2015-2016学年度广东高中学生学业水平测试数学试题(解析版)

2015-2016学年度广东高中学生学业水平测试数学试题（解析版）一、选择题（本题共10个小题，每小题5分）1.已知集合M =-1,0,1{},{}x x x N ==2|,则M ÇN =（）A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}【答案】B【解析】(){}2:0100,1N x x x x N -=⇒-=⇒=，\M ÇN =0,1{}.3+4+c =02.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为（） A. 14 B.12C. 2D.4 【答案】D【解析】a 4a 2=q 2=4 3.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是（）A. 2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=0【答案】C【解析】设直线:320l x y c -+=因为1,-2()在直线上，代点到直线方程得： 7c ∴=-4.函数f x ()=12æèçöø÷x -x +2的零点所在的一个区间是（） A.-1,0() B.0,1() C.1,2() D.2,3()【答案】D【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+=⋅-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（）【答案】A6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法D.（1）（2）都用分层抽样法【答案】C7.设x,y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01yxxyx,则z=x-y的最大值为（）A. 3B.1C.1-D.5-【答案】B【解析】y=x-z,作l:y=x,当l移至12,l l两直线交点H时截距z-最小，即z最大，(1,2)H--，zmax=-1+2=18.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】A 【解析】()11233633S ABCD ABCD V S SB -=⋅=⨯⨯⨯=9.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A. 2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZ C. k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 【答案】C【解析】()21cos 21112cos sin 224222x f x x x ππ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪⎝⎭, 即求12sin 2x 的单调递减区间:3222,223,44k x k k Z k x k k Z ππππππππ+≤≤+∈+≤≤+∈10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（）A.22B.22+1C.22+2D.22+3【答案】D 【解析】()32232,2220,023********+≥++∴≥+∴>>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=∴+=a b b a a b b a ab b a ab b a a b b a b a ab ab b a ba ab 当且仅当b a =2,b =2a时符号成立，即1122a b ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩满足， 则最小值为22+3。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

11.不等式x 2-3x +2<0的解集是__________.【答案】1,2()【解析】()(){}2320,210,12x x x x x x -+<∴--<∴<<12.已知角q 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边为射线l ：y =-2x x £0()，则cos q 的值是__________.【答案】-33【解析】终边在：()0,cos 0y x θ=≤∴<22tan cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 13.执行如图所示的程序框图，若输入1=x ，则输出y 的值是__________。

