人教版高中数学必修三课件：2.2.2第二课时用样本的数字特征估计总体的数字特征 (第2课时)
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高中数学人教A版必修三第二章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件
（1）1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 众数是：3和8 （2）1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9 众数是：3
2、求下列各组数据的中位数
（1）1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 中位数是：5 （2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位数是：4
2.已知样本数据 x1，x2，…，xn 的均值 x ＝5，则样本数据
学徒 100 1 100
合计
23 6900
如何在频率散布直方图中估计平均数
频率/组距
0.08
0.16 0.30 0.50
0.44 0.40 0.50 0.28 0.30
0.12 0.20 0.08 0.04 0.10
频率/组距 0.5 1 1.5 2 2.5
平均数的估计值等于频率 散布直方图中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和.
1.求出a、p、n； 2.补全频率散布直方图；
2.2.2用样本的数字特征估计 总体的数字特征
众数、中位数、平均数
用样本的数字特征估计总体的数字特征
1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：一组数据中_出__现__次__数__最__多__的数．
按顺序排好
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于_中__间__位置 的数．如果个数是偶数，则取_中__间__两个数据的平均数．
0.08 0.04
0.5 1 1.5 2 2.5
0.06 0.04
月均用水量/t
0.02
3 3.5 4 4.5
2.02
[典例] 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成 绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知 图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
2、求下列各组数据的中位数
（1）1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 中位数是：5 （2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位数是：4
2.已知样本数据 x1，x2，…，xn 的均值 x ＝5，则样本数据
学徒 100 1 100
合计
23 6900
如何在频率散布直方图中估计平均数
频率/组距
0.08
0.16 0.30 0.50
0.44 0.40 0.50 0.28 0.30
0.12 0.20 0.08 0.04 0.10
频率/组距 0.5 1 1.5 2 2.5
平均数的估计值等于频率 散布直方图中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和.
1.求出a、p、n； 2.补全频率散布直方图；
2.2.2用样本的数字特征估计 总体的数字特征
众数、中位数、平均数
用样本的数字特征估计总体的数字特征
1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：一组数据中_出__现__次__数__最__多__的数．
按顺序排好
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于_中__间__位置 的数．如果个数是偶数，则取_中__间__两个数据的平均数．
0.08 0.04
0.5 1 1.5 2 2.5
0.06 0.04
月均用水量/t
0.02
3 3.5 4 4.5
2.02
[典例] 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成 绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知 图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
2019人教版高中数学必修三课件：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
预习探究
知识点一 平均数、众数、中位数
1.众数:一组数据中出现 次数 最多的数叫作这组数据的众数.一组数据中 的众数可能不止一个,也可能没有,众数反映了该组数据的 集中 趋势,在 频率分布直方图中,最高矩形的 中点 的横坐标就是数据的众数.
预习探究
2.中位数:把一组数据按 从小到大 (或从大到小)的顺序排列,处在 中间 位置的数(或中间两个数的 平均数 )叫作这组数据的中位数.一组
考点类析
考点二
“三数”“两差”的应用
考向一 “三数”的应用
例2 某小区广场上有甲、乙两群市民正
在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:
岁):
甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17.
乙群:54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众
数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地
备课素材
2.对标准差和方差的理解 (1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度,标准差越小,表明各 个样本数据在样本平均数周围越集中;反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均 数的两边越分散. (2)若样本数据都相等,则s=0. (3)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数 字特征,而样本数据的离散程度,就由标准差来衡量.
5)×20=1,解得x=0.007 5,所以直方
图中x的值是0.007 5.
考点类析 (2)求月平均用电量的众数和中位数.
考点类析
(3)在月平均用电量为 [220,240),[240,260),[260,280),[280, 300]的四组用户中,用分层抽样的 方法抽取11户居民,则在月平均用 电量为[220,240)的用户中应抽取多 少户?
