线性代数知识点总结

线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章行列式行列式是线性代数中的重要概念之一。

行列式的定义包括二三阶行列式和N阶行列式。

其中，N阶行列式是由行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和构成的。

行列式的计算需要用到奇偶排列、逆序数和对换等概念。

行列式还具有多种性质，如行列式行列互换其值不变，行列式中某两行（列）互换，行列式变号等。

通过这些性质，我们可以推论出行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零等结论。

行列式还有一些特殊的形式，如转置行列式、对称行列式、反对称行列式、三线性行列式和上（下）三角形行列式等。

行列式在解线性方程组中应用广泛，如克莱姆法则。

非齐次线性方程组的系数行列式不为零时，有唯一解；而齐次线性方程组的系数行列式为1时，只有零解。

第二章矩阵矩阵是线性代数中另一个重要概念。

矩阵是由数个数排成的矩形阵列，其中包括零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵和相等矩阵等。

矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。

其中，加法和数乘都满足交换律和结合律。

而矩阵的乘法需要满足行数等于列数的规则。

矩阵的乘法运算需要用到矩阵的元素之间的乘积和求和。

在矩阵的运算中，我们需要注意矩阵的类型和是否有意义。

一般情况下，矩阵乘法不满足消去律。

即使已知AB=0，也不能得到A=0或B=0.对于矩阵A，它的转置等于A乘以A加B。

即transpose(A)=A(A+B)。

对于标量k和矩阵A，有(kA)=kA和(AB)=BA（反序定理）。

对于方幂A^k，有(A^k)=(A^1+k/2)+(A^2+k/2)。

有几种特殊的矩阵，如对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵、上下三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、阶梯型矩阵和分块矩阵。

对于分块矩阵，加法、数乘和乘法的规则类似，而转置需要对每个子块进行转置。

矩阵的逆矩阵指的是存在一个N阶矩阵B，使得AB=BA=I。

如果矩阵A是可逆的，则称它是非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵，其行列式为0.初等变换不会改变矩阵的可逆性，而初等矩阵都是可逆的。

等价标准形矩阵D可以写成一个上三角矩阵和一个全零矩阵的形式。

矩阵的秩可以通过将其转化为标准式或阶梯形来求解。

初等变换不会改变矩阵的秩。

矩阵和行列式都是数表，但是行列式的行数和列数相同，而矩阵则不一定。

行列式的结果是一个数，只要值相等，就认为它们相等；而矩阵是一个数表，只有对应元素相等才认为它们相等。

需要注意的是，不是所有的方阵都存在逆矩阵。

如果矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的。

对于可逆矩阵A，其逆矩阵也是可逆的，并且满足一些运算律，如数乘、转置和乘积的运算律。

但是两个可逆矩阵的和不一定可逆。

如果矩阵A的行列式为0，则称其为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。

1.若矩阵A可逆，则A的逆矩阵为A^-1.2.伴随矩阵：对于N阶方阵A，其伴随矩阵为A=[代数余子式]。

特殊矩阵的逆矩阵可通过分块矩阵D=[A^-1 -A^-1BC^-1.O C]或准对角矩阵A=[A1 -1.-1 A2 A3^-1.0 -1^-1 A4]求得。

3.矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不为0.求逆矩阵的方法有定义法、伴随矩阵法和初等变换法。

4.初等矩阵与矩阵乘法的关系：对于m*n阶矩阵A=[aij]，对A的行实行一次初等变换得到的矩阵等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A；对A的列实行一次初等变换得到的矩阵等于用同种n阶初等矩阵右乘以A。

5.线性方程组消元法：对增广矩阵进行初等变换得到简化阶梯型矩阵，从而求解线性方程组。

当r(AB)=r(B)=n时，有唯一解；当r(AB)≠r(B)时，无解；当r(AB)<r(B)时，有无穷多解。

6.齐次线性方程组的解：仅有零解的充要条件是r(A)=n，有非零解的充要条件是r(A)<n。

当齐次线性方程组方程个数<未知量个数时，一定有非零解；当齐次线性方程组方程个数=未知量个数时，有非零解的充要条件是|A|=0；齐次线性方程组若有零解，则一定有无穷多个解。

