山东省枣庄滕州市第一中学2020-2021学年高二11月定时训练(期中)数学试题
山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题
保密☆启用前试卷类型：A2021届高三定时训练试题数学2020．11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，则21ii+的模为（ ）A ．1B ．C ．2D2．设集合{ln(1)}A x y x ==-∣，集合{}2B y y x ==∣，则AB =（ ）A ．[]0,1B ．[)0,1C ．(),1-∞D ．∅3．“ln ln a b >”是“11a b<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ）A ．35B ．35-C ．5D ．5-5．若3cos 22sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A ．9-B ．9-C ．79-D ．796．设0a >，0b >，且21a b +=，则12aa a b++（ ）A ．有最小值为4B ．有最小值为1C ．有最小值为143D ．无最小值7．已知O 是ABC △的外心，6AB =，10AC =，若AO x AB y AC =+，且2105(0)x y x +=≠，则ABC △ 的面积为（ ）A ．B ．18C ．24D ．8．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()2f x f x x =-+，当0x >时，()21f x x '>+．若(1)()21f a f a a +≥-++，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)-+∞D ．[2,)-+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知函数()||xxf x e e x -=++（e 是自然对数的底数），则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上为增函数C ．若0x ≠，则212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭D ．若(1)(1)f x f -<-，则02x <<10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<部分自变量、函数值如下表所示，则（ ）A ．函数解析式为5()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()f x 图象的一条对称轴为23x π=-C ．5,212π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D ．函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移2个单位所得的函数为奇函数 11．如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成ABM △，连接1B D ，N 为BD 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，则当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π12．下列不等式中正确的是（ ）A ．ln 32<B ．ln π<C ．15<D ．3ln 28e >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(,1)a k =-，(4,2)b =-，若a 与b 共线，则实数k 的值为______． 14．已知等比数列{}n a 满足12a =，46521a a a =-，则9a =______．15．已知二面角P AB C --的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=．若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______． 16．已知对任意x ，都有21ln x xe ax x x --≥+，则实数a 的取值范围是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos 6a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，③sin sin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，a =_________________________．求ABC △的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）已知2()(1)1(R)f x ax a x a =+--∈．（Ⅰ）若()0f x ≥的解集为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，求关于x 的不等式301ax x +≤-的解集； （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x ≥． 19．（本小题满分12分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知520S =，23a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式2nn b =，将数列{}n a 中与{}n b 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{}n c ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2020T ．20．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC △为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，E ，F 分别是1CC ，BC 的中点．（Ⅰ）若D 是1AA 的中点，求证：BD ∥平面AEF ；（Ⅱ）线段AE （包括端点）上是否存在点M ，使直线1B M 与平面AEF 所成的角为60︒？若有，确定点M 的位置；若没有，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()4()log 41()x f x kx k =++∈R 是偶函数．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）设44()log 23x g x a a ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()12sin f x x x =+-，0x >． （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）证明：2()xf x e->．2021届高三定时训练 数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题5分，共40分）二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9．BCD 10．BCD 11．BD 12．AC 三、填空题（每小题5分，共20分） 13．2 14．12 15．2887π 16．(,1]-∞ 四、解答题（共70分）（注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分．） 17．（本小题满分10分） 解：若选①由正弦定理得()()() a b a b c b c +-=-， 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为(0,)A π∈，所以3A π=，又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又因为a =6b c +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π==⨯⨯=△． 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos 6A A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，化简得1sin cos sin 22A A A =-，即tan A =，因为0A π<<，所以6A π=． 又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc ==，即24bc =-．所以111sin (246222ABC S bc A ==⨯-⨯=-△ 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A π+=-， 所以cos 2sin cos 222A A A=，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠，∴1sin 22A =，26A π=，所以3A π=．又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =．所以11sin 4sin 223ABC S bc A π==⨯⨯=△． 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得11(1)211(1)2a a a ⎧-⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a =-．故原不等式等价于2301x x -+≤-． 即(23)(1)010x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x <或32x ≥， 所以不等式的解集为3(,1),2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当0a =时，原不等式可化为10x +≤，解集为(],1-∞-．当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭． 当0a <时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 当11a >-，即1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 当11a=-，即1a =-时，解集为{}1-； 当11a <-，即10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意，()155355202a a S a+⨯===，解得：34a =，又23a =，故1d =，12a =， 所以1(1)1n a a n d n =+-⋅=+．（Ⅱ）令数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，由（Ⅰ）可知11a b =，32a b =，73a b =，154a b =，…，102310a b =，204711a b =，所以2020203010T A B =-，2030(22031)203020634952A +⨯==，()1010212204612B -==-，故20202061449T =．20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）连接1DC ，1BC ，因为D ，E 分别是1AA ，1CC 的中点，故1AE DC ∥，AE ⊄平面1BDC ，1DC ⊂平面1BDC ， 所以AE ∥平面1BDC ．因为E ，F 分别是1CC ，BC 的中点，所以1EF BC ∥，EF ⊄证平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ， 所以EF ∥平面1BDC ， 又AEEF E =，AE ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面1BDC ，又BD ⊂平面1BDC ，所以BD ∥平面AEF ，（Ⅱ）题意得AB ，AC ，1AA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(0,2,1)E ，(1,1,0)F ． 因为(0,2,1)AE =，(1,1,0)AF =． 设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，由00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20y z x y +=⎧⎨+=⎩，令2z =，得1x =，1y =-，所以平面AEF 的一个法向量为(1,1,2)n =-．设(0,2,)(01)AM AE λλλλ==≤≤，又1(2,0,2)AB =， 所以11(2,2,2)B M AM AB λλ=-=--． 若直线1B M 与平面AEF 所成角为60︒，则111sin 60cos ,||n B M n B Mn B M⋅==⋅︒2(2)λ=⋅+2===． 解得：0λ=或45λ=，即当点M 与点A 重合， 或45AM AE =时，直线1B M 与平面AEF 所成的角为60︒． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()4()log 41x f x kx --=+-，因为函数()4()log 41()x f x kx k =++∈R 是偶函数，故()()f x f x -=，即()()44log 41log 41x x kx kx -+-=++． 整理得：()()442log 41log 41x x kx -=+-+，4412log 41x x kx -+=+，()4412log 414x x xkx --+=+， 2kx x =-，(21)0k x +=，又x 不恒为0，所以12k =-． （Ⅱ）()()()244441()log 41log 41log 4log 222xxx x x f x x -=+-=+-=+，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 只需方程()444log 22log 23x x x a a -⎛⎫+=⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根， 即方程42223x x x a a -+=⋅-有且只有一个实根， 令20x t =>，则方程24(1)103a t at ---=有且只有一个正根．①1a =时，34t =-不合题意；②若0∆=，则34a =或者3a =-；若34a =，则2t =-，不合题意；若3a =，则12t =，符合题意；③若0∆>，则方程有两根，显然方程没有零根． 所以依题意知，方程有一个正根与一个负根，即101a -<-，解得1a >， 综上所述：实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞．22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()12sin f x x x =+-，得()12cos (0)f x x x '=->，令()0f x '=，得23x k ππ=+或52()3x k k ππ=+∈N ， 所以当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当52,2()33x k k k ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭N 时，()0f x '>，()f x 单调递增；当572,2()33x k k k ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭N 时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以()f x 的极小值点为：2()3x k k ππ=+∈N ．因为212)33f k k k ππππ⎛⎫+=++-∈ ⎪⎝⎭N ，所以min ()133f x f ππ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）要证2()x f x e ->，即要证2(12sin )1x e x x +->．令2()(12sin )(0)xg x e x x x =+->，则2()(324sin 2cos )x g x e x x x '=+--，令()sin (0)h x x x x =->，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，即：当0x >，有sin x x >． 所以324sin 2cos 32sin 2cos x x x x x +-->--3304x π⎛⎫=-+≥-> ⎪⎝⎭． 所以324sin 2cos 0x x x +-->，又20x e >，所以()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()()0g x g >， 即2(12sin )1x e x x +->．所以212sin x x x e -+->，即2()x f x e->．。
