上海格致中学 2019届高三第一学期期中考试---理科数学
上海市格致中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
上海市格致中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．582． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ）A ．9B ．8 C.7 D ．5 3． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 4． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4C ．34 D ．38【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.5． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+，则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 6． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.7． 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．8．设{}n a是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1 B．2 C．4 D．69．若集合,则= ( )ABCD10．已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个11．已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．12．在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A． BCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.14．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．15．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.16．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④sin sin sin a b cA B C+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。
2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 函数f（x）=4 x ﹣1的反函数f ﹣1 （x）=___________ ．2. 设集合A={5，log 2 （a+3）}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A ∪ B=___________ ．3. 若tanα=3，则的值等于___________ ．4. 函数f（x）= 的定义域为___________ ．5. 已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为___________ ．6. 若自然数n满足C 6 n =20，则行列式 =___________ ．7. 已知关于x的方程（） x = 有一个正根，则实数a的取值范围是___________ ．8. 已知数列，则a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +…+a 99 +a100 =___________ ．9. 已知P（x，y）是双曲线 =1上任意一点，F 1 是双曲线的左焦点，O是坐标原点，则的最小值是 ____________________ ．10. 等比数列{a n }首项为sinα，公比为cosα，若（a 1 +a 2 +…+a n ）=﹣，则α= ___________________________________ ．11. 已知下列命题：①若＜0，则与的夹角为钝角；②a，b ∈ C，则“ab ∈ R”是“a，b互为共轭复数”的必要非充分条件；③一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为；④若n为正奇数，则6 n + + +…+ 被8除的余数是5，其中正确的序号是___________ ．12. 在一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器中放满水，再把容器倾斜倒出水，此时圆柱体的母线与水平面所成角的大小是___________ ．13. 已知数列{a n }、{b n }的通项公式分布为a n =（﹣1） n﹣1 a﹣1，b n =（﹣1）n ，切对于一切的正整数n，恒有a n ＜b n 成立，则实数a的取值范围是_________ ．14. （文）在数列{a n }中，a 1 =2，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线y=x﹣上，则 =___________ ．15. 已知△ ABC 中，若sinA=m，sinB=n，当m、n满足条件___________ 时（只需写出满意的一个条件），cosC具有唯一确定的值．16. （文）已知△ ABC 中，cosA=a，sinB= ，当a满足条件___________ 时，cosC具有唯一确定的值．二、选择题17. 抛物线x 2 =4y的焦点坐标为（）A．（1，0）________ B．（﹣1，0）________ C．（0，1）________ D．（0，﹣1）18. 已知，，若k为满足的整数，则使△ ABC 是直角三角形的k的个数为（）A．7________ B．4________ C．3________ D．219. 已知a 2 +c 2 ﹣ac﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．320. （文）已知a 2 + c 2 ﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．321. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x ∈ R恒成立；④存在三个点A（x 1 ，f（x 1 ）），B（x 2 ，f（x 2 ）），C（x 3 ，f（x 3 ）），使得△ ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．1________ B．2________ C．3________ D．4三、解答题22. 已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ ABC=90° ，AD ∥ BC ，SA=AB=BC=2，AD=1，SA ⊥ 底面ABCD．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）（理）求SC与平面SAB所成角的大小（文）求异面直线SC与AD所成角的大小．23. 已知△ ABC 中，cosB= ，边c=12 ．（1）若函数y=3cos 2 x+sin 2 x﹣2 sinxcosx，当x=C时取得最小值，求变a，b的长；（2）若sin（A﹣B）= ，求sinA的值和边a的长．24. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y= ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．25. 已知数列{a n }的前n项和S n =﹣a n ﹣（） n﹣1 +2（n ∈ N * ），数列{b n }满足b n =2 n •a n（1）求a 1（2）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（3）设c n =log 2 ，数列{ }的前n项和为T n ，求满足T n ＜（n∈ N * ）的n的最大值．26. 已知两个函数f 1 （x）=ln（|x﹣a|+2），f 2 （x）=ln（|x﹣2a+1|+1），a ∈ R．（1）若a=0，求使得f 1 （x）=f 2 （x）的x的值；（2）若|f 1 （x）﹣f 2 （x）|=f 1 （x）﹣f 2 （x）对于任意的实数x ∈ R恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数F（x）= ﹣的值域．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。
2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共5小题，共21.0分）1.已知集合A={1,2}，B={x|(x−2)(x−3)=0}，则A∪B=()A. {2}B. {1,2，3}C. {1,3}D. {2,3}2.函数f(x)=sinx−lg|x|零点的个数()A. 3B. 4C. 5D. 63.已知A,B是非空集合，命题甲：A∪B=B，命题乙：A⊆B，那么()A. 甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件4.函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A. −43<a<−13B. −1<a<−12C. −65<a<−316D. −2<a<05.下列有关命题的说法正确的是()．A. “x>1”是“x2>1”的必要不充分条件B. 命题“若sinx=siny，则x=y”的否命题是“若sinx=siny，则x≠y”C. 命题“∃x∈R，使得cosx+sinx=√3”的否定是“∀x∈R，都有cosx+sinx≠√3”D. 命题“若a>b，则lna>lnb”的逆否命题是真命题二、填空题（本大题共14小题，共60.0分）6.函数f(x)=2√x+2的定义域是______ ．7.已知集合M={x|√x+1≥0}，集合N={x|x2+x−2<0}，则M∩N=______ ．8.不等式|x2−3x+1|<1的解集为______．9.若集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，则A∪B=______ ．10.已知全集U={0,2,4,6,8}，集合A={0,4,6}，则C U A=_______．11.若函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+x，则f(−3)的值为__________．12.已知f(x)为奇函数，且在[3,6]上是增函数，最大值为8，最小值为−1，则2f(−6)+f(−3)=____________13.不等式组{2x<5−3xx−12>a的解集为⌀，则实数a的取值范围为______ ．14.设集合A={x|x2+x−6=0}，B={x|ax+12=0}，若B⊆A，则实数a的取值构成的集合为______．15.不等式x−1x2−4<0的解集为______ ．16.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2−bx+a>0的解集为______．17.已知实数x,y满足y=22−log2x，则2x +1y的最小值为___________．18.