第4章_正弦稳态电路分析
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正弦稳态电路分析和功率计算
2
Y = 0.1 + j0.2S
0.025F 0.1S
0.02F
十、利用相量图求解电路
例 如图所示电路，uS 2US cost ，求输出电压 uO(t) 对 uS(t) 的相位关系。
C
解：（一）解析法
+
+
1
uS
R uO
–
–
（二）相量图法
U O②
I jC
+ US
U C
R
+ UO
–
–
I ①
③ U C
直流电阻电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
R11Im1 R12Im2 R1mImm uS11
R
21I
m1
R
22I
m2
R 2mImm
uS22
R m1Im1 R m2Im2 R mm Imm uSmm
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
ZZ1211IImm11
Z12I m 2 Z 22I m 2
Z1m I mm Z 2 m I mm
U S11 U S22
Zm1Im1 Zm2Im2 Zmm Imm U Smm
例 uS = 6cos3000t V，求正弦稳态时的 i1 , i2 。
i1 1k
+2000–i1 i2
uS
(3)
Z
U I
U I
u i
= R + jX = |Z| Z
Z R2 X2
Z
arctg
X R
ZU I
Z = u – i
(4) 阻抗的性质
正弦稳态电路的分析
Z1=Z2=-j200Ω
14、如图所示14正弦稳态电路，R=XL=5Ω，I1=10A，
UC=100V，XC=10Ω，
试求U和I。
解：设 2=I2 A
=50 V
=100 2=10 A 1=10 A
所以，I= =10 AI12+I2=I22
易知 与 同相
U= UC=100 V
15、如图15a所示正弦稳态电路，R1=1KΩ，R2=2KΩ，L=1H，求Ucd=Uab时C的值。
解：电路的总阻抗为
Z=-jXC+ = +j( -XC)
当XC=1Ω和XC=2Ω，可以列出如下两个方程
(1)
(2)
解（1）、（2）得，R=2 Ω，XL=2Ω
4、图4所示工频正弦电流电路中，U=100V，感性负载Z1的电流I1=10A，功率因数λ1=0.5，R=20Ω。
（1）求电源发出的有功功率、电流I、功率因数λ
(3)u= u1+u2+u3的表达式
解：（1）将 ， 写成标准指数形式，即
=-100∠150°V=100∠-30°V
=-100+j100 V=100 ∠135°V
根据相量和正弦量的关系，可得
u1=50 cos(314t+60°) V，u2=100 cos(314t-30°) V
u3=200cos(314t+135°) V
解： =Y =( ) = 45°
I= A
11、列出图11所示电路相量形式的回路方程和结点方程。
解：设各回路方向如图所示。
回路方程如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
- = S（5）
选结点0作为参考结点，结点方程如下:
14、如图所示14正弦稳态电路，R=XL=5Ω，I1=10A，
UC=100V，XC=10Ω，
试求U和I。
解：设 2=I2 A
=50 V
=100 2=10 A 1=10 A
所以，I= =10 AI12+I2=I22
易知 与 同相
U= UC=100 V
15、如图15a所示正弦稳态电路，R1=1KΩ，R2=2KΩ，L=1H，求Ucd=Uab时C的值。
解：电路的总阻抗为
Z=-jXC+ = +j( -XC)
当XC=1Ω和XC=2Ω，可以列出如下两个方程
(1)
(2)
解（1）、（2）得，R=2 Ω，XL=2Ω
4、图4所示工频正弦电流电路中，U=100V，感性负载Z1的电流I1=10A，功率因数λ1=0.5，R=20Ω。
（1）求电源发出的有功功率、电流I、功率因数λ
(3)u= u1+u2+u3的表达式
解：（1）将 ， 写成标准指数形式，即
=-100∠150°V=100∠-30°V
=-100+j100 V=100 ∠135°V
根据相量和正弦量的关系，可得
u1=50 cos(314t+60°) V，u2=100 cos(314t-30°) V
u3=200cos(314t+135°) V
解： =Y =( ) = 45°
I= A
11、列出图11所示电路相量形式的回路方程和结点方程。
解：设各回路方向如图所示。
回路方程如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
- = S（5）
选结点0作为参考结点，结点方程如下:
课件-第4章 正弦稳态电路分析--例题
第4章 正弦稳态电路分析--例题√【例4.1】已知两个同频正弦电流分别为()A 3314cos 2101π+=t i ，()A 65314cos 2222π-=t i 。
求（1）21i i +；（2）dt di 1；（3）⎰dt i 2。
