11菱形的性质与判定(2)2
《菱形的性质与判定(2)》优教教案
第一章特殊平行四边形1. 菱形的性质与判定（2）一、学情与教材分析1.学情分析上节课，学生已经经历了独立探索发现菱形性质的过程，通过折纸等活动学生体会了“实验—猜想—证明—应用”的科学探索过程，认识了菱形与平行四边形的关系，这些都为本节课进一步探索和发现菱形的判定定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。
2.教材分析本节课，学生将探究菱形的判定定理，应该说，有了上节课的铺垫，本节课可以更多地让学生自主探索。
第一个定理的证明中，需要首先明确判定定理与性质定理的关系，这样为后面一系列定理的证明打下基础；第二个定理教科书中是通过设置一个尺规作图的问题引入的，在学生自行完成尺规作图并明确了作法的可行性后，引导学生自主完成证明过程。
本节课中将通过学生的自主证明过程，提升学生的逻辑推理能力，通过经历尺规作菱形提升学生的动手操作能力和规范的语言表达能力.二、教学目标1.经历菱形的判定定理的探究及证明过程及其运用；2.掌握用尺规作菱形的方法；3.经历“探索——猜想——证明”的学习过程，进一步提高推理论证的能力.三、教学重难点重点：菱形判定定理的证明和应用.难点：通过尺规作图法作菱形.四、教法建议采用“展示交流——合作论证——知识运用（训练提升）”的教学模式，引导学生观察、思考、讨论、总结并形成结论，让学生在探究中体会所学知识.五、教学过程（一）课前设计1.预习任务：任务1：制作菱形①在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；②想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形.③利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.任务2：怎样去判定一个四边形是菱形呢菱形性质定理的逆命题是不是可以作为判定定理呢请回答下列问题：①：菱形的四条边相等的逆命题是什么②：①中的两个逆命题是否正确请尝试证明！对于不正确的命题请添加适当的条件，使它成立.2.预习自测：一、填空题1.如图，如果要是平行四边形是一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________________.B答案：AB=BC，或AC⊥BD（答案不唯一）解析：由定义知，当AB=BC时，平行四边形ABCD是一个菱形；由判定定理知道，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是一个菱形，所以两个答案都可以.点拨：熟练掌握菱形的判定方法即可解答此题.2.如图，等边△ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,AC边上的中点，则图中有________个菱形.CB答案：3解析：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC ，∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的中点，∴DF=12BC ，DE=12AC ，EF=12AB ， ∴DF=EF=ED=AD=AF=CF=CE=BE=BD ，∴有3个菱形：菱形ADEF ，菱形BDFE ，菱形CFDE ．故答案为3．B点拨：根据等边三角形和中位线的性质可得DF=EF=ED=AD=AF=CF=CE=BE=BD . 再根据菱形的判定定理即可解答此题3.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB 添加一个你认为合适的条件_______________，使四边形AECD 为菱形.E A 答案：AD ∵AD=CD ，∴四边形AECD 为菱形.当AD=AE ，∵AD=CD ，∴AE=CD. 又∵AB ∴四边形AECD 为菱形.当∠CEB=∠B ； ∵等腰梯形中，∠A=∠B ，∴∠A=∠CEB.∴AD 又∵AB ∴四边形AECD 为菱形.点拨：利用平行四边形和菱形的判定定理，先证平行四边形，再证菱形.（二）课堂设计1、知识回顾C 图1—1内容：通过练习复习上节课所探究的菱形的性质.1)菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是______2)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC与点F,垂足为点E，连接DF,则∠CDF等于________设计意图：通过课件中的问题回顾上节课探究过的菱形的性质定理，从而为本节课的继续探究，尤其是理论证明做铺垫。
菱形的性质与判定 (第2课时菱形的判定)
B
小刚：分别以 A、C 为圆心,以大于 AC
A
C
D
的长为半径作弧,两条弧分别相交于点
B , D,依次连接 A、B、C、D 四点.
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的
作法对吗？
猜想：四条边都相等的四边形是菱形.
证明猜想
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
学习目标
1.理解并掌握菱形的三个判定方法.（重点）
2.会用菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）
知识回顾
菱形的定义是什么？性质有哪些？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形
菱
形
的
性
质
边
角
一组邻边相等
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
∴四边形 ABCD是菱形.
