213-2014学年高三数学纠错练习(3)
2014届高三文科数学月考3试卷
数学试题（文）
第 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合 ，则 =
A． B． C． D．
2．复数 为纯虚数，则它的共轭复数是
A. B. C. D.
3.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；
9.设函数 ，则满足f(x) 2的x的取值范围是
A．[-1,2]B．[0，2]C．[1，+ ]D．[0，+ ]
10．若a＞0，b＞0，且函数 在x＝1处有极值，则ab的最大值等于
A．2 B．3C．6D．9
11.已知x0是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若x1∈(1,x0)，x2∈(x0，+ )，则
数列 中， ， （ 是常数， ），且 成公比不为 的等比数列．
（ ）求 的值；
（ ）求 的通项公式．
18．（本小题满分12分）
已知 是等差数列，其前 项和为 ， 是等比数列，
， .
(Ⅰ)求数列{ }与{ }的通项公式；
(Ⅱ)数列 满足 ,求数列 的前 项和
19．（本小题满分12分）
设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量 ＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，
A.f(x2)＜0，f(x2)＜0B.f(x1)＜0，f(x2)＞0
C.f(x1)＞0，f(x2)＜0D.f(x1)＞0，f(x2 )＞0
12．已知直线 与函数 的图象恰有三个公共点,
,其中 ，则有
A. B. C. D.
第 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
四川省2014届绵阳三诊数学详解(修正错误)
绵阳市高2011级第三次诊断性考试数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N MA.{}1B.{}1,1-C.{}1,0D.{}1,0,1-解析：{1,1},{0,1}M N =-=，{10,1}M N ⋃=-，2. 复数25-i 的共轭复数是 A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -2 解析：55(2)222(2)(2)i i i i i i +==--=----+，则共轭为2Z i =-+此题问题多出现在部分 同学没有认真分析复数的实部与虚部，思维定势造成错选 3. 执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为A.9B.9log 8C.5D.5log 8 解析：第一次运算，25,3x ≤=第二次运算35,5x ≤=，第三次运算55,9x ≤=满足条件，执行下一步，得88log 9log 81y =>=（考、 察对数函数的单调性），满足条件，输出8log 9y =4. 已知向量)1,3(-=a ，)2,1(-=b ，)1,2(=c .若),(R y x yc xb a ∈+=， 则=+y xA.2B.1C.0D.21 解析：考察向量的坐标运算（熟悉加减，数乘坐标运算）由已知可知：(,2)(2,)xb yc x x y y +=-+则有2321x y x y -+=⎧⎨+=-⎩联立解得x+y=0 5. 已知命题a x R x p ＞sin ,:∈∃，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为 A.1＜a B.1≤a C.1=a D.1≥a解析：非命题为真（命题的否定），原命题为假，即不存在X ，使得sin x a >根据三角 函数性质得1a ≥学生容易出错的地方在于等号的取舍。
（比如题干改成sin ,1x a a ≥>） 6. 已知]2,2[-∈a ，则函数12)(2++=ax x x f 有零点的概率为A.21B.31C.41D.51 解析：二次函数有零点，可转化为二次函数图像与X 轴有交点，同时考察几何概型。
2014级高三三诊数学参考答案及评分标准(理)_看图王
������������������������５ 分 ２ ( ) ( ) 显然 h １ ＞ h e ． ２ ]上存在极值 , 结合函数图象可知 , 若 g( x )在 [ １, e )ȡ０ )＞０ h( １ h( e ������������������������７ 分 则 或 ． ２ )＜０ h( １ h( e )＜０ )＞０ h( e e ( , 当 即 １＜ a ＜ 时, ⅰ) )＜０ ２ h( １ ２ ２ ], 则必定 ∃x１ , 使得 h( 且 １＜ x１ ＜e＜ x２ ＜e x２ ɪ [ １, e x１) x２) ． ＝h( ＝０, ( ) , ( ) , ( ) : 当 x 变化时 , 的变化情况如下表 hx g ᶄx g x
{
������������������������９ 分
������������������������１ ２分
年龄不低于 ３ ５岁 ５
合计 ４ ０ １ ０ ５ ０ ������������������������２ 分
根据 ２ˑ２ 列联表中的数据 , 得到 K 的观测值为
k＝
( )的 ５ 个受访人中 , 由题意 , 年龄在 [ 有 ４ 人支持发展共享单车 ; 年龄在 Ⅱ) １ ５, ２ ０ [ )的 ６ 个受访人中 , 有 ５ 人支持发展共享单车 ． ２ ０, ２ ５ ������������������������７ 分 随机变量 的所有可能取值为 ʑ X ２, ３, ４．
高三数学 ( 理科 ) 三诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) ２ 页(
山东省青岛市2014届高三3月统一质量检测 理科数学 Word版含答案
2014数学模拟试题三第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则A B = A ．{|01}x x ≤≤ B ．{|0x x >或1}x <- C ．{|12}x x <≤D ．{|02}x x <≤2. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为A ．11B ．11.5C ．12D ．12.54. 双曲线22145x y -=的渐近线方程为 A．4y x =±B．2y x =± C．5y x =± D．5y x =±5. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．5 B ．7 C ．9 D ．116. 函数22cos ()2y x π=+图象的一条对称轴方程可以为A ．4x π=B ．3x π= C ．34x π= D ．x π=7.过点(1P 作圆221O x y ：＋＝的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长||AB =AB ．2 CD ．48. 已知实数y x ,满足约束条件04340x x y y >⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则1y w x +=的最小值是A ．2-B ．2C ．1-D ．1 9. 由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成封闭的平面图形的面积为A ．329B ．4ln 3-C ．4ln 3+D ．2ln 3- 10. 在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．关于函数1()()xx f x e e=*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞． 其中所有正确说法的个数为 A ．0 B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知2a ib i i+=+（R a b ∈，），其中i 为虚数单位，则a b += ； 12. 