2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文
江苏省徐州市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）=．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为．11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值X围为．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值X围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，某某数a的值；（2）若弦AB的长为4，某某数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值X围．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值X围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．2015-2016学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．抛物线y2=12x的焦点坐标是（3，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，且p=6，∴=3，∴抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）．2．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为∀x∈R，x2＞0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为：∀x∈R，x2＞0．故答案为：∀x∈R，x2＞0．3．底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出正三棱锥的底面面积，然后求解体积．【解答】解：底面边长为2，高为3的正三棱锥的体积为： =．故答案为：．4．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为18 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意知a=5，b=3，c=4，从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8．【解答】解：由题意作图如右图，∵椭圆的标准方程为+=1，∴a=5，b=3，c=4，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8，∴△PF1F2的周长为10+8=18；故答案为：18．5．已知正方体的体积为64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为16π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知求出正方体的棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，由球的表面积公式得到所求．【解答】解：因为正方体的体积为64，所以棱长为4，所以正方体的内切球的半径为2，所以该正方体的内切球的表面积为4π•22=16π．故答案为：16π．6．已知函数f（x）=xsinx，则f′（π）= ﹣π．【考点】导数的运算．【分析】直接求出函数的导数即可．【解答】解：函数f（x）=xsinx，则f′（x）=sinx+xcosx，f′（π）=sinπ+πcosπ=﹣π．故答案为：﹣π．7．双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一个焦点（，0），一条渐近线方程为：y=，双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为： =2．故答案为：2．8．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义，求出m的X围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可．【解答】解：若“方程+=1表示在y轴上的椭圆”，则，解得：1＜m＜，故“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．9．若直线4x﹣3y=0与圆x2+y2﹣2x+ay+1=0相切，则实数a的值为﹣1或4 ．【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，然后根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+）2=，所以圆心坐标为（1，﹣），半径r=||，由已知直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d==r=||，解得a=﹣1或4．故答案为：﹣1或4．10．若函数f（x）=e x﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为 e ．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据导数和函数单调性的关系，再分离参数，求出最值即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣a∵函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．而e x＞e，∴a≤e．故答案为：e．11．已知F为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用线段垂直平分线的性质可得线段BF的垂直平分线的方程，进而得出．【解答】解：由已知可得：A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），线段BF的中点M，k BF=，可得线段BF的垂直平分线的斜率为．∴线段BF的垂直平分线的方程为：y﹣=，∵BF的垂直平分线恰好过点A，∴0﹣=，化为：2e2+2e﹣1=0，解得e=．故答案为：．12．若直线l与曲线y=x3相切于点P，且与直线y=3x+2平行，则点P的坐标为（1，1），（﹣1，﹣1）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得即可．【解答】解：设切点P（m，m3），由y=x3的导数为y′=3x2，可得切线的斜率为k=3m2，由切线与直线y=3x+2平行，可得3m2=3，解得m=±1，可得P（1，1），（﹣1，﹣1）．故答案为：（1，1），（﹣1，﹣1）．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，则实数m的取值X围为（﹣，﹣）∪（0，2）．【考点】圆的标准方程．【分析】由已知得圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，由此能求出实数m的取值X围．【解答】解：圆（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，∴圆C：（x﹣m﹣1）2+（y﹣2m）2=4与圆O：x2+y2=9恰有两个交点，圆C的圆心C（m+1，2m），半径r1=2，圆O的圆心O（0，0），半径r2=3，圆心距离|OC|==，∴3﹣2＜＜3+2，解得﹣＜m＜﹣或0＜m＜2．∴实数m的取值X围为（﹣，﹣）∪（0，2）．故答案为：（﹣，﹣）∪（0，2）．14．已知函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，g（x）=，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．则实数a的取值X围为a≥．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用．【分析】求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的值域；g（x）∈（0，e]，分类讨论，研究f（x）的单调性，即可求a的取值X围．【解答】解：g′（x）=，令=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，e]时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，又g（0）=0，g（e）=，所以g（x）的值域是（0，1]．函数f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，x＞0，f′（x）=2ax﹣2a﹣=，令h（x）=2ax2﹣2ax﹣1，h（x）恒过（0，﹣1），当a=0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．h（x）=0，可得2ax2﹣2ax﹣1=0，△=4a2+8a，△＞0解得a＜﹣2或a＞0．当﹣2＜a＜0时，h（x）的对称轴为：x=，h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，不满足题意．当a＜﹣2时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈，f′（x）＜0，f（x）是减函数，若对任意的x0∈（0，e]，总存在两个不同的x1，x2∈（0，e]，使得f（x1）=f（x2）=g（x0）．可知f（x）极大值≥1，f（x）极小值≤0．可得，，∵f（x）=a（x﹣1）2﹣lnx，，不等式不成立．当a＞0时，x∈（0，），h（x）＜0恒成立，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈，f′（x）＞0，f（x）是增函数，因为x=1时，f（1）=0，只需f （e）≥1．可得：a（e﹣1）2﹣1≥1，解得a≥．综上：实数a的取值X围为：a≥．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．16．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）若圆C的半径为，某某数a的值；（2）若弦AB的长为4，某某数a的值；（3）求直线l的方程及实数a的取值X围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据圆C的半径为，某某数a的值；（2）求出直线l的方程，求出圆心到直线的距离，根据弦AB的长为4，某某数a的值；（3）点与圆的位置关系即可求出a的取值X围．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，则圆心C（﹣1，2），半径r=，∵圆C的半径为，∴=，∴a=2；（2）∵弦的中点为M（0，1）．∴直线CM的斜率k=﹣1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．