高中高二数学椭圆知识点整理

课题：椭圆
教学目标：
（1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义；
（3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；
教学重点：椭圆方程、离心率；
教学难点：与椭圆有关的参数取值问题；
知识清单
一、椭圆的定义：
(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数
()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点；
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2.
(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之
比为常数e ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到 焦点的距离可以转化为到准线的距离.
二、椭圆的数学表达式：
()0222121>>=+F F a a PF PF ;
(){}
.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M
三、椭圆的标准方程：
焦点在x 轴: ()0122
22>>=+b a b y a x ；
焦点在y 轴: ()0122
22>>=+b a b
x a y .
说明：a 是长半轴长，b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，
且满足.222c b a +=
四、二元二次方程表示椭圆的充要条件
方程()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件：
上式化为
122=+C
By C Ax ，12
2=+B
C y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B
C
A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B
C
A C <时，椭圆的焦点在y 轴上.
五、椭圆的几何性质（以()0122
22>>=+b a b
y a x 为例）
1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式
1,122
22≤≤b
y a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.
2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：
()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--
4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；
21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率
（1）椭圆焦距与长轴的比a
c
e =，()10,0<<∴>>e c a Θ（2）
22F OB Rt ∆,2
22
22
22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆
的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而
22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接
近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆.
6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为a
b 2
2.
7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.
例题选讲
一、选择题
1．椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）
A ．
23 B ．43 C ．22 D ．3
2
2．设p 是椭圆22
12516
x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，
则12PF PF +等于（ ）
A ． 4
B ．5
C ． 8
D ．10
3．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为2
1
，
则m=（ ）
A ．3
B ．2
3
C ．3
8
D ．3
2
4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2
3
＋y 2＝1上，顶点A 是椭
圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）
A ．2 3
B ．6
C ．4 3
D ．12
5．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点
F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）
A ．5
1 B ．5
2 C ．
55 D ．5
52 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的
直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A ．
32 B ．33 C ．22 D ．2
3 7．已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）
为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）
A ．23
B ．62
C ．72
D ．24
二、填空题：
8． 在ABC △中，90A ∠=o ，3tan 4
B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点
C ，则该椭圆的离心率e = ．
9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长
轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，
顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A C
B
+= .
11．椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作
一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．
三、解答题
12．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．
13．已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，
P ，b a 3=，求椭圆 的标准方程．
14．已知方程
1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 15．已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，
求α的取值范围。