【精准解析】江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题
2020年江苏省扬州市海安高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析
2020年江苏省扬州市海安高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，已知x1，x2∈（，π），且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=( )A．﹣1 B．C．D．参考答案：D考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数图象求出函数的解析式，结合三角函数的对称性求出函数的对称轴即可得到结论．解答：解：由图象知函数的周期T=2[﹣（﹣）]=2×=π，即=π，解得ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），由五点法知2×+φ=π，解得φ=，即f（x）=sin（2x+），由2×x+=，解得x=，即x=是函数的一条对称轴，∵x1，x2∈（，π），且f（x1）=f（x2），∴x1，x2关于x=对称，则x1+x2=2×=，则f（x1+x2）=f（）=sin（2×+）=sin=sin=，故选：D点评：本题主要考查三角函数的性质是应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．2. 下列命题中，真命题是( )A．存在B．是的充分条件C．任意D．的充要条件是参考答案：B3. 设，，则的值是( )A.B．-C．1 D．-1参考答案：A略4. 已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A略5. 设集合，，则下列关系中正确的是（）A、 B、C、 D、参考答案：C6. 阅读下面的程序框图,输出的结果是A.9B.10C.11D.12参考答案：B本题主要考查算法与程序框图的相关知识,考查运算求解能力.a=95→y=a x是减函数,否→a=×(95-1)=47→y=a x是减函数,否→a=×(47-1)=23→y=a x是减函数,否→a=×(23-1)=11→y=a x是减函数,否→a=×(11-1)=5→y=a x是减函数,否→a=×(5-1)=2→y=a x是减函数,否→a=×(2-1)=→y=a x是减函数,是→x=1→a x=()1>10-3,是→x=1+1=2→a x=()2>10-3,是→x=2+1=3→a x=()3>10-3,是→…→x=8+1=9→a x=()9>10-3,是→x=9+1=10→a x=()10>10-3,否→输出x为10.7. 已知等差数列中，，则的值是（▲ ）A．15 B．30 C．31D．64参考答案：A8. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（）A． B． C． D．参考答案：C9. 已知偶函数满足，且当时，，关于x的不等式在区间[－200,200]上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据的周期和对称性得出不等式在上的整数解的个数为3,计算的值得出的范围.【详解】因为偶函数满足,所以,所以的周期为且的图象关于直线对称,由于上含有50个周期,且在每个周期内都是轴对称图形,所以关于不等式在上有3个整数解,当时,,由,得,由,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,因为,,所以当时,,所以当时,在上有4个整数解,不符合题意,所以,由可得或,显然在上无整数解,故而在上有3个整数解,分别为,所以,,,所以.故选:D【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题.10. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若,则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若x，y满足，则的取值范围为______．参考答案：[1，2]【分析】根据约束条件画出可行域，通过平移直线找到在轴截距的最大和最小值，从而得到的取值范围.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：令，则，可知的取值范围即为直线在轴截距的取值范围由平移可知如图：当直线经过点时，截距最小；当与重合时，截距最大，本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的范围类问题的求解，关键是能够通过平移找到截距取得最值时所经过的可行域中的点.12. 设，，，则A∩B=________.参考答案：(0,1) 【分析】先根据指数函数的性质求出集合B ，再进行集合运算即可． 【详解】由在R 上为增函数，所以，∴＝{x |x <1}， ∴， 故答案为：．【点睛】本题考查集合的交集的运算，考查指数函数性质的应用，是一道基础题． 13. 对?x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是________．参考答案：14. 执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是( )A ．8B ．5C ．3D ．2 参考答案： C15. 已知圆C 过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．参考答案：分析： 由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．由此可求出它到双曲线中心的距离．解答： 解：由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用． 16. 二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为 高参考答案：17. 若（ax 2+）5的展开式中常数是﹣80，则实数a= ．参考答案：﹣16【考点】二项式定理的应用．【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：（ax 2+）5的展开式中通项公式：T r+1==a 5﹣r．令10﹣=0，解得r=4．∴常数是=﹣80，解得a=﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届江苏省南通市高三下学期第四次调研测试数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市高三下学期第四次调研测试数学试题一、填空题1．已知集合{}3,1,1,3A =--，{}2230B xx x =--=∣，则A B =________．【答案】{1,3}-【解析】解一元二次方程求得集合B ，由此求得A B .【详解】由()()223310x x x x --=-+=解得1x =-或3x =，所以{}1,3B =-，所以A B ={1,3}-故答案为：{1,3}- 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．已知复数z 满足()24z i -=，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 【答案】2【解析】由已知求出24z i =-，即得z 的实部. 【详解】 由题得24424iz i i i-===-， 所以24z i =-， 所以z 的实部为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数实部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[]48,58中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[]50,56的女生数为________．【答案】75【解析】先根据频率分布直方图求出所求区间的频率，然后乘以总人数即为所求. 【详解】由频率分布直方图可知，体重在区间[]50,56的频率为()20.1000.1500.1250.75++=，所以体重在区间[]50,56的女生数为0.7510075.⨯=故答案为：75【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为7-，则输入的x的值为________．【答案】1【解析】模拟程序的运行过程可知该程序的功能是求分段函数的函数值，利用分类讨论即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行过程可知，该程序的功能是求分段函数6,228,23x xyxx-≥⎧⎪=⎨-<⎪-⎩的函数值，当2x ≥时，67x -=-，得1x =-，不符合题意； 当2x <时，2873x-=--，得1x =，符合题意； ∴输入的x 的值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查程序与算法的应用，属于基础题．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y -=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为________． 【答案】17【解析】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||16MF MF -=，令2||1MF =即得解. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||2816MF MF -=⨯=,所以11|||1|2816||17MF MF -=⨯=∴=，或15-（舍）. 所以点M 到另一个焦点的距离为17. 故答案为：17. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6．已知区域{(,)|||2A x y x =，||2}y 和{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +，若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为________． 【答案】18【解析】分别求出集合A ，B 所对应的区域的面积，然后根据几何概型的概率公式即可求解． 【详解】因为{(,)|||2A x y x =，||2}y 表示的区域是以4为边长的正方形，面积为16， 由{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +可知，其区域为如图所示的阴影部分，面积12222S =⨯⨯=，故在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率21 168P==.故答案为：18.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析数学问题的能力.7．若实数x，y满足34x y+=，则28x y+的最小值为________．【答案】8【解析】利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】依题意3334282222222228x y x y x y x y++=+≥⋅===，当且仅当322x y=，即32x y==时等号成立.所以28x y+的最小值为8.故答案为：8【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8．已知数列{}n a满足112n nn na aa a+++=-，且119a=，则6a的值为________．【答案】27【解析】根据已知条件判断出数列{}n a是等比数列，进而求得6a的值.【详解】由于112n nn na aa a+++=-，1122n n n na a a a+++=-，13n na a+=，所以13nnaa+=，所以数列{}na是首项为119a=，公比为3q=的等比数列，所以55361133279a a q =⋅=⨯==. 故答案为：27 【点睛】本小题主要考查根据递推关系求某一项的值，考查等比数列的定义，属于基础题. 9．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为________． 【答案】13【解析】根据题意可知函数的周期为3，可得()()()(2)1,81-==-f f f f ，然后根据函数的奇偶性可得()1f ，最后利用函数的周期性可得(2020)f 【详解】由题可知：函数()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数 所以()()()()(2)1,811-==-=-f f f f f ， 又(2)2(8)1f f -=+所以(1)2(1)1=-+f f ，则1(1)3f =所以()()1(2020)6733113=⨯+==f f f 故答案为：13【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键在于观察，利用函数的周期性，把大数变小数，属基础题.10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数（V ）、棱数（E ）、面数（F ）之间存在如下关系：2V F E +-=．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为12,S S ，则12S S 的值为________．【答案】32【解析】设棱长为a ，分别求出正六面体和正八面体的外接球半径即可. 【详解】 设棱长为a正六面体即正方体，它的外接球的半径等于体对角线的一半，所以13R a =对于正八面体，易得AC BD EF ==，故其外接球的球心为AC 中点，所以222R a =所以2211222234342424aS R S R a ππ=== 故答案为：32【点睛】本题考查的是几何体外接球，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线2:330x l -+=与圆22:4C x y +=的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为________．【答案】2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】直线l 的方程与圆C 方程联立，求出两交点,A B ，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，可求得圆的标准方程.【详解】由2:330x y l -+=与22:4C x y +=联立得22(323)4y y -+=， 得1y =或2y =，则两交点坐标为(3,1),(0,2)A B -，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，则圆心33(,)22-，半径为12AB =， 圆M 的标准方程为2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了求直线与圆的交点坐标，求以两点的线段为直径的圆的标准方程，属于基础题.12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若2,1AB AD ==，则DC AB ⋅的取值范围是________．【答案】(0,3)【解析】连接,,BD BC AC ，则()2DC AB DA AB AB BC AC CB ⋅=⋅++⋅+，再由直径AB 可得1cos 2DAB ∠=，90ACB ∠=︒，从而可求DC AB ⋅的值. 【详解】连接,,BD BC AC因为AB 为直径，故90ADB ∠=︒，而2,1AB AD ==，所以1cos 2DAB ∠=.同理90ACB ∠=︒.()2DC AB DA AB BC AB DA AB AB BC AB ⋅=++⋅=⋅++⋅()2112432BC AC CB CB ⎛⎫=⨯⨯-++⋅+=- ⎪⎝⎭，因为C 在BD 之间（异于,B D 两点），故(BC ∈， 所以()0,3DC AB ⋅∈， 故答案为：(0,3). 【点睛】本题考查向量的数量积，其计算方法有定义法、坐标法、基底法等，解题中注意向已知的向量转化.13．