 [解析] 将运动员按成绩由好到差分为7组，则第一组(130，130，133，134，135)，第二组(136，136，138，138，138)，第三组(139，141，141，141，142)，第四组(142，142，143，143，144)，第五组(144，145，145，145，146)，第六组(146，147，148，150，151)，第七组(152，152，153，153，153)，故成绩在[139，151]内恰有4组，故有4人．13．H5[2015·湖南卷] 设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．13.5 [解析] 由已知，令F (－c ，0)，虚轴的一个端点B (0，b )，B 恰为线段PF 的中点，故P (c ，2b )．又P 在双曲线上，代人双曲线方程得c 2a 2－4b 2b 2＝1，即e ＝ca＝ 5.14．D2、D3[2015·湖南卷] 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．14．3n －1 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q .由3S 1，2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，所以3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.15．B9[2015·湖南卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．15．(－∞，0)∪(1，＋∞) [解析] 令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝b 有两个交点．结合图像，当a <0时，存在实数b 使h (x )＝x 2(x >a )的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ(a )>h (a )，即a 3>a 2，解得a >1.综上得a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)． 16．[2015·湖南卷] N1(1)选修4-1：几何证明选讲 如图1-5，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F .证明：(i)∠MEN ＋∠NOM ＝180°； (ii)FE ·FN ＝FM ·FO .图1-5N3(2)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(i)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(ii)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． N4、M2(3)选修4-5：不等式选讲设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(i)a ＋b ≥2；(ii)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 16．(1)证明：(i)如图所示，因为M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，所以OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，即∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ENO ＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(ii)由(i)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO . (2)解：(i)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(ii)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.(3)证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(i)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，即a ＋b ≥2. (ii)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1.从而ab <1，这与ab ＝1矛盾，故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．17．C8[2015·湖南卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．17．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sinπ2－2A ＝ sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝ －2sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2sin A －142＋98≤98. 由此可知，sin A ＋sin C 的取值范围是22，98. 18．J2、K2、K6、K4[2015·湖南卷] 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．18．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×1－12＋1－25×12＝12. 故所求概率P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B 3，15.于是P (X ＝0)＝C 03150453＝64125， P (X ＝1)＝C 13151452＝48125， P (X ＝2)＝C 23152451＝12125， P (X ＝3)＝C 33153450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.19．G5、G1、G11[2015·湖南卷] 如图1-6，已知四棱台ABCD - A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A 1A ＝6，且A 1A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上．(1)若P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ ；(2)若PQ ∥平面ABB 1A 1，二面角P - QD - A 的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积．图1-619．解：方法一：由题设知，AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B 1(3，0，6)，D (0，6，0)，D 1(0，3，6)，Q (6，m ，0)，其中m ＝BQ ，0≤m ≤6.(1)若P 是DD 1的中点，则P 0，92，3，PQ →＝6，m －92，－3.又AB 1→＝(3，0，6)，于是AB 1→·PQ→＝18－18＝0，所以AB 1→⊥PQ →，即AB 1⊥PQ .(2)由题设知，DQ →＝(6，m －6，0)，DD 1→＝(0，－3，6)是平面PQD 内的两个不共线向量．设n 1＝(x ，y ，z )是平面PQD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DQ →＝0，n 1·DD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋（m －6）y ＝0，－3y ＋6z ＝0.取y ＝6，得n 1＝(6－m ，6，3)．又平面AQD 的一个法向量是n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝31·（6－m ）2＋62＋32＝3（6－m ）2＋45. 而二面角P - QD - A 的余弦值为37，因此3（6－m ）2＋45＝37，解得m ＝4或m ＝8(舍去)，此时Q (6，4，0)．设DP →＝λDD 1→(0<λ≤1)，而DD 1→＝(0，－3，6)，由此得点P (0，6－3λ，6λ)，所以PQ →＝(6，3λ－2，－6λ)．因为PQ ∥平面ABB 1A 1，且平面ABB 1A 1的一个法向量是n 3＝(0，1，0)，所以PQ →·n 3＝0，即3λ－2＝0，即λ＝23，从而P (0，4，4)．于是，将四面体ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥P - ADQ ，则其高h ＝4，故四面体ADPQ 的体积V ＝13S △ADQ ·h ＝13×12×6×6×4＝24.方法二：(1)如图所示，取A 1A 的中点R ，连接PR ，BR ，PC .因为A 1A ，D 1D 是梯形A 1ADD 1的两腰，P 是D 1D 的中点，所以PR ∥AD ，于是由AD ∥BC 知，PR ∥BC ，所以P ，R ，B ，C 四点共面．由题设知，BC ⊥AB ，BC ⊥A 1A ，所以BC ⊥平面ABB 1A 1，因此BC ⊥AB 1.①因为tan ∠ABR ＝AR AB ＝36＝A 1B 1A 1A ＝tan ∠A 1AB 1，所以∠ABR ＝∠A 1AB 1，因此∠ABR ＋∠BAB 1＝∠A 1AB 1＋∠BAB 1＝90°，于是AB 1⊥BR .再由①即知AB 1⊥平面PRBC ，又PQ ⊂平面PRBC ，故AB 1⊥PQ .(2)如图所示，过点P 作PM ∥A 1A 交AD 于点M ，则PM ∥平面ABB 1A 1.