江苏省南京市高一数学上学期期末考试试题
南京市2014－2015学年度第一学期期末学情调研测试卷
高 一 数 学
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A ＝{0，2，4，6}，B ＝{x|3＜x ＜7}，则A ∩B ＝ ▲ ．
2．函数y ＝sin(ωx －π4)(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为 ▲ ．
3．函数f(x)＝2－x 的定义域为 ▲ ．
4．设向量a ＝(1，－2)，b ＝(4，x)，若a ∥b ，则实数x 的值为 ▲ ．
5．已知f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜2，x ＋2，x ≥2，则f(f(1))的值为 ▲ ． 6．在平面直角坐标系中，已知角2π3的终边经过点P ，且OP ＝2(O 为坐标原点)，则点P 的坐标
为 ▲ ．
7．已知f(x)是定义域为R 的偶函数，且x ≥0时，f(x)＝3x －1，则f(－1)的值为 ▲ ．
8．求值：2log212－log29＝ ▲ ． 9．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜π)的部
分图象如图所示，则φ的值为 ▲ ．
10．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)
单调减函数．若f(2x ＋1)＋f(1)＜0，则x 的取值范围是 ▲ 11．已知函数y ＝loga(14x ＋b)(a ，b 为常数，其中a ＞0，a≠1)如图所示，则a ＋b 的值为 ▲ ．
12．化简：1－2sin40°cos40°sin40°＋cos140°＝ ▲ ． 13．已知在△ABC 中，∠A ＝π2，AB ＝2，AC ＝4，AF →＝12AB →，CE →＝12CA ，BD ＝14BC ，则DE ·DF 的值为_______．
14．若f(x)＝x(|x|－2)在区间[－2，m]上的最大值为1，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共58明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）
已知cos ＝－35 ，0＜＜．
（1）求tan 的值；
（第13题图）
（）求sin(α＋π3)的值．
16．（本小题满分8分）
已知向量a ，b 满足|a|＝2，|b|＝1，a ，b 的夹角为120°．
（1）求a·b 的值；
（2）求向量a －2b 的模．
17．（本小题满分10分）
已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，－sin β)．
（1）若α＝π2，β＝－π6，求向量a 与b 的夹角；
（2）若a·b ＝22，tan α＝17，且α，β为锐角，求tanβ的值．
18．（本小题满分10分）
如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD ，其中AB ＝40 米，BC ＝30 米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH ，要求A 、B 、C 、D 四个点分别在矩形EFGH 的四条边(不含顶点)上．设∠BAE ＝θ，EF 长为y 米．
（1）将y 表示成θ的函数；
（2）求矩形区域EFGH 的面积的最大值．
19．（本小题满分10分）
已知函数f(x)＝3sinx ＋cosx ．
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）设g(x)＝f(x)cosx ，x ∈[0，π2]，求g(x)的值域．
(第18题图) A B C D F G H θ
20．（本小题满分12分）
若函数f(x)和g(x)满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y＝f(x)－g(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上具有关系G．
（1）若f(x)＝lgx，g(x)＝3－x，试判断f(x)和g(x)在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f(x)＝2|x－2|＋1和g(x)＝mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．。
2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{x |x 2≤4，x ∈R }，则A ∩B ＝（ ） A ．∅ B ．{1}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】由24x ≤，解得22x -≤≤，故{}2B x x =|-2≤≤，所以{}1,2A B =.故选：C 【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知向量(1,2)OA =-，(1,1)OB =-，则向量AB 的坐标为（ ） A ．（－2，3） B ．（0，1）C ．（－1，2）D ．（2，－3）【答案】D【解析】利用向量减法运算，求得AB . 【详解】依题意()()()1,11,22,3AB OB OA =-=---=-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，属于基础题.3．已知a ＝log 0.81.2，b ＝1.20.8，c ＝sin 1.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】利用0,1分段法，判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】0.80.8log 1.2log 10a =<=，0.801.2 1.21b =>=，由于ππ1.232<<，所以0sin1.21c <=<，所以a c b <<.故选：B 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式和三角函数比较大小，属于基础题. 4．函数()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．,8x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得()f x 的定义域. 【详解】 由ππ2π42x k +≠+，解得ππ28k x ≠+，所以()f x 的定义域为,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：C 【点睛】本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题.5．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．4C ．2πD ．4π【答案】B【解析】利用扇形面积公式求得扇形的半径，进而求得AB 的长. 【详解】设扇形的半径为r ，依题意2124,22r r ⋅⋅==.所以AB 224r α=⋅=⋅=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查扇形面积公式，考查扇形弧长计算，属于基础题.6．若向量,a b 满足：()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥，则a b -=（ ）A ．1B ．2C ．5D 【答案】D【解析】利用已知条件求得2,a b b ⋅，由此求得a b -r r的值.【详解】由()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥得()()222102220a b a a a b a b a b b a b b a b b ⎧+⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨+⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩，化简得212a b b ⎧⋅=-⎨=⎩.所以()22221225a b a ba ab b -=-=-⋅+=++=.故选：D 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7．函数212ln ||()x f x x ⋅=图象的大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性，选出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，由此排除B,C 选项.由于()()222221212212,f e f e e e e e ==⋅<，所以当0x >时，()f x 存在减区间，由此排除D 选项. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.8．安装了某种特殊装置的容器内有细沙10cm 3，容器倒置后，细沙从容器内流出，tmin 后容器内剩余的细沙量为y ＝101+at（单位：cm 3），其中a 为常数．经过4min 后发现容器内还剩余5cm 3的沙子，再经过xmin 后，容器中的沙子剩余量为1.25cm 3，则x ＝（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】C【解析】根据已知条件求得a 的值，由此列方程，求得x 的值.【详解】当4t =时5y =，所以14510a +=，即11114lg5,4lg51lg,lg 242a a a +==-==⋅.设经过min y 后，剩余沙子为111lg 425104y +⋅=，即1411l g 1011241lg 421510101024yy y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭+⋅⎢⎥⎣⎦⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭，即1341122y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,124y y ==.所以再经过的时间1248x =-=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题.二、多选题9．下列各选项中，值为1的是（ ） A ．log 26·log 62 B ．log 62＋log 64C ．()()112222⋅D．((112222+-【答案】AC【解析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项. 【详解】对于A 选项，根据log log 1a b b a ⋅=可知，A 选项符合题意. 对于B 选项，原式()66log 24log 81=⨯=≠，B 选项不符合题意. 对于C选项，原式((11222211⎡⎤==⎣⎦⋅=+，C 选项符合题意.对于D选项，由于(()((1111222222222222-+⎡⎤=⎣⋅⎢⎥⎦4221=-=≠，D 选项不符合题意. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题. 10．记函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为G ，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．直线12x π=-是图象G 的一条对称轴D ．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度，得到图象G 【答案】ABC【解析】根据三角函数的图像与性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，故A 选项正确. 由πππ2232x -≤-≤，解得π5π1212x -≤≤，所以函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 选项正确. 由于ππππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以直线12x π=-是图象G 的一条对称轴，故C 选项正确.sin 2y x =向右平移π3得到π2πsin 2sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质，包括周期性、单调性、对称性和图像变换等知识，属于基础题.11．已知函数f （x ）＝x ，g （x ）＝x －4，则下列结论正确的是（ ） A ．若h （x ）＝f （x ）g （x ），则函数h （x ）的最小值为4 B ．若h （x ）＝f （x ）|g （x ）|，则函数h （x ）的值域为RC ．若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则函数h （x ）有且仅有一个零点D ．若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则|h （x ）|≤4恒成立 【答案】BCD【解析】对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项. 【详解】对于A 选项，()()()224424h x x x x x x =-=-=--，当2x =时，函数()h x 的最小值为4-，所以A 选项错误.对于B 选项，()224,444,4x x x h x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 的值域为R ，故B 选项正确.对于C 选项，()4,0424,044,4x h x x x x x x -<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪>⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 有唯一零点2，故C 选项正确.对于D 选项，由C 选项的分析，结合()h x 图像可知()4h x ≤恒成立，故D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】本小题主要考查函数的最值、值域和零点，考查分段函数，考查数形结合的思想方法，属于基础题.12．已知向量,a b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若存在实数λ，使得b a λ=，则a 与b 共线 B ．若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b a λ=C ．若a 与b 不共线，则对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+r r rD ．若对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+r r r，则a 与b 不共线【答案】ACD【解析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项. 【详解】根据平面向量共线的知识可知A 选项正确.对于B 选项，若a 与b 共线，可能0a =，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b a λ=，所以B 选项错误.根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.三、填空题13．已知a 和b 都是单位向量，且0,2a b c a b ⋅==+，则向量b 与c 的夹角的余弦值是____．【解析】利用cos ,b c b c b c⋅=⋅求得向量b 与c 的夹角的余弦值.【详解】依题意cos ,b c b c b c⋅=⋅()2222442b a ba b a b ⋅+====+⋅+.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模的运算，考查向量夹角的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．在△ABC 中，已知7sin cos 13A A ＋＝，则sinAcosA 的值为____，tanA 的值为____．【答案】60169-125- 【解析】利用同角三角函数的基本关系式，求得sin cos ,tan A a A 的值. 【详解】 由7sin cos =13A A +两边平方得496012sin cos ,sin cos 169169A A A A +==-.由于A 是三角形的内角，故A 为钝角，所以sin cos 0A A ->，而()2289sin cos 12sin cos 169A A A A -=-=，所以17sin cos 13A A -=.由17sin cos 137sin cos 13A A A A ⎧-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝解得125sin ,cos 1313A A ==-，所以sin 12tan cos 5A A A ==-. 故答案为：（1）60169-（2）125-【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15．已知函数f （x ）（x ∈R ）是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩剟…则376f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】14【解析】根据函数()f x 的周期性、奇偶性和分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】 依题意3711111111π42sin66666f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ1sin 2πsin 662⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.371111162224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：14【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 16．已知A ，B 是函数()sin 2xf x π=的图象与函数()cos2xg x π=的图象的两个不同的交点，则线段AB 长度的最小值是______．【解析】求得()(),f x g x 在一个周期内的两个交点坐标，由此求得AB 长度的最小值. 【详解】()f x 和()g x 的周期为2π4π2T ==，由()()f x g x =得ππsin cos 22x x =，在[]0,4x ∈时，有ππ24x =或π5π24x =，记得12x =或52x =，不妨设15,,,2222A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以AB 长度的最小值为AB ==.【点睛】本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.