已知函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，则函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为________． 【答案】5【解析】先求得()f x 的零点，然后由(()24)0y f f x x =-+=，求得函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数.【详解】 由于函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，当0x <时，30x <，没有零点.当0x ≥时，220x x -=，解得10x =或22x =.令(()24)0y f f x x =-+=，则()240f x x -+=或()242f x x -+=，即()24f x x =-或()22f x x =-.由3240x x x =-⎧⎨<⎩或22240x x x x ⎧-=-⎨≥⎩或3220x x x =-⎧⎨<⎩或22220x x x x ⎧-=-⎨≥⎩.解得4x =-或2x =，或2x =-，或2x =. 所以函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为5. 故答案为：5 【点睛】本小题主要考查分段函数零点问题，属于中档题. 14．已知点G 是ABC 的重心，且GA GC ⊥，若111tan tan A C+=，则tan B 的值为________． 【答案】12【解析】由GA GC ⊥得到0GA GC ⋅=，结合G 是ABC 的重心，得到2225b a c =+，结合余弦定理和正弦定理，求得tan B 的值. 【详解】依题意GA GC ⊥，所以0GA GC ⋅=，所以()()0BA BG BC BG -⋅-=①， 因为G 是三角形ABC 的中心，所以()13BG BA BC =+②， 把②代入①并化简得5AC AC BC BC AB AB ⋅=⋅+⋅， 即2225b a c =+，由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+， 所以242cos b ac B =，由正弦定理得22sin sin sin cos B A C B =③，已知111tan tan A C+=， 所以cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=()sin sin 1sin sin sin sin A C BA C A C+===， 所以sin sin sin B A C =④，由③④得2sin cos B B =，所以1tan 2B =. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数关系以及三角恒等变换，属于难题.二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,10,6,8ABC AB BC AC PC ====，E ，F 分别是,PA PC 的中点，求证：（1）//AC 平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）先证明//EF AC ，//AC 平面BEF 即得证；（2）先证明BC PA ⊥，PA EC ⊥，PA ⊥平面BCE 即得证． 【详解】（1）在PAC 中，E ，F 分别是,PA PC 的中点， 所以//EF AC ．又因为EF ⊂平面BEF ，AC ⊄平面BEF ， 所以//AC 平面BEF ．（2）在ABC 中，10,6,8AB BC AC === ， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥． 因为PC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PC BC ⊥．又因为,,BC PC AC PC C AC ⊥⋂=⊂平面,PAC PC ⊂平面PAC ．所以BC ⊥平面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥ 在PAC 中，因为AC PC =，E 为PA 的中点， 所以PA EC ⊥．又因为,,PA BC CE BC C CE ⊥⋂=⊂平面,BCE BC ⊂平面BCE ． 所以PA ⊥平面BCE ． 【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力. 16．已知函数2()2cos cos 2,46f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的最小值；（2）在ABC 中，03A π<<，且1()2f A =-，若2,AC BC ==B 的大小．【答案】（1）1-（2）2B π=.【解析】（1）用降次公式，两角和与差公式，辅助角公式化简()f x ，再求得最小值； （2）由1()2f A =-，求得角A ，再由正弦定理求得角B . 【详解】（1）2()2cos cos 246f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2cos2cos sin 2sin 266x x x πππ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭11sin 2sin 222x x x =-+-31sin 22x x =+-123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为当()3x k k Z ππ=+∈时，cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为1-，所以()f x 的最小值为1（2）由（1）知，1()13cos 232f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，即3cos 232A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 因为03A π<<，所以233A πππ<+<，所以5236A ππ+=，即4A π=．在ABC 中，因为2AC =，2BC =，由正弦定理sin sin AC BC B A=，得22sin sin 4B π=，所以sin 1B =．因为0B π<<，所以2B π=．【点睛】本题考查了降次公式，两角和与差公式，辅助角公式，已知三角函数值求角，正弦定理，属于中档题.17．如图，在市中心有一矩形空地,100m,75m ABCD AB AD ==．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边,AD AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为2400m ，求喷泉区域面积的最小值； （2）若100m MN =，求假山区域面积的最大值． 【答案】（1）2200m π；（2）212503m . 【解析】（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，根据假山区域面积为2400m ，找到r 与θ的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地ABCD 内，即验证是否能取到最小值；（2）由（1）根据以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，求得θ的范围，再将假山区域面积用θ表示出来，再求最值. 【详解】解：（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，半圆的圆心为O ． 在直角三角形AMN 中，2MAN π∠=，所以2sin ,2cos AM r AN r θθ==．因为假山区域面积为2400m ， 所以2112sin 2cos sin 240022AM AN r r r θθθ⋅=⨯⨯== 所以2400sin 2r θ=，所以喷泉区域面积22002002sin 2S r πππθ==喷泉， 当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时取等号．此时20r =．因为点O 到CD 的距离112d AD AM =-，点O 到BC 的距离212d AB AN =-，所以175sin 7520d r r θ=-=->=，即1d r >，2100cos 10020d r r θ=-=->=，即2d r >．所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内． 所以当4πθ=时，S 喷泉取得最小值2200m π．喷泉区域面积的最小值为2200m π．（2）由（1）知，若100m MN =，则2100,100sin ,100cos r AM AN θθ===． 所以点O 到CD 的距离175sin 7550sin d r θθ=-=-， 点O 到BC 的距离210050cos d θ=-， 因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，所以12,,d r d r ⎧⎨⎩即7550sin 50,10050cos 50,θθ-⎧⎨-⎩所以1sin 2θ≤．又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 所以假山区域面积11100sin 100cos 2500sin 222S AM AN θθθ=⋅=⨯⨯=假山，因为0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以20,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当6πθ=时，假山区域面积的最大值为212503m ．【点睛】本题是三角函数在几何中的应用题，结合考查了直线与圆的位置关系，二倍角公式，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y bC b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 的面积为10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．【答案】（1）2213620x y +=；（2）515100x ±-=；（3）证明见解析.【解析】（1）由题得22363b-=b 的值，即得椭圆2C 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，得到韦达定理，再根据ABOAOFBOFSSS=+11||2OF y =21||2OF y +求出m 的值，即得直线AB 的方程； （3）设()()1122,,,,A x y B x y 先求出,,A B C 的坐标，得到533OA CD k k ==．所以//OA CD ，又5321AD OC k k ==-，所以//OC AD ．即得四边形AOCD 是平行四边形． 【详解】（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==，椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23=因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=． （2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线，设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以()1,2220259m y m -±==+， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSSSOF y OF yO y y y F y =+=+=-=-===， 化简得4259m =，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上，所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =，从而得，113,4x y ==即321,,,4488A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭．所以21OC k =-，直线OC的方程为21y x =-， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和面积的计算，考查直线方程的求法和位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 19．已知函数()(1ln )()m R f x x x m =++∈． （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 【答案】（1）21y x m =+-；（2）答案见解析；（3）{1,2,3}. 【解析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()g x 的表达式，利用()'g x ，对m 分成0m ≤，0m >两种情况进行分类讨论，由此求得()g x 的单调区间.（3）由()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，得到(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立，由此构造函数()(1ln )m x x x mx m =+-+，利用来导数研究()m x 的单调区间和最值，由此求得整数m 的取值集合. 【详解】（1）()2ln '=+f x x ，所以(1)2f '=，()11f m =+，所以所求切线方程为()121y m x --=-，即21y x m =+-． （2）由已知，()()1ln f x mg x x x x x x=+=+++， 所以2221()1m x x mg x x x x +-'=-+=．当0m ≤时，()()0,g x g x '>的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，令()0g x '=，得x =或x =（舍去），x ⎛∈ ⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；12x ⎛⎫-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 综上，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，函数的单调递减区间为10,2⎛-+ ⎝⎭，函数的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （3）由已知(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立， 设()(1ln )m x x x mx m =+-+，令()'ln 20m x x m =+-=，得2m x e -=．当()20,m x e -∈时，()'0,()m x m x <单调递减；当()2,m x e-∈+∞时，()'0,()m x m x >单调递增．所以()min 22[()]m m m x m e m e--==-，设2()m h m m e-=-，令2()10m h m e -'=-=，得2m =．当),(2m ∈-∞时，()()0,h m h m '>单调递增； 当(2,)m ∈+∞时，()()0,h m h m '<单调递减． 又(0)0h <，1(1)10h e-=->，0(2)20h e =->，(3)30h e =->，2(4)40h e =-<，所以满足题意的整数m 构成的集合为{1,2,3}． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn nS b a =()N n *∈，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围． 【答案】（1）1(1)2n b n =+；（2）证明见解析；（3）(]20,log 3.