山东省枣庄滕州市第一中学2020-2021学年高二(一部)11月定时训练数学试题 Word版含答案
1山东省枣庄滕州市第一中学2020-2021学年高二（一部）11月定时训练数学试题（时间120分钟 总分150分）一、单选题（共8小题，每题5分）1.对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =xOA +yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +zOC(x,y,z ∈R) ，则2x =，3y =-，2z =是,,,P A B C 四点共面的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知直线l 的方向向量a ，平面α的法向量μ，若a ＝(1,1,1)，μ＝(－1,0,1)，则直线l 与平面α的位置关系是( )A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行3. 如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,所有棱长均为1,且AA 1⊥底面ABC,则点B 1到平面ABC 1的距离为( )721.A 510.B 621.C 410.D4. 设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )A ．10B ．4C ．32D ．115．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦所在直线的方程为( ) A ．x ＋2y －6＝0 B ．x －3y ＋5＝0 C ．x －2y ＋6＝0D ．x ＋3y －8＝06.若直线，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆相切，30x y c -+=2210x y +=2则c 的值为（ ） A.或 B.或C.或D.或7. 直线220x y 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A ．2215x y +=B ．22145x y +=C ．2215x y +=或22145x y +=D ．以上答案都不对8. 设点，若在圆上存在点，使得， 则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 二．多选题（共 4 小题， 每题 5 分，选全得满分，不全得 3 分，错选 0分）9．已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，且短轴长为2，过焦点1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆方程为2213y x +=B ．椭圆方程为2213x y +=C．PQ =D ．2PF Q ∆的周长为10.如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1，已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF 的长度的平方可以取的值为( )146-128-812-614-0(,1)M x 22:1O x y +=N 45OMN ∠=︒0x [1,1]-11[,]22-[[,22-3A.110B.15C.12D ．111.以下四个命题表述正确的是( )A ．直线(3＋m )x ＋4y －3＋3m ＝0(m ∈R)恒过定点(－3，－3)B ．圆x 2＋y 2＝4上有且仅有3个点到直线l ：x －y ＋2＝0的距离都等于1C ．曲线C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0与曲线C 2：x 2＋y 2－4x －8y ＋m ＝0恰有三条公切线，则m ＝4D ．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点⎝⎛⎭⎫14，1212.如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为22C ．三棱锥B ACQ -的体积为624D ．异面直线CQ 与AB所成的角的余弦值为3三．填空题（ 共4小题， 每题5 分）13.已知向量a ⃑ ＝(1,1,0)，b ⃑ ＝(－1,0,2)，若k a ⃑ ＋b ⃑ 与2a ⃑ －b ⃑ 互相垂直，则k 的值是 . 14.一条光线从点射出，经轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为．15. 椭圆x y 22941+=的焦点为F F 12、，点P 为其上的动点，当∠F PF 12为钝角时，则点P 的横坐标的取值范围是________.16．已知圆22:4O x y +=，A ，B 是圆上两点，点()1,2P 且PA PB ⊥，则AB 最大值是________.四．解答题17. (本题满分10分)已知椭圆2222x y C 1a b ：+=()0a b >>4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P （2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程.18．(本题满分12分)已知ABC ∆的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=（1）求顶点A 和B 的坐标；（2）求ABC ∆外接圆的一般方程. 19. (本题满分12分) 已知圆C:x 2+y 2−2x −4y −20=0，(2,3)-x 22(3)1x y -+=5直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=.（1）求证：直线l 与圆C 恒有两个交点；（2）若直线l 与圆C 的两个不同交点分别为A ，B ．求线段AB 中点P 的轨迹方程，并求弦AB 的最小值.20. (本题满分12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =． （1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦． （2）求二面角M CB P --的余弦值．21．(本题满分12分)已知椭圆C：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，一个顶点为M (0，1)，直线l交椭圆于A ，B 两点，且MA ⊥MB .(1)求椭圆C 的方程； (2)证明：直线l 过定点.22. (本题满分12分)如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 中点，3BC =. (1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；求(3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？若存在，BN的值；若不存在，请说明理由.BD6711月定时训练数学---答案1—8 B D A A C A C A 9 ACD 10 BC 11 BCD 12 BD13. 7514. 或 15. (-3√55,3√55)16.17.（1）c e a ==，2b=4，所以a=4，b=2，c=221164x y +=（2）设以点()2,1P 为中点的弦与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y ， 则12124,2x x y y +=+=，分别代入椭圆的方程，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以()()1212480x x y y -+-=，所以121212y y k x x -==--，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=．18. 解：（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -, 又因为AC BH ⊥得，13BH k =- 所以设AC 的方程为3y x b =+， 将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-（2）设ΔABC 的外接圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2−4F >0)将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩，2x =43170x y +-=8解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.19.（1）证明：圆C:x 2+y 2−2x −4y −20=0， 即22(1)(2)25x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径=5r ，又直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，化为(27)(4)0+-++-=m x y x y ，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(3,1)Q ，由22||(31)(12)55CQ =-+-=<，得Q 在圆C 内，则直线l 与圆C 恒有两个交点； （2）由题意知，设点(,)P x y 为弦AB 的中点，由（1）可知CP PQ ⊥，所以点P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆，线段CQ 的中点为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，||5CQ =，则线段AB 中点P 的轨迹方程为2235(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；由圆的几何性质可知，当(3,1)Q 是弦AB 的中点时，||AB 最小.弦心距||5d CQ ==，圆C 的半径为5，可得22min |25(5)45AB =-=.20.（1）∵ABCD 是矩形，∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，由4PD CD ==，2AD =，得()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()0,0,4P ，()1,0,2M ，则()2,0,4AP =-，()2,0,0BC =-，()1,4,2MB =-，设平面CMB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =，9∴()10,1,2n =1114cos ,525AP n AP n AP n ⋅===⋅，故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45．（2）由（1）可得()0,4,4PC =-，设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =，∴()20,1,1n =12cos ,105n n ==，故二面角M CB P --的余弦值为10． 21. (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34b ＝1, 解得a 2＝4，b 2＝1所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意，直线l 斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m ，M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，，得()1＋4k 2x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0 得x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2所以y 1＋y 2＝k ()x 1＋x 2＋2m ，y 1y 2＝k 2x 1x 2＋mk ()x 1＋x 2＋m 2 ∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0，即x 1x 2＋()y 1－1()y 2－1＝0 代入整理得4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2－2m1＋4k 2＋1＝0 即5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35，m ＝1(舍), 所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 22．(1)证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ⋂平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF BD ⊥．(2)取AD 中点O,EF 中点K ，连接OB ，OK.