高考数学逆袭系列之：专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题
平面向量数量积的最值问题求解策略
平面向量数量积的最值问题，是各级各类考试的热点。
本文拟从一道填空题入手，探究平面向量数量积的最值问题的多种解法，并通过反思提炼以及解法活用，促进学生实现对知识的融会贯通和方法的灵活运用，提高学生的解题能力。
［题目］已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA·PB的最小值为。
一、多解探究平面向量具有代数和几何的双重属性，求解平面向量数量积的最值问题可以从代数角度和几何角度去寻找解题思路，代数化、坐标化和几何化都是最常见的解题策略。
思路1：利用定义代数化，直接利用平面向量数量积的定义，借助基本不等式求解。
解法1：如图1所示设||OP=x，∠APO=θ，则||PA=x2-1，cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2，所以 PA·PB=|| PA|| PB cos2θ=|| PA2cos2θ=（x2-1）(1-2x2)=x2+2x2-3≥22-3，当且仅当x2=2时等号成立，所以（PA·PB）min=22-3。
思路2：利用平面向量的基底转化运算。
解法2：如图2所示，设AB的中点为M，设||OM=x，在Rt△PAO中，由直角三角形射影定理得||OA2=||OM×||OP，||MA2=||OM||PM，所以||OP=1x，||PM=1x-x，所以 PA· PB=（ PM+ MA）·（PM+MB）=（PM+MA）（PM-MA）=|| PM2-|| MA2=||PM2-||OM||PM=()1x-x2-x1x-x)=2x2+1x2-3≥22-3，当且仅当x2成立，所以（PA·PB）min=22-3。
思路3：利用平面向量的极化恒等式加以转化。
解法3：如图2所示，在Rt△PAO中，由直角三角形射影定理有||OA2=||OM||OP，所以||OP=1||OM，PA·PB=14[]（PA+PB）2-（ PA- PB）2=14éëê（2 PM）2-|| AB2ùûú=14[]（2PM）2-（2 AM）2=|| PM2-|| AM2=（||OP-||OM）2-()||OA2-||OM2=(1||OM-||OM)2-()||OA2-||OM2 =2||OM2+1||OM2-3≥22-3，当且仅当||OM=时等号成立，所以（PA·PB）min=22-3。
平面向量数量积的最值求法分类解析
ｍ ＝ (ｍ －
５ ２ ９
) － ꎬ
２
４
所以ＰＢＰＣ∈[ －
９
ꎬ４] ꎬ选 Ｄ.
４
→
例 １０ 在 矩 形 ＡＢＣＤ 中ꎬ 点 Ｅ 在 边 ＡＢ 上ꎬ 且 ＡＥ ＝
— ３ —
→
２ ＥＢꎬＭ 是线段 ＣＥ 上一动点.
解 构造平行四边形 ＡＢＣＤ.
(１) 若 Ｍ 是线段 ＣＥ 的中
→
→
→
→
点ꎬＡＭ ＝ ｍ ＡＢ ＋ ｎ ＡＤꎬ求 ｍ ＋ ｎ
ｂｅ ＝ － ２ꎬ ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ ２ꎬ则 ａｂ 的最大值为( ) .
解 依题意ꎬ设 ｅ ＝ (１ꎬ０) ꎬａ ＝ ( ｍꎬｎ) ꎬｂ ＝ ( ｓꎬｔ) ꎬ由
ａｅ ＝ １ꎬｂｅ ＝ － ２ꎬ得 ｍ ＝ １ꎬｓ ＝ － ２. 所以 ａ ＋ ｂ ＝ ( － １ꎬｎ ＋
(ｎ ＋ ｔ) ２ ３
平面向量数量积的最值求法分类解析
李秀元
( 湖北省武穴市实验高级中学 ４３５４００)
摘 要:平面向量数量积有基于几何意义的定义式ꎬ和基于代数运算的坐标式ꎬ其运算结果呈现多样性ꎬ
对最值求法进行分类解析ꎬ促进高效复习备考.