人教版高中数学必修三第二章第2节 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件(共13张PPT)
布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？取
哪个值比较好？
频率/组距
0.6 0.5 0.4
取最高矩形底边 中点的横坐标 2.25作为众数.
0.3
0.2
0.1
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识探究（一）：从频率分布直方图中估计众数
问题4. 请大家翻回到课本看看原来抽样的数 据中有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定 义,2.25怎么会是众数呢？为什么？
人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。人生最精彩的不是实现梦想的一瞬间，而是坚持梦想的过程。人与人之间的差距， 么大，还是因为不能狠下心来逼自己日出东海落西山，愁也一天，喜也一天；遇事不钻牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。如果你坚信自己最优秀，那么你就 果你真心选择去做一件事，那么全世界都是帮助你的。头脑是日用品，而不是装饰品。我要的未来，要靠我自己去拼。想成功就要和成功者的思想、脚步 想干的人永远在找方法，不想干的人永远在找理由。要感谢痛苦与挫折，它是我们的功课，我们要从中训练，然后突破，这样才能真正解脱。要纠正别人 省自己有没有犯错。 也许终点只有绝望和失败，但这绝不是停止前行的理由。一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少。一个人只有 己伤疤的时候才知道什么是痛，什么是对与错。一个一味沉溺于往事的人，是不能张开双臂去拥抱今天的。一切事无法追求完美，唯有追求尽力而为。这 出来的结果反而会更好有人说，世界上最美的是梦，最长的是路；最易做的是梦，最难走的是路。愿你像那石灰，别人越是浇你冷水，你越是沸腾。真正 人，总是容易获得比别人更多的机会。如果缺少破土面出并与风雪拼搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。生活会辜负努力的人，但不会一直辜负 失败的历程也是成功的历程。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东西，要等到你真正放下了，才知道它 现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。输在犹豫，赢在行动。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。13.在我们的生活中，如果没有了 像小鸟在天空中飞翔时断了翅膀一样，永远不能前进。战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要像和风一样温柔。站起来的次数能够比跌倒的次数多 是强者。真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。真正的强者不是没有眼泪的人，而是含着眼泪奔跑的人。只会幻想而不行动的人， 不到收获果实时的喜悦。志坚智达言信行果，失败的尽头是成功努力的终点是辉煌。志在峰巅的攀登者，不会陶醉在沿途的某个脚印之中竹根——即使被 人得见，也决然不会停止探索而力争冒出新笋。总要有一个人要赢，为什么不能是我。最坚固的捆绑是习惯。最可怕的不是有人比你优秀，而是比你优秀 更努力。最有希望的成功者，并不是才干出众的人而是那些最善利用每一时机去发掘开拓的人。昨天如影——记住你昨天的挫折和失败的教训；今天如画 生活、快乐和幸福的人生要靠你自己去描绘；明天如梦——珍惜今天,选择好自己的目标，努力地为自己的明天去寻求和拼搏。不曾扬帆，何以至远方。不 时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。不要 要顺其自然。该是你的终会得到。成功也就不会太远了。趁着年轻，不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的 一切的优越感，迟早会毁了你。成功的法则极为简单，但简单并不代表容易。成功的秘诀就是每天都比别人多努力一点。生命如自助餐厅，要吃什么菜自 命像流水，这些不快的事总要过去，如果注定一辈子要这么过，再不开心也没有用。如果你看到前面的阴影，别怕，那是因为你背后有阳光。如果为了安 海在一起，船就失去了存在的意义。山高路遥不足惧，最怕贪图安逸心。少壮不努力，老大徒伤悲。犹如一条船,每人都要有掌舵的准备。生活对于智者永 扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。金钱难买健康，健康大于金钱，金钱难买幸福，幸福必有健康，生命的幸福不在名利在健康，身体的强壮不在金钱在运 生有那么多的徒劳无功，梦想，我还是要一次次全力以赴。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。就算全世界都说我漂亮，但你却说我不漂亮 是不漂亮。可怕的是，比你优秀的人比你还要努力。空谈不如实干。踱步何不向前行。
人教版高中数学必修三用样本的数字特征估计总体的数字特征课件PPT
300
=3,则该
100
均成绩为
100 人成绩的标准差为
1
[(5-3)2 × 20 + (4-3)2 × 10 + (3-3)2 × 30 + (2-3)2 × 30 + (1-3)2 × 10]
100
2 10
.