【解】 （1）设()i t I i i i ψω+=+=cos 221，其相量为i I I ψ∠=∙（待求），可得：()()()()A54.170314cos 224.14A54.17014.24A 34.205.14 A1105.19A j8.665 A15022A 601021︒-=︒-∠=--=--++=︒-∠+︒∠=+=∙∙t i j j I I I（2）求dtdi 1可直接用时域形式求解，也可以用相量求解()()︒+︒+=︒+⨯-=9060314cos 23140 60314sin 3142101t t dt di用相量形式求解，设dt di 1的相量为K K ψ∠，则有 )9060(31406010314K 1K ︒+︒∠=︒∠⨯==∠∙j I j ωψ两者结果相同。
（3）⎰dt i 2的相量为︒∠=︒∠︒-∠=∙12007.0903********ωj I【例4.2】 图4-9所示电路中的仪表为交流电流表，其仪表所指示的读数为电流的有效值，其中电流表A 1的读数为5 A ，电流表A 2的读数为20 A ，电流表A 3的读数为25 A 。
求电流表A 和A 4的读数。
图4-9 例4.2图【解】 图中各交流电流表的读数就是仪表所在支路的电流相量的模（有效值）。
显然，如果选择并联支路的电压相量为参考相量，即令V 0︒∠=∙S S U U ，根据元件的VCR 就能很方便地确定这些并联支路中电流的相量。
它们分别为：A 25 ,A 20 ,A 05321j I j I I =-=︒∠= 根据KCL ，有：()A095A 5A 457.07A 55324321︒∠==+=︒∠=+=++=j I I I j I I I I 所求电流表的读数为：表A ：7.07 A ；表A 4：5 A【例4.3】 RLC 串联电路如图4-12所示，其中R ＝15Ω，L ＝12mH ，C ＝5μF ，端电压u ＝1002cos （5000t ）V 。
电路分析基础第4章 相量法(2h)
Im
U 2
U
U 1
41.9
60 30
Re
U
Im
U 2
首
U 1
60 尾
41.9
相 接
30
Re
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第4章 正弦稳态电路分析
4.3 基尔霍夫定律的相量形式和基本
元件伏安关系的相量形式
一. 电阻 i(t)
+
uR(t) R -
•
I
+
•
UR
R
-
相量模型
已知 i(t) 2I cos(wt y i )
设 i(t)=Imcos(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos2
(
wt
Ψ
) dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
cos2 ( wt Ψ ) 1 cos2(wt Ψ )
2
I 0.707Im Im 2I
i(t) Im cos(wt Ψ ) 2I cos(wt Ψ )
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u2 (t) 4 2cos(314t 60o ) V
U1 630o V U 2 460o V
U U1 U 2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u(t) u1(t) u2 (t) 9.64 2cos(314 t 41.9o ) V
dt
C 相量形式：
•
U Uy u
•
IC
wCUy u
π 2
1 相量关系：
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
电路设计--正弦稳态电路的分析
试求电流i1(t)
解：先画出电路的相量模型，如(b)所示，其中
30 V, U S1
jL j1,
j4V 4 90 V U S2
1 j1 jω C
1. 支路分析 以支路电流作为变量，列出图(b)所示相量模型的KCL 和KVL方程
I I I I I I 11 22 3 3 00
和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析
差别仅在于所得电路方程为以相量形式表
示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，
而计算则为复数运算。
基本分析思路： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 2）选择适当的电路分析方法： 等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、 节点法、应用电路定理分析法等； 3）频域求解（复数运算）得到相量解； 4）频域解转化为时域解。
由电流相量得到相应的瞬时值表达式
i1 (t ) 3.162 2 cos(2t 18.43 )A
3. 结点分析 为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用导纳参 数的相量模型，如图所示，其中
1 jω L
j1S, jωC j1S
选择参考结点如图所示，用观察法列出结点电压方程
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
由式(1)、(2)得到
(2 j3) I3 I 6 j3
图(d)
代入式(3)得到