【解析】（1）根据已知条件求得1b 和数列{}n b 的公差，由此求得数列{}n b 的通项公式. （2）由（1）得到*1(1),2n n S n n N a =+∈，进而得到数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，求得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而证得数列{}n a 是等差数列.（3）先求得n c 的表达式，然后求得1n n c c +-的表达式，对1a 进行分类讨论，结合数列{}n c 的单调性，求得1a 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-． 由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=， 因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+． （2）由（1）知，*1(1),2n n S n n N a =+∈， 即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 两边除以(1)n n +得，()*101n na a n N n n+-=∈+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列．所以111n a a a n ==，即1n a na =， 所以11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 是等差数列． （3）因为n n n S b a =，所以11(1)22n n n n n S a a ++==， 所以111(1)22n n n na a S n n a c ++==．因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)122222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，当*n N ∈时，211,1223n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭． 显然10a ≠，①若10a <，则11111,0222a a nn >->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ②若12log 3a >，则111,02322k ka a n n <-<+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ③若21log 3=a ，则1123k a =，所以当1n =，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =． ④若120log 3a <<，则111132a <<． 当1221a n <-，且*n N ∈时，1n n c c +>，{}n c 单调递增； 当1221a n >-，且*n N ∈时，1n n c c +<，{}n c 单调递减， 不妨取()*0120002log ,2k a k N k k +=∈，则001k k c c +=． 综上，若存在*12,k k N ∈，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是(]20,log 3.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查由递推关系证明等差数列，考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21．已知矩阵 1 1 4a A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2．（1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．【答案】（1）2a =；（2）矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）根据矩阵A 的特征多项式列方程，结合矩阵A 的特征值求得a 的值. （2）由（1）求得另一个特征值，根据特征向量的求法，求得对应的特征向量. 【详解】（1）由已知，矩阵A 的特征多项式为1()(1)(4)14af a λλλλλ--==--+-，令()0f λ=得，2540a λλ-++=．因为矩阵A 的一个特征值为2，所以上述方程有一个实数解2λ=， 所以2a =．（2）由（1）得，2560λλ-+=，解得122,3λλ==， 所以另一个特征值为3λ=． 设其对应的一个特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12314x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，取1x =，则1y =． 所以矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本小题主要考查根据特征值求参数，考查特征值和特征向量的求法，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C，求实数m 的值． 【答案】2m =±．【解析】将椭圆C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的参数方程代入椭圆方程，结合直线的参数方程中参数的几何意义与韦达定理即可求出答案．【详解】解：将椭圆C 的参数方程2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程得2214xy +=，将直线l的参数方程代入椭圆方程得2244022m ⎛⎫⎛⎫++⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即225402t m ++-=， 由()22524402m m ∆=-⋅->得，m <<， 设12,t t 为两交点对应的参数，∴()2121224,55m t t t t -+=-=，∴()()()()222221212128482048425525m mm t t t t t t ---=+-=-=，∵直线l截椭圆所得弦长为5， ∴()28204322525m -=，2m =±，符合>0∆， ∴2m =±． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题． 23．若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++≥． 【答案】证明见解析.【解析】利用柯西不等式证得不等式成立. 【详解】因为()22222221111149232323a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2222()4911149a b c a b c++++++． 又7a b c ++=，所以2224936a b c ++ 【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.24．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，且60BAD ∠=︒，M 是侧棱1DD 的中点，N 是棱11C D 上的点．（1）求异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M AC N --的大小为4π，试确定点N 的位置． 【答案】（110（2）点N 与点1C 重合. 【解析】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ，可以证明DE DC ⊥，11,D D DC D D DE ⊥⊥，从而建立如图所示的空间直角坐标系.（1）算出1,BD AM 的坐标后可求1,BD AM 的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值.（2）算出平面AMC 的法向量和平面ACN 的法向量后再计算它们夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值. 【详解】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ， 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等， 所以底面ABCD 是菱形．又60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形， 所以DE AB ⊥，因为//AB DC ，所以DE DC ⊥． 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，DC ，DE ⊂平面ABCD ，所以11,D D DC D D DE ⊥⊥．分别以直线1,,DE DC DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则1(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)D A B C D M -．所以1(3,1,2),(3,1,1)BD AM =--=-， 设异面直线1BD 与AM 所成角的大小为θ，则11131210cos |cos ,|5||||225BD AM BD AM BD AM θ⋅-+=〈〉===⋅⨯，所以异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为105． （2）由（1）知，(3,3,0),(3,1,1)AC AM =-=-． 设平面AMC 的法向量为()1111,,n x y z =，则11n AC n AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11n ACn AM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，所以11111330,30.x y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩取13x =，则111,2y z ==，即平面AMC 的一个法向量为1(3,1,2)n =． 设(0,,2),02N λλ，则(0,2,2)CN λ=-．设平面ACN 的法向量为()2222,,n x y z =，则22n AC n CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2200n AC n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2222330,(2)20.x y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取2x =，则2221,2y z λ-==， 即平面ACN 的一个法向量为223,1,2n λ-⎛⎫= ⎪⎭．则121212coscos 422n n n n n n π⋅=<⋅>===⋅， 解得2λ=．所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合． 【点睛】本题考查空间角的计算，此类问题我们可以借助于空间中直线的方向向量和平面的法向量来帮助计算，比如异面直线所成角的的余弦值就是它们所在直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，二面角的平面角的余弦值就是两个平面的法向量的夹角的余弦值或其相反数（结合二面角的大小来考虑）. 25．设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++ （2k ≥，k *∈N ）．（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k 的值；（2）设222n n k +-=（n *∈N ），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这1k +个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n *∈N ．记123nt t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)!n P n >-．【答案】（1）9k =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用题目所给展开式中第5项与第7项的系数之比列方程，解方程求得k 的值.（2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得n P 的表达式，构造数列()*(1)22,2n n n n a n n N +=-∈，判断出数列{}n a 的单调性，由此证得不等式成立 【详解】（1）因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，即44662328k k C C ⋅=⋅，所以4632k k C C =，即303(4)(5)2k k =--，所以292020k k -+=， 解得0k =或9k =．因为*2,k k N ≥∈，所以9k =．（2）由题意，最小数在第n 列的概率为2212n n n n =++，去掉第n 列已经排好的n 个数，则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最小值在第1n -列的概率为12(1)2n n n n -=-， ………… 以此类推，余下的数中最小数在第2列的概率为23， 所以12222213(1)3(1)!n nn P n nn n n -=⨯⨯⨯==++⨯⨯⨯+． 由于2222n n k +-=，所以2n ≥．设()*(1)22,2nn n n a n n N +=-∈， 所以()*1212,nn n a a n n n N +-=--∈．记()*212,nn b n n n N=--∈，所以1210n n n bb +-=->，所以{}n b 是递增数列，所以210n b b =>；{}n a 是递增数列，所以21n a a =，所以(1)22nn n +>，所以2(1)1(1)!2(1)!2(1)!n n n n n n +>=++-，即12(1)!n P n >-．【点睛】本小题主要考查二项式展开式的系数，考查相互独立事件概率计算，考查数列的单调性，属于难题.。
【精准解析】江苏省南通市2020届高三下学期二模考前综合练习数学试题
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个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
8.已知关于 x 的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0 的解集为 A，且 A 中共含有 n 个整数，则当
n 最小时实数 a 的值为_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】
讨论 a 0, a 0, a 0 三种情况，a＜0 时,根据均值不等式得到 a 4 （﹣a 4 ）≤﹣
∴a 4 的最大值为﹣4，当且仅当 a 4 4 时，A 中共含有最少个整数，此时实数 a 的值为
a
a
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﹣2；
②a＝0 时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故 a＝0 不符合条件；
③a＞0 时，[x﹣（a 4 ）]（x﹣4）＞0，其中 a 4 4，
a
a
∴故解集为（﹣∞，4）∪（a 4 ，+∞），整数解有无穷多，故 a＞0 不符合条件； a
2 ，x 2， 7.已知函数 f(x)＝{ x
若关于 x 的方程 f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数 k
（x－1）3，0＜x＜2，
的取值范围是________．
【答案】
0,
1 2
【解析】 由图可知，当直线 y＝kx 在直线 OA 与 x 轴(不含它们)之间时，y＝kx 与 y＝f(x)的图像有两
【 详 解 】 ∵△PF1F2 中 ， sin∠PF1F2═ 5 ， sin∠PF1F2═ 2 5 ， ∴ 由 正 弦 定 理 得
计算得到 z2＝（2+i）2＝3+4i，再计算 z2 得到答案.