于是在△ABD 中，OB OD ⊥，在正方ADEF 中OK OD ⊥，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，故OB ⊥平面AFEF ，进而0B OK ⊥，即OB, OD, OK 两两垂10直． 分别以,,OB OD OK 为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系（如图）,于是，3,0,0B ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，10,,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,3,0C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1E 0,,12⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,311M ,,0,F 0,,1442⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以MF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√34,−34,1),CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√32,52,0),DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0，1)设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00CD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即350220x y z ⎧-⋅-⋅=⎪⎨⎪=⎩令5x =-，则3y =，则(5,3,0)n =-设直线MF 与平面CDE 所成角为θ，||3sin |cos ,|||||MF n MF n MF n θ⋅=<>== (3) 要使直线//CE 平面AFN ，只需AN //CD ， 设,[0,1]BN BD λλ=∈,则331,,,,0222n n n x y z λ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,331,,0222nn n x y z λλ=-==,331,,0222N λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以3311,,022AN λλ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,又 35(,,0)2CD =--，由//AN CD 得33112222 532λλ-+=--解得2=[0,1]3λ∈，所以线段BD 上存在点N,使得直线//CE 平面AFN ，且2=3BN BD ．。
2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x +1＝0的倾斜角为（ ） A ．0°B ．45°C ．90°D ．不存在2．在棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC →+AD →+CC →1=（ ） A ．A 1C →B ．AC 1→C ．C 1A →D ．CA 1→3．已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则可以与向量m →=b →−2c →，n →=b →+2c →构成空间另一个基底的向量是（ ） A ．a →B ．b →C ．c →D ．b →+c →4．若M （1，0，1），N （2，m ，3），P （2，2，n +1）三点共线，则m +n ＝（ ） A ．4B ．﹣2C ．1D ．05．已知直线x +2y ﹣4＝0与直线2x +4y +7＝0平行，则它们之间的距离为（ ） A ．√5B ．√10C ．3√52D ．3√1026．已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣2y ＝0，直线l 的横纵截距相等且与圆C 相切，则满足条件的直线l 有（ ）条． A ．1B ．2C ．3D ．47．圆x 2+2x +y 2+4y ﹣3＝0上到直线x +y +1＝0的距离为√2的点共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ∈平面AA 1B 1B ，点F 是线段AA 1的中点，若D 1E ⊥CF ，则△EBC 的面积最小值为（ ） A ．12B ．2√55C ．√55D ．√510二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题中，正确的是（ ）A ．若非零向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，c →⊥b →，则有a →∥c →B ．任意向量a →，b →，c →满足(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)C ．若OA →，OB →，OC →是空间的一组基底，且OD →=13OA →+13OB →+13OC →，则A ，B ，C ，D 四点共面D ．对于任意向量a →，b →，必有|a →+b →|≤|a →|+|b →| 10．下列命题中，正确的是（ ）A ．在x ，y 轴上截距相等的直线都可以用方程x a +yb=1表示B ．方程x +my ﹣2＝0（m ∈R ）能表示平行y 轴的直线C ．经过点（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y ﹣1＝tan θ（x ﹣1）D ．经过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线方程为（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）﹣（x 2﹣x 1）（y ﹣y 1）＝0 11．已知点P 在圆O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（ ） A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP ⊥BP 的点P 有3个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M 、N ，则直线MN 的方程为y ＝1D ．2|P A |+|PB |的最小值是2√1012．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 满足AP →=λAC →+μAD 1→，其中λ∈（0，1），μ∈R ，且μ≠0，则（ ）A ．对于任意的λ∈（0，1），μ∈R 且μ≠0，都有平面ACP ⊥平面A 1B 1DB ．当λ+μ＝1时，三棱锥B ﹣A 1PD 的体积为定值C ．当λ=34时，存在点P ，使得∠A 1PB ＞90°D ．当μ=34时，不存在点P ，使得AP ⊥平面PCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年山东省枣庄市高二上学期期中考试数学试题 word版
山东省枣庄市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一、单项选择题：1．过点()3,0和点(的直线的斜率是（ ）AB ．C D ．-2．若向量()1,0,1a =-，向量()2,0,b k =，且满足向量//a b ，则k 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．过点()1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线方程为（ ） A ．20x y -= B ．230x y -+= C ．240x y +-=D ．250x y +-=4．已知圆22410x y y +--=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．()0,2，5B ．()0,2-，5C ．()0,2D ．()0,2-5．已知直线l ：20kx y -+=过定点M ，点(),P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的最小值是（ ）A B C D ．6．已知直线l ：y x m =+与曲线x =m 的取值范围是（ ）A ．2,⎡-⎣B ．(2⎤--⎦C ．2,⎡⎣D ．(2⎤-⎦7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 取点M ，在1CD 取一点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则MN 的最小值为（ ）A ．1 BC．2D．38．在四面体ABCD 中，5AB BC CD DA ====，3AC =，8BD =，点P 在平面ABD 内，且CP =设异面直线CP 与BD 所成的角为θ，则sin θ的最小值为（ ） A．8B．2C．3D．2二、多项选择题：9．下列说法正确的是（ ）A ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--B ．点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．圆1Q ：2220x y x +-=和圆2Q ：22240x y x y ++-=的交点为A ，B ．则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB的长为2D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB距离的最大值为12+ 11．下列说法正确的有（ ） A ．方程2x xy x +=表示两条直线B ．椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m = C ．曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D ．椭圆C ：2215y x +=的焦距是2 12．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．1//BC 平面APQB ．1A D ⊥平面APQC ．平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形D ．异面直线PQ 与11A C 所成的角为60︒ 三、填空题：13．直线10x ++=的倾斜角的大小是______．14．两平行直线1l ：3420x y +-=与2l ：6850x y +-=间的距离是______．15．已知直四棱柱ABCD A B C D ''''-的棱长均为2，60BAD ∠=︒，以D '为半径的球面与侧面BCC B ''的交线长为______．16．已知AB 是圆O ：222x y +=的一条弦，其长度AB =，M 是AB 的中点，若动点(),2P t t +、(),2Q m -，使得四边形PMOQ 为平行四边形，则实数m 的最大值______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知ABC △的顶点坐标为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,3)C ，M 是BC 边上的中点． （Ⅰ）求AB 边所在的直线方程； （Ⅱ）求中线AM 的长．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线2y x =-上，且圆M 与直线10x y +-=相切于点(2,1)P -．（Ⅱ）过坐标原点O 的直线l 被圆M ，求直线l 的方程．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM 平面PAB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P DE B --的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．20．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠∠∠===︒，11AB AD AA ===． （Ⅰ）求1A C 的长；（Ⅱ）证明：直线1A C ⊥平面11BDD B ．21．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，点P 在直线l ：20x y -=上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（Ⅰ）若点P 的坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求切线PA ，PB 方程；（Ⅱ）证明：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．22．已知圆C ：22(1)12x y ++=，点(1,0)A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与曲线E 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求MON △面积的最大值．2020~2021学年度第一学期第一学段质量检测高二数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题 9．BC 10．ABD11．AC12．ACD三、填空题13．56π 14．11015．216．3-四、解答题注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分． 17．解：（Ⅰ）直线AB 的斜率为()1566211k ---===----，所以直线AB 的方程为()561y x -=+，即6110x y -+=． （Ⅱ）设M 的坐标为()00,x y 则由中点坐标公式得02412x -+==，01312y -+==．故(1,1)M．所以224(11)(15)25M=++-=．18．解：（Ⅰ）设与直线10x y+-=垂直的直线方程为：0x y m-+=，又因为直线0x y m-+=过点(2,1)P-，故210m++=，解得3m=-，故圆M的圆心在直线30x y--=上．由230y xx y=-⎧⎨--=⎩，解得：12xy=⎧⎨=-⎩，所以圆心M的坐标为(1,2)-．所以圆M的半径：r MP===所以圆M的方程为：22(1)(2)2x y-++=．（Ⅱ）因为直线l被圆M，所以圆心M到直线l的距离：2d==．若直线l的斜率不存在，则l为直线0x=，此时圆心M到的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y kx=，即0kx y-=．由d==，整理得：2870k k++=，解得：1k=-或7-．所以直线l的方程为：0x y+=或70x y+=．19．解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA AD⊥，PA AB⊥，又AB AD⊥，所以PA，AB，AD 两两垂直．