②因为A 1A ⊥平面ABCD ，所以PM ⊥平面ABCD ，过点M 作MN ⊥QD 于点N ，连接PN ，则PN ⊥QD ，∠PNM 为二面角P - QD - A 的平面角，所以cos ∠PNM ＝37，即MN PN ＝37，从而PM MN ＝403.③连接MQ ，由PQ ∥平面ABB 1A 1及②知， 平面PQM ∥平面ABB 1A 1，所以MQ ∥AB .又四边形ABCD 是正方形，所以四边形ABQM 为矩形，故MQ ＝AB ＝6. 设MD ＝t ，则MN ＝MQ ·MD MQ 2＋MD 2＝6t36＋t 2.④过点D 1作D 1E ∥A 1A 交AD 于点E ，则四边形AA 1D 1E 为矩形，所以D 1E ＝A 1A ＝6，AE ＝A 1D 1＝3，因此ED ＝AD －AE ＝3.于是PM MD ＝D 1E ED ＝63＝2，所以PM ＝2MD ＝2t .再由③④，得36＋t 23＝403，解得t ＝2，因此PM ＝4.故四面体ADPQ 的体积V ＝13S △ADQ·PM ＝13×12×6×6×4＝24.20．F1、H1、H5、H7、H8[2015·湖南卷] 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6. (1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以 x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214. 令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而F A →＝(x 1，y 1－1)，于是F A →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0， 因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．21.D3、B11、M2[2015·湖南卷] 已知a >0，函数f (x )＝e ax sin x (x ∈[0，＋∞))．记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点．证明：(1)数列{f (x n )}是等比数列；(2)若a ≥1e 2－1，则对一切n ∈N *，x n <|f (x n )|恒成立． 21．证明：(1)f ′(x )＝a e ax sin x ＋e ax cos x ＝e ax (a sin x ＋cos x )＝a 2＋1e ax sin(x ＋φ)，其中tan φ＝1a ，0<φ<π2. 令f ′(x )＝0，由x ≥0，得x ＋φ＝m π，即x ＝m π－φ，m ∈N *.对k ∈N ，若2k π<x ＋φ<(2k ＋1)π，即2k π－φ<x <(2k ＋1)π－φ，则f ′(x )>0； 若(2k ＋1)π<x ＋φ<(2k ＋2)π，即(2k ＋1)π－φ<x <(2k ＋2)π－φ，则f ′(x )<0.因此，在区间((m －1)π，m π－φ)与(m π－φ，m π)上，f ′(x )的符号总相反，于是当x ＝m π－φ(m ∈N *)时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－φ(n ∈N *)．此时，f (x n )＝e a (n π－φ)sin(n π－φ)＝(－1)n ＋1e a (n π－φ)sin φ.易知f (x n )≠0，而f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋2e a [（n ＋1）π－φ]sin φ（－1）n ＋1e a （n π－φ）sin φ＝－e a π是常数， 故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝e a (π－φ)sin φ，公比为－e a π的等比数列．(2)由(1)知，sin φ＝1a 2＋1，于是对一切n ∈N *，x n <|f (x n )|恒成立，即n π－φ<1a 2＋1e a (nπ－φ)恒成立，等价于a 2＋1a <e a （n π－φ）a （n π－φ）(*)恒成立(因为a >0)． 设g (t )＝e tt (t >0)，则g ′(t )＝e t（t －1）t 2.令g ′(t )＝0，得t ＝1. 当0<t <1时，g ′(t )<0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减；当t >1时，g ′(t )>0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增．从而当t ＝1时，函数g (t )取得最小值g (1)＝e.因此，要使(*)式恒成立，只需a 2＋1a <g (1)＝e ，即只需a >1e 2－1.而当a ＝1e 2－1时，由tan φ＝1a ＝e 2－1>3且0<φ<π2知，π3<φ<π2.于是π－φ<2π3<e 2－1，且当n ≥2时，n π－φ≥2π－φ>3π2>e 2－1.因此对一切n ∈N *，ax n ＝n π－φe 2－1≠1，所以g (ax n )>g (1)＝e ＝a 2＋1a，故(*)式恒成立． 综上所述，若a ≥1e 2－1，则对一切n ∈N *，x n <|f (x n )|恒成立．。
2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)
2015年普通高等学校招生全国统一测试（湖南卷）数 学（理科）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i zi +=-1)1(2(i 是虚数单位)，则复数z= A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --12. 设A 、B 是两个集合，则“A B A = ”是“B A ⊆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的3=n ，则输出的S ＝A.76 B. 73C. 98D. 944. 若变量x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则yx z -=3的最小值为A. 7-B. 1-C. 1D. 25. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是A. 奇函数，且在)1,0(是增函数B. 奇函数，且在)1,0(是减函数C. 偶函数，且在)1,0(是增函数D. 偶函数，且在)1,0(是减函数 6. 已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=aA. 3B. 3-C. 6D. 6- 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为A. 2386B. 2718C. 3413D. 4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P .8. 已知点A, B, C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ . 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9 9. 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕA. 125πB. 3πC. 4πD.6π 10. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=） A. π98 B. π916C.π2124）－（ D.π21212）－（二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.⎰=-20)1(dx x __________.12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________.13. 设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.14.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________.15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.,,,)(23a x x a x x x f 若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题纸中相俯视图侧视图正视图222121应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分. Ⅰ.（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 和直线CD 相交于点F ，证明：（i ）180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅.Ⅱ.（本小题满分6分）选修4－4 坐标系和参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 和曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值.Ⅲ.（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： （i ） 2≥+b a ；（ii ）22<+a a 和22<+b b 不可能同时成立. 17. (本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角. (Ⅰ) 证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围. 18. (本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖. 