【详解】∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则 z2 3 4i ．
江苏省海安高级中学2020届高三12月月考数学试题 Word版含答案
阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F（第4题）A 1分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分（第16题）AOBPQMN（第17题）钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】1011 5. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 24011. 【答案1 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC 32=. ……8分因为△ABC 的面积为93193sin 2CA CB C ?， 即1π9332sin 23CB 鬃，解得6 2.CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得()(2222212cos 32622326254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以3 6.AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33． 所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，． 03361010x +03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故()2236992AB =--+= …… 5分答：水上旅游线AB 的长为92． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号， 因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c ，所以223121 2 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()020200208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+．因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e ，列表分析x (0，1e ) 1e (1e ，＋∞)g ’(x ) － 0 ＋ g (x ) 单调递减单调递增g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0， 故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0， f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分 （3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分 证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由 x (1，x 0) x 0 (x 0，1＋a )f’(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ． 补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩， ……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， ……2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分 所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……10分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……2分 （1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)， 则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2； …… 5分PA BD y z（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi )＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi)＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n － (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ．所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期期初模拟考试数学试题含答案
江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1.已知集合A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，则A ∩B 中元素的个数为_____．2.已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为_____．3.从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤概率为_______．4.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．6.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 .7.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________.8.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．的9.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且OC=u u u r则点C的坐标是_____．10.设S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝11，则S20的值为_____．11.如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．12.已知函数f（x）12211222x xx xxx⎧+-⎪⎪⎪=---≤-⎨⎪≤-，＞，，，若f（t）≥f（1t），则实数t的取值范围是_____．13.在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为_____．14.设函数f（x）＝（2x﹣1）e x﹣ax+a，若存在唯一整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是_____．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2222x x xf x cos sin⎫=-⎪⎭．（1）设θ∈[0，π]，且f（θ）=1，求θ的值；（2）在△ABC中，AB＝1，f（C）=1，且△ABC 的面积为2，求sin A+sin B的值．16.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF12=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，G为BC中点，求证：的（1）OG ∥平面ABFE ； （2）AC ⊥平面BDE ．17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E ＝cv n T ，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：h ），c 为常数，n 为能量次级数，如果水的速度为4km /h ，该生物探测器在水中逆流行进200km ．（1）求T 关于v 的函数关系式；（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；②当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的焦距F 1F 2的长为2，经过第二象限内一点P （m ，n ）的直线22mx nya b+=1与圆x 2+y 2＝a 2交于A ，B 两点，且OA = （1）求PF 1+PF 2值；（2）若AB u u u r •1283F F =u u u ur ，求m ，n 的值．19.已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N *）上恰有2015个零点，求k 的值．20.已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，S n =λa n ﹣μ．记数列{a n }中任意两不同项的和构成的集合为A ． （1）证明：无穷数列{a n }为等比数列，并求λ的值； （2）若2015∈A ，求μ的值；（3）对任意的n ∈N*，记集合B n ={x|3μ•2n ﹣1＜x ＜3μ•2n ，x ∈A}中元素的个数为b n ，求数列{b n }的通项公式．【选做题】请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分，的解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. [选修4-2：矩阵与变换]21.在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵()02cos sin A sin cos θθθπθθ-⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所得曲线作矩阵()10010B k k ⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对的变换．若连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求,k θ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．[选修4-5：不等式选讲]23.已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．24.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO . （1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值; （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.25.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. （1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到()*n n ∈N 分的概率.江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1.已知集合A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，则A ∩B 中元素的个数为_____． 【答案】12.已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为_____． 【答案】-43.从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤的概率为_______． 【答案】894.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．【答案】100.5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】10116.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞,－4)7.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________. 【答案】12π8.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 【答案】，，.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，﹣1），B （﹣3，﹣4）两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且OC =u u u r则点C 的坐标是_____． 【答案】（﹣1，﹣3）10.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）（n ∈N *），且a 2＝11，则S 20的值为_____． 【答案】124011.如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．【答案】12.已知函数f （x）12211222x x x x x x ⎧+-⎪⎪⎪=---≤-⎨⎪≤-，＞，，，若f （t ）≥f （1t ），则实数t 的取值范围是_____．【答案】)[)1⎡⋃+∞⎣，． 13.