广东2020学年高中学业水平测试数学试题
2023-2024学年北京市高二下学期第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市高二下学期第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题：本题共20小题，每小题5分，共100分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.函数的定义域为()A. B. C. D.3.在复平面内，复数对应的点的坐标为()A. B. C. D.4.如图，在三棱柱中，底面是BC的中点，则直线()A.与直线AC相交B.与直线AC平行C.与直线垂直D.与直线是异面直线5.如图，四边形ABCD是正方形，则()A. B. C. D.6.已知是定义在R上的奇函数，则()A. B.0 C.1 D.27.在下列各数中，满足不等式的是()A. B. C.1 D.28.命题“”的否定是()A. B.C. D.9.()A. B. C. D.10.在下列各数中，与相等的是()A. B. C. D.11.在下列函数中，在区间上单调递减的是()A. B. C. D.12.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，Ox为始边，终边在y轴上的角的集合为()A. B.C. D.14.在中，，则()A. B. C. D.315.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为根据上述信息，下列结论中正确的是()A. B. C. D.16.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.17.已知，则下面不等式一定成立的是()A. B. C. D.18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为()A. B. C. D.19.在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数()A.1B.2C.3D.420.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为()A.108B.162C.180D.189二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年广东省普通高中学业水平考试测试题二(含答案)
2020年广东省普通高中学业水平考试数学周测试题 (二)一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x|x2-2x-3<0},则A∩B=()A．{-1,0} B．{0,1,2} C．{-1,0,1} D．{-2,-1,0}2、.设i是虚数单位,x是实数,若复数的虚部是2,则x= ( )A. 4B. 2C. -2D. -43、某校高一(1)班有男、女学生共50人,其中男生20人,用分层抽样的方法,从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是( )A.6和9B.9和6C.7和8D.8和74、集合A={1,2,3}的所有子集的个数为 ( )A.5个B.6个C.7个D.8个5、“sin α>0”是“α为锐角”的 ( )A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件6、)函数f(x)=的定义域为 ( )A.(-∞,1]B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(0,1]D.(0,1]7、若f(x)=,则f[f(-2)]= ( )A.2B.3C.4D.58、下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( )A.y=x+sin 2x B、y= 2x cosx1 D.y=x2+sin xC.y=x2 +x29、 一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为：①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是 ( )A.①B.②C.③D.④10、设x ,y 满足约束条件 则z=x-2y 的最小值为 ( )A.-10B.-6C.-1D.011、化简：)3()(31212132b a b a -∙÷)31(6561b a =（ ）A.6aB.-aC.-9aD.92a12.已知圆C 与y 轴相切于点(0,5),半径为5,则圆C 的标准方程是 ( )A.(x-5)2+(y-5)2=25B.(x+5)2+(y-5)2=25C.(x-5)2+(y-5)2=5或(x+5)2+(y-5)2=5D.(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25 13、若log 7[log 3(log 2x )]=0,则21x 的值为 ( ) A .3B .2C .2D .314、函数f (x )=4sin x cos x ,则f (x )的最大值和最小正周期分别为 ( ) A.2和π B.4和π C.2和2π D.4和2π15、已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若120,3,8,A b c =︒==则ABC ∆的面积等于( )A ．6B ．C ．12D ．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）16、函数y=ax+1(a>0)在区间[1,3]上的最大值为4,则a= 。
2020学年广东省佛山市新高考高一数学下学期期末学业水平测试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．12y x =B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．12log xy =D ．1y x=2．某船从A 处向东偏北30方向航行23千米后到达B 处，然后朝西偏南60的方向航行6千米到达C 处，则A 处与C 处之间的距离为（ ） A ．3千米B ．23千米C ．3千米D ．6千米3．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-4．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．35B ．20C ．18D ．95．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用如图所示的茎叶图表示，s 1，s 2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s 1与s 2的关系是( )．A ．s 1＞s 2 B ．s 1＝s 2 C ．s 1＜s 2 D ．不确定6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4813S S =，则816S S =( ) A ．19B ．14 C ．15D ．2157．若两个正实数x ，y 满足2142x x y +=，且不等式224yx m m x+<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．()(),21,-∞-⋃+∞ C ．()2,1- D ．()(),12-∞-+∞8．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π9．设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数．当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >．若在区间(]0,9上，函数()()()h x f x g x =-有8个不同的零点，则k 的取值范围是（ ）A ．123⎛ ⎝⎭B ．123⎡⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭10．集合{}2|230M x x x =--≤，{}|0N x x =≥，则MN =（ ）A ．{}|10x x -≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}|13x x -≤≤D ．{}|01x x ≤≤11．若直线过点()()1,2,4,23+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．90。
2024-2025学年广东省中山市名校九年级数学第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】
2024-2025学年广东省中山市名校九年级数学第一学期开学学业水平测试模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，连结DE ，过点D 作交BC 的延长线于点F ，连结若，则EF 的值为A ．3B ．C ．D ．42、（4分）四边形ABCD 中，3AB =，5CD =，M 、N 分别是边AD ，BC 的中点，则线段MN 的长的取值范围是（）A ．28MN < B ．28MN < C ．14MN < D ．14MN < 3、（4分）下列交通标志中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）下列函数中，y 随x 的增大而减小的有（）①y ＝﹣2x+1；②y ＝6﹣x ；③y ＝-13x +；④y ＝（1）x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5、（4分）若a 为有理数，且满足|a |+a=0，则（）A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ＜0D ．a ≤06、（4分）0(1)k +-有意义，则一次函数(1)1y k x k =-+-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7、（4分）已知三条线段长a 、b 、c 满足a 2＝c 2﹣b 2，则这三条线段首尾顺次相接组成的三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8、（4分）如图为一△ABC,其中D ．E 两点分别在AB 、AC 上,且AD=31,DB=29,AE=30,EC=32.