已知正数x,y满足1x +1y=1，则4xx−1+9yy−1的最小值为_____．19.已知集合{1,b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则100a+10b+c=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）20.设集合A={x|2<x<a},B={x|b<x<9},若B⊆A且A⊆B，求a−b的值．21.已知一次函数f(x)是R上的减函数，g(x)=f(x)(x+m)，且f[f(x)]=16x−3．(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)若g(x)在(−2,3)单调递增，求实数m的取值范围．22.解不等式：(1)|x−2|+|2x−3|<4；(2)x2−3xx2−x−2≤x．23.已知定义在R上的函数f(x)=x2−(3−a)x+2(1−a)(其中a∈R)．(1)解关于x的不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)≥x−3对任意x>2恒成立，求a的取值范围．24.已知函数f(x)=x−m+3(m∈N)为偶函数，且f(3)<f(5)．(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；(2)若g(x)=log a[f(x)−ax](a>0且a≠1)在(2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．【解答】解：∵集合A={1,2}，B={x|(x−2)(x−3)=0}={2,3}，∴A∪B={1,2，3}．故选：B．2.答案：D解析：【分析】本题考查函数的零点，根据题意画出函数y=lg|x|与y=sinx的图象，进而即可得到结果．【解答】解：函数f(x)=sinx−lg|x|的零点的个数，即函数y=lg|x|的图象和函数y=sinx的图象的交点个数，如图所示：显然函数y=lg|x|的图象和函数y=sinx的图象的交点个数为6．故选D．3.答案：C解析：∵命题甲：A∪B=B，命题乙：A⊆B，已知A∪B=B，可以推出A⊆B；已知A⊆B，也可以推出A∪B=B.∴甲是乙的充要条件．故选C.4.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可【解答】解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集，则−1<a<−12满足条件，故选：B．5.答案：C解析：【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断以及特称命题的否定，属基础题．逐项分析判断，可得最后结果．【解答】解：“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件，故A错；命题“若sinx=siny，则x=y”的否命题是“若sinx≠siny，则x≠y”，故B错；命题“若a>b，则lna>lnb”是假命题，因为a，b小于等于0时，不成立，所以它的逆否命题也是假命题，故D错；故选C．6.答案：(−2,+∞)解析：解：要使函数有意义，则x +2>0，得x >−2，故函数的定义域为(−2,+∞)，故答案为：(−2,+∞)．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．7.答案：[−1,1)解析：解：由M 中√x +1≥0，得到x +1≥0，即x ≥−1，∴M =[−1,+∞)，由N 中不等式变形得：(x −1)(x +2)<0，解得：−2<x <1，即N =(−2,1)，则M ∩N =[−1,1)；故答案为：[−1,1)求出M 中x 的范围确定出M ，求出N 中不等式的解集确定出N ，找出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.答案：(0,1)∪(2,3)解析：解：不等式|x 2−3x +1|<1的解集等价于−1<x 2−3x +1<1的解集，即{−1<x 2−3x +1 ⋯ ①x 2−3x +1<1⋯ ②， 解①得：x <1或x >2；解②得：0<x <3，所以原不等式的解集为：(0,1)∪(2,3)．故答案为：(0,1)∪(2,3)．直接利用绝对值不等式的解法，求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．9.答案：{3,4，5，6，7，8}解析：解：∵集合A ={4,5，6，8}，B ={3,5，7，8}，∴A ∪B ={3,4，5，6，7，8}．故答案为：{3,4，5，6，7，8}．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，解题时要认真审题，是基础题．10.答案：{2,8}解析：【分析】本题考查集合的补集运算，由补集的定义即可求解．【解答】解：因为U={0,2,4,6,8}，A={0,4,6}，所以C U A={2,8}．故答案为{2,8}．11.答案：−12解析：函数f(x)为奇函数，∴f(−3)=−f(3)=−(32+3)=−12．12.答案：−15解析：【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性，属于基础题.由题意可得f(−3)=−f(3)=1，f(−6)=−f(6)=−8，即可求得结果．【解答】解：由奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为−1，所以f(6)=8,f(3)=−1，f(−3)=−f(3)=1，f(−6)=−f(6)=−8，所以2f(−6)+f(−3)=−16+1=−15．故答案为−15．13.答案：[0,+∞)解析：解：解不等式2x<5−3x得到x<1，解不等式x−12>a，得到x>2a+1，∵不等式组{2x<5−3xx−12>a的解集为⌀，∴2a+1≥1，解得a≥0，故实数a的取值范围为[0,+∞)．分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集为⌀，得到关于a的不等式，解得即可．本题考查空集的概念，以及一元一次不等式组的解法，属于基础题．14.答案：{0,−6,4}解析：解：∵集合A={x|x2+x−6=0}={−3,2}，B={x|ax+12=0}，B⊆A，∴B=⌀或B={−3}或B={2}，即−12a 不存在，或−12a=−3或−12a=2，∴a=0或a=4或a=2．∴实数a的取值构成的集合为{0,−6,4}．故答案为：{0,−6,4}．求出集合A={−3,2}，由B={x|ax+12=0}，B⊆A，得B=⌀或B={−3}或B={2}，由此能求出实数a的取值构成的集合．本题考查实数的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集性质的合理运用．15.答案：{x|1<x<2或x<−2}解析：解：不等式x−1x2−4<0，即(x−1)(x+2)(x−2)<0，用穿根法求得它的解集为{x|1<x<2或x<−2}，故答案为：{x|1<x<2或x<−2}．不等式即(x−1)(x+2)(x−2)<0，用穿根法求得它的解集．本题主要考查用穿根法求分式不等式、高次不等式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．16.答案：{x|−12<x<−13}解析：【解答】解：∵不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,3)，∴2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根．并且a<0，∴2+3=−ba ，2×3=ca．∴不等式cx2−bx+a>0化为ca x2−bax+1<0，∴6x2+5x+1<0，化为(2x+1)(3x+1)<0，∴−12<x<−13．∴不等式cx2−bx+a>0的解集为{x|−12<x<−13}，故答案为：{x|−12<x <−13}【分析】由于不等式ax 2+bx +c >0的解集为(2,3)，可得：2，3是一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个实数根，利用根与系数的关系可把不等式cx 2−bx +a >0化为二次不等式即可解出．本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 17.答案：√2解析：【分析】本题主要考查利用j 基本不等式求最值实数x ，y 满足y =22−log 2x ，可得y =222log 2X =4x ，即xy =4，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：已知x,y 满足y =22−log 2x∴y =2222=4x ，即xy =4， 则2x +1y≥2√2x ·1y =2√24=√2， 当且仅当x =2y =2√2时取等号，故答案为√2．18.答案：25解析：【分析】本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题． 由已知条件可得y =x x−1且x −1>0，代入变形可得4x x−1+9y y−1=13+4x−1+9(x −1)，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数x ，y 满足1x +1y =1，∴y =x x−1>0，∴x −1>0，∴4x x −1+9y y −1=4x x −1+9x x −1x x −1−1=4x x −1+9x =4(x −1)+4x −1+9(x −1)+9=13+4x−1+9(x−1)≥13+2√4x−1⋅9(x−1)=25，当且仅当4x−1=9(x−1)即x=53时取等号，∴4xx−1+9yy−1的最小值为：25．故答案为25．19.答案：323解析：解：若①a≠3正确，则②b=3错误，由{1,b，c}={1，2，3}，得：b=2，c=3，故此时③c≠1正确，不满足条件；若②b=3正确；由{1,b，c}={1，2，3}，得：c=2，故此时③c≠1正确，不满足条件；若③c≠1正确，则：①a≠3，②b=3错误，则a=3，由{1,b，c}={1，2，3}，得：b=2，c=3，满足条件，此时100a+10b+c=323，故答案为：323．根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．20.答案：7解析：∵B⊆A且A⊆B，∴A=B，∴a=9,b=3，∴a−b=7．21.答案：解：(1)一次函数f(x)是R上的减函数，且f[f(x)]=16x−3，可设f(x)=kx+b，k<0，可得f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x−3，即有k2=16，kb+b=−3，解得k=−4，b=1，则f(x)=−4x+1；(2)g(x)=f(x)(x+m)=(1−4x)(x+m)=−4x2+(1−4m)x+m，对称轴为x=1−4m8，g(x)在(−2,3)单调递增，可得1−4m8≥3，解得m≤−234．解析：本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查函数的单调性的应用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．(1)设f(x)=kx+b，k<0，代入化简整理，解方程即可得到所求解析式；(2)求得g(x)的解析式，以及对称轴，讨论对称轴和区间的关系，解不等式可得所求范围． 22.