在平面直角坐标系中，点集A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，B ＝{（x ，y ）|x ≤4，y ≥0，3x ﹣4y ≥0}，则点集Q ＝{（x ，y ）|x ＝x 1+x 2，y ＝y 1+y 2，（x 1，y 1）∈A ，（x 2，y 2）∈B }所表示的区域的面积为_____． 【答案】18+π14.设函数f （x ）＝（2x ﹣1）e x ﹣ax +a ，若存在唯一的整数x 0使得f （x 0）＜0，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】[32e ，1）∪23532e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2222x x x f x cos sin ⎫=-⎪⎭．（1）设θ∈[0，π]，且f （θ）=1，求θ的值；（2）在△ABC 中，AB ＝1，f （C ）=1，且△ABC 的面积为2，求sin A +sin B 的值．【答案】（1）6π（2）1+【解析】 【分析】（1）化简得()2cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得解；（2）由（1）知6C π=，由面积可得=ab 由余弦定理得a 2+b 2＝7，联立方程可求得2+=a b ，再利用正弦定理即可得解.【详解】（1）()2sin sin 2cos 26x f x x x x x π⎛⎫=-=-+=+ ⎪⎝⎭由f （θ）1=，∴2cos 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴1cos 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵θ∈[0，π]，∴（θ6π+）∈[6π，76π]，∴θ6π=．（2）由f （C ）=1，C ∈（0，π），由（1）可得：C 6π=．由△ABC 12=ab sin 6π，∴=ab由余弦定理可得：1＝a 2+b 2﹣2ab cos6π，可得：a 2+b 2＝7，联立解得：a ＝2，b =b ＝2，a =∴2+=+a b ∴12sinA sinB sinC a b c ===．∴sin A +sin B 12=（a +b ）＝12+． 【点睛】本题考查了三角函数的化简，考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题. 16.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC ，BD 相交于点O ，EF ∥AB ，EF 12=AB ，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF ＝CF ，G 为BC 的中点，求证：（1）OG ∥平面ABFE ； （2）AC ⊥平面BDE ．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质证明OG ∥AB 后即可得证；（2）连接FG 、EO ，由题意EO ⊥平面ABCD ，可得EO ⊥AC ，由线面垂直的判定即可得解. 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC ，BD 相交于点O ， ∴O 是AC 中点，∵G 为BC 的中点，∴OG ∥AB ， ∵OG ⊄平面ABFE ，AB ⊂平面ABFE ， ∴OG ∥平面ABFE ． （2）连接FG 、EO ， ∵四边形ABCD菱形，AC ，BD 相交于点O ，∴AC ⊥BD ，O 是AC 中点， ∵G 为BC 的中点，∵EF ∥AB ，EF 12=AB ，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF ＝CF ， ∴FG ⊥平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，∴EO ⊥AC ， ∵EO ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面BDE ．【点睛】本题考查了线面平行和线面垂直的判定，属于中档题. 17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗能量为E ＝cv n T ，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：h ），c 为常数，n 为能量次级数，如果水的速度为4km /h ，该生物探测器在水中逆流行进200km ．（1）求T 关于v 的函数关系式；（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；②当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少． 【答案】（1）T 2004v =-，（v ＞4）；（2）①3200c ②6 【解析】 【分析】 （1）由题意得2004v T=-，化简即可得解； （2）①由题意得()2162002004844v E c c v v v ⎡⎤=⋅=-++⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可得解；②由题意32004v E c v =⋅-，求导得()2226200(4)v v E c v -'=⋅-，确定单调性即可得解. 【详解】（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T， 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km /h ，即为v ﹣4， 则200T =v ﹣4，即T 2004v =-，（v ＞4）；的（2）①当能量次级数为2时，由（1）知2004T v =-，v ＞4， 22004v E c v =⋅=-()2[44]2004v c v -+⋅=-()16200484c v v ⎡⎤-++⎢⎥-⎣⎦ ≥200c8]＝3200c ，当且仅当v ﹣4164v =-，即v ＝8km /h 时取等号， ②当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，v ＞4，则()2226200(4)v v E c v -'=⋅-，由0E '=，解得v ＝6，即当v ＜6时，0E '<，当v ＞6时，0E '>， 即当v ＝6时，函数E 取得最小值为E ＝21600c ．【点睛】本题考查了函数的应用，考查了基本不等式和导数求最值的应用，属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的焦距F 1F 2的长为2，经过第二象限内一点P （m ，n ）的直线22mx nya b+=1与圆x 2+y 2＝a 2交于A ，B 两点，且OA = （1）求PF 1+PF 2的值；（2）若AB u u u r •1283F F =u u u ur ，求m ，n 的值．【答案】（1）（2）m＝﹣1，n = 【解析】 分析】（1）先说明点P 在椭圆上，根据椭圆性质即可得解；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组得x 1+x 22244m n m =+，x 1x 2222484n n m-=+，转化条件得x 2﹣x 143=，代入解方程即可得解.【详解】（1）∵OA=a =∵把点P （m ，n ）代入直线方程22mx ny a b +=1，可得：2222m n a b+=1，∴点P 在椭圆上， ∴PF 1+PF 2＝2a ＝． （2）由a =c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立22212x y mx ny ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，化为：（4n 2+m 2）x 2﹣4mx +4﹣8n 2＝0，∴x 1+x 22244m n m =+，x 1x 2222484n n m-=+． ∵AB u u u r 1283F F ⋅=u u u u r ，∴（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）•（2，0）83=，化为2（x 2﹣x 1）83=，即x 2﹣x 143=， ∴212()x x +-4x 1x 2169=， 代入可得：()22222224481616(4)49n m n m n m --=++， 化为：56n 4+10n 2m 2﹣36n 2﹣m 4＝0，又222m n +=1，把m 2＝2﹣2n 2代入化为8n 4﹣2n 2﹣1＝0， 解得m 2＝1，n 212=． ∵点P 在第二象限， ∴取m ＝﹣1，n 2=． 【点睛】本题考查了椭圆的性质和直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于中档题. 19.已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N *）上恰有2015个零点，求k 的值．【答案】（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008． 【解析】 分析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可； （2）令t =，t ∈[1]，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x t at t μ==-， 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()()22f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v、v 的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解.【详解】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1），令t =，t ∈[1]， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤， 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤， ∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，∵()11v a =-，v=，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >--()f x. （3）当a ＝1时，f （x）sin 21x =-，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+， ∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， 【∴2015＝2×1007+1，∴k＝1008．【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.20.已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n，对任意的正整数n，S n=λa n﹣μ．记数列{a n}中任意两不同项的和构成的集合为A．（1）证明：无穷数列{a n}为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A，求μ的值；（3）对任意的n∈N*，记集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}中元素的个数为b n，求数列{b n}的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）31或403；（3）b n=n（n∈N*）【解析】【详解】（1）证明：∵S n=λa n﹣μ．当n≥2时，S n﹣1=λa n﹣1﹣μ，∴a n=λa n﹣λa n﹣1，λ≠1，∴，∴数列{a n}为等比数列，∵各项均为正整数，则公比=为正整数，λ为正整数，∴λ=2．（2）解：由（1）可得：S n=2a n﹣μ，当n=1时，a1=μ，则a n=μ•2n﹣1，∴A={μ（2i﹣1+2j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}，∵2015∈A，∴2015=μ（2i﹣1+2j﹣1）=μ•2i﹣1（1+2j﹣i）=5×13×31，∵j﹣i＞0，则1+2j﹣i必为不小于3的奇数，∵2i﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i﹣1=1，∴i=1，∴μ（1+2j﹣1）=5×13×31，只有j=3，μ=403或j=7，μ=31时，上式才成立，∴μ=31或403．（3）解：当n≥1时，集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}，即3μ•2n﹣1＜μ（2i﹣1+2j﹣1）＜3μ•2n，1≤i＜j，i，j∈N*．B n中元素个数，等价于满足3×2n＜2i+2j＜3×2n+1的不同解（i，j），若j ＞n+2，则2i +2j ≥2i +2n+3=2i +4×2n+1＞3×2n+1，矛盾． 若j ＜n+2，则2i +2j ≤2i +2n+1≤2n +2n+1=3×2n ，矛盾． ∴j=n+2，又∵（21+2n+2）﹣3×2n =2+4×2n ﹣3×2n =2+2n ＞0， ∴3×2n ＜21+2n+2＜22+2n+2＜…＜2n+1+2n+2=3×2n+1，即i=1，2，…，n 时，共有n 个不同的解（i ，j ），即共有n 个不同的x ∈B n ， ∴b n =n （n ∈N *）．【选做题】请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. [选修4-2：矩阵与变换]21.