若∠A=50°,则图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系,下列何者正确?()A ．∠1>∠3B ．∠2=∠4C ．∠1>∠4D ．∠2=∠3二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E ，F ，AB ＝3，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为_____．10、（4分）如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝2，ON ＝6，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP +PQ +QN 的最小值是_____．11、（4分）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，,CA CB CE CD ==，ACB∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，若4AB AE ==，则AD =____.12、（4分）=__．13、（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和函数的图象交于A 、B 两点．利用函数图象直接写出不等式的解集是____________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=，AD 是中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC 交BE 的延长线于F ，连接CF .求证：四边形ADCF 是菱形.15、（8分）选择合适的点，在如图所示的坐标系中描点画出函数4y x =-+的图象，并指出当x 为何值时，y 的值大于1．16、（8分）将函数y ＝x ＋b （b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|x ＋b|（b 为常数）的图象（1）当b ＝0时，在同一直角坐标系中分别画出函数112y x =+与y ＝|x ＋b|的图象，并利用这两个图象回答：x 取什么值时，112x +比|x|大？（2）若函数y ＝|x ＋b|（b 为常数）的图象在直线y ＝1下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，直接写出b 的取值范围17、（10分）如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边的一个动点，过点O 作MN BC ，交ACB ∠的平分线于点E ，交ACB ∠的外角平分线于点F ，（1）求证：12OC EF =；（2）当点O 位于AC 边的什么位置时四边形AECF 是矩形？并说明理由.18、（10分）如图，矩形ABCD 的面积为20cm 2，对角线交于点O ，以AB 、AO 为邻边作平行四边形1AOC B ，对角线交于点O ；以AB AO 、为邻边作平行四边形2AOC B ；…；依此类推，则平行四边形45AO C B 的面积为______，平行四边形1n n AO C B +的面积为______.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知关于x 的不等式3x -m+1>0的最小整数解为2，则实数m 的取值范围是___________.20、（4分）对分式12x ，14y ，218xy 进行通分时，最简公分母是_____21、（4分）化简：2223()()612x y x y x x ++÷＝__________．22、（4分）如图，以正方形ABCD 的BC 边向外作正六边形BEFGHC ，则∠ABE ＝___________度．23、（4分）如图，在正方形ABCD 中，延长BC 至E ，使CE ＝CA ，则∠E 的度数是_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm ，宽1dm 的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．下面是探究过程，请补充完整：（1）设小正方形的边长为x dm ，体积为y dm 1，根据长方体的体积公式得到y 和x 的关系式：；（2）确定自变量x 的取值范围是；（1）列出y 与x 的几组对应值.x /dm …1814381258347819854…y /dm 1… 1.1 2.2 2.7m 1.0 2.8 2.5n 1.50.9…（4）在下面的平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象如下图；结合画出的函数图象，解决问题：当小正方形的边长约为dm 时，（保留1位小数），盒子的体积最大，最大值约为dm 1．（保留1位小数）25、（10分）解不等式组：3(2)42113x x x x -->⎧⎪+⎨>-⎪⎩．并把它的解集在数轴上表示出来26、（12分）如图，在菱形ABCD 中，AD ∥x 轴，点A的坐标为(0，4)，点B 的坐标为(3，0)．CD 边所在直线y 1＝mx ＋n 与x 轴交于点C ，与双曲线y 2＝k x (x<0)交于点D ．(1)求直线CD 对应的函数表达式及k 的值．(2)把菱形ABCD 沿y 轴的正方向平移多少个单位后，点C 落在双曲线y 2＝k x (x<0)上？(3)直接写出使y 1>y 2的自变量x 的取值范围．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B【解析】根据题意可得AB=2，∠ADE=∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF=1，根据勾股定理可得EF的长．【详解】∵ABCD是正方形∴AB=BC=CD，∠A=∠B=∠DCB=∠ADC=90°∵DF⊥DE∴∠EDC+∠CDF=90°且∠ADE+∠EDC=90°∴∠ADE=∠CDF且AD=CD，∠A=∠DCF=90°∴△ADE≌△CDF∴AE=CF=1∵E是AB中点∴AB=BC=2∴BF=3在Rt△BEF中，EF=.故选B．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．2、C【解析】如图，连接BD，过M作MG∥AB交BD于G,连接NG，∵M是边AD中点，AB=3，MG∥AB，∴MG是边AD的中位线；∴BG=GD,MG=12AB=32；∵N是BC中点，BG=GD,CD=5，∴NG 是△BCD 的中位线，∴NG=12CD=52,在三角形MNG 中，由三角形三边关系得NG-MG ＜MN ＜MG+NG 即52-32＜MN ＜52+32∴1＜MN ＜4，当MN=MG+NG ，即当MN=4，四边形ABCD 是梯形，故线段MN 的长取值为14MN .故选C.此题主要考查中位线的应用，解题的关键是根据题意作出图形求解.3、A 【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A ．本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.4、D 【解析】①中，k=-2<0；②中，k=-1<0；③中，k=-13<0<0.根据一次函数y=kx+b （k≠0）的性质，k<0时，y 随x 的增大而减小．故①②③④都符合.故选D.点睛：本题考查一次函数y=kx+b （k≠0）的性质：当k＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．5、D 【解析】试题解析：0a a +=，a a ，∴=-0a ∴≤，即a 为负数或1．故选D ．6、A 【解析】试题分析：当10{10k k -≥-≠时，式子0(1)k +-有意义，所以k ＞1，所以1-k ＜0，所以一次函数(1)1y k x k =-+-的图象过第一三四象限，故选A ．考点：1．代数式有意义的条件；2．一次函数图像的性质．7、C 【解析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】∵三条线段长a 、b 、c 满足a 2＝c 2﹣b 2，∴a 2+b 2＝c 2，即三角形是直角三角形，故选C ．本题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定、等边三角形的判定、等腰直角三角形等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．8、D 【解析】本题需先根据已知条件得出AD 与AC 的比值，AE 与AB 的比值，从而得出△ADE ∽△ACB ，最后即可求出结果．【详解】∵AD=31，BD=29，AE=30，EC=32，∴AB=31+29=60，AC=30+32=62，∴3161==22AD AC ，3061==02AE AB ，∴=AD AE AC AB ，∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴∠2=∠3，∠1=∠4，故选：D.此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于得出AD 与AC 的比值二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1．【解析】首先结合矩形的性质证明△AOE ≌△COF ，得△AOE 、△COF 的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD 的面积．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，∠AEO ＝∠CFO ；又∵∠AOE ＝∠COF ，在△AOE 和△COF 中，∵AEO CFO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴S △AOE ＝S △COF ，∴S 阴影＝S △AOE +S △BOF +S △COD ＝S △AOE +S △BOF +S △COD ＝S △BCD ；∵S △BCD ＝12BC •CD ＝1，∴S 阴影＝1．故答案为1．本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，掌握三角形的判定和性质定理，是解题的关键．10、【解析】作M 关于OB 的对称点M′，作N 关于OA 的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．【详解】作M 关于OB 的对称点M′，作N 关于OA 的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt △M′ON′中，故答案为：．