四、解答题17．已知向量()()2,,1,6a m b m ==-． （1）若//a b ，求实数m 的值； （2）若a b a b +=-，求实数m 的值． 【答案】（1）3-或4；（2）14【解析】（1）利用两个向量平行的条件列方程，解方程求得m 的值；（2）将a b a b +=-两边平方，求得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得m 的值.【详解】（1）由于//a b ，所以()2610m m ⋅--=，解得3m =-或4m =.（2）将a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，所以0a b ⋅=，即()2160m m -+=，解得14m =.【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查向量模的运算、数量积的运算，考查方程的思想，属于基础题.18．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （－3，m ），且4sin 5α=． （1）求实数m 的值；（2）求sin(2)cos()3sin cos 22παππααπα-++⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）4；（2）17【解析】（1）根据三角函数的定义列方程，解方程求得m 的值. （2）由（1）求得cos α的值，利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】（1）由于角α的终边经过点()3,P m -，且4sin 05α=>，所以0m>，且4sin 5α==，从而()2225169m m =+，即216m =，解得4m =. （2）由（1）知()4,3,4m P =-，所以3cos 5α==-，所以sin(2)cos()sin cos 13cos sin 7sin cos 22ππααππαααααα-++--==-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题.19．已知函数()2x x e ae f x --=是奇函数，其中e 是自然对数的底数．（1）求实数a 的值；（2）若f （lgx ）＋f （－1）＜0，求x 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）()0,10【解析】（1）根据奇函数的性质，利用()00f =列方程，解方程求得a 的值. （2）利用函数的奇偶性和单调性化简不等式，并由此求得不等式的解集. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，所以()1002af -==，解得1a =. （2）由（1）得()122x x e f x e=-，由于1,2xx e e -都在R 上递增，所以函数()122x x e f x e=-在R 上递增，根据()f x 为奇函数得()()()lg 11f x f f <--=，所以lg 1x <，解得010x <<.即不等式的解集为()0,10. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20．如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为65m ．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动tmin 后，他距离地面的高度为h ，求h 关于t 的函数解析式；（2）已知在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？ 【答案】（1）π6550cos ,015t h t ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭；（2）20min 【解析】（1）建立平面直角坐标系，根据摩天轮的转动速度，结合三角函数的知识，求得h 关于t 的解析式.（2）由40h >列不等式，解不等式求得距离地面超过40m 的时间范围，由此求得游客可以观看到游乐场全景的时间. 【详解】（1）如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为x 周，建立平面直角坐标系.设游客的位置为点P .因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30min 转动一圈，所以OP 在min t 内所转过的角为2πt πt3015=.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以，以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为πt π152-，因此P 点的纵坐标为ππ50sin 152t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.从而游客距离地面的高度πππ50sin 656550cos 15215t t h ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0t ≥.（2）令π6550c o s 4015t h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得π1co s 152t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以ππt 5π2π2π3153k k +<<+，即3053025k t k +<<+，k ∈N ，令0k =，则525t <<.由于在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25520min -=.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查三角不等式的解法，属于中档题. 21．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，D 为BC 中点，2AE EB =,12AF FC =．（1）若3A π∠=，求AD EF ⋅的值；（2）若0DE DF ⋅=，求AB AC ⋅uu u r uuu r的值． 【答案】（1）12-；（2）818【解析】（1）利用向量加法、减法和数量积运算，化简求得AD EF ⋅的值.（2）利用向量加法、减法和数量积运算，结合0DE DF ⋅=，化简求得AB AC ⋅uu u r uuu r的值. 【详解】（1）由于D 是BC 的中点，所以()12AD AB AC =+，由于2AE EB =,12AF FC =，所以21,33AE AB AF AC ==.所以AD EF ⋅()112233AB AC AC AB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2212112333AB AB AC AC ⎛⎫=--⋅+ ⎪⎝⎭22111366AB AB AC AC =--⋅+22111166333626-⨯-⨯⨯⨯+⨯33121222=--+=-.（2）()21113262DE AE AD AB AB AC AB AC =-=-+=-， ()11113226DF AF AD AC AB AC AB AC =-=-+=--，所以11116226DE DF AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211212129AB AC AB AC=-++⋅323049AB AC =-++⋅=,解得818AB AC ⋅=.【点睛】本小题主要考查向量加法、减法和数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22．已知函数f （x ）＝sinx ，g （x ）＝lnx ． （1）求方程()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[0，2π]上的解； （2）求证：对任意的a ∈R ，方程f （x ）＝ag （x ）都有解；（3）设M 为实数，对区间[0，2π]内的满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4的任意实数x i （1≤i ≤4），不等式()()()()()()122334M f x f x f x f x f x f x -+-+-…成立，求M 的最小值． 【答案】（1）π4或5π4；（2）详见解析；（2）4【解析】（1）利用诱导公式化简()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合同角三角函数的基本关系式求得tan x 的值，由此求得方程的解.（2）将a 分成0a =和0a ≠两种情况，结合零点存在性证得结论成立.（3）先证得4M ≥，再证得()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，由此求得M 的最小值为4. 【详解】（1）因为，()()πsin ,2f x x f x f x ⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以πsin sin 2x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos x x =，且[]0,2πx ∈.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x +=矛盾.所以cos 0x ≠，从而tan 1x =.又[]0,2πx ∈，所以π4x =或5π4x =. （2）当0a =时，由()()f x ag x =得sin 0x =，即πx =是该方程的一个解；当0a ≠时，令()1ln sin h x x x a =-.因为()h x 的图像在区间22,a ae e -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦上连续不断，且2221211sin 0a a h ee a a a a a --⎛⎫⎛⎫=--≤-+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2221211sin 0a a h e e a a a a a -⎛⎫⎛⎫=-≥-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在性定理可知，存在220,aax e e-⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，使得()00h x =.因此，当0a ≠时，方程()()f x ag x =有解0x x =. 综上所述，对任意a R ∈，方程()()f x ag x =都有解. （3）先证：4M ≥. 取1234π3π0,,,2π22x x x x ====，122334sin sin sin sin sin sin 1214M x x x x x x ≥-+-+-=++=.再证：当123402πx x x x ≤<<<≤时，都有()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，即1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.①若2πx ≤，因为234π2πx x x ≤<<≤，于是2341sin ,sin ,sin 0x x x -≤≤，所以2334sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，而12sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤.②若3πx ≤，1223sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，34sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤；③若23πx x <<，1223sin sin 1,sin sin 2x x x x -≤-≤，34sin sin 1x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤，于是对任意满足条件的1234x x x x <<<，都有1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.综上所述，M 的最小值为4. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。
江苏省南京市 学年高一上学期期末考试数学试题 含答案
是半径为
1，圆心角为
π 3
的扇形，点
A
在弧
⌒ PQ
上(异于点
P，Q)，过点 A
作 AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为 B，C．记∠AOB＝θ，四边形 ACOB 的周长为 l．
（1）求 l 关于 θ 的函数关系式； （2）当 θ 为何值时，l 有最大值，并求出 l 的最大值．
Q C
A
θ O
BP
（第 18 题图）
y 2
O
－1π2
π 6
x
(第 16 题图)
2 南京清江花苑严老师
17．（本小题满分 14 分）
已知 sinα＝－47 3，α∈(－π2，0)． （1）求 cos(π4＋α)的值； （2）若 sin(α＋β)＝－3143，β∈(0，π2)，求 β 的值．
18．（本小题满分 16 分）
如图，已知 OPQ
解得
cosβ＝12，sinβ＝
3或 2
cosβ＝2938，sinβ＝－5958
3(舍去)．„„„„„„ 12 分
因为 β∈(0，π2)，所以 β＝π3．
„„„„„„ 14 分
注：第(1)问 6 分，求出 cosα 的值得 2 分(公式 1 分，结果 1 分)，求 cos(π4＋α)共 4 分，(公式 2 分，
4．已知 tanα＝2，则 tan(α＋π4) 的值是 ▲ ．
5．若函数 f(x)＝cosx＋|2x－a| 为偶函数，则实数 a 的值是 ▲ ．
6．已知向量 a＝(1，2)，b＝(－2，1)．若向量 a－b 与向量 ka＋b 共线，则实数 k 的值是 ▲ ．
7．已知角 α 的终边经过点 P(12，5)，则 sin(π＋α)＋cos(－α) 的值是 ▲ ．
江苏省南京市高一上学期期末复习达标检测数学试题
高一期末复习达标检测卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是*N U ={}2,3,4,6,9A ={}*4,NB x x x =>∈（ ）A. B.C.D.{}6,9{}2,3{}2,3,4{}24x x ≤≤2. 点落在（ ）(sin100,cos100)P ︒︒A. 第一象限内B. 第二象限内C. 第三象限内D. 第四象限内3. 同时满足：①，②，则的非空集合M 有（ ）{}1,2,3,4,5M ⊆a M ∈6a M -∈A. 6个B. 7个C. 15个D. 16个4.已知，，则（ ）2log 3m =3log 7n =42log 56=A.B.C.D.31mn mn ++321m n m n ++++31mn mn m +++31mn mn m +-+5.函数的图象大致是（ ） 13()cos313xxf x x -=+A.B.C.D.6.若，的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则（ ）αβA.B.C. D.sin sin 0αβ+=cos cos 0αβ+=22sin sin 1αβ+=tan tan 0αβ-=7.已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><120x x π<……，则（ ） 123()()4f x f x ==12cos()x x -=A. B.C.D.3434-8.已知函数的定义域为，且函数的图象关于点对称，对于任意的x ，总有()y f x =R ()1y f x =-()1,0成立，当时，，函数，对任意()()22f x f x -=+()0,2x ∈2()21f x x x =-+2()()R g x mx x x =+∈，存在，使得成立，则满足条件的实数m 构成的集合为（ ）R x ∈R t ∈()()f x g t >A. B. C. D. 14m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭14m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭104m m ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭14m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.关于x 的不等式的解集可以是（ ）230ax x ++>A.B. C.D. {}3x x >R ∅312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭10.已知点是角终边上一点，则（）(,2)(0)P m m m ≠αA.B. C.D.tan 2α=sin α=sin()2sin 2παπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭223sin cos 5αα-=11.已知函数的图象如图所示，则（ ） ()sin()0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭A. 函数解析式 ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4π()f x C. 直线是函数图象的一条对称轴 1112x π=-()f x D. 函数在区间上的最大值为2 ()f x ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.设函数，，下列正确的是（ ）ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩22()(1)2g x x m x m =-++-A. 当时，有5个不相等的实根 3m >()f f x m =⎡⎤⎣⎦B. 当时，有4个不相等的实根 0m =()g g x m =⎡⎤⎣⎦C. 当时，有6个不相等的实根 01m <<()f g x m =⎡⎤⎣⎦D. 当时，有5个不相等的实根 2m =()g f x m =⎡⎤⎣⎦三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数的最小正周期是______. tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭14.设：，：若是的必要条件，则m 的取值范围是______.α13x ≤≤β124().m x m m ++∈R ……βα15.数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是__________.16.已知a 为正数，函数在区间和上的最大值分别记为和，若()sin f x x =[0,]a [,2]a a 1M 2M，则______，a 的取值范围为______.122M ≥1M =四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题10.0分）设全集，已知集合 U R ={|228}.