在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵()02cos sin A sin cos θθθπθθ-⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所得曲线作矩阵()10010B k k ⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对的变换．若连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求,k θ的值．【答案】212k πθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【解析】 【分析】连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故得到BA =01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，然后得到方程组，求得,k θ的值． 【详解】解：先对曲线C 作矩阵()02cos sin A sin cos θθθπθθ-⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所得曲线作矩阵()10010B k k ⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对的变换，故得到连续实施两次变换所得到的变换矩阵为：10cos sin cos sin 0sin cos sin cos BA k k k θθθθθθθθ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以01cos sin 1sin cos 02k k θθθθ-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 根据矩阵相等定义得到，cos 0sin 11sin 2cos 0k k θθθθ=⎧⎪-=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩，解得212k πθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】本题考查了矩阵乘法的运算，矩阵乘法不满足交换律，故在求解矩阵乘法变换时，一定要注意先后顺序.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,ABC ∆的面积. 【解析】 【分析】 将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积.【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的坐标为19(,(,)2222A B线段AB 的中点为5(2A ，AB k =故线段AB 中垂线的斜率为13AB k k -==，所以AB 的中垂线方程为：5)232y x -=-化简得：100x +-=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d ==线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯=. 【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证. 【详解】解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++ 22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO . （1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值; （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【答案】（1）6（2）λ＝2 【解析】分析：以1,,DA DC DD u u u v u u u v u u u u v为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，写出各点的坐标，（1）求出异面直线DE 与CD 1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值） （2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0，由此方程求参数λ的值即可． 详解：(1)以1,,DA DC DD u u u v u u u v u u u u v为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A (1，0，0)，11022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E 111442⎛⎫⎪⎝⎭，，，于是111442DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，，，()1011CD =-u u u u v ，，. 由cos 1DE CD 〈〉u u u v u u u u v ，＝11||DE CD DE CD ⋅⋅u u u v u u u u v u u u uv u u u u v. 所以异面直线AE 与CD 1（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO uuu v＝0，m ·1CD u u u u v＝0 得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . ………8分 由D 1E ＝λEO ，则E ()()121211λλλλλ⎛⎫⎪ ⎪+++⎝⎭，，，DE u u u v =()()121211λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭，，.10分 又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD uuu v ＝0，n ·DE u u u v＝0.得 ()()22220021211y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .12分 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得2λ＝ ． 点睛：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线，面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度．25.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. （1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到()*n n ∈N分的概率.【答案】（1）见解析；（2）11[2()]32n+- 【解析】 【分析】（1）抛掷5次的得分ξ可能为5,6,7,8,9,10，且正面向上和反面向上的概率相等，都为12，所以得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===，即可得分布列和数学期望；（2）令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面．，因为“不出现n 分”的概率是1n P -，“恰好得到1n -分”的概率是1n P -，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1112n n P P --=，即1212()323n n P P --=--，所以23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以121213236P -=-=-为首项，以12-为公比的等比数列，即求得恰好得到n 分的概率．【详解】（1）所抛5次得分ξ的概率为5551()()(5,6,7,8,9,10)2i P i C i ξ-===，其分布列如下105555115()22i i E iC ξ-===∑（2）令n P 表示恰好得到n 分的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次反面． 因为“不出现n 分”的概率是1n P -，“恰好得到1n -分”的概率是1n P -， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1112n n P P --=，即1212()323n n P P --=--． 于是23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以121213236P -=-=-为首项，以12-为公比的等比数列． 所以1211()362n n P --=--，即11[2()]32n n P =+-． 恰好得到n 分的概率是11[2()]32n+-．。
2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷(4月份)(有答案解析)
2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（4月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={-1，0，2}，B={x|x=2n-1，n∈Z}，则A∩B=______．2.sin（-300°）=______．3.已知复数z=-i（1+2i），其中i是虚线单位，则|z|=______．4.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为______．5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为______．6.从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b，则a≤b的概率为______．7.在平面直角坐标系xoy中，若双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为______．8.一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为______．9.已知0＜y＜x＜π，且tan x tan y=2，，则x-y=______．10.已知等边△ABC的边长为2，若，，则△APQ的面积为______．11.在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x-y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是______．12.以知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x-1），则关于m的不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0的解集为______．13.已知实数a1，a2，a3，a4满足a1+a2+a3=0，a1a42+a2a4-a2=0，且a1＞a2＞a3，则a4的取值范围是______．14.已知数列{a n}的通项公式是，数列{b n}的通项公式是b n=3n-1，集合A={a1，a2，…，a n}，B={b1，b2，…，b n}，n∈N*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c n}，则数列{c n}的前45项和S45=______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的所对边的长，若a cos B=1，b sin A=，且A-B=．（1）求a的值；（2）求tan A的值．16.如图，在四面体ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD．求证：（1）EF=BC；（2）平面EFD⊥平面ABC．17.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为108πml．设圆柱的高度为hcm，底面半径半径为rcm，且h≥4r，假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关，已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm2，易拉罐上下底面的制造费用均为n元/cm2（m，n为常数）（1）写出易拉罐的制造费用y（元）关于r（cm）的函数表达式，并求其定义域；（2）求易拉罐制造费用最低时r（cm）的值．18.在平面直角坐标系xoy中，设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左准线为l．P为椭圆C上任意一点，直线OQ⊥FP，垂足为Q，直线OQ与l交于点A．（1）若b=1，且b＜c，直线l的方程为x=-（i）求椭圆C的方程（ii）是否存在点P，使得？，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（2）设直线FP与圆O：x2+y2=a2交于M，N两点，求证：直线AM，AN均与圆O 相切．19.设函数f（x）=e x-ax+a（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若函数f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）证明：＜0（f'（x）为函数f（x）的导函数）．