答案：解：(1)x ≥2时，x −2+2x −3<4，解得：x <3，32<x <2时，2−x +2x −2<4，解得：x <4，x ≤32时，2−x +3−2x <4，解得：x >13，故不等式的解集是：{x|13<x <3}；(2)∵x 2−3xx 2−x−2≤x ，∴x(x−1)2(x−2)(x+1)≥0，∴x −1=0或{x ≥0(x −2)(x +2)>0或{x <0(x −2)(x +1)<0解得：−1<x ≤0或x =1或x >2，故不等式的解集是(−1,0]∪{1}∪(2，+∞)．解析：(1)通过讨论x 的范围，求出各个区间上的x 的范围，从而求出不等式的解集即可；(2)通过讨论x 的范围得到x −1=0或{x ≥0(x −2)(x +2)>0或{x <0(x −2)(x +1)<0，解出即可． 本题考查了解绝对值不等式问题，考查解分式不等式以及分类讨论思想，是一道中档题． 23.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=(x −2)[x −(1−a)]，∴f(x)>0⇔(x −2)[x −(1−a)]>0，当a <−1时，不等式的解集为(−∞,2)∪(1−a,+∞)；当a =−1时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)；当a >−1时，不等式的解集为(−∞,1−a)∪(2,+∞)．(Ⅱ)不等式f(x)≥x −3，即a ≥−x 2−4x+5x−2恒成立， 又当x >2时，−x 2−4x+5x−2=−(x −2+1x−2)≤−2(当且仅当x =3时取“=”号)，∴a ≥−2．解析：本题考查利用分类讨论思想解不等式，及利用基本不等式求函数的最值，属于一般题．(1)比较函数两零点的大小，利用分类讨论思想解不等式问题即可；(2)利用基本不等式求出函数的最大值，从而求出a 的范围．24.答案：解：(1)根据题意，函数f(x)=x −m+3为偶函数，且f(3)<f(5)，则−m +3>0，又m ∈N ，可得m =0，1或2；当m =0时，f(x)=x 3为奇函数，不满足题意；当m =1时，f(x)=x 2，满足题意；当m =2时，f(x)=x 为奇函数，不满足题意．∴m =1时，f(x)=x 2；(2)根据题意，y =log a [f(x)−ax]=log a (x 2−ax)=log a [(x −a 2)2−a 24]，其中a >0，且a ≠1； 设t =(x −a 2)2−a 24，则y =log a t ，当0<a <1时，0<a 2<12，函数t =(x −a 2)2−a 24在(2,3)是增函数， y =log a t 为减函数，则y =log a [f(x)−ax]在(2,3)上为减函数，不符合题意； 当a >1时，a 2>12，t =(x −a 2)2−a 24在(a 2,+∞)是增函数，又由x 2−ax >0，得x >a ，函数y 在(a,+∞)上是增函数，此时若g(x)=log a [f(x)−ax](a >0且a ≠1)在(2,3]上为增函数，则有{a >1a ≤2，分析可得1<a ≤2， 故a 的取值范围为(1,2]．解析：(1)根据题意，由幂函数的性质分析可得−m +3>0，又m ∈N ，可得m =0，1或2；依次验证函数的奇偶性即可得m 的值，即可得函数的解析式；(2)根据题意，分析可得y =log a [f(x)−ax]=log a (x 2−ax)=log a [(x −a 2)2−a 24]，设t =(x −a 2)2−a 24，则y =log a t ，分0<a <1与a >1两种情况讨论函数g(x)的单调性，求出a 的取值范围，即可得答案．本题考查复合函数的单调性以及幂函数的性质，注意复合函数单调性的判断方法，属于基础题．。
上海市上海中学2019-2020学年高三期中数学试卷(6页)
上海市上海中学2019-2020学年高三期中数学试卷2019.11一. 填空题度1. 已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N =I2. 函数y 的定义域是3. 等比数列{}n a 的公比4q =，且前3项之和等于21，则其通项n a =4. 设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解 集为5. 设0x >，0y >，25x y +=的最小值为6. 若不等式20px qx r -+≥的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为7. 已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b *n ∈N ，2020n <）， 当k b 是数列{}n b 的最大项时，k =8. 若命题：“存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立”是真命题，则实数k 的取值范围是9. 集合的容量是指几何中各元素的和，满足条件“{1,2,3,4,5,6,7}A ⊆，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和为10. 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零 点，则a 的取值范围为11. 若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项12. 设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨++->⎩，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为二. 选择题13. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不归”，其中后一句中“破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠，若12345m a a a a a a =，则m 的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 15. 若存在[1,2]x ∈，使得|21|20x a ⋅-->成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 13(,)24- B. 13(,)(,)22-∞-+∞U C. 13(,)44- D. 13(,)(,)44-∞-+∞U 16. 给定函数()f x 和()g x ，令()max{(),()}h x f x g x =，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题17. 已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<. （1）若1a b +=，求11(1)(1)ab++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值.18. 已知()|1|f x ax =-（a ∈R ），()1||g x x =-. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤；（2）若()()f x g x ≥的解集为R ，求a 的取值范围.19. 若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x ⋅≥恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”.（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的 取值范围； （2）若函数30()f x a x =-与()lg()xg x a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围.20. 在数列{}n a 中，10a =，21n n a a m +=+，其中m ∈R ，*n ∈N . （1）若2a 、3a 、3a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“114n a +>（*n ∈N ）恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k ∈N ，使得2019k a >.21. 已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >. （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值； （3）若函数()f x 在[2,2]-上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值.参考答案一. 填空题1. {|22}x x -<<2. [4,)+∞3. 14n -4. (1,0)(0,1)-U5.6. (3,1)(2,)-+∞7. 10108. [1,4]9. 224 10.(,[1,)-∞+∞U 11. 89 12. {2[1,1]---U二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A 三. 解答题 17.（1）9；（2）4.18.（1）当0a >，2[0,]a；当0a =，x ∈R ；当0a <，2[,0]a；（2）[1,1]-. 19.（1）[7,0]{2}-；（2）[5,6].20.（1）1m =-±（2）证明略；（3）证明略.21.（1）(,1]-∞-递减，[1,)-+∞递增；（2）4a =，1b =；（3）4.。
上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题(解析版)
上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）1 / 17上海市格致中学2019届高三10月月考数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知直线a ，如果直线b 同时满足条件①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 的距离为定值．则这样的直线b （ ） A. 唯一确定 B. 有2条 C. 有4条 D. 有无数条 2. 已知函数f （x ）满足：f （x +y ）=f （x ）•f （y ）并且f （1）=1，那么：的值为（ ）A. 2019B. 1010C. 4038D. 30303. 对于函数f （x ），若存在实数m ，使得f （x +m ）-f （m ）为R 上的奇函数，则称f（x ）是位差值为m 的“位差奇函数”．判断下列函如①f （x ）=2x +1；②f （x ）=x 2+2x +1；③f （x ）=2x ；④中是“位差奇函数”的有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设集合A ={2，0，1，9}，B ={x |x =2a ，a ∈A }，则A ∪B 的所有元素之和为______．6. 已知 ， ∈ ，，则sinα=______．7. 若，则a +b =______． 8. 已知（2x 2-）n （n ∈N *）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是______．（结果用数值表示）9. 已知x 、y 满足，若的最大值为2，则m =______． 10. 