齐次线性方程组
齐次线性方程组和非齐次线性方程组的区别
齐次线性方程组和非齐次线性方程组的区别
1、常数项不同：
齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。
2、表达式不同：
齐次线性方程组表达式：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零：Ax=b。
在一个线性代数方程中，如果其常数项(即不含有未知数的项)为零，就称为齐次线性方程。
线性方程也称一次方程式。
指未知数都是一次的方程。
其一般的形式是ax+by+...+cz+d=0。
线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。
因为在笛卡尔坐标系上每一个一次方程的表示都是一条直线。
组成一次方程的每个项须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。
且方程中须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。
线性代数第四章齐次线性方程组
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(3)设X (c1 , c2 , , cr , k1 , k2 , , knr )T 是方程组 的任意解，则X k1 X1 k2 X 2 knr X nr (d1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代入BX = 0，得
b11 b12
同理，分别将xr1 ,
xr2 ,
,
x
的
n
值(0,1,
,0),
,
(0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的解
X 2 (c12 , c22 , , cr 2 ,0,1, ,0)T ;
X nr (c1,nr , c2,nr , , cr ,nr ,0,0, ,1)T ;
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(1) X1, X 2 , , X nr是AX = 0的解； (2)考虑k1 X1 k2 X 2 knr X nr 0，即
b1n b2n
AB 0
0
0 0
brr 0
br ,r 1 0
brn 0
0
0
0
0
0
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将未知量xr1 , xr2 , BX = 0，去掉0= 0的等式，
移项得线性方程组
b11 0
b12 b22
(l1 , l2 , , lr , k1 , k2 , , knr )T (0,0, ,0,0, ,0)T ，
nr
其中li k jcij ,( j 1,2, , n r;i 1,2, , r) j 1
有k1 0, k2 0, , knr 0， 故X1, X 2 , , X nr线性无关。
0
1
x1 2x2 3x3 0
第三节 齐次线性方程组
第三节 齐次线性方程组定理 n 元齐次线性方程组Ax=0()R A n ⇔<(1) 有非零解秩 ()R A n ⇔=(2) 没有非零解秩一:齐次线性方程组Ax=0解的结构(一) 齐次线性方程组Ax=0解的结构记S={x |Ax =0}表示齐次线性方程组Ax =0解的全体，则集合S 具有如下性质 ： （1） 若ξ1，ξ2∈S ，那么ξ1＋ξ2∈S 。
即两个解的和还是方程组的解 （2） 若ξ∈S ，k ∈R ，那么 k ξ∈S 。
即一个解的倍数还是方程组的解定理1 ： n 个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解向量集S 构成R n 的一个子空间 。
(二) 相关概念:解空间、基础解系、通解定义1: 称子空间S 是齐次线性方程组Ax=0的解空间。
解空间S 的任意一个基（即S 的极大无关组）称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系。
注: (1) 齐次线性方程组Ax=0解的个数情况? 齐次线性方程组Ax=0有非零解,其解是否必有无穷个?(2) 设12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则对任意常数12,,,r k k k ,其线性组合1122r r k k k ξξξ+++是方程的解,12,,,r ξξξ 的所有线性组合就为方程所有解.定义2: 称1122r r k k k ξξξ+++ 为齐次线性方程组Ax=0的通解,其中12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, 12,,,r k k k 为任意常数.(三) 齐次线性方程组Ax=0的主要定理定理2 设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 是m ×n 阶矩阵，且R(A)=r ，则方程组Ax=0的基础解系中有n-r 个向量，即解空间S 的维数dim S=n-r 。
证明 (1)对矩阵A 作初等行变换得到矩阵 A，两个方程组0Ax =与0Ax = 是同解的方程组 .(2) 因为R(A)=r ，利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形矩阵，进一步化为简单阶梯形矩阵，不妨有111212121~n n m mn a a a a a A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 111,212,1,100010010000000000n r n r r r n r b b b b b b ---⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭称简单阶梯矩阵每一行的第一个非零元所对应的未知数(这里为12,,r x x x 称为非自由变量),其余的成为自由变量.故方程组同解于11111221,22112222,1122, 0(3) 0r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩把上式改写为11111221,221122221122, (4) r r n r n r r ,n r nr r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-=----⎧⎪=----⎪⎨⎪⎪=----⎩令12r r n x x x ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 分别取n r -组数100010, , ....,001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入(4)可依次确定12r x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 为1,11122,2122,12, , ..., n r n r r n r r r b b b b b b b b b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而得到0Ax =的n-r 个解1,11122,212212,12 - , , , 1 0 0 0 1 0 0 0 1n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξξξ-----⎛--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ,⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭显然12,,,n r ξξξ- 为齐次线性方程组Ax=0的n-r 个线性无关解 (3)最后，证明Ax=0的任意一个解都可由12,,,n rξξξ- 线性表示。
线性代数 3-1-齐次方程组
a2 T (a1 , a2 , , an ) 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 a n
问题：除了零解外，有没有其它的解？
在什么条件下有非零解？ 当齐次方程有非零解时，如何求出全部的解？ 为了研究齐次线性方程组解集合的结构，我们 先来讨论这些解的性质，给出基础解系的概念。
x r 1 , x r 2 , , x n
真未知量
自由未知量
x1 , x2 , , xr 由自由未知量 xr 1 , xr 2 , , xn 惟一确定
显然： （xr 1 , x r 2 , , xn） 构成一向量空间， V