以A为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．则(0,0,2)P，(2,0,0)B，(0,2,0)D，(2,4,0)C点M 为PC 中点，故(1,2,1)M 故(1,0,1)DM =，又(0,0,2)AP =，(2,0,0)AB = 所以1122DM AP AB =+ 所以DM ，AP ，AB 为共面向量， 所以//DM 平面PAB ． （Ⅱ）设(2,,0)E a ，04a <<依题意可知平面BDE 的法向量为(0,0,2)AP =，(0,2,2)DP =-，(2,2,0)DE a =-设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2202(2)0n DP y z n DE x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令31z =，则2,1,12a n -⎛⎫=⎪⎝⎭．因为二面角P DE B --的余弦值为23， 所以2cos ,3AP n AP n AP n⋅==⋅， 23=，解得1a =或3a =． 所以存在点E 符合题意，当1BE =或3BE =时，二面角P DE B --的余弦值为23．20．解：（Ⅰ）设AB a =，AD b =，1AA c =，则{},,a b c 为空间中的一个基底，且1AC a b c =+- 因为1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，11AB AD AA ===， 所以2221a b c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=． ()22211AC AC a b c ==+- 2222222a b c a b a c b c =+++⋅-⋅-⋅=．故1AC ．（Ⅱ）BD b a =-，1BB c =()()1AC BD a b c b a ⋅=+-⋅-220b a b c a c =--⋅+⋅=． ()11AC BB a b c c ⋅=+-⋅20a c b c c =⋅+⋅-=．故1AC 是平面11BDD B 的法向量，故直线1A C ⊥平面11BDD B ． 21．解（Ⅰ）当切线斜率不存在时，切线方程为1x =，符合题意． 当切线斜率存在时，设直线方程为1(1)2y k x =-+， 即102kx y k --+= 因为直线和圆相切，所以1d ==，解得512k =-． 此时直线方程为51(1)122y x =--+，即512110x y +-=． 所以切线PA ，PB 方程为：1x =，512110x y +-=．（Ⅱ）设点001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2)M ，过P ，A ，M 三点的圆即以PM 为直径的圆．即2220012222x x x y ⎛⎫+ ⎪⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭所以220001202x x x y x y x ⎛⎫-+-++=⎪⎝⎭， ()22012102xy y x y x ⎛⎫+-+--+= ⎪⎝⎭，从而22201102x y y x y ⎧+-=⎪⎨--+=⎪⎩， 解得定点坐标为(0,2)或42 ,55⎛⎫⎪⎝⎭． 22．解：（Ⅰ）因为点Q 在线段AP 的垂直平分线上， 所以AQ PQ =．又CP CQ PQ =+=所以2CQ AQ AC +=>=．所以曲线E 是以坐标原点为中心，(1,0)C -和(1,0)A为焦点，长轴长为设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．则1c =，a =22b =．所以曲线E 的方程为22132x y +=． （Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222326360k x kmx m +++-=． 此时有227224480k m ∆=-+>． 由一元二次方程根与系数的关系，得122632kmx x k -+=+，21223632m x x k -=+．所以MN == 因为原点O 到直线l的距离d =所以12MON S MN d =⋅=△ 由0∆>，得22320k m -+>．又0m ≠，由基本不等式，得()2222323222MONm k m S k +-+≤⨯=+△． 当且仅当22322k m +=时，不等式取等号．所以MON △。
山东省枣庄市2020_2021学年高二数学上学期期中试题
山东省枣庄市2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、单项选择题：1．过点()3,0和点()4,3的直线的斜率是（ ）A ．3B ．3-C ．3 D ．3-2．若向量()1,0,1a =-，向量()2,0,b k =，且满足向量//a b ，则k 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．过点()1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线方程为（ ） A ．20x y -= B ．230x y -+= C ．240x y +-=D ．250x y +-=4．已知圆22410x y y +--=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．()0,2，5B ．()0,2-，5C ．()0,2，5D ．()0,2-，55．已知直线l ：20kx y -+=过定点M ，点(),P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的最小值是（ ）A ．10B ．5C ．6D ．356．已知直线l ：y x m =+与曲线24x y =-有两个公其点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)2,22⎡-⎣B ．(22,2⎤--⎦C ．)2,22⎡⎣D ．(22,2⎤-⎦7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 取点M ，在1CD 取一点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则MN 的最小值为（ ）A ．1BCD8．在四面体ABCD 中，5AB BC CD DA ====，3AC =，8BD =，点P 在平面ABD 内，且CP =设异面直线CP 与BD 所成的角为θ，则sin θ的最小值为（ ） A．8B．2C．3D．2二、多项选择题：9．下列说法正确的是（ ）A ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--B ．点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．圆1Q ：2220x y x +-=和圆2Q ：22240x y x y ++-=的交点为A ，B ．则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB的长为2D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB距离的最大值为12+ 11．下列说法正确的有（ ） A ．方程2x xy x +=表示两条直线B ．椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m = C ．曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D ．椭圆C ：2215y x +=的焦距是2 12．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．1//BC 平面APQB ．1A D ⊥平面APQC ．平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形D ．异面直线PQ 与11A C 所成的角为60︒ 三、填空题：13．直线310x y ++=的倾斜角的大小是______．14．两平行直线1l ：3420x y +-=与2l ：6850x y +-=间的距离是______．15．已知直四棱柱ABCD A B C D ''''-的棱长均为2，60BAD ∠=︒，以D '为球心，5面BCC B ''的交线长为______．16．已知AB 是圆O ：222x y +=的一条弦，其长度6AB =，M 是AB 的中点，若动点(),2P t t +、(),2Q m -，使得四边形PMOQ 为平行四边形，则实数m 的最大值______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知ABC △的顶点坐标为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,3)C ，M 是BC 边上的中点． （Ⅰ）求AB 边所在的直线方程； （Ⅱ）求中线AM 的长．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线2y x =-上，且圆M 与直线10x y +-=相切于点(2,1)P -．（Ⅱ）过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为6，求直线l 的方程．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM 平面PAB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P DE B --的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．20．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠∠∠===︒，11AB AD AA ===． （Ⅰ）求1A C 的长；（Ⅱ）证明：直线1AC ⊥平面11BDD B ．21．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，点P 在直线l ：20x y -=上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ． （Ⅰ）若点P 的坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求切线PA ，PB 方程； （Ⅱ）证明：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．22．已知圆C ：22(1)12x y ++=，点(1,0)A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与曲线E 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求MON △面积的最大值．2020~2021学年度第一学期第一学段质量检测高二数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADACBBDA二、多项选择题 9．BC 10．ABD11．AC12．ACD三、填空题 13．56π 14．11015．2216．3-四、解答题注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分． 17．解：（Ⅰ）直线AB 的斜率为()1566211k ---===----，所以直线AB 的方程为()561y x -=+，即6110x y -+=． （Ⅱ）设M 的坐标为()00,x y 则由中点坐标公式得02412x -+==，01312y -+==． 故(1,1)M ．所以224(11)(15)25M =++-=．18．解：（Ⅰ）设与直线10x y +-=垂直的直线方程为：0x y m -+=， 又因为直线0x y m -+=过点(2,1)P -， 故210m ++=， 解得3m =-，故圆M 的圆心在直线30x y --=上．由230y x x y =-⎧⎨--=⎩，解得：12x y =⎧⎨=-⎩，所以圆心M 的坐标为(1,2)-．所以圆M 的半径：22(12)(21)2r MP ==-+-+=所以圆M 的方程为：22(1)(2)2x y -++=． （Ⅱ）因为直线l 被圆M 6， 所以圆心M 到直线l 的距离：6224d =-= 若直线l 的斜率不存在，则l 为直线0x =， 此时圆心M 到的距离为1，不符合题意．若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y kx =，即0kx y -=．由22221k d k +==+，整理得：2870k k ++=， 解得：1k =-或7-．所以直线l 的方程为：0x y +=或70x y +=．19．解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直．以A 为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示． 则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(0,2,0)D ，(2,4,0)C点M 为PC 中点，故(1,2,1)M 故(1,0,1)DM =，又(0,0,2)AP =，(2,0,0)AB = 所以1122DM AP AB =+ 所以DM ，AP ，AB 为共面向量， 所以//DM 平面PAB ． （Ⅱ）设(2,,0)E a ，04a <<依题意可知平面BDE 的法向量为(0,0,2)AP =，(0,2,2)DP =-，(2,2,0)DE a =-设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2202(2)0n DP y z n DE x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令31z =，则2,1,12a n -⎛⎫=⎪⎝⎭．因为二面角P DE B --的余弦值为23， 所以2cos ,3AP n AP n AP n⋅==⋅， 22322112a =-⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭，解得1a =或3a =． 所以存在点E 符合题意，当1BE =或3BE =时，二面角P DE B --的余弦值为23． 20．解：（Ⅰ）设AB a =，AD b =，1AA c =，则{},,a b c 为空间中的一个基底，且1AC a b c =+- 因为1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，11AB AD AA ===， 所以2221a b c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=． ()22211AC AC a b c ==+- 2222222a b c a b a c b c =+++⋅-⋅-⋅=．故1AC ．（Ⅱ）BD b a =-，1BB c =()()1AC BD a b c b a ⋅=+-⋅-220b a b c a c =--⋅+⋅=．()11AC BB a b c c ⋅=+-⋅20a c b c c =⋅+⋅-=．故1AC 是平面11BDD B 的法向量，故直线1AC ⊥平面11BDD B ． 21．解（Ⅰ）当切线斜率不存在时，切线方程为1x =，符合题意． 当切线斜率存在时，设直线方程为1(1)2y k x =-+， 即102kx y k --+= 因为直线和圆相切，所以1d ==，解得512k =-． 此时直线方程为51(1)122y x =--+，即512110x y +-=． 所以切线PA ，PB 方程为：1x =，512110x y +-=．（Ⅱ）设点001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2)M ，过P ，A ，M 三点的圆即以PM 为直径的圆．即2220012222x x x y ⎛⎫+ ⎪⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭所以220001202x x x y x y x ⎛⎫-+-++=⎪⎝⎭， ()22012102xy y x y x ⎛⎫+-+--+= ⎪⎝⎭，从而22201102x y y x y ⎧+-=⎪⎨--+=⎪⎩， 解得定点坐标为(0,2)或42 ,55⎛⎫⎪⎝⎭．22．解：（Ⅰ）因为点Q 在线段AP 的垂直平分线上， 所以AQ PQ =．又CP CQ PQ =+=所以2CQ AQ AC +=>=．所以曲线E 是以坐标原点为中心，(1,0)C -和(1,0)A为焦点，长轴长为设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．则1c =，a =22b =．所以曲线E 的方程为22132x y +=． （Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222326360k x kmx m +++-=． 此时有227224480k m ∆=-+>． 由一元二次方程根与系数的关系，得122632kmx x k -+=+，21223632m x x k -=+．所以MN == 因为原点O 到直线l的距离d =，所以12MON S MN d =⋅=△ 由0∆>，得22320k m -+>．又0m ≠，由基本不等式，得()2222323222MONm k m S k +-+≤⨯=+△． 当且仅当22322k m +=时，不等式取等号．所以MON △。