圆心C到直线x﹣y+1=0的距离d==，若弦AB的长为4，则2+4=5﹣a=6，解得a=﹣1；（3）由（2）可得直线l的方程为x﹣y+1=0．∵弦AB的中点为M（0，1）．∴点M在圆内部，即＜，∴5﹣a＞2，即a＜3．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2．（1）当AC=2时，求异面直线BC1与AB1所成角的余弦值；（2）若直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，求AC的长．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【分析】（1）以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AB1所成角的余弦值．（2）设AC=a，求出平面A1C1B的法向量，由直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，利用向量法能求出AC．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥B1C1，CC1=2BC=2，∴以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=2，∴B（0，2，2），C1（0，0，0），A（2，0，2），B1（0，2，0），∴=（0，﹣2，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线BC1与AB1所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===，∴θ=60°，∴异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为60°．（2）设AC=a，则A1（a，0，0），B（0，2，2），C1（0，0，0），B1（0，2，0），A（a，0，2），=（a，0，0），=（0，2，2），=（﹣a，2，﹣2），设平面A1C1B的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），∵直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∴==，解得a=．∴AC=．18．如图，ABCD是长方形硬纸片，AB=80cm，AD=50cm，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为x（cm）．（1）若要求纸箱的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若要求纸箱的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）求出纸箱的侧面积S，利用基本不等式，求最大值；（2）求出纸箱的容积V，利用导数，求最大值．【解答】解：（1）S=2x（50﹣2x+80﹣2x）=2x≤•=，当且仅当4x=130﹣4x，即x=cm，纸箱的侧面积S（cm2）最大；（2）V=x（50﹣2x）（80﹣2x）（0＜x＜12.5），V′=（50﹣2x）（80﹣2x）﹣2x（80﹣2x）﹣2x（50﹣2x）=4（3x﹣100）（x﹣10），∴0＜x＜10，V′＞0，10＜x＜12.5，V′＜0，∴x=10cm时，V最大．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得x M、x N、x P及x Q的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（1）由题意可知：e===，且2ab=4，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，∴椭圆的标准方程：，（2）由（1）可知，A（0，﹣），则直线AM的方程为y=kx﹣，将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=，直线AN的方程y=﹣﹣，同理可得：x N=﹣，解得x P=k，同理可得x Q=﹣，∴==丨丨==，即3k4﹣10k2+3=0，解得k2=3或k2=，所以=或﹣，故存在直线l：y=x，y=﹣x，满足题意．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值X围；（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，对x分类讨论即可得出函数f（x）的单调性极值．（2）f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（3）h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．利用导数研究函数u（m）的单调性即可得出．【解答】（1）解：a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），f′（x）=﹣1=，∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；1＜x时，函数f（x）单调递减．因此x=1时函数f（x）取得极大值，f（1）=0．（2）解：f（x）≤2x化为：a≥﹣2=g（x），g′（x）=，可知：x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=1时函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=1﹣2=﹣1．∴a≥﹣1，∴a的取值X围是[﹣1，+∞）．（3）证明：h（x）=f（x）+ax=lnx+1，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立⇔＞ln．令=t＞1，上式等价于：＞lnt．令=m＞1，则上式等价于：u（m）=﹣2lnm＞0．u′（m）=1+﹣==＞0，因此函数u（m）在m∈（1，+∞）上单调递增，∴u（m）＞u（1）=0，∴＞恒成立．。
高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (4)
学年第一学期阶段性考试 高二数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知命题2015log ,:2=∈∀x R x p ，则p ⌝为( )A ．2015log ,2=∉∀x R xB ．2015log ,2≠∈∀x R xC ．2015log ,020=∈∃x R xD ．2015log ,020≠∈∃x R x2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,16,32C ．5,6,7,8,9D ．6,16,26,36,46 3．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．双曲线1222=-y x 的渐近线方程为（ ） A. 02=±y x B. 02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等； ③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差． 以上说法正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．用秦九韶算法求多项式7234)(234++++=x x x x x f 的值，则)2(f 的值为( ) A ．98 B ．105 C ．112 D ．119 7．运行如右图的程序后，输出的结果为（ ） A ．6053 B ．54 C ．65 D ．76 8．已知椭圆221164x y +=过点)1,2(-P 作弦且弦被P 平分，则此弦 所在的直线方程为（ ）7 90 1 38 90 1 289甲乙ENDS PRINT WEND i i i i S S i WHILE S i 1))1(/(1601+=+*+=<==A ．032=--y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．042=+-y x9．已知)(x g 为函数)0(1232)(23≠--=a ax ax ax x f 的导函数，则它们的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知倾斜角为︒45的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，则OAB ∆（其中O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．811．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()()xf x ag x =⋅(0,a >1)a ≠且；②()0g x ≠；③)(')()()('x g x f x g x f ⋅<⋅． 若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则实数a 的值为 ( )A ．21 B ．2 C ．45 D ．2或21 12．如图，直线m x =与抛物线y x 42=交于点A ，与圆4)1(22=+-x y 的实线部分（即在抛物线开口内 的圆弧）交于点B ，F 为抛物线的焦点，则ABF ∆的 周长的取值范围是( ) A ．()4,2 B ．()6,4 C ．[]4,2 D ． []6,4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．将十进制数)10(2016化为八进制数为 . 14．已知变量x 与y 的取值如下表：x 23 5 6y 7a -8 a +9 12从散点图可以看出y 对x 呈现线性相关关系，则y 与x 的线性回归直线方程a bx y+=ˆ必经过的定点为 ．15．已知P 为圆4)2(:22=++y x M 上的动点，)0,2(N ，线段PN 的垂直平分线与直线PM 的交点为Q ，点Q 的轨迹方程为 ．16．已知函数xxe x f =)(，现有下列五种说法：①函数)(x f 为奇函数；②函数)(x f 的减区间为()-1∞，,增区间为()1+∞，；频率组距50 55 60 65 70 75 80体重（kg)O0.070.060.050.040.030.020.01③函数)(x f 的图象在0x =处的切线的斜率为1； ④函数)(x f 的最小值为1e-. 其中说法正确的序号是_______________（请写出所有正确说法的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题p ：12>-x ；命题q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x .若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重()kg 数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[)65,60的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[)6560，内的频率，并补全频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．