20.已知数列{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b n}是首项为1，公比为q（q＞1）的等比数列．（1）若a5=b5，q=3，求数列{a n•b n}的前n项和；（2）若存在正整数k（k≥2），使得a k=b k．试比较a n与b n的大小，并说明理由．21.在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求k，θ的值．22.在极坐标系中，已知A（ 1，），B（ 9，），线段AB的垂直平分线l与极轴交于点C，求l的极坐标方程及△ABC的面积．23.已知实数a，b满足|a+b|≤2，求证：|a2+2a-b2+2b |≤4（|a|+2）．24.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若=λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．25.已知数列{a n}的通项公式为，n∈N*，n∈N*．记S n=．（1）求S1，S2的值；（2）求证：对任意正整数n，为定值．-------- 答案与解析 --------1.答案：{-1}解析：解：由集合A={-1，0，2}，根据集合A中的关系式x=2n-1，n∈Z，得到集合B为所有的奇数集，则集合A∩B={-1}．故答案为：{-1}．观察发现集合B为所有的奇数集，所以找出集合A解集中的奇数解即为两集合的交集．此题属于以不等式解集中的奇数解为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．也是高考中常考的题型．2.答案：解析：解：sin（-300°）=sin（360°-300°）=sin60°=，故答案为．由sin（α+2π）=sinα及特殊角三角函数值解之．本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．3.答案：解析：解：|z|=|-i（1+2i）|=|-i||1+2i|=|1+2i|=，故答案为：．复数乘积的模，就是模的乘积，容易得到结果．考查复数的模的运算法则，是基础题．4.答案：100解析：解：根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[（0.0125+0.025+0.0125）×5]×400=100（件）．故答案为：100由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数．本题主要考查频率分布直方图的读图能力，属于简单题型，注意纵坐标意义．5.答案：解析：解：模拟执行伪代码，可得：S=0+++…+=（1-）+（-）+…+（-）=1-=．故答案为：．模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出S=0+++…+的值，从而得解．本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．6.答案：解析：【分析】本题考查了古典概型的概率和互斥事件的概率问题，属于基础题．先确定所有的基本事件，共有9种，再求出a＞b的概率，根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b,有（1,2），（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4），（3,2），（3,3），（3,4），共9种，因为a＞b的取法只有一种：a=3，b=2，所以a＞b的概率是，所以a≤b的概率是1-=．故答案为：．7.答案：y=±3x解析：解：因为（）2=1+（）2=10，所以=3，所以渐近线方程为y=±3x．故答案为：y=±3x．利用（）2=1+（）2=10，可得=3，即可求出双曲线的渐近线方程．本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．8.答案：3π解析：解：如图，∵一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，∴原正四面体的棱长为，设底面三角形的中心为G，则，正四面体的高PG=．再设正四面体外接球的球心为O，连接OA，∴该四面体的外接球的表面积为．故答案为：3π．由题意画出图形，求出正四面体的棱长，进一步求得外接球的半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9.答案：解析：解：由题意可得tan x tan y==2，解得cos x cos y=，故cos（x-y）=cos x cos y+sin x sin y=故x-y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以0＜x-y＜π．所以x-y=故答案为：由题意可得cos x cos y=，进而可得cos（x-y）=cos x cos y+sin x sin y=，由余弦函数可知x-y的值．本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．10.答案：解析：解：如图，由，可知点P为△ABC的重心，由，得，由题意可得，AP=，PQ=1，且AP⊥PQ，故答案为：．由第一个条件可知P为重心，由第二个条件可得，确定Q的位置，可得△APQ为直角三角形，从而可求得△APQ的面积．此题考查了向量加减法的几何意义及应用，难度适中．11.答案：解析：解：设P（x，x+m），∵PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x-1）2+4（x+m）2=（x-4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4-x2，∴4-x2≥0，解得x∈[-2，2]，∴m=-x±，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，∴m=-2cosθ±2sinθ=∈，实数m的取值范围是，故答案为：．设P（x，x+m），由PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4-x2，可得：m=-x±，x∈[-2，2]．通过三角函数代换即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：[0，1）解析：解：由题意，奇函数f（x）是定义在[-1，1]上的减函数，不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0，即f（1-m）＜f（m2-1），则，即，解得0≤m＜1，即m∈[0，1）．故答案为：[0，1）．根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．13.答案：解析：解：a1+a2+a3=0得a1≥0，a3≤0，a1≥|a2|-a3≥|a2|．a4==-•±•，设=x，由a1≥|a2|．当a4=-x+时，有当x=1，a4取最大，最大值a4=-+；当a4=-x-时，有当x=1，a4取最小，最小值a4=--；则a4的取值范围是．故答案为：．先根据题意a1+a2+a3=0得a1≥0a3≤0a1≥|a2|-a3≥|a2|．对于方程a1a42+a2a4-a2=0，将a4看成未知数，解二次方程得a4=-•±•，设=x，由a1≥|a2|知-1≤x≤1，利用a4=-x±的单调性结合x的取值范围，即可得出a4的取值范围．本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的解法、进行简单的演绎推理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于验证题．14.答案：245-3017解析：解：数列{a n}的通项公式是，数列{b n}的通项公式是b n=3n-1，所以：，故：=，由于两个数列中有公共元素，2，8，32．故：-2-8-32=245-3017．故答案为：245-3017首先利用分组法求数列的和，进一步减去公共的项对应的值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.答案：解：（1）由正弦定理知，b sin A=a sin B=，①，又a cos B=1，②①，②两式平方相加，得（a sin B）2+（a cos B）2=3，因为sin2B+cos2B=1，所以a=（负值已舍）；（2）①，②两式相除，得=，即tan B=，因为A-B=，∴A=B+，∴tan A=tan（B+）===--3-2得答案．本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中边角问题是解决三角形问题的关键．16.答案：证明：（1）因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG=EG，平面ABD∩平面BCD=BD，所以EG∥BD，…（4分）又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以EF=BC．…（7分）（2）因为AD=BD，由（1）知，E为AB的中点，所以AB⊥DE，又∠ABC=90°，即AB⊥BC，由（1）知，EF∥BC，所以AB⊥EF，又DE∩EF=E，DE，EF⊂平面EFD，所以AB⊥平面EFD，…（12分）又AB⊂平面ABC，故平面EFD⊥平面ABC．…（14分）解析：（1）利用平面与平面平行的性质，可得EG∥BD，利用G为AD的中点，可得E 为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，即可证明EF=BC；（2）证明AB⊥平面EFD，即可证明平面EFD⊥平面ABC．本题考查平面与平面平行的性质，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.答案：解：（1）由题意，体积V=πr2h，得h=．y=2πrh×m+2πr2×n=2π（+nr2）．因为h≥4r，即≥4r，所以r≤3，即所求函数定义域为（0，3]．（2）令f（r）=+nr2，则f'（r）=-+2nr．由f'（r）=0，解得r=．①若．＜1，当n＞2m时，．∈（0，3]，由R（0，）．．（．，3]f'（r）-0+f（r）减增得，当r =．时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低．②若．≥1，即n≤2m时，由f'（r）≤0知f（r）在（0，3]上单调递减，当r=3时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低．解析：本题主要考查导数在实际应用题中的应用，利用导数求得单调区间求出满足题意的结果,属于中档题．（1）由题意，体积V=πr2h，可求得h，再由易拉罐的制造费用公式求得费用，根据函数得意义求得定义域．（2）利用导数求出函数的单调区间，继而求得函数在定义域内的最值．18.答案：解：（1）（i）由题意，b=1，=，又a2=b2+c2，所以2c2-5c+2=0，解得c=2，或c=（舍去）．故a2=5．所求椭圆的方程为+y2=1．（ii）设P（m，n），则+n2=1，即n2=1-．当m=-2，或n=0时，均不符合题意；当m≠-2，n≠0时，直线FP的斜率为，直线FP的方程为y=（x+2）．故直线AO的方程为y=-x，Q点的纵坐标y Q=，所以=||=||=||，令=，得4m2+21m+27=0 ①，或4m2+19m+23=0 ②，由4m2+21m+27=0，解得m=-3，m=-，又-≤m≤，所以方程①无解．由于△=192-4×4×23＜0，所以方程②无解，故不存在点P使=．（3）设M（x0，y0），A（-，t），则=（x0+c，y0），=（-，t）．因为OA⊥FM，所以•=0，即（x0+c）（-）+ty0=0，由题意y0≠0，所以t=•．所以A（-，•）．因为=（x0+，y0-•），=（x0，y0），所以•=（x0+）x0+（y0-•）y0=x02+y02+x0-•y0=x02+y02+x0-x0-a2=x02+y02-a2．因为M（x0，y0）在圆O上，所以•=0．即AM⊥OM，所以直线AM与圆O相切．同理可证直线AN与圆O相切．解析：（1）（i）将b=1代入椭圆的方程，根据椭圆的性质从而求出b，c；（ii）设P （m，n），表示出P点的坐标，根据FP、FQ的关系从而得到答案；（2）设出M（x0，y0），表示出A（-，t），求出，的坐标，由•=0，求出t，得到•的表达式，从而证出结论．本题考察了直线和椭圆的关系，考察椭圆的方程问题，考察向量的应用，本题是一道难题．19.答案：解：（1）f（x）=e x-x+1的导数为f′（x）=e x-1，可得f（x）在x=0处的切线斜率为0，切点为（0，2），可得切线方程为y=2；（2）f（x）的导数为f′（x）=e x-a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上递增，与题意不符；当a＞0时，由f′（x）=0，可得x=ln a，当x＞ln a时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜ln a时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得x=ln a处f（x）取得极小值a（2-ln a），函数f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2，可得a（2-ln a）＜0，即a＞e2，存在1＜ln a，f（1）=e＞0，存在a＞ln a，f（3ln a）=a3-3a lna+a＞a3-3a2+a＞0，又f（x）在（-∞，ln a），（ln a，+∞）的单调性和f（x）的图象在R上不间断，可得a＞e2为所求取值范围；（3）证明：e-ax1+a=0，e-ax2+a=0，两式相减可得a=，设s=（s＞0），则f′（）=e-=[2s-（e s-e-s）]，设g（s）=2s-（e s-e-s），g′（s）=2-（e s+e-s）＜0，可得g（s）在（0，+∞）递减，即有g（s）＜g（0）=0，而＞0，可得f′（）＜0，由f′（x）=e x-a为递增函数，＞，可得＜f′（）＜0，即原不等式成立．