向量数量积专题(总)
向量的数量积经典例题（含详细答案）
向量的数量积经典例题（含详细答案）向量的数量积经典例题（含详细答案）1．已知3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o .求（1）a b r r g ，()()22a b a b +?-r r r r ；（2）23a b +r r2．已知向量a r 、b r 的夹⾓为2,||1,||23a b π==r r . （1）求a r ·b r 的值（2）若2a b -r r 和ta b +r r 垂直，求实数t 的值.3．已知平⾯向量()()1,2,2,a b m =-=r r（1）若a b ⊥r r ，求2a b +r r ；（2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹⾓的余弦值.4．已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=r r r ，（1）求()a b c ?+r r r；（2）若()a b c λ+r r r ∥，求实数λ的值.5．已知||2a =r ，||b =r (23)()2a b a b -+=r r r r .（1）求a b ?r r 的值；（2）求a r 与b r 所成⾓的⼤⼩.6．已知()1,2a =r ，()3,4b =-r（1）若ka b +r r 与2a b -r r 共线，求k ；（2）若ka b +r r 与2a b -r r 垂直，求k .7．已知2,3a b ==r r ,a r 与b r 的夹⾓为60?,53c a b =+r r r ,3d a kb =+r r r ,(1)当c d v P v 时，求实数k 的值；(2)当c d ⊥r u r 时，求实数k 的值.参考答案1．（1）6-，32-；（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义进⾏求解；（2）根据23a b +=r r 先求数量积，再求模长．【详解】解：（1）∵3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o ，∴cos120a b a b ?=r r r r g 134()2=??-=6-， ()()22a b a b +?-=r r r r 22223a b a b -+r r r r g 292163(6)=?-?+?-=32-；（2）23a b +=r r== 【点睛】本题主要考查平⾯向量的数量积的定义及平⾯向量的模长，考查计算能⼒，属于基础题． 2．（1）1-；（2）2.【解析】【分析】（1）利⽤数量积的定义直接计算即可．（2）利⽤()()20t b a b a +=-r r r r g 可求实数t 的值．【详解】（1）21cos 12132a b a b π==??-=-r r r r ．（2）因为2a b -r r 和ta b +r r 垂直，故()()20t b a b a +=-r r r r g ，整理得到：()22220ta t a b b +--=r r r r g 即()12212402t t ??+---=，解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个⾮零向量,a b v v 垂直的等价条件是0a b ?=v v，本题属于基础题．3．（1）25a b +=r r （2）65【解析】【分析】（1）由题可得0a b ?=r r ，解出1m =，()()()21,24,23,4a b +=-+=r r ，进⽽得出答案。
空间向量的数量积与向量积练习题
空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。
下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。
解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。
练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。
解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。
练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。
解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。
然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。
向量的数量积运算的所有公式
向量的数量积运算的所有公式1.定义：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则a与b的数量积定义为：a·b=a1b1+a2b2+a3b32.单位向量：如果向量a是一个单位向量，则a与任何向量b的数量积等于b在a的方向上的投影长度。
3.平行向量：如果两个向量a和b平行，则它们的数量积为：a ·b = ，a，，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量的模（长度），θ表示a和b之间的夹角。
4.正交向量：如果两个向量a和b互相垂直（夹角为90度），则它们的数量积为：a·b=05.向量的模：设向量a=(a1,a2,a3)，则a的模定义为：a，=√(a1^2+a2^2+a3^2向量的模也可以表示为向量的数量积与自身的开方，即：a，=√(a·a6.向量的投影长度：设向量a与向量b之间的夹角为θ，则向量b 在a的方向上的投影长度为：proj_a(b) = ，b，cosθ投影长度也可以表示为数量积与向量a的模的商，即：proj_a(b) = (a · b) / ，a7.向量的夹角：设向量a和b之间的夹角为θ，则夹角的余弦可以表示为向量的数量积与两个向量模的商，即：cosθ = (a · b) / (，a，，b，)从该公式可以推导出两个向量夹角的正弦和余弦。