A
D
总结：
判断一个四边形是菱形的方法
菱形
四边相等
四边形
一组邻边相等
平行四边形
对角线互相垂直
随堂训练
1 . 下 列 条 件 中 ,不 能判 定四 边形 ABCD 为菱 形的 是 （
）
C
A . AC ⊥ BD , AC 与 B D互 相平 分
B. A B= BC =CD=DA
A
M D
O
E
N
B
C
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。
在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。
本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。
一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
这是菱形的最基本特征。
2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。
换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。
3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。
4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。
二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。
2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。
如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。
3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。
以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。
在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。
值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。
必须满足菱形的所有性质才能确定。
三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。
2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。
1.1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定课件+2023—2024学年北师大版数学九年级上册
沿着虚线将左下角剪下，剪下的部分展开后，得到的四
边形一定是（ D ）
A. 梯形
C. 正方形
B. 矩形
D. 菱形
11. 如图，在长方形纸片 ABCD 中，点 M ， N 分别为
AD ， BC 上的点，连接 MN ，将长方形纸片沿 MN 折
叠，恰好使点 A 落在点 C 处，点 B 落在点 P 处，连接 AN .
∵点 E ， F 分别为对角线 AC 上的三等
分点，
∴ AE ＝ CF ，∴△ ADE ≌△ CBF ，
∴ DE ＝ BF ；
（2）若 AB ＝ BC ，判断四边形 EBFD 的形状，并说
明理由.
（2）解：四边形 EBFD 为菱形；
理由：连接 BD 交 AC 于点 O ，∵ AB ＝
BC ，四边形 ABCD 是平行四边形，∴四
为菱形.理由如下：∵∠ ACB ＝90°，∠ B
＝30°，∴∠ BAC ＝60°， AC ＝ AB ，
又∵ E 为 AB 的中点，∴ AE ＝ AB ，∴ AE ＝ AC ，∴△
ACE 是等边三角形，∴ AC ＝ CE ，又由（1）可知四边形
ACEF 是平行四边形，∴四边形 ACEF 是菱形.
12. （贵阳期末）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边
形， E 是 AB 延长线上一点且 BE ＝ AB ，连接 CE ， BD .
（1）求证：四边形 BECD 是平行四边形；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平
行四边形，∴ AB ＝ CD ， AB ∥
CD ，又∵ BE ＝ AB ，∴ BE ＝
C. 对角线相等的平行四边形是菱形
11菱形的性质与判定(2)作业
小组________________ 姓名______________
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形；（）
(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形；（）
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；（）
(4).对角线相等的四边形是菱形；（）
2.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，
重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，
∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于_______；
3.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．
（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．
3.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
A
E
D
B C。
1.1菱形的性质与判定2
E
3
12
F D C
1、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
∴AC⊥BD
2 2 2 2
5
2
3
∴ OB AB OA 5 4 9B ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
思考:
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断 重叠部分ABCD的形状吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
A
F
D
B
E
∟
C
思考题:
如图，AD∥BC，BD垂直平分AC， 四边形ABCD一定是菱形吗？若是， 请说明理由。
D
A
┐
O
B
C
提示:
△AOD≌△COB（角边角）
AD=BC
判定 对角线互相垂直 的平行四边形是 法二 菱形
D
B
A B
C
D C ∵AB=BC=CD=DA
判定 法三
四边相等的四边 形是菱形
∴四边形ABCD是菱形
8、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． A 求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE∥AC B ∴∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
O B
C
4、已知：如图,□ ABCD的对角线AC的 垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F． 求证：四边形AFCE是菱形 A E 证明：
1.1 菱形的性质与判定(2)
C
B
五
课堂小结
（1） （2）
O
C
B 所以如果平行四边形的对角线互相垂直，那么 这个四边形一定是 形。你能用定义证明这 个结论吗？（口述你的理由）
于是我们等到菱形的判定定理1 定理1：
用符号语言可以表示为： ∵ ,且
∴四边形ABCD是
.
A
D
O
C
。 B 。
3、活动三、探究菱形的判定定理2。 问题：四条边相等的四边形是平行 四边形吗？是菱形吗？你能用定义 说明理由吗？
A D
B
C
于是我们等到菱形的判定定理2：
定理2：
用符号语言可以表示为： ∵ ,
Hale Waihona Puke ,AD∴
.
