近世代数简介
近世代数-文档资料
06.09.2020
11:21
数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形 来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。
沿逆时针方向给珠子标号，
2
由于每一颗珠子的颜色有n种选
ห้องสมุดไป่ตู้
择，因而用乘法原理，这些有标 3
号的项链共有nm种。
图。 问题：n个点的图中互不同构的图有多少个？
06.09.2020
11:21
5.开关线路的构造与计数问题 一个有两种状态的电子元件称为一个开关，
例如普通的电灯开关，二极管等。由一些开关 组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路 的两端也只有两种状态：通与不通。
问题：用n个开关可以构造出多少种不同的 开关线路？
了几十年。
06.09.2020
11:21
伽利略死后，直到19世纪末期，他的理 论才由别的数学家加以进一步的发展和系统 的阐述。
这样一门具有悠久历史、充满许多有趣 问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬 勃发展和广发应用，出现了许多应用与某一 领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和 学生来学习和掌握它。
利用近世代数的方法可得到更高效的检 错码与纠错码。
06.09.2020
11:21
7. 几何作图问题
古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题：用 圆规和直尺能做出哪些图形？
而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上 做记号。为什么会提出这样的问题呢？
一方面是由于生产发展的需要，圆规、直尺是 丈量土地的基本工具，且最初的直尺是没有刻度 的；另一方面，从几何学观点看，古人认为直线与 圆弧是构成一切平面图形的要素。据说，古人还认 为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且 整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。
第二章 近世代数简介
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
10
域（Field)
一个集合，二种运算
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
9
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
作为其根。换言之，若deg
i
(x)
=
(x-
20)
(x-
21)
(x-
(i (x))=
22 )…(x-
li，必有
) 2( li1 )
这里，deg(i (x) )= li m，本原元的共轭根系对
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
23
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的 多项式
多项式系数 m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
3
(1000)
+1
(0011)
本原多项式 Primary Polynomials
近世代数简介
k
= i( x )
i 1
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的
多项式系数
多项式
m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
g(x) 一般多项式：多项式环 m素数或合数,有限数环
PI(x) 既约多项式：多项式域（q元扩域）
q素数,整环
P(x) 本原多项式：域元素构成循环群
例2.8：剩余类环Rq(x) f(x) 中，q =2，f(x) = x3+x+1。若A(x)= x2+x+1、B(x)= x2+ 1 是 两个环元素，求A(x) B(x)是什么元素？该剩余类环至多由多少元素组成？
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
元素的阶
15 / GCD(k,15)
1 15 15 5 15 3 5 15 15 5 3 15 5 15 15
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数发展简史
近世代数发展简史根据课程教学安排，通过查阅近世代数发展历史的相关资料，了解了相关的知识，并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。