19. （本小题满分12分）（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的[]3,1-∈t ，若输出的s 的取值范围记为集合A ，求集合A ；（2）命题p ：A a ∈，其中集合A 为第（1）题中的s 的取值范围；命题q ：函数a x ax x x f +++=2331)(有极值； 若q p ∧为真命题，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知双曲线C ：)00(12222>>=-，b a by a x .（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）在区间[]61，内取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率.21．（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的中心在坐标原点O ，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 的直线l 经过点)0,4(M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，且21>⋅OB OA ，求k 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数)(2ln )(2R a x xa x a x f ∈++-=． （1）当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当0>a 时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值记为)(a g ，请写出)(a g 的函数表达式.高二数学（文科）试卷参考答案一、ＤＤＣＤ ＢＢＣＤ ＡＢＡＢ二、13．)8(3740 14．()9,4 15．)0(1322<=-x y x 16．③④ 三、17．解：由p ：12>-x 解得1<x 或3>x .……………………………… 3分由q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x 得[]0)1()(≥+--a x a x ，解得a x ≤或1+≥a x .……………………………… 6分∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件. …………………… 8分 ∴⎩⎨⎧≤+≥311a a ，则21≤≤a .∴实数a 的取值范围是[]21，.……………………………… 10分 18．解：（1）体重在[)65,60内的频率2.05)01.002.003.007.003.0(1=⨯++++-=04.052.0==组距频率 补全的频率分布直方图如图所示. ……………4分 （2）设男生总人数为n ，由2.0200=n，可得1000=n 体重超过kg 65的总人数为30010005)01.002.003.0(=⨯⨯++在[)70,65的人数为1501000503.0=⨯⨯，应抽取的人数为33001506=⨯， 在[)70,65的人数为1001000502.0=⨯⨯，应抽取的人数为23001006=⨯， 在[)80,75的人数为501000501.0=⨯⨯，应抽取的人数为1300506=⨯. 所以在[)70,65 ，[)75,70，[]80,75三段人数分别为3，2，1.…………………… 8分 （3）中位数为60kg 平均数为(52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01)561.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(kg)…12分19．解：（1）由程序框图可知，当11<≤-t 时，t s 2=，则[)2,2-∈s . 当31≤≤t 时，()322+--=t s组距kg)O0.0.0.0.0.0.0.∵该函数的对称轴为2=t ，∴该函数在[]21，上单调递增，在[]3,2上单调递减. ∴2,3min max ==s s ∴[]3,2∈s综上知，[]3,2-∈s ，集合[]3,2-=A ……………………………… 4分 （１）函数a x ax x x f +++=2331)(有极值,且12)(2'++=ax x x f ， 0)('=x f 有两个不相等的实数根，即04)2(2>-=∆a 解得1-<a 或1>a即命题p ：1-<a 或1>a .……………………………… 8分q p ∧为真命题，则⎩⎨⎧≤≤->-<3211a a 或a ，解得3112≤<-<≤-a 或a ；∴实数a 的取值范围是[)(]2,113--⋃，.……………………………… 12分20．解：双曲线的离心率22221ab ac a c e +===． 因为5e <a b ab 20422<<∴<∴．……………………………… 2分 (1) 因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件),(b a 共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．设“双曲线C 的离心率小于5”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个． 故双曲线C 的离心率小于5的概率为431612)(==A P ．…………………………… 7分(2) ∵[][]6,1,6,1∈∈b a∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤≤≤a b b a 206161 所以以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，21422155=⨯⨯-⨯=阴影S ，由几何概型可知，双曲线C 的离心率小于5的概率为2521=P ．……………………………… 12分21．解：（1）∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，32,22222=-=∴==∴c a b a c∴椭圆C 的标准方程为13422=+y x .……………………………… 4分 (2) 设直线l 的方程为)4(-=x k y ,设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立⎩⎨⎧=+-=1243)4(22y x x k y ，消去y 可得（0126432)43(2222=-+-+k x k x k∵直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，∴0>∆由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k 解得412<k 设),(11y x A ,),(22y x B则34322221+=+k k x x ,3412642221+-=k k x x ……………………………… 7分211643324431264)1(16)(4)1()4()4(2222222221221221212121>++-+-+=++-+=--+=+=⋅k k k k k k k k x x k x x k x k x k x x y y x x OB OA解得196272>k ∴41196272<<k所以k 的取值范围是211433143321<<-<<-k 或k .……………………………… 12分22．解：（1）∵)(2ln )(2R a x x a x a x f ∈++-=，∴12)(22'+--=xa x a x f 当1=a 时，121)(,2ln )(2'+--=++-=xx x f x x x x f 2)1(,3)1('-===f k f曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(23--=-x y 即052=-+y x .……………………………… 3分（2）222222'))(2(212)(x a x a x x a ax x x a x a x f +-=--=+--=0,0>>x a ,由0)('>x f 得a x 2>，由0)('<x f 得a x 20<<)(x f ∴在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．……………………………… 5分①当210120≤<≤<a 即a 时，)(x f 在[]e ,1上为增函数． 12)1()(2+==∴a f a g 在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．…………… 7分②当22121ea e 即a <<<<时，)(x f 在[]a 2,1上为减函数，在(]e a ,2上为增函数． a a a a f a g 3)2ln()2()(+-==∴……………………………… 9分③当22ea e 即a ≥≥时，)(x f 在[]e ,1上为减函数． e ea a e f a g ++-==∴22)()(……………………………… 11分综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-<<+-≤<+=)2(2)221(3)2ln()210(12)(22e a e e a a e a a a a a a a g ……………………………… 12分。
2015-2016学年度第一学期期末测试(数学)