2 j3 8 j9 U j2 I I I 6 j3 6 j3 8 j9 U Zo 1.795 74.93 6 j3 I
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
解：先画出电路的相量模型，如(b)所示，其中
30 V, U S1
jL j1,
j4V 4 90 V U S2
1 j1 jω C
1. 支路分析 以支路电流作为变量，列出图(b)所示相量模型的KCL 和KVL方程
I I I I I I 11 22 3 3 00
和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析
差别仅在于所得电路方程为以相量形式表
示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，
而计算则为复数运算。
基本分析思路： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 2）选择适当的电路分析方法： 等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、 节点法、应用电路定理分析法等； 3）频域求解（复数运算）得到相量解； 4）频域解转化为时域解。
由电流相量得到相应的瞬时值表达式
i1 (t ) 3.162 2 cos(2t 18.43 )A
3. 结点分析 为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用导纳参 数的相量模型，如图所示，其中
1 jω L
j1S, jωC j1S
选择参考结点如图所示，用观察法列出结点电压方程
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
由式(1)、(2)得到
(2 j3) I3 I 6 j3
图(d)
代入式(3)得到
2 j3 8 j9 U j2 I I I 6 j3 6 j3 8 j9 U Zo 1.795 74.93 6 j3 I
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
正弦稳态电路的分析基础知识讲解
(R2 R3
I4 IS
j
1 C
)I3
R2 I1
R3 I2
j
1 C
I4
0
_ U S + U n1
jL R1
R2
U n2
j 1
IS
R4
R3
c
节点法:
U n3
U n1 U S
(
R1
1 jL
1 R2
1 R3
)U n2
1 R2
U n1
1 R3
U n3
0
(
1 R3
1 R4
jC )U n3
1 R3
U n2
方法二、
•
I R1
U U1 U 2 55.400 80 115q
55.4 80cos 115cosq
+ U
+
U 1
_ R2
_
L2
+
U 2
_
80sin 115sinq
cos 0.424 64.930
其余步骤同解法一。
例9 移相桥电路。当R2由0时，U• ab如何变化?
IC
+
+
2 7.5
2
例11 求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
已知：uS 2U cos(t u )
+
解 应用三要素法： uS
iL(0 ) iL(0 ) 0 L R
_
R
+
L uL
iL _
用相量法求正弦稳态解
I U
R jL
R2
U
(L)2
u
Z
I i
iL(t)
iL()
第四章正弦稳态电路分析
30
0
+1
Chapter 4
4-3 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
i4
KCL: 时域内有: i 0
i1 i2
i3
例如: i4 i1 i2 i3 设各电路为同频率正弦量。则
Re 2I4e jt Re 2I1e jt Re 2I2e jt Re 2I3e jt Re 2 I1 I2 I3 e jt
u
Chapter 4
三. 相位差 在同一频率正弦激励下,线性电路的响应均为同频率正
弦量。
讨论同频率正弦量的相位差
设: u Um cost u i Im cost i
由相位差的定义：正弦量的相位之差。可得
t u t i u i
即:同频率正弦量相位差等于它们的初相之差。
Chapter 4
二. 相量图
已知正弦量可写出其相量,并能画出相量图。
例如: i 10 cos 314t 300 ， u 5cos 314t 600 V
I 10
26
U
5 600 V 2
或
Im
10
6
U m
560 0V
作相量图：相量的模为相量的长度,
+j U
幅角为初相。
60 I
注:在相量图上可做同频率正弦量 的加减（乘除）运算。
1 2 Im
即 Im 2I
或 I Im 2
同理可得 U m 2U
U Um 2
注:工程上所说交流电压,电流值大多为有效值,电气铭牌
额定值指有效值。交流电表读数也是有效值。
Chapter 4 4-2 正弦量的相量表示
一、复习复数知识 1. 复数的表示的形式: ①代数形式 A=a+jb
正弦交流电路的稳态分析(课件)
02
正弦交流电的基本概念
正弦交流电的定义
正弦交流电
正弦交流电的产生
大小和方向随时间作正弦函数周期性 变化的电流。
通过交流发电机产生，当磁场和导体 线圈发生相对运动时，导体线圈中就 会产生正弦交流电。