关键词:数量积ꎻ最值ꎻ分类解析
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８ － ０３３３(２０２０)３１ － ０００２ － ０４
均值不等式是求最值的常用工具之一. 要想利用均
→
→
因此ꎬＰＢＰＣ ＝ ( ａ － １ꎬ － ４) ( － １ꎬｂ － ４) ＝ １７ － ( ａ
Ｃ. [ － ８ꎬ３６] Ｄ. [ － １２ꎬ３６]
解 以点 Ａ 为原点ꎬＡＢ 为 ｘ 轴ꎬＡＤ 为 ｙ 轴ꎬ建立平面
→
平面数量积最值问题 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：平面向量数量积最值问题——2022年高三数学复习微专题微课一、本专题在高考中的地位1.课标对本专题的要求知识内容知识要求了解理解掌握平面向量1.平面向量的实际背景及基本概念（1）向量的实际背景√（2）平面向量的概念和两个向量相等的含义√（3）向量的几何表示√2.向量的线性运算（1）向量加法、减法运算，并理解其几何意义√（2）向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义√（3）向量线性运算的性质及其几何意义√3.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量的基本定理及其意义√（2）平面向量的正交分解及其坐标表示√（3）坐标表示平面向量的加减法与数乘运算√（4）用坐标表示的平面向量共线的条件√4.平面向量数量积（1）平面向量数量积的含义及其物理意义√（2）平面向量的数量积与向量投影的关系√（3）数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算√（4）运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系√5.向量的应用（1）向量法解决某些简单的平面几何问题√（2）向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题√明确《考试大纲》对知识的要求层次。
“理解”“掌握”这两个层次要求的知识点往往是高考命题的首选，尤其是“掌握”，通常高考命题会进行深度挖掘，所以在复习时要重视和强化。
2.近五年全国卷考查情况分析年份题序题型考点明细单独命题综合命题分值难易程度2016年全国卷I(理) 3 选择题向量加法坐标运算与垂直√ 5 易2017年全国卷I(理) 13 填空题 向量的模长和数量积应用√ 5 易 2018年全国卷I(理) 6 选择题 向量线性运算 √ 5 易 2018年全国卷I(理) 8 选择题 抛物线、直线及数量积 √ 5 中 2019年课标全国卷I(理) 7 选择题 向量数量积、夹角 √ 5 中 2020年课标全国卷I(理) 14 填空题 向量的数量积与模 √ 5 易 2020年课标全国卷I （文）14 填空题 向量数量积与向量垂直的充要条件 √ 5 易 2021·新高考Ⅱ卷13填空题向量的数量积与模√5易二、真题回顾1．(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 2．(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a ·b ＝1，则|b |＝________． 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________．4.(2020·课标全国Ⅰ高考)设a ,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .5.(2020·课标全国Ⅱ高考)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka -b 与a 垂直,则k = .三．要点提炼考点 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.四．典型例题：例1．(2021·福建六校联考)已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC →·(PB →＋PD →)的最小值为________． 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，设P (x ，y )，则PC →＝(2－x ，2－y )，PB →＋PD →＝(2－x ，－y )＋(－x ，2－y )＝(2－2x ，2－2y )，∴PC →·(PB →＋PD →)＝(2－x )(2－2x )＋(2－y )(2－2y )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－12＋2⎝⎛⎭⎫y －322－12＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋2⎝⎛⎭⎫y －322－1. ∴当x ＝y ＝32时，PC →·(PB →＋PD →)取得最小值－1.【探究】 数量积的计算主要有基底法和坐标法，另外解方程也行，数量积的最值问题往往要用到函数思想和数形结合思想，结合求值域的方法求解．变式练习：1.已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋2MD →|的最小值为________．例2．(2021·益阳模拟考试)如图所示为边长为2的正△ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在三角形外部作半圆弧BC ︵，点P 在圆弧上运动，则AB →·AP →的取值范围为( )A ．[2，33]B ．[4，33]C ．[2，4]D ．[2，5]答案 D解析 由题可知当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，此时AB →·AP →＝|AB →|·|AC →|·cos π3＝2×2×12＝2，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大，此时AB →·AP →＝2×⎝⎛⎭⎫32＋1＝5，所以AB →·AP →的取值范围为[2，5]．故选D.【探究】 本题利用数量积的定义，结合数量量积的几何意义AP →在AB →上的投影，当当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大。
专题二 第3讲 平面向量数量积的最值问题 学生版
1 第3讲 平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21(2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________．数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．1．在△ABC 中，若A ＝120°，A B →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．2．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．3．已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为________．4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．。
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，
1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画
a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ，
专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。
2022年高中数学考前冲刺36讲第13讲 平面向量数量积的最值问题
2
2
2.[2020 河北九校第二次联考]已知两个不相等的非零向量 a,b,满足|a|=1,且 a 与 b-a 的夹角为
60°,则|b|的取值范围是 ( )
A.(0, 3)
2
B.[ 3,1)
2
C.[ 3,+∞)D.(1,+∞)
2
【 解 析 】 如 图 D 5-2-6 所 示 , 设 OA =a, AB =b-a, 则 OB =b. 因 为 a 与 b-a 的 夹 角 为 60°, 所 以
3t)+1t(4-t)=-2t2+14t(0≤t≤4),当
22
t=72时,AP·AQ取得最大值,最大值为429,故选
C.