{|xA xB x y ===……（1）求A B,().UB A ð（2）已知非空集合，求实数a 的取值范围. {}|1,C x x a C A C =<<= 且18.（本小题12.0分）（1）已知角的终边经过点，求的值；α(4,3)P -2sin cos αα+（2）已知角终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为，求的值. α3:42sin cos αα+19.（本小题12.0分） 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为.()2sin()(0)3f x x πωω=->2π（1）求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程；()f x （2）先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上()y f x =12π各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x 的取值范围. 12()g x 1()2g x …20.（本小题12.0分） 已知函数，. 22()log (1)1f x x =+-1()2xg x +=-（1）求证：为奇函数；()f x （2）若恒成立，求实数k 的取值范围； (2)2()xf kg x -≥（3）解关于a 的不等式. ()(2)22g a g a a --≤-21.（本小题12.0分）已知函数（且）.41()log 2x a xf x +=0a >1a ≠（1）试判断函数的奇偶性； ()f x （2）当时，求函数的值域；2a =()f x（3）已知，若，，使得，求实数a 的取值范()g x x =-[]14,4x ∀∈-[]20,4x ∃∈()()122f x g x -≥围.22.（本小题12.0分）设函数（，且）.()x x f x a a -=-R x ∈0a >1a ≠（1）若，证明是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；01a <<()y f x =（2）若，求使不等式恒成立时，实数t 的取值范围；()10f <()2(4)0f x tx f x ++-<（3）若，，且在上的最小值为－2，求实数m 的值. ()312f =22()2()x xg x a a mf x -=+-()g x [)1,+∞参考答案1.【答案】C 【解答】解：由题意知图中阴影部分对应的集合为， ()U A B ð因为全集，所以，*N U ={}{}*4,1,2,3,4U N B x x x =≤∈=ð所以图中阴影部分表示 (){}2,3,4U A C B = 故选：C. 2.【答案】D 【解答】解：，，sin1000︒>cos1000︒<在第四象限，(sin100,cos100)P ︒︒故选D. 3.【答案】B 【解答】解：∵①； ②若，则， {1,2,3,4,5}M ⊆a M ∈(6)a M -∈当时，， 1a =65a -=当时，， 2a =64a -=当时，，3a =63a -=所以集合M 中，若有1、5，则成对出现，有2、4，则成对出现.∴满足题意点的集合M 有：、、、、、、共7个. {1,5}{2,4}{3}{1,5,2,4}{1,5,3}{2,4,3}{1,5,2,4,3}故选B. 4.【答案】C【解答】解：因为，， 2log 3m =3log 7n =所以， 232lg3lg 7log 3log 7log 7lg 2lg3mn ⋅=⋅==所以2422log 56log 56log 42=. 332222222log (72)log 7log 23log (723)log 7log 2log 31mn mn m⨯++===⨯⨯++++故选C. 5.【答案】A 【解答】解：因为， 1331()cos(3)cos3()1331x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++所以函数为奇函数，排除C ，D ；()f x 又，排除B ， 13()cos3013f ππππ-=>+故选：A. 6.【答案】A 【解答】解：因为，的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称， αβ则，，2k αβπ+=k Z ∈选项A ：，故A 正确， sin sin sin sin(2)sin sin 0k αβαπααα+=+-=-=选项B ：，故B 错误， cos cos cos cos(2)2cos 0k αβαπαα+=+-=≠选项C ：，故C 错误，22222sinsin sin sin (2)2sin 0k αβαπαα+=+-=≠选项D ：，故D 错误， tan tan tan tan(2)tan tan 2tan 0k αβαπαααα-=--=+=≠故选A. 7.【答案】C 【解答】解：由图象知函数的周期，即，得， 13762(2121212T ππππ=⨯-=⨯=2ππω=2ω=，71310101212()()sin(2)121212f f ππππϕ+==⨯+=-即，即，， 53232k ππϕπ+=+26k πϕπ=-k Z ∈，当时，，即， ϕπ<0k =6πϕ=-()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∵存在，满足， 120x x π≤<≤123()()4f x f x ==当，，[0,]x π∈112[,666x πππ-∈-∴，得，且，12226622x x πππ-+-=2123x x π=-13sin(2)64x π-=则， 1212cos()cos(23x x x π-=-设，则，即， 126x πα-=126x πα=+3sin 4α=则. 121223cos()cos(2)cos()cos(sin 36324x x x ππππααα-=-=+-=-==故选：C. 8.【答案】A 【解答】解：由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数()1y f x =-()1,0()y f x =()y f x =是奇函数，由任意的 x ，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是()()22f x f x -=+()()4f x f x +=()y f x =4，又当时，，则当时，，(0,2)x ∈2()21f x x x =-+(0,2)x ∈()01f x ≤<而是奇函数，当时，，()y f x =()2,0x ∈-()10f x -<≤又，，从而得，即时，()()22f f -=()()22f f -=-()()()2200f f f -===[)2,2x ∈-，()11f x -<<而函数的周期是4，于是得函数在R 上的值域是，()y f x =()y f x =()1,1-因为对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在Rx R ∈t R ∈()()f x g t >()1g x ≤-210mx x ++≤上有解，当时，取，成立，即得， 0m ≤2x =-4221m -≤-<-0m ≤当时，在R 上有解，必有，解得，则有， 0m >210mx x ++≤140m ∆=-≥14m ≤104m <≤综上得， 14m ≤所以满足条件的实数m 构成的集合为. 14m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭故选A. 9.【答案】BD 【解答】解：对于A ，若不等式的解集为， 230ax x ++>{|3}x x >若，此时，解得显然不符合题意， 0a =30x +> 3.x >-∴不等式的解集不会是.故A 错误；230ax x ++>{|3}x x >对于B ，当， 21120a a >⎧⎨∆=-<⎩即时，不等式的解集是R ，故B 正确；112a >230ax x ++>对于C ，若不等式的解集为，230ax x ++>∅则有，00a <⎧⎨∆≤⎩，与矛盾，21121(12)0a a ∆=-=+->0∆≤∴不等式的解集不可以是故C 错误； 230ax x ++>.∅对于D ，若不等式的解集是，230ax x ++>3{|1}2x x -<<则方程的两个实数根分别为和，此时符合题意，故D 正确. 230ax x ++=1-3220a =-<故选：BD. 10.【答案】ACD 【解答】解：因为点是角终边上一点，(,2)(0)P m m m ≠α所以，故A 正确， 2tan 2mmα==因为当时，，故B 错误；0m<sin 0α=<因为，故C 正确； sin()sin tan 2cos sin()2παααπαα-===+因为，故D 正确.2222222222sin cos tan 1213sin cos sin cos tan 1215αααααααα----====+++故选：ACD. 11.【答案】ABC 【解答】解：由题图知：函数的最小正周期， ()f x 453612T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭则，，所以函数.22πωπ==2A =()()2sin 2f x x ϕ=+将点代入解析式中可得， ,212π⎛⎫⎪⎝⎭22sin 6πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则，得，2()62k k Z ππϕπ+=+∈2()3k k Z πϕπ=+∈因为，所以，2πϕ<3πϕ=因此，故A 正确. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，故B 正确. 2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4π()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当时，，故C 正确.()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1112x π=-()2f x =当时，，所以， ,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()f x ⎡∈-⎣故D 错误. 故选：ABC. 12.【答案】BCD 【解答】解：由题意，作出的图象，如图所示：ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩对于A 选项，令，得 ()f x t =()()f f x f t m ==⎡⎤⎣⎦当时，有两个根：，，3m >()f t m =14t <-322t e >+方程有1个根，方程有2个根，故A 错误； 1()f x t =2()f x t =对于B 选项，当时，， 0m =2()2g x x x =--令，由，得， ()g x a =()0g a =122,1a a ==-当，即时，解得， 12a =222x x --=12x x ==当，即时，解得，故B 正确； 21a =-221x x --=-34x x ==对于C 选项，令，则，()g x a =()f a m =由题可知若有6个不相等的实根，则应有3个根，由图可得①， ()f g x m =⎡⎤⎣⎦()f a m =03m <≤设为的3个根，123a a a <<()f a m =所以， 1231,1,ln (2)a m a m a m --=+=-=由图可知最小根应大于的最小值， ()f a m =1a ()g x 即，解得②， 221min14(2)(1)1()(24m m m a m g x g +--+=-->==513m -<<由①②得，故C 正确；01m <<对于D 选项，令，()f x t =当时，方程，即，解得；2m =()2g t =230t t -=120,3t t ==当时，得；10()t f x ==121,3x x =-=当时，得，符合题意，故D 正确，23()t f x ==33454,2,2e x x x =-==+故选BCD.13.【答案】2π【解答】解：根据题意，结合正切函数图像性质，易知函数的最小正周期. tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2T ππω==14.【答案】 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【解答】 解：记的解集为A ，的解集为 B ，13x ……124m x m ++……因为是的必要条件，所以，βαA B ⊆当时，即，不满足；B =∅3m <-A B ⊆当时，要使得，则，解得， B ≠∅A B ⊆12411243m m m m +≤+⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩102m -≤≤故答案为：. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15.【答案】2π-【解析】【分析】本题考查了三角形中的几何计算，属于基础题.由题设可得，求出一个扇形的面积并乘以3，减去三角形面积的2倍即可.2AB BC AC ===【解答】解：由已知得， 23AB BC AC π===则，故扇形的面积为， 2AB BC AC ===23π的高为， ABC△2=莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为21322232ππ⨯-⨯⨯=-故答案为： 2π-16.【答案】127,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解答】解：如图是函数，的图象，sin y x =[]0,3x π∈若，在上单调递增，所以，此时，，02a π<<sin y x =[]0,a 1sin M a =21sin M a M >=这与已知矛盾，故，所以，2a π≥11M =当时，矛盾，所以，即， 522a π≥21M =122M≥522a π<54a π<所以，即 524a ππ≤<122M ≥2M ≤又因为当时，，或， 524a ππ≤<522a ππ≤<2sin M a =sin 2a ，即. sin sin 2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩2534723a a ππππ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩2736a ππ≤≤17.【答案】解：（1）∵， {|228}[1,3]xA x ≤=≤=， {|{|20}(2,)B x y x x ===->=+∞∴，U (,2]B =-∞ð∴，.[)1,A B =+∞ ()[]1,2U C B A = （2）∵，C A C = ∴，且C 为非空集合.C A ⊆故，解得， 13a a >⎧⎨≤⎩13a <≤∴实数a 的取值范围为.(]1,318.【答案】解：（1）∵角的终边经过点，α()4,3P -∴， 5OP ==∴，， 3sin 5α-=4cos 5α=∴； 22sin cos 5αα+=-（2）∵角终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为，α3:4∴，(4,3)(0)P a a a ±±≠当角终边在第一象限时，，，； α4cos 5α=3sin 5α=2sin cos 2αα+=当角终边在第二象限时，，，； α4cos 5α=-3sin 5α=22sin cos 5αα+=当角终边在第三象限时，，，； α4cos 5α=-3sin 5α=-2sin cos 2αα+=-当角终边在第四象限时，，，. α4cos 5α=3sin 5α=-22sin cos 5αα+=-19.【答案】解：（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为 ()f x 2π()f x .π所以，，所以，2ππω=2ω=()2sin(2)3f x x π=-由，可得，， 222232k x k πππππ--+……51212k x k ππππ-+……()k Z ∈所以函数的单调递增区间为， ()f x 5[,)1212k k k Z ππππ-+∈由得， 232x k πππ-=+5()212k x k Z ππ=+∈所以所求对称轴方程为 5().212k x k Z ππ=+∈（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线， ()y f x =12π:2sin(2)6C y x π=-把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象， 12()sin(26g x x π=-由得，所以， 1()2g x …1sin(2)62x π-…5222666k x k πππππ+-+……所以，62k x k ππππ++……所以x 的取值范围为[,).62k k k Z ππππ++∈【解析】本题主要考查了正弦型函数的周期性，单调性以及对称性，考查了正弦性函数的图象变换以及利用正弦函数的单调性解不等式，考查了运算能力以及推理能力，属于中档题.20.【答案】解：（1）证明：函数，即， 22()log 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭21()log 1x f x x +=-可得，解得或，可得定义域为，关于原点对称， 101x x +>-1x >1x <-{}11x x x <->或，则为奇函数； 2211()log log ()11x x f x f x x x -+-==-=-+-()f x （2）由或，解得，21x >21x <-0x >所以恒成立，即，()22()(0)x f k g x x -≥>221log 12122x x x k ++--≥-化为，即对恒成立， 121221x x x k ++-≥--()1212232212121x x x x x k ++≤+=++---0x >由，当且仅当即时，取得等号， ()23221322721x x ++-≥+⨯=-()222121x x =--1x =所以，即k 的取值范围是；7k ≤(],7-∞（3）不等式，即为，()(2)22g a g a a --≤-()(2)(2)g a a g a a -≤---设，即，可得在R 上递减，()()h x g x x =-1()2x h x x +=--()h x 所以，所以，解得，()(2)h a h a -…2a a -…1a …所以原不等式的解集为.[1,)+∞21.【答案】解：（1）因为（且，所以其定义域为R ，又41()log 2x a x f x +=0a >1)a ≠，所以函数是偶函数； 4114()log log ()22x xa a x x f x f x --++-===()f x （2）当时，，因为，当且仅当，即时取等，所以2a =241()log 2x x f x +=4+120,22x x x >≥21x =0x =，2241()log log 212x x f x +=≥=所以函数的值域为；()f x [1,+)∞（3），，使得，等价于. []14,4x ∀∈-[]20,4x ∃∈()()122f x g x -≥min min [()][()2]f x g x +≥令，，，t =[0,4]x ∈[0,2]t ∈令，则在上的最小值等于在上的最小值， ()222h t t t =-+()2g x +[]0,4()h t [0,2]在上的单调递减，在上的单调递增，所以在上的最小值为，所以()h t [0,1][1,2]()h t [0,2]()11h =.()min 1f x ≥⎡⎤⎣⎦当，因为当且仅当，即时取等，所以，01a <<4120,2,2x xx +>…21x =0x =41()log log 22x a a x f x +=…所以函数无最小值，此时实数a 不存在，()f x当，因为当且仅当，即时取等，所以，函数1a >4120,2,2x xx +>…21x =0x =41()log log 22x a a x f x +=≥的最小值为，，.()f x log 2a log 21a ≥2a ≤综上得：实数a 的取值范围为.(]1,222.【答案】（1）证明：的定义域为，关于原点对称， ()f x R 且，()()x x f x a a f x --=-=-∴为奇函数，()f x ∵，01a <<∴递减，递减，x y a =x y a -=-故是减函数；()f x （2）（且，()x x f x a a -=-0a >1)a ≠∵，()10f <∴， 10a a-<又，且，0a >1a ≠∴，01a <<故在上单调递减，()f x R 不等式化为，()2(4)f x tx f x +<-∴，即恒成立，24x tx x +>-2(1)40x t x +-+>∴，2(1)160t ∆=--<解得；35t -<<（3）∵， ()312f =∴，即， 132a a -=22320a a --=解得或（舍去）， 2a =12a =-∴，()()222()2()222222x x x x x x g x a a mf x m ---=+-=---+令，()22x x t f x -==-由（1）可知为增函数，()22x x f x -=-∵，1x ≥∴， 3(1)2t f ≥=令， 2223()22()22h t t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+-≥⎪⎝⎭若，当时，，∴； 32m ≥t m =2min ()22h t m =-=-2m =若时，当时，，解得，无解； 32m <32t =()min 2h t =-253122m =>综上，.2m =。