5
2 10
答案:
5
=
求一组数据的方差和标准差的步骤如下:
①先求平均数.
②代入公式得方差和标准差
为:45,93,95,96,98,中位数是 95,较为合理地反映了小明的数学水平,
因而应该用中位数来衡量小明的数学成绩.
正解:小明 5 次考试成绩,从小到大排列为 45,93,95,96,98,中位数是 95,
应评定为“优秀”.
1 如图,是某篮球运动员在一个赛季的 30 场比赛中得分的茎叶图,
则得分的中位数与众数分别为(
.
1
解析:由平均数为 10,得(x+y+10+11+9)×5=10,
则 x+y=20;
又由于方差为 2,则
2
2
2
2
1
]×5=2,
2
[(x-10) +(y-10) +(10-10) +(11-10) +(9-10)
整理得 x2+y2-20(x+y)=-192,
则 x2+y2=20(x+y)-192=20×20-192=208.
资(元)
人数
1
6
5
10
合计
22000 15000 11000 20000
学徒 合计
1000 29700
=3,则该
100
均成绩为
100 人成绩的标准差为
1
[(5-3)2 × 20 + (4-3)2 × 10 + (3-3)2 × 30 + (2-3)2 × 30 + (1-3)2 × 10]
100
2 10
.
5
2 10
答案:
5
=
求一组数据的方差和标准差的步骤如下:
①先求平均数.
②代入公式得方差和标准差
为:45,93,95,96,98,中位数是 95,较为合理地反映了小明的数学水平,
因而应该用中位数来衡量小明的数学成绩.
正解:小明 5 次考试成绩,从小到大排列为 45,93,95,96,98,中位数是 95,
应评定为“优秀”.
1 如图,是某篮球运动员在一个赛季的 30 场比赛中得分的茎叶图,
则得分的中位数与众数分别为(
.
1
解析:由平均数为 10,得(x+y+10+11+9)×5=10,
则 x+y=20;
又由于方差为 2,则
2
2
2
2
1
]×5=2,
2
[(x-10) +(y-10) +(10-10) +(11-10) +(9-10)
整理得 x2+y2-20(x+y)=-192,
则 x2+y2=20(x+y)-192=20×20-192=208.
资(元)
人数
1
6
5
10
合计
22000 15000 11000 20000
学徒 合计
1000 29700
高中数学人教版必修三课件：第二章 2-2 2.2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
2．2.2
用样本的数字特征估计总体的数字特征
众数、中位数、平均数
[提出问题]
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取 8 件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年) 甲：3,4,5,6,8,8,8,10 乙：4,6,6,6,8,9,12,13 丙：3,3,4,7,9,10,11,12
[化解疑难]
名称
三种数字特征的比较 优点
缺点
①体现了样本数据的最大集中 众数 点； ②②容易计算
①它只能表达样本数据 中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体 的特征
①不受少数几个极端数据(即排 中位 序靠前或靠后的数据)的影响； 对极端值不敏感 数 ②②容易计算，便于利用中间 数据的信息 代表性较好，是反映数据集中 平均 趋势的量．一般情况下，可以 数 反映出更多的关于样本数据全 体的信息 任何一个数据的改变都 会引起平均数的改 变．数据越“离群”， 对平均数的影响越大
[活学活用] 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机， 对其销售额进 行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据 的平均数分别为 x 甲， x 乙，中位数分别为 m 甲，m 乙，则( )
A. x 甲＜ x 乙，m 甲＞m 乙 B. x 甲＜ x 乙，m 甲＜m 乙 C. x 甲＞ x 乙，m 甲＞m 乙 D. x 甲＞ x 乙，m 甲＜m 乙
服务生 640元
会计 820元
①计算所有人员的周平均收入； ②这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？ 为什么？ ③去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员 的周收入的水平吗？
[解 ] (1)∵中位数为 5，
4＋x ∴ ＝5，即 x＝6. 2 ∴该组数据的众数为 6， －1＋0＋4＋6＋6＋15 平均数为 ＝5. 6
用样本的数字特征估计总体的数字特征
众数、中位数、平均数
[提出问题]
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取 8 件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年) 甲：3,4,5,6,8,8,8,10 乙：4,6,6,6,8,9,12,13 丙：3,3,4,7,9,10,11,12
[化解疑难]
名称
三种数字特征的比较 优点
缺点
①体现了样本数据的最大集中 众数 点； ②②容易计算
①它只能表达样本数据 中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体 的特征