本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．11、6【解析】连接BD ，证明△ECA ≌△DCB ，继而得到∠ADB=90°，然后利用勾股定理进行求解即可.【详解】连接BD ，∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CE=CD ，CA=CB ，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠EDC=∠E=45°，∠ECA=∠DCB ，在△ACE 和△BCD 中，CE CD ECA DCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ECA≌△BDC ，∴DB=AE=4，∠BDC=∠E=45°，∴∠ADB=∠EDC+∠BDC=90°，∴AD=6==，故答案为6.本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.【解析】分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．详解：原式点睛：本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．13、【解析】不等式的解集实际上是反比例函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围，根据图象可以直接得出答案．【详解】解：不等式的解集实际上是反比例函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围，根据图象得：1＜x ＜1．故答案为：1＜x ＜1．本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，理清不等式的解集与两个函数的交点坐标之间的关系是解决问题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、见解析.【解析】根据AAS 证△AFE ≌△DBE ，推出AF=BD ．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF 是平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明AD=DC ，从而证明ADCF 是菱形.．【详解】证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE,在△AFE 和△DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE(AAS)；∴AF=DB.∵AD 是BC 边上的中线∴DB=DC ，∴AF=CD.∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC=90∘，AD 是BC 边上的中线，∴AD=DC=12BC ，∴ADCF 是菱形.本题考查菱形的判定，直角三角形斜边上的中线.读题根据已知题意分析图中线段、角之间的关系，从而选择合适的定理去证明四边形ADCE 为菱形.15、图象见详解；4x <时，0y >．【解析】任意选取两个x 的值，代入后求得对应y 值，在网格上对应标出，连接，可得所需直线，根据已画图象可得0y >时，x 的取值范围．【详解】在函数4y x =-+中，当0x =时，4y =，当2x =时，2y =，描点，画图如下：由图可知，0y >时，4x <．本题考查了一次函数图象的画法，及根据图象求符合条件的x 的取值范围的问题，熟练掌握相关技巧是解题的关键．16、（1）见解析，223x -<<；（2）21b -- 【解析】（1）画出函数图象，求出两个函数图象的交点坐标，利用图象法即可解决问题；（2）利用图象法即可解决问题．【详解】解：（1）当b ＝0时，y ＝|x ＋b|=|x|列表如下：x -101112y x =+12112y ＝|x|101描点并连线；∴如图所示：该函数图像为所求∵1y x 12||y x ⎧=+⎪⎨⎪⎩＝∴2x=-32=-y 3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或y=x=22⎧⎨⎩∴两个函数的交点坐标为A 2233⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B(2，2)，∴观察图象可知：223x -<<时，112x +比||x 大；（2）如图，观察图象可知满足条件的b 的值为21b -- ，本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，掌握一次函数的图象，一次函数的性质，一次函数图象与几何变换是解题的关键．17、（1）见解析；（2）当点O 位于AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，见解析.【解析】（1）由于CE 平分∠ACB ，MN ∥BC ，故∠BCE=∠OEC=∠OCE ，OE=OC ，同理可得OC=OF ，故0C=12EF ;（2）根据平行四边形的判定定理可知，当OA=OC 时，四边形AECF 是平行四边形．由于CE 、CF 分别是∠ECO 与∠OCF 的平分线，故∠ECF 是直角，则四边形AECF 是矩形．【详解】证明：（1）∵CE 平分ABC ∠，CF 平分ACD ∠∴ACE BCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠∵MN BC ∴OEC BCE ∠=∠，OFC FCD ∠=∠∴OEC OCE ∠=∠，OFC OCF ∠=∠∴OE OC OF ==∴12OC EF =（2）当点O 位于AC 的中点时，四边形AECF 是矩形理由如下：∵O 是AC 的中点∴OA OC =由（1）得：OE OF =∴四边形AECF 是平行四边形∵ACE BCE ∠=∠，ACF DCF∠=∠∴22180ACE ACF ∠+∠=︒∴90ACE ACF ∠+∠=︒即90ECF ∠=︒∴四边形AECF 是矩形.本题考查的是平行线，角平分线，平行四边形及矩形的判定与性质，是一道有一定的综合性的好题．18、58152n -【解析】根据矩形的性质求出△AOB 的面积等于矩形ABCD 的面积的14，求出△AOB 的面积，再分别求出△ABO 1、△ABO 2、△ABO 3、△ABO 4的面积，求出平行四边形45AO C B 的面积，然后再观察发现规律进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝CO ，BO ＝DO ，DC ∥AB ，DC ＝AB ，∴S △ADC ＝S △ABC ＝12S 矩形ABCD ＝12×20＝10，∴S △AOB ＝S △BCO ＝12S △ABC ＝12×10＝5，∴S △ABO1＝12S △AOB ＝12×5＝52，∴S △ABO2＝12S △ABO1＝54，S △ABO3＝12S △ABO2＝58，S △ABO4＝12S △ABO3＝516，∴S 平行四边形AO4C5B ＝2S △ABO4＝2×516＝58，∴平行四边形1n n AO C B +的面积为：152n -，故答案为：58，152n -.本题考查了三角形的面积，矩形的性质，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、4<7m ≤【解析】先用含m 的代数式表示出不等式的解集，再根据最小整数解为2即可求出实数m 的取值范围.【详解】∵3x -m+1>0，∴3x>m -1，∴x>-13m ,∵不等式3x -m+1>0的最小整数解为2，∴1≤-13m <3，解之得4<7m ≤.故答案为：4<7m ≤.本题考查了一元一次不等式的解法，根据最小整数解为2列出关于m 的不等式是解答本题的关键.20、8xy 1【解析】由于几个分式的分母分别是1x 、4y 、8xy 1，首先确定1、4、8的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母．【详解】根据最简公分母的求法得：分式12x ，14y ，218xy 的最简公分母是8xy 1，故答案为8xy 1．此题主要考查了几个分式的最简公分母的确定，确定公分母的系数找最小公倍数，确定公分母的字母找最高指数．21、2x【解析】根据分式的除法法则进行计算即可．【详解】2223()()612x y x y x x ++÷2322()12=6()x y x x x y +⨯+=2x 故答案为：2x ．本题考查了分式除法运算，掌握分式的除法法则是解题的关键．22、1【解析】分别求出正方形ABCD 的内角∠ABC 和正六边形BEFGHC 的内角∠CBE 的度数，进一步即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∵六边形BEFGHC 是正六边形，∴∠CBE =()621801206-⋅︒=︒，∴∠ABE =360°－(∠ABC +∠CBE )=360°－(90°+120°)=1°．故答案为：1．本题主要考查了正多边形的内角问题，属于基础题型，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．23、22.5°【解析】根据正方形的性质就有∠ACD ＝∠ACB ＝45°＝∠CAE+∠AEC ，根据CE ＝AC 就可以求出∠CAE ＝∠E ＝22.5°．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝45°．∵∠ACB ＝∠CAE+∠AEC ，∴∠CAE+∠AEC ＝45°．∵CE ＝AC ，∴∠CAE ＝∠E ＝22.5°．故答案为22.5°本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用及三角形内角和定理的运用．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）(42)(32)y x x x =--（或3241412x x x -+）；（2）302x <<；（1）m =1，n =2；（4）12~58都行，1~1.1都行.【解析】根据题意，列出y 与x 的函数关系式，根据盒子长宽高值为正数，求出自变量取值范围；利用图象求出盒子最大体积．【详解】（1）y=x(4−2x)(1−2x)=4x 3−14x 2+12x 故答案为：y=4x 3−14x 2+12x (2)由已知0420320x x x >->->⎧⎪⎨⎪⎩解得：0<x<32(1)根据函数关系式，当x=12时，y=1；当x=1时，y=2(4)根据图象，当x=0.55dm 时，盒子的体积最大，最大值约为1.01dm1故答案为：12~58都行，1~1.1都行此题考查函数的表示方法，函数自变量的取值范围，函数图像，解题关键在于看懂图中数据.25、1＜x ＜4，数轴表示见解析.