2015～2016学年度第一学期期末测试七 年 级 数 学本卷分值 100分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．34-的相反数是A ．43-B ．43C ．34-D ．342．单项式225x y-的系数和次数分别是A ．－2，2B ．2-，3C ．25-，2D ．25-，33．在下面的四幅图案中，通过平移图案（1）得到的是图案4．下列各组中的两项，不是．．同类项的是 A ．22x y 与23x y - B ．3x 与3xC ．232ab c -与32c b aD ．1与－18 5．若关于x 的方程710x a +-=解是1x =-，则a 的值等于A ．8B ．－8C ．6D ．－6 6．从三个不同方向看一个几何体，得到的三视图 如图所示，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．棱锥D ．球7．已知有理数a ，b 在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中不正确．．．的是 A ．ab＜0 B ．a －b ＞0 C ．a ＋b ＞0 D ．ab ＜0b 0a（1） A B C D（第6题）（第7题）8． 如图，直线a ，b 被直线c 所截，则下列说法中错误．．的是 A ．∠1与∠2是邻补角 B ．∠1与∠3是对顶角C ．∠3与∠4是内错角D ．∠2与∠4是同位角 9． 如图，点D 在直线AE 上，量得∠CDE=∠A=∠C ，有以下三个结论：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③∠B=∠CDA ．则正确的结论是A ．①②③B ．①②C ．①D ．②③ 10．王力骑自行车从A 地到B 地，陈平骑自行车从B 地到A 地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36 km ，到中午12时，两人又相距36 km ．求A 、B 两地间的路程．可设A 、B 两地间的路程为x km ，则下列所列方程中：①363624x x -+=；②36363622x -+=；③36362x -=⨯； ④3636x -=；其中正确的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．用科学记数法表示9600000为 ▲ ．12．点A 、B 在同一条数轴上，其中点A 表示的数为－1，若点B 与点A 之间距离为3，则点B 表示的数为 ▲ ． 13．已知2a b -的值是2015，则124a b -+的值等于 ▲ ．14．若23(2)0x y -++=，则16xy = ▲ ．15．飞机的无风航速为a 千米／小时，风速为20千米／小时．则飞机逆风飞行4小时的行程是 ▲ 千米．16．某服装店以每件180元的价格卖出两件衣服，其中一件 盈利25%，另一件亏损25%，若盈利记为正，亏损记为负，则该店卖这两件衣服总的盈亏金额是 ▲ 元．17．如图，把小河里的水引到田地A 处就作AB ⊥l ，垂足 为B ，沿AB 挖水沟，这条水沟最短的理由是 ▲ ． 18. 如图，将三角板与两组对边分别平行的直尺贴在一起， 使三角板的顶点C （AC ⊥BC ）落在直尺的一边上，若∠1=24°，则∠2等于 ▲ 度． 19．如图，平面内有公共端点的6条射线OA 、OB 、OC 、 OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在 射线上写上数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字 “2016”应在射线 ▲ 上．20．已知线段AB =12㎝，若M 是AB 的三等分点，N 是AM 的中点，则线段BN 的长度为 ▲ ㎝．三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文ac1 234 A B C DE（第8题） （第9题）（第17题）（第18题）（第19题）字说明、证明过程或演算步骤） 21．（每小题4分，共16分）计算：（1） (20)(3)(5)(7)-++---+；（2） 111()(12)462+-⨯-；（3） 322(2)(3)(4)2(3)(2)⎡⎤-+-⨯-+--÷-⎣⎦；（4） 471127326631440-+⨯-⨯÷．22．（每小题3分，共6分）（1）如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4㎝，求线段CD的长度．（2）如图，货船A 在灯塔O 的北偏东53°35′的方向上，客船B 在灯塔O 的南偏东28°12′的方向上．求∠AOB 的度数．23．（每小题4分，共8分）先化简，再求值：（1）求22113333a abc c a c +--+的值，其中1,2,36abc =-==-；（2）求2211312()()2323x x y x y --+-+的值，其中22,3x y =-=．24．（每小题4分，共8分）解方程： （1）72(33)20x x +-=； （2）121224x x+--=+．25．（本小题6分）如图，AD ∥BC ，∠1=60°，∠B =∠C ，DF 为∠ADC 的平分线． （1）求∠ADC 的度数；（2）试说明DF ∥AB ． 解：（1）根据题意完成填空（括号内填写理由）： ∵AD ∥BC （已知）∴∠B =∠1（ ） 又∵∠B =∠C （已知） ∴ =∠1=60°C D （第22题（2）） A O B 西 东 北南 （第22题（1））又∵AD ∥BC （已知）∴∠ADC +∠C =180°（ ） ∴∠ADC = ．（2）请你完成第2题的解答过程：26．（本小题4分）列方程解应用题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 27．（本小题6分）如图：已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F ． （1）如图1，若∠E ＝78°，则∠BFD = °；（2）如图2，若∠ABM ＝14∠ABF ，∠CDM ＝14∠CDF ，则∠M 和∠E 之间的数量关系为 ；（3）如图2，∠ABM ＝1n ∠MBF ，∠CDM ＝1n∠MDF ，设∠M ＝m °，直接用含有n ，m 的代数式表示出∠E ＝ °．28．（本小题6分）如图，在∠AOB 的内部作射线OC ，使∠AOC 与∠AOB 互补．将射线OA ，OC 同时绕点O 分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA ，OC 分别记为OM ，ON ，设旋转时间为t 秒．已知t ＜30，∠AOB ＝114°． （1）求∠AOC 的度数；（2）在旋转的过程中，当射线OM ，ON 重合时，求 t 的值； （3）在旋转的过程中，当∠COM 与∠BON 互余时，求 t 的值．BE DFACBE DFA CM 图1图2CMNB（第27题）。
广西钦州市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某某某市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（）A．4 B．12 C．D．242．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定3．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}4．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i5．若l、a、b表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（）A．l∥α，a⊂α⇒l∥a B．a∥α，a∥b⇒b∥αC．a∥α，b⊥α⇒a⊥b D．a∥α，α∥β⇒a∥β6．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=07．将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的（）A．2倍B．8倍C．4倍D．0.5倍8．若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不能确定9．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外11．关于斜二侧画法，下列说法正确的是（）A．三角形的直观图可能是一条线段B．平行四边形的直观图一定是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形12．多面体的直观图如图所示，则其正视图为（）A．B．C．D．二、填空题13．函数f（x8）=log2x，则f（16）的值是．14．设a=sin（sin2008°），b=sin（cos2008°），c=cos（sin2008°），d=cos（cos2008°）．则a，b，c，d从小到大的顺序是．15．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为．16．已知数列{log2（a n﹣1）}，（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．一物体受到与它运动方向相同的力：的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于．18．空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．三、解答题19．已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（﹣a，b）．（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，﹣b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=﹣，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足+=，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值X围．20．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．21．在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．22．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命/小时100～200 200～300 300～400 400～500 500～600个数20 30 80 40 30（1）完成频率分布表；分组频数频率100～200200～300300～400400～500500～600合计（2）完成频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率．23．求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．2015-2016学年某某某某市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（）A．4 B．12 C．D．24【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过左视图，判断几何体的数据，然后求解侧面积．【解答】解：∵正三棱柱的左视图为：，正三棱柱的底面是正三角形，由图知底面正三角形的高为，∴易求得正三角形的边长为2，∴正三棱柱的侧面积为：2×2×3=12．故选：B．【点评】本题考查三视图侧面积的求法，考查学生的视图能力以及计算能力．2．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】根据圆心C到直线l的距离正好等于半径，可得直线和圆相切．【解答】解：由于圆心C（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为=2，正好等于半径，故直线和圆相切，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．3．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）={x|0＜x＜1}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到选项．【解答】解：复数z==所以它的共轭复数为：1﹣i故选A【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．5．若l、a、b表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（）A．l∥α，a⊂α⇒l∥a B．