一、近世代数的定义代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科，而近世代数（又称抽象代数）是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。
二、近世代数的发展代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（Abel，N.H.）证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念；1830年，年仅19岁的伽罗瓦（Galois，E.）彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念；后来，凯莱（Cayley，A.）在1854年的文章中给出有限抽象群；戴德金（Dedekind，J.W.R.）于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群；克莱因（Klein，C.F.）于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉。
然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯（Weber，H.）在Math.Annalen的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。
由于李（Lie，M.S.）对连续群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius，F.G.）对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响。
同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，然而，它的发展却是19世纪末和20世纪初，由基灵（Killing，W.K.J.）、外尔（Weyl，（C.H.）H.）和嘉当（Cartan）等人的卓越工作才建立了系统理论。
域这个名词虽是戴德金较早引入的，但域的公理系统却是迪克森（Dickson，L.E.）与亨廷顿（Huntington，E.V.）于19世纪初才独立给出。
近世代数中左陪集的定义
近世代数中左陪集的定义
摘要：
一、近世代数简介
二、左陪集的定义
三、左陪集的重要性质
四、左陪集在近世代数中的应用
正文：
近世代数是研究抽象代数结构的数学分支，它涉及到群、环、域等基本代数概念。
在近世代数中，左陪集是一个重要的概念，它有助于我们更好地理解和分析群的性质。
左陪集的定义如下：设G 是一个群，a 是G 的一个元素。
对于任意元素x∈G，我们定义左陪集A(a, x) 为满足以下条件的元素集合：A(a, x) = {y∈G | x * y = a}。
换句话说，左陪集A(a, x) 包含了所有满足与x 的乘积等于a 的元素y。
左陪集具有以下几个重要性质：
1.A(a, e) = {a}，其中e 是群的单位元。
2.A(a, x) = A(a, x^(-1))，即对于任意元素x，其左陪集与自身的逆元的左陪集相同。
3.A(a, x) A(a, y)，当且仅当x ≤ y，其中“≤”表示群中的元素关系。
4.A(a, x) = G，当且仅当x = e 或x = a。
左陪集在近世代数中具有广泛的应用，例如：
1.研究群的结构：通过分析左陪集的性质，可以揭示群中元素之间的关系，进一步了解群的结构。
2.群的表示：给定一个群G 和一个域F，我们可以通过将群中的每个元素表示为其左陪集中的元素来研究群的表示。
这有助于我们理解群在特定域上的性质。
3.群的子结构：通过研究左陪集，我们可以找到群中的子结构，如子群、正规子群等，从而更好地分析群的性质。
总之，左陪集是近世代数中的一个重要概念，它有助于我们深入理解群的性质和结构。
第2章 近世代数
几个概念
– 一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除。
2. 合数
– 一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除以外， 还能被其他的正整数整除。
例2-1
– – – 2，3，5，7，9，11，13，17，19…都是质数； 4，6，8，9，10，…都是合数； 这样，全体正整数又分为：全体素数和全体合数。
天津大学电子信息工程学院 2
2015年11月24日5时20分 天津大学电子信息工程学院 27
域存在定理
2015年11月24日5时20分 天津大学电子信息工程学院 26
3. 多项式循环群（Cycle Group）
–定义：群内的所有元素由多项式的各次幂构
成，称为多项式循环群。
• 多项式是一个群元素，被称为循环群的生成元。
–例2-7，{1， 1， 2， 3， 4， 5，…，}
构成无限循环群； – 若7 =1，以{1， 1， 2， 3， 4， 5， 6} 为周期，则称{0 =1， 1， 2， 3， 4， 5， 6}为 7阶 有限循环群。
f ( x) f n x n f n 1 x n 1 ... f1 x f 0 , f ( x) 0