8.柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个向量a和b，有：a·b，≤，a，当且仅当a和b共线时，等号成立。
9.向量的数量积的性质：-交换律：a·b=b·a-结合律：(c*a)·b=c*(a·b)，其中c是一个标量-分配律：(a+b)·c=a·c+b·c这些公式是向量的数量积运算中的一些重要性质和公式。
它们在向量运算、物理学、几何学等领域具有广泛的应用。
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是线性代数中的重要概念之一。
它是将两个向量进行运算得到一个标量的过程。
本文将详细介绍向量的数量积的定义、性质和应用。
一、定义向量的数量积是将两个向量的对应分量相乘后再求和的结果。
设有两个n维向量A和B，则它们的数量积denoted as A·B，计算公式为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn其中，ai和bi分别表示向量A和向量B中的第i个分量。
二、性质1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)，其中k是一个标量3. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C，其中B和C为向量三、几何意义向量的数量积具有几何意义，它可以用来计算向量之间的夹角和向量的长度。
具体来说，设有两个向量A和B，它们的数量积可以表示为：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示A与B之间的夹角。
四、应用1. 判断两个向量是否垂直：若A·B = 0，则向量A与向量B垂直。
2. 计算向量的模或长度：对于一个n维向量A，其模可以表示为：|A| = √(A·A)3. 计算两个向量的夹角：根据向量的数量积公式，可以通过已知的向量和它们之间的数量积来求解夹角。
4. 确定向量的方向：根据向量的数量积和夹角的计算结果，可以确定向量的方向。
五、实例分析为了更好地理解向量的数量积的应用，我们举个例子。
假设有两个二维向量A = (2, 3)和B = (4, -1)，我们可以计算它们的数量积：A·B = 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5根据数量积的几何意义可知，向量A与向量B的夹角θ可以通过以下公式得到：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中，|A| = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13，|B| = √(4^2 + (-1)^2) =√(16 + 1) = √17。
《向量的数量积》 讲义
《向量的数量积》讲义一、向量的基本概念在我们开始探讨向量的数量积之前，先来了解一下什么是向量。
向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示。
比如，一个力就是一个向量，它不仅有大小（力的强度），还有方向（力的作用方向）。
在数学中，我们通常用字母来表示向量，比如向量 a 、向量 b 。
向量的大小称为向量的模，记作｜a| 、｜b| 。
二、向量数量积的定义向量的数量积，也称为点积，是向量运算中的一个重要概念。
对于两个非零向量 a 和 b ，它们的数量积定义为： a·b ＝｜a|×｜b|×cosθ ，其中θ 是 a 和 b 的夹角。
需要注意的是，数量积的结果是一个标量（也就是一个数值），而不是向量。
如果两个向量中有一个是零向量，那么它们的数量积为 0 。
三、数量积的几何意义从几何角度来看，向量 a·b 等于向量 a 的模与向量 b 在向量 a 方向上的投影的乘积。
假设向量 b 在向量 a 方向上的投影为｜b|cosθ ，那么 a·b ＝｜a|×（｜b|cosθ) 。
这一几何意义有助于我们更好地理解和计算数量积。
四、数量积的性质1、交换律： a·b ＝ b·a这意味着两个向量的数量积与它们的顺序无关。
2、分配律： a·（b ＋ c) ＝ a·b ＋ a·c即一个向量与两个向量之和的数量积，等于这个向量分别与这两个向量的数量积之和。
3、若 a 与 b 垂直，则 a·b ＝ 0 ；反之，若 a·b ＝ 0 ，则 a 与 b 垂直。
五、数量积的坐标运算在平面直角坐标系中，如果向量 a ＝（x₁, y₁) ，向量 b ＝（x₂,y₂) ，那么它们的数量积可以通过坐标来计算：a·b ＝ x₁×x₂＋ y₁×y₂这一公式为我们在具体计算数量积时提供了很大的便利。
高中数学《向量的数量积-数量积的投影定义》专题复习
（1）数量积的投影定义：向量 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即 （记 为 在 上的投影）
（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：
即数量积除以被投影向量的模长
5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题
例5：若过点 的直线 与 相交于 两点，则 的取值范围是_______
思路：本题中因为 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过 作直线 的垂线，
垂足为 ，通过旋转 可发现，当 时， ， 位于其他位置时， 点始终位于 的反向延长线上， ，故 ，故 ，下面寻找最小值，即 的最大值，可得当 在 上的投影与 重合时， 最大，即为 ，此时直线 即为直线 。所以 。进而的范围是
二、典型例题：
例1：已知向量 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．3 B． . C． D．