【解析】山东省枣庄市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷
2020~2021学年度第一学期第一学段质量检测高二数学一、单项选择题：1. 过点(3,0)和点的斜率是（ ）A.B. C.3D. 3-【答案】A 【分析】直接根据斜率公式计算可得；【详解】解：过点(3,0)和点的斜率k == 故选：A【点睛】本题考查两点的斜率公式的应用，属于基础题.2. 若向量(1,0,1)a =-，向量(2,0,)b k =，且满足向量//a b ，则k 等于（ ） A. 1 B. 1-C. 2D. 2-【答案】D 【分析】根据向量共线， 由向量的坐标，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为向量(1,0,1)a =-，向量(2,0,)b k =，//a b ， 所以211k=-，解得2k =-. 故选：D.【点睛】本题主要考查由空间向量共线求参数，属于基础题型.3. 过点()12，，且与直线2+2=0x y +垂直的直线方程为（ ） A. 20x y -= B. 230x y -+= C. 2-4=0x y +D. 250x y +-=【答案】A试题分析：因为220x y ++=的斜率为12-，所以过点1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线的斜率为2，因此过点1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线的方程为()221,y x -=-既是20x y -=,故选A.考点：1、直线垂直的性质；2、点斜式求直线方程.4. 已知圆22410x y y +--=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）A. ()0,2，5B. ()0,2-，5C. ()0,2D. ()0,2-，【答案】C 【分析】写出圆的标准方程，求圆心和半径.【详解】()222241025x y y x y +--=⇔+-=，所以该圆的圆心是()0,2，半径r =故选：C5. 已知直线:20l kx y -+=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是（ ）A. B.C.D.【答案】B 【分析】将直线方程整理成点斜式,得到定点M 的坐标,||MP 即为一定点到直线上一点的距离,其最小值即为该定点到直线的距离【详解】将直线:20l kx y -+=整理为点斜式,得2y kx -=,M ∴为()0,2点(,)P x y 在直线210x y +-=上,MP ∴的最小值为点M 到直线210x y +-=的距离, 2220215521d ⨯+-∴===+ 故选B【点睛】本题考查两点间距离最小值的求法,此题需转化为点到直线的距离,考查转化思想,属于基础题6. 已知直线l ：y x m =+与曲线24x y =-有两个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A. )2,22⎡-⎣B. (22,2⎤--⎦C. )2,22⎡⎣D.(22,2⎤-⎦【答案】B【分析】画出图像,当直线l 过点,A B 时,求出m 值;当直线l 与曲线24x y =-相切时.求出m ,即可得出m 的取值范围. 【详解】画出如下图像：当直线l 过点,A B 时,2m =-,此时直线l 与曲线x =有两个公共点;直线l 与曲线相切时,m =-因此当2m -<≤-时，直线l 与曲线x =有两个公共点.故选B【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.7. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ）A. 1B.C.D.【答案】D 【分析】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面平行的性质定理可以得出11///M N AC ，设11DM DN x ==，由此可以求出||MN 的最小值.【详解】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，根据面面垂直的性质定理，可得11,MM NN ,都垂直于平面ABCD ，由线面垂直的性质，可知11MM NN ，易知：1111//M M A N N ACC 平面，由面面平行的性质定理可知：11//M N AC ，设11DM DN x ==， 在直角梯形11MM N N 中，222211(2)(12)633MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，当13x =时，||MN 3 故本题选D.【点睛】本题考查了线段长的最小值的求法，应用正方体的几何性质、运用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质、线面平行的性质定理，是解题的关键.8. 在四面体ABCD 中，5AB BC CD DA ====，3AC =，8BD =，点P 在平面ABD 内，且22CP =CP 与BD 所成的角为θ，则sin θ的最小值为（ ） A.368B.3 C.33D.22【答案】A 【分析】取BD 中点K ，AK 中点O ，根据长度关系和线面垂直的判定定理可证得CO ⊥平面ABD ，从而确定P 点在平面ABD 内的轨迹，根据轨迹可确定sin θ取最小值时P 点位置，根据长度关系可求得最小值.【详解】取BD 中点K ，连接AK ，CK ，取AK 中点O ，连接CO ，5AB AD ==，5BC CD ==，4BK DK ==，AK BD ∴⊥，CK BD ⊥，由AKCK K =，,AK CK ⊂平面ACK ，3AK CK ∴==，BD ⊥平面ACK ，CO ⊂平面ACK ，CO BD ∴⊥，AC AK CK ==，CO AK ∴⊥，又,BD AK ⊂平面ABD ，BD AK K =，CO ∴⊥平面ABD ，又OP ⊂平面ABD ，CO OP ∴⊥，又933942CO =-=，22CP =275842OP ∴=-=P ∴点在平面ABD 内的轨迹是以O 5为半径的圆. 作直径//MN BD ，则当P 与M 或N 重合时，sin θ取得最小值，()min33362sin 822CO CP θ∴===. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线所成角的正弦值的求解，解题关键是能够根据垂直关系和长度关系确定动点在平面内的轨迹，从而根据轨迹确定取最小值时动点的位置.二、多项选择题：9. 下列说法正确的是（ ）A. 过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- B. 点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C. 直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D. 经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】BC 【分析】运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B 的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C 的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误． 【详解】对于A ：当12x x ≠，12y y ≠时，过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--，故A 不正确； 对于B ：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标1322⎛⎫⎪⎝⎭，， 满足直线方程1y x =+, 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y =x +1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；对于C ：直线20x y --=在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线20x y --=与坐标轴围成的三角形的面积是12222⨯⨯=，所以C 正确； 对于D ：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x +y −2=0 或 y =x ，所以 D 不正确； 故选：BC.【点睛】本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为0的情况，属于基础题．10. 圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A. 公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B. 线段AB 中垂线方程为10x y +-=C. 公共弦AB的长为2D. P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB距离的最大值为12+ 【答案】ABD【分析】两圆作差即可求解公共弦AB 所在直线方程，可判断A ；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆1O 的圆心即可线段AB 中垂线方程，可判断B ；求出圆心1O 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C ；求出圆心1O 到公共弦AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=， 即公共弦AB 所在直线方程0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确； 对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==，半径1r =所以AB ==，故C 不正确；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为d =，半径1r =，即P到直线AB 距离的最大值为12+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系、求公共弦所在的直线方程、求公共弦、点到直线的距离公式，圆上的点到直线距离的最值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 方程2x xy x +=表示两条直线B. 椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m =C. 曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D. 椭圆C ：2215y x +=的焦距是2【答案】AC 【分析】A.化简方程()210x xy x x x y +=⇔+-=，判断选项；B.讨论焦点在x 轴和y 轴两种情况，求m 的值；C.利用对称点是否满足方程，判断选项；D.根据椭圆方程求焦距.【详解】A.方程()210x xy x x x y +=⇔+-=，即0x =和10x y +-=表示两条直线，故A 正确；B.若方程表示焦点在x 轴的椭圆，则()()10201024m m m m ->->⎧⎨---=⎩，解得：4m =，若方程表示焦点在y 轴的椭圆时，则()()21002104m m m m ->->⎧⎨---=⎩，解得：8m =，所以4m =或8m =，故B 不正确；C.若点(),x y 满足方程22259x y xy +=，则点(),x y --也满足方程，所以曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称，故C 正确； D. 椭圆C ：2215y x +=，225,1a b ==，则2424c c =⇒=，所以焦距是4，故D 不正确.故选：AC【点睛】易错点睛：根据椭圆方程求参数或是判断性质时，需注意焦点的位置，以及讨论焦点的位置，否则会出现丢根的情况.12. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则下列说法正确的是( ) A. BC 1//平面AQPB. 平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C. A1D⊥平面AQPD. 异面直线QP与A1C1所成的角为60°【答案】ABD【分析】对于A，利用线面平行的判定定理即可判断；对于B，连接AP，AD1，D1Q即可求解.对于C，利用线面垂直的性质定理即可判断；对于D，根据异面直线所成角的定义即可求解.【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，如图所示：对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，所以PQ//BC1，由于PQ⊂平面APQ，BC1不在平面APQ内，所以BC1//平面APQ，故选项A正确.