a∥α，a∥b⇒b∥αC．a∥α，b⊥α⇒a⊥b D．a∥α，α∥β⇒a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断．B．根据线面平行的判定定理进行判断．C．根据线面垂直的性质定理进行判断．D．根据线面平行的性质进行判断．【解答】解：A．根据线面平行的性质可知，l∥a不一定成立，有可能是异面直线．B．当b⊄α，结论成立，当b⊂α，则结论不成立．C．根据线面垂直和线面平行的性质可知，若a∥α，b⊥α，则a⊥b成立．D．若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，∴结论不成立．故选：C．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直定理的内容及应用．6．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=0【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分两种情况：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，把P 的坐标代入即可求出k的值，得到直线l的方程；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为x+y=a，把P的坐标代入即可求出a的值，得到直线l的方程．【解答】解：①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx把点P（2，3）代入方程，得：3=2k，即所以直线l的方程为：3x﹣2y=0；②当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线l的方程为：把点P（2，3）代入方程，得：，即a=5所以直线l的方程为：x+y﹣5=0．故选C【点评】本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式，直线方程的截距式的应用，不要漏掉截距为0的情况的考虑，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题7．将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的（）A．2倍B．8倍C．4倍D．0.5倍【考点】球的体积和表面积．【专题】规律型；空间位置关系与距离．【分析】根据“球的体积V=πr3”进行推导，进而得出结论．【解答】解：设球的半径为r，则原来的体积S=πr3，当半径变为原来的2倍时，即半径为2r，则体积V=π（2r）3=πr3×8，即这个球的体积就变为原来的8倍．故选B．【点评】解答此题要明确球的半径扩大n倍，其周长扩大n倍，面积扩大n2倍，体积扩大n3倍．8．若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不能确定【考点】幂函数的性质．【专题】计算题．【分析】由幂函数的性质可判断α的取值，当α＞0时，函数单调递增，当α＜0时，函数在（0，+∞）单调递减可求【解答】解：由幂函数的性质可知，当α＞0时，函数单调递增，当α＜0时，函数在（0，+∞）单调递减可求∵f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数∴a＞0故选A【点评】本题主要考查了幂函数的单调性的应用，解题中要注意α的符号对函数单调性的影响．属于基础试题9．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意得到集合B是集合A的子集，所以求出集合A子集的个数即为集合B的个数．【解答】解：因为A∪B={1，2}=A，所以B⊆A，而集合A的子集有：∅，{1}，{2}，{1，2}共4个，所以集合B有4个．故选A【点评】本题重在理解A∪B=A表明B是A的子集，同时要求学生会求一个集合的子集．10．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】由EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC上．【解答】解：∵EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，∴P在两面的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选A．【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．11．关于斜二侧画法，下列说法正确的是（）A．三角形的直观图可能是一条线段B．平行四边形的直观图一定是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形【考点】平面图形的直观图．【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据斜二侧直观图的画法法则，直接判断选项的正确性即可．【解答】解：对于A，三角形的直观图仍然是一个三角形，命题A错误；对于B，平行四边形的直观图还是平行四边形，命题B正确；对于C，正方形的直观图不是正方形，应是平行四边形，命题C错误；对于D，菱形的直观图不是菱形，应是平行四边形，命题D错误．故选：B．【点评】本题考查了斜二侧画直观图的应用问题，注意平行x，y轴的线段，仍然平行坐标轴，不平行坐标轴的线段，只看它们的始点和终点，是基础题．12．多面体的直观图如图所示，则其正视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；规律型；空间位置关系与距离．【分析】直接利用三视图的画法，判断选项即可．【解答】解：应用可知几何体的正视图为：．故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，是基础题．二、填空题13．函数f（x8）=log2x，则f（16）的值是．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】令x8=16，利用指数知识求得x=，再代入解析式右端求出即可．【解答】解：令x8=16，x8=24=8，解得x=，所以f（16）=log2=故答案为：【点评】本题考查函数值求解，要对函数的概念及表示方法有准确的理解和掌握．14．设a=sin（sin2008°），b=sin（cos2008°），c=cos（sin2008°），d=cos（cos2008°）．则a，b，c，d从小到大的顺序是b＜a＜d＜c．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值．【分析】先应用诱导公式化简sin2008°=﹣sin28°，cos2008°=﹣cos28°=﹣sin62°，从而a=﹣sin（sin28°），b=﹣sin（sin62°），c=cos（sin28°），d=cos（sin62°），再根据正弦、余弦函数的单调性即可判断a，b，c，d的大小．【解答】解：∵2012°=5×360°+208°，∴a=sin（sin2008°）=sin（sin208°）=sin（﹣sin28°）=﹣sin（sin28°）＜0，b=sin（cos2008°）=sin（cos208°）=sin（﹣cos28°）=﹣sin（cos28°）＜0，c=cos（sin2008°）=cos（sin208°）=cos（﹣sin28°）=cos（sin28°）＞0，d=cos（cos2008°）=cos（cos208°）=cos（﹣cos28°）=cos（cos28°）＞0，∵cos28°=sin62°，∴＜sin32°＜＜sin62°，∴c＞d，﹣b＞﹣a，∴b＜a＜d＜c故答案为：b＜a＜d＜c．【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的单调性及应用，注意单调区间，同时考查诱导公式的应用，是一道中档题．15．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为．【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是，再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即．【解答】解：∵b千克糖水中含a千克糖（0＜a＜b）时，糖水的“甜度”为，∴若在该糖水中加入m（c＞0）千克糖，则此时的“甜度”是，又∵糖水会更甜，∴故答案为：【点评】本题考查生活常识中出现的不等式及运用不等式求解，易错点是得到加糖后糖的质量和糖水的质量．16．已知数列{log2（a n﹣1）}，（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其对数的运算性质即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列 {log2（a n﹣1）}，（n∈N*）的公差为d．由且a1=3，a3=9，可得：log2（9﹣1）=log2（3﹣1）+2d，∴3=1+2d，解得d=1．∴log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）=n，∴a n=2n+1．（2）由a n=2n+1．∴数列{a n}的前n项和S n=+n=2n+1﹣2+n．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．一物体受到与它运动方向相同的力：的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；规律型；转化思想．【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，1]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案【解答】解：由题意，的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于又===综上知，从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于故答案为【点评】本题考查定积分的应用，物理中的变力所做的功用定积分求解是定积分在物理中的重要应用，正确解答本题的关键是理解功与定积分的对应，用代数方法求解物理问题是一个学科之间结合的问题，在近几个的高考改革中，此类问题渐成热点18．空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据空间两点之间的距离公式，将A、B两点坐标直接代入，可得本题答案．【解答】解：∵点A（0，0，1），点B（0，1，0），∴根据空间两点之间的距离公式，可得线段AB长|AB|==故答案为：【点评】本题给出空间两个定点，求它们之间的距离，着重考查了空间两点之间距离求法的知识，属于基础题．三、解答题19．已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（﹣a，b）．