2023-2024学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{﹣1，0，1} C ．{﹣1，0，2}D ．{0，1}2．命题“∀x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，x +2＞0 B ．∃x ∈R ，x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∀x ∉R ，x +2＞0 3．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，4]D ．[4，+∞）4．已知角θ的终边经过点P （x ，﹣5），且tanθ=512，则x 的值是（ ） A ．﹣13B ．﹣12C ．12D ．135．已知a ＝log 0.32，b ＝log 0.33，c ＝log 32，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣17．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√328．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ）A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．a ＜0B ．a +b +c ＝0C ．4a +2b +c ＜0D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集是{x |x ＜﹣1或x ＞−13}11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f （x ）＝cot x ，其中cotx =tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）A ．定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }B ．在区间(π2，π)上单调递增C ．与正切函数有相同的对称中心D ．将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝cot x 的图象12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 ． 14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 ．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f （lgx ）＜f （1），则实数x 的取值范围是 ．16．已知函数f(x)=log 9x +12x −1的零点为x 1．若x 1∈（k ，k +1）（k ∈Z ），则k 的值是 ；若函数g （x ）＝3x +x ﹣2的零点为x 2，则x 1+x 2的值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明， 17．（10分）（1）已知a +a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln 2+（lg 5）2+lg 5lg 2+lg 20．18．（12分）设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x |x 2﹣5x +4≤0}，B ＝{x |m ≤x ≤m +1}． （1）若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值； （2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，2}D．{0，1}解：因为集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{﹣1，0，1，2}，故选：A．2．命题“∀x∈R，x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x+2＞0B．∃x∈R，x+2≤0C．∀x∈R，x+2＞0D．∀x∉R，x+2＞0解：命题为全称命题，则命题的否定为“∃x∈R，x+2＞0”．故选：A．3．若函数f（x）＝x2﹣mx+3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）解：函数f（x）＝x2﹣mx+3开口向上，对称轴方程为x=m 2，所以函数的单调递减区间为（﹣∞，m2 ]，要使在区间（﹣∞，2）上单调递减，则m2≥2，解得m≥4．即m的范围为[4，+∞）．故选：D．4．已知角θ的终边经过点P（x，﹣5），且tanθ=512，则x的值是（）A．﹣13B．﹣12C．12D．13解：由题意得，tanθ=512=−5x，故x＝﹣12．故选：B．5．已知a＝log0.32，b＝log0.33，c＝log32，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：∵log0.33＜log0.32＜log0.31＝0，∴b＜a＜0，∵log32＞log31＝0，∴c＞0，∴b＜a＜c．故选：D．6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣1解：由题意知火箭的最大速度v 达到10km /s ，故10=2ln(1+M m )，即1+Mm =e 5，∴M m =e 5−1． 故选：B ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32解：定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)=f(83π)=f(5π3)=f(2π3)=f(−π3)=cos(−π3)=12． 故选：C ．8．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）解：因为x y ＝10，（x ＞0且x ≠1），所以lgx y ＝lg 10＝1，即ylgx ＝1， 所以y ＝f （x ）=1lgx，所以函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上单调递减， 若f （m 2）＞f （2m ），则0＜m 2＜2m ＜1，或1＜m 2＜2m ，解得0＜m ＜12或1＜m ＜2．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ） A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab解：对于A ，由a ＜b ，两边都加上c ，可得a +c ＜b +c ，故A 正确； 对于B ，a ＜b ＜0，两边都乘以b ，可得ab ＞b 2，故B 不正确； 对于C ，a ＜b ＜0，则1a −1b =b−a ab ＞0，可知1a ＞1b，故C 不正确；对于D，a＜b＜0，则ba −ab=b2−a2ab=(b+a)(b−a)ab＜0，可得ba＜ab，故D正确．故选：AD．10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（）A．a＜0B．a+b+c＝0C．4a+2b+c＜0D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x＞−13}解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，所以a＜0且1，3为方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确；故{1+3=−ba1×3=ca，所以b＝﹣4a，c＝3a，所以a+b+c＝a﹣4a+3a＝0，B正确；4a+2b+c＝4a﹣8a+3a＝﹣a＞0，C错误；由不等式cx2﹣bx+a＝3ax2+4ax+a＜0可得3x2+4x+1＞0，解得x＜﹣1或x＞−13，D正确．故选：ABD．11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f（x）＝cot x，其中cotx=tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（）A．定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}B．在区间(π2，π)上单调递增C．与正切函数有相同的对称中心D．将函数y＝﹣tan x的图象向右平移π2个单位可得到函数y＝cot x的图象解：根据cotx=tan(π2−x)，所以余切函数的图象如图所示：对于A：函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正确；对于B：在区间(π2，π)上单调递减，故B错误；对于C ：与正切函数有相同的对称中心，都为（kπ2，0）（k ∈Z ），故C 正确；对于D ：将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝﹣tan （x −π2）＝cot x 的图象，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12解：因为扇形的半径为r ，弧长为l ，所以扇形的周长为2r +l ，面积为12lr ；因为2r +l ＝2×12lr ，所以l =2rr−1，且r ＞1；所以扇形的面积为S =12×2r r−1×r =r 2r−1=(r−1)2+2(r−1)+1r−1=（r ﹣1）+1r−1+2≥2√(r −1)⋅1r−1+2＝4，当且仅当r ﹣1=1r−1，即r ＝2时取等号，所以选项A 错误； 扇形的周长为L ＝2r +2r r−1=2（r ﹣1）+2r−1+4≥2√2(r −1)⋅2r−1+4＝8， 当且仅当2（r ﹣1）=2r−1，即r ＝2时取等号，此时圆心角为|α|=l r =42=2，α＝±2，选项B 错误； r +2l ＝r +4r r−1=r +4+4r−1=（r ﹣1）+4r−1+5≥2√(r −1)⋅4r−1+5＝9， 当且仅当r ﹣1=4r−1，即r ＝3时取等号，选项C 正确； 1r 2+4l 2=1r 2+(r−1)2r 2=1−2r +2r 2=2(1r −12)2+14]≥12，当r ＝2时取等号，所以选项D 正确．故选：CD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 2√2 ． 解：根据幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），可得9α＝3，求得α=12，故f （x ）=x 12=√x ．故f （8）=√8=2√2．故答案为：2√2．14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 89 ．解：∵cos （π3−x ）=sin(x +π6)=13，∴sin2(π3−x)=1﹣cos2（π3−x）＝1−19=89．故答案为：8 9．15．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（1），则实数x的取值范围是110＜x＜10．解：∵f（x）定义在实数集R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调增函数∴f（x）中（﹣∞，0）上是减函数又f（lgx）＜f（1）∴﹣1＜lgx＜1∴110＜x＜10故答案为：110＜x＜1016．已知函数f(x)=log9x+12x−1的零点为x1．若x1∈（k，k+1）（k∈Z），则k的值是1；若函数g （x）＝3x+x﹣2的零点为x2，则x1+x2的值是2．解：函数f(x)=log9x+12x−1是增函数，f（1）=−12＜0，f（2）＝log92＞0，满足f（1）f（2）＜0，所以函数的零点x1∈（1，2），所以k的值为1．函数f(x)=log9x+12x−1=12（log3x+x﹣2），函数的零点是y＝log3x与y＝2﹣x两个函数的图象的交点的横坐标x1，函数g（x）＝3x+x﹣2的零点为x2，是函数y＝3x与y＝2﹣x图象交点的横坐标，由于y＝log3x与y＝3x是反函数，关于y＝x对称，并且y＝2﹣x与y＝x垂直，交点坐标（1，1），所以x1+x2的值是2．故答案为：1；2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，17．（10分）（1）已知a+a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20．解：（1）因为（a 12+a−12）2＝a+a﹣1+2＝3+2＝5，又因为a 12+a−12＞0，所以a12+a−12=√5；（2）e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20＝2+1g5（lg5+1g2）+1g2+1＝2+1g5+1g2+1＝2+1+1＝4．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|m≤x≤m+1}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．解：（1）由x 2﹣5x +4≤0，解得1≤x ≤4，所以A ＝{x |1≤x ≤4}． 因为A ∩B ＝∅，且B ≠∅，所以m +1＜1或m ＞4，得m ＜0或m ＞4， 所以实数m 的取值范围是{m |m ＜0或m ＞4}．（2）因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，所以B ⊆A ， 所以{m ≥1m +1≤4，解得1≤m ≤3，所以实数m 的取值范围是{m |1≤m ≤3}．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．解：（1）由图可知A ＝2，T =4×(π3−π12)=π，所以ω=2πT=2．∵f （x ）＝2sin （2x +φ）的图象经过点(π12，2)， ∴π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，即φ=π3+2kπ，k ∈Z ．∵0＜φ＜π，所以φ=π3，∴f(x)=2sin(2x +π3)．（2）令π2+2kπ≤2x +π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)的减区间为[π12+kπ，7π12+kπ]，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)在[﹣π，0]上的减区间为[−11π12，−5π12]．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．解：（1）由 f （0）＝0，得a ＝1，此时f(x)=2x−12x +1．因为f(−x)=2−x−12−x +1=1−2x1+2x =−f(x)，所以f （x ）为奇函数，故a ＝1． 证明：（2）当a ＝3时，f(x)=3⋅2x−12x +1=3−42x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=42x 2+1−42x 1+1=4(2x1−2x2)(1+2x 1)(1+2x 2)， 因为x 1＜x 2，所以2x 1＜2x 2，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以4(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增．解：（3）y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，等价于（2x ）2+（1﹣a ）2x +1＝0有两个不同的实数解． 令t ＝2x （t ＞0），则t 2+（1﹣a ）t +1＝0在（0，+∞）有两个不同的实数解， 所以{(1−a)2−4＞0a −1＞0，解得a ＞3．所以a 的取值范围为（3，+∞）．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．解：由题可得，AB =ℎ2sinα，AC =ℎ1cosα． （1）当α＝30°时，AB ＝2h 2，AC =2√31， 所以S △ABC =12AB ⋅AC =2√31ℎ2，又因为h 1+h 2＝30，h 1，h 2≥0， 所以S △ABC =√31ℎ2≤√3(ℎ1+ℎ22)2=150√3，当且仅当h 1＝h 2＝15时取等号．所以荷花种植区域面积的最大值为150√3m 2．（2）因为h 1+h 2＝30，h 2＝4h 1，所以h 1＝6，h 2＝24，故AB =24sinα，AC =6cosα，α∈(0，π2)， 从而S △ABC =12AB ⋅AC =72sinαcosα=150， 所以sinαcosα=1225，① 所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925． 又因为α∈[0，π2]，所以sinα+cosα=75，② 由①②解得：sinα=35或45． 22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值；（2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，得f （x ）•f （2a ﹣x ）＝2x •22a ﹣x ＝1，即22a ＝1，所以a ＝0． （2）由g(x)=e 1x是（a ，b ）型函数，得g(x)⋅g(2a −x)=e 1x ⋅e 12ax −x =b ，则1x +12a−x =lnb ，因此x 2lnb ﹣2axlnb +2a ＝0对定义域{x |x ≠0}内任意x 恒成立，于是{lnb =02alnb =02a =0，解得a ＝0，b ＝1，所以a ＝0，b ＝1．（3）由h （x ）是（1，4）型函数，得h （x ）•h （2﹣x ）＝4，（1）当x ＝1时，h （1）•h （1）＝4，而h （x ）＞0，则h （1）＝2，满足h （x ）≥1；（2）当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2≥1恒成立，令log 2x ＝t ，则当t ∈（0，2]时，﹣t 2+mt +2≥1恒成立，于是m ≥t −1t 恒成立，而函数y =t −1t在（0，2]单调递增，则t −1t ≤32，当且仅当t ＝2时取等号，因此m ≥32； （3）当x ∈[﹣2，1）时，2﹣x ∈（1，4]，则ℎ(x)=4ℎ(2−x)=4−[log 2(2−x)]2+m⋅log 2(2−x)+2，由h （x ）≥1，得0＜−[log 2(2−x)]2+m ⋅log 2(2−x)+2≤4，令log 2（2﹣x ）＝u ，则当u ∈（0，2]时，0＜﹣u 2+mu +2≤4，由（2）知﹣u 2+mu +2≥1，则只需u ∈（0，2]时，﹣u 2+mu +2≤4恒成立，即m ≤2u +u 恒成立，又u +2u≥2√u ⋅2u =2√2，当且仅当u =√2时取等号，因此m ≤2√2， 所以实数m 的取值范围是：[32，2√2]．。