正弦交流电的波形图
正弦交流电的波形图呈现正弦函数的 形状，随着时间的推移，电流值在正 弦波的最高点和最低点之间变化。
线性时不变正弦交流电路具有 叠加性、比例性和线性特性。
相量法分析正弦交流电路
相量法是一种分析正弦交流电 路的方法，通过引入复数和相 量，将时域的电压和电流表示
为复数形式的相量。
相量法的优点在于可以将正 弦交流电路中的复杂数学问 题简化为复数代数问题，从
而方便求解。
通过相量法，可以得出正弦交 流电路的阻抗、功率和相位等
未来研究的方向和展望
研究方向一
研究方向二
针对复杂正弦交流电路的稳态分析，深入 研究不同元件之间的相互影响，提高分析 精度。
结合新型材料在正弦交流电路中的应用， 研究其对电路性能的影响，探索新型材料 在优化电路性能方面的潜力。
研究方向三
研究方向四
结合现代计算技术和仿真软件，开发高效 、精确的正弦交流电路稳态分析方法和工 具。
正弦交流电路的稳态分析 (课件)
• 引言 • 正弦交流电的基本概念 • 正弦交流电路的稳态分析 • 实例分析 • 总结与展望
01
引言
主题简介
正弦交流电路
正弦交流电路是指电流和电压随时间按正弦规律变化的电路 。在日常生活和工业生产中，许多电源和负荷都是以正弦交 流电的形式存在。
稳态分析
稳态分析是电路分析的一个重要方面，主要研究电路在稳定 状态下各元件的电压、电流和功率等参数。对于正弦交流电 路，稳态分析涉及对电路中各元件的电压和电流进行傅里叶 变换，以得到各次谐波的幅值和相位。
第 4 节 正弦稳态电路的相量分析
第 4 节正弦稳态电路的相量分析相量分析法相量分析法是针对正弦量激励下、且电路已进入稳态时的动态电路的分析。
因为电路在正弦量的激励下，各处的响应都是同频率的正弦量，因此，将电路的激励和响应都用相量来表示，把电阻、电感、电容元件用复数阻抗或复数导纳表示，将电路定律用相量形式表示，把时域电路转换成相量电路之后，描述动态电路的方程就由时域中的微分方程转换为频域中的复数代数方程，求解复数代数方程，求得各响应的相量，然后再将这些响应的相量转换成时域的正弦函数表达式。
相量分析法的步骤正弦量用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，画出相量电路；2 、相量电路中，用电阻电路的分析方法求解各响应的相量；3 、将求得的响应相量转换成时域的正弦函数表达式。
例 7.4-1 电路如图 7.4-1 （ a ）所示，已知，求 uS ， iL 和 ic 。
解：电流 iR 的相量为感抗容抗所以，得到相量电路如图 7.4-1 （ b ）所示。
图 7.4-1 （ b ）中，有则由 KCL 得由 KVL 得将相量再转换成正弦函数表达式，得例 7.4-2 电路如图 7.4-2 所示，已知，，电压源的角频率，求电流 i1 和 i2 。
解：用节点电压法求解，设节点 a 、 b 的节点电压分别是和，列写节点电压方程，节点 a ：节点 b ：代入参数并整理，得则，所以，因此，，例 7.4-3 电路如图 7.4-3 所示，已知电压源，求电流。
解：这是一个含有受控源的单回路电路，用相量法分析时，也可将受控源当独立源处理。
由 KVL 得，代入参数，得则一、有功功率无源二端网络 N 中含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件，阻抗为。
其端电压和端电流分别为。
二端网络 N 吸收的瞬时功率为平均功率（ average power ）是指在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，用 P 表示，即有功功率在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，称为平均功率，又称有功功率（ active power ），单位为瓦（ W ）。
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一、正弦量与相量
1、正弦量的相量表示 造一个复函数
A(t ) 2 Ie
j( t )
没有物理意义
2 Icos( t ) j 2 Isin( t )
若对A(t)取实部： Re[ A(t )] 2Icos( t ) 是一个正弦量，有物理意义 对于任意一个正弦量都可以找到唯一的与其对应的复指数 j( t ) 函数： i 2 Icos( t ) A(t ) 2 Ie A(t)还可以写成
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复数的有关知识复习 1. 复数的表示
直角坐标：A = a + jb
虚数单位 j = 1
Im b A |A| θ 0 a Re 0
(b)简画法 (a)复平面表示的复数
A |A| θ +1
极坐标：A = |A|ejθ = |A|∠θ
两种表示法之间的关系：
| A | a 2 b 2 b θ arctan a
a | A | cos b | A | sin
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2. 复数的运算
(1) 加减运算——直角坐标
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im A+B A-B 0 -B