【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】3(2)42113x x x x ①②-->⎧⎪⎨+>-⎪⎩，解不等式①得：x ＞1；解不等式②得：x ＜4，所以不等式组的解集为：1＜x ＜4，解集在数轴上表示为：此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．26、（1）148y =x 33-；k＝－1.（2）把菱形ABCD 沿y 轴的正方向平移10个单位后，点C 落在双曲线上；（3）x<－5.【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求得AB 的长，进而求得D 、C 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线CD 的函数表达式及k 的值；（2）把x=-2代入y 2=-20x （x ＜0）得，y=-202-=10，即可求得平移的距离；（3）根据函数的图象即可求得使y 1＞y 2的自变量x 的取值范围．试题解析：（1）∵点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（3，0），∴=5，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=BC=AB=5，∴D （-5，4），C （-2，0）．∴4502m n m n -+⎧⎨-+⎩＝＝，解得4383m n ＝＝⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴直线CD 的函数表达式为y 1=-43x-83，∵D 点在反比例函数的图象上，∴4=5k -，∴k=-1．（2）∵C （-2，0），把x=-2代入y 2=-20x （x ＜0）得，y=-202-=10，∴把菱形ABCD 沿y 轴的正方向平移10个单位后，点C 落在双曲线y 2=k x （x ＜0）上．（3）由图象可知：当x ＜-5时，y 1＞y 2．。
广东省东莞市2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题含解析
广东省东莞市2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若024n x dx ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2ny y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 A ．8 B ．16C ．24D ．60【答案】C 【解析】因为πππ22200π)d 2(sin cos )d 2(sin cos )|44n x x x x x x x =+=+=-=⎰所以42()y y+的通项公式为42142k k k k T C y -+=⋅⋅ 令420r -=，即2r∴二项式42y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是224224C ⋅=，故选C.2．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的平移变换即可得解. 【详解】解：由sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 即为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度， 故选：B. 【点睛】3．已知函数()2()ln f x a x x =+-的定义域是()1,2-，则6⎛ ⎝的展开式中2x 的系数是（ ）A ．192-B ．192C ．230-D ．230【答案】A 【解析】 【分析】函数()2()ln f x a x x=+-的定义域是()1,2-可知，-1和2是方程20a x x +-=的两根，代入可求得a 值，再根据二项式定理的通项公式进行求解即可 【详解】因为()2()ln f x a x x=+-的定义域()1,2x ∈-，所以-1和2是方程20a x x+-=的两根，将-1代入方程20a x x +-=可得2a =，则二项式定理为6⎛⎝根据二项式定理的通项公式61122162rrr r T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，62,122r r r --=∴=， 2x 的系数161162(1)192C --=-答案选A 【点睛】本题考察了一元二次方程根与系数的关系，二项式定理通项公式的求法及二项式系数的求法，难度不大，但综合性强4．已知复数()()121z i i =+-，则其共轭复数z 对应的点在复平面上位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的乘法求出复数z ，再根据共轭复数的定义求出复数z ，即可得出复数z 在复平面内对应的点所处的象限． 【详解】()()2121123z i i i i i =+-=+-=+，3z i ∴=-，所以， 复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-，位于第四象限，故选D ． 【点睛】5．二项式102x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项【答案】B 【解析】展开式的通项公式T r ＋1＝5202102rr r C x-，令5202r -＝0，得r ＝8.展开式中常数项是第9项.选B. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 6．曲线cos y x =在3x π=处的切线斜率是( )A ．12-B ．12C ．3-D ．3 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知对cos y x =求导，将3x π=代入导函数即可.【详解】∵y′=(cosx)′=-sinx ， ∴当3x π=时，3=32y sinπ'=--. 故选C. 【点睛】本题考查利用导数求切线斜率问题，已知切点求切线斜率问题，先求导再代入切点横坐标即可，属于基础题.7．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.A ．23与26B ．31与26C ．24与30D ．26与30【分析】根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案. 【详解】根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为31， 又由中位数的定义，可得数据的中位数为26， 故选B. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知{}2|230A x x x =--<，{}|B x x a =<，若A 包含于B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．[)3,+∞C ．()3,+∞D ．(],3-∞【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，根据A 是B 的子集列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】由()()223310x x x x --=-+<解得13x，所以()13A ,=-，由于{}|B x x a =<且A 包含于B ，所以3a ≥，故a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题.9．设直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）. A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行【答案】D 【解析】∵直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =- ∴6(1)23300d n ⋅=⨯-+⨯+⨯=10．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表 男 女 总计 好 40 20 60 不好 20 30 50 总计6050110由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++得，27.8K ≈.根据2K 表()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828得到下列结论，正确的是（）A ．有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关” 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的基本思想判断得解. 【详解】因为7.8 6.635> ，根据2K 表可知；选C. 【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.11．水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中，则此容器里水的高度h 与时间t 的函数关系图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析：根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图像分析判别可得结论.详解：A 、B 选项中：函数图象是单调递增的，与与题干不符，故排除；C 、当注水开始时，函数图象往下凸，可得出下方圆台容器下粗上细，符合题意．；D 、当注水时间从0到t 时，函数图象往上凸，可得出下方圆台容器下细上粗，与题干不符，故排除． 故选C .点睛：本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h 和时间t 之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想． 12．设集合，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 先求出,再求得解.【详解】 由题得，所以=. 故选：D 【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这种知识的理解掌握水平，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为_____. 