①不受少数几个极端数据(即排 中位 序靠前或靠后的数据)的影响； 对极端值不敏感 数 ②②容易计算，便于利用中间 数据的信息 代表性较好，是反映数据集中 平均 趋势的量．一般情况下，可以 数 反映出更多的关于样本数据全 体的信息 任何一个数据的改变都 会引起平均数的改 变．数据越“离群”， 对平均数的影响越大
[活学活用] 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机， 对其销售额进 行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据 的平均数分别为 x 甲， x 乙，中位数分别为 m 甲，m 乙，则( )
A. x 甲＜ x 乙，m 甲＞m 乙 B. x 甲＜ x 乙，m 甲＜m 乙 C. x 甲＞ x 乙，m 甲＞m 乙 D. x 甲＞ x 乙，m 甲＜m 乙
服务生 640元
会计 820元
①计算所有人员的周平均收入； ②这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？ 为什么？ ③去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员 的周收入的水平吗？
[解 ] (1)∵中位数为 5，
4＋x ∴ ＝5，即 x＝6. 2 ∴该组数据的众数为 6， －1＋0＋4＋6＋6＋15 平均数为 ＝5. 6
人教版高中数学必修三第二章第2节 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件(共13张PPT)
乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？
二.方差的概念:
乙
890 960 950 850 860 890
那种水稻的产量比较稳定？
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但 甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定.
2.一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的 标准重量是500g，为了了解这些白糖的重量情况，称出各袋白 糖的重量（单位：g）如下： 486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503 499 503 509 498 487 500 508 求： （1）21袋白糖的平均重量x是多少？标准差s是多少？ （2）重量位于x-s与x+s之间有多少袋白糖？所占的百分比是 多少？
甲运动员
7
7
7
乙运动员
7
7
7
引例 有两位射击运动员ห้องสมุดไป่ตู้一次射击测试中各射靶 十次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙95787686 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？ 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
标准差
定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离， 常用s表示.
定义:标准差的平方叫做方差,
从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？
二.方差的概念:
乙
890 960 950 850 860 890
那种水稻的产量比较稳定？
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但 甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定.
2.一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的 标准重量是500g，为了了解这些白糖的重量情况，称出各袋白 糖的重量（单位：g）如下： 486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503 499 503 509 498 487 500 508 求： （1）21袋白糖的平均重量x是多少？标准差s是多少？ （2）重量位于x-s与x+s之间有多少袋白糖？所占的百分比是 多少？
甲运动员
7
7
7
乙运动员
7
7
7
引例 有两位射击运动员ห้องสมุดไป่ตู้一次射击测试中各射靶 十次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙95787686 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？ 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
标准差
定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离， 常用s表示.
定义:标准差的平方叫做方差,
人教A版高中数学必修三课件2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1.pptx
s甲=1.73，s乙=1.10.