符合平行四边形法则
A B Re
(2) 乘除运算——极坐标
若 A1=|A1| / 1 ，若A2=|A2| / 2 则
i(t)
R
T 2 i (t ) Rdt 0
I
R
I RT
2
T 2 i (t ) R d t 0
W AC
WDC=I 2RT
I
def
故得交流电流i (t)的有效值
1 T
T 2 i (t ) d t 0
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正弦交流电的有效值
1 I T
I cos
2 0 m
i(t)=Imcos(ωt + i ) u(t)=Umcos(ω t + u )
振幅、初相、角频率称为正弦量的三要素
i
Um
u
Im
0
u
2π
Um( Im) ：最大值，称为振幅；
ωt + ：相位，单位： rad或度(o)。 t = 0 时的相位 称初相位。
ωt
-π≤ ≤π
ω是正弦量相位变化的速率
T
2
(t i )dt
Im 0.707 I m 2
I U
1 2 1 2
I m 0.707 I m U m 0.707 U m
注意区分瞬时值、振幅、有效 值的符号：i，Im，I
通常所说的正弦交流电的大小都是指有效值。如民用交 流电压220V。交流仪表所指示的读数、电气设备的额定值等 都是指有效值。但绝缘水平、耐压值指的是振幅。
正弦量对应相量的含义
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别 (强调它与正弦量的联 系)，同时也改称“相量”。相量是一个特殊的复数，它能表征一个正 弦量。复数的一切运算均适用于相量。 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t u ) U U u
第 4-16 页
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我们用相量和一个正弦量对应看看它的几何意义： ej t 为一模为1、幅角为 t 的相量。随t的增加，模不变， 而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当t从0~T时， 相量旋转一周回到初始位置， t 从0~2。
2Ie
j t
2 Ie j e
j t
2 Ie
j( t )
是模为 2 I , 初始角
度为 的旋转相量. 其旋转一周在实轴上的投影即为正弦 电流 i 2 I cos( t )。
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二、 正弦量的相量运算
1、 同频率正弦量相加减
u1 (t ) u 2 (t )
2 U 1 cos( t 1) R e( 2 U 1e
41.9
30
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首 尾 相 接
30
Re
Re
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2、正弦量的微分、积分运算
I i 2 I cos( t i ) I i
微分运算: di d 2 I cos( t i ) dt dt 2 I sin( t i ) 积分运算:
第 4-3 页
i
i 0
u 0
下一ive value)
周期电压、电流的瞬时值随时间变化，为了简明地衡量其大小，常 采用有效值。 当周期信号和直流信号分别通过两个相等的电阻时，若在一个周期 T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流数值为周期信号的有效值。
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三、相位差 (phase difference)
两个同频率的正弦波之间的相位之差称为相位差。 u, i 频率相同，则相位差即为初相之差。 u u(t)=Umcos(ω t + u ) ， i i(t) =Imcos(ωt + i ) 0 θ= (ω t + u ) - (ωt + i ) = u - i
A(t ) 2 Ie e
复常数
j
j t
I Ie
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j
A(t)包含了三要素：I、 、 ，复常数包含了I , 。 称I I i为正弦量 i(t) 对应的相量。
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i(t ) 2 I cos( t i ) I I i
若θ= u - i > 0， θ 称电压u(t)超前电流i(t) θ角， 或i(t)落后u(t) θ角 若θ= u - i < 0，称电压u(t)落后电流i(t) |θ|角， 或i(t)超前后u(t) |θ|角。
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u i
t
几种特殊相位关系：
o
o
解： I 100 30 o A
u 220 2 cos(314t 60 )V 试用相量表示 i ， u 。
U 220 60 o V
解：
例2.