江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末统考数学试题Word版含答案
江苏省南京市2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合M ＝{x |0≤x ＜2}，N ＝{－1，0，1，2}，则M ∩ N ＝ ▲ ． 2．计算：lg4＋lg 52的值是 ▲ ．3．函数 f (x )＝(x －2)12的定义域是 ▲ ． 4．已知 tan α＝2，则 tan(α＋π4) 的值是 ▲ ．5．若函数 f (x )＝cos x ＋|2x －a | 为偶函数，则实数a 的值是 ▲ ．6．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)．若向量a －b 与向量k a ＋b 共线，则实数k 的值是 ▲ ． 7．已知角α的终边经过点P (12，5)，则sin(π＋α)＋cos(－α) 的值是 ▲ ．8．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(2－x )，x ＜1，2x ，x ≥1，则 f (－2)＋f (log 23) 的值是 ▲ ．9．在△ABC 中，若 tan A ＞1，则角A 的取值范围是 ▲ ．10．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ．若|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为 π3，则线段BD 的长度为 ▲ ．11．已知α∈(0，π2)，且满足 sin 2α_x001F_－3cos 2α_x001F_sin αcos α ＝2，则tan α 的值是 ▲ ．12．已知函数 f (x )＝sin(ωx －π3) (ω＞0)，将函数 y ＝f (x ) 的图象向左平移 π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值是 ▲ ．13．如图，已知函数f (x )的图象为折线ACB (含端点A ，B )，其中A (－4，0)，B (4，0)，C (0，4)，则不等式 f (x )＞log 2(x ＋2) 的解集是 ▲ ．14．若m ＞0，且关于x 的方程 (mx －1)2－m ＝x 在区间 [0，1] 上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，4)． （1）求向量a ＋b 与向量a 夹角的大小； （2）若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值．16．（本小题满分14分）已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ( A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π) 的图象如图所示． （1）求A ，ω，φ的值；（2）若x ∈[－π2，π12]，求f (x )的值域．(第16题图)已知sin α＝－437，α∈(－π2，0)．（1）求cos(π4＋α)的值；（2）若sin(α＋β)＝－3314，β∈(0，π2)，求β的值．18．（本小题满分16分）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为 π3的扇形，点A 在弧 ⌒PQ 上(异于点P ，Q )，过点A 作AB ⊥OP ，AC ⊥OQ ，垂足分别为B ，C ．记∠AOB ＝θ，四边形ACOB 的周长为l ．（1）求l 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，l 有最大值，并求出l 的最大值．19．（本小题满分16分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE →＝2EB →．M 是线段CE 上一动点． （1）若M 是线段CE 的中点，AM →＝m AB →＋n AD →，求m ＋n 的值； （2）若AB ＝9，CA →·CE →＝43，求 (MA →＋2MB →)·MC →的最小值．P（第18题图）MEDCBA(第19题图)如果函数f(x)在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f(x)是该定义域上的“和谐函数”．（1）求证：函数f(x)＝log2(x＋1)是“和谐函数”；（2）若函数g(x)＝x2－1＋t (x≥1)是“和谐函数”，求实数t的取值范围．江苏省南京市2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{0，1} 2．1 3．[2，＋∞) 4．－3 5．06．－1 7．713 8．5 9．(π4，π2) 10．711．3 12．2 13．(－2，2) 14．(0，1]∪[3，＋∞)注：第1、3、13题的答案必须是集合或区间形式，第9、14题可以用不等式表示；其它题严格按标准执行。
2019-2020学年江苏南京高一上学期期末数学试卷详解版
2019~2020学年江苏南京高一上学期期末数学试卷(详解)一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。
）2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知向量，，则向量的坐标为（ ）．D ∵向量，，∴，选项正确．故选．3.A.B.C.D.【答案】已知，，，则，，的大小关系是（ ）．B1.A.B.C.D.【答案】【解析】已知集合，集合，则（ ）．C ∵集合，集合，∴．故选．【解析】，，∵，∴，∴．故选．4.A. B.C.D.【答案】【解析】函数的定义域为（ ）．C ∵函数，则，，即，，∴函数的定义域为．故选．5.A.B.C.D.【答案】【解析】已知扇形的面积为，圆心角为弧度，则的长为（ ）．B∵扇形面积为，圆心角又为，∴，则，由，则．即，，解得．故的长为．故选．6.A.B.C.D.【答案】【解析】若向量，满足：，，，则（ ）．D 依题意，，，∴，，∴，∴，，∴，∴．故选．7.A.B.C. D.【答案】【解析】函数图象的大致为（ ）．A 的定义域为，故排除选项；，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项；又当时，，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故排除选项．故选．8.A.B.C.D.【答案】【解析】安装了某种特殊装置的容器内有细沙，容器倒置后，细沙从容器内流出，后容器内剩余的细沙量为（单位：），其中为常数．经过后发现容器内还剩余的沙子，再经过后，容器中的沙子剩余量为，则（ ）．C由题意可知，后，剩沙子，则，∴，又∵再过剩沙子，∴，∴，∴．故选．二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。
）9.A. B.C.D.【答案】A 选项：【解析】下列各选中，值为的是（ ）．AC根据换底公式有：，故正确；B 选项：C 选项：D 选项：，故错误；，故正确；原式的平方可得：，∴原式，故错误．故选 A C .10.A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】记函数的图象为，则下列结论正确的是（ ）．函数的最小正周期为函数在区间上单调递增直线是图象的一条对称轴将函数的图象向右平移个单位长度，得到图象ABC∵函数，∴函数的最小正周期为，故正确；令，，，，则函数在上单调递增，当时，在上单调递增，故正确；令，，则，，函数的对称轴为，，当时，函数的一对称轴为，故正确；将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故错误．故选 A B C .11.A.B.C.D.【答案】【解析】已知函数，，则下列结论正确的是（ ）．若，则函数的最小值为若，则函数的值域为若，则函数有且仅有一个零点若，则恒成立BCD 若，则，故取得的最小值．所以选项错误．若，则当时，，当时，．所以当时，，当时，．故的值域为．所以选项正确．若，当时，，当时，，当时，．故当时，解得，只有一个零点．所以选项正确．当时，单调递增，此时有，所以恒成立．故选项正确．一综上所述，结论正确的有、、．故选、、．12.A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】已知向量，是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（ ）．若存在实数，使得，则与共线若与共线，则存在实数，使得若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，，使得若对平面内的任一向量，均存在实数，，使得，则与不共线ACD若存在实数，使得，则不可能为零向量，所以与共线，故正确；若与共线，当为零向量时，不为零向量时，不存在实数，使得，故错误；若与不共线，则与可作为平面内一组基底，则存在实数，，使得平面内的任一向量，都可以表示成，故正确；若对平面内的任一向量，均存在实数，，使得，则与为平面内的一组基底，故与不共线，故正确．故选 A C D .三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。
江苏省南京市高一上学期期末考试数学试题
江苏省南京市高一上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分． 1．函数f (x )＝1x – 3的定义域是 ▲ ． 2．集合{0，1}的子集的个数为 ▲ ． 3．求值：log 345－log 35＝ ▲ ．4．已知角α 的终边经过点P (2，－1)，则sin α 的值为 ▲ ．5．已知扇形的半径为3cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 ▲ cm 2． 6．函数f (x )＝cos (x －π3)，x ∈[0，π2]的值域是 ▲ ．7．三个数a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3之间的大小关系是 ▲ （用a ，b ，c 表示，并用“＜”连结）．8．将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式是 ▲ ． 9．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝2，且BE →＝EC →，DF →＝12FC →，则AE →·BF →＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝3x －log 2x 的零点为x 0，若x 0∈(k ，k ＋1)，其中k 为整数，则k ＝ ▲ ． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0，ln x ，x ＞0，其中e 为自然对数的底数，则f [f (12)]＝ ▲ ．12．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，且f (lg x )＜f (1)，则x 的取值范围是 ▲ ．C E （第9题）13．若函数f (x )＝m ·4x －3×2x ＋1－2的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是▲ ．14．若函数f (x )＝sin(ωx ＋π3) (ω＞0)在区间[0，2π]上取得最大值1和最小值－1的x 的值均唯一，则ω的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分）已知sin x ＝45，其中0≤x ≤π2． （1）求cos x 的值；（2）求cos(－x )sin(π2－x ) －sin(2π － x )的值．17．（本小题满分10分）经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t (天)的函数，日销售量(单位：件)近似地满足：f (t )＝－t ＋30(1≤t ≤20，t ∈N *)，日销售价格(单位：元)近似地满足：g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t + 40，1≤t ≤10，t ∈N *，15， 11≤t ≤20，t ∈N *．（1）写出该商品的日销售额S 关于时间t 的函数关系； （2）当t 等于多少时，日销售额S 最大？并求出最大值．18．（本小题满分10分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)（A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π）的部分图象如图所示，且f (0)＝f（1）求函数f (x )（2）求f (x ) 参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1． (3，＋∞) 2．4 3．2 4．－55 5． 9 6．[12，1] 7．b ＜a ＜c8． y ＝sin(2x －π3) 9． －4 10．2 11．12 12．(110，10)13． (0，＋∞) 14．[712，1312)二、解答题：本大题共6小题，共58分．15．解（1）因为sin 2x ＋cos 2 x ＝1，所以cos 2x ＝1－sin 2 x ＝1－(45)2＝925．…… 2分 又因为0≤x ≤π2，故cos x ≥≤0，所以cos x ＝35． ………… 4分（2）原式＝cos x cos x ―(―sin x ) ＝cos x cos x ＋sin x…… 7分 ＝3535＋45＝37．………… 8分（第18题）17．解（1）由题意知，S ＝f (t )·g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2t ＋40)(－t ＋30)，1≤t ≤10，t ∈N *，15(－t ＋30)， 11≤t ≤20，t ∈N *． ………… 4分（2）当1≤t ≤10，t ∈N *时，S ＝(2t ＋40)(－t ＋30)＝－2 t 2＋20t ＋1200＝－2 (t －5)2＋1250．因此，当t ＝5时，S 最大值为1250； ……………………… 7分 当11≤t ≤20，t ∈N *时，S ＝15(－t ＋30)＝－15t ＋450为减函数，因此，当t ＝11时，S 最大值为285． ……………………… 9分综上，S 的最大值为1250．答：当t ＝5 时，日销售额S 最大，最大值为1250元． …………… 10分18．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为x ＝0＋5π62＝5π12， ………… 2分则 T 4＝5π12－π6＝π4， 即T ＝π．所以函数的最小正周期是π．…………… 4分（2）由图可知，A ＝2，因为T ＝π，所以ω＝2πT ＝2． ……………………… 6分 又f (5π12)＝－2，所以2 sin(5π6＋ϕ)＝－2，即sin(5π6＋ϕ)＝－1，因此5π6＋ϕ＝2k π－π2，即ϕ＝2k π－4π3，k ∈Z ．因为0＜ϕ＜2π，所以ϕ＝2π3．所以函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋2π3)．… 8分由2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，所以函数的单调增区间为[k π－7π12， k π－π12]，k ∈Z ．……………… 10分。
江苏省南京市11-12学年高一上学期期末测试数学试卷(样卷)
南京市2011-2012学年上学期高一数学期末测试（样卷）时量:100分钟 满分：100分一、选择题（每小题3分，共36分)1.设a ＝（1，－2），b ＝（－3，4),c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝（ ) A ．（－15，12) B ．0C ．－3 D ．－112。
若{|0{|12}A x xB x x =<=≤<，则AB =（ ）。
A 。
{|x x B 。
{|1}x x ≥ C 。
{|1x x ≤ D. {|02}x x << 3. 与||y x =为同一函数的是( ).A．2y = B 。
y C.{,(0),(0)x x y x x >=-< D 。
log a x y a =4. 设()338xf x x =+-, 用二分法求方程3380(1,2)xx x +-=∈在内近似解的过程中,计算得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0,f f f <>< 则方程的根落在区间（ ）.A.(1,1.25） B 。
（1。
25,1。
5） C.(1.5，2) D 。
不能确定5。
下列各式错误的是（ )。
A.0.80.733> B.0.50.5log 0.4log 0.6> C 。
0.10.10.750.75-< D 。
lg1.6lg1.4>6。
设集合{|12}M x x =-≤<，{|0}N x x k =-≤，若MN φ≠，则k 的取值范围是( ）A ．]2,(-∞B ．),1[+∞-C ．),1(+∞-D ．［－1，2] 7. 已知753()2f x axbx cx =-++，且(5),f m -= 则(5)(5)f f +-的值为( ）。
A. 4 B 。
0 C 。
2m D. 4m -+8. 函数2651()()3x x f x -+=的单调递减区间为（ ）.A.(,)-∞+∞ B 。