（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相等，但s乙<s甲，这表 明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可
以选乙参赛。 （3）标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知，如果样本各数据都相等，则标准差得0， 这表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若个体的值与 平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波 动幅度也很大，数据的离散程度很高，因此标准差描述了数 据对平均数的离散程度。
解2：打开Excel工作表，在一列输入数据，如将10个数据输入A1 到A10单元格中.（1）利用求和∑计算它们的和；（2）用函数 AVERAGE(A1:A10)求它们的平均数；（3）用函数VARPA(A1:A10) 求它们的方差；（4）用开方函数Sqrt(方差)计算它们的标准差.
解：（1）计算得x甲=7，x乙=7；
二、众数、中位数、平均数与频率分布直方 图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩 形的中点的横坐标。
例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题 中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均 用水量的众数是2.25t.如图所示：
频率分布直方图如下：
频率 组距
众数（最高的矩形的中点）
计算标准差的算法：s
1 n
[( x1
x
)2
(
x2
x
)2
(xn x )2 ]
S1算出样本数据的平均数x； S2算出每个样本数据与样本平均数的差 xi x
（i=1，2，……，n）； S3算出（(ix=i 1，x )22 ，…，n）； S4算出（i( x=i1，x2) 2，…，n）这n个数的平均数，即为样本方 差s2；
（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相等，但s乙<s甲，这表 明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可
以选乙参赛。 （3）标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知，如果样本各数据都相等，则标准差得0， 这表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若个体的值与 平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波 动幅度也很大，数据的离散程度很高，因此标准差描述了数 据对平均数的离散程度。
解2：打开Excel工作表，在一列输入数据，如将10个数据输入A1 到A10单元格中.（1）利用求和∑计算它们的和；（2）用函数 AVERAGE(A1:A10)求它们的平均数；（3）用函数VARPA(A1:A10) 求它们的方差；（4）用开方函数Sqrt(方差)计算它们的标准差.
解：（1）计算得x甲=7，x乙=7；
二、众数、中位数、平均数与频率分布直方 图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩 形的中点的横坐标。
例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题 中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均 用水量的众数是2.25t.如图所示：
频率分布直方图如下：
频率 组距
众数（最高的矩形的中点）
计算标准差的算法：s
1 n
[( x1
x
)2
(
x2
x
)2
(xn x )2 ]
S1算出样本数据的平均数x； S2算出每个样本数据与样本平均数的差 xi x
（i=1，2，……，n）； S3算出（(ix=i 1，x )22 ，…，n）； S4算出（i( x=i1，x2) 2，…，n）这n个数的平均数，即为样本方 差s2；
人教版高中数学必修三第二章第2节 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件(共27张PPT)
问题
有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶十次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9578768 6 77
x甲 7
x乙 7
问题1解答 解：可计算知S甲=2，S乙≈1.095，由S甲>S乙可以知 道甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由
此可以估计乙比甲的射击成绩稳定。
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.是直方图的平衡点.频率直方图中每 个小长方形的面积乘以小矩形底边中点的 横坐标之和。
三、 三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中 点，但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征.
2、中位数是样本数据所占频率 的等分线，它不受少数几个极端值的 影响，这在某些情况下是优点，但它 对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
2、标准差算法及其公式为：
1）算出样本数据的平均数 。 2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： 3）算出（２）中 的平方。 4）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。 5）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
s
1 n
[(
x1
x)2
( x2
x)2
( xn
x)2
]
3.关于标准差的说明： 1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
3.关于标准差的说明：
1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
2）从标准差的定义和计算公式都可以得出S≥0。
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∴s2＝(9＋1＋1＋0＋4＋9)÷ 6＝4，∴s＝ 4＝2. ∴这组数据的方差为4，标准差为2.
