2020年中考数学复习 第23章 旋转(专题复习讲义)

中考数学复习第23章旋转（专题复习讲义）
旋转的定义
把一个图形绕着某一定点O 转动一定角度的图形变换叫做旋转．这个定点O 叫旋转中心，转动的角叫做旋转角．
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等.
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
(3)旋转前、后的图形全等.
图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度共同决定.
中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
中心对称的性质
(1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
(2)中心对称的两个图形是全等图形.
中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
区别: 中心对称指两个全等图形的相互位置关系，中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
联系: 如果将中心对称的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.如果将中心对称图形对称的两部分看成两个图形, 则它们成中心对称.
关于原点对称的点的坐标的规律
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O 的对称点为
P′（-x，-y）．
【例1】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C,使得点A′恰好落在AB上,则旋转角度为()
A.30°
B.60°
C.90°
D.150°
【思路点拨】(1)根据轴对称的性质得到OP1=OP2,由于∠AOB度数是不确定的,所以OP1∠OP2不一定成立.
(2)根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°,根据旋转的性质可得AC=A′C,然后判断
出∠A′AC是等边三角形,根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°,然后根据旋转角的定义解答即可.
【标准解答】(1)选B.如图所示,连接OP,OP1,OP2.因为P,P1关于OA对称,P,P2关于OB对称,所以OA,OB分别垂直平分PP1,PP2,所以OP1=OP=OP2,∠AOP=∠AOP1,∠BOP=∠BOP2,
∠∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2=2(∠AOP+
∠BOP)=2∠AOB,只有当∠AOB=45°时,∠P1OP2=90°,此时OP1∠OP2.
(2)选B.∠∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∠∠A=90°-30°=60°,
∠∠ABC绕点C顺时针旋转至∠A′B′C点A′恰好落在AB上,
∠AC=A′C,∠∠A′AC是等边三角形,
∠∠ACA′=60°,∠旋转角为60°.
【规律方法】抓住图形的变化中的不变性从“动”的角度去思考,明确“动中不动”
1.对应线段相等,对应角相等,形状、大小不变.
2.把握住平移方向、平移距离,旋转中心、旋转角度及旋转方向.
【例2】在如图所示的单位正方形网格中,∠ABC经过平移后得到∠A1B1C1,已知在
AC上一点P(2.4,2)平移后的对应点P1,点P1绕点O逆时针旋转180°,得到对应点P2,则P2点的坐标为()
A.(1.4,-1)
B.(1.5,2)
C.(1.6,1)
D.(2.4,1)
【思路点拨】根据平移的性质得出∠ABC的平移方向以及平移距离,得出P1坐标;再利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标.
【自主解答】选 C.因为∠ABC经过平移后得到∠A1B1C1,且A(2,4),A1(-2,1),所以将∠ABC左移4个单位、下移3个单位得到∠A1B1C1,所以点P(2.4,2)平移后的对应点P1(2.4-4,2-3),即(-1.6,-1).所以点P1绕点O逆时针旋转180°,得到对应点P2的坐标是(1.6,1).
【规律方法】直角坐标系中图形平移的坐标变化规律
一般地,在平面直角坐标系中,
1.如果把一个图形向右(或向左)平移a个单位长度,那么平移后图形上各点的横坐标都相应地加上(或减去)一个正数a.
2.如果把一个图形向上(或向下)平移b个单位长度,那么平移后图形上各点的纵坐标都相应地加上(或减去)一个正数b.
与图形旋转有关的题目,若没有明确旋转方向,应该注意分类讨论,要考虑顺时针方向和逆时针方向两种情况,以防漏解.同时,还要注意图形变化与点的坐标之间
的联系.
【例3】如图,将Rt∠ABC绕点A逆时针旋转40°,得到Rt∠AB′C′,点C′恰好落在斜边AB上,连接BB′,则∠BB′C′=度.
【标准解答】由旋转的性质可得:AB=AB′,∠BAB′=40°,
∠∠BB′A=(180°-40°)÷2=70°,
又∠∠AB′C′=90°-∠BAB′=90°-40°=50°,
∠∠BB′C′=∠BB′A-∠AB′C′=70°-50°=20°.
答案:20
应用旋转性质的两点技巧
1.在旋转变换中存在两类相等的角:
(1)旋转前后的对应角相等.
(2)对应点与旋转中心连线的夹角(即旋转角)相等.
2.在旋转中存在两类相等的线段:
(1)旋转前后的对应线段相等.
(2)对应点与旋转中心所连的线段相等.
【例4】随着人民生活水平的提高,我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,下列汽车标志中,是中心对称图形的是()
【自主解答】选A.在A选项中,图形按其中心旋转180°后能与原图重合,是中心对称图形,而其他三项都按其中心旋转180°后不能与原图重合,所以不是中心对称图形.
【主题升华】中心对称图形与轴对称图形的区别与联系
1.相同点:
(1)都是指具有特殊对称性的一个图形;
(2)变换后都能够与自身重合.
2.不同点:中心对称图形是绕一个点进行旋转,而轴对称图形是沿一条直线翻折.
【知识归纳】三种特殊图形的特征
1.中心对称图形:把图形绕着旋转中心旋转180°,能够与原来的图形重合.
2.轴对称图形:把一个图形沿着对称轴折叠,直线两旁的部分能够重合.
3.旋转图形:把图形绕着旋转中心旋转一定的角度,能够与原来的图形重合.
【例5】如图,△ABO中,AB⊥OB,OB= 3,AB=1,把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O,则点A1的坐标为()
【自主解答】选B.∠OB=3 ,AB=1,
∠OA=2,∠AOB=30°.
如图,若将∠ABO 绕点O 逆时针旋转150°,
则点A1落在x 轴的负半轴上,易得A1的坐标为(-2,0);
若将∠ABO 绕点O 顺时针旋转,则点A1落在第三象限,
易得此时点A1的坐标为），（3-1-,故选B.
【主题升华】
旋转中的数学思想
1.对于旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题,最好的解题方法是运用数形结合思想.
2.运用数形结合思想解题,这样可以把抽象的数学问题转化为直观的形,也可以把复杂的形转化为具体的数.
【例6】在方格纸上按以下要求作图,不用写作法:
(1)作出“小旗子”向右平移6格后的图案.
(2)作出“小旗子”绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案.
【解析】作图如下:
【主题升华】
旋转作图的方法与步骤
1.分析题目要求,找出旋转中心、旋转角.
2.分析所作图形,找出构成图形的关键点.
3.沿一定的方向,按一定的角度,通过截取线段的方法,旋转各个关键点.
4.连接所作的各个关键点,并标上相应的字母.
5.写出结论.。