对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，由于AD1//PQ，D1Q=AP，所以平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故选项B正确.对于选项C：由于A1D⊥平面ABC1D1，平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，所以A1D⊥平面AQP是错误的，故选项C错误.对于选项D：PQ//BC1，△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B=60°，即异面直线QP与A1C1所成的角为60°，故选项D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、多面体的截面图形、线面垂直的性质定理、异面直线所成的角，属于基础题.三、填空题：13. 直线310x y ++=的倾斜角的大小是_________. 【答案】56π试题分析：由题意3k =-，即3tan θ=-，∴56πθ=．考点：直线的倾斜角.14. 两平行线1:3420l x y +-=，2:6850l x y +-=的距离是__________.【答案】110直线2l 的方程可化为53402x y +-=，故两平行直线12,l l 之间的距离2252211034d ⎛⎫--- ⎪⎝⎭==+，故答案为110. 15. 已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________． 2. 【分析】根据已知条件易得1D E 3=1D E ⊥侧面11B C CB ，可得侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E 211B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，再根据弧长公式可求得结果. 【详解】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E 3=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，513D E =，所以2211||||||532EP D P D E =-=-=所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E 2 因为||||2EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2222FG π==. 故答案为：22. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题. 16. 已知AB 是圆O ：222x y +=的一条弦，其长度AB 6=M 是AB 的中点，若动点(),2P t t +､(),2Q m -，使得四边形PMOQ 为平行四边形，则实数m 的最大值为_______.【答案】3- 【分析】由弦心距可求得2OM =,即M 点轨迹2212x y +=,四边形PMOQ 为平行四边形可知OM QP =,根据向量相等坐标的关系化简可得m t =±，要求出m 的最大值,取m t =+.【详解】AB M =是AB中点∴2222OM ⎛+= ⎝⎭，∴OM =，∴M 点轨迹方程为：2212x y +=PMOQ 为平行四边形，令(, )M x y ，∴OM QP =∴(,)(,4)x y t m t =-+，∴4x t my t =-⎧⎨=+⎩∴221()(4)2t m t -++=，221()(4)2t m t -=-+，m t -=m t =±m 的最大值,取444143m t t =+=++≤-=-=-∴max 3m =-. 故答案为:3-.【点睛】本题考查了圆心距,考查轨迹法求圆的方程,考查了基本不等式拓展公式()2,112a b a b R a b++≥≥≥∈+前两个的关系在求最值中的应用,难度较难. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知三角形ABC 的顶点坐标为(1,5)A -、(2,1)B --、(4,3)C ，M 是BC 边上的中点. （1）求AB 边所在的直线方程； （2）求中线AM 的长. 【答案】（1）6110x y -+=（2） 【分析】（1）根据两点式写出直线的方法化简得到AB 所在的直线方程；（2）根据中点坐标公式求出M 的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AM 即可. 【详解】（1）直线AB 的斜率为()1566211k ---===----，直线AB 的方程为(51)6y x -=+，即6110x y -+=. （2）设M 的坐标为00(,)x y 则由中点坐标公式得0024131,122x y -+-+====，故(1,1)M .∴AM ==【点睛】考查学生会根据条件写出直线的一般式方程，以及会利用中点坐标公式求线段中点坐标，会用两点间的距离公式求两点间的距离，属于基础题.18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线2y x =-上，且圆M 与直线10x y +-=相切于点()2,1P -.（1）求圆M 的方程；（2）过坐标原点O 的直线l 被圆M ，求直线l 的方程. 【答案】（1）()()22122x y -+=+；（2）0x y +=或70x y += 分析】（1）首先求出过点()2,1P -且与直线10x y +-=垂直的直线，则圆心必在此直线上；与2y x =-联立可求得圆心坐标；再利用两点间距离公式可求得r MP =；根据圆心和半径可求得圆的方程；（2）根据直线被圆截得的弦长可求得圆心到直线的距离：22d =，分别在斜率存在和不存在两种情况下求解直线方程，进而可得结果.【详解】（1）由题意得，过点()2,1P -且与直线10x y +-=垂直的直线方程为：30x y --=由230y x x y =-⎧⎨--=⎩，解得：12x y =⎧⎨=-⎩ ∴圆心M 的坐标为()1,2- ∴圆M的半径：()()2212212r MP ==-+-+=∴圆M 的方程为：()()22122x y -+=+（2）因为直线l 被圆M 截得的张长为6∴圆心M 到直线l 的距离：62242d =-=若直线l 的斜率不存在，则l 为直线0x =，此时圆心M 到的距离为1，不符合题意； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y kx =，即0kxy由22221k d k +==+，整理得：2870k k ++= 解得：1k =-或7-∴直线l 的方程为：0x y +=或70x y +=【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用问题，涉及到直线与圆相切、直线被圆截得的弦长问题.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM 平面PAB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P DE B --的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解+析；（Ⅱ）存在，23． 【分析】（Ⅰ）由题意有PA AD ⊥，PA AB ⊥，又AB AD ⊥，以以A 空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．证明DM ，AP ，AB 为共面向量即得．（Ⅱ）设(2,,0)E a ，04a <<，求出平面PDE 的一个法向量，平面BDE 的一个法向量为AP ，利用法向量夹角的余弦的绝对值等于23求得a 即可．【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直．以A 为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(0,2,0)D ，(2,4,0)C点M 为PC 中点，故(1,2,1)M 故(1,0,1)DM =，又(0,0,2)AP =，(2,0,0)AB = 所以1122DM AP AB =+ 所以DM ，AP ，AB 为共面向量，DM ⊄平面PAB ， 所以//DM 平面PAB ． （Ⅱ）设(2,,0)E a ，04a <<依题意可知平面BDE 的法向量为(0,0,2)AP =，(0,2,2)DP =-，(2,2,0)DE a =- 设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2202(2)0n DP y z n DE x a y ⎧⋅=-+=⎨⋅=+-=⎩，令1z =，则2,1,12a n -⎛⎫=⎪⎝⎭．因为二面角P DE B --的余弦值为23， 所以2cos ,3AP n AP n AP n ⋅==⋅， 即22322112a =-⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭，解得1a =或3a =．所以存在点E 符合题意，当1BE =或3BE =时，二面角P DE B --的余弦值为23． 【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查二面角问题，解题方法是空间向量法，建立空间直角坐标系后，证明线面平行，只要证明直线的方向向量可用平面的一个基底表示即可，而二面角则是利用二面角的余弦值与二面角的两个面的法向量夹角的余弦值相等或相反求解．20. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，11AB AD AA ===，（1）求1A C 的长；（2）求证：直线1A C ⊥平面11BDD B ． 【答案】（12；（2）证明见解+析【分析】（1）首先设AB a =，AD b =，1AA c =，得到1AC a b c =+-，再平方即可得到答案。
山东省滕州市第一中学2020-2021学年度第一学期第一学段模块考试（期中）高二数学模拟试题（三）
⼭东省滕州市第⼀中学2020-2021学年度第⼀学期第⼀学段模块考试（期中）⾼⼆数学模拟试题（三）保密★启⽤前2020～2021学年度第⼀学期第⼀学段模块考试⾼⼆数学模拟试题（三）注意事项：2020.11.111.答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每个⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。
如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。
回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上⽆效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回.⼀.单项选择题:本⼤题共8⼩题,每⼩题5分,共40分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项．．．．是符合题⽬要求的.1．已知直线l 经过原点(0,0)O 和(1,1)A 两点，则直线l 的倾斜⾓是A．30?B．45?C．60?D．120?2．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，并且圆⼼在0x y +=上，则圆C 的⽅程为A．()()22112x y ++-=B．()()22112x y -++=C．()()22332x y -++=D ．()()22332x y ++-=3．若()()0134422=+?+-+?-y m m x m 表⽰直线，则A.2±≠m 且1≠m ，3≠mB.2±≠mC.1≠m 且3≠mD.m 可取任意实数4．圆1C ：22(2)(1)4x y ++-=与圆2C ：222610x y x y +-++=的位置关系是A．内切B．相交C．内含D．外切5.{},,a b c 是空间的⼀个单位正交基底，p 在基底{},,a b c 下的坐标为(2,1,5)，则p 在基底{},,a b b c a c +++ 下的坐标为A．(1,2,3)-B．(1,2,3)-C．(1,2,3)-D．(3,2,1)-6.三棱柱111ABC A B C -中，底⾯边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=?，则异⾯直线1AB 与1BC 所成⾓的余弦值为A、33B、66C、34D、367．设m ∈R ，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最⼤值A．B．C．6D．38．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为12,F F ，P 是椭圆上⼀点，且123F PF π∠=，若12F PF ?的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，当4R r =时，椭圆的离⼼率为（）A．45B．23C．12D．25⼆．多项选择题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，在每⼩题给出的四个选项中，有多个是符合题⽬要求的，全部选出得5分，漏选得2分，选错或多选得0分.9.已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是A.2l 始终过定点21,33?? ???B.若12//l l ，则1a =或-3C.若12l l ⊥，则0a =或2D.当0a >时，1l 始终不过第三象限10．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=.则以下⼏个命题正确的有A．直线l 恒过定点(3,1)B．圆C 被y 轴截得的弦长为62C．直线l 与圆C 恒相交D．直线l 被圆C 截得最短弦长时，直线l 的⽅程为250x y --=11．在四⾯体P ABC -中，以上说法正确的有A．若1233AD AC AB =+ ，则可知3BC BD = B．若Q 为ABC ?的重⼼，则111333PQ PA PB PC =++ C．若0PA BC ?= ，0PC AB ?= ，则0PB AC ?= D．若四⾯体P ABC -各棱长都为2，N M ,分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 12．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中⼼.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离⼼率分别为12,e e ，则下列结论正确的是()A．()11222a c a c +>+B．1122a c a c -=-C．1221a c a c >D．2112e e +=三、填空题（共4⼩题，每⼩题5分，满分20分）13.已知(2,1),(1,1)a b == ，则与2a b + ⽅向相同的单位向量e =________________.14.当点(2,1)P --到直线l ：(()13)1240()x y R =∈＋＋＋－－λλλλ距离的最⼤值时，直线l 的⼀般式⽅程是_________15.已知圆2212x y +=与圆2260x y x ++-=交于B A ,两点，过B A ,分别作直线AB 的垂线，与x 轴分别交于D C ,两点，则CD =__________.16.