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查二项式定理.二项展开式()na b +的第r 项为rn rr r n T C ab -=.则()52x +的第r 项为552r rr r T C x -=，令2r，可得2x 的系数为352280C ⋅=14．设函数()ln()1f x x k =++，()x g x e =. 若12()()f x g x =， 且12x x -的最小值为-1，则实数k 的值为__________． 【答案】2 【解析】分析：先表示函数12x x -，再利用导数求函数最小值，最后根据12x x -的最小值为-1得实数k 的值.详解：因为()()12f x g x =，设()()12f x g x a ==，则112,ln a x e k x a -=-= 所以112ln ()a x x e k a g a --=--=因为11()a g a ea-'=-，所以当1a >时，()0g a '>；当01a <<时，()0g a '<；即当1a =时，min ()112g a k k =-=-∴=.点睛：两函数关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.15．平面直角坐标系中，若点7(3,)2P π经过伸缩变换'21'3x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩后的点Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于__． 【答案】3. 【解析】 【分析】由点P 的直角坐标求出伸缩变换后的点Q 的坐标，将点Q 的坐标看作极坐标，根据极坐标的性质距离为sin ρθ，将极坐标代入即可求出距离【详解】点P 经伸缩变换后，点Q 的坐标为76,6π⎛⎫⎪⎝⎭，将点Q 看作极坐标， 则距离为7sin 6sin 36πρθ=⨯=.本题考查点的伸缩变换以及极坐标的性质，注意题目中给出的点P 的坐标为直角坐标，不要看错题目，并且注意距离为正数，要有绝对值.16．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为________. 【答案】(,2)(4,)-∞⋃+∞ 【解析】分析：先根据函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数分析得到a=b,再根据在()0,+∞单调递减得到a ＜0，再解不等式()30f x -<得其解集.详解：因为函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，所以22()(1)()()()()f x x ax b ax a b x b f x ax b a x b -=---+=+--==+-- 所以2,()a b f x ax a =∴=-，由于函数f(x)在()0,+∞单调递减，所以a ＜0.因为()30f x -<，所以22(3)0,680,4 2.a x a x x x x --∴-+∴><或故答案为：()(),24,-∞⋃+∞.点睛：（1）本题主要考查函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时要注意细心，解不等式2(3)0a x a --<，两边同时除以a 时，要注意不等式要改变方向. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020学年广州市高二年级学生学业水平测试数学官方答案
2020学年广州市高二年级学生学业水平数学测试本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的451.函数fA ．[2.集合A. 5 3.A. 2 4.A. x C. 2x 5. 函数A ．⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦6.做一个体积为32m 3，高为2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为 （ ）A. 64m 2B. 48m 2C. 32m 2D. 16m 27. 已知变量x y ,满足约束条件201010x y x y y ⎧--≥⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,,.则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-8.如图1所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 9.关于x 的不等式2220x ax a +-> 的解集中的一个元素为1，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()(),12,-∞-+∞ B.（-1,2）C. (1,2⎛⎫⎝110.（A.1311.在△为 .12.图表示13.已知向量(1,2),(3,4),AB AC ==则BC = 14.已知表示不超过实数x 的最大整数，g(x)=[x]()21log f x x x=-的零点，则g(0x )的值等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）某中学高一年级新生有1000名，从这些新生中随机抽取100名学生作为样本测量其身高（单位：cm ），（1（2)上的概率.16.（1（233⎝⎭17. （本小题满分14分）A 1C 1F如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是A 1D 1,A 1A 的中点。
2020年广东省普通高中学业水平数学模拟试卷及答案解析(12月份)
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）
1．（4分）若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则集合A∪B＝（ ）
A．{1，2，3，4，5，6，8}B．{2，3，4，5，6}
C．{1，3，5，6，8}D．{2，4}
【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，
∴集合A∪B＝{1，2，3，4，5，6，8}．
故选：A．
【点评】本题考查并集的求法，考查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分） ＝（ ）
A．﹣ + iB．﹣ ﹣ iC． + iD． ﹣
5．（4分）若直线l与两直线y＝1，直线x﹣y﹣7＝0分别交于M，N两点且MN的中点为P（1，﹣1），则直线l的斜率等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
6．（4分）不等式x﹣x2＞0的解集是（ ）
A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
7．（4分）计算： ＝（ ）
A．22019B．22018C．22017D．22016
12．（4分）圆心在x轴上，半径为1，且过点（2，1）的圆的方程是（ ）
A．（x﹣2）2+y2＝1B．（x+2）2+y2＝1
C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣2）2＝1
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且 ＝ ， ＝ ，连接AC、MN交于P点，若 ＝λ ，则λ的值为（ ）
2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷(三)
2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（三）一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知集合A ={1, 3, √m}，B ={1, m}，A ∪B =A ，则m =( ) A.0或 √3 B.0或3 C.1或 √3 D.1或32. 复数z 满足(z −i)(2−i)＝5．则z ＝（ ） A.−2−2i B.−2+2i C.2−2i D.2+2i3. 若函数f(x)={x 2+1,x ≤1lg x,x >1 ，则f[f(10)]＝（ ）A.lg 101B.2C.1D.04. 公比为√23的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16＝（ ） A.4 B.5C.6D.75. 在△ABC 中，AB =2，AC =3，AB →⋅BC →=1，则BC 等于( ) A.√3 B.√7 C.2√2 D.√236. 已知sin α+cos α=√2，α∈(0, π)，则tan α＝（ ） A.−1 B.−√22C.√22D.17. 设a >0且a ≠1，则“函数f(x)＝a x 在R 上是减函数”，是“函数g(x)＝(2−a)x 3在R 上是增函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√2．将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ） A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直 B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直 C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直9. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A.众数 B.平均数C.中位数D.标准差10. 对任意的实数k ，直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝2的位置关系一定是（ ） A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心11. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为（ ）A.16B.13C.23D.4512. 已知正三角形ABC 的顶点A(1, 1)，B(1, 3)，顶点C 在第一象限，若点(x, y)在△ABC 内部，则z ＝−x +y 的取值范围是（ ） A.(1−√3, 2) B.(0, 2) C.(√3−1, 2) D.(0, 1+√3)13. 