已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P a ξ>=，a 为常数,则(10)P ξ-≤≤= ；13. 二项式621()x x-展开式中的常数项为 ；14. 如图所示是一个四棱锥的三视图， 则该几何体的体积为 ；15. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值左视图范围为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=. （Ⅰ）求B 的大小;（Ⅱ）若a c +=，b =求ABC ∆的面积. 17．（本小题满分12分）2013年6月“神舟 ”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为34、13、12、23，并且各个环节的直播收看互不影响． （Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率; （Ⅱ）若用X 表示该班某一位同学收看的环节数,求X 的分布列与期望．18．（本小题满分12分）如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，24AB BC ==，DE AE CF BF ===，2EF =，//EF AB ，CF AF ⊥.（Ⅰ）若G 为FC 的中点，证明：//AF 面BDG ； （Ⅱ）求二面角A BF C --的余弦值.19．（本小题满分12分） 已知{}n a 是等差数列，首项31=a ，前n 项和为n S .令(1)(N )n n n c S n *=-∈,{}n c 的前20项和20330T =.数列}{n b 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n W ，且12b =，39q a =.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）证明：1(31)(N )n n n W nW n *++≥∈. 20．（本小题满分13分）已知椭圆1C 的中心为原点O ，离心率e =2，其一个焦点在抛物线2:C 22y px =的准线上，若抛物线2C与直线: 0l x y -=相切． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，设动点(,)P v u u v 2-+的运动轨迹为3C ．若点T 满足：OT MN OM ON =+2+u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中,M N 是3C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1-2，试说明：是否存在两个定点,F F 12，使得TF TF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()xg x e '=，且(0)(1)g g e '=，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立，试求实数m 的取值范围； （Ⅲ） 当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．CA B D EF G青岛市高三统一质量检测 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． C A C B C D A D B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.1 12.12a - 13.15 14．4 15．34k ≤或54k ≥三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=得：sin sin 2cos cos (1)1cos cos A CA C A C-= ………………………………………………………2分∴2(sin sin cos cos )1A C A C -=∴1cos()2A C +=-，………………………………………………………………………4分∴1cos 2B =，又0B π<<3B π∴= ……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==22()2122a c acb ac +--∴=， ………………………………………………………………8分又2a c +=，b =27234ac ac --=，54ac = ……………………………10分115sin 224216ABC S ac B ∆∴==⨯=………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A ,则22333333327()()(1)()44432P A C C =⨯-+=. …………………………………………………4分 （Ⅱ）由条件可知X 可能取值为0,1,2,3,4.31121(0)(1)(1)(1)(1);432336P X ==-⨯-⨯-⨯-=31123112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)432343233112311213(1)(1)(1)(1)(1)(1);4323432372P X ==⨯-⨯-⨯-+-⨯⨯-⨯-+-⨯-⨯⨯-+-⨯-⨯-⨯=311231123112(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4323432343233112311231127(1)(1)(1)(1)(1)(1);43234323432318P X ==⨯⨯-⨯-+⨯-⨯⨯-+⨯-⨯-⨯+-⨯⨯⨯-+-⨯⨯-⨯+-⨯-⨯⨯=31123112(3)(1)(1)432343233112311223 (1)(1);4323432372P X ==-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯-=31121(4);432312P X ==⨯⨯⨯=即的分布列…………………………………………………………………10分X 的期望11372319()0123436721872124E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG 因为点G 为FC 中点，所以OG 为AFC ∆的中位线，所以//OG AF ………………………………………………………………………2分AF ⊄面BDG ，OG ⊂面BDG ， 所以//AF 面BDG ………………4分（Ⅱ）取AD 中点M ，BC 的中点Q ，连接MQ ，则////MQ AB EF ， 所以MQFE 共面作FP MQ ⊥于P ，EN MQ ⊥于N ，则//EN FP 且EN FP =AE DE == BF CF =，AD BC = ADE ∴∆和BCF ∆全等，EM FQ ∴= ENM ∴∆和FPQ ∆全等，1MN PQ ∴== BF CF =，Q 为BC 中点，BC FQ ∴⊥又BC MQ ⊥，FQ MQ Q = ，BC ∴⊥面MQFEPF BC ∴⊥，PF ∴⊥面ABCD …………………………………………………………6分 以P 为原点，PF 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则(3,1,0)A ，(1,1,0)B -，(1,1,0)C --，设(0,0,)F h ，则(3,1,)AF h =-- ，(1,1,)CF h =AF CF ⊥ ，203102AF CF h h ∴⋅=⇒--+=⇒=设面ABF 的法向量1111(,,)n x y z =(3,1,2)AF =-- ，(1,1,2)BF =-由111111110320200n AF x y z x y z n BF ⎧⋅=--+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令11110,2z x y =⇒== 1(0,2,1)n ∴=………………………………………………………………………………8分设面CBF 的法向量2222(,,)n x y z =(1,1,2)BF =- ，(0,2,0)BC =-由222222020200n BF x y z y n BC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，令22210,2z y x =⇒==- 2(2,0,1)n ∴=-……………………………………………………………………………10分1212121cos ,5||||n n n n n n ⋅∴<>===⋅设二面角A BF C --的平面角为θ，则12121cos cos(,)cos ,5n n n n θπ=-<>=-<>=- …………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，因为(1)nn n c S =- 所以20123420330T S S S S S =-+-+++= 则24620330a a a a ++++=则10910(3)23302d d ⨯++⨯= 解得3d =，所以33(1)3n a n n =+-=……………………………………………………4分 所以3927q a ==，3q =所以123n n b -=⋅………………………………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2(13)3113n n n W -==-- 要证1(31)n n n W nW ++≥， 只需证1(31)(31)(31)n n n n ++-≥-即证：321nn ≥+……………………………………………………………………………8分 当1n =时，321nn =+下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，321nn >+（1）当2n =时，左边9=，右边5=，左>右，不等式成立 （2）假设(2)n k k =≥，321kk >+ 则1n k =+时，13333(21)632(k+1)+1k k k k +=⨯>+=+>1n k ∴=+时不等式成立根据（1）（2）可知：当2n ≥时，321nn >+ 综上可知：321nn ≥+对于N n *∈成立所以1(31)(N )n n n W nW n *++≥∈ ………………………………………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（I）由22220-0y pxy py x y ⎧=⎪⇒-+=⎨+=⎪⎩， 抛物线2:C 22y px =与直线: -0l x y =相切，240p p ∴∆=-=⇒=……………………………………………………2分∴抛物线2C的方程为：2y =，其准线方程为：x =c ∴=离心率e =2，∴2c e a ==∴2222, 2a b a c ==-=， 故椭圆的标准方程为22 1.42x y +=…………………………………………………………5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,)P x y ''，(,)T x y则2x v u y u v '=-⎧⎨'=+⎩1(2)31()3u y x v x y ⎧''=-⎪⎪⇒⎨⎪''=+⎪⎩当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，动点(,)P v u u v 2-+的运动轨迹3C2222111[(2)]2[()]44233u v y x x y ''''∴+=⇒-++= 2 2212x y ''⇒+= 3C ∴的轨迹方程为：22212x y += ………………………………………………………7分 由OT MN OM ON =+2+u u u r u u u r u u u r u u u r 得212111221212(,)(,)2(,)(,)(2,2),x y x x y y x y x y x x y y =--++=++ 12122,2.x x x y y y =+=+设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y +=…………………………………………9分 因为点,M N 在椭圆22212x y +=上，所以22221122212,212x y x y +=+=，故222222*********(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)604(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++所以22260x y +=，从而可知：T 点是椭圆2216030x y +=上的点， ∴存在两个定点,F F 12，且为椭圆2216030x y +=的两个焦点，使得TF TF 12+为定值，其坐标为12(F F ． …………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >． 当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，()f x 没有极值；……………1分当0a <时，1()()a x a f x x+'=， 若1(0,)x a ∈-时，()0f x '>；若1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<()f x ∴存在极大值，且当1x a =-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大综上可知：当0a ≥时，()f x 没有极值；当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a=-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大 …………………………………………………………4分(Ⅱ) 函数()g x 的导函数()xg x e '=，()xg x e c ∴=+(0)(1)g g e '=，(1)c e e ∴+=0c ⇒=，()x g x e =……………………………………5分 (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立， ∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e <-成立，令()3h x x e =-，则问题可转化为：max ()m h x <对于()3h x x e =-，(0,)x ∈+∞，由于()1xh x e '=-，当(0,)x ∈+∞时， 1xe >≥=1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴<………………………………………………………………………………………9分(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--，∴1()xx e xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数 设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t=，即tt e -=当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-(1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=<，1(,1)2t ∴∈由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->-=()()2f x g x ∴<- …………………………………………………………………………14分。
新疆乌鲁木齐地区2014届高三第三次诊断性测验数学(理)试题 扫描版含答案
乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准1.选B .【解析】∵{}0,1,2,3,4,5,6A =，{}0,3B x x x =<>∴{}4,5,6A B =2.选B .【解析】∵()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+，对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限 3.选C .【解析】由()1f x >知0211x x -≤⎧⎨->⎩或1201x x >⎧⎪⎨⎪>⎩，分别解之，得1x <-或1x >.4.选A .【解析】∵3,4παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos 0,sin 0αα<>，且cos sinαα>， 又()21sincos 1sin 225ααα+=+=，∴1s i n c o s 5αα+=-，∴34sin ,cos 55αα==-5.选C .【解析】∵2345111113102222232S =+++++=，此时5n =，为使输出的3132S =，必须有n p ≥，所以5p =6.选B .【解析】由题意及正弦定理得sin cos 3sin cos B A A B =，∴tan 3tan B A =， ∴0,2A B π<<，又cos C =，故sin C =tan 2C =，而A B C π++=， ∴()tan tan 2A B C +=-=-，即tan tan 21tan tan A BA B+=--，将tan 3tan B A =代入，得24tan 213tan A A =--，∴tan 1A =，或1tan 3A =-，而0,2A B π<<，故45A =︒ 7.选B.【解析】此几何体的直观图如图所示， ∴()11401444323V =⨯+⨯⨯=8.选D .【解析】依题意，有3sin 4cos 5a a -=±，即()sin 1a ϕ-=±，其中4tan 3ϕ=且02πϕ<<，∴2a k πϕπ-=+，即2a k ππϕ=++，k ∈Z ，由4ta n 3ϕ=且02πϕ<<，得42ππϕ<<，∴34k a k ππππ+<<+，k ∈Z ，故，选D （此时0k =）.9.选D .【解析】令()(1)F x f x =+，∵其图象关于()1,0对称，∴()()2F x F x =--， 即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线1=x 对称，∴()()2G x G x +=-， 即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--= ∴()()f x f x -=；∴A 对；由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对； 由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=， 由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错. 10.选C .【解析】∵()0a f b '=-，()10f b=-，∴()f x 的图象在0x =处的切线方程为 10ax by ++=，它与圆221x y +=相切，1=，即221a b +=，∵0,0a b >>时有2221222a b a b++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴a b +≤∴a b +此时2a b ==.11.选C .【解析】设ABC ∆的外接圆的圆心为O '，由2AB BC ==，AC =90ABC ∠=︒，∴点O '为AC 的中点，∴OO ABC '⊥平面，设直线OO '交球O 于1D 和2D ，不妨设点O 在线段1O D '内，∴1O D '为四面体D ABC -高的最大值，∴1112323D ABC V AB BC h h -⎛⎫=⨯⋅= ⎪⎝⎭，依题意知，2433h ≤，即2h ≤，当且仅当点D 与1D 重合时，D ABC V -取最大值，此时2h =，由()222h R R -+=，得222h R h+=，∴32R =，∴249S R ππ==.12.选B .【解析】不妨设22221x y a b -=的两条渐近线,OA OB 的方程分别为0bx ay -=和0bx ay +=则右焦点(),0F c 到直线OA的距离d b ==，又由FA OA ⊥，得O A a =，∵2OA OB AB +=，∴2OB AB a =- …①∵90AOB ∠=︒，∴222OA AB OB += …②，①②联立，解得43AB a =在Rt OAB ∆中，4tan 3AB AOB OA∠==，而2AOB AOF ∠=∠且tan b AOF a ∠=∴22tan tan 1tan AOF AOB AOF ∠∠=-∠，即22431b a b a ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =，或2b a =-（舍）∴2214b a =，即2254c a =，∴离心率2c e a == 二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分. 13.填112.【解析】∵()843182r rrr T C x-+=-，令8403r-=，即2r =， ∴常数项为()22382112T C =-=14.填1±.【解析】设点()()1122,,,A x y B x y ，由2OB OA =，得21212,2x x y y ==，又∵点B 在椭圆2C 上，∴22221164y x +=，∴2211144y x += …①， ∵点A 在椭圆1C 上，∴221114x y +=…②，由①②可得111yx =±.∴射线OA 的斜率为1±． 15.填12.【解析】依题意，有()2log f x x a -=，a 是常数. ∴()1f a =，即2l o g 1a a =-，易知1a =，∴()21log f x x =+，令()0f x =，解得12x =16.填21y x =+.【解析】依题意，设直线l 的方程为y kx m =+，它与抛物线2y x =交于点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点P 的坐标为(),x y ，则122x x x +=， 122y y y +=…⑴由方程组2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，得到以12,x x 为根的一元二次方程20x kx m --=，则240k m ∆=+>且12x x k +=，12x x m =-…⑵不妨设12x x <，依题意知()21243x x kx m x dx +-=⎰， 即()()22112221124233x x x x k x x x x m ⎡⎤++-++-=⎢⎥⎣⎦…⑶，将⑵代入⑶，化简得()3218x x -=，即()2214x x -=，∴()2121244x x x x +-=…⑷ 又∵221122,y x y x ==，∴2212121212422222y y x x x x y x x +++====+，故122x x y =-，而122x x x +=，得122x x x +=，代入⑷，化简得21y x =+ 三、解答题17．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1233,2,S S S 成等差数列，∴21343S S S =+，∴()()12112343a a a a a a +=+++，即323a a =，∴公比3q =∴113n n n a a q -== …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，33log log 3n n n b a n ===，∵()()2122212122214n n n n b b b b n n n n n -+-=--+=- ∴()()()12233445212221n n n n n T bb b b b b b b b b b b -+=-+-++-()()214124222n n n n n +=-+++=-⨯=-- …12分18．