已知函数f （x ）=|2x-1|-a ，若存在实数x 1，x 2（x 1≠x 2），使得f （x 1）=f （x 2）=-1，则a 的取值范围是______．11. 已知复数z 满足z +i =1-zi ，则1+z +z 2+…+z 2018=______． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点， ， 是l 的一个法向量，已知数列{a n }满足：对任意的正整数n ，点（a n +1，a n ）均在l 上，若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______．13.将1，2，3，4，5，6随机排列成一列，记为a，b，c，d，e，f，则a×b×c+d×e×f是偶数的概率为______．14.在菱形ABCD中，，，，，则=______．15.已知椭圆＞＞，F为椭圆的右焦点，AB为过橢圆中心O的弦，则△ABF面积的最大值为______．16.设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）=1，f（2π）=2，则不等式组的解集为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设，∈．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC 面积的最大值．18.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=，AD=1，CD=3，PD=．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．19.如图，两条相交线段AB、PQ的四个端点都在椭圆+=1上，其中，直线AB的方程为x=m，直线PQ的方程为y=x+n．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；（Ⅱ）探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ？20.已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠-d）（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（-1，3）成中心对称，求b，d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（-2）=-，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求负实数m的取值范围．21.对于无穷数列{a n}，若对任意n∈N*，满足且a n≤M（M是与n无关的常数），则称数列{a n}为T数列．（1）若∈，判断数列{a n}是否为T数列，说明理由；（2）设，求证：数列{b n}是T数列，并求常数M的取值范围；（3）设数列∈，＞，问数列{c n}是否为T数列？请说明理由．3 / 17上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）5 / 17答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意作图如右图，其中α∥β，a ⊂α，b ⊂β，a ，b 异面 则平面β内任一条与b 平行的直线都满足要求． 故选：D ．由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，由图可知，平面β内所有与b 平行的线都满足题设中的三个条件，由此选出正确选项本题老点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查异面直线的定义、夹角、距离等基本概念解题的关键是理解题意中的三个条件，构造出如图的图形辅助判断，本题考查了空间想象能力及推理判断的能力，全面考查了对异面直线的定义的理解 2.【答案】B【解析】解：由意题f （x+y ）=f （x ）f （y ），且f （1）=1， 可得令x=n ，y=1，可得f （n+1）=f （n ）， 可得f （1）=f （2）=f （3）=…=f （n ）=1， 那么=f 2（1）+f 2（2）+…+f 2（1010）=1010． 故选：B ．根据f （x+y ）=f （x ）f （y ），且f （1）=1，可得令x=n ，y=1，可得f （n+1）=f （n ），可得f （1）=f （2）=f （3）=…=f （n ）=1，即可求解．本题考查了抽象函数的性质的应用，赋值法的计算，属于中档题． 3.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，f （x ）=2x+1，有f （x+m ）-f （m ）=2（x+m ）+1-（2m+1）=2x ，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于②，f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，则f（x+m）-f（m）=x2+2（m+1）x，设h（x）=x2+2（m+1）x，不会是奇函数，则f（x）=x2+2x+1不是“位差奇函数”；对于③，f（x）=2x，记h（x）=f（x+m）-f（m）=2x+m-2m=2m（2x-1），由h（x）+h（-x）=2m（2x-1）+2m（2-x-1）=0，当且仅当x=0等式成立，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）都不是奇函数，则f（x）不是“位差奇函数”；对于④，，f（x+m）-f（m）=sin（x+m+）-sin（m+）=2cos（+m+）sin，可取m=，可得2cos（+π）sin=-sinx为奇函数，则f（x）是“位差奇函数”．故选：B．根据题意，结合““位差奇函数”的定义依次分析4个函数是否是“位差奇函数”，综合即可得答案．本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：如图所示，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等；以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，∴∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ；大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，∴点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选：A．根据题意知直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁逆时针方向滚动时，分析滚动过程中M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M，N运动的规律，逐一对比答案选项，即可得出结论．本题考查了函数的图象与应用问题，分析M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解题的关键．5.【答案】34【解析】解：∵集合A={2，0，1，9}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4，18}，∴A∪B={0，1，2，4，9，18}，∴A∪B的所有元素之和为：0+1+2+4+9+18=34．故答案为：34．先求出集合A，B，由此求出A∪B，从而能求出A∪B的所有元素之和．7 / 17本题考查并集中所有元素之和的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：，可得cos（）=-=-．sinα=sin（+）=sin（）cos+cos（）sin==-．故答案为：．通过两角和与差的三角函数，转化求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．7.【答案】3【解析】解：，可得1-a=0，2+b=4，解得a=1，b=2，所以a+b=3．故答案为：3．利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基本知识的考查．8.【答案】-84【解析】解：由题意，2n=128，得n=7．∴（2x2-）n=（2x2-）7，其二项展开式的通项=．由14-3r=-1，得r=5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：-84．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）9 / 17由已知求得n ，写出二项展开式的通项，由x 的指数为-1求得r ，则答案可求． 本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 9.【答案】5【解析】解：x 、y 满足的可行域如图：表示经过可行域内一点（x ，y ）与点Q （-1，0）的直线的斜率，当取直线x=1与x+y-m=0的交点A （1，m-1）时，取最大值2， 即==2，得m=5，故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解m 即可．本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查转化思想以及数形结合思想的应用． 10.【答案】（1，2）【解析】解：令f （x ）=-1，则|2x -1|=a-1．据题意，直线y=a-1与函数y=|2x -1|的图象两个不同的交点， 由图可知，0＜a-1＜1，即1＜a ＜2．故答案为：（1，2）．若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f （x 1）=f （x 2）成立，则说明f （x ）在R 上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可本题主要考查了分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，属于基础试题11.【答案】-i【解析】解：由z+i=1-zi，得（1+i）z=1-i，∴z=，∴1+z+z2+…+z2018==．故答案为：-i．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由等比数列前n项和及虚数单位i得性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．12.【答案】-32【解析】解：直线经过坐标原点，是l的一个法向量，可得直线l的斜率为-3，即有直线l的方程为y=-3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n=-3a n+1，即有a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，可得a3=a2q=6×（-）=-2．所以a1a2a3a4a5=（-2）5=-32．故答案为：-32．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查与应用．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）11 / 1713.