（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，﹣b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=﹣，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足+=，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值X围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）设M（x，y）根据=（+）分别用三点的坐标表示出三个向量，进而解得x和y，则M点坐标可得．（2）直线l1与椭圆方程联立消去y，根据判别式求得，a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），利用韦达定理可求得x1+x2的表达式，进而求得x0，代入直线方程求得y0，两直线方程联立根据直线l2的斜率求得x=x0，y=y0进而判断出E为CD的中点；（3）先求出PQ的中点的坐标，进而求出直线OE的斜率，再由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率，直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，进而求得q的取值X围．【解答】解：（1）设M（x，y）∵=（+），∴2（x+a，y﹣b）=（a，﹣2b）+（2a，﹣b）∴，解得x=y=﹣M点坐标为（，﹣）（2）由方程组，消y得方程（a2k′1+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，因为直线l1：y=k1x+p交椭圆于C、D两点，所以△＞0，即a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），则x0==﹣，y0=k1x0+p=，由方程组，消y得方程（k2﹣k1）x=p，又因为k2=﹣，所以x==x0，y=k2x=y0故E为CD的中点；（3）求作点P1、P2的步骤：1°求出PQ的中点E（﹣，），2°求出直线OE的斜率k2==，3°由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k1=，4°从而得直线P1P2的方程：y﹣=（x+），5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以+＜1，化简得sinθ﹣cosθ＜，∴sin（θ﹣）＜，又0＜q＜p，所以﹣＜θ﹣＜arcsin，故q的取值X围是（0，+arcsin）【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提是要求学生对基础知识有相当熟练的把握．20．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）把已知数列递推式变形，得到，然后利用累加法求数列的通项公式；（Ⅱ）分组后利用等差数列的前n项和及错位相减法求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解（Ⅰ）由a n+1=（1+）a n+，得，∴，，，…，累加得：=．∴；（Ⅱ）=，令，则，=，∴，则．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．21．在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先根据cosB求出sinB的值，再由两角和与差的正弦公式求出sinA的值，由余弦定理求出c的值，最后根据三角形的面积公式求得最后答案．【解答】解：由题意，得为锐角，，，由正弦定理得，∴．【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角形面积公式的应用，属基础题．寿命/小时100～200 200～300 300～400 400～500 500～600个数20 30 80 40 30分组频数频率100～200200～300300～400400～500500～600合计（2）完成频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率．【考点】互斥事件的概率加法公式；频率分布直方图．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）由题意知，本题已经对所给的数据进行分组，并且给出了每段的频数，根据频数和样本容量做出频率，填出频率分布表（2）结合前面所给的频率分布表，画出坐标系，选出合适的单位，画出频率分步直方图．（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，我们估计电子元件寿命在100～400h内的概率为0.65．（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率，我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35．【解答】解：（1）完成频率分布表如下：分组频数频率100～200 20 0.10200～300 30 0.15300～400 80 0.40400～500 40 0.20500～600 30 0.15合计200 1（2）完成频率分布直方图如下：（3）由频率分布表可知，寿命在100～400小时的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65，所以估计电子元件寿命在100～400小时的概率为0.65（4）由频率分布表可知，寿命在400小时以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，所以估计电子元件寿命在400小时以上的概率为0.35【点评】本题在有些省份会作为高考答题出现，画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义．通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤．23．求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．【考点】正弦函数的单调性．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），利用复合三角函数的单调性转化为求y=sin （x﹣），x∈[﹣2π，2π]的单调递减区间．【解答】解：y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），要求函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．即求y=sin（x﹣），x∈[﹣2π，2π]的单调递减区间．∴由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）得：4kπ+≤x≤+4kπ（k∈Z），∴y=sin（﹣x）的递增区间为[4kπ+，+4kπ]（k∈Z），又x∈[﹣2π，2π]，∴y=sin（﹣x）在x∈[﹣2π，2π]上的递增区间为[﹣2π，﹣]和[，2π]．【点评】本题考查复合三角函数的单调性，由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）求得y=sin（﹣x）的递增区间是关键，也是易错点，属于中档题．。
东城区高二数学(理)期末试卷答案
北京市东城区2015-2016学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）答案一、选择题 1．A 2．D 3．C 4．B 5．C6．B解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长为2的正方形，，∴3=， 四棱锥底面的面积是12222=××∴四棱锥的体积是12323=××因此，本题正确答案是．2 7．A 8．A 9．D解：由题意知直线l 的斜率一定存在，故设方程为(1y k x +=，由圆心到直线的距离小于等于半径得：1，解得0k ≤，故直线l 的倾斜角的取值范围是π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 10．D二、填空题11．x y 43±= 1213．1714．6215．43 解：据题意，212F P F F =，1230F PF ∠=︒，∴12120F F P ∠=︒． ∴2PF x ∠ = 60°，∴2FP =23322a c a c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∵122F F c =，∴322a c c -=， ∴34a c =，34c a = 即椭圆的离心率为34．16．⎣⎦ 解：分别取111,BB B C 的中点M N ，连接11,A M A N MN ，，显然NM ∥面AEF ，又1AA EN 为平行四边形，所以1A N AE ∥，所以面1A MN ∥面AEF ，所以P 在MN 上，当P 为MN 中点O 时，取得最小值，当P 在M 或N 时，取得最大值1A M =，1AO ． 三、解答题17．解：⑴ 因为底面ABCD 是菱形，所以CD AB ∥．2分 又因为CD ⊄平面PAB ，4分且AB ⊂平面PAB ， 所以CD ∥平面PAB ．5分PEDCBA⑵ 因为PA PB =，点E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥．6分因为平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB 平面ABCD AB =， PE ⊂平面PAB ，8分 所以PE ⊥平面ABCD ．9分因为AD ⊂平面ABCD ， 所以PE AD ⊥．10分18．解：⑴ 设圆C 的圆心坐标为()a a ，，=即226921a a a a -+=++，解得1a =， 2分 所以222(11)(31)4r =-+-=，4分 所以圆C 的方程为22(1)(1)4x y -+-=．5分⑵ 依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1，所以直线2x =符合题意．6分设直线l 方程为2(2)y k x +=-，即220kx y k ---=，1=，解得43k =-，所以直线l 的方程为42(2)3y x +=--，即4320x y +-=．9分 综上，直线l 的方程为20x -=或4320x y +-=．10分19．解：联立两条直线的方程，得到方程组10340.x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解此方程组，得347.4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，如图，平行四边形ABCD 的一个顶点是3744A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．2分设00()C x y ，，由题意，点()33M ，是线段AC 的中点， 所以03432x -=，07432y +=， 4分 解得0274x =，0174y =．5分由已知，直线AD 的斜率3AD k =， 因为直线BC AD ∥， 所以，直线BC 的方程为1727344y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即3160x y --=．