思路：考虑 在 上的投影为 ，所以只需求出 即可。由 可得： ，所以 。进而
答案：C
小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长
例2：如图，在 中， ， 是边 上的高，则 的值等于（ ）
在 中，
即
答案：
例7：如图，菱形 的边长为 为 中点，若 为菱形内任意一点（含边界），则 的最大值为（）
A. B. C. D.
思路：在所给菱形中 方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即 乘以 在 上的投影，所以 的最大值只需要寻找 在 上的投影的最大值即可，而 点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在 投影距离 最远的，结合图像可发现 的投影距离 最远，所以 ，再由 表示后进行数量积运算即可
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积是线性代数中的一个重要的概念，它在计算机图形学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍向量的数量积的定义和性质，并探讨其在实际应用中的意义和作用。
一、向量的数量积的定义向量的数量积又称为点积或内积，是两个向量的一种运算方式。
设有两个n维向量A和B，它们的数量积定义为：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
二、向量的数量积的性质1. 交换律两个向量的数量积满足交换律，即A·B = B·A。
2. 分配律向量的数量积与加法满足分配律，即(A+B)·C = A·C + B·C。
3. 结合律向量的数量积与数乘满足结合律，即(kA)·B = A·(kB) = k(A·B)，其中k为实数。
4. 长度两个向量的数量积的绝对值等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积，即|A·B| = |A||B|cosθ。
三、向量的数量积的应用1. 判断两个向量的正交性若两个向量的数量积为0，则它们垂直或正交。
这个性质在几何学中非常有用，可以用来判断两条直线是否相互垂直、两个平面是否相互垂直等。
2. 求两个向量的夹角利用向量的数量积的定义，可以求出两个向量之间的夹角。
通过计算A·B = |A||B|cosθ，可以得到θ的值，从而确定两个向量的夹角。
3. 求向量在某个方向上的投影设有一个单位向量u和一个向量A，向量A在方向u上的投影可以用数量积来表示，即A在u方向上的投影等于A·u。
4. 计算向量的模长根据向量的数量积的性质，可以计算出向量的模长。
设有一个向量A，通过计算A·A = |A|^2，可以得到A的模长。
四、向量的数量积的意义向量的数量积在几何学中具有重要的应用，它可以帮助我们理解和描述空间中的向量关系。
第02讲 空间向量的数量积运算(4种类型)(答案与解析)
2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅= ；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅ ；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=⋅。
要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
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平面向量的数量积【知识点精讲】一、平面向量的数量积（1）已知两个非零向量a 和b ，记为OA a OB b ==，，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>，并规定[],0,a b π<>∈。
如果a 与b 的夹角是2π，就称a 与b 垂直，记为.a b ⊥（2）cos ,a b a b <>叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即b a ⋅cos ,a b a b <>.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是0.a b ⋅= 两个非零向量a 与b 平行的充要条件是.a b a b ⋅=± 二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，即cos a b a b θ⋅=（b 在a 方向上的投影为cos a b b aθ⋅=）；a 在b 方向上的投影为cos .a b a bθ⋅=三、平面向量数量积的重要性质 性质1 cos .e a a e a θ⋅=⋅= 性质2 0.a b a b ⊥⇔⋅=性质3 当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或2.a a =性质4 cos (00)a b a b a bθ⋅=≠≠且性质5 a b a b ⋅≤注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。
四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b b a ⋅=⋅（交换律）；（2）()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅（λ为实数）；（3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（分配律).数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律()()a b c a b c ⋅≠⋅，不可约分a b a c ⋅=⋅不能得到b c =。