【答案】7【解析】x =1,y =5-2´1=3,3-1>5，否x =3,y =5-2´3=-1,-1-3>5，否x =-1,y =5-2´-1()=7,7--1()>5，是，7y =14.若函数f x ()=log a x +m ()+1（a >0且a ¹1）恒过定点2,n ()，则m +n 的值为__________【答案】0【解析】f x ()=log a x +m ()+1过定点2,n ()，则()log 21a m n ++=，恒成立，\2+m =11=nÞm =-1n =1ìíîìíïîï\m +n =0 15、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且︒===60,8,10A b a .（1）求B sin 的值；（2）求C cos 的值.【答案】解:（1）由正弦定理得，sin sin a b A B= 10,8,60a b A ===︒sin sin b A B a ∴==（2）由（1）得，sin 5B =，且a b >cos B ∴==又60A =︒1sin 2A A ∴== ()cos cos sin sin cos cos 12610C A B A B A B∴=-+=-=-=16、甲，乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数.（1）求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；（2）分别从甲，乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率.【答案】解：（1）由图可得，甲组答对题目的个数：8，9，11，12()()()()22222891112104158109101110121042x S +++∴==⎡⎤=⨯-+-+-+-=⎣⎦甲甲（2）由图可得，乙组答对题目的个数：8，8，9，11设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件A ，以(),x y 记录甲，乙两组同学答对题目的个数，满足“从甲，乙两组中各抽取一名同学”的事件有：()()()()8,8,8,8,8,9,8,11,()()()()9,8,9,8,9,9,9,11,()()()()11,8,11,8,11,9,11,11,()()()()12,8,12,8,12,9,12,11，共16种满足事件A 的基本事件为：()()()()9,11,11,9,12,8,12,8，共4种()41164P A ∴== 答：两名同学答对题目个数之和为20的概率为14. 17、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*21N n n n S n ∈++=，.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和n T . 【答案】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，21n S n n =++① 21(1)(1)1n S n n -=-+-+②-①②得：221(1)(1)n n S S n n n n --=+----(21)12n a n n =-+=但13a =不符合上式，因此：3,(1)2,(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩ （2）当1n =时，1121113412T a a ===⋅ 当2n ≥时，1111111()22(1)4(1)41n n a a n n n n n n +===-⋅+++1223341111111111111()()()124233411111()1242151244(1)n n n T a a a a a a a a n n n n +∴=++++⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-+=-+ 且1112T =符合上式，因此：51244(1)n T n =-+ 18、如图，在三棱锥ABC P -中，︒=∠=====30,3245ACB BC AB PB PC PA ，，.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥ABC P -的体积.【答案】解:（1）证明：取AC 中点D ，连接PD 、BD在∆ABC 中：BC AB =, D 为AC 中点AC BD ⊥∴在PAC ∆中PC PA =, D 为AC 中点AC PD ⊥∴又D PD BD =⋂ ,BD 、PBD PD 面⊂PBAC PBD PB PBDAC ⊥∴⊂⊥∴面面（2）方法一：BCD P ABD P ABC P V V V ---+=A PBD C PBD V V --=+在ABC ∆中，AB BC =, 030=∠ACB , D 是AC 中点3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，PD DC ⊥, 5=PC , 3=DC4=∴PD41833)23(42122=⨯-⨯=∴∆PBD S1313344A PBD PBD V S AD -∆=⨯⨯=⨯=又C PBD A PBD V V --== 2183=+=∴---PBD C PBD A ABC P V V V （2）方法二：取BD 中点M ,连接PM由（1）可知PBD AC 面⊥又PBD PM 面⊂PM AC ⊥∴在ABC ∆中，BC AB = , 030=∠ACB , D 是AC 中点3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，DC PD ⊥ , 5=PC , 3=DC4=∴PDPBD ∴为等腰三角形BD PM ⊥∴又D BD AC =⋂ , ABC BD AC 面、⊂ABC PM 面⊥∴, 即PM 为三棱锥ABC P -的高h 易得261=PM h S V ABC ABC P ∆-=∴312183261362131=⨯⨯⨯⨯=19、已知圆C 的圆心为点()30，C ，点()2,3R 在圆C 上，直线l 过点()01，-A 且与圆C 相交于Q P ,两点，点M 是线段PQ 的中点.（1）求圆C 的方程；（2）若9=⋅AC AM ，求直线l 的方程.【答案】解：(1)2R =,圆的方程为22(y 3)4x +-=(2)方法一：①k 不存在时1x =-，则P(1,3-，Q(1,3-，M(1,3)- 显然有=9AC AB ⋅②k 存在时设(1)y k x =+∴l 的方程为y kx k =+11(,)P x y ,22(,)Q x y ,00(,)M x y∴(1,3)AC = ，00(1,)AM x y =+∴有00139x y ++=即121213922x x y y ++++⋅= 联立22(3)4y kx k x y =+⎧⎨+-=⎩ 则2222(1)(26)650k x k k x k k ++-+-+= ∴2122621k k x x k -+=+，231226221k k y y k k -+=++ ∴21202321x x k k x k +-==+，231202321y y k k y k k+-==++ 代入方程：00139x y ++=得：223223313[]911k k k k k k k --+++=++ 解得：43k = 综上所述，l 的方程1x =-或4340x y -+=方法二：MC AM MC AM AM MC AM AM AC AM ⋅+=⋅+=+⋅=⋅2)(M 是线段PQ 的中点， ∴根据垂径定理，即PQ CM ⊥，即0AM MC ⋅=,3,9==10)03(122=-+=CA 在ABC Rt ∆中，191022=-=-=AM CA CM①若k 存在时，设直线l 为)1(0+=-x k y 即0=+-k y kx圆心)3,0(C 到直线l 的距离1132=++-=k kd ，解得34=k∴直线l 的方程为0434=+-y x ②若k 不存在时，过)0,1(-A 的直线为1-=x也满足)3,0(C 到直线1-=x 的距离为1.综上所述，直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x .方法三：(1,0)A -，(0,3)C ，设点00(,)M x y ，则： (1,3)AC = ，00(1,)AM x y =+ ，00(,3)CM x y =-由题意得：00139AM AC x y ⋅=++= ，得0083x y =-①又因为M 是弦PQ 的中点，因此AM CM ⊥ ，0000(1)(3)0AM CM x x y y ⋅=++-= ，将①式代入，得：0000(83)(93)(3)0y y y y --+-=，整理得： 00(3)(1024)0y y --=，解得：03y =或0125y = 得M 的坐标为(1,3)-,或412(,)55，因此直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x . 20、已知点B A ,是函数[]()1,12-∈=x x y 图像上的两个动点，x AB //轴，点B 在y 轴的右侧，点()()2,1>m m M 是线段BC 的中点.（1）设点B 的横坐标为a ，ABC ∆的面积为S ，求S 关于a 的函数解析式()a f S =；（2）若（1）中的()a f 满足()1262--≤mk m a f 对所有(]1,0∈a ，()+∞∈,4m 恒成立，求实数k 的取值范围.. 【答案】解：（1）设)22,2(),,1(),2,(),2,(a m a C m M a a A a a B ---则ma a a a m a a f S 24)222(221)(2+-=--⨯⨯==∴. （2）12624126)(222--≤+---≤mk m ma a mk m a f 得由ma a a f 24)(2+-=的对称轴为4m a =，4,14m m >∴> ， m a 24]1,0(+-∈∴上的最大值为在，恒成立126242--≤+-∴mk m m ， 32622+-≤∴m m mk 恒成立，即12312-+≤m m k 恒成立. 222312≥+m m 当且仅当23=m 时成立，.122-≤∴k。