B C
4、小结点拔
总结分析： 三种判定方法是证明菱形的基础定理，条件对比 （1）平行四边形+邻边的数量关系（相等）；
（2）平行四边形+对角线的位置关系（垂直）；
（3）四条边的数量关系（相等）。
三个定理条件的共同特点：与角无关。
杨金光
一、复习回顾
你还记得菱形的定义吗？菱形有哪些特殊性质？
边：___________; _________， 角：_________ _ ; __________， 对角线：_____；__________；________， 对称性： __________； __________。
二、新课探究
5、交流菱形的面积计算方法： （1） ，
（2）
，
（3）
，
三 例题学习
例1、在□ABCD中，对角线AC和BD相交于 点O，并且AB=，OB=1，， 求证：（1）AC⊥BD ， （2）□ABCD是菱形吗？说说你的理由. （3）求四边形ABCD的面积. D A
1.菱形的性质与判定第2课时 菱形的判定PPT课件(北师大版)
第2课时 菱形的判定
新知导航
变式训练 1.如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD 交CE于点F，FG∥AC交CD于点G. 求证：四边形ACGF是菱形． 证明：∵AF∥CD，FG∥AC， ∴四边形ACGF是平行四边形，∠2＝∠3， ∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴AC＝AF， ∴四边形ACGF是菱形．
，
∠EOD＝∠FOB
∴△DOE≌△BOF(ASA)；∴OE＝OF，又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
第2课时 菱形的判定
新知导航
3.将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°，得到Rt△ACE
（如图所示），点D与点F分别是斜边AB，AE的中点，连接
第2课时 菱形的判定
轻松过招
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE 垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E. 点F在DE的延长线上，且AF＝CE. 求证：四边形ACEF是菱形． 证明：∵AC⊥BC，DE垂直平分BC， ∴DE∥AC∴点E是BA中点，∴在Rt△ACB中，CE＝AE 又∵∠BAC＝60°，∴△ACE是等边三角形 ∴AC＝CE＝AE，又∵AF＝CE，∴AF＝AE 又∵DF∥AC，∴∠FEA＝∠CAE＝60° ∴△AEF为等边三角形，∴EF＝AF. ∴CE＝AC＝AF＝EF，∴四边形ACEF是菱形
第2课时 菱形的判定
轻松件是（ B ）
A. AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
第2课时 菱形的判定
轻松过招
2．（202X·宁夏）如1题图，四边形ABCD的两条对
角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不
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第 课时 课题：菱形的性质与判定（2）
学习目标：
理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算
重、难点：
重点：菱形的两个判定方法． 难点：判定方法的证明方法及运用
自主学习，思考问题
活动1:忆一忆
1.如图1，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点， 若EF=2，则菱形ABCD 的边长是_________；
2.如图2，四边形ABCD 是菱形吗？为什么？
通过练习2，可得到________________________________的平行四 边形是菱形
活动2：做一做
2.用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动
的十字，连接四个顶点做成一个四边形．转动木条，这个四边形是平行四边
形吗？它什么时候变成菱形？
解析：这个四边形_____（是或不是）平行四边形，
理由是___________________________________；
当_______________时，这个平行四边形是菱形； 通过探究，容易得到：_________________________的平行四边形是菱形 证明上述结论：
2.画两条等长的线段AB 、AD ，然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧， 得到两弧的交点C ，连接BC 、CD ，就得到了一个四边形，猜一猜，这是 什么四边形？ 作图：
通过探究，容易得到：_____________________________的四边形是菱形 证明上述结论：
备 注
E F D
B C A
A B C
D O 5 4 3 3 4 图1 图2 备 注
A B
C
D O
合作探究，解决问题
探究问题一：
例1：如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一点，
PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，且PE=PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？
探究问题二：
例2：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ， BC ，BD ，AC 的中点．
求证：MN 与PQ 互相垂直平分
达标检测
1.用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四 边形ABCD 是菱形的依据是（ ） A 、一组临边相等的四边形是菱形
B 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D 、四边相等的四边形是菱形
2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 是菱形吗？ 求证：（1）四边形ABCD 是平行四边形
(2) 过A 作AE ⊥BC 于E 点, 过A 作AF ⊥CD 于F .用等积法说明BC =CD . (3) 求证：四边形ABCD 是菱形.
我的收获（反思静悟、体验成功）
备 注
A B
N
P Q
M D
C
A
B C
D E
F。