高二数学椭圆的第二定义(1)

2
2
2
2
P到两焦点的距离分别为3.5和6.5 , x y 1 则:椭圆的标准方程为______25 75
2 2
4
(3).P为椭圆 4 + 3 =1上动点,则:|PF1|.|PF2|的 的最大值为______,最小值为____
x
2
y
2
点评 小结
求几何量(距离/长度/角)的最值的方法归纳 起来有以下三种方法: 法一.函数法: 首先要选择恰当的自变量, 构建“目标函数” 法二.均值不等式法:
y B1 B2 -a≤x≤a, -b≤y≤b
A1（-a,0）A2（a,0） B1（0,b）B2（0,-b）
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
A2 Y
＿
图形 几何 性质
∣
∣
A1
F1
F2
A2
x
B1
＿
F1 O F2
B2
X
A1
范 围 对 称 顶 点
-b≤x≤b,-a≤y≤a
A1（0,-a ）A2（0,a） B1（-b,0） B2（b,0）
y M
•
N
o
F
•
x
回顾椭圆的基本性质
一.椭圆中的基本元素
1.基本量: a、b、c、e 几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率； 相互关系：
c a b
2 2
2
c e a
2.基本点：顶点、焦点、中心 3.基本线: 对称轴
二、椭圆的基本性质
方程
x y 2 1 2 a b
关于x轴，y轴，原点对称 关于x轴，y轴，原点对称
离心率
c e （0 e 1） a
c e （0 e 1） a
• [问题]
已知动点M与定点F(c，0)的距离和它与定直线 2 a c • x= — 的距离的比是常数 — (a>c>0) 。求点 M 的轨迹。 a c • 分析解答：
它表明动点M的轨迹是椭圆,由此我们得到椭圆的 第二种定义:
椭圆的定义2:
平面内到定点F和到定直线L(FL)的距离之比等于
平面内,到定点F的距离和到定直线L（F L）的 距离之比等于常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆。 其中定点F就是椭圆的一个焦点，e就是其离心率， 定直线L叫做椭圆的准线。 依据椭圆的对称性,椭圆有两条准线.
A o B
B2 B1
x
P
A1
o
• A2 P x
B99
•
• • • • • • •
分析：(1)先判断点P是否焦点，因为a2=2，b2=1， 所以c=1，点P是右焦点，所求的弦是焦点弦AB。 x2+2y2=2与y=x-1联立消去y，得3x2- 4x=0 ， |AB|=2a-e(x1+x2)=2 2 -(4/3)• 2/2 =42/3 (2) “等分长轴”，分点的横坐标依次组成一个等 差 数列，它对应的焦半径|A1P|，|B1P|，|B2P|，…， |B99P|，|A2P|也组成一个等差数列， 首项是a+c， 最后一项是 a-c (a+c)+ ( a-c)
应用举例:
x=5cosθ
1.椭圆
y=4sinθ
2
(θ为参数) 的离心率为____
2.已知椭圆 x + y =1 3
2
(1).求:x+y的最大值和最小值;
(2).求椭圆上的动点P到直线x-y+6=0的距离的 最小值和最大值.
x y 3.求椭圆 a + b =1(a>b>0)的
2
2
2
2
内接矩形的面积的最大值. 想一想:
2
<例2>
1.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分, 则:离心率e=______
<例2> 2离心率 e=
,且两准线间的距离为4的椭圆的 标准方程为____________
3.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线 的距离为( ) A. 8 5 B. 4 5 C. 8 3 D. 4 3
25 3 4.离心率e= ,一条准线方程为y=3 5
5
2 2
5
3
3
<例3>、已知椭圆 有内一点P（1，－1）， F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使 取最小值，则点M的坐标为（ ） A B
C
D
变
式
求:|MP|+|MF|的最大值和最小值.
<例4>
y x 过椭圆 a + =1的左焦点F1任作一条弦AB, b
2
2
2
2
请判断:以AB为直径的圆与左准线的位置关系.
y x 椭圆 a + b =1上的点P与其两焦点 F1、F2的连线段分别叫做椭圆的左 焦半径和右焦半径,统称“焦半径”。
2 2
2
<例5> 焦半径公式及其应用
2
设点P（x0,y0),求证：
ห้องสมุดไป่ตู้
|PF1|=a+ex0,
|PF2|=a-ex0
思考：焦点在轴上的焦半径公式呢？
焦点在y轴上时,
N
y M F1 o x
设 P(x0，y0) 是椭圆上的点， 则:焦半径公式为:
y=a2/c
y
M
|PF1|=a +ey0，
|PF2|=a-ey0
F2 •
•P
o x
y=-a2/c
F1 •
N
（1）.点P为椭圆上动点,F为它的一个焦点, 则:|PF|的最大值为___,最小值为____
x y (2).椭圆 a + b =1(a>b>0)上一横坐标为3的点

注意: 椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点
的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固
有的性质(如:距离\角),要注意区别。 中心到准线的距离：d=
a
2
c
焦点到准线的距离：d= 两准线间的距离：d=
a
2
2
c
-c
2a c
[精典精范例选讲与知能训练]
<例1> x2 y 椭圆 100 + 36 =1上一点P到右准线的距离 为10,则:点P到左焦点的距离为( ) A.14 B.12 C.10 D.8
法三.几何法: 结合图形直接在图上找到(作出)最值.