江苏省南京高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，则（ ）{}R,{13},2U A x x B x x ==-<<=≤∣∣()U A B ⋃=ðA ． B ． (](),12,-∞-+∞ ()[),12,-∞-⋃+∞C ． D ．[)3,+∞()3,+∞【答案】C【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.【详解】∵ {}R,{13},2U A xx B x x ==-<<=≤∣∣∴，则， ),3(A B ⋃=-∞,()[)3U A B ⋃=+∞ð故选：C.2．已知，则（ ） 22log 3,log 5a b ==18log 15=A ．B ．21a ba +-12a ba++C ． D ．1a b -+-1a b +-【答案】B【分析】利用对数的换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可． 【详解】，2221822log 15log 3log 5log 15log 1812log 312a ba++===++故选：B ．3．设为实数，且，则“”是“的（ ） a b c d ,,,c d <a b <”a c b d -<-A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由不能推出，如，，，， a b <a c b d -<-2a =3b =0c =1d =满足，但是，故充分性不成立；a b <a c b d -=-当时，又，可得，即，故必要性成立； a c b d -<-c d <a c c b d d -+<-+a b <所以“”是“的必要不充分条件. a b <”a c b d -<-故选：B.4．函数的零点所在的大致区间为（ ）()3ln f x x x=-A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,e ()e,3【答案】D【分析】由题意可知在递增，且，由零点存在性定理即可得出答案. ()f x ()0,∞+()()e 0,30f f 【详解】易判断在递增，. ()f x ()0,∞+()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-由零点存在性定理知，函数的零点所在的大致区间为.()3ln f x x x=-()e,3故选:D.5．已知，则的值是（ ）π1sin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭25πsin()2cos (6π3x x -+-A ．B ．C ．D 59-1959【答案】C 【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果. π6t x =+【详解】令，则，， π6t x =+π6=-x t 1sin 3t =则. 2225π125sin()2cos ()sin(π)2cos ()sin 2sin 63399ππ2x x t t t t -+-=-+-=+=+=故选：C.6．将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π3后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性()g x ()g x 质是（ ） A ．图象关于直线对称3x π=B ．图象关于点成中心对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．的一个单调递增区间为()g x 5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．曲线与直线 ()g x y =π6【答案】D【分析】先利用题意得到，然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判断即可()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到()f x π3，ππ5ππ2sin 42sin 42sin 43333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x x 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x对于A ，因为ππsin 2sin π01,33⎛⎫⨯+==≠± ⎪⎝⎭所以直线不是的对称轴，故错误；3x π=()g x A对于B ， ππ2πsin 2sin0,633⎛⎫⨯+==≠ ⎪⎝⎭所以图象不关于点成中心对称，故错误；π,06⎛⎫⎪⎝⎭B 对于C ，当，则， 5ππ,44⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x π13π5π2,366⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x 因为正弦函数在不单调，故不是的一个单调递增区间，故错sin y x =13π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x C 误；对于D ，当则或， ()g x =sin 23⎛⎫+=⎪⎝⎭x πππ22π33+=+x k 2π2π,Z 3+∈k k 则或，则相邻交点距离最小值为，故D 正确πx k =Z π6,+∈k k ππ6故选：D. 7．函数的图象大致为（ ） ()22cos 1x xf x x =+A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性及在上的函数值正负逐个选项判断即可．()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为，定义域为R ， ()22cos 1x xf x x =+所以， ()222()cos()2cos ()()11x x x xf x f x x x ---==-=--++所以为奇函数，又因为时，所以由图象知D 选项正确，()f x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x >故选D ．8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用x ∈R 表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数[]x x []y x =][3.64,3.63⎡⎤-=-=⎣⎦，则函数的值域是（ ） ()1e 21e xxf x =-+()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦A ． B ．C ．D ．{}1,0-{}0{}0,1{}1,0,1-【答案】A【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数()1121e x f x =-++0x >0x =0x <的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为，定义域为， ()1e 11e 11111121e 21e 21e 21e x x x x xx f x +-⎛⎫=-=-=--=-+⎪++++⎝⎭R 因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减， 1e x y =+11e xy =+所以在定义域上单调递减，()1121e xf x =-++R 时，， 0x <()()()111e 0,1,,1,0,,01e 22xx f x f x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈∈∈= ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭()00f ⎡⎤=⎣⎦时，； 0x >()()()111e 1,,0,,,0,11e 22xx f x f x ∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈+∈∈-=- ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭则时，0x >()()101,f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=-+=-⎣⎦⎣⎦时，，0x <()()()011f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎣⎦⎣⎦时，.0x =()()000f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=+=⎣⎦⎣⎦故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研()f x 究的值域，突破难点. ()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．若为正整数，则 ,a b n >n n a b >B ．若，则0,0b a m >>>a m ab m b+>+C ．22222a ba b++≥D ．若，则0απ<<0sin 1α<<【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案． 【详解】对于A ，若，则，故A 错误； 1,1,2a b n ==-=n n a b =对于B ，时，，故B 正确； 0,0b a m >>>a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+对于C ，由，则，当且仅当时取等号，故C 正确；20,20a b >>22222a b a b ++≥=⨯a b =对于D ，当时，，故D 错误； π2α=πsin 12=故选：BC ．10．设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）m x ()2310mx m x +-+=A ．当时，方程的两个实数根之和为0 3m =B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是 01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 0m <【答案】BCD【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m 满足的不等式，解出m 的范围，判断正误. 【详解】对于A 选项，时无实根，A 错误；3m =2310x +=对于B 选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得0m =0m ≠2(3)40m m --<19m <<，一个必要条件是，B 正确；1m >对于C 选项，方程有两个不等正根，则，，，，解得； 0m ≠0∆>30mm ->10m>01m <<对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则，，解得，D 正确； 0m ≠10m<0m <故选：BCD.11．设，已知 ） 0,0a b >>22,a b M N ab +=A ．有最小值 B ．没有最大值M MC ．D ．N N 【答案】ABD【分析】由均值不等式分别求出的最值，即可得出答案. ,M N 【详解】时正确， ,0a b >()[)10,,2,AB b b a t M t a a b t∞∞=∈+=+=+∈+，时错误，D 正确； 0,0a b >>2a b +C ≥12．设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（ ） ωa ()()4sin f x x a ωϕ=++A ．若函数的最大值为2，则()f x 2a =-B ．若对于任意的，都有成立，则 x ∈R ()()πf x f x +=2ω=C ．当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是 π3ϕ=()f x ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当，函数在区间上至少有两个零点，则的取值a =-ϕ∈R ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω范围是 [)4,+∞【答案】ACD【分析】对A ：根据正弦函数的有界性分析判断；对B ：利用函数的周期的定义分析判断；对C ：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D ：以为整体，结合正弦函数的性质x ωϕ+x ωϕ+分析判断.【详解】A 选项，由题意，则，A 正确； 42a +=2a =-B 选项，若，则的周期为， ()()πf x f x +=()f x π设的最小正周期为，则， ()f x T ()*2π=πkT kk ωN =Î解得，B 错误；()*2ωk k N =ÎC 选项，当时， π3ϕ=∵，则，ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππππ,36323x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦若在区间上单调递增，则，()f x ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0πππ632πππ232ωωω⎧⎪>⎪⎪-+≥-⎨⎪⎪+≤⎪⎩解得，C 正确；10,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦选项，由题意可得，对，在上至少两个零点，D ()sin x ωϕ+=ϕ∀∈R π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,2x ωϕϕωϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦若对，在上至少两个零点，则，解得，D 正确；ϕ∀∈R π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π2ωϕϕ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭4ω≥【点睛】方法点睛：求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解． ①令ωx ＋φ＝k π＋(k ∈Z )，可求得对称轴方程． π2②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0.三、填空题13．命题“”的否定是__________. 21,20x x ∃≥-<【答案】21,20x x ∀≥-≥【分析】根据特称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意，则其否定为. 21,20x x ∀≥-≥故答案为：. 21,20x x ∀≥-≥14．已知，则__________.2212sin cos 2sin cos θθθθ+=-tan θ=【答案】3【分析】将已知式中分子，再分子分母同时除以，解方程即可得出答案.221sin cos θθ=+2cos θ【详解】由题意，222222sin 2sin cos cos tan 2tan 12sin cos tan 1θθθθθθθθθ++++==--即，则. tan 12tan 1θθ+=-tan 3θ=故答案为：3.15．设函数，则满足的的取值范围是__________.21,0()3,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩3()()32f x f x +->x 【答案】()1,+∞【分析】结合函数解析式，对分三种情况讨论，分别计算可得.x 【详解】当时，，则在0x ≤()33212141122f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭当时，，在单调递增，时302x <≤()3332132222x x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 1x =，则的解集为；132123+⨯-=()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭31,2⎛⎤⎥⎝⎦当时，，则在时恒成立；32x >()33022*******x x f x f x -⎛⎫+-=+>+> ⎪⎝⎭()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭32x >综上，的解集为.()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()1,+∞故答案为：．()1,+∞16．已知函数是定义在上不恒为零的偶函数，且对于任意实数都有()f x R x ()1()(1)x f x xf x -=-成立，则__________.7(())2f f =【答案】0【分析】根据解析式求出，进而得到若，则，从而求出.102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()10f x -=()0f x =7(())02f f =【详解】由，令可得，今可得，()1()(1)x f x xf x -=-0x =()00f =12x =11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由是偶函数可得，则， ()f x 1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，若，则，0,1x ≠()10f x -=()0f x =则，135702222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则.7(((0)02f f f ==故答案为：0.四、解答题17．设，已知集合. m ∈R (){}2321,2201x A xB x x m x m x +⎧⎫=<=+--<⎨⎬-⎩⎭∣∣(1)当时，求；1m =A B ⋃(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.x B ∈x A ∈m 【答案】(1)3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭(2) [)3,+∞【分析】（1）求出集合，由并集的定义即可得出答案.,A B（2）由“”是“”的必要条件可得，则，解不等式即可得出答案. x B ∈x A ∈A B ⊆322m -≤-【详解】（1）由可得，即，则， 3211x x +<-2301x x +<-()()1230x x -+<3,12A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，.()(){210},1B x x m x m =+-<=∣13,1,,122B A B ⎛⎫⎛⎫=-⋃=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由“”是“”的必要条件可得， x B ∈x A ∈A B ⊆则，则，实数的取值范围是. 