【答案】【解析】解：1，2，3，4，5，6随机排成一列，共有A =720种，abc+def 为偶数等价于“a ，b ，c 不全为奇数，且d ，e ，f 不全为奇数“ ∴共有A -2A •A =648 所以所求概率为=故答案为：先求出基本事件种数为A =720种，再求出abc+def 为偶数的排列数648，然后根据古典概型概率公式可得．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】【解析】由，②2-①2得，所以． 由，可知，==．故答案为：． 先选择一组向量基底，然后把向量表示出来，最后运用平面向量的数量积进行计算．本题考查了平面向量数量积应用，以及平面向量的线性运算，属于中档题目．15.【答案】bc【解析】解：△ABF 面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A 到x 轴的距离为 h ，由AB 为过椭圆中心的弦，则B 到x 轴的距离也为 h ，∴△AOF 和△BOF的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故答案为：bc．△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，△AOF 和△BOF 的面积相等，A 到x轴的距离h应最大，又h的最大值为b，从而得到△ABF面积的最大值．本题考查椭圆的简单性质，用分割法求△ABF的面积，利用△AOF 和△BOF是同底等高的两个三角形．16.【答案】[π-2，8-2π]【解析】解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且f（x）在[0，1]上单调递减；∴由f（π）=1，f（2π）=2得，f（4-π）=1，f（2π-6）=2，且4-π，2π-6∈[0，1]；由1≤x≤2得，0≤2-x≤1；∴由得，；∴；解得π-2≤x≤8-2π；∴原不等式组的解集为[π-2，8-2π]．故答案为：[π-2，8-2π]．根据f（x）是以2为周期的偶函数，并且在[0，1]上单调递减，便可由f（π）=1，f （2π）=2得出f（4-π）=1，f（2π-6）=2，并且由1≤x≤2得出0≤2-x≤1，从而由1≤f（x）≤2得出f（4-π）≤f（2-x）≤f（2π-6），进而得出，解该不等式组即可．考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．17.【答案】解：（I），∈．化简可得：f（x）=sin2x-cos（2x+）=sin2x+sin2x-=sin2x-，上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）13 / 17由，k ∈Z ． 可得： ≤x ≤（k ∈Z ），∴函数f （x ）的单调递增区间是：[ ，]，k ∈Z （II ）由f （ ）=0，即sin A -=0， 可得sin A =， ＜ ＜，∴cos A =．由余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得1+ bc =b 2+c 2． ∵b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b =c 时等号成立． ∴1+ bc ≥2bc ， bc ≤2 ．∴△ABC 面积的最大值S =bcSin ≤．故得三角形ABC 面积最大值为．【解析】（I ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； （II）根据，求出sinA ，可得cosA ，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出bc 的值，可得△ABC 面积的最大值．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．18.【答案】解：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E -xyz -----1’则B （ ，0，0），C （0，2，0），P （0，-1， ）----2’于是=（- ，-1， ）， =（- ，2，0）， ∵ • =（- ，-1， ）•（- ，2，0）=2-2=0，∴⊥，即BP⊥BC，-------------5’∴△PBC为直角三角形------------------6’（2）由（1）可得，A（0，-2，0）于是=（0，1，），---------------------7’=（，1，-），=（0，3，-），设平面PBC的法向量为=（x，y，z）则，即，取y=1，则z=，x=，∴平面PBC的一个法向量为=（，1，）-------------------------------------------10’设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，则θ=arcsin--------------12’则直线AP与平面PBC所成角的大小为arcsin-------------------------------------13’【解析】（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．本题主要考查空间向量的应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法，考查学生的运算能力．19.【答案】（本题满分15分）解：（Ⅰ）由，解得，，，．…（2分）∵∠BAP=∠BAQ，∴k AP+k AQ=0．设A（m，y），则，化简得2my=3，…（5分）又，联立方程组，解得m=±1，或．∵AB平分∠PAQ，∴不合，∴m=±1．…（7分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得4y2-6ny+3n2-3=0．△=12（4-n2），，．…（9分）上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）15 / 17若存常数m ，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ，则由（Ⅰ）知只可能m =±1． ①当m =1时，取 ，，∠BAP =∠BAQ 等价于，即（2y 1-3）（2y 2-2n -1）+（2y 2-3）（2y 1-2n -1）=0， 即4y 1y 2+3（2n +1）=2（n +2）（y 1+y 2），即3（n 2-1）+3（2n +1）=3n （n +2），此式恒成立．∴存常数m =1，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ．…（13分） ②当m =-1时，取 ，，由对称性同理可知结论成立．∴存常数m =±1，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ．…（15分） 【解析】（Ⅰ）由∠BAP=∠BAQ ，知k AP +k AQ =0．由此能求出m ．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由，得4y 2-6ny+3n 2-3=0．利用韦达定理结合对称性进行分类讨论，得到存在常数m ，当n 变化时，恒有∠BAP=∠BAQ ．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，综合性质强，难度大，具有一定的探究性，对数学思维的要求较高． 20.【答案】解（1）∵a =0，∴．类比函数的图象，可知函f （x ）的图象的对称中心是（-d ，b ）． 又∵函f （x ）的图象的对称中心（-1，3），∴．（2）由（1）知，．依据题意，对任x 0∈[3，10]，恒f （x 0）∈[3，10]． ①c =3，f （x ）=3，符合题意．②c ≠3，c ＜3时，对任x ∈[3，10]，恒＜ ，不符合题意． 所c ＞3，函[3，10]上是单调递减函数，且满f （x ）＞3． 因此，当且仅f （3）≤10， 即3＜c ≤31时符合题意．综上，所实数c 的范围3≤c ≤31．（3）依据题设，解于是．由＜＜，得＜，∴（2x2-1）m2＞1∵m＜0∴m＜-．因此，＜．∵函数y=-在[1，+∞）是增函数，∴y min=y（1）=-1．∴所求负实数m的取值范围m＜-1．故答案为m＜-1．【解析】（1）利用反比例函数的对称性类比即可；（2）分情况讨论f（x）的范围；（3）先根据条件确定f（x）的解析式，再利用不等式和函数单调性求出m的取值范围．本题主要考察利用函数奇偶性，对称性求解析式，恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解21.【答案】（1）解：由，得a n+a n+2-2a n+1==．当n为偶数时，＞，∴数列{a n}不是T数列；（2）证明：∵b n+1-b n=50（n+1）--50n+=50-，∴当50-≥0，即n≤11时，b n+1-b n＞0，此时数列b n单调递增．当n≥12时，b n+1-b n＜0，此时数列b n单调递减．故数列b n的最大项是b12，∴M的取值范围是M≥600-；上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）17 / 17（3）①当1＜p ≤2时，当n =1时c 1=p -1，c 2=1-，c 3=1-， 由c 1+c 3-2c 2=-2≤0，得p ≤， 即当1＜p ≤时符合．若n ≥2，则 ≤1，此时，于是c n +c n +2-2c n +1=（1- ）+（1- ）-2（1- ）=＜0．又对于n ∈N *有c n =|-1|＜1，∴当1＜p ≤时数列c n 是T 数列； ②当2＜p ≤3时，取n =1，则c 1=p -1，c 2=-1，c 3=1-，由 ＞0，∴2＜p ≤3时数列c n 不是T 数列； ③当p ＞3时，取n =1，则c 1=p -1，c 2=-1，c 3=-1，由c 1+c 3-2c 2=＞0，∴p ＞3时数列c n 不是T 数列．综上：当1＜p ≤，时数列c n 是T 数列；当p ＞时，数列c n 不是T 数列． 【解析】（1）由，得a n +a n+2-2a n+1，整理后可知当n 为偶数时，则数列{a n }不是T 数列；（2）由b n+1-b n=50-，得到n≤11时，b n+1-b n ＞0，此时数列b n 单调递增．当n≥12时，b n+1-b n ＜0，此时数列b n 单调递减，故数列b n 的最大项是b 12，由此能求出M 的取值范围；（3）当1＜p≤2时，对于n ∈N *有c n =|-1|＜1，可得当1＜p≤时数列c n 是T 数列；当2＜p≤3时，数列c n 不是T 数列．当p ＞3时，数列c n 不是T 数列． 本题考查数列的函数特性，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。
2019-2020学年格致中学高三上期中数学试卷