在平⾯直⾓坐标系xoy 中，21,F F 分别为椭圆122=+b y a x 的左、右焦点，C B ,为椭圆的上、下顶点，直线2BF 与椭圆的另⼀个交点为D ，若21BF F ?的⾯积为2125b ，则直线CD 的斜率为__________.四、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.17.（本⼩题满分10分）已知直线l ⽅程为Rm m my x m ∈=---+,083)2((1)求证：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标；(2)若直线l 在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的⽅程.18.（本⼩题满分12分）已知空间三点)5,1,1(),6,1,2(),3,2,0(--C B A ．(1)若点D 在直线AC 上,且AC BD ⊥,求点D 的坐标；(2)求以BC BA ,为邻边的平⾏四边形的⾯积．19.（本⼩题满分12分）已知圆22:2410C x y x y ++-+=，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .（1）若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的⽅程；（2）求满⾜条件3PM =的点P 的轨迹⽅程.20.（本⼩题满分12分）设椭圆)0(1:22>>=+b a b y a x C 过点)4,0(,离⼼率为53．（1）求C 的⽅程；（2）求过点)0,3(且斜率为54的直线被C 所截线段的中点坐标.21.（本⼩题满分12分）如图所⽰，四棱锥S ABCD -中，2290DAB ADC ABD BCD ∠=∠=∠=∠=?，2CB BD ==，6SB SD ==，平⾯SBD ⊥平⾯ABCD .（1）求证：平⾯SBD ⊥平⾯SBC ；（2）若点P 在线段SC 上，且CP CSλ=，若平⾯ABP 与平⾯SBD 所成锐⼆⾯⾓⼤⼩为60?，求λ的值.22.（本⼩题满分12分）设()2,1M 是椭圆22221x y a b +=上的点，12,F F 是焦点，离⼼率22e =.（1）求椭圆的标准⽅程；（2）设()()1122,,,A x y B x y 是椭圆上的两点，且1222x x +=，问线段AB 的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，说明理由.2020～2021学年度第⼀学期第⼀学段模块考试⾼⼆数学模拟试题（三）参考答案⼀.单项选择题.1-4.BBDD5-8.ABCB ⼆.多项选择题.9.ADC10.ACD 11.ABC 12.ABD 三.填空题.13.)53,54(14.0173=--y x 15.416.135三.解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.17解：(1))1,4((2)04=-y x 或05=-+y x 18解：（1）)2,3,1(-=)2,3,1(-==λλAC AD ,)23,32,()2,3,1(),2,3,1(λλλλλ+-=-+=-=-OA OD OA OD ,)32,31,2()6,1,2()23,32,(--+=--+-=-=λλλλλλOB OD BD ,071464932)32,31,2()2,3,1(=-=-++-+=--+?-=?λλλλλλλBD AC ,21=λ,)4,21,21(),4,21,21(D OD =.（2）14)1()2(3,14)3(121,2,3(),3,1,2(222222=-+-+==-++=--=-=BC BA 7)1()3()2(132=-?-+-?+?=?BC BA ,2114147cos =?===BCBA B ,23sin =B ,37231414=??=S ,所以以BC BA ,为邻边得平⾏四边形的⾯积为37.19解：（1）2222:2410(1)(2)4C x y x y x y ++-+=∴++-= 切线l 斜率不存在时，即1x =，满⾜圆⼼到切线距离等于半径，当切线l 斜率存在时，设3:3(1)24l y k x k -=-\\=-33(1),341504y x x y ∴-=--+-=综上，切线l 的⽅程为34150x y +-=或1x =；（2）设(,)P x y ，则由3PM =得PC ===即:()()221213x y ++-=20.解:(1)53,4==a c b ，得5,3==a c ，所以椭圆C的⽅程为：1162522=+y x ;(2)中点坐标为：56,23(-21.（1）证明：因为2290DAB ADC ABD BCD ∠=∠=∠=∠=?，故90CBD ∠=?，故BC BD ⊥.⼜平⾯SBD ⊥平⾯ABCD ，平⾯SBD 平⾯ABCD BD =，BC ?平⾯ABCD ，故BC ⊥平⾯SBD ；因为BC ?平⾯SBC ，故平⾯SBD ⊥平⾯SBC ；（2）设E 为BD 的中点，连接SE ，因为SB SD ==，所以SE BD ⊥，⼜平⾯SBD ⊥平⾯ABCD ，故SE ⊥平⾯ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD ，AB 和平⾏于SE 的⽅向为x ，y ，z 轴正⽅向，建⽴空间直⾓坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,4,0C ，()2,0,0D ，()1,1,2S ，因为CP CS λ= ，则()()1,3,2,3,2CP CS λλλλλ==--=-- ，所以()2,43,3P λλλ--，易得平⾯SBD 的⼀个法向量为()2,2,0BD = ，设(),,n x y z = 为平⾯ABP 的⼀个法向量，()0,2,0AB = ，()2,43,2AP λλλ=-- ，由0,0,n AB n AP ??==?? 得()()20,24320,y x y z λλλ=-+-+=?不妨取()2,0,2n λ=- .因为平⾯SBD 与平⾯ABP 所成锐⼆⾯⾓为60?，12=，解得23λ=，2λ=-（不合题意舍去），故23λ=.22.（1）由于椭圆的离⼼率为2e a ===，a ∴=，所以，椭圆的标准⽅程为222212x y b b +=，将点M 的坐标代⼊椭圆的标准⽅程得222221312b b b+==，得23b =，因此，椭圆的⽅程为22163x y +=；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的⽅程为y kx m =+，则0k ≠.将直线AB 的⽅程与椭圆⽅程联⽴22163y kx m x y =++=??，得()222214260k x kmx m +++-=.由韦达定理可得122421km x x k +=-=+，2221km k ∴=-+①，所以，121222221y y x x m k m k ++=?+=+，则线段AB 的中点坐标为222,2121km m k k ??- ?++?? .则线段AB 的垂直平分线⽅程为22122121m km y x k k k ??-=-+ ?++??，即2121m y x k k =--+，即211212km y x x k k k =-+=-- ? ? ?+，此时，线段AB 的垂直平分线过定点；综上所述，线段AB的垂直平分线过定点,02.。
2021-2022学年山东省枣庄滕州市高二上学期期中考试数学试题答案
2021～2022学年度第一学期质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBDCBDCA二、多项选择题(每小题5分，共20分)9．AC10．BC11．BCD12．AB三、填空题(每小题5分，共20分)13．3414．(2,1)-16．[0,3四、解答题(共70分)（注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分．） 17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为(2,3)B -，(0,3)C -，BC 的中点为D ，所以(1,0)D -． ................................................................................................. 2分 所以直线AD 的方程为：120112y x --=---， 整理得：310x y -+=． ................................................................................. 4分（Ⅱ）因为(2,3)B -，(0,3)C -，所以||BC ==． ............................................... 5分又直线BC 的方程为：323302y x -+=--+， 即330x y ++=． ............................................................................................ 7分则A 点到直线BC 的距离：d ==． .............................. 9分所以ABC △的面积为：11||1022ABC S BC d =⋅⋅=⨯=△． .................................. 10分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离：d ==． 因为直线40x y +-=与圆C 相切，所以r d ==． ................................................................................................ 2分故圆的标准方程为：22(1)(1)2x y -+-=． .................................................. 4分（Ⅱ）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：3(2)y k x -=-，即：320kx y k -+-=． ................................................................................... 6分 则圆心(1,1)C 到直线l 的距离：d =，又因为直线被圆C 所截得的弦长为2， 所以212d +=，可得1d ==．解得34k =． .......................................................................................................... 8分 所以直线l 的方程为：33(2)4y x -=-，整理可得：3460x y -+=． ........................................................................... 10分 ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：2x =， 代入圆的方程可得：2(1)1y -=， 解得0y =或2y =． 可得弦长为2，满足条件．综上所述直线l 的方程为：3460x y -+=或2x =． ................................. 12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB = a ，AC = b ，AD = c ．由题知：2221===b c a ，12⋅=⋅=⋅=a b b c c a ． ........................................................................... 1分 又23AO AB BO AB BE =+=+2()3AB AE AB =+-1233AB AE =+121()332AB AC AD =+⨯+111333AB AC AD =++111333=++a b c ． ...................................................................................... 3分 故1()()3AO BC ⋅=++- a b c b a221()3=⋅-+-⋅+⋅-⋅a b a b b a c b c a 0=．故AO BC ⊥． ...................................................................................................... 5分又1()()3AO BD ⋅=++⋅- a b c c a ，221()3=⋅-+⋅-⋅+-⋅a c a b c b a c c a 0=．故AO BD ⊥． ...................................................................................................... 7分 又因为BC ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，且BC BD B = ，所以AO ⊥平面BCD ． ....................................................................................... 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，点A 到平面BCD 的距离为：||AO =1|()|3++a b c ．= =3=． .................................................................................................... 12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由AD BD =得，45ABD BAD ∠=∠=︒，所以90ADB ∠=︒．又PD ⊥平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，所以PD DA ⊥． 同理PD DB ⊥．所以DA ，DB ，DP 两两垂直，分别以DA ，DB ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间坐标系． .............. 1分 则(1,0,0)A ，(1,1,0)C -，(0,0,1)P ，(0,1,0)B 所以(1,0,1)PA =- ，(1,1,1)PC =--， .故1010PA PC ⋅=-++=，所以PA PC ⊥． ....................................................................................................... 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,1)PB =-．