五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量()()1122,,,,a x y b x y =则1212a b x x y y ⋅=+，由此得到：（1）若(),,a x y =则2222a a x y ==+或2a x y =+（2）设()(),,,,2211y x B y x A 则B A ,()();221212y y x x -+-=（3）设()()1122,,,,a x y b x y ==θ是a与b的夹角，则.cos 222221212121y x y x y y x x +++=θ①非零向量,a b ，a b ⊥的充要条件是.02121=+y y x x ②由1cos 222221212121≤+++=y x y x y y x x θ得()()().2222212122121y x y x y y x x ++≤+六、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.b a b a ≤⋅（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0=⋅b a 。
当0a ≠且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有a b a c ⋅=⋅，但.b c ≠（3）数量积不满足结合律，即()()a b c b c a ⋅≠⋅，这是因为()a b c ⋅是一个与c 共线的向量，而()b c a ⋅是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以()a b c ⋅不一定等于()b c a ⋅。
即凡有数量积的结合律形成的选项，一般都是错误选项。
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角），当且仅当0a b ⋅>且()0a b λλ≠>（或0a b ⋅<且()0a b λλ≠<）.【题型归纳】一、平面向量的数量积【例1】（1）在ABC Rt ∆中，，，4900==∠AC C 则=⋅AC AB ( ).16.-A 8.-B 8.C 16.D（2）（2012北京理13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为 ；DC DE ⋅的最大值为 。
（3）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足PM AP 2=，则()PC PB PA +⋅等于（ ）.94.-A 34.-B 8.C 16.D【变式1】如图5-27所示，在平行四边形ABCD 中，BD AP ⊥，垂足为P ，且3=AP ,则=⋅AC AP .【变式2】在ABC ∆中，321===AC BC AB ，，，若G 为ABC ∆的重心，则=⋅AC AG .【例2】如图528-所示，在矩形ABCD 中，AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是 .【变式1】如图530-所示，在ABC ∆中，°120BAC ∠=，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅= .【变式2】如图531-所示，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅= .【变式3】已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）。
1.2A 1.2B ± 1.2C ± 3.2D -±【例3】已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，1,2,2a b c ===，则a b b c a c ⋅+⋅+⋅= .【变式1】在ABC ∆中，若3,4,6AB BC AC ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= .【变式2】已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，且a b ⊥，1,2a b ==，则c = .【变式3】已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，且(),a b c a b -⊥⊥若1a =，则222a b c ++= .【例4】设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a c b c -⋅-的最小值为（ ）.2A - 2B .1C - .1D【变式1】已知,a b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,则c 的最大值是（ ）..1A .2B C 2D 【变式2】（2012安徽理14）若平面向量,a b 满足23a b -≤，则,a b 的最小值是 .【例5】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅= .二、平面向量的夹角求夹角，用数量积，由cos a b a b θ⋅=⋅，得21cos a b a bx θ⋅==，进而求得向量,a b 夹角.【例1】已知向量(1,3),(2,0)a b ==-,则a 与b 则的夹角是 .【例2】已知,a b 是非零向量且满足(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则a 与b 则的夹角是（ ）. .6A π.3B π2.3C π 5.6D π【例3】已知向量,,a b c 满足1,2,,a b c a b c a ===+⊥，则a 与b 则的夹角等于（ ）..30A ︒ .60B ︒ .120C ︒ .90D ︒【变式1】若,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则a 与a b +则的夹角为 .