格致中学高三期中数学卷 2019.11 一. 填空题 1. 直线31x y =+的一个法向量可以是2. 函数2log (3)y x =+的反函数为3. 已知7(1)ax +的展开式中，含3x 项的系数等于280，则实数a =4. 已知4sin 5x =，(,)2x ππ∈，则tan()4x π+的值等于 5. 已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）满足102a b =，且双曲线的右焦点与抛物 线243y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为6. 某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为3，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为7. 已知集合{|12}A x x =≤≤，2{|40}B x x ax =-+≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是8. 袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有 的概率为9. 设复数20192534i 2019z z -=+-满足（i 是虚数单位），则||z = 10. 在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，且G 为△ABC 的重心，若30aGA bGB cGC ++=uu r uu u r uuu r r ，则A ∠= 11. 设定义域为(0,)+∞的递增函数()f x 满足：对任意的(0,)x ∈+∞，均有6()f x x >-， 且6(())5f f x x +=，则(10)f =12. 定义：若函数()f x 图像上的点到定点A 的最短距离小于3，则称函数()f x 是点A 的近 点函数，已知函数2()2x a f x x -+=-在(2,)+∞上是增函数，且是点(0,4)A -的近点函数，则 实数a 的取值范围是二. 选择题13. 已知曲线的参数方程为22321x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（05t ≤≤），则曲线为（ ） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线14. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S p q =+（0p ≠，1p ≠），则“1q =-”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 若[0,1]x ∈，且使222log (22)2x x +++为整数，则满足条件的实数有（ ）个A. 15B. 14C. 13D. 1216. 定义域是[,]a b 上的连续函数()y f x =图像的两个端点为(,())A a f a 、(,())B b f b ，(,)M x y 是图像()y f x =上任意一点，过点M 作垂直于x 轴的直线l 交线段AB 于点N（点M 与点N 可以重合），我们称||MN uuu r 的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是[1,2]上的函数中，曲径最小的是（ ）A. sin3y x π= B. 2y x = C. 2y x = D. 1y x x =-三. 解答题17. 某公差某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()c x （万元）， 当年产量不足80千件时，21()103c x x x =+，当年产量了不小于80千件时， 10000()511450c x x x=+-，每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品 能全部售完. （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？18. 如图，已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中b c ≠，且cos cos b B c C =，延长线段BC 到点D ，使得44BC CD ==，30CAD ∠=︒.（1）求证：BAC ∠是直角；（2）求tan ADC ∠的值.19. 如图，在四棱锥P ABCD-中，AD ∥BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==， E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（2）若二面角P CD A --的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.20. 已知抛物线2:2C y px =（0p >），过点(,0)M a （0a ≠）的直线l 与C 交于11(,)A x y 、 22(,)B x y 两点.（1）若2p a =，求证：OA OB ⋅uu r uu u r 是定值（O 是坐标原点）； （2）若12y y m ⋅=（m 是确定的常数），求证：直线AB 过定点，并求出此定点坐标；（3）若AB 的斜率为1，且||2AB p ≤，求a 的取值范围.21. 对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示，对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||000n n n n a a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩， 其中1,2,3,n =⋅⋅⋅.（1）若2a =，求数列{}n a ； （2）当14a >时，对任意的*n ∈N ，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论.参考答案一. 填空题1. (1,3)-2. 1()23x f x -=-3. 24. 17- 5. 2212y x -= 6. 27 7. (,4]-∞ 8. 47 9. 5 10.6π 11. 125 12. 3(,4)2二. 选择题 13. A 14. C 15. B 16. D三. 解答题17.（1）21402500803()100001200()80x x x L x x x x ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩；（2）1000千件. 18.（1）证明略；（2）tan ADC ∠=. 19.（1）延长AB 、DC 交于点M （M ∈平面PAB ）；（2）13. 20.（1）定值为234p -，证明略；（2）过定点(,0)2m p -；（3）(,]24a p --. 21.（1）1n a =；（2）；（3）成立，证明略.。
学上海格致中学高三名校试卷(一次测验)理科数学
格致中学二〇一二学年度第一学期 第一次测验高三年级数学(理科) 测试卷 (共4页)(测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷)一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）。
把答案直接填写在答题卷的相应位置上。
1、对于集合A 、B ，定义运算{}A B x x A x B -=∈∉且，若{}11A x x =-<<，{}02B x x =<<，则A B -=______________。
2、若复数z 满足211z i i=+，（其中i 为虚数单位），则z =__________。
3、不等式2201a xx a ->--（1a ≠）的解集为_____________。
4、若()y f x =是函数12x y -=的反函数，则()1f x -=___________。
5、已知数列{}n a 为等比数列，且满足12a =，414a =，则数列{}1n n a a +所有项的和为_________。
6、若α、β均为锐角，且3πα=，()1sin 3αβ-=，则sin β=____________。
7、二项式62x ⎫⎪⎭展开式中常数项为________。
8、侧面展开图是半径长为2cm 、圆心角为23π的扇形的圆锥的体积为___________3cm 。
9、用系统抽样法要从180名学生中抽取容量为20的样本，将180名学生随机地从1180编号，按编号顺序平均分成20组(19号，1018号，…，172180号)，若第16组抽出的号码为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码是_________。
10、在极坐标系中，极点与圆2cos 2sin ρθθ=-上的点距离的最大值为_________。
11、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其十位数比个位数大的概率是____________。
12、设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，()1102011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪=+⎨≤≤⎪+⎩，其中,a b R ∈，若1322f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2a b -的值为_____。
2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共5小题，共21.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3<0,x∈Z}，B={−1,0}，则A∪B=()A. {−1,0，1，2，3}B. {−1,0，1，2}C. {0,1，2}D. {0}2.已知函数f(x)=sin x−lg |x|，则函数f(x)的零点个数为()A. 3B. 5C. 6D. 73.集合A={x|−4≤x≤4}，B={x|−5≤x≤a}，则“A⊆B”是“a>4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A. −43<a<−13B. −1<a<−12C. −65<a<−316D. −2<a<05.对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<4”是“a<3”的必要条件；其中真命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共14小题，共60.0分）6.函数f(x)=√8−12x的定义域为______ ．7.已知集合M={x|√x+1≥0}，集合N={x|x2+x−2<0}，则M∩N=______ ．8.不等式1<|x+1|<3的解集为______．9.若集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，则A∪B=______ ．10.已知全集U=R，集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−2x≥0}，则A∩B=______ ，A∪(∁U B)=______ ．11.若函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+x，则f(−3)的值为__________．12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(−∞,0]上为单调增函数．若f(−1)=−2，则满足f(2x−3)≤2的x的取值范围是________．13.函数f(x)=1x(x≠0)，若f(a)>a，则实数a的取值范围是______．14.设集合M={−1,1}，N={x|x2−x<6}，则M与N的关系是______．15.不等式x2+2x−3−x2+x+6≥0的解集为__________．16.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2−bx+a>0的解集为______．17.