信号处理实验六报告

实验六 离散时间滤波器设计

一、 实验原理

IIR 数字滤波器设计 （一）、脉冲响应不变法变换原理

脉冲响应不变法将模拟滤波器的s 平面变换成数字滤波器的z 平面，从而将模拟滤波

器映射成数字滤波器。

IIR 滤波器的系统函数为1

z -(或z )的有理分式，即

01

()1M

k

k k N k

k k b z

H z a z -=-==

-∑∑

一般满足N M ≤。

1、转换思路：)()()()()(z H n h nT h t h s H z a a −−→−=−−−→−−−−−−→−变换

时域采样

拉普拉斯逆变换

若模拟滤波器的系统函数()H s 只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次，表达式：

11()1k N

k

s T k TA H z e

z -==-∑

2、s 平面与z 平面之间的映射关系。

⎩

⎨⎧Ω==→=→=→⎩⎨

⎧Ω+==ΩT e r e e re e z s re z T T

T sT ωσσσωωj j j j

]

IIR 数字滤波器设计的重要环节是模拟低通滤波器的设计，典型的模拟低通滤波器有巴特沃思和切比雪夫(I 型和II 型)等滤波器。由模拟低通滤波器经过相应的复频率转换为)(s H ，由)(s H 经过脉冲响应不变法就得到所需要的IIR 数字滤波器)(z H 。

（二）、巴特沃思滤波器设计

巴特沃思滤波器是通带、阻带都单调衰减的滤波器。 (1) 调用buttord 函数确定巴特沃思滤波器的阶数，格式 [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As)

其中：Wp ，Ws 为归一化通带和阻带截止频率；

Ap ，As 为通带最大和最小衰减，单位为dB ；

N 为滤波器阶数，Wc 为3dB 截止频率，对于带通和带阻滤波器，Wc=[W1，W2]为矩阵，W1和W2分别为通带的上下截止频率。

(2) 调用butter 函数设计巴特沃思滤波器，格式 [b,a]=butter(N,Wc,options) 其中：options=’low ’, ‘high ’, ‘bandpass ’, ‘stop ’，默认情况下，为低通和带通。

b 和a 为设计出的IIR 数字滤波器的分子多项式和分母多项式的系数。 注意，利用以上两个函数也可以设计出模拟滤波器，格式为 [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,’s ’) [b,a]=butter(N,Wc,options,’s ’) 其中：Wp 、Ws 和W

c 均为模拟频率。

（三）、切比雪夫I 型滤波器的设计

切比雪夫I 型滤波器为通带波纹控制器：在通带呈现纹波特性，在阻带单调衰减。

[N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As) [b,a]=cheby1(N,Ap,Wc,options) 其中的参数含义和巴特沃思的相同。

（四）、切比雪夫II 型滤波器的设计

切比雪夫II 型滤波器为阻带波纹控制器：在阻带呈现纹波特性，在通带单调衰减。

[N,Wc]=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As) [b,a]=cheby2(N,As,Wc,options)

其中的参数含义和巴特沃思的相同。

已知模拟滤波器，可以利用脉冲响应不变法转换函数impinvar 将其变换为数字滤波器，调用格式为

[bz,az]=impinvar(b,a,Fs)

其中b,a 分别为模拟滤波器系统函数分子、分母多项式系数；Fs 为采样频率；bz 、az 为数字滤波器系统函数的分子、分母多项式系数。

（五）、双线性变换法变换原理

为克服脉冲响应不变法产生频率响应的混叠失真，可以采用非线性频率压缩方法，使s 平面与z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，这就是双线性变换法。

1、转换思路：→)(s H 写出微分方程−−

→−近似

差分方程→写出)(z H 由于双线性变换法中，s 到z 之间的变换是简单的代数关系，得到数字滤波器的系统函

数和频率响应，即

1

11111()()1z a a s c z z H z H s H c z ----=+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭

j tan 2()(j )j tan 2a c H e H H c ω

ωω⎛⎫Ω= ⎪

⎝⎭⎛⎫⎛⎫=Ω= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设模拟系统函数的表达式为

2001120120

()N

k

N k

k N a N

N

k

N k

k A s

A A s A s A s H s

B B s B s B s

B s

==++++=

=++++∑∑ 应用双线性变换得到()H z 的表达式

11

1200121211210

()()|

1N

k

N k

k N a N

N

z s c

k

N z k k a z

a a z a z a z H z H s

b z b z b z

b z

------=----=-+=++++==

=++++∑∑ 2、s 平面与z 平面之间的映射关系。

2

22

2j Ω)(Ω)(j Ω

j Ω+-++=

−−→−--++=→-+=σσσσωc c r c c re s c s c z 取模

Z 平面

S 1平面

S 平面

用不同的方法选择c 可使模拟滤波器频率特性与数字滤波器频率特性在不同频率处有对应的关系。

(1) 采用使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，即在低频处有1Ω≈Ω。

当1Ω较小时，

2

c T

=。 (2) 采用数字滤波器的某一特定频率(例如截止频率1c c T ω=Ω)与模拟原型滤波器的一个特定频率c Ω严格相对应，则有cot 2

c

c c ω=Ω。

已知模拟滤波器，可以利用双线性变换函数bilinear 将其变换为数字滤波器，调用格式

为

[bz,az]=bilinear(b,a,Fs)

其中b,a 分别为模拟滤波器系统函数分子、分母多项式系数；Fs 为采样频率；bz 、az 为数字滤波器系统函数的分子、分母多项式系数。设计时要注意模拟原型低通频率预畸，否则衰减指标不能满足设计要求。

FIR 数字滤波器设计

1、设计原理

FIR 滤波器的设计问题，就是要使所设计的FIR 滤波器的频率响应)(j ω

e H 逼近所要求的