相似三角形分类整理超全
九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。
（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
2分之3倍根号3 随练： 一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）CADCBEF G F E DCBA。
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
最新相似三角形分类整理(超全)
第一节 第二节第十一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c,A D aB E bC F c可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝dc，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果dcb a =，那么ad=bc 。
如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），C那么dc b a =。
②合比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a ±=±。
③等比性质：如果d c b a ==•••=n m (b+d+•••+n ≠0)，那么ban d b m c a =+•••+++•••++④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.典例剖析例1：① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km.② 若b a =32 则b b a +=__________. ③ 若 b a b a -+22=59则a ：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
初中相似三角形知识点总结
初中相似三角形知识点总结
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例的关系。
以下是初中相似三角形的知识点总结：
1. 相似三角形的定义：两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的性质：
- 对应角相等：两个相似三角形的对应角相等，即角A = 角D，角B = 角E，角C = 角F。
- 对应边成比例：两个相似三角形的对应边成比例，即 AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 相似三角形的判定：
- AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
- SAS相似定理：如果两个三角形的两个边成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似。
4. 相似三角形的应用：
- 求比例关系：根据相似三角形的性质，可以利用已知的比例关系来求解未知的边长或角度。
- 利用相似三角形求高度：在一个相似三角形中，可以利用已知的比例关系来求解未知的高度。
5. 相似三角形的注意事项：
- 只有对应角相等和对应边成比例的三角形才是相似三角形。
- 相似三角形的比例关系可以用来计算边长，但不能用来计算面积。
相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何形状的比较和计算中有着广泛的应用。
理解相似三角形的性质和应用方法，对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。
相似三角形复习(较全)
相似三角形知识点汇总【知识要点】1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ²BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b c dad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
相似三角形分类整理(超全)
nih的相似比，当且仅当它们全等时，才有e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC 中，点E 为BC 的中点，过点E 作一条直线交AB 于D 点，与AC 的延长线将于F 点，且FD=3ED ，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示： ①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似； ②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛． ③如图，可简单记为：在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，则△ABC ∽△CBD ∽△ACD ．直角三角形的身射影定理：AC 2=AD*ABCD 2=AD*BDBC 2=BD*ABgnihtlt he i rb ee an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o例5. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC ∆于F ，FG AB 于G ，求证：FG =CF BF ⊥2∙四、作中线例6 如图，中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求ABC ∆AC 。
相似三角形知识点归纳(全)
相似三角形知识点归纳(全)相似三角形知识点归纳相似形的概念相似图形是指形状相同的图形，其中最简单的是相似三角形。
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就是相似多边形。
相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
比例线段的相关概念和性质比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段就是成比例线段。
比例线段是有顺序的，如果a是b、c、d的第四比例项，那么应得比例式为b/c=d/a。
比例线段有一些性质，例如黄金分割，其中线段AB被分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，即AC²=AB×BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC≈0.618AB。
还有合、分比性质和等比性质。
比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理是指三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
在三角形中，由DE∥BC可得AD/DB=AE/EC或者AD/AE=DB/EC，还有其他类似的定理。
注：本文已删除明显有问题的段落，并进行了小幅度的改写。
的三角形，尝试找出它们之间的相似关系。
3)利用相似性质：根据相似三角形的性质，利用对应角相等、对应边成比例等关系进行推导证明。
4)注意细节：在使用相似性质进行证明时，需要注意各个角度、边长的对应关系，以及相似比的顺序等细节问题。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形，用符号“∽”表示。
相似三角形对应边的比叫做相似比，对应角相等，对应边成比例。
相似三角形有对应性和顺序性，即把表示对应顶点的字母写在对应位置上，相似三角形的相似比是有顺序的。
需要注意的是，两个三角形形状一样，但大小不一定一样，全等三角形是相似比为1的相似三角形。
判定相似三角形的方法有平行法、AA、SAS、SSS、HL 等。
其中，平行法是指平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形分类整理(超全)
第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c,A D aB E bC F c可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD ECAE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝dc，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果dcb a =，那么ad=bc 。
如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么dc b a =。
②合比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a ±=±。
图1ABCD E图2ABCDE图3ABCD③等比性质：如果d c b a ==∙∙∙=n m (b+d+∙∙∙+n ≠0)，那么ba n db mc a =+∙∙∙+++∙∙∙++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.典例剖析例1：① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km.② 若b a =32 则b b a +=__________. ③ 若 b a b a -+22=59则a ：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a ∥b ∥c,A D aB E bC F c可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD ECAE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝dc，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果dcb a =，那么ad=bc 。
如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么dc b a =。
②合比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a ±=±。
CCC③等比性质：如果d c b a ==•••=n m (b+d+•••+n ≠0)，那么ban d b m c a =+•••+++•••++④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.典例剖析例1：① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km.② 若b a =32 则b b a +=__________. ③ 若 b a b a -+22=59则a ：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
（3）三边对应成比例的两个三角形相似。
补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
注意：适用此方法的基本图形，(简记为A 型，X 型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。
(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
(5)两角对应相等的两个三角形相似。
(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。
(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
【基础练习】（1）如图1，当 时，△ABC ∽ △ADE（2）如图2，当 时， △ABC ∽ △AED 。
（3）如图3，当 时， △ABC ∽ △ACD 。
A BCDEABCDE小结：以上三类归为基本图形：母子型或A 型（3）如图4，如图1，当AB ∥ED 时，则△ ∽△ 。
（4）如图5，当 时，则△ ∽△ 。
小结：此类图开为基本图开：兄弟型或X 型典例剖析例1：判断①所有的等腰三角形都相似． （ ） ②所有的直角三角形都相似． （ ） ③所有的等边三角形都相似． （ ） ④所有的等腰直角三角形都相似． （ ） 例2：如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于F求证： △ABF ∽ △CAF.例3：如图：在Rt △ ABC 中， ∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，若 AB=6 ；AD=2； 则AC= ；BD= ；BC= ；例3：如图：在Rt △ ABC 中， ∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，若E 是BC 中点，ED 的延长线交BA 的延长线于F ， 求证：AB : AC=DF : BFDCBCBAD E'第二节：相似三角形的判定(一)相似三角形：定义1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．温馨提示：①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。
④两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。
2、相似三角形对应边的比叫做相似比．温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．温馨提示：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示：①有平行线时，用上节学习的预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC中，点E为BC的中点，过点E作一条直线交AB于D 点，与AC的延长线将于F点，且FD=3ED，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示：①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB CD2=AD*BD BC2=BD*AB总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．．第三节相似三角形中的辅助线一、作平行线例1. 如图，∆A B C的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE=BDA CFE例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF 。
二、作垂线例3.如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，垂足分别为E 、F ，求证：2AC AF AD AE AB =⋅+⋅ AB CF DE三、作延长线例4. 如图，在梯形ABCD 中，AD 且四边形AHCD 的面积为21，求△例5. 如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2=CF •BF四、作中线例6 如图，ABC∆中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
五、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。