–若以f(t)为模，对全体多项式做模乘运算，
q为模，对系数做模加运算，得到的多项式
剩余类的全体，可以构成一个交换环，称为
多项式剩余类环，记为Rq(x)f(x)。
2015年11月24日5时20分 天津大学电子信息工程学院 18
第2章 近世代数简介
– 线性分组码中最重要的一个子类---循环码 (RS、BCH码)，它的结构完全建立在有限域 的基础之上，被称为代数几何码。 – 有限域以近世代数为基础。 – 近世代数的运算对象：整数、多项式、矩阵 等。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数与符号之间的关系。
代数的发展可以追溯到古代，但近世代数的起源可以追溯到16世纪。
以下是近世代数发展的简史。
1. 文艺复兴时期（16世纪）在文艺复兴时期，代数开始浮现了一些重要的发展。
意大利数学家Cardano首次提出了解三次方程的方法，并发表了《代数学大全》。
同时，法国数学家Viète 提出了代数中的符号表示法，开创了代数符号的使用。
2. 方程论的发展（17世纪）17世纪，方程论成为代数中的重要研究领域。
法国数学家Fermat和英国数学家Descartes分别独立地发展了代数几何学，将代数与几何相结合。
Fermat提出了著名的“费马大定理”，并在边注中提到了他的证明思路，这成为了代数中的一个重要问题。
3. 群论的兴起（19世纪）19世纪，代数的发展进入了一个新的阶段。
法国数学家Galois提出了群论的概念，并建立了现代代数的基础。
他研究了方程的可解性，并提出了著名的“Galois理论”，解决了费马大定理中的一些特殊情况。
Galois的工作对代数的发展产生了深远的影响。
4. 现代代数的建立（20世纪）20世纪，代数的发展进入了一个全新的阶段。
德国数学家Hilbert提出了代数基础的问题，并提出了一系列的公理化方法。
同时，抽象代数成为了代数中的重要分支，研究了各种代数结构的性质。
在这一时期，代数的研究范围得到了极大的扩展。
5. 应用领域的发展近世代数的发展不仅仅局限于理论研究，还涉及到了许多实际应用领域。
代数在密码学、编码理论、计算机科学等领域都有广泛的应用。
代数的发展为这些领域提供了强大的工具和方法。
总结：近世代数的发展经历了多个阶段，从文艺复兴时期的代数基础研究，到方程论的发展，再到群论和现代代数的建立，代数的研究范围不断扩展。
近世代数的发展不仅仅是理论上的突破，还涉及到了许多实际应用领域。
代数的发展为数学和其他学科的发展做出了巨大贡献。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果模为合数，其因子一定能整除
它，不会产生一个余数1（单位元），
因此逆元不存在。
比如，{1,2,3}mod4 中的2， {1,2,3,4,5,6,7,8} mod9 中的3
如果a的逆元是b，必有关系式 ab = nq+1
这样才会有 （ ab ) mod q =1
四进制乘群不存在？ ！！！
环（Ring)
x+1
2个GF(2)元素的组合：
00， 01，
10，
11
定理2.2 循环群的存在性
若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(q m) 域上次数小于m的非零多项式的全体（共q m1个），在模P(x)乘运算下构成一个多项式循 环群。也就是说，扩域GF(qm)里至少存在一 个本原元（代表一个次数小于m的多项式 ），它的各次幂0、1、2、…、构成了扩 域GF(q m)的全部非零域元素。
下构成一个多项式扩域 GF(22) = {0, 1, x, x+1 },
该扩域的基域是GF(2) ={0,1}。
基域GF(q)是数域，由q个元素组成；
扩域GF(qm) 则是多项式域，由qm 个元素组成。
我们可以用m个基域元素去对应一个扩域元素，
比如q=2、m=2时，扩域GF（22）的元素：
0,
1,
x,
例2.3 集合G = {0,1,2 … m-1}在模m加（用符 号表示）运算下构成一个群（G，）。
该加群是m阶有限群，单位元是0。元素0的 逆元是0，1的逆元是m-1, 2的逆元是m-2,…。
例2.4：集合G = {1,2 … q-1}在模q乘（q是素 数）运算下构成一个乘群（G，）。
为什么有限加群对模数m无要求， 而有限乘群要求模数q必须为素数？
定理2.8 最小多项式因式分解
GF(q)上多项式 ( xqm 1 1) 一定可以分解成
若干最小多项式之积,即
( xqm 1 1) = 1(x) 1(x)… k (x)
k
= i( x )
i 1
(2-8)
共轭元与最小多项式关系
li次最小多项式i (x)必然有同一根系的li个共轭元
g(x) 一般多项式：多项式环 m素数或合数,有限数环
PI(x) 既约多项式：多项式域（q元扩域）
q素数,整环
P(x) 本原多项式：域元素构成循环群
例2.8：剩余类环Rq(x) f(x) 中，q =2，f(x) = x3+x+1。若A(x)= x2+x+1、B(x)= x2+ 1 是两个环元素，求A(x) B(x)是什么元素 ？该剩余类环至多由多少元素组成？
星 际判官 /0/33/
拉格朗日定理（Lagranges）:
有限群(G，*)的子群(S，*)的阶数一定是群 (G，*)阶数的因子。
若(A, * )，（B, * ）分别是群(G, * )的两个 子群， 则A、B的交集在同样运算下也构成 (G, * )的子群（A∩B，*）。
定理2.1 多项式域的存在性
若PI（x）是GF(q)上的m次既约多项式，则 GF(q)域上次数小于m的多项式的全体，在 模q加、模PI（x）乘运算下构成一个qm阶 的有限域，称为GF(q)域的扩域（Extension Field），写作GF(qm)，而称GF(q)是扩域 GF(qm)的基域。
二元域上的多项式，在模2加、模x2+x+1乘运算
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
循环群的构成步骤是： ① 找一个 m 次本原多项式 P(x)
② 取其根及根的各次幂0、…、 qm 2
③ 构成循环群
定理2.4 各元素的阶
GF(q m)扩域上非零元素{k} (k=0,1,…, q m-2) 的阶一定是(q m-1)的因子，其值为：
n = (q m-1)/GCD(k, q m-1)
(2-4)
加法成“群”
去零后乘法也成
“群”
G1:封闭性
G1:封闭性
G2:结合性
G2:结合性
G3:单位元存在 G3:单位元存在
G4:逆元存在
非零元素逆元存在
分配性
交换环
乘法交换率
有限整数集合F={0,1,2,…,q-1} (q是素 数)在模q加、模q乘运算下构成一个q阶有 限域，又称伽逻华(Galois)域，记作GF(q)。
0 1 2 3 的阶 逆元 逆元
1111114 1
2124343 3
3134242 2
4141421 4
既约多项式 Irreducible Polynomials
对于某数域上的多项式PI（x），若除了常数C以 及CPI（x）外不能被该数域上的任何其它多项式 整除，则称为是该数域上的既约多项式。
本原多项式 Primary Polynomials
近世代数简介
群(group): 一个集合，一种运算
满足 G1:封闭性 G2:结合性 G3:单位元存在 G4:逆元存在
交换群 星际 判官 /0/33/
G5:交换性
加群一定是交换群，加群一定含零元素
乘群不一定是交换群，乘群一定不含零元素
包含无数个元素的群称为无限群。
若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
但这是零因子环，乘法消除律不成立。
若 a是m的因子，a b= 0 ，而a0，b 0
称a、b为零因子。
有零因子时，乘法消除率不能成立，即 从a b = a c (mod m)不能推得b = c (mod m) ， 因为当 c =0时，前式成立而后式并不成立。带 来的后果是，方程a x = 0无唯一解，因为 x =0和x =b都是解。
得（见右边竖式）
x4 + x2 + x
A(x) B(x)] mod f (x) = x2+ x 本题f(x)是3次多项式deg [f(x)]=3, 因此环元素的幂次不会超过2， 环元素的通式可表示为
x3+ x2 + 0 +1
x3 + 0 + x +1 余式x2 + x
a2x2+ a1x+ a0 ，其中a2, a1, a0GF(2)={0,1}, 3系数最多可有8种组合，即该剩余类环至多有8个域元素
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的 多项式
多项式系数 m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
3
(1000)
+1
(0011)
2+
(0110)
某一元素a（称作生成元a）的一切乘幂a0, a1, a2,…的全体组成一个群，称为循环群， 写作G ={ a0, a1, a2, …},其中a0= e是单位元。
若序列a0= e，a1, a2, …中没有两个元素是相 等的，称之为无限循环群。
若上述序列中有两个相等的元素a i= a j, (ij) ，可推出G 的元素必以n为周期重复，即an = a0=e , 这样的循环群称为有限循环群。
例2.9
定理2.5 完全分解性
扩域GF(qm)上所有非零元素0,1,… qm 2 都 是GF(q)上多项式 ( xqm 1 1) 的根，即
( xqm 1 1) 可完全分解为一次项之积
( xqm 1 1) =(x-0) (x-1) (x-2)…(x- qm 2 )
(2-5)
定理2.6 幂和特性
3+ 2
(1100)
3++1
(1011)
2+1
(0101)
3+
(1010)
2+ +1
(0111)
3+ 2+ (1110)
3+ 2+ +1 (1111)
3+ 2+1 (1101)
3+1
(1001)
上表利用了关系式4 = +1和15 = 1
元素的阶 15 / GCD(k,15)
1 15 15 5 15 3 5 15 15 5 3 15 5 15 15
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
解：多项式系数取自GF(2)={0,1},系数作模2加、模2乘。 第一步是先做一般的多项式乘法运算如下