（本小题满分12分）取AC 的中点O ，连接,OF OB ，则有1A A ∥FO ，故FO ⊥平面ABC ，在正三角形ABC 中，O 是AC 的中点，故OB AC ⊥，1,OA OC OB ===如图，以O 为原点，分别以,,OA OB OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()(0,0,0,1,0,0,,1,0,0,,O A B C E F ⎛- ⎝⎭(FB =，AE ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0AC =-，(AF =-（Ⅰ）∵(02FB AE ⎛⋅=⋅-= ⎝⎭， ∴FB AE ⊥，即FB AE ⊥又∵(()2,0,00FB AC ⋅=⋅-=， ∴FB AC ⊥，即FB AC ⊥而AEAC A =，∴FB ⊥平面AEC ； …6分（Ⅱ）设平面AEF 的法向量为(),,a b c =n ，则有0AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即00a a ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，令c =6,a b =即(=n ，由（Ⅰ）知平面AEC 的一个法向量为FB 设二面角F AE C --的平面角为θ，易知02πθ<≤，∴cos FB FB θ⋅==n n…12分 19．（本小题满分12分）设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ， “通过复审”为事件C ．（Ⅰ）设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D A BC =+∵()111224P A =⨯=，()11121222P B ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()310P C = ∴()()()()()25P D P A BC P A P B P C =+=+= …6分 （Ⅱ）根据题意，0,1,2,3,4X =i A 表示“应聘的4人中恰有i人被录用”()0,1,2,3,4i =．∵()04004238155625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31142321655625P A C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭， ()222242321655625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3334239655625P A C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭， ()4444231655625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴X 的分布列为∵X ～()4,0.4B ，∴ 1.6EX np == …12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别是11,A B则11,AF AA BF BB ==∴11AA AF HABF BB HB==， ∴AF HA BF HB =，∴AF BFHA HB=…① AHF ∆中，sin sin AF AHFHA AFH ∠=∠…②，BHF ∆中，sin sin BF AHFHB BFH∠=∠…③将②③代入①，得sin sin sin sin AHF AHFAFH BFH∠∠=∠∠，∴sin sin AFH BFH ∠=∠∴180AFH BFH BFx ∠=︒-∠=∠∴0AF BF k k +=，∴2BF AF k k =-=-．…6分（Ⅱ）依题意可知，抛物线为24y x =，直线l 的斜率k 存在且0k ≠，l 的方程为()1y k x =+，设交点()11,A x y ，()22,B x y ，满足()214y k x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩， 即12,x x 满足()2222240k x k x k +-+=，∴()2242440k k ∆=-->，∴21k <，且21212242,1k x x x x k -+==设()00,M x y ，由FA FB tFM +=，其中0t ≠， X 0 1 2 3 4P81625 216625 216625 96625 16625得()()()1122001,1,1,x y x y t x y -+-=-，∴12012021x x x ty y y t +-⎧=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而()121242y y k x x k+=++=代入2004y x =，得222422441k k kt t ⎛⎫-- ⎪⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，化为：222444k t k t t -+= 得，22444t k t t-=-，而21k <且0k ≠， ∴2t <-，或01t <<，或12t <<，或4t >． …12分 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）令()()()()1ln 1h x f x x x x =--=-+，则()1xh x x '=+， 当10x -<≤ 时，()0h x '≤，函数()h x 递减当0x >时，()0h x '>，函数()h x 递增，故()h x 在0x =处取得最小值()00h = 即，对1x >-，有()()00h x h ≥=，故()1f x x ≥- 令()()()1ln 111x I x f x x x x =-=-+++，则()()21x I x x '=-+， 当10x -<≤ 时，()0I x '≥，函数()I x 递增当0x >时，()0I x '<，函数()I x 递减，故()I x 在0x =处取得最大值()00I = 即，对1x >-，有()()00I x I ≤=，故()11f x x≤+ ∴()111x f x x-≤≤+ …6分 （Ⅱ）令()()()()2ln 1F x g x f x x ax x =-=++-，则()()22211ax a xF x x +-'=+⑴当0a ≤时，210a -<，∴当0x ≥，∴10x +>，2210ax a +-≤∴()0F x '≤，∴函数()[],0,1y F x x =∈为减函数，∴当01x ≤≤时，()()00F x F ≤=， 即0a ≤时，()()f x g x ≥成立⑵当104a <≤时，1212aa-≥ 则对[]0,1x ∀∈，12102ax x a--≤-≤，∴10x +>，2210ax a +-≤ ∴()0F x '≤，∴函数()[],0,1y F x x =∈为减函数，∴当01x ≤≤时，()()00F x F ≤=，即104a <≤时，()()f x g x ≥成立 ⑶当11ln 24a <≤-时，由11ln 22-<，知12012aa-<< ∴当1202ax a-≤≤时，∴10x +>，2210ax a +-≤，∴()0F x '≤当1212ax a-<≤时，∴10x +>，2210ax a +-≥，()0F x '≥， ∴函数()[],0,1y F x x =∈的减区间为120,2a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，增区间为12,12a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦又∵()()00,1ln 210F F a ==-+≤∴对[]0,1x ∀∈，()()(){}max 0,10F x F F ≤≤ 故，当01x ≤≤时，()()f x g x ≥成立⑷当1ln 2a >-时，有ln 210a +->，∴()1ln 210F a =+-> 即()()11g f >，与题意矛盾综合⑴⑵⑶⑷，(],1ln2a ∈-∞-，对01x ≤≤，有()()f x g x ≥． …12分 22．