已知正实数a，b满足a+3b=7，则11+a +42+b的最小值为________．18.已知正数x,y满足1x +1y=1，则4xx−1+9yy−1的最小值为_____．19.已知集合{1,b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则100a+10b+c=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）20.已知集合A={x|2<x<8}，集合B={x|a<x<2a−2}，若满足B⊆A，求实数a的取值范围．21.已知f(x)=2x，g(x)是一次函数，并且点(2,2)在函数f[g(x)]的图象上，点(2,5)在函数g[f(x)]的图象上，求g(x)的解析式．22.不等式选讲已知函数f(x)=|2x+a|−a(1)当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)=|2x−1|，当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求a的取值范围．23.已知定义在R上的函数f(x)=x2−(3−a)x+2(1−a)(其中a∈R)．(1)解关于x的不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)≥x−3对任意x>2恒成立，求a的取值范围．24.已知f(x)=log2(2x+a)的定义域为(0,+∞)．(1)求a的值；(2)若g(x)=log2(2x+1)，且关于x的方程f(x)=m+g(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查并集的求法，属于基础题．解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．【解答】解：∵集合A={x|x2−2x−3<0,x∈Z}={0,1，2}，B={−1,0}∴A∪B={−1,0，1，2}．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查函数的零点，根据题意画出函数y=lg|x|与y=sinx的图象，进而即可得到结果．【解答】解：函数f(x)=sinx−lg|x|的零点的个数，即函数y=lg|x|的图象和函数y=sinx的图象的交点个数，如图所示：显然函数y=lg|x|的图象和函数y=sinx的图象的交点个数为6．故选C．3.答案：B解析：解：集合A={x|−4≤x≤4}，B={x|(x+5)(x−a)≤0}，由A⊆B，可得B≠⌀，即有a≥4，a≥4推不出a>4，反之a>4能推出a≥4．则“A⊆B”是“a>4”的必要不充分条件，故选：B．由A⊆B，可得a的不等式组，解不等式可得a的范围，再由充分必要条件的定义，即可得到结论．本题考考查充分必要条件的判断，考查运算能力，属于中档题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可【解答】解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集，则−1<a<−12满足条件，故选：B．5.答案：B解析：解：①由“a =b “可得ac =bc ，但当ac =bc 时，不能得到a =b ，故“a =b ”是“ac =bc ”的充分不必要条件，故①错误；②因为5是有理数，所以当a +5是无理数时，a 必为无理数，反之也成立，故②正确； ③取a =1，b =−2，此时a 2<b 2，故③错误；④当a <4时，不能推出a <3；当a <3时，有a <4成立，故“a <4”是“a <3”的必要不充分条件，故④正确．综上可得正确的命题有2个．故选：B ．逐项判断即可．①由ac =bc 不能推出a =b ；②由5是有理数易判断；③根据不等式的性质可得；④根据充分必要条件的定义易得．本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是关键．属于基础题．6.答案：(−∞,23)解析：解：要使函数有意义，须满足8−12x >0，解得x <23，故函数f(x)的定义域为(−∞,23)，故答案为：(−∞,23).要使函数有意义只要满足8−12x >0即可．本题考查函数的定义域及其求法，属基础题． 7.答案：[−1,1)解析：解：由M 中√x +1≥0，得到x +1≥0，即x ≥−1，∴M =[−1,+∞)，由N 中不等式变形得：(x −1)(x +2)<0，解得：−2<x <1，即N =(−2,1)，则M ∩N =[−1,1)；故答案为：[−1,1)求出M 中x 的范围确定出M ，求出N 中不等式的解集确定出N ，找出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.答案：(−4,−2)∪(0,2)解析：解：∵1<|x +1|<3，∴{−3<x +1<3x +1>1或x +1<−1， 解得：−4<x <−2或0<x <2，故答案为：(−4,−2)∪(0,2)．去掉绝对值号得到关于x的不等式组，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．9.答案：{3,4，5，6，7，8}解析：解：∵集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，∴A∪B={3,4，5，6，7，8}．故答案为：{3,4，5，6，7，8}．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，解题时要认真审题，是基础题．10.答案：[−1,0]；[−1.2)解析：解：∵集U=R，集合A={x|−1≤x≤1}=[−1,1]，B={x|x2−2x≥0}=(−∞,0]∪[2,+∞)∴∁U B=(0,2)，∴A∩B=[−1,0]，A∪(∁U B)=[−1.2)故答案为：[−1,0]，)，[−1.2)求出集合B中不等式的解集，求出A与B的交集，再求出集合B的补集，即可求出所求．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．11.答案：−12解析：函数f(x)为奇函数，∴f(−3)=−f(3)=−(32+3)=−12．12.答案：(−∞,2]解析：【分析】本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．根据函数的单调性和奇偶性得到x的不等式，再求解即可．【解答】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在(−∞,0]上为单调增函数，所以f(x)在R上为单调增函数．又因为f(−1)=−2，所以f(1)=2，故f(2x−3)≤2=f(1)，即2x−3≤1，解得x≤2．故答案为(−∞,2]．13.答案：{a|a<−1，或0<a<1}解析：解：f(a)=1a；∴由f(a)>a得，1a>a；解得0<a<1，或a<−1；∴实数a的取值范围是{a|a<−1，或0<a<1}．故答案为：{a|a<−1，或0<a<1}．可得出f(a)=1a ，从而由f(a)>a得出1a>a，从而解该分式不等式即可求出a的范围．考查已知函数求值的方法，分式不等式的解法．14.答案：M⫋N解析：【分析】本题考查集合的关系，首先解不等式化简集合N，再判断关系，属基础题．【解答】解：集合M={−1,1}，N={x|x2−x<6}=(−2,3)，故M⫋N．故答案为M⫋N．15.答案：[−3,−2)∪[1,3)解析：原不等式等价变形为(x+3)(x−1)(x−3)(x+2)≤0，利用穿根法如图：得到不等式的解集为[−3,−2)∪[1,3)．16.答案：{x|−12<x<−13}解析：【解答】解：∵不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,3)，∴2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根．并且a<0，∴2+3=−ba ，2×3=ca．∴不等式cx2−bx+a>0化为ca x2−bax+1<0，∴6x2+5x+1<0，化为(2x+1)(3x+1)<0，∴−12<x<−13．∴不等式cx2−bx+a>0的解集为{x|−12<x<−13}，故答案为：{x|−12<x<−13}【分析】由于不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,3)，可得：2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，利用根与系数的关系可把不等式cx2−bx+a>0化为二次不等式即可解出．本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．17.答案：13+4√314解析：【分析】本题考查基本不等式的应用，以及1的应用，难度适中．【解答】解：正实数a，b，即a>0，b>0，∵a+3b=7，∴a+1+3(b+2)=14，则a+114+3(b+2)14=1，那么(1a+1+42+b)[a+114+3(b+2)14]=114+1214+[4(a+1)14(2+b)+3(b+2)14(a+1)]≥1314+2√4(a+1)14(2+b)·3(b+2)14(a+1)=1314+2×√1214=13+4√314，当且仅当2(a+1)=√3(b+2)时，取等号．∴11+a +42+b的最小值为13+4√314．故答案为13+4√314．18.答案：25解析：【分析】本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．由已知条件可得y =x x−1且x −1>0，代入变形可得4x x−1+9y y−1=13+4x−1+9(x −1)，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数x ，y 满足1x +1y =1，∴y =x x−1>0，∴x −1>0，∴4x x −1+9y y −1=4x x −1+9x x −1x x −1−1=4x x −1+9x =4(x −1)+4x −1+9(x −1)+9 =13+4x −1+9(x −1) ≥13+2√4x−1⋅9(x −1)=25，当且仅当4x−1=9(x −1)即x =53时取等号，∴4x x−1+9y y−1的最小值为：25．故答案为25． 19.答案：323解析：解：若①a ≠3正确，则②b =3错误，由{1,b ，c}={1，2，3}，得：b =2，c =3，故此时③c ≠1正确，不满足条件；若②b =3正确；由{1,b ，c}={1，2，3}，得：c =2，故此时③c ≠1正确，不满足条件； 若③c ≠1正确，则：①a ≠3，②b =3错误，则a =3，由{1,b ，c}={1，2，3}，得：b =2，c =3，满足条件，此时100a +10b +c =323，故答案为：323．根据集合相等的条件，列出a 、b 、c 所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a 、b 、c 的值后代入式子求值．本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．20.答案：解：∵集合A ={x|2<x <8}，集合B ={x|a <x <2a −2}，B ⊆A ，∴B =⌀时，a ≥2a −2，∴a ≤2；B ≠⌀时，{a ≥2a <2a −22a −2≤8....6 ∴2<a ≤5. (10)综上述得a 的取值范围为{a|a ≤5} (12)解析：要分B 等于空集和不等于空集两种情况．再根据B ⊆A 求出a 的取值范围．本题考查子集的定义，考查分类讨论的数学思想，注意B =⌀的情况．