其基含有n r个向量，最简单的一组基为 : e1 , e2 , , en r 取： 0 0 x r 1 1 0 1 xr 2 0 , , 0 1 x 0 n
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以 1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基， 也就是一组基础解系. 说明 １．解空间的基不是唯一的,但所含向量个数相 等，都等于 n - r(A). 2．若 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的基础解系，则 x k11 k2 2 kn r n r . 其通解为 其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数. 3 当r(A)=n 时方程组只有零解故没有基础解
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 c11 xr 1 c1,n r xn x c x c r 1 r 1 r ,n r xn r
线性代数第四章齐次线性方程组
有k1 0, k 2 0, , k n r 0， 故X 1 , X 2 , , X n r 线性无关。
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(3)设X (c1 , c 2 , , c r , k1 , k 2 , , k n r )T 是方程组 的任意解，则 k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r X (d 1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代 入BX = 0，得 b11 b12 b1r d 1 0 0 b22 b2 r d 2 0 ， 0 0 brr d r 0 系数行列式不为零， 1 , d 2 , , d r 全为零。于是 d X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 0或 X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 综上，X 1 , X 2 , , X n r 是AX = 0的一个基础解系， 含n - r个解向量。
证明 由矩阵、向量的运算、 线性相关定义,得(1)推(2), (2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r
A n
2. 齐次线性方程组解的性质
(解向量的和,数乘仍是 解)
性质1 若X 1 , X 2 是AX 0 (4.2)的解,
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由Gramer法则， (4.6)有唯一解， 得(4.2) 的一个解X 1 (c11 , c 21 , , c r1 ,1,0, ,0) 。
T
同理，分别将 r 1 , x r 2 , , x n的值(0,1, ,0), , x (0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的 解 X 2 (c12 , c 22 , , c r 2 ,0,1, ,0) ;
线性代数齐次线性方程组
x11 x2 2 xn n 0 有非零解
, , 线性相关 矩阵 A ( , ,, )的秩 R( A) n
1 2 n
2 1 n
于是我们得到下面的一个非常重要的判定定理 定理1 齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解的 充要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个 数，即 R A n.
由于系数行列式为零，所以有非零解
方法二
对系数矩阵A作初等行变换
1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 4 14 8
1 1 5 1 r2 r1 1 1 2 3 r 3r 3 1 A 3 1 8 1 r4 r1 1 3 9 7 1 1 5 1 r3 r2 0 2 7 4 r4 2r2 0 0 0 0 0 0 0 0
由于与都是方程Ax 0的解, 而Ax 0又等价于
x1 b11 x r 1 b1,n r x n x b x b r 1 r 1 r ,n r x n r
方程组
而方程组的前r个未知量的值由后面n－r个 未知量唯一确定
（1）
若记
a11 a12 a21 a22 A a m 1 am 2
a1n a2 n , amn
x1 x2 x x n
则上述方程组（1）可写成矩阵方程
Ax 0.
x 1 2
齐次线性方程 组的解对于加 法运算封闭
证明 A1 0 , A 2 0
A1 2 A1 A 2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k 也是 Ax 0 的解． 齐次线性方程 证明
齐次线性方程组
定理:齐次线性方程组 ① ,如果它的系数矩阵的秩 R(A)=n,那么它只有零解,没有基础解系,如果 R(A)<n,那么它有无穷多解,存在基础解系,且它的 基础解系所含的解向量的个数为n-r个(其中=R(A)). 定理: a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n 有非零解 A 0 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 证明:
b12 2 b1,n r n r br 2 br ,n r 无关 0 , , 0 . 1 0 无关 0 1
1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 r3 r1 0 0 1 2
20
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1 r3 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 0 0
1 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 . 1 2 0 0 0 0
§2 齐次线性方程组
一、齐次线性方程组解的性质 二、齐次线性方程组的非零解
1
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一、齐次线性方程组解的性质
齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 am1 x1 amn xn 0 AX = 0 ②
①
x1 c1 记 [註]: 1. 若 X ξ, 则 x n cn
x2 x2
x4 2 x4 x4
则
x2 1 令 , x4 0
线性代数——齐次线性方程组
综上可知方程组 Ax = 0与( AT A) x = 0同解, 因此 R( AT A) = R( A).
�
例1 求齐次线性方程组 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, 2 x 1 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A作初等行变换,变为行最简矩 阵,有
1 1 1 1 A = 2 5 3 2 7 7 3 1 1 0 2 7 3 7 ~ 0 1 5 7 4 7 , 0 0 0 0
b1,n r x n br , n r x n
所以 ξ 与 η 都是此方程组的解 , λ1 c1 λ c r r 由 ξ = λ r + 1 η = λ r + 1 λ1 = c1 , λ λ r+2 r+2 λ λ n n
现对 x r +1 ,
, x n 取下列 n r 组数:
0 1 , 0 0 0 , . 1
b1 ,n r xn br ,n r xn
xr +1 1 xr + 2 0 = , x 0 n
x1 = b11 xr +1 分别代入 x = b x r 1 r +1 r
=
2 7 5 7 ,ξ 1 0
2
=
3 7 4 7 , 0 1
2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 = c 1 1 + c 2 0 , ( c 1 , c 2 ∈ R ). x3 0 1 x4
例2 解线性方程组
+ ktη t
, k n r 是任意常数 .
的一组基础解系, 那么, Ax = 0 的通解可表示为
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