已知 I 50 15 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2cos(314 t 15 ) A
2 U 2 e ) R e( 2 (U 1 U 2 ) e jt )
jt
相量关系为： i1 i2 = i3
U U U 1 2
u(t)
U
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。
这实际上是一种变换思想。
1 I 2 I 3 I
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A1 A2 A1 e j1 A2 e j2 A1 A2 e j (1 2 ) A1 A2 1 2
A1 | A1 | θ1 | A1 | e jθ1 | A1 | j( θ1θ2 ) | A1 | e θ1 θ2 jθ 2 A2 | A2 | θ2 | A2 | e | A2 | | A2 |
i t
注意：主值范围|θ| 。
t
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例1 已知正弦电流i1、i2和正弦电压u3分别为
i1(t)=5sin(ωt+30°)A i2(t)=－10sin(ωt+45°)A U3(t)=15cos(ωt+60°)V 试比较i1与i2、i1与u3间的相位关系。
解 比较两个正弦信号的相位关系时，除要求它们的频率 或角频率相同外，还应注意信号的函数类型为正弦函数， 以及瞬时表达式前面负号对相位的影响。由于 i2(t)=-10sin(ωt+45°)=10sin (ωt-135°) u3(t)=15cos(ωt+60°)=15sin (ωt+150°) 所以，i1与i2间的相位差为 θ12=30°-(-135°)=165° i1与u3间的相位差为 θ13=30°-150°=-120 °
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在比较两正弦信号的向量时，要注意以下几点：
位差。
1、同频率 只有同频率的信号才有不随时间变化的相
2、同函数 必须化成同一函数才能计算相位差。 3、同符号 两个正弦信号的数字表达式前的符号要相
同（同为正），因为符号不同，相位相差±180°。
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I1
i1
i i1 0
I2
i2 i2
2
i1+i i 2 i3
3
1
I3 t3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相和有效值 (或振幅)就行了。复数包含一个模和一个幅角，因此，可以把正弦量与复数 对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。
j t
) )
2 U 2 cos( t 2 ) R e( 2 U 2 e
j t
u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) R e( 2 U 1e ) R e( 2 U 2 e jt )
e Re[ 2U
j t
jt
] R e( 2 U 1 e
一、正弦量与相量
1、正弦量的相量表示 造一个复函数
A(t ) 2 Ie
j( t )
没有物理意义
2 Icos( t ) j 2 Isin( t )
若对A(t)取实部： Re[ A(t )] 2Icos( t ) 是一个正弦量，有物理意义 对于任意一个正弦量都可以找到唯一的与其对应的复指数 j( t ) 函数： i 2 Icos( t ) A(t ) 2 Ie A(t)还可以写成
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复数的有关知识复习 1. 复数的表示
直角坐标：A = a + jb
虚数单位 j = 1
Im b A |A| θ 0 a Re 0
(b)简画法 (a)复平面表示的复数
A |A| θ +1
极坐标：A = |A|ejθ = |A|∠θ
两种表示法之间的关系：
| A | a 2 b 2 b θ arctan a
a | A | cos b | A | sin
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2. 复数的运算
(1) 加减运算——直角坐标
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im A+B A-B 0 -B
符合平行四边形法则
A B Re
(2) 乘除运算——极坐标
若 A1=|A1| / 1 ，若A2=|A2| / 2 则
i(t)
R
T 2 i (t ) Rdt 0
I
R
I RT
2
T 2 i (t ) R d t 0
W AC
WDC=I 2RT
I
def
故得交流电流i (t)的有效值
1 T
T 2 i (t ) d t 0
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正弦交流电的有效值
1 I T
I cos
2 0 m
i(t)=Imcos(ωt + i ) u(t)=Umcos(ω t + u )
振幅、初相、角频率称为正弦量的三要素
i
Um
u
Im
0
u
2π
Um( Im) ：最大值，称为振幅；
ωt + ：相位，单位： rad或度(o)。 t = 0 时的相位 称初相位。
ωt
-π≤ ≤π
ω是正弦量相位变化的速率
T
2
(t i )dt
Im 0.707 I m 2
I U
1 2 1 2
I m 0.707 I m U m 0.707 U m
注意区分瞬时值、振幅、有效 值的符号：i，Im，I
通常所说的正弦交流电的大小都是指有效值。如民用交 流电压220V。交流仪表所指示的读数、电气设备的额定值等 都是指有效值。但绝缘水平、耐压值指的是振幅。
正弦量对应相量的含义
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别 (强调它与正弦量的联 系)，同时也改称“相量”。相量是一个特殊的复数，它能表征一个正 弦量。复数的一切运算均适用于相量。 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t u ) U U u