设F 1，F 2是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30∘的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.4514. 已知x =ln π，y =log 52，z =e −12，则( ) A.x <y <z B.z <x <y C.z <y <x D.y <z <x15. 若tan θ+1tan θ=4，则sin 2θ＝（ ） A.15B.14C.13D.12二、填空题（本大共4个小题，每个小题4分，满分16分）函数f(x)=√1−2log 6x 的定义域为________．已知△ABC的三边长成公比为√2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．过点(3, 1)作圆(x−2)2+(y−2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．三、解答题（本大题共2个小题，每个小题12分，满分24分.解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C+√3a sin C−b−c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为√3，求b，c．已知等差数列{a n}前三项的和为−3，前三项的积为8．(Ⅰ)求等差数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．参考答案与试题解析2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（三）一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】由两集合的并集为A，得到B为A的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．【解答】解：A∪B=A⇔B⊆A．∴{1, m}⊆{1, 3, √m}，∴m=3或m=√m，即m=3或m=0或m=1（与集合中元素的互异性矛盾，舍去）．综上所述，m=0或m=3.故选B.2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可．【解答】(z−i)(2−i)＝5⇒z−i=52−i ⇒z=52−i+i=5(2+i)(2−i)(2+i)+i=5(2+i)5+i＝2+2i．3.【答案】B【考点】求函数的值函数的求值【解析】利用函数的性质直接求解．【解答】∵函数f(x)={x2+1,x≤1lg x,x>1，∴f(10)＝lg10＝1，f[f(10)]＝f(1)＝12+1＝2．故选：B．4.【答案】B【考点】对数的运算性质等比数列的通项公式【解析】由公比为√23的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，知a72=16，故a7＝4，a16=a7⋅q9=32，由此能求出log2a16．【解答】∵公比为√23的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，∴a72=16，∴a7＝4，∴a16=a7⋅q9=32，∴log2a16＝log232＝5．5.【答案】A【考点】解三角形数量积表示两个向量的夹角【解析】设∠B＝θ，由AB→⋅BC→=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cosθ，再利用余弦定理表示出cosθ，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：∵AB→⋅BC→=1，设∠B=θ，AB=2，∴2⋅BC⋅cos(π−θ)=1，即cosθ=−12BC，又根据余弦定理得：cosθ=22+BC2−324BC=BC2−54BC，∴−12BC=BC2−54BC，即BC2=3，则BC=√3．故选A．6.【答案】 D【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tan α的值． 【解答】∵ sin α+cos α=√2，α∈(0, π)，∴ 1+2sin αcos α＝2， ∴ sin αcos α=12，∴ sin α＝cos α=√22，则tan α=sin αcos α=1，7.【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】a >0且a ≠1，则“函数f(x)＝a x 在R 上是减函数”，所以a ∈(0, 1)， “函数g(x)＝(2−a)x 3在R 上是增函数”所以a ∈(0, 2)； 显然a >0且a ≠1，则“函数f(x)＝a x 在R 上是减函数”，是“函数g(x)＝(2−a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． 8.【答案】 B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A 成立，则需BD ⊥EC ，这与已知矛盾；若B 成立，则A 在底面BCD 上的射影应位于线段BC 上，可证明位于BC 中点位置，故B 成立；若C 成立，则A 在底面BCD 上的射影应位于线段CD 上，这是不可能的；D 显然错误 【解答】如图，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，依题意，AB ＝1，BC =√2，AE ＝CF =√63，BE ＝EF ＝FD =√33， A ，若存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直，则∵ BD ⊥AE ，∴ BD ⊥平面AEC ，从而BD ⊥EC ，这与已知矛盾，排除A ；B ，若存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直，则CD ⊥平面ABC ，平面ABC ⊥平面BCD取BC 中点M ，连接ME ，则ME ⊥BD ，∴ ∠AEM 就是二面角A −BD −C 的平面角，此角显然存在，即当A 在底面上的射影位于BC 的中点时，直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确；C ，若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则BC ⊥平面ACD ，从而平面ACD ⊥平面BCD ，即A 在底面BCD 上的射影应位于线段CD 上，这是不可能的，排除C D ，由上所述，可排除D 9. 【答案】 D【考点】众数、中位数、平均数 【解析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案 【解答】A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A 错． 平均数86，88不相等，B 错．中位数分别为86，88，不相等，C 错． A 样本方差S 2=110[(82−86)2+2×(84−86)2+3×(86−86)2+4×(88−86)2]＝4，B 样本方差S 2=110[(84−88)2+2×(86−88)2+3×(88−88)2+4×(90−88)2]＝4， 故两组数据的标准差均为2，D 正确．10. 【答案】 C【考点】直线与圆的位置关系 【解析】对任意的实数k ，直线y ＝kx +1恒过点(0, 1)，且斜率存在，(0, 1)在圆x 2+y 2＝2内，故可得结论． 【解答】对任意的实数k ，直线y ＝kx +1恒过点(0, 1)，且斜率存在 ∵ (0, 1)在圆x 2+y 2＝2内∴ 对任意的实数k ，直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝2的位置关系一定是相交但直线不过圆心 11.【答案】 C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设AC ＝x ，则BC ＝12−x ，由矩形的面积S ＝x(12−x)>20可求x 的范围，利用几何概率的求解公式可求． 【解答】设AC ＝x ，则BC ＝12−x(0<x <12)矩形的面积S＝x(12−x)>20∴x2−12x+20<0∴2<x<10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P=10−212−0=23．12.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】设C(a, b)，(a>0, b>0)由A(1, 1)，B(1, 3)，及△ABC为正三角形可得，AB＝AC＝BC＝2即(a−1)2+(b−1)2＝(a−1)2+(b−3)2＝4∴b＝2，a＝1+√3即C(1+√3, 2)则此时直线AB的方程x＝1，AC的方程为y−1=√33(x−1)，直线BC的方程为y−3=−√33(x−1)当直线x−y+z＝0经过点A(1, 1)时，z＝0，经过点B(1, 3)z＝2，经过点C(1+√3, 2)时，z＝1−√3∴z max=2,z min=1−√313.【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】利用△F2PF1是底角为30∘的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=3a2上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30∘的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|，∠PF2E=60∘，∵P为直线x=3a2上一点，∴|PF2|⋅cos60∘=3a2−c，∴2(32a−c)=2c，∴e=ca=34.故选C．14.【答案】D【考点】不等式性质的应用指数式、对数式的综合比较不等式比较两数大小【解析】利用x=lnπ>1，0<y=log52<12，1>z=e−12>12，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ>ln e=1，0<log52<log5√5=12，即y∈(0, 12)；1=e0>e−12=e>√4=12，即z∈(12, 1)，∴y<z<x．故选D.15.【答案】D【考点】二倍角的三角函数【解析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】sin2θ＝2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=2tanθ+1tanθ=24=12二、填空题（本大共4个小题，每个小题4分，满分16分）【答案】(0, √6]【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．