每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球. 在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(Ⅰ) 求顾客抽奖1次能获奖的概率； (Ⅱ) 若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分13分)如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上.(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1； (Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积.ABDA 1B 1C 1D 1Q PE FMNOBDC20. (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 和2C 的公共弦长为62. (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 和1C 相交于A ，B 两点，和2C 相交于C ，D 两点，且和BD 同向.（i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线和x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点. 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立.2015年高考湖南卷理科数学参考答案一、选择题D C B A A D C B D A 二、填空题11. 0 12. 4 13. 5 14. 13-n 15. ),1()0,(∞+-∞ 三、解答题16. Ⅰ. 证明：(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即 90=∠=∠ONE OME ，因此180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于 360，故 180=∠+∠NOM MEN .(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅.Ⅱ.解： (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=，将 222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x .(ii ) 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入0222=-+x y x 得018352=++t t .设这个方程的 两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t tⅢ.证明： 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab E FMN OBDC（i ）由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a .(ii ) 设22<+a a 和22<+b b 可同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理 10<<b ，从而10<<ab 这和1=ab 相矛盾，故22<+a a 和22<+b b 不可能同时成立.17. 解：（Ⅰ）由A b a tan =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π. 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B . (Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A . 于是 )22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(sin 2sin 21sin 22+--=-+=A A A因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A . 由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(. 18. 解：（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}.由题意1A 和2A 相互独立，21A A 和21A A 互斥，1B 和2B 互斥，且 211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=. 又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ，所以 512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ， )()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P ,故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P .(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ，于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KK K X 0123P1256412548 12512 1251X 的数学期望为53513)(=⨯=X E . 19. 解法一： （Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,, 因为1AA ,1DD 是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //，于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面. 由题设知 AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以 ⊥BC 平面11A ABB ,⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥.因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠,所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BAB ABR , 于是 1AB BR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC ,显然有⊂PQ 平面BRPC , 故 PQ AB ⊥1.(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ， 因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ，过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，PNM ∠是二面角A QD P --的平面角. 所以 73cos =∠PNM ，即 73=PN MN ，从而340=MN PM . 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知，平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6. 设MD ＝t ，则.366222ttMD MQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形，所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE . 于是 21==DEED MD PM , 所以t MD PM 22==，从而t t t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM . 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D , )0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m .R D 1C 1B 1A 1DB A P E A BD A 1B 1C 1D 1PM N x y zAB CDA 1B 1C 1D 1Q P(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m PQ ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅, 所以AB ⊥1，即PQ AB ⊥1.(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n 即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=. 又平面AQD 的一个法向量是)1,0,0(2=n ，所以45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ，而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q . 再设)10(1≤<=λλDD ，而)6,3,0(1-=DD ，由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=. 因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn ，32=λ，从而)4,4,0(P .