【变式2】若平面向量,αβ满足1,1αβ=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 .【例4】已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为45︒，求使向量a b λ+与a b λ+的夹角为锐角的λ的取值范围.【变式1】设两个向量12,e e ，满足122,1e e ==，1e 与2e 的夹角为3π，若向量1227te e +与12e te +的夹角为钝角，求实数t 的范围.【变式2】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ,有下列四个命题：12:10,3p a b θπ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭；22:1,3p a b θππ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦；3:10,3p a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭；4:1,3p a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦.其中的真命题是（ ）.12.,A p p 13.,B p p23C.,p p24D.,p p【变式3】若向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且()a ac a b a b⋅=-⋅⋅，则向量a 与c 的夹角为（ ）..0A .6B πC.3πD.2π三、平面向量的模长求模长，用平方，2.a a =【例1】已知5a b ==，向量a 与b 的夹角为3π，求,a b a b +-.【变式1】已知向量,a b 满足1,2a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则_________a b -=.【变式2】已知向量,a b 满足1,2a b ==，2a b -=，则a b +等于（ ）..1A【变式3】在ABC ∆中，已知3,4,60AB BC ABC ==∠=︒，求AC .【例2】已知，向量a 与b 的夹角为120︒，3,13a a b =+=,则b 等于（ ）..5A .4B C.3 D.1【变式1】已知向量,a b 的夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则_________b =.【变式2】已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-则a 与b 的夹角为_________，【变式3】设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，AB AC AB AC +=-则AM =（ ）.8A .4B C.2 D.1【例3】已知平面向量(),0,αβααβ≠≠，满足1β=，且β与βα-的夹角为120︒，则α的取值范围是_________.【变式1】若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的最大值为（ ）.1 .1BD.2【变式2】已知,a b 是单位向量，0a b ⋅=，若向量c 满足1c a b --=，则c 的取值范围是（ ）..1A ⎤⎦.2B ⎤⎦C.1⎡⎤⎣⎦D.2⎡⎤+⎣⎦【例4】在平面上，12,AB AB ⊥121OB OB ==，12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是（）..0,2A ⎛⎝⎦.22B ⎛⎝⎦C.2⎛⎝D.2⎛ ⎝【变式1】在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PB PC+=（ ）.2A .4B C.5 D.10加强练习：例1：在ABC 中，O 为BC 中点，若1,3,60AB AC A ==∠=，则OA = _____例2：若,,a b c 均为单位向量，且()()0,0a b a c b c ⋅=-⋅-≤，则a b c +-的最大值为（） A. 1 B. 1C. D. 2例3：平面上的向量,MA MB 满足24MA MB +=，且0MA MB ⋅=，若1233MC MA MB =+，则MC 的最小值为___________例4：已知平面向量,αβ满足23αβ-=，且αβ+与2αβ-的夹角为150，则()()32t t R αββ+-∈的最小值是（ ）A.34 B. 33 C. 32D. 3 例5：已知平面向量,OA OB 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且3OA OB ==，若1233OP OA OB =+，则OP 的取值范围是__________例6：已知()2,6,2a b a b a ==⋅-=，R λ∈，则a b λ-的最小值是（ ） A. 4 B. 23 C. 2 D.3例7：已知直角梯形ABCD 中，AD ∥,90,2,1BC ADC AD BC ∠===，P 为腰CD 上的动点，则23PA PB +的最小值为__________例8：如图，在边长为1的正三角形ABC 中，,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足,AE mAB AF n AC ==，其中(),0,1,1m n m n ∈+=，,M N 分别是,EF BC 的中点，则MN 的最小值为（ ）A. 24B. 33C. 34D. 53NMABCEF例9：已知OA 与OB 的夹角为θ，=2OA ，=1OB ，且OP tOA =，1OQ t OB =-（）, PQ 在0t 时取到最小值。