【解答】解：函数f(x)=√1−2log6x要满足1−2log6x≥0，且x>0∴2log6x≤1，x>0∴log6x≤12，x>0，∴log6x≤log6√6，x>0，∴0<x≤√6，故答案为：(0, √6]. 【答案】−√2 4【考点】等比数列的性质余弦定理【解析】根据三角形三边长成公比为√2的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a，√2a，2a，根据2a 为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，√2a，2a，∵2a>√2a>a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ=2√2a)222√2a2=−√24．故答案为：−√24.【答案】2√2【考点】直线与圆的位置关系【解析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3, 1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】根据题意得：圆心(2, 2)，半径r＝2，∵√(3−2)2+(1−2)2=√2<2，∴(3, 1)在圆内，∵圆心到此点的距离d=√2，r＝2，∴最短的弦长为2√r2−d2=2√2．【答案】√33π【考点】扇形面积公式柱体、锥体、台体的体积计算【解析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径满足2πr=2π，所以r=1，所以圆锥的体积为：13×π×√22−1=√33π．故答案为：√33π．三、解答题（本大题共2个小题，每个小题12分，满分24分.解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤）【答案】由正弦定理得：a cos C+√3a sin C−b−c＝0，即sin A cos C+√3sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C+√3sin A sin C＝sin(A+C)+sin C，即√3sin A−cos A＝1∴sin(A−30∘)=12．∴A−30∘＝30∘∴A＝60∘；若a＝2，△ABC的面积=12bc sin A=√34bc=√3，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2−2bc⋅cos A＝(b+c)2−2bc−bc＝(b+c)2−3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．【考点】正弦定理【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin(A−30∘)=12．即可求出A的值；（2）若a＝2，由△ABC的面积为√3，求得bc＝4．①，再利用余弦定理可得b+c＝4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】由正弦定理得：a cos C+√3a sin C−b−c＝0，即sin A cos C+√3sin A sin C＝sin B+sin C∴ sin A cos C +√3sin A sin C ＝sin (A +C)+sin C ， 即√3sin A −cos A ＝1 ∴ sin (A −30∘)=12． ∴ A −30∘＝30∘ ∴ A ＝60∘；若a ＝2，△ABC 的面积=12bc sin A =√34bc =√3，∴ bc ＝4．①再利用余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2−2bc ⋅cos A ＝(b +c)2−2bc −bc ＝(b +c)2−3×4＝4， ∴ b +c ＝4．②结合①②求得b ＝c ＝2．【答案】（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1+d ，a 3＝a 1+2d ，∵ 等差数列{a n }前三项的和为−3，前三项的积为8， ∴ {3a 1+3d =−3a 1(a 1+d +(a 1+2d)=8 ，解得{a 1=2d =−3，或{a 1=−4d =3 ，所以由等差数列通项公式，得a n ＝2−3(n −1)＝−3n +5，或a n ＝−4+3(n −1)＝3n −7． 故a n ＝−3n +5，或a n ＝3n −7．（2）当a n ＝−3n +5时，a 2，a 3，a 1分别为−1，−4，2，不成等比数列； 当a n ＝3n −7时，a 2，a 3，a 1分别为−1，2，−4，成等比数列，满足条件． 故|a n |＝|3n −7|={−3n +7,n =1,23n −7,n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n ．当n ＝1时S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|+|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2+|a 3|+|a 4|+...+|a n |＝5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n −7) ＝5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n 2−112n +10．当n ＝2时，满足此式．综上所述，S n ={4,n =132n 2−112n +10,n ≥2 ．【考点】数列的求和 等差数列的性质【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列{a n }前三项的和为−3，前三项的积为8，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)由(Ⅰ)和a 2，a 3，a 1分别为−1，2，−4，成等比数列，知|a n |＝|3n −7|={−3n +7,n =1,23n −7,n ≥3 ，由此能求出数列{|a n |}的前n 项和为S n ． 【解答】（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1+d ，a 3＝a 1+2d ，∵ 等差数列{a n }前三项的和为−3，前三项的积为8， ∴ {3a 1+3d =−3a 1(a 1+d +(a 1+2d)=8 ，解得{a 1=2d =−3，或{a 1=−4d =3 ，所以由等差数列通项公式，得a n ＝2−3(n −1)＝−3n +5，或a n ＝−4+3(n −1)＝3n −7． 故a n ＝−3n +5，或a n ＝3n −7．（2）当a n ＝−3n +5时，a 2，a 3，a 1分别为−1，−4，2，不成等比数列； 当a n ＝3n −7时，a 2，a 3，a 1分别为−1，2，−4，成等比数列，满足条件． 故|a n |＝|3n −7|={−3n +7,n =1,23n −7,n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n ．当n ＝1时S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|+|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2+|a 3|+|a 4|+...+|a n |＝5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n −7) ＝5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n 2−112n +10．当n ＝2时，满足此式．综上所述，S n ={4,n =132n 2−112n +10,n ≥2 ．。
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2015-2016学年度广东高中学生学业水平测试数学试题（2015-2016学年广州学业水平考试测试题）2015年12月24日一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分.1.已知集合M =-1,0,1{},{}x x x N ==2|,则M ÇN =（）A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}2.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为（） A. 14 B.12C. 2D.4 3.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是（）A. 2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是（） A.-1,0() B.0,1() C.1,2() D.2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（）6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法D.（1）（2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（）A. 3B.1C.1-D.5-8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 189.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A. 2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZ C. k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（）A.22B.22+1C.22+2D.22+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11.不等式x 2-3x +2<0的解集是__________.12.已知角q 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边为射线l ：y =-2x x £0()，则cos q 的值是__________.13.执行如图所示的程序框图，若输入1=x ，则输出y 的值是__________。