于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .20. 解：(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为（0，1），因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 和2C 的公共弦长为62，1C 和2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 和2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2） 联立（1）（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y . (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D .(i )因和同向，且 ||||BD AC =，所以 =，从而 2413x x x x -=-，即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+. （3）设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .l xyD BAF OCM由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以4,42121-==+x x k x x （4） 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916kx x k k x x +-=+-=+ （5） 将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±. (ii )由 y x 42=得 2'xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1x M ，所以)1,2(1-=x ，而)14,(211-=x x ，于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ，因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠180是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. 解：(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x ex ae x f ax axax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<.令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ. 对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f . 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 和),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反，于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ. 此时，)(1)()1()sin()(ϕπϕπϕπ-+--=-=n a n n a n e n e x f ，易知0)(≠n x f ，且πϕπϕπa n a n n a n n n e ee xf x f -=--=-+-+++)(1])1[(21)1()1()()(是常数，故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a e x f ，公比为πa e -的等比数列.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立，即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a>0）.设)0()(>=t t e t g t ，则0)1()('2=-=t t e t g t 得1=t ，当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增.从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(. 因此，要使（*）式恒成立，只需e g aa =<+)1(12，即只需112->e a . 而当112-=e a 时，由311tan 2>-==e a ϕ且由20πϕ<<知，23πϕπ<<. 于是1322-<<-e πϕπ，且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ，因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以aa e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立. 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立.。
2015年湖南省高考理科数学试卷及答案(精校WORD版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知2(1)1i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =( ) A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【解析】由题意得，得2(1)2111i iz i i i--===--++．故选D ． 考点：复数的运算．2．设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件．故选C ．考点：集合的关系．3．执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A ．76B ．73C ．98D ．94【解析】由题意得，输出的S 为数列1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前三项和，而1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，所以11(1)22121n n S n n =-=++，从而337S =．故选B ． 考点：程序框图，裂项相消求数列的和．4．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则y x z -=3的最小值为( ) A ．7- B ．1- C ．1 D ．2 【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x =-，1y =时，y x z -=3的最小值是7-．故选A ．考点：线性规划．5． 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是( )A ． 奇函数，且在)1,0(是增函数B ． 奇函数，且在)1,0(是减函数C ． 偶函数，且在)1,0(是增函数D ． 偶函数，且在)1,0(是减函数 【解析】试题分析：显然，()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称，又∵()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，∴()f x 为奇函数，显然()f x 在(0,1)上单调递增．故选A ． 考点：函数的性质．6．已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=a ( )A ．3B ．3-C ．6D ．6-【解析】5215(1)r rrrr T C a x-+=-，令1r =，可得530a -=，从而6a =-．故选D ．考点：二项式定理．7． 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为( )A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ．【解析】根据正态分布的性质，1(01)(11)0.34132P x P x <<=-<<=．故选C ． 考点：正态分布．8． 已知点A ，B ，C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ ． 若点P 的坐标为)0,2(,则||++的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【解析】由题意得AC 为圆的直径，故可设(,)A m n ，(,)B m n --，(,)C x y ，湖南师大附中张天平整理第 3 页 共 11 页∴(6,)PA PB PC x y ++=-，而22(6)371249x y x -+=-≤，∴||PC PB PA ++的最大值为7．故选B ．考点：圆的性质，平面向量数量积．9． 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕ( )A ．125πB ．3πC ．4π D ．6π【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨设ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-．故选D ．考点：三角函数的图象和性质．10． 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=）( )A ．π98B ．π916C ．π2124）－（D ．