7.N维向量的定义和特殊向量：行向量、列向量、零向量、负向量、相等向量、转置向量。

8.向量间的线性关系：线性组合或线性表示。

向量组间的线性相关（无）和秩的定义及极大无关组的概念。

定理：向量组的一个线性无关的部分组是极大无关组的充要条件是该部分组中的向量不能由向量组中的其他向量线性表示出来。

每个向量在向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$的线性组合下都可以表示出来。

这个向量组的秩是其中包含的向量个数的最大无关组的大小。

定理：对于一个$m\times n$的矩阵A，$r(A)=r$的充要条件是A的列（或行）秩为r。

线性方程组的解的结构可以分为齐次和非齐次情况，以及基础解系和线性组合。

两个向量$\alpha$和$\beta$，如果$\alpha=k\beta$，那么$\alpha$是$\beta$的线性组合。

单位向量组是指由单位向量组成的向量组，任意向量都可以表示为单位向量组的线性组合。

零向量是任意向量组的线性组合。

任意向量组中的一个向量都是它本身的线性组合。

向量组之间的线性相关性（或无关性）可以通过以下方法判断：1.定义法；2.向量间关系法；3.分量法。

如果$n$个$n$维单位向量组，那么它们一定线性无关。

一个非零向量是线性无关的，而零向量是线性相关的。

含有零向量的向量组一定是线性相关的。

如果两个向量成比例，那么它们一定线性相关。

向量$\beta$可以由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$线性表示的充要条件是$r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,\beta)=r(\alpha_1,\alpha_2,\dot s,\alpha_n)$。

定理：如果向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$和$\beta$线性相关，则向量$\beta$可以由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性表示，且表示法唯一的充分必要条件是向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性无关。

极大无关组是指向量组的最大无关组，它们不是唯一的，但包含的向量个数是确定的。

不全为零的向量组一定存在极大无关组。

无关的向量组的极大无关组是它本身。

向量组与它的极大无关组是等价的。

对于齐次线性方程组（I），它的解可以表示为$\alpha_1,\alpha_2,\dots$的线性组合。

两个解的和仍是它的解，任意倍数$k\alpha$也是它的解。

第一章线性方程组线性方程组的解可以表示为解的线性组合，其中常数可以任意取值。

非齐次线性方程组的解结构包括两个解的差仍然是解，以及一个解与其导出组的解的和仍然是解。

对于齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩小于$n$，则基础解系存在且包含$n-r$个解。

而对于非齐次线性方程组，如果已知一个解和其导出组的全部解，则该非齐次线性方程组的全部解可以表示为这些解的线性组合。

第二章向量空间向量空间中的向量可以进行内积运算，其中包括非负性、对称性和线性性。

向量的长度为其自身与自身的内积，而单位向量满足内积为1.向量的夹角可以通过内积来计算，而正交向量的内积为0.正交的向量组必定线性无关。

正交矩阵满足$AA^T = A^T A = I$，其中$A$可逆且$A^{-1} = A^T$，同时也是正交矩阵。

正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。

第三章矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量满足$AX = \lambda X$，其中$\lambda$为特征值，$X$为属于特征值$\lambda$的特征向量。

特征值可以通过求解$\lambda I - A = 0$得到，而特征向量则是非零解。

对于不同的矩阵，可能存在重根、单根、复根或实根。

特殊情况下，矩阵$\lambda I$的特征向量为任意非零向量或者非零常数向量。

注意：文章中可能存在一些符号错误，建议在实际应用中进行校对和修正。

特征值与迹若A是一个n阶方阵，且λ(λ≠0)是A的特征值，则A的特征向量满足以下条件：A - λI的行列式为0；A - λI的秩小于n。

因此，我们可以通过求解行列式或秩来求解特征值。

若A是一个n阶方阵，且λ是A的特征值，则有以下性质：若A可逆，则λ不为0；若A与A的逆矩阵有相同的特征值；A的不同特征值所对应的特征向量线性无关；若A与B相似，则它们有相同的特征值。

相似矩阵与对角化若A和B是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B。

相似矩阵具有以下性质：自身性：A~A，P=I；对称性：若A~B，则B~A；传递性：若A~B、B~C，则A~C；若A与B可逆，则它们同可逆；若A~B，则它们有相同的特征值；若A~B，则它们的秩相同。

若n阶矩阵A与n阶对角形矩阵相似，则称A可对角化。

对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

此外，若A有n个互异的特征值，则A可相似于一个对角形矩阵。

约当形矩阵约当块是一种形如J=[λ]或J=[λ 1 1 λ]的矩阵，其中λ为特征值。

约当形矩阵由若干个约当块组成的对角分块矩阵，称为约当形矩阵。

1.定理：任何矩阵A都可以通过相似变换变为一个约当形矩阵，即存在一个n阶可逆矩阵P，使得PAP^-1=J。

这个定理在第六章二次型中有应用。

2.二次型是一个只含有二次项的n元多项式f(x)，简称为二次型。

当二次型可以被表示为标准型的形式时，即f(x)=x1^2+。

+xr^2，其中r<=n，我们称它为标准型。

当二次型可以被表示为规范型的形式时，即f(x)=y1^2+。

+yr^2-y(r+1)^2-。

-yn^2，其中r<=n，我们称它为规范型。

3.线性变换是指一个向量空间到自身的映射，满足线性性质。

矩阵可以表示线性变换，而矩阵的合同是指对于两个n阶方阵A和B，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得C^TAC=B，那么我们称A和B是合同的，记作A~B。

4.合同具有反身性、对称性、传递性和秩等性质。

其中反身性指任何矩阵都和自己合同；对称性指如果A和B合同，则B和A也合同；传递性指如果A和B合同，B和C合同，则A和C合同；秩是指合同矩阵的秩不变。