（本小题满分10分）（Ⅰ）如图，由题意可知,ACD AEC CAD EAC ∠=∠∠=∠∴ADC ∆∽ACE ∆，∴CD ACCE AE=， 同理，BD ABBE AE =，又∵AB AC =， ∴CD BDCE BE=，∴B E C D B D C E ⋅=⋅ …5分（Ⅱ）如图，由切割线定理，得2FB FD FC =⋅，∵CE ∥AB ∴FAD AEC ∠=∠，又∵AB 切圆于B ，∴ACD AEC ∠=∠，∴FAD FCA ∠=∠， ∴AFD ∆∽CFA ∆，∴AF FD CF AF=，即2AF FD FC =⋅∴22FB AF =，即FB FA =，∴F 为线段AB 的中点． …10分23．（本小题满分10分）（Ⅰ）设曲线C 上任意点M 的坐标为()cos ,sin ϕϕ（02ϕπ≤<）依题意，直线l 的普通方程为40x y +-=点M 到l的距离为d ==∵02ϕπ≤<，∴9444πππϕ≤+<，3444242πππϕ⎛⎫-≤+-≤- ⎪⎝⎭即4444πϕ⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭，当342ππϕ+=，即54πϕ=时，max 1d === …5分 （Ⅱ）设射线OP 的极坐标方程为()θαα=∈R ，依题意可知，动点Q 的极坐标为(),ρα，()()1,,,P R P αρα，由2OP OQ OR ⋅=，得1P ρρ⋅=…⑴点(),P P ρα在直线l 上，∴()cos sin 4P ραα+=…⑵，cos sin 0αα+≠，∴4cos sin P ραα=+…⑶，将其代入⑴得41cos sin ραα=+，即4cos sin ραα=+由cos ,sin x y ραρα==，∴()224x y x y +=+，其中0xy ≠24．（本小题满分10分）（Ⅰ）∵()()()3332223a b c a b c a b c ++-++++()()()()3332222222a b c a b c b a c c a b =++-+-+-+∵()()332222a b a b ab aa b b b a +--=-+-()()2a b a b =-+∵,a b +∈R ，∴()()20a b a b -+≥，∴3322a b a b ab +≥+，同理，3322b c b c bc +≥+，3322c a c a ca +≥+∴()3332222222a b c a b ab b c bc c a ca ++≥+++++∴()()()()33322222220a b c a b c b a c c a b ++-+-+-+≥∴()()()2223333a b c a b c a b c ++++≤++ …5分（Ⅱ）∵,,a b c +∈R ，∴0,0,0a b b c c a +>+>+>，由柯西不等式得()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭29≥=即()11129a b c a b b c c a ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭，∴23ca b a b b c c a ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭故，32a b c b c c a a b ++≥+++，当且仅当a b c ==时不等式取等号 …10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.。
江苏省建陵高级中学2013—2014高三数学纠错练习
高三数学纠错练习7
1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )(__ ___.
2. 已知向量(12,2)a x =-,()2,1b -=,若→
→b a //,则实数x =__ ____.
3.当且仅当n r m ≤≤时,两圆4922=+y x 与()002586222>=-+--+r r y x y x 有公共点,则m n -的值为 .
4.将函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2倍， 然后把所得的图象上的所有点沿x 轴向左平移π2
个单位，这样得到的曲线和函数 2sin y x =的图象相同，则函数()y f x =的解析式为 ．
5.已知函数221,0,()2,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩
≤0.若实数m )1,0(∈，则函数()()g x f x m =-有 个零点.
6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11233,4,2,a a a a =且成等差数列，则32
S S -
等于 . 7.设)(x f 是定义在R 上的偶函数,当0<x 时,x e x x f +=)( (e 为自然对数的底数), 则)2(ln f 的值为 . 8.已知O 为△ABC 的外心，,120,2,20=∠=
=BAC a
AC a AB 若AC AB AO βα+=， 则βα+的最小值为 ．。
山东省2014届高三高考仿真模拟冲刺考试(三)数学(理)试题(有答案)
绝密★启用前 试卷类型：A山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷（三）理科数学满分150分 考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P kn kkn n =-=-第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数2(1)ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ）A ．1±B ．1-C ．0D ．1 2．下列有关命题的叙述错误的是（ ）A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题B ．若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件C ．命题“x x R x -∈∀2,≥0”的否定是“x x R x -∈∃2,＜0” D ．“x ＞2”是“211<x ”的充分不必要条件 3．设集合{}{}|31,,|5,,A x x k k N B x x x Q ==+∈=≤∈则B 等于（ ）A ．{1,2,5}B ．{l, 2，4, 5}C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4}4．在样本的频率分布直方图中，一共有)3(≥m m 个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1个小矩形面积和的41，且样本容量为100，则第3组的频数是（ ）A ．10B ．25C ．20D ．405．如右图,在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为 （ ）A ．19B ．31C ．1D ．36．已知()()()2,log 0,1x a f x a g x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是（ ）7．已知()f x 为R 上的可导函数，且,x R ∀∈均有/()()f x f x >，则有（ ）A ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->< B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f ->> D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f -<>8．将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（ ）A ．