设111(,,)x y z =m 为平面PAB 的一个法向量，则0PA PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m ， 即11110x z y z -=⎧⎨-=⎩，可取(1,1,1)=m ． ..................................................................................................... 7分 同理，设222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量，所以00PC PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n ， 即2222200x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩，可取(0,1,1)=n ．.................................................................................................... 10分所以cos ,||||3⋅<>===⋅m n m n m n ． ............................................. 11分 由图可知，二面角A PB C --的平面角是钝角，所以，二面角A PB C --的余弦值3-． ...................................................... 12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，点B 在直线250x y -+=上，设点(25,)B b b -． .................................................................................................... 1分 则线段AB 的中点坐标为231(,22b b -+． ........................................................... 2分由题意可知，点231(,)22b b -+在直线2310x y +-=上， 则231231022b b -+⨯+⨯-=． 解得57b =．则25257b -=-，所以点B 的坐标为：255(,)77-． ........................................................................... 6分 （Ⅱ）设点A 关于直线250x y -+=的对称点为点(,)M m n ，由题意可得212502211122m n n m ++⎧-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩， 解得05m n =⎧⎨=⎩．即点(0,5)M ．......................................................................................................... 10分 直线BM 的斜率为：556725507BM k -==--，所以直线BC 的方程为655y x =+，即65250x y -+=．.............................................................................................. 12分22（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为圆心C 在直线20x y +-=上，设圆心坐标为(,2)C a a -． ..................................................................................... 1分 又因为圆C 经过坐标原点O 和点(2,2)G -，所以OC CG =，即2222(2)(2)[(2)2]a a a a +-=++--，解得：0a =．所以圆心为(0,2)C ． ............................................................................................... 3分 半径为2r =．所以圆C 的方程为：2240x y y +-=． .............................................................. 4分（Ⅱ）设点2(,4a P a ，其中4a >，故过P 与圆相切的直线斜率一定存在且不为0．设过P 的与圆相切的直线斜率为k ，则切线方程为：204a kx y ka --+=．故圆心C到切线的距离2|2|2a ka d --==． 整理得：34222(4)(4)0216a a a k a k a ---+-=． ............................................. 5分故：3122424a ak k a -+=-，42122164a a k k a -=-． ......................................... 6分不妨记直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k所以有21:()4a PA y k x a -=-， 22:()4a PB y k x a -=-，令0y =得214M a x a k =- ，224N a x a k =-． ....................................................... 7分所以：2212||=||||44M N a a MN x x k k -=- 22112||4||k k a k k -=12=22416a a =-． ........................................................................................... 9分 211=||||224PMN P a S MN y MN ⋅=⋅△2222164a a a =⋅- 422(16)a a =- 24111162a a =⋅-． .......................................................................................... 10分 令21t a =(4)a >，则1(0,16t ∈． 22411616t t a a-=-+ 2111=16()(0,326464t --+∈．所以24164116a a≥-． ∴32PMN S ≥△． ...................................................................................................... 12分。
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又∵ 平面 ，∴ ， ，即 ， ， 两两垂直，
∴以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立如图空间直角坐标系，由 ， ，得 ， ， ， ， ， ，则 ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ， ，∴ ，故 与平面 所成角的正弦值为 ．
（ ）由（ ）可得 ，设平面 的一个法向量为 ，
建立空间直角坐标系（如图）,于是， ， , , ,
所以 设平面 的一个法向量为 ，则 即
令 ，则 ，则
设直线 与平面 所成角为 ，
(3)要使直线 平面 ，只需 ，
设 ,则 , , ，
所以 ,又 ，由 得 解得 ，所以线段BD上存在点N,使得直线 平面AFN，且 ．
C． D． 的周长为
10.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝ ，AB＝AC＝AA1＝1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的平方可以取的值为( )
A. B.
C. D．1
11.以下四个命题表述正确的是()
所以 ，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为 ，即 ．
18.解：（1）由 可得顶点 , 又因为 得， 所以设 的方程为 ， 将 代入得 由 可得顶点为 所以 和 的坐标分别为 和
（2）设 的外接圆方程为
将 、 和 三点的坐标分别代入，得 ，
解得 ，所以 的外接圆的一般方程为 .
19.（1）证明： ，
A．直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)恒过定点(－3，－3)
B．圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋ ＝0的距离都等于1
C．曲线C1：x2＋y2＋2x＝0与曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝4
D．已知圆C：x2＋y2＝1，点P为直线 ＋ ＝1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点
12.如图四棱锥 ，平面 平面 ，侧面 是边长为 的正三角形，底面 为矩形， ，点 是 的中点，则下列结论正确的是（）
A． 平面
B． 与平面 所成角的余弦值为
C．三棱锥 的体积为
D．异面直线CQ与AB所成的角的余弦值为
三．填空题（共4小题，每题5分）
13.已知向量 ＝(1,1,0)， ＝(－1,0,2)，若k ＋ 与2 － 互相垂直，则k的值是.
11月定时训练数学---答案
1—8 B D A A C A C A
9ACD 10 BC 11 BCD 12 BD
13. 14. 或 15.(- , )16.
17.（1） ，2b=4，所以a=4，b=2，c= ，椭圆标准方程为
（2）设以点 为中点的弦与椭圆交于 ，
则 ，分别代入椭圆的方程，两式相减得 ，所以 ，
A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l在平面α内或直线l与平面α平行
3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为()
4.设直线 与直线 的交点为 ,则 到直线 的距离最大值为( )
A． B． C． D．
5．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦所在直线的方程为( )
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.
18．(本题满分12分)已知 的顶点 ，直线 的方程为 ， 边上的高 所在直线的方程为
（1）求顶点 和 的坐标；（2）求 外接圆的一般方程.
19. (本题满分12分)已知 ，
直线 .
（1）求证：直线 与 恒有两个交点；
（2）若直线 与 的两个不同交点分别为A，B．求线段 中点P的轨迹方程，并求弦 的最小值.
20. (本题满分12分)如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 是 的中点， 平面 ，且 ， ．
（ ）求 与平面 所成角的正弦．
（ ）求二面角 的余弦值．
21．(本题满分12分)已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，一个顶点为M(0，1)，直线l交椭圆于A，B两点，且MA⊥MB.
则 ，即 ，令 ，得 ， ，∴ ，故二面角 的余弦值为 ．
21. (1)由题意得 ,解得a2＝4，b2＝1所以椭圆的方程为 ＋y2＝1.
(2)依题意，直线l斜率存在，设方程为y＝kx＋m，M ，N
由 ，得 x2＋8kmx＋4m2－4＝0
得x1＋x2＝ ，x1x2＝
所以y1＋y2＝k ＋2m，y1y2＝k2x1x2＋mk ＋m2
8.设点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ，
则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题，每题5分，选全得满分，不全得3分，错选0分）
9．已知椭圆 的中心在原点，焦点 ， 在 轴上，且短轴长为2，离心率为 ，过焦点 作 轴的垂线，交椭圆 于 ， 两点，则下列说法正确的是（）
A．椭圆方程为 B．椭圆方程为
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线l过定点.
平面 .四边形 为正方形，四边形 为梯形，且 ， 是边长为1的等边三角形，M为线段 中点， .
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)线段 上是否存在点N，使得直线 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
A．x＋2y－6＝0B．x－3y＋5＝0
C．x－2y＋6＝0D．x＋3y－8＝0
6.若直线 ，向右平移 个单位长度再向下平移 个单位，平移后与圆 相切，则 的值为（）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.直线 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为
A． B． C． 或 D．以上答案都不对
11月定时训练数学---试卷
（时间120分钟总分150分）
一、单选题（共8小题，每题5分）
1.对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，且
，则 ， ， 是 四点共面的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
2.已知直线l的方向向量a，平面α的法向量μ，若a＝(1,1,1)，μ＝(－1,0,1)，则直线l与平面α的位置关系是()
14.一条光线从点 射出，经 轴反射，其反射光线所在直线与圆 相切，则反射光线所在的直线方程为．
15.椭圆 的焦点为 ，点P为其上的动点，当 为钝角时，则点P的横坐标的取值范围是________.
16．已知圆 ， ， 是圆上两点，点 且 ，则 最大值是________.
四．解答题
17.(本题满分10分)已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
∵MA⊥MB，∴ · ＝0，即x1x2＋ ＝0
代入整理得 ＋ － ＋1＝0
即5m2－2m－3＝0，解得m＝－ ，m＝1(舍),所以直线l过定点 .
22．(1)证明：因为 为正方形，所以 ．
又因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，所以 平面 ．所以 ．
(2)取AD中点O,EF中点K，连接OB，OK.于是在△ABD中， ，在正方ADEF中 ，又平面 平面 ，故 平面 ，进而 ，即 两两垂直．分别以 为x轴，y轴,z轴
即 ，圆心 ，半径 ，
又直线 ，化为 ，
由 解得 ，所以直线l恒过定点 ，
由 ，得Q在圆C内，则直线l与 C恒有两个交点；
（2）由题意知，设点 为弦 的中点，由（1）可知 ，所以点P的轨迹方程是以 为直径的圆，线段 的中点为 ， ，则线段 中点P的轨迹方程为 ；由圆的几何性质可知，当 是弦 的中点时， 最小.弦心距 ， 的半径为5，可得 .