•
•
2 x < 例题6> 已知椭圆 — + y2 =1， 点 P(1，0)。 2 (1)求过点P，倾角为45o的直线被椭圆截得的弦长。
• (2) 椭圆的长轴100等分，过每个分点作长轴A1A2 • 的垂线交椭圆的上半部于B1、B2、…B99，求 • |A1P|+|B1P|+|B2P|+…+|B99P|+|A2P| y • y
y M
x=
•
a2 — c N
• 在已知直角坐标系中，设 • M(x，y)为轨迹上任意一点。 • ———— = — (x-c)2+y2 c 2 a a |— c - x|
o
F
•
x
(a2-c2)x2+a2 y2=a2(a2-c2) 设b2=a2-c2代入，两边同除 a2b2得标准方程
2 2 y x —+— =1 2 2 a b
椭圆面积最大的内接矩形是正方形吗? 有可能是正方形吗?why? 圆的内接矩形呢?
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我们既然收取了吴员外的制作费用，并且已经答应了帮他给酒店挂起来，就必须把这事情给办好！这就派我俩送来了。”抬牌 匾的另一个伙计问：“老板您看看，我们把这个牌匾挂在哪里合适啊？”老板过来仔细地看看这个漂亮大方的“景德镇第一酒 店”烫金牌匾，再抬头望望酒店门楼上高高悬挂着的“盛元酒店”普通门匾，爽朗地对他们说：“想必你们也已经听说了，这 个‘景德镇第一酒店’的烫金牌匾，原本是吴员外与鄙酒店打赌给输掉了以后，才为我们制作的。如今他人已经去了，这个牌 匾也就没有意义了！我们‘盛元酒店’到底是否能够称得上景德镇第一，应该是以人们的口碑为准的，与这个牌匾没有一点儿 关系，我们不需要挂它。还请二位把它抬走吧！”从此之后，“景德镇第一酒店”的烫金牌匾虽然并没有挂在“盛元酒店”的 门楼上，但这个“第一”，倒是真得植根在景德镇上人们的心里了。每当镇上人家有亲朋造访，老友重逢时，大家往往会建议： “咱们到‘景德镇第一酒店’喝几杯去！”相比之下，那个“盛元酒店”的称谓，倒是很少被人们再提及了。78第六十四回 梁老夫妇喜享祖孙情|（辞别深巷好房东，精心照顾俩老人；做些经营补家用，俩老喜享祖孙情。）又为老妇人做了三日的针 灸后，张老郎中说：“老夫的任务已经完成，明儿个就不用再来接我了！以后，你们只要经常给她做一些适度的按摩刺激，多 陪她说说话逗逗乐，让她高高兴兴地慢慢康复就好了！”这个时候，老梁头已经能自己下地慢慢地挪动几步了。再看他身上的 那些个皮外伤，也早已全部结痂，并且有的痂已经开始脱落，露出了斑斑驳驳的新皮肉。张老郎中让他活动活动腰腿胳膊，看 看已经灵活多了，回头问耿正说：“膏药还有吗？”耿正说：“只剩三帖了。还需要买一些吗？”老先生说：“把那三帖在腰 间和双肩各贴一张吧。以后不用再贴了，慢慢地自行恢复就可以了！”高高兴兴地送张老郎中回去之后，耿正真心实意地要给 老先生留钱，说：“您老辛辛苦苦跑了这么多趟，说什么也得收下一些酬劳费的，否则我兄妹三人过意不去啊！”老先生执意 不收，说：“倘若收下了，老夫我可就大大地过意不去了嘞！你们不容易啊，守着那么两个伤病还没有痊愈的老人，你们的辛 苦和花费还会很多呢！你快回去吧，那边事情多，弟弟妹妹还等着呢！”耿正感慨万千，拱手与老先生道别，一路疾走返了回 来。这个时候，耿英已经在厨房里忙活着了。她先把米饭蒸上，然后又简单地烩上半锅子杂七杂八的菜，就开始精心为两位老 人做午饭了。为了这顿午饭，她特地去离门口不远的菜市上买回了两个青椒，三根黄瓜和半斤韭菜。至于虾米什么的，厨房里 原先就有呢。一会儿，两个新鲜的小炒菜和两大碗三鲜小混沌做