7分由已知，直线AB 的斜率为1AB k =-． 因为直线CD AB ∥， 所以，直线CD 的方程为172744y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 即110x y +-=．9分因此，其他两边所在直线的方程是3160x y --=，110x y +-=． 10分20．解：⑴ 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥， 因为BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB ， 又AM ⊂平面PAB ， 所以AM BC ⊥，因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥， 又PBBC B =，所以AM ⊥平面PBC ．3分⑵ 如图，在平面ABC 内，作AZ BC ∥，则AP ，AB ，AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)P ，(0,2,0)B ，(0,2,1)C ，(1,1,0)M ． (2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM =设平面APC 的法向量为()n x y z =，，，则 00n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即020.x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-， 所以(0,1,2)n =-．5分由⑴可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设n AM ，的夹角为α，则cos α， 因为二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --． 7分⑶ 设()D u v w ，，是线段PC 上一点，且(01)PD PC λλ=≤≤，即(2)(221)u v w λ-=-，，，，， 所以22u λ=-，2v λ=，w λ=， 所以(2222)BD λλλ=--，，， 由0BD AC ⋅=，得45λ=． 9分因为4[01]5∈，，所以在线段PC 上存在点D ，使得BD AC ⊥，此时，45PD PC λ==． 11分21．解：⑴ 由已知，椭圆方程可设为22221(0)x y a b a b +=>>．1分因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2， 所以1b c ==，a =所求椭圆方程为2212x y +=．3分⑵ 因为直线l 过椭圆右焦点(10)F ，，且斜率为1， 所以直线l 的方程为1y x =-．4分设11()P x y ，，22()Q x y ，．由22221x y y x ⎧+=⎨=-⎩，，得23210y y +-=，解得12113y y =-=，，所以1212112||||||223POQ S OF y y y y =⋅-=-=△． 6分⑶ 假设在线段OF 上存在点(0)(01)M m m <<，，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线l 与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠．由2222(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，，可得2222(12)4220k x k x k +-+-=， 因为4222164(12)(22)8(1)0k k k k ∆=-+-=+>，所以22121222422,1212k k x x x x k k -+==++．8分设11()P x y ，，22()Q x y ，，PQ 的中点为00()N x y ，所以202212k x k =+，0212ky k -=+， 因为以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形， 所以MN PQ ⊥，1MN k k ⋅=-，所以222121212MNkk k k k kmk -+⋅=⋅=--+，整理得222221212k k m k k -=-+++，2222221212k k k m k k -+==++．所以22(0)12k m k k =≠+， 10分 所以102m <<．11分。
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
甘肃省嘉峪关市高二上学期期末考试文科数学试题 有答案
嘉峪关市酒钢三中2015~2016学年第一学期期末考试高二数学（文科）试卷一、选择（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12×5=60分）1.已知1F （-3,0）,2F （3,0），动点M 满足12+5MF MF =,则点M 的轨迹是（ ）A ．双曲线 B. 椭圆 C. 线段 D.不存在2．中心在原点的双曲线，一个焦点为(0F 1，则双曲线的方程是（ ） A ．2212x y -= B ．2212y x -= C ．221x = D ．221y -= 3.命题“若090C ∠=，则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）A ．4B ．2C ． 0D ． 14．过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为45的直线l ，直线l 交抛物线于B A 、两点，则弦AB 的长是（ ）A. 8 B ． 16 C ．32 D ． 645.已知两条曲线21y x =-与31y x =-在点0x 处的切线平行，则0x 的值为（ ） A. 0 B.23- C.0 或 23- D. 0 或 1 6.下列命题中是真命题的是（ ）①“若220x y +≠，则x y 、不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题；④“2,+20x R x x ∃∈+≤”的否定.A. ①③④B.①②③④C.②③④D.①④ 7.已知椭圆()2222+10x y a b a b=>>，A 为左顶点，B 为短轴端点，F 为右焦点，且AB BF ⊥，则椭圆的离心率为（ ）A C.8.设点P 是双曲线2214x y -=上的点，12F F ，是其焦点，且1290F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）A ．4 B. 5 C. 1 D. 29.已知直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k 的值为（ ）A.e B ．e - C ．1e -D ．1e 10.已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A.1(,1)4 B.1(,1)4- C.(1,2) D.(1,2)- 11.过原点的直线l 与双曲线22193x y -=-有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭ B. ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 33⎡-⎢⎣⎦ D. ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭12.设抛物线24y x =的焦点为F ，过点()2,0M 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，32BF =，则=BC AC（ ） A. 1: 4 B. 1: 5 C. 1: 7 D. 1: 6二、填空（共4×5=20分）13.抛物线28y x =-的焦点坐标为______________.14.曲线22x y e x =+在点()0,2处的切线方程为_____________. 15.直线:1l y kx =+与双曲线22:1C x y -=仅有一个公共点，则k =_____________. 16.方程22+=141x y k k --表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ①曲线C 不可能是圆；②若14k <<,则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则1k <或4k >；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512k <<. 其中正确的是__________.三、解答题（6小题共70分，请在指定位置写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题10分）已知命题:46p x -≤，命题22:210(0).q x x a a -+-≥> 若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.18．（本题12分）已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点与x 轴上的较近端点间的距离为1)，求椭圆方程.19.（本题12分）已知函数.93)(23a x x x x f +++-=(1)求)(x f 的单调区间；(2)若)(x f 在区间[]2,2-上的最大值为20，求a 的值.20.（本题12分）过定点()1,2P 的直线l 交双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：于,A B 两点，线段AB 的中点坐标为()2,4，. 求曲线C 的方程.21.（本题12分）已知椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 2:-=kx y 与椭圆C 交于B A ,两点，点()0,1P ，求直线l 的方程．22.（本题12分）已知函数x eax x f 1)(-=. (1)当1=a 时，求函数)(x f 的单调区间； (2)若对任意的1[2]2x ∈，，x x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围.高二数学答案（文科）一．选择题DABBC ABCDA BD二．填空题 13.1032⎛⎫ ⎪⎝⎭，- 14.22y x =+15.1±±， ③④ 三．解答题17.:210p x -≤≤；:2p x ⌝<-或10x >；q :1x a ≤-或1x a ≥+p ⌝为q 的充分不必要条件12110a a -≥-⎧∴⎨+<⎩或12110a a ->-⎧⎨+≤⎩ 得： 3.a ≤18. 设椭圆方程为：()2222+=10x y a b a b>>,则由2221)b c a c a b c =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩得4a b c ⎧=⎪⎨==⎪⎩. 故椭圆方程为：22+=13216x y . 19. （1）)(x f 的单调递增区间为：()1,3-；单调递减区间为：(),1-∞-和()3+∞，.