322m -≤-3m ≥m [)3,+∞18．设，计算下列各式的值： tan 2α=(1)；2sin cos 3sin cos αααα+-(2).22sin sin cos ααα-【答案】(1)1 (2)5【分析】（1）所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；cos α（2）将分子看成，所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；2()222sin cos αα+2cos α【详解】（1）原式；2tan 122113tan 1321αα+⨯+===-⨯-（2）原式. ()22222222sin cos 2tan 22225sin sin cos tan tan 22αααααααα++⨯+====---19．设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且()f x ()g x ()1,1-()f x ()g x .()()2lg(1)f x g x x -=-(1)求函数和的解析式；()f x ()g x (2)判断在上的单调性，并给出证明.()f x ()0,1【答案】(1)， ()lg(1)lg(1)f x x x =-++()()()lg 1lg 1g x x x =+--(2)单调递减，证明见解析【分析】（1）根据函数奇偶性构造关于和得方程组，进而求出它们的解析式； ()f x ()g x （2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）由，可得，()()2lg(1)f x g x x -=-()()2lg(1)f x g x x ---=+由为偶函数，为奇函数，可得， ()f x ()g x ()()2lg(1)f x g x x +=+则，；()lg(1)lg(1)f x x x =-++()()()lg 1lg 1g x x x =+--（2）由（1）得()2lg(1)f x x =-在单调递减，证明如下： ()f x ()0,1取任意，1212,(0,1),x x x x Î< ()()22211212221lg(1)lg(1)lg 1x f x f x x x x --=---=-由，可得，则， 1201x x <<<2212110x x ->->2122111x x ->-则， ()()2112221lg 01x f x f x x --=>-则，则在单调递减.()()12fx f x >()f x ()0,120．如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点修建一条长为的栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且D m l ABOAB A .点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金OAB θ∠=H AB OH AB ⊥OH OH 鱼，下方养殖锦鲤.OH(1)当养殖观赏鱼的面积最小时，求的长度；l (2)若游客可以在河岸与栈道上投喂金鱼，在栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路OA AH HB ，求的取值范围. 1θ【答案】(1)(2). ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）过作垂直于，求得，从而得出养殖观赏D ,DM DN ,OAOB AM BN θ=鱼的面积，利用基本不等式可求得最小时的值，进而113tan 2tan OAB S OA OB θθ=⋅=+A OAB S A θ求得的长度；l （2）由，可得，则，由题意π2AOB OHA ∠=∠=BOH θ∠=,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH θθθ===，则，化切为弦可得即可求得1BH OA AH -+tan 111sin tan θθθ≥+1cos θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结果.【详解】（1）过作垂直于，垂足分别为，D,DM DN ,OA OB ,M N则DM ON DN OM ====，tan tan DM AMBN DN θθθ====养殖观赏鱼的面积， )1113tan 22tan OAB S OA OB θθθ=⋅==+A 由可得，则，当且仅当时取等号， π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0θ>13tan tanθθ+≥tanθ=π6θ=则最小时，，此时l 的长度为； OAB S A π6θ=sin cos DM DN l θθ=+==（2）由，可得，π2AOB OHA ∠=∠=BOH θ∠=则，,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH θθθ===由题意，则， 1BH OA AH ≥+tan 111sin tan θθθ≥-+而， ()()22sin tan sin 1cos 1cos 1111cos cos 1cos cos 1cos cos sin tan sin θθθθθθθθθθθθθθ-====-++++则可得，则. 1cos θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0θ>cos θ≤ππ,42θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭21．设为实数，已知函数，. a ()122x x f x =-()()ln ln 2g x x x a =⋅-+(1)若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当()f x ()g x [)1,+∞()f x 1M ()g x 2M 时，求的取值范围；21M M ≤a (2)设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，x ()0g x >x ()()0f g x a +=求出此方程的解；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出和的最小值，()f x ()g x 12,M M 然后解不等式即可；（2）利用二次函数的性质，求得的最小值为，由题意可得，当时,()g x 1a -1a >()0g x >()21g x >，，可得，即可得出结论. ()112g x <()()0f g x a +>【详解】（1）当时，函数和均单调递增，所以函数单调递增，故1x ≥2x y =12x y =-()122x x f x =-当时，取最小值，则； 1x =()f x 32132M =当时，，，1x ≥ln 0x ≥()()2ln 11g x x a =-+-则当，即时，取最小值，即，ln 10x -=e x =()g x 1a -21M a =-由题意得，则，即的取值范围是； 312a -≤52a ≤a 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）当时，，，0x >ln R x ∈()()2ln 11g x x a =-+-则当，即时，取最小值为，ln 10x -=e x =()g x 1a -则恒成立时，有，即，()0g x >10a ->1a >当时，，， ()0g x >()21g x >()112g x <则，则，()()()()1202g x g x f g x =->()()0f g x a +>故关于的方程不存在实数解.x ()()0f g x a +=22．设，函数. a ∈R ()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭(1)讨论函数的零点个数；()f x (2)若函数有两个零点，求证：. ()f x 12,x x 123π2x x +<【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数；()f x （2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明. 123π2x x +<【详解】（1）， ()2cos cos 1f x x x a =--++令，即，()0f x =2cos cos 1x x a +=+时，即， π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭21t t a +=+或即时，无解； 10a +≥114a +<-[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭21t t a +=+即时，仅有一解，此时仅有一解； 114a +=-54a =-21t t a +=+12t =-x 2π3即时，有两解， 1104a -<+<514a -<<-21t t a +=+12t =-有两个零点； 1cos 2x =-()f x 综上，时，无零点， [)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭()f x 时，有一个零点， 54a =-()f x 时，有两个零点； 5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()f x （2）有两个零点时，令，则为两解，()f x 1122cos ,cos t x t x ==12,t t 21t t a +=+则，则，121t t +=-12cos cos 1x x +=-则，221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=由可得， 12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12cos 0,cos 0x x <<则，则，122cos cos 0x x >2212cos cos 1x x +<则， 2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭由可得， 2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，由在递减， 123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭cos y x =π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，则. 123π2x x <-123π2x x +<【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
江苏省南京市2023-2024学年高一上学期数学期末复习练习卷(含解析)
2023级高一上学期期末复习练习卷一（苏教版）知识点：集合、命题、不等式、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数本卷共150分 时间：120分钟一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}06,322≤-+=<-∈=x x x Q x N x P ，则=⋂Q P （ ）A ．(]2,1-B ．[)5,3-C ．{}2,1,0D ．{}2,12.已知5.0log ,2,650sin3.03.0==︒=c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A.c b a << B.b c a << C.b a c << D.a c b <<3.已知幂函数()()3277-+-=m xm m x f 在()∞+，0上单调递增，则=m （ ） A ．1B ．6C ．7D ．61或4.已知实数y x ,满足122=++xy y x ，则y x +的最大值为（ ）A ．332 B ．33C ．2D ．35.已知()34-+=x e x f x的零点在区间Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-,412,412，则=k （ ） A.1- B.0 C.1 D.26.已知命题“：p 函数()()()1,0,2log ≠>-=a a ax x f a 在区间()1,0上是减函数”，命题“21<<a q ：”，则q 是p 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件7.已知210cos 2sin =+αα，则=-αααα22sin cos cos sin （ ） A.3- B.31-C.83-D.838.已知函数()()x g x f ,分别为R 上的奇函数和偶函数，且()()1-=x g x f ，若()32=-g ，则()=2023f （ ）A.3-B.0C.2D.3二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知xxx x xx a tan tan cos cos sin sin ++=，则a 的知可能是（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．310.已知0,0,1≠>=+x y y x ，则121++y x x 的值可能是（ ） A.32 B.43 C.1 D.4511.已知函数()142sin 4-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x f ，则下列结论正确的是（ ） A.()x f 的最小正周期为π B.函数()x f 在3[,]88ππ-上单调递增C.将函数()x f 图像的横坐标缩短为原来的一半,再向左平移6π个单位后关于y 轴对称 D.函数()x f 在[,]48ππ-上的最小值为1-12.定义在R 上函数()x f 满足()()()()()x f x f y f x f y x f -=++=+2,且()x f 在[]0,1-上是增函数,给出下列几个命题,其中正确命题的序号是（ ） A.()x f 是奇函数B.()x f 的图象关于1=x 对称C.4是()x f 的一个周期D.()x f 在[]2,1上是增函数三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,log 0,231x x x x f x ，则()[]=9f f .14.已知函数()x x x x f cos sin 2sin tan 2-=，则()=2f .15.已知函数()m b ax k x f ++=的图像与函数()n d cx k x g ++-=的图像交于点()1,2A 和点()76，B ，则=+n m ．16.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=2,43212,53x x x x f x ，若方程()m x f =有且仅有2个实数根，则实数m 的取值范围是 .四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知集合{}2|4120A x x x =--≤，{}22|4400B x x x m m =--+≤>，. ⑴求集合A B 、；⑵若x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知角α的始边为x 轴的正半轴，终边经过点()()01,≠--m m m P ，且5cos m =α. ⑴求实数m 的值；⑵若0>m ，求()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--πααπαπαπ27sin 23sin 23cos 2sin 的值.已知函数()xaxx f --=22log 2为奇函数，a 为常数. ⑴求a 的值；⑵若实数t 满足()()0112<-+-t f t f ，求t 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0s in πϕωϕωA x A x f 的一段图象过点()1,0，如图所示． ⑴求函数()x f 的表达式； ⑵将函数()x f y =的图象向右平移4π个单位，得函数()x g y =的图象，求()x g y =在区间 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的值域； ⑶若()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,32πααf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-4παf 的值.已知函数()1241++⋅-=+a a x f x x.⑴若2=a ,求不等式()0<x f 的解集；⑵若()0,∞-∈x ，不等式()a x f -<2恒成立，求实数a 的取值范围； ⑶求函数()x f 在区间[]2,1上的最小值()a g .22.（本小题满分12分）已知函数()R a x x a x x f ∈+-=,22. ⑴若0=a ，解不等式()3>x f ；⑵若函数()x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；⑶若存在实数[]2,2-∈a ，使得关于x 的方程()()02=-a tf x f 有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围.参考答案一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}06,322≤-+=<-∈=x x x Q x N x P ，则=⋂Q P （ ）A ．(]2,1-B ．[)5,3-C ．{}2,1,0D ．{}2,1 答案：C解析：由题意得，{}{}23,4,3,2,1,0≤≤-==x x Q P ，所以{}2,1,0=⋂Q P .故选C. 2.已知5.0log ,2,650sin 3.03.0==︒=c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A.c b a << B.b c a << C.b a c << D.a c b <<答案：B解析：因为()070sin 70720sin 650sin <︒-=︒-︒=︒=a ，12203.0=>=b ，13.0log 5.0log 03.03.0=<=<c ，所以b c a <<.故选B.3.已知幂函数()()3277-+-=m xm m x f 在()∞+，0上单调递增，则=m （ ） A ．1 B ．6C ．7D ．61或答案：B解析：由题意得，1772=+-m m ，即0672=+-m m ，解得61或=m ，因为()x f 在()∞+，0上单调递增，则03>-m ，即6=m .故选B.4.已知实数y x ,满足122=++xy y x ，则y x +的最大值为（ ）A ．332 B ．33C ．2D ．3 答案：A 解析：由122=++xy yx 得，()12+=+xy y x ，因为()42y x xy +≤，所以()()1422++≤+y x y x ，即()342≤+y x ，所以332332≤+≤-y x ，所以当且仅当33==y x 时，y x +取最大值为332.故选A. 5.