π21212）－（【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如下图所示，则有212x h-=，∴22h x =-， ∴长方体的体积为22(2)(22)x h x x =-4(22)x x x =-3224()3x x x ++-≤3227=，当且仅当2223x x x =-=即时，等号成立， ∴利用率为232162719123ππ=．故选A ． 考点：圆锥内接长方体，基本不等式求最值．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．⎰=-2)1(dx x __________．俯视图侧视图正视图【解析】⎰=-2)1(dx x 2201|02x x -=． 考点：定积分的计算．12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________．【解析】由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人． 考点：系统抽样，茎叶图．13．设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．【解析】根据对称性，不妨设(,0)F c ，短轴端点为(0,)b ，从而可知点(,2)c b -在双曲线上，∴222241c b a b-=，从而c e a ==．考点：双曲线的标准方程及其性质．14．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________．【解析】等比数列}{n a 中2111S a a q q =+=+，231S q q =++，∴24(1)31q q q +=+++，解得3q =，∴13n n a -=．考点：等比、等比数列的通项公式及其前n 项和．15．已知函数32,,(),x x a f x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________．【解析】分析题意可知问题等价于方程)(3a x b x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数为2，湖南师大附中张天平整理第 5 页 共 11 页若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a x b x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab ab 31有解，从而0<a ； 综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ． 考点：函数与方程，分类讨论的数学思想．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题．．．．作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分． Ⅰ．（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ．证明：（i ）180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅．【解析】(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即90=∠=∠ONE OME ，因此180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于 360，故180=∠+∠NOM MEN ．(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅．Ⅱ．（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=．（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值．【解析】 (i )θρcos 2=等价于θρρcos 22=，将 222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x ．F(ii )将5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入0222=-+x y x 得018352=++t t ．设这个方程的两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t t Ⅲ．（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： （i ）2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．【解析】 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab (i )由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ．(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．17．(本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角． (Ⅰ)证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围．【解析】（Ⅰ）由A b a tan =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π． 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B ． (Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A ． 于是)22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(sin 2sin 21sin 22+--=-+=A A A因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A ．由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(．18．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．湖南师大附中张天平整理第 7 页 共 11 页【解析】（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}．由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=．又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ， 所以512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ，)()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P ,故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P ．(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验． 由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ， 于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KKK．X 的数学期望为553)(=⨯=X E ．19． (本小题满分13分) 如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上． (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1；(Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积． 【解析】 解法一：（Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,,因为1AA ,1DD 是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //，于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面．由题设知AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以 ⊥BC 平面11A ABB , 又⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥．因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠, 所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BAB ABR ,BDD于是 1AB BR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC , 显然有⊂PQ 平面BRPC , 故PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ， 因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ， 过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，从而PNM ∠是二面角A QD P --的平面角．所以73cos =∠PNM ，即73=PN MN ，从而340=MN PM ． 