14.若函数f x ()=log a x +m ()+1（a >0且a ¹1）恒过定点2,n ()，则m +n 的值为__________.15、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且︒===60,8,10A b a .（1）求B sin 的值；（2）求C cos 的值.16、甲，乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数.（1）求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；（2）分别从甲，乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率.17、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*21N n n n S n ∈++=，.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和n T . 18、如图，在三棱锥ABC P -中，︒=∠=====30,3245ACB BC AB PB PC PA ，，. （1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥ABC P -的体积.19、已知圆C 的圆心为点()30，C ，点()2,3R 在圆C 上，直线l 过点()01，-A 且与圆C 相交于Q P ,两点，点M 是线段PQ 的中点.（1）求圆C 的方程；（2）若9=⋅AC AM ，求直线l 的方程.20、已知点B A ,是函数[]()1,12-∈=x x y 图像上的两个动点，x AB //轴，点B 在y 轴的右侧，点()()2,1>m m M 是线段BC 的中点.（1）设点B 的横坐标为a ，ABC ∆的面积为S ，求S 关于a 的函数解析式()a f S =； （2）若（1）中的()a f 满足()1262--≤mk m a f 对所有(]1,0∈a ，()+∞∈,4m 恒成立，求实数k 的取值范围.2015学年度广州市高中二年级学生学业水平测试答案二、 选择题：本大题共10小题，每小题5分。
1. 【答案】B【解析】(){}2:0100,1N x x x x N -=⇒-=⇒=，\M ÇN =0,1{}.3+4+c =0 2. 【答案】D【解析】a 4a 2=q 2=4 3. 【答案】C【解析】设直线:320l x y c -+=因为1,-2()在直线上，代点到直线方程得：4. 【答案】D【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+=⋅-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】B 【解析】y =x -z ,作l 0:y =x ,当l 0移至12,l l 两直线交点H 时截距z -最小，即z 最大，(1,2)H --，z max =-1+2=18.【答案】A 【解析】()11233633S ABCD ABCD V S SB -=⋅=⨯⨯⨯= 9.【答案】C 【解析】()21cos 21112cos sin 224222x f x x x ππ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪⎝⎭, 即求12sin 2x 的单调递减区间: 10.【答案】D 【解析】()32232,2220,023********+≥++∴≥+∴>>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=∴+=a b b a a b b a ab b a ab b a a b b a b a ab ab b a ba ab 当且仅当b a =2,b =2a时符号成立，即1122a b ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩满足， 则最小值为22+3。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11.【答案】1,2()【解析】()(){}2320,210,12x x x x x x -+<∴--<∴<< 12.【答案】-33【解析】终边在：()0,cos 0y x θ=≤∴<13.【答案】7【解析】x =1,y =5-2´1=3,3-1>5，否x =3,y =5-2´3=-1,-1-3>5，否x =-1,y =5-2´-1()=7,7--1()>5，是，7y =14.【答案】0【解析】f x ()=log a x +m ()+1过定点2,n ()，则()log 21a m n ++=，恒成立，15.【答案】解:（1）由正弦定理得，sin sin a b A B= （2）由（1）得，sin B =，且a b > 又60A =︒16.【答案】解：（1）由图可得，甲组答对题目的个数：8，9，11，12（2）由图可得，乙组答对题目的个数：8，8，9，11设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件A ，以(),x y 记录甲，乙两组同学答对题目的个数，满足“从甲，乙两组中各抽取一名同学”的事件有：()()()()11,8,11,8,11,9,11,11,()()()()12,8,12,8,12,9,12,11，共16种满足事件A 的基本事件为：()()()()9,11,11,9,12,8,12,8，共4种答：两名同学答对题目个数之和为20的概率为14. 17.【答案】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，21n S n n =++①-①②得：221(1)(1)n n S S n n n n --=+----但13a =不符合上式，因此：3,(1)2,(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩ （2）当1n =时，1121113412T a a ===⋅当2n ≥时，1111111()22(1)4(1)41n n a a n n n n n n +===-⋅+++ 且1112T =符合上式，因此：51244(1)n T n =-+ 18. 【答案】解:（1）证明：取AC 中点D ，连接PD 、BD在∆ABC 中：BC AB =, D 为AC 中点在PAC ∆中PC PA =, D 为AC 中点又D PD BD =⋂ ,BD 、PBD PD 面⊂（2）方法一：BCD P ABD P ABC P V V V ---+=在ABC ∆中，AB BC =, 030=∠ACB , D 是AC 中点 3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，PD DC ⊥, 5=PC , 3=DC又4C PBD A PBD V V --== （2）方法二：取BD 中点M ,连接PM由（1）可知PBD AC 面⊥又PBD PM 面⊂在ABC ∆中，BC AB = , 030=∠ACB , D 是AC 中点 3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，DC PD ⊥ , 5=PC , 3=DCPBD ∴为等腰三角形又D BD AC =⋂ , ABC BD AC 面、⊂ABC PM 面⊥∴, 即PM 为三棱锥ABC P -的高h 易得261=PM 19. 【答案】解：(1)2R =,圆的方程为22(y 3)4x +-=(2)方法一：①k 不存在时1x =-，则P(1,33)-，Q(1,33)-+，M(1,3)-显然有=9AC AB ⋅②k 存在时设(1)y k x =+∴l 的方程为y kx k =+11(,)P x y ,22(,)Q x y ,00(,)M x y∴(1,3)AC =，00(1,)AM x y =+∴有00139x y ++= 即121213922x x y y ++++⋅= 联立22(3)4y kx k x y =+⎧⎨+-=⎩ 则2222(1)(26)650k x k k x k k ++-+-+= ∴2122621k k x x k -+=+，231226221k k y y k k -+=++ ∴21202321x x k k x k +-==+，231202321y y k k y k k+-==++ 代入方程：00139x y ++=得： 解得：43k = 综上所述，l 的方程1x =-或4340x y -+= 方法二：MC AM AM MC AM AM MC AM AM AC AM ⋅+=⋅+=+⋅=⋅2)( M 是线段PQ 的中点，∴根据垂径定理，即PQ CM ⊥，即0AM MC ⋅=在ABC Rt ∆中，191022=-=-=AM CA CM①若k 存在时，设直线l 为)1(0+=-x k y 即0=+-k y kx圆心)3,0(C 到直线l 的距离1132=++-=k kd ，解得34=k ∴直线l 的方程为0434=+-y x②若k 不存在时，过)0,1(-A 的直线为1-=x也满足)3,0(C 到直线1-=x 的距离为1.综上所述，直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x .方法三：(1,0)A -，(0,3)C ，设点00(,)M x y ，则：(1,3)AC =，00(1,)AM x y =+，00(,3)CM x y =-由题意得：00139AM AC x y ⋅=++=，得0083x y =-①又因为M 是弦PQ 的中点，因此AM CM ⊥，0000(1)(3)0AM CM x x y y ⋅=++-=，将①式代入，得：0000(83)(93)(3)0y y y y --+-=，整理得： 00(3)(1024)0y y --=，解得：03y =或0125y = 得M 的坐标为(1,3)-,或412(,)55，因此直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x . 20. 【答案】解：（1）设)22,2(),,1(),2,(),2,(a m a C m M a a A a a B ---则ma a a a m a a f S 24)222(221)(2+-=--⨯⨯==∴. （2）12624126)(222--≤+---≤mk m ma a mk m a f 得由 ma a a f 24)(2+-=的对称轴为4m a =，4,14m m >∴>， m a 24]1,0(+-∈∴上的最大值为在，恒成立126242--≤+-∴mk m m ， 32622+-≤∴m m mk 恒成立，即12312-+≤mm k 恒成立.222312≥+m m 当且仅当23=m 时成立， 更多资料请关注公众号:广东学业水平考试版权所有:砖本教育。