解法二 因为 AB=4,AC=4 3,BC=8,所以 AB2+AC2=BC2,
所以△ABC 是直角三角形,且∠A=90°,∠C=30°,∠B=60°.
设 CP=t,则 BQ=2t,且 0≤2t≤8,即 0≤t≤4,BQ与AC的夹角为 30°,CP与AB的夹角为 60°,
k
的取值范围______.
【解析】
a
kb
1, k
，b
2k a
2k ,1
，
a kb b 2k a k 2 1 1 4k 2 cos 2k k 0 ，即 k 0 ，
又 a kb ， b 2ka 不共线，∴ k
2 ，∴ k 0 且 k
2
2
2
10.[双空题]已知平面向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|=1,若 a·b=1,则(a+b)·(2b-c)的最小值是
图 D 5-2-8
令OA=a,OB=b,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则OC=a+b,∠AOB=θ,因为 a,b 均为单位
专题9平面向量数量积的最值问题
专题9 平面向量数量积的最值问题求平面向量模的最值与范围（2022·上海建平中学高三模拟）24．在平面直角坐标系中，已知是曲线上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是参考答案：1．A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.2．C【解析】在正方形中建立如图的直角坐标系，设(),P x y ，结合向量数量积的概念可得结果.【详解】以A 点为原点建立如图所示的直角坐标系，设(),P x y ，()03,03x y ≤≤≤≤，可得()0,0A ，()3,0B ，所以(),AP x y =，()3,0AB = ，故()(),3,03AP AB x y x ⋅=⋅= ，当3x =时，AP AB ⋅最大，最大值为9，故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的最值问题，利用坐标法是解题的关键，属于基础题设()(cos ,sin 0OC θθθ=≤≤ 所以()()(1cos 2a b b c +-+⋅= ()()1cos 1cos sin θθθ=+-+因为[]sin 1,1θ∈-，所以3则()1a b c OD OC OC +⋅==⋅⇒22|||||1|||a c a OA AC AC a c μλ-===+-- 221212AC AC AC AC+⨯=-≥-【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是用数量积表示出参数17．D【分析】作OA a = ，OB b = ，可知0AC BC ⋅=，可得出点C 的轨迹是以作OC c =，则c a OC OA AC -=-= 因为()()0c a c b --= ，即AC BC ⋅所以，点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，设圆心为点所以，c OC OD DC OD ==+≤【详解】()66,0BC C =∴ ，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为1 533⎛⎫（2）当1y x z =-+-与单位上半圆 21y x =-此时平行线束y 轴的截距最大，即z 最大故由圆心O 到直线1y x z =-+-的距离d 等于半径，由(1,0)D -，得PC ：=1y x --又由直线AB :1y x =-，联立直线PC 得此时的C (0,1)-，即min 0BC = （2）当直线PC 与圆弧相切于点P即圆心到直线PC 的距离12bd ==即此时的直线PC ：2y x =-+联立方程2{1y x y x =-+=-，得122C ⎛+ ⎝即此时 2max1202BC ⎛⎫⎛+=-+ ⎪ ⎪31=22DE CE CD b a -=- ，AB CB CA =-= 2234b a a b +=⋅ 23cos 4a b b ACB a b a b ⋅+⇒∠== 号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,22x y DE +=-- 23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)x y ⇒++=以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合故①正确；对②，||||OA OB AB →→-= ，由于故②错误；对③，当60AOB ∠= 时，|。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以|B→C|min ＝ 6.