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知， 平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6． 设MD ＝t ，则.366222ttMDMQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形， 所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE ．于是21==DE ED MD PM , 所以t MD PM 22==， 从而tt t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM ． 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D ,)0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m ．(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅PQ AB , 所以PQ AB ⊥1，即PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m DQ , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=． 又平面AQD 的一个法向量是)1,0,0(2=n ， 所以 45)6(336)6(3,cos 2222212121+-=++-=>=<m m n n ，BD湖南师大附中张天平整理第 9 页 共 11 页而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q ．再设)10(1≤<=λλDD ，而)6,3,0(1-=DD ， 由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=．因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn PQ ，32=λ，从而)4,4,0(P ． 于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．20． (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62． (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向． （i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．【解析】(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2） 联立（1）、（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y ． (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D ．(i )因与同向，且||||BD AC =， 所以 =，从而 2413x x x x -=-， 即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+． （3） 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y ． 由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916kx x k k x x +-=+-=+ （5） 将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±． (ii )由 y x 42=得 2'xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1x M ， 所以)1,2(1-=x FM ，而)14,(211-=x x FA ，于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x FA FM ，因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠180是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．21． (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点． 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立．【解析】(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<．令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ．对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f ． 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反， 于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ．此时，()1()()sin()(1)sin a n n a n n f x en e πφπφπφϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ，且2[(1)]11()()(1)sin ()(1)sin n a n a n n a n n f x e e f x e πφππφϕϕ++-++--==--是常数， 故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a e x f ，公比为πa e -的等比数列．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立，湖南师大附中张天平整理第 11 页 共 11 页 即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a >0）． 设)0()(>=t t e t g t ，则2(1)'()t e t g t t -=，由'()0g t =得1=t ， 当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增．从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(．因此，要使（*）式恒成立，只需e g a a =<+)1(12，即只需112->e a ． 而当112-=e a 时，由311tan 2>-==e a ϕ且20πϕ<<知，23πϕπ<<． 于是1322-<<-e πϕπ，且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ， 因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立． 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立．。
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2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={1,2}，N={0,1,3}，则M ∩N= ( ) A ．{1} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{1,2,3} 2．化简(1-cos30°)(1+cos30°)得到的结果是( )
A ．34
B ．1
4
C ．0
D ．1
3．如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆， 则该几何体表面积( )
A ．π
B ．2π
C ．4π
D ．4
3
π
4．直线x-y+3=0与直线x+y-4=0的位置关系为( )
A ．垂直
B ．平行
C ．重合
D ．相交但不垂直
5．如图，ABCD 是正方形，E 为CD 边上一点，在该正方形中
随机撒一粒豆子，落在阴影部分的概率为( )
A ．14
B ．13
C ．12
D ．34
6．已知向量()()1,23,6a b b a λ==--=，，若，则实数λ的值为(
A
．13 B ．3 C ．1
3
- D ．-3
7．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均分成5
组，现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样方法，从第一组抽取学生的号码为5，则抽取5名学生的号码是( )
A ．5，15，25，35，45
B ．5，10，20，30，40
C ．5，8，13，23，43
D ．5，15，26，36，46 8
A ．（-1，0）
B ．（0，1）
C ．(1，2)
D ．(2，3) 9．如图，点(x ,y )在阴影部分所表示的平面区域上，
则z=y-x 的最大值为( )
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
10．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了1个伙伴；第二天，2只蜜蜂
飞出去各自找回了1个伙伴；……；如果这个找伙伴的过程继续下去，第n 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为( ) A ．2n -1 B ．2n C ．3n D ．4n
正视图 侧视图
俯视图
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数f (x )= log(x -3)的定义域为 _________.
