2021年中考数学冲刺专题06(半角模型知识精讲-冲刺2021年中考几何专项复习)

2021年中考数学冲刺专题06
（半角模型知识精讲-冲刺2021年中考几何专项复习）
1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.
简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合，
通过证明△AEF≌△AEG即可得到BE＋DF＝EF.
2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合；将△ABE绕点A逆时针旋转90º得到△ADH，使得AB与AD重合.
∵旋转，∠1＝∠H，又∵△AFE≌△AFH，∴∠2＝∠H，∴∠1＝∠2；
∵旋转，∠4＝∠G，又∵△AEF≌△AEG，∴∠3＝∠G，∴∠3＝∠4，
即AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，
简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.
4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.
简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.
5.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º.
简证：由结论1可得EF＝BE＋DF CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.
6.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.
通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.
7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.
简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.
8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于
点M、N，则
简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，
又∵△AMN△AFE，∴.
9.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.
10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：设，在Rt△CEF中，
，化简得，.
11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.
证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.
∵∠EAF ＝45º，∴∠EOF ＝90º，设，则
∴当点A 、O 、P 、C 四点共线时，即BE ＝DF ，、EF .
12. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，AE 、AF 分别与BD 相交于
点M 、N
简证：由结论8可得△△ECA △NDA ，
同理可得
补充：等腰直角三角形与“半角模型”
如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.
证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.
∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，
在△DCE与△中，
ED＝，
∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，
.。