探究 1 (1)记准公式，照式求值，分清先后，按部就班，不 急不躁，水到渠成． (2)列表是一个好方法！
思考题 1 (1)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2， 3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下 表：
2.2.2
用样本的数字特征估计总体的数 字特征 (第2课时)
1．掌握标准差、方差的定义和特征． 2．会求标准差、方差，并能用之解决有关问题．
1．重点：标准差、方差的计算． 2．难点：用标准差、方差解决有关问题．
要点1
标准差、方差
(1)标准差的求法： 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表 示，s＝ 1 [（x1－－ x ）2＋（x2－－ x ）2＋…＋（xn－ － x ）2]． n
【解析】 本题考查统计中的方差计算． 1 2 － x 甲＝90，且 s甲 ＝ [(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－ 5 90)2＋(93－90)2]＝4， 1 2 － x 乙＝90，且 s乙 ＝ 5 [(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－ 90)2＋(92－90)2]＝2. 所求方差为2. 【答案】 2
【解析】 由图可知 A 组的 6 个数为 2.5，10，5 ，7.5，2.5， 10， B 组的 6 个数为 15，10，12.5，10，12.5，10， 2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10 37.5 － 所以 x A＝ ＝ 6 ， 6 － x B＝ 15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10 70 ＝6. 6
(2)方差的求法： 标准差的平方 s2叫做方差． 1 s ＝ [(x1－－ x )2＋(x2－－ x )2＋…＋(xn－ － x )2]， n
2
其中，xn是样本数据， n是样本容量， x是样本平均数．
(3)总体方差与样本方差的关系： 总体方差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是反映 样本数据与样本平均极差的平方和的特征数．通常用样本方差 估计总体方差，当样本容量很大时，样本方差很接近总五个步骤
(1)算出样本数据的平均数－ x. (2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi－ － x (i＝ 1，2，3，…，n)． (3)算出(2)中的xi－－ x (i＝1，2，3，…，n)的平方． (4)算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差． (5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差．
(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描 述．极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的 极端值非常敏感，方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大 小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常用标准 差——样本方差的算术平方根来描述． (5)标准差的大小不会越过极差．
(6)方差、标准差、极差的取值范围：[0，＋∞)．当标准差、 方差为 0 时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据 没有离散性． (7)因为方差与原始数据的单位不同， 且平方后可能夸大了偏 差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上 是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差．
显然－ x A<－ x B，
又由图形可知，B组的数据分布比 A均匀，变化幅度不大， 故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以 SA>SB，故选B. 【答案】 B
(3)甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如下图所示， － x 1， － x 2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数， s1， s2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有 ( )
授 人 以 渔
题型一
标准差、方差的计算
例 1 (1)(高考真题· 江苏卷)抽样统计甲、乙两位射击运动员 的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ________．
学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 5号 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2＝________．
1 2 2 2 2 2 2 2 － 【解析】 x 甲＝7，s甲 ＝5(1 ＋0 ＋0 ＋1 ＋0 )＝5， 1 2 2 6 2 2 2 2 － x 乙＝7， s乙 ＝ (1 ＋0 ＋1 ＋0 ＋2 )＝ ， 5 5 2 ∴s甲 <s乙 ，∴方差中较小的一个为 s甲 ，即 s ＝5.
要点 3
标准差(方差)的两个作用
(1)标准差( 方差 )较大，数据的离散程度较大；标准差( 方差) 较小，数据的离散程度较小． (2) 在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决 策．在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．
对标准差和方差的理解
答：(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围 的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集 中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分 散． (2)若样本数据都相等，则s＝0. (3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离 散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准 差来衡量．
2 2 2 2
2 【答案】 5
(2)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本 平均数分别为－ x A和 － x B，样本标准差分别为SA和SB，则( )
A． － x A>－ x B，SA>SB C．－ x A>－ x B，SA<SB
B．－ x A<－ x B，SA>SB D．－ x A<－ x B，SA<SB
(2)计算数据5，7，7，8，10，11的标准差、方差．
【思路】 本题考查样本数据的标准差、方差定义． 【解析】 ∵－ x ＝(5＋7＋7＋8＋10＋11)÷ 6＝8，且
数据xi xi－ － x (xi－ － x )2 5 －3 9 7 －1 1 7 －1 1 8 0 0 10 2 4 11 3 9