1234
2.(2020·天津)如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且
A→D＝λB→C，A→D·A→B＝－32，则实数
λ
1 的值为____6____，若
M，N
是线段
BC
上的动点，且|M→N|＝1，则D→M·D→N的最小值为___1_23____.
专题二 三角函数与解三角形
平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的 最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行 转化.
例 (1)已知A→B⊥A→C，|A→B|＝1t ，|A→C|＝t，若点A→P＝
→
AB
→
＋4→A→C，则P→B·P→C的最大值等于
故|a＋b|＝ 1＋m＋n2＝2，所以(m＋n)2＝3， 即 3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，则 mn≤34， 所以 a·b＝－2＋mn≤－54， 当且仅当 m＝n＝ 23时等号成立， 所以 a·b 的最大值为－54.
1234
4.在平行四边形 ABCD 中，若 AB＝2，AD＝1，A→B·A→D＝－1，点 M 在边 CD 上，则M→A·M→B的最大值为____2____.
跟踪演练
1.在△ABC 中，若 A＝120°，A→B ·A→C＝－1，则|B→C|的最小值是___6___. 解析 由A→B·A→C＝－1，得|A→B|·|A→C|·cos 120°＝－1，即|A→B|·|A→C|＝2， 所以|B→C|2＝|A→C－A→B|2＝A→C2－2A→B·A→C＋A→B2 ≥2|A→B|·|A→C|－2A→B·A→C＝6，
1234
解析 因为A→D＝λB→C，所以 AD∥BC，则∠BAD＝120°， 所以A→D·A→B＝|A→D|·|A→B|·cos 120°＝－32， 解得|A→D|＝1. 因为A→D，B→C同向，且 BC＝6， 所以A→D＝16B→C，即 λ＝16. 在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，
1234
1234
解析 在平行四边形 ABCD 中，因为 AB＝2，AD＝1，A→B·A→D＝－1，点 M
在边 CD 上，
所以|A→B|·|A→D|·cos A＝－1，
所以 cos A＝－12，所以 A＝120°， 以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以 A(0,0)，B(2,0)，D－12， 23.
＝17－1t ＋4t≤17－2 1t ·4t＝13，
当且仅当 t＝12时等号成立. ∴P→B·P→C的最大值等于 13.
(2)如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为π3的一段圆弧 AB 上的一点，若A→B ＝2B→C，则P→C·P→A的最小值为_5_－__2___1_3___.
解析 以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直
1234
设
Mx，
23，－12≤x≤32，
因为M→A＝－x，－
23，M→B＝2－x，－
23，
所以M→A·M→B＝x(x－2)＋34＝x2－2x＋34 ＝(x－1)2－14.
设 f(x)＝(x－1)2－14，因为 x∈－12，32，
所以当 x＝－12时，f(x)取得最大值 2.
1234
本课结束
1234
所以D→M·D→N＝a2－a＋247＝a－122＋123. 所以当 a＝12时，D→M·D→N取得最小值123.
1234
3.已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b 的最大值为__－__54____.
1234
解析 不妨设e＝(1,0)，a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)， 则a＋b＝(－1，m＋n)，
其中
0<tan
φ＝
3 6<
33，所以
0<φ<π6，
当 θ＝π2－φ 时，P→C·P→A取得最小值，为 5－2 13.
能力 提升
数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题 型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、 数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解 析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基 本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还 有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.
则
BO＝AB·cos
60°＝32，AO＝AB·sin
60°＝3
2
3 .
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，
则 N(a＋1,0)，且－32≤a≤72.
又
D1，3
2
3，
所以D→M＝a－1，－3
2
3，D→N＝a，－3
2
3，
|AB| |AC|
√A.13
B.15
C.19
D.21
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则 B1t ，0，C(0，t)，A→B＝1t ，0，A→C＝(0，t)， A→P ＝|AA→→BB|＋4|A→A→CC|＝t1t ，0＋4t (0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)， P→B·P→C＝1t －1，－4·(－1，t－4)
平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，
则 A(－1， 3)，C(2， 3)，
设 P(2cos θ，2sin θ)π3≤θ≤23π，
则P→C·P→A＝(2－2cos θ， 3－2sin θ)·(－1－2cos θ， 3－2sin θ)
＝5－2cos θ－4 3sin θ＝5－2 13sin(θ＋φ)，