12．函数sin(2)3
y x π
=+的最小正周期为_______. 13．某程序框图如图所示，若输入的x 值为-4， 则输出的结果为__________.
14．在ΔABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，
已知c =2a ，sin A =1
2
，则sin C =_______. 15．已知直线l ：x - y +2=0，圆C ：x 2 +y 2 = r 2(r >0)，若直线l 与圆C 相切，
则圆的半径是r = _____.
三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分6分)
学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的径叶图如下： (1)求该运动员得分的中位数和平均数； (2)估计该运动员每场得分超过10分的概率.
17．(本小题满分8分)
已知函数f (x )=(x -m )2+2
(1)若函数f (x )的图象过点(2,2)，求函数y =f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )是偶函数，求的m 值.
已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1.
(1)证明：D 1A //平面C 1BD ；
(2)求异面直线D 1A 与BD 所成的角.
19．(本小题满分8分)
已知向量(2sin ,1),(2cos ,1),.a x b x x R ==∈
(1)当x=4
π
时，求向量a b +的坐标;
(2)设函数f (x )=a b ⋅，将函数f (x )图象上的所有点向左平移4
π
个单位长度得到g (x )的图象，当x ∈[0, 2
π
]时，求函数g (x )的最小值.
已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n +2，其中n ∈N*. (1)写出a 2，a 3及a n ；
(2)记设数列{a n }的前n 项和为S n ，设T n =12111
+++n
S S S ，试判断T n 与1的关系；
(3)对于(2)中S n ，不等式S n ∙S n -1+4S n -λ(n +1)S n -1≥0对任意的大于1的整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.
2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案
一、选择题
二 、填空题
11．(3,+∞)； 12．π； 13．4； 14．1； 15
三 、解答题(满分40分)
16．解：(1)中位数为10；平均数为9. …4分
(2)每场得分超过10分的概率为P=0.3. …6分
17．解：(1) 依题，2=(2-m )2+2，解得m =2， …2分
∴f (x )=(x -2)2+2， ∴y =f (x )的单调递增区间是(2,+∞). …4分 (2)若函数f (x )是偶函数，则f (-x )=f (x )， …6分 即(-x -m )2+2=(x -m )2+2，解得m =0. …8分
18．(1)证明：在正方体中，D 1A ∥C 1B ，又C 1B ⊂平面C 1BD ，
D 1A ⊄平面C 1BD ，∴D 1A //平面C 1BD . …4分
(2) 解：∵ D 1A ∥C 1B ，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角是∠C 1BD . …6分 又ΔC 1BD 是等边三角形. ∴∠C 1BD=60°．∴D 1A 与BD 所成的角是60°. …8分
19．解：(1) 依题，(2,1),(2,1),+(22,2).a b a b ==∴= …4分
(2) 依题，f (x )=4sin x cos x +1=2sin2x +1，g (x )=2sin[2(x +4
π
)]+1=2cos2x +1，
∵x ∈[0, 2
π
]，∴2x ∈[0,π]，∴当2x =π时，g (x )min =-1. …8分
20．解：(1) 依题a 2= a 1+2=4，a 3= a 2+2=6，
依题{a n }是公差为2的等差数列，∴a n =2n ； …3分
(2) ∵ S n =n (n +1)，∴1111
(1)1
n S n n n n ==-++，
∴T n 111111
(1)()()122311
n n n =-+-++-=-++<1 …6分
(3) 依题n (n +1)∙(n -1)n +4n (n +1)-λ(n +1)(n -1)n ≥0， 即(n -1)n +4-λ(n -1)≥0，
即λ≤41n n +-对大于1的整数n 恒成立，又44
11511
n n n n +=-++≥--，
当且仅当n =3时，4
1
n n +-取最小值5， 所以λ的取值范围是(-∞，5] …10分。