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我们用相量和一个正弦量对应看看它的几何意义： ej t 为一模为1、幅角为 t 的相量。随t的增加，模不变， 而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当t从0~T时， 相量旋转一周回到初始位置， t 从0~2。
2Ie
j t
2 Ie j e
j t
2 Ie
j( t )
是模为 2 I , 初始角
度为 的旋转相量. 其旋转一周在实轴上的投影即为正弦 电流 i 2 I cos( t )。
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二、 正弦量的相量运算
1、 同频率正弦量相加减
u1 (t ) u 2 (t )
2 U 1 cos( t 1) R e( 2 U 1e
41.9
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Re
Re
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2、正弦量的微分、积分运算
I i 2 I cos( t i ) I i
微分运算: di d 2 I cos( t i ) dt dt 2 I sin( t i ) 积分运算:
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i
i 0
u 0
下一ive value)
周期电压、电流的瞬时值随时间变化，为了简明地衡量其大小，常 采用有效值。 当周期信号和直流信号分别通过两个相等的电阻时，若在一个周期 T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流数值为周期信号的有效值。
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三、相位差 (phase difference)
两个同频率的正弦波之间的相位之差称为相位差。 u, i 频率相同，则相位差即为初相之差。 u u(t)=Umcos(ω t + u ) ， i i(t) =Imcos(ωt + i ) 0 θ= (ω t + u ) - (ωt + i ) = u - i
A(t ) 2 Ie e
复常数
j
j t
I Ie
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j
A(t)包含了三要素：I、 、 ，复常数包含了I , 。 称I I i为正弦量 i(t) 对应的相量。
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i(t ) 2 I cos( t i ) I I i
若θ= u - i > 0， θ 称电压u(t)超前电流i(t) θ角， 或i(t)落后u(t) θ角 若θ= u - i < 0，称电压u(t)落后电流i(t) |θ|角， 或i(t)超前后u(t) |θ|角。
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u i
t
几种特殊相位关系：
o
o
解： I 100 30 o A
u 220 2 cos(314t 60 )V 试用相量表示 i ， u 。
U 220 60 o V
解：
例2.
已知 I 50 15 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2cos(314 t 15 ) A
2 U 2 e ) R e( 2 (U 1 U 2 ) e jt )
jt
相量关系为： i1 i2 = i3
U U U 1 2
u(t)
U
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。
这实际上是一种变换思想。
1 I 2 I 3 I
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A1 A2 A1 e j1 A2 e j2 A1 A2 e j (1 2 ) A1 A2 1 2
A1 | A1 | θ1 | A1 | e jθ1 | A1 | j( θ1θ2 ) | A1 | e θ1 θ2 jθ 2 A2 | A2 | θ2 | A2 | e | A2 | | A2 |
i t
注意：主值范围|θ| 。
t
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例1 已知正弦电流i1、i2和正弦电压u3分别为
i1(t)=5sin(ωt+30°)A i2(t)=－10sin(ωt+45°)A U3(t)=15cos(ωt+60°)V 试比较i1与i2、i1与u3间的相位关系。
解 比较两个正弦信号的相位关系时，除要求它们的频率 或角频率相同外，还应注意信号的函数类型为正弦函数， 以及瞬时表达式前面负号对相位的影响。由于 i2(t)=-10sin(ωt+45°)=10sin (ωt-135°) u3(t)=15cos(ωt+60°)=15sin (ωt+150°) 所以，i1与i2间的相位差为 θ12=30°-(-135°)=165° i1与u3间的相位差为 θ13=30°-150°=-120 °
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在比较两正弦信号的向量时，要注意以下几点：
位差。
1、同频率 只有同频率的信号才有不随时间变化的相
2、同函数 必须化成同一函数才能计算相位差。 3、同符号 两个正弦信号的数字表达式前的符号要相
同（同为正），因为符号不同，相位相差±180°。
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I1
i1
i i1 0
I2
i2 i2
2
i1+i i 2 i3
3
1
I3 t3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相和有效值 (或振幅)就行了。复数包含一个模和一个幅角，因此，可以把正弦量与复数 对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。
j t
) )
2 U 2 cos( t 2 ) R e( 2 U 2 e
j t
u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) R e( 2 U 1e ) R e( 2 U 2 e jt )
e Re[ 2U
j t
jt
] R e( 2 U 1 e