1)42sin(+-=πx yB ．x y 2cos 2= C ．x y 2sin 2=D ．x y 2cos -=9．将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有（ ） A ．192B ．144C ．288D ．24010．如果函数2()ln(1)a f x x b =-+的图象在1x =处的切线l 过点1(0,)b-，并且l 与圆C ：221x y +=相离，则点（a,b ）与圆C 的位置关系是（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上） 11．等差数列{a n }中，a 4+ a 10+ a 16=30，则a 18-2a 14的值为 ．12．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是 ．13．二项式（1+sinx ）n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为 ． 14．直线l 过点(1,3)-，且与曲线12y x =-在点(1,1)-处的切线相互垂直，，则直线l 的方程为 ；15．下列结论中正确的是 ．① 函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x+1）=- f （x ），则函数y=f （x ）的图像关于直线x=1对称；② 2~(16,),(17)0.35,(1516)0.15;N P P ξσξξ>=<<=已知若则 ③ ()(,),(,0]f x -∞+∞-∞已知是定义在上的偶函数且在上是增函数1.21(ln ),(log 3),(0.4),;43a fb fc f c a b -===<<设则④ 线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6,2a c b +==,7cos 9B =. （Ⅰ）求,a c 的值; （Ⅱ）求sin()A B -的值.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证：（Ⅰ）平面//EFG 平面ABC ;（Ⅱ）SA BC ⊥.ABCSGFE一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x x f x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。
数学_2013-2014学年福建省福州某校高三(上)第三次质检数学试卷(理科)(含答案)
2013-2014学年福建省福州某校高三（上）第三次质检数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合M ={x|y =2x }，P ={x|x ≥1}，则M ∩P =( ) A {x|x ≥0} B {x|x >1} C {y|y >0} D {y|y ≥1}2. 已知复数z 1＝cos23∘+isin23∘和复数z 2＝cos37∘+isin37∘，则z 1⋅z 2为（ ） A 12+√32i B √32+12i C 12−√32i D √32−12i3. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2=16，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|，则|AM →|=( )A 8B 4C 2D 14. 若函数y =f(x)在R 上可导且满足不等式xf′(x)>−f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A af(b)>bf(a)B af(a)>bf(b)C af(a)<bf(b)D af(b)<bf(a) 5. 已知函数f(x)=sinx −cosx 且f′(x)=2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1+sin 2x cos 2x−sin2x=()A −195 B 195 C 113 D −1136. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6+a 8=20，那么S 13的值是（ ） A 65 B 70 C 130 D 2607. 已知向量a →，b →，那么“a →⋅b →=0”是“向量a →，b →互相垂直”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8. 设在函数f(x)=xcosx −sinx 的图象上的点(x 0, y 0)的切线斜率为k ，若k =f′(x 0)，则函数k =f′(x 0)，x 0∈[−π, π]的图象大致为（ ）A B CD9. 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1=a n +ln(1+1n)(n ∈N ∗)，则a n =( ) A 3ln(n +1) B 3+lnn C 3+ln(n +1) D 3+ln(21+32+⋯nn+1)10. 已知f(x)是R 上的偶函数，将f(x)的图象向右平移一个单位，得到一个奇函数的图象，若f(2)=−1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2013)=( ) A 1 B 0 C −1 D −1005.5二、填空题：5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上. 11. 已知a 为实数，i 为虚数单位，|a+i i|=2，则a =________．12. 已知函数f(x)=x 2(ax +b)(a, b ∈R)在x =2时有极值，其图象在点（1, f(1)）处的切线与直线3x +y =0平行，则函数f(x)的单调减区间为________．13. 在等比数列{a n }，中，a n >0，且a 5⋅a 6•…•a 12=81，则a 4+a 13的最小值为________． 14. 在△OAB 中，O 为坐标原点，A(1, cosθ)，B(sinθ, 1)，θ∈(0,π2]，则当△OAB 的面积达最大值时，则θ=________． 15. 函数f(x)={2|x−1|，x ≤2−12x +3，x >2，实数a ，b ，c 互不相同，若f(a)=f(b)=f(c)=d ，则a +b +c +d 的范围为________．三、解答题：本大题六个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （1）给定数列{c n }，如果存在实常数p ，q ，使得c n+1=pc n +q 对于任意n ∈N ∗都成立，我们称数列{c n }是“R 族数列”．证明：若数列{b n }的前n 项和为是S n =n 2+n ，数列{b n }是“R 族数列”，并指出它对应的实常数p ，q ．（2）若数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=2n (n ∈N ∗)，求数列{a n }前2013项的和． 17. 已知：a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1, 2). (1)若|c →|=2√5，且c → // a →，求c →的坐标； (2)若|b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直，求a →与b →的夹角θ．18. 已知在同一平面内的两个向量a →=(√3sinx +cos(ωx +π3)，−1)，b →=(1,1−cos(ωx −π3))，其中ω>0，x ∈R ．函数f(x)=a →⋅b →，且函数f(x)的最小正周期为π．（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数y =g(x)的图象，求函数y =g(x)在[0,π2]上的单调递增区间．19. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，对于任意a ，b ∈R 且当a +b ≠0时，都满足f(a)+f(b)a+b>0．（1）求证：f(x)在R 上是的增函数；（2）若对任意的t ∈R ，不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0恒成立，求实数m 的取值范围．20. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120˚，BC=AC=3，点D在线段AB上．（1）若CD=√3，求BD的长；（2）若点E在线段DA上，且∠DCE=30˚，问：当∠DCB取何值时，△CDE的面积最小？并求出面积的最小值．21. 已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3．（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切x∈(0, +∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈(0, +∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．2013-2014学年福建省福州某校高三（上）第三次质检数学试卷（理科）答案1. D2. A3. C4. B5. A6. C7. B8. C9. B10. B11. ±√312. (0, 2)13. 2√314. π215. (6, 7)16. （1）证明：∵ 数列{b n}的前n项和为是S n=n2+n，∴ 当n=1时，b1=S1=1+1=2，当n≥2时，b n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，∵ b1=2也适合上式，∴ b n=2n，(n∈N∗)，又∵ b n+1=2(n+1)=b n+2，(n∈N∗)，∴ 数列{b n}是“R族数列”，对应的实常数分别为p=1，q=2．（2）∵ a1=2，a n+a n+1=2n(n∈N∗)，∴ a 2+a 3=22，a 4+a 5=24，…，a 2010+a 2011=22010，a 2012+a 2013=22012．∴ S 2013=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2012+a 2013=2+22+24+⋯+22012， ∴ S 2013=2+4(1−41006)1−4=22014+23故数列{a n }前2013项的和S 2013=22014+23．17. 解：(1)设c →=(x,y)， ∵ |c →|=2√5，且c → // a →， ∴ {y −2x =0，x 2+y 2=20，解得{x =2，y =4， 或{x =−2，y =−4，故c →=(2,4) 或c →=(−2,−4)． (2)∵ (a →+2b →)⊥(2a →−b →)， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=0， 即2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0， ∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理得a →⋅b →=−52，∴ cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，又∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．18. 解：（1）由向量a →=(√3sinx +cos(ωx +π3)，−1)，b →=(1,1−cos(ωx −π3))， 得f(x)=a →⋅b →=√3sinωx +cos(ωx +π3)+cos(x −π3)−1=2sin(ωx +π6)−1．由2πω=π，得ω=2． ∴ f(x)=2sin(2x +π6)−1；（2）将函数的图象向右平移π6个单位后，得到函数y =g(x)的解析式为g(x)=2sin[2(x −π6)+π6]−1=2sin(2x −π6)−1， 由题意，得2kπ−π2≤x ≤2kπ+π2，k ∈Z ， 即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，∴ 函数y =g(x)在[0,π2]上的单调递增区间是[0,π6]．19. 解：（1）不妨设x 1<x 2，由f(a)+f(b)a+b>0，得f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)>0，又f(x)是定义域为R 的奇函数， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，而x 1−x 2<0 ∴ f(x 1)<f(x 2)∴ f(x)在R 上是增函数． （2）∵ f(x)是奇函数，∴ 不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0⇔f(mt 2+1)>f(mt −1)， ∵ f(x)在R 上是增函数，∴ 对任意的t ∈R ，不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0恒成立 即mt 2+1>mt −1对任意的t ∈R 恒成立 即mt 2−mt +2>0对任意的t ∈R 恒成立．当m =0时，不等式即为2>0恒成立，合题意； 当m ≠0时，有{m >0△=m 2−8m <0，即0<m <8综上：实数m 的取值范围为0≤m <8．20. 解：（1）在△CDB 中，∠CBD =30˚，BC =3，CD =√3， 由余弦定理，得CD 2=BC 2+BD 2−2CB ⋅BD ⋅cos30∘，… 即BD 2−3√3BD +6=0，解得，BD =√3或2√3．… （2）设∠DCB =α，0∘≤α≤90∘， 在△CDB 中，由正弦定理，得CD sin∠CBD=BC sin∠CDB，即CD =BC⋅sin30∘sin(150∘−α)， 同理CE =BC⋅sin30∘sin(120∘−α)，…所以，S △CDE =12CE ⋅CD ⋅sin30∘=916sin(150∘−α)sin(120∘−α)=8√3sin 2(120∘−α)+8sin(120∘−α)cos(120∘−α)=4√3+8sin[(240∘−2α)−60∘]=4√3+8sin2α…∵ 0∘≤α≤90∘，∴ 0∘≤2α≤180∘．∴ 当α=45∘时，S △CDE 的最小值为4(√3+2)=9(2−√3)4．…21. 解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)，f(x)的导数f ′(x)=1+lnx ． 令f ′(x)>0，解得x >1e ； 令f ′(x)<0，解得0<x <1e ．从而f(x)在(0, 1e)单调递减，在(1e, +∞)单调递增．所以，当x =1e 时，f(x)取得最小值−1e ． （2）若2f(x)≥g(x)，则a ≤2lnx +x +3x ，设ℎ(x)=2lnx +x +3x，则ℎ′(x)=2x +1−3x 2=x 2+2x−3x 2=(x+3)(x−1)x 2∵ x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ ℎ(x)min =ℎ(1)=4 故a ≤4即实数a 的取值范围为(−∞, 4] 证明： （3）若lnx >1e x−2ex则lnx ⋅x >xe x −2e ，由（1）得：lnx ⋅x ≥−1e，当且仅当x =1e时，取最小值；设m(x)=x ex −2e，则m′(x)=1−x e x，∵ x ∈(0, 1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增， x ∈(1, +∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减， 故当x =1时，m(x)取最大值−1e 故对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx >1ex −2ex成立．。