（2）由()'23690f x x x =-++=得1x =-.(1)5f a -=-，(2)+2f a -=，(2)22f a =+max (x)2220f a ∴=+=得2a =-20.设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩相减得：()()2121221212x x b y y x x y y a+-=-+ 即2242=8b a,得224.b a =又1a c +=且222a b c +=221,4a b ∴==故双曲线的方程为：2214y x -=. 21．(1)由已知62=a ，解得3=a ， 所以3222=-=c a b ，所以椭圆C……4分 (2)得0312)31(22=+-+kx x k ， 直线与椭圆有两个不同的交点，所以0)31(1214422>+-=∆k k 解得 设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）……7分 PE ⊥AB ，1-=⋅AB PE k k ,解得1±=k , 经检验，符合题意，所以直线l 的方程为02=--y x 或02=++y x 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年度上学期（期末）考试高二数学文试题【新课标】试卷说明：1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．设i 是虚数单位，则复数－i1＋2i( i 是虚数单位)的实部是( )A ．15B ．－15C ．－15D ．－252．已知命题p ：∃x 0∈C ，x 20＋1<0，则 ( )A ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1≤0B ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1<0C ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1≥0D ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1>03．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工人数为7，则样本容量为( )A ．7B ．15C ．25D ．35 4．已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．235．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ． m ≥1 C．m >1 D ．m >26．如右图所示的程序框图中，输入x ＝2，则输出的结果是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．下列命题中，假命题．．．是( ) A ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则命题p 与q 必一真一假 B ．互为逆否命题的两个命题真假相同C ．“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件D ．若f (x ) =2x ，则f ′(x )＝x ·2x －18．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值，当x ＝3时，v 3的值为( )A ．27B ．86C ．262D ．7899．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：x 216＋y 29＝1，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在A 点处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的路程可能是( )A ．2(4－7)B ．2(4＋7)C ．16D ．以上均有可能10．若关于实数x 的不等式x 3－3x 2－9x ≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，5]B ．(－∞，－22]C ． (－∞，－2]D ．[－14,5]11．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )A ．－1＜b ＜2B ．－1≤b ≤2C ．b ＜－1或b ＞2D ．b ≤－2或b ≥212．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )≤0，对任意正实数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________。
14．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m 的概率是_____。
15由表中数据得到的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中b ^＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元。
16．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (4,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是________。
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题满分10分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，从报名的6名教师中任选2名，(I) 写出所有可能的结果；(II) 求选出的2名教师来自同一学校的概率。
18（本小题满分12分）某校为了了解学生数学学习情况，随机抽取60位学生期中 考试数学成绩,并作出频率分布直方图如右图所示,其中成 绩分组区间是:[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100，(I) 求图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校学生数学成绩的平均分；(II)若这60名学生的数学成绩某些分数段的人数(x )与语文成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示,求语文成绩在[)50,90之外的人数。
19（本小题满分12分）已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x ＋b (a 、b ∈R )，其图象在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y－3＝0.(Ι)求a 、b 的值；(II)求函数f (x )的单调区间和极值点。
20（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (2，－4)， (I)求抛物线C 的方程，并求其准线l 方程；(II)若点B (1,2)，直线l 过点B 且与抛物线C 交于P 、Q 两点，若点B 为PQ 中点，求直线l 的方程。
21（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，直线2x ＋y ＋2＝0经过椭圆M ：22221x y a b+=(a>b>0)的左焦点且与椭圆M 交于A ，B 两点，其中点A 是椭圆的一个顶点，(Ι)求椭圆M 的方程；(II)C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积S 的最大值。
22（本小题满分12分）已知函数()1,xf x e ax =+-(I)求证：当a ＞－1且x ＞0时，()0f x >；(II)2()2x g x e x x k =+-+，若对任意123,,[1,1]x x x ∈-，长分别为123(),(),()g x g x g x 的线段 能构成三角形，求实数k 的取值范围。
参考答案(II) 从报名的6名教师中任选2名的15种情况等可能出现，且选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲1, 甲2), (甲1, 甲3)、(甲2, 甲3)、(乙3, 乙1)、(乙1, 乙2), (乙2, 乙3)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为62155=. …………10分 18．解：解:(Ⅰ)由()20.020.030.04101a +++⨯=,解得0.005a =.0.05550.4650.3750.2850.059573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………6分(II)这60位学生数学成绩在[]90,100的分别有3人、24人、18人、12人,按照表中所给比例，语文成绩在[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90的分别有3人、12人、24人、15人,共54人, 故语文成绩在[)50,90之外的人数有6人。
………12分19．解：(Ι)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，∵(1，f (1))在直线x ＋y －3＝0上，∴f (1)＝2，f ′(1)＝－1∴2＝13－a ＋a 2－1＋b ，a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，b ＝83. (6)分(II)∵f (x )＝1x 3－x 2＋8，∴f ′(x )＝x 2－2x ，由f ′(x )＝0可知x ＝0或x ＝2，列表如下：f (x )的极大值点为x ＝0，极小值点为x ＝2。
………12分20．解：(I)由题，抛物线C 的方程为y 2＝8x ，其准线l 方程为x ＝－2； (II)显然，直线l 的斜率不存在或直线l 的斜率为0均不符合题意， …………4分故可设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，2211221122(,),(,),8,8P x y Q x y y x y x ==设由题知.221212121212888,2y y y y x x k x x y y --=-∴===-+所以,直线l 的方程为2x －y ＝0。
…………12分21．解：(I)由题可知，椭圆M 左焦点为（－1,0），一个顶点A 为（0，－ 2）,则椭圆M 的方程为22154x y +=； …………4分(II)由题，2233441(0,2),(,),(,),(,),+2A B x y C x y D x y CD y x b -=设直线: 22216100,||5422x y x x AB y x ⎧+=⎪+==⎨⎪=--⎩由得故有22222212020800,320(214)01541||+2x y x bx b b CD y x b⎧++-=∆=-≥+=⎪⎪⎨=≤⎪=⎪⎩得由故有。