21.答案：g(x)=2x −3．解析：设g(x)=ax +b(a ≠0)，则f[g(x)]=2ax+b ，g[f(x)]=a ⋅2x +b ，∴根据已知条件有{22a+b =24a +b =5，解得{a =2b =−3.∴g(x)=2x −3． 22.答案：解：(1)当a =2时，f(x)=|2x +2|−2，解不等式|2x +2|−2≤6得−5≤x ≤3，因此不等式f(x)≤6的解集为{x|−5≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f(x)+g(x)=|2x +a|−a +|2x −1|≥|2x +a +1−2x|−a =|a +1|−a ， 当x =12时等号成立，所以当x ∈R 时，f(x)+g(x)≥3等价于|a +1|−a ≥3，当a ≤−1时，a ≤−2，当a >−1时，无解，所以a ∈(−∞,−2]．解析：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)当a =2时，解不等式|2x +2|−2≤6得−5≤x ≤3，即可求不等式f(x)≤6的解集；(2)当x ∈R 时，f(x)+g(x)=|2x +a|−a +|2x −1|≥|2x +a +1−2x|−a =|a +1|−a ，当x =12时等号成立，所以当x ∈R 时f(x)+g(x)≥3等价于|a +1|−a ≥3，即可求a 的取值范围．23.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=(x −2)[x −(1−a)]，∴f(x)>0⇔(x −2)[x −(1−a)]>0，当a <−1时，不等式的解集为(−∞,2)∪(1−a,+∞)；当a =−1时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)；当a >−1时，不等式的解集为(−∞,1−a)∪(2,+∞)．(Ⅱ)不等式f(x)≥x −3，即a ≥−x 2−4x+5x−2恒成立， 又当x >2时，−x 2−4x+5x−2=−(x −2+1x−2)≤−2(当且仅当x =3时取“=”号)，∴a ≥−2．解析：本题考查利用分类讨论思想解不等式，及利用基本不等式求函数的最值，属于一般题．(1)比较函数两零点的大小，利用分类讨论思想解不等式问题即可；(2)利用基本不等式求出函数的最大值，从而求出a 的范围．24.答案：解：(1)由2x +a >0得2x >−a ，即x >log 2(−a)，即函数的定义域为(log 2(−a),+∞)． ∵函数的定义域为(0,+∞)，∴log 2(−a)=0，则−a =1，则a =−1．(2)当a =−1时，f(x)=log 2(2x −1)，由f(x)=m +g(x)得m =f(x)−g(x)=log 2(2x −1)−log 2(2x +1)=log 2(2x −12+1)=log 2(1−22+1)，令ℎ(x)=log 2(1−22x +1)，则ℎ(x)在[1,2]上为增函数，当x =1时，ℎ(x)取得最小值ℎ(1)=log 213，当x =2时，ℎ(x)取得最大值ℎ(2)=log 235，则ℎ(x)∈[log 213,log 235]，则要使方程f(x)=m +g(x)在[1,2]上有解，则m ∈[log 213,log 235].解析：(1)求出函数的定义域，根据条件建立方程进行求解即可，(2)利用参数分离法进行分类，然后利用复合函数的单调性之间的关系，构造函数求出函数的值域即可得到结论．本题主要考查对数函数的图象和性质，根据函数的定义域求出a 的值，以及利用复合函数单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．。
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上海格致中学2019届高三第一学期期中考试
数学试题（理）
（测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷）
1．若集合的子集只有两个，则实数＿＿＿＿＿；
2．若复数满足：，，则＿＿＿＿＿；
3．方程的解为＿＿＿＿＿＿；
4．设集合非空，，若，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿；
5．整数使关于的不等式组解集中的整数只有，则由的值组成的集合为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
6．函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为＿＿＿；7．对于椭圆，定义为椭圆的离心率，椭圆离心
率的取值范围是，离心率越大椭圆越“扁”，离心率越小则椭圆越“圆”。
若两椭圆的离心率相等，我们称两椭圆相似。
已知椭圆与椭圆
相似，则的值为＿＿＿＿＿＿＿；
8．将3名同学安排到、两个工厂去实习，则到A工厂的实习人数的数学期望的值为＿＿＿＿＿＿＿；
9．数列中，，当时，是积的个位数，则＿＿＿；
10．已知是坐标原点，是平面上的两点，且，。
若△是直角三角形，则＿＿＿＿＿＿＿；
11．定义为向量到向量的
一个矩阵变换，其中是坐标原点。
已知，则的坐标为＿＿＿＿＿＿；
12．设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当时，。
若方程恰好有5个不同的解，则实数的取值
范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
二、选择题（每小题4分，满分16分）
13．直线的倾斜角是（）
A．；B．；C．；D．。
14．已知数列的前项和，则“”是“数列为等比数列”的
（）A．必要不充分条件； B．充分不必要条件；
C．充分必要条件；D．既不充分又不必要条件。
15．已知函数的大致图像如图，则函数的奇偶性是
（）
A．一定是奇函数；
B．一定是偶函数；
C．既是奇函数也是偶函数；
D．既不是奇函数也不是偶函数。
16．已知二面角为，动点P、Q分别在面内，点P到的距离为，点Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）
A．；B．； C．；D．。
三、解答题（本大题共有5题，满分74分，解答时要有必要的过程）
17．（本题满分12分，第（1）题2分，第（2）题4分，第（3）题6分）
高三某班有甲、乙两个学习小组，每组都有10名同学，其中甲组有4名女同学；乙组有6名女同学。
现采用分层抽样从甲、乙两组中共抽取4名同学进行学习情况调查。
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；
（3）求抽取的4名同学中恰有2名男同学的概率。
18．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图：圆锥的顶点是S，底面中心为O。
OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点。
（1）求证：BC与SA不可能垂直；
（2）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角为，求圆锥的体积。
19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图，圆与轴的正半轴交于点B，P是圆上的动点，P点在轴上的投
影是D，点M满足。
（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形。
（2）过点B的直线与M点的轨迹C交于不同的两点E、F，若，求直线的方程。
20．（本题满分16分，第（1）题5分，第（2）题5分，第（3）题6分）
已知数列
中，
，且。
（1）记，求证：数列
是等比数列，并求
的通项公式；
（2）求
的通项公式；
（3）当
时，记，求的
值。
21．（本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题5分，第（3）题8分）
已知函数。
（1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围；
（2）当
时，若不等式
在区间
上恒成立，求实数的取值范围；
（3）对于函数
若存在区间
，使
时，函数
的值域也
是，则称是
上的闭函数。
若函数
是某区间上的闭函数，
试探求
应满足的条件。
参考答案
一、填空题：（每小题5分，满分60分）
．
．
或
二、选择题：（每小题4分，满分16分）
13．C；14．A；15．B；16．C。
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
每
题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分。
17．（本题共3小题，第1小题2分，第2小题4分，第3小题6分，满分12分）解：（1）
甲、乙两组分别抽取，则，
即甲、乙两组各抽2人2分
（2）6分
（3）甲抽2男，乙抽2女：；8分
甲、乙两组各抽1男1女：；10分
甲抽2女，乙抽2男：；
12分
18．（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）
解：（1）
证法一：反证法：若，连AC，由AB是直径
则，所以平面2分
则 3分
又圆锥的母线长相等，是等腰三角形SBC的底角，
则是锐角4分
与矛盾，所以与SA不垂直6分
证法二：建立如图坐标系，设圆锥的高为，底面
半径为，则
，3分
5分
所以与SA不垂直 6分
（2）建立如图坐标系，设底面半径为，由高为4。
则，则，
8分
10分
由AD与BC所成角为，所以，解得12分
所以14分
19．（本题共2小题，其中第一小题6分，第二小题8分，满分14分）解：（1）
设，则题意轴且M是DP的中点，
所以2分
又P在圆上，所以，即
，即4分
轨迹是以与为焦点，长轴长为4的椭圆。
6分
注：只说轨迹是椭圆扣1分。
（2）方法一：当直线的斜率不存在时，，不满足题意。
7分
设直线方程为，代入椭圆方程得：
△9分
设，则（＊）11分
由知E是BF中点，所以（＊＊）
由（＊）、（＊＊）解得满足，所以13分
即所求直线方程为：14分
注：解题过程中若不验证斜率不存在或△符号时，扣1分。
方法二：设，由知E是BF中点，又，所以，因都在椭圆上，所以9分
解得：11分
若，则13分
所以直线方程为：14分
20．（本题共3小题，其中第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分，满分16分）解：（1）
由得，即2分
又，所以，又。
所以是以1为首项，为公比的等比数列。
4分
5分
注：在证明中若从得出是等比数列扣1分。
（2）由及得6分
＝8分
当时 9分
当时 10分
（3）由知
＝13分
因为，所以
则，又
所以16分21．（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题4分，第3小题8分，满分16分）
解：（1）当时，
设且，由是上的增函数，则2分
3分
由，知，所以，即5分
（2）当时，在上恒成立，即6分
因为，当即时取等号，8分
，所以在上的最小值为。
则10分（3）因为的定义域是，设是区间上的闭函数，则且11分
①若
当时，是上的增函数，则，
所以方程在上有两不等实根，
即在上有两不等实根，所以
，即且13分
当时，在上递减，则，即
，所以 14分
②若
当时，是上的减函数，所以，即
，所以15分
当是上的增函数，所以所以方程
在上有两不等实根，即在上有两不等实根，
所以即且17分
综上知：或且或且。
即：或且18分。