已知()34-+=x e x f x的零点在区间Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-,412,412，则=k （ ）A.1-B.0C.1D.2答案：C解析：由题意可知，()34-+=x e x f x在R 上单调递增，因为034144141<-⨯+=⎪⎭⎫⎝⎛e f ，032142121>-⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛e f ，则()x f 零点在区间⎪⎭⎫⎝⎛2141，上，所以1=k .故选C.6.已知命题“：p 函数()()()1,0,2log ≠>-=a a ax x f a 在区间()1,0上是减函数”，命题“21<<a q ：”，则q 是p 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件答案：A解析：因为函数()()()1,0,2log ≠>-=a a ax x f a 在区间()1,0上是减函数，所以⎩⎨⎧≥->021a a ，解得21≤<a ，所以q 是p 的充分不必要条件.故选A.7.已知210cos 2sin =+αα，则=-αααα22sin cos cos sin （ ） A.3- B.31- C.83- D.83 答案：C解析：因为210cos 2sin =+αα，所以25cos 4cos sin 4sin 22=++αααα，则 25cos sin cos 4cos sin 4sin 2222=+++αααααα，所以251tan 4tan 4tan 22=+++ααα，即03tan 8tan 32=--αα，解得3tan =α或31tan -=α.又=-αααα22sin cos cos sinαα2tan 1tan -，将3tan =α或31tan -=α代入，均得到83tan 1tan 2-=-αα.故选C. 8.已知函数()()x g x f ,分别为R 上的奇函数和偶函数，且()()1-=x g x f ，若()32=-g ，则()=2023f （ ）A.3-B.0C.2D.3 答案：D解析：因为函数()()x g x f ,分别为R 上的奇函数和偶函数，且()()1-=x g x f ，所以()()x g x f =+1，则()()()x g x g x f =-=+-1，所以()()()111--=+-=+x f x f x f ，则()()x f x f -=+2，所以()()()x f x f x f =+-=+24，所以()x f 是以4为周期的周期函数，所以()()()232023g f f ==，因为()32=-g ，则()32=g ，所以()32023=f .故选D.二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知xxx x xx a tan tan cos cos sin sin ++=，则a 的知可能是（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 答案：BD解析：当x 为第一象限角时，3tan tan cos cos sin sin tan tan cos cos sin sin =++=++=xxx x x x x x x x xx a ；当x 为第二象限角时，1tan tan cos cos sin sin tan tan cos cos sin sin -=-+-+=++=xxx x x x x x x x xx a ，同理，当x 为第三、四象限角时，1-=a ，综上，31或-=a .故选BD. 10.已知0,0,1≠>=+x y y x ，则121++y x x 的值可能是（ ） A.32 B.43 C.1 D.45 答案：BCD解析：因为1=+y x ，则21=++y x ，则=+⋅++≥++++=++++=++141241414141121y xx y x x y x x y x x y x x y x y x x 14+x x ，当且仅当x y 21=+时，等号成立.当0>x 时，45121≥++y x x ；当0<x 时， 43121≥++y x x ，所以121++y x x 的值可能是45,1,43.故选BCD. 11.已知函数()142sin 4-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x f ，则下列结论正确的是（ ） A.()x f 的最小正周期为π B.函数()x f 在3[,]88ππ-上单调递增C.将函数()x f 图像的横坐标缩短为原来的一半,再向左平移6π个单位后关于y 轴对称D.函数()x f 在[,]48ππ-上的最小值为1- 答案：AB解析：由()142sin 4-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x f 可得，()x f 的最小正周期为ππ==22T ，所以A 正确；令Z k k x k ∈+≤-≤+-,224222πππππ，解得Z k k x k ∈+≤≤+-,838ππππ，所以函数()x f 在3[,]88ππ-上单调递增，所以B 正确；将函数()x f 图像的横坐标缩短为原来的一半，可得到函数144sin 4-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx y 的图像，再将图像向左平移6π个单位后，得到函数11254sin 41464sin 4-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππx x y 的图像，不关于y 轴对称，所以C 错误； 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈8,4ππx 得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-0,4342ππx ，所以()x f 的最小值为514-=--，所以D 错误.故选AB.12.定义在R 上函数()x f 满足()()()()()x f x f y f x f y x f -=++=+2,且()x f 在[]0,1-上是增函数,给出下列几个命题,其中正确命题的序号是（ ） A.()x f 是奇函数B.()x f 的图象关于1=x 对称C.4是()x f 的一个周期D.()x f 在[]2,1上是增函数答案：ABC解析：因为()()()y f x f y x f +=+，令0==y x ，则()()020f f =，即()00=f ，所以()()()()00==-+=-f x f x f x x f ，则()()x f x f -=-，所以()x f 是奇函数，所以A 正确；由()()x f x f -=+2，可得()()x f x f -=+2，则()()()x f x f x f -=--=+111，所以()x f 的图象关于1=x 对称，所以B 正确；由()()x f x f -=+2，得()()24+-=+x f x f ， 则()()x f x f =+4，所以4是()x f 的一个周期，所以C 正确；因为()x f 在[]0,1-上是增函数，由()x f 是奇函数得，()x f 在[]1,0上是增函数，由()x f 的图象关于1=x 对称，得()x f 在[]2,1上是减函数，所以D 错误.故选ABC.三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,log 0,231x x x x f x ，则()[]=9f f .答案：41解析：由题意得，()29log 931-==f ，所以()[]()412292==-=-f f f . 14.已知函数()x x x x f cos sin 2sin tan 2-=，则()=2f . 答案：0解析：因为()x x x x f cos sin 5sin tan 2-=，所以()=+-=xx xx x x f 222cos sin cos sin 5sin tan 1tan tan 2tan 22+-x x x ，所以()014442=+-=f .15.已知函数()m b ax k x f ++=的图像与函数()n d cx k x g ++-=的图像交于点()1,2A 和点()76，B ，则=+n m ． 答案：8解析：由数形结合，根据对称性可得8=+n m .16.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=2,43212,53x x x x f x ，若方程()m x f =有且仅有2个实数根，则实数m 的取值范围是 . 答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛1,43解析：方程()m x f =有且仅有2个实数根，即为函数()x f y =的图像与直线m y =有且仅有2个交点，所以由数形结合可得，m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛1,43.四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知集合{}2|4120A x x x =--≤，{}22|4400B x x x m m =--+≤>，. ⑴求集合A B 、；⑵若x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.解析：⑴由24120x x --≤，得26x -≤≤，所以集合{}|26A x x =-≤≤由22440x x m --+=，得12x m =+，22x m =-，当0m >时，22m m -<+，则由22440x x m --+≤解得22m x m -≤≤+，所以集合{}|22B x m x m =-≤≤+. ⑵因为x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，所以[]2,6-是[]2,2m m -+的真子集，则有222226m m m m -<+⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得4m ≥， 又当4m =时，[][]2,22,6m m -+=-，不合题意，所以实数m 的取值范围为()4,+∞. 18.（本小题满分12分）已知角α的始边为x 轴的正半轴，终边经过点()()01,≠--m m m P ，且5cos m =α. ⑴求实数m 的值；⑵若0>m ，求()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--πααπαπαπ27sin 23sin 23cos 2sin 的值.解析：⑴由题意得，()51221cos 222mm m m m m m =++=--+=α，因为0≠m ，所以 251222=++m m ，即0122=-+m m ，解得34=-=m m 或.⑵因为0>m ，则由⑴得3=m ，所以()4,3-P ，53cos =α，则54sin -=α， 所以()()()91653535454cos cos sin sin 27sin 23sin 23cos 2sin -=⨯-⨯=--⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--ααααπααπαπαπ. 19.（本小题满分12分） 已知函数()xaxx f --=22log 2为奇函数，a 为常数. ⑴求a 的值；⑵若实数t 满足()()0112<-+-t f t f ，求t 的取值范围.解析：⑴因为函数()x f 为奇函数，所以()()xaxx f x ax x f ---=-=++=-22log 22log 22，所以12222log 22log -⎪⎭⎫⎝⎛--=++x ax x ax ，则ax x x ax --=++2222，即22244x x a -=-，所以12=a ， 则1±=a ，经检验，当1=a 时，不满足题意，所以1-=a . ⑵由⑴得，()x x x f -+=22log 2，由022>-+xx解得22<<-x ，即()x f 的定义域为()2,2-. 又()⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+=241log 22log 22x x x x f ，则241---=x y 在()2,2-上单调递增，所以 函数()xx x f -+=22log 2在()2,2-上单调递增.不等式()()0112<-+-t f t f 可变为 ()()()t f t f t f -=--<-1112，所以⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-tt t t 1121221222，解得⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-<<-123133t t t ，即11<<-t ，所以t 的取值范围是()1,1-. 20.（本小题满分12分）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f 的一段图象过点()1,0，如图所示． ⑴求函数()x f 的表达式； ⑵将函数()x f y =的图象向右平移4π个单位，得函数()x g y =的图象，求()x g y =在区间 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的值域； ⑶若()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,32πααf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-4παf 的值. 解析：⑴由图知，π=T ，则22==ππω.由图可得，()x f 在6π=x 处最大值，所以Z k k ∈+=+⨯,2262ππϕπ，因为2πϕ<，所以6πϕ=.将()1,0代入⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx A y ，得2=A .所以函数()x f 的表达式为()⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx x f ． ⑵由题意得，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2642sin 2πππx x x g ，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,332πππx ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,2332sin πx ，所以[]2,332sin 2-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，所以()x g y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的值域为[]2,3-.⑶因为()⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx x f ，所以()3262sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πααf ，即3162si n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，又因为⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα，，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+67,662πππα，由213162sin <=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα， 所以⎪⎭⎫⎝⎛∈+πππα,262. 所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-62cos 2262sin 2642sin 24παππαππαπαf 324311262sin 1222=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-πα. 21.（本小题满分12分） 已知函数()1241++⋅-=+a a x f x x.⑴若2=a ,求不等式()0<x f 的解集；⑵若()0,∞-∈x ，不等式()a x f -<2恒成立，求实数a 的取值范围； ⑶求函数()x f 在区间[]2,1上的最小值()a g . 解析：⑴当2=a 时，()32241+⋅-=+x xx f ，则()0<x f 即为032241<+⋅-+x x ，令0,2>=t t x ，则0342<+-t t ，解得31<<t ，即321<<x ，所以3log 02<<x ，即不等式()0<x f 的解集为{}3log 02<<x x .⑵令()0,,2∞-∈=x t x，则()1,0∈t ，因为不等式()a x f -<2恒成立，所以不等式a a at t -<++-2122在()1,0∈t 上恒成立，即()1122->-t t a 在()1,0∈t 上恒成立，因为()0,11-∈-t ，所以12+<t a 在()1,0∈t 上恒成立，所以21≤a ，即实数a 的取值范围为 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,.⑶令[]2,1,2∈=x t x，则[]4,2∈t ，所以函数()x f 可转化为()[]4,2,122∈++-=t a at t t f .当2≤a 时，()t f 在[]4,2上单调递增，此时最小值为()a f 352-=；当4≥a 时，()t f 在[]4,2上单调递减，此时最小值为()a f 7174-=；当42<<a 时，最小值为()12++-=a a a f .所以函数()x f 在区间[]2,1上的最小值()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<++-≤-=4,71742,12,352a a a a a a a a g .22.（本小题满分12分）已知函数()R a x x a x x f ∈+-=,22. ⑴若0=a ，解不等式()3>x f ；⑵若函数()x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；⑶若存在实数[]2,2-∈a ，使得关于x 的方程()()02=-a tf x f 有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围.解析：⑴若0=a ，则()x x x x f 2+=，不等式()3>x f 为32>+x x x ，当0≥x 时，不等式为0322>-+x x ，解得13>-<x x 或，即1>x ；当0<x 时，不等式为0322>-+-x x ，此时不等式无解，综上，不等式()3>x f 的解集为{}1>x x .⑵由题意得，()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<++-=ax x a x ax x a x x f 2,222,2222，当a x 2<时，()x f 的对称轴为1+=a x ；当a x 2≥时，()x f 的对称轴为1-=a x . 因为函数()x f 在R 上是增函数，所以121+≤≤-a a a ，解得11≤≤-a ，即实数a 的取值范围为[]1,1-.⑶由题意方程()()02=-a tf x f 的解即为方程()a t x f 4⋅=的解.。