解析：（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；（2）求得f（x）的导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，判断函数的单调性，求得极值，由题意可得极小值小于0，结合函数零点存在定理，可得所求范围；（3）求得a=，设s=（s＞0），求得f′（）=[2s-（e s-e-s）]，设g（s）=2s-（e s-e-s），求得g（s）的导数，判断单调性，结合基本不等式，可得证明．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数零点的判断和不等式的证明，考查转化思想和构造函数法，以及运算能力，属于难题．20.答案：解：（1）依题意，，故，所以a n=1+20（n-1）=20n-19，令，①则，②①-②得，==（29-20n）•3n-29，所以．（2）因为a k=b k，所以1+（k-1）d=q k-1，即，故，又，所以==，（ⅰ）当1＜n＜k时，由q＞1知，=＜0；（ⅱ）当n＞k时，由q＞1知，=（q-1）2q k-2（n-k）＞0，综上所述，当1＜n＜k时，a n＞b n；当n＞k时，a n＜b n；当n=1时，a n=b n．解析：（1）由q=3，b1=1可求得b5，从而得到a5，由a1=1及通项公式可求得a n，利用错位相减法即可求得数列{a n•b n}的前n项和；（2）由a k=b k，即1+（k-1）d=q k-1，得，，作差b n-a n变形，然后分1＜n＜k时，当n＞k时，n=1三种情况讨论讨论差的符号即可作出大小比较；本题考查等差数列、等比数列的综合、数列求和，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度较大．21.答案：解：∵A=（0＜θ＜2π），B=（0＜k＜1），∴由题意可得：BA==，∴=，解得：，∵0＜θ＜2π，0＜k＜1，∴解得：k=，θ=．解析：由题意及矩阵乘法的意义可得：BA==，由矩阵的相等及参数的范围即可求解．本题主要考查了矩阵乘法的意义，相等矩阵等知识的应用，属于基础题．22.答案：解：由题意，线段AB的中点坐标为（5，），设点P（ρ，θ）为直线l上任意一点，在直角三角形OMP中，ρcos（θ-）=5，所以，l的极坐标方程为ρcos（θ-）=5，（6分）令θ=0，得ρ=10，即C（10，0）．（8分）所以，△ABC的面积为：×（9-1）×10×sin=20．（10分）解析：求出线段AB的中点坐标，在直角三角形OMP中，ρcos（θ-）=5，可得l的极坐标方程，求出C点坐标，即可求出△ABC的面积．本题考查l的极坐标方程及△ABC的面积，考查学生的计算能力，比较基础．23.答案：证明：由|b|-|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，| a2+2 a- b2+2 b |=|（a+b）（a-b）+2（a+b）|=|a+b|•|a-b+2|≤2|a-b+2|，要证| a2+2 a- b2+2 b |≤4（| a|+2），即证|a-b+2|≤2（| a|+2），由于|a-b+2|≤|a|+|b|+2，即证|a|+|b|+2≤2（| a|+2），即为|b|≤| a|+2，显然成立．故原不等式成立．解析：运用绝对值不等式可得|b|-|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，将原不等式左边分解因式，结合分析法证明，即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及分析法证明，考查推理能力，属于中档题．24.答案：解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；=λ，可得C（λ，2，0）．（1）=（λ，2，-2），=（-1，2，0），向量与夹角的余弦值为．可得=，解得λ=10（舍去）或λ=2．实数λ的值为2．；（2）=（2，2，-2），=（0，2，-2），平面PCD的法向量=（x，y，z）．则且，即：x+y-z=0，y-z=0，∴x=0，不妨去y=z=1，平面PCD的法向量=（0，1，1）．又=（1，0，2）．故cos==．直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：．解析：（1）根据已知条件即可建立坐标系：以A为坐标原点，分别以边AB，AD，AP 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P，A，B，C，D点的坐标，利用向量与夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值．考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角，直线和平面所成角的方法，能求空间点的坐标，向量坐标的数乘运算，向量夹角余弦的坐标公式，理解平面法向量的概念，弄清直线和平面所成角，与直线的方向向量和法向量所成角的关系．25.答案：解：（1）S1=a1=a1=1，S2=a1+a2=2a1+a2=3；（2）设α=，β=，则a n=，S n=====，∵∴S n+2==3S n+1-S n，∴=3∴对任意正整数n，为定值3．解析：（1）由题意，代入可得求S1、S2的值；（2）首先利用级数求出S n，找出S n+2与S n，S n+1的关系，即可得解．本题考查了数列求和，熟练掌握级数和组合公式是解本题的关键，属难题．。
2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)
2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷(5月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合U={1,2，3，4}，A={1,4}，B={2}，则B∪(∁U A)=________．2.已知复数z1=−1+2i,z2=a−2i(i为虚数单位)，且z1⋅z2=5，则实数a=．3.求数据2，1，0，−1，3的标准差____．4.函数y=√16−4x的值域是__________．5.如图是我国三国时期著名数学家赵爽弦图，图中大正方形的面积是34，四个全等直角三角形组成的一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，现向大正方形内随机抛一粒绿豆，则绿豆落在小正方形的概率为______．6.执行下面的算法语句，输出的结果是______．7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y2=1(a>0)经过抛物线y2=8x的焦点，则该双曲线的离心率是______．8.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则a2b2=_______．9.给出下列四个命题：①若x>0，且x≠1则lgx+1lgx≥2；②设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是真命题；③函数y=cos(2x−π3)的一条对称轴是直线x=512π；④若定义在R上的函数y=f(x)是奇函数，则对定义域内的任意x必有f(2x+1)+f(−2x−1)=0．其中，所有正确命题的序号是______．10.已知三棱锥S−ABC的体积为8，点E，F分别在棱SB，SC上，且SE=12SB,SF=13FC，则四棱锥A−BCFE的的体积为．11. 若抛物线x 2=2py(p >0)在点(1,2)处的切线也与圆x 2+y 2−2x +2y +2−a =0相切，则实数a 的值为________________．12. 不等式axx−1<1的解集为{x|x <1或x >2}，则a 的值是__________．13. 已知菱形ABCD 中，对角线AC =√3，BD =1，P 是AD 边上的动点，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ． 14. 设函数f(x)={2−|(k+174)x +2|,x ⩽0,x 2,x >0,,g(x)=k(x −43)，其中k >0.若存在唯一的整数x ，使得f(x)<g(x)，则实数k 的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥面ABCD ，底面ABCD 是菱形．(1)求证：面SAC ⊥面SBD ；(2)若点M 是棱AD 的中点，点N 在棱SA 上，且AN =12NS ，求证：SC//面BMN ．16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，且(2a −c)cosB =bcosC(Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)求1tanA +1tanC ．17.为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”(如图阴影部分)，圆的半径为1米，AC,BD是圆的直径，E,F在弦AB上，H,G在弦CD上，圆心O是矩形EFGH的中心，若EF=23米，∠AOB=2θ，π4≤θ≤5π12．(1)当θ=π3时，求“杠铃形图案”的面积；(2)求“杠铃形图案”的面积的最小值．18.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．19.已知函数f(x)=lnx−x1+2x(Ⅰ)求证：f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；(Ⅱ)若f[x(3x−2)]<−13，求实数x的取值范围．20.已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=4，a3+a4=24．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log2a n，求数列{b na n}的前n项和T n．21.已知α⃗=[21]为矩阵A=[1a−14]属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.设正数a，b，c满足3a+2b+c=1，求1a +1a+b+1b+c的最小值．24.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，，点M在PC上，且PA//平面BDM．(1)求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；(2)求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．25.数列{a n}，a3=8，(a n+1−a n−2)(2a n+1−a n)=0，求a1>20的概率．-------- 答案与解析 --------1.答案：{2,3}解析：本题考查了集合的并集和补集，属于基础题．解：∵U={1,2，3，4}，A={1,4}，B={2}，∴∁U A={2,3}，则B∪(∁U A)={2,3}．故答案为{2,3}．2.答案：−1解析：本题考查复数的运算，属于基础题．根据复数的乘法运算法则求解即可．解：z1·z2=(−1+2i)(a−2i)=(−a+4)+(2+2a)i=5，解得a=−1．故答案为−1．3.答案：√2解析：本题主要考查标准差的概念，先求出平均数得到方差，再得到标准差，属基础题．解：其平均数=2+1+0−1+35=1，则s2=(2−1)2+(1−1)2+(0−1)2+(−1−1)2+(3−1)25=105=2．∴标准差s=√2．故答案为√2．4.答案：[0,4)解析：本题考查函数的值域．根据指数函数及根式的性质求解．解：令16−4x≥0，解得x≤2，又4x>0，所以16−4x<16，函数y=√16−4x的值域是[0,4)．故答案为[0,4)．5.答案：217解析：解：根据题意，大正方形的面积是34，则大正方形的边长是√34，又直角三角形的较短边长为3，得出四个全等的直角三角直角边分别是√34−9=5和3，则小正方形的边长为2，面积为4；又∵大正方形的面积为34；故绿豆在小正方形内的概率为434=217，故答案为：217．根据几何概型概率的求法，绿豆在小正方形内的概率为小正方形内与大正方形的面积比，根据题意，可得小正方形的面积与大正方形的面积，进而可得答案．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；难点是得到正方形的边长．属于基础题．6.答案：210解析：本题考查算法语句的流程图，属于基础题．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+⋯+20的值．即可计算得解．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+⋯+20的值．由于：S=1+2+3+⋯+20=210．故答案为210．7.答案：√52解析：解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点为(2,0)，若双曲线x2a2−y2=1(a>0)经过点(2,0)，则有4a2−0=1，解可得a2=4，即双曲线的方程为：x24−y2=1，则a=2，c=√4+1=√5，则双曲线的离心率e=ca =√52；故答案为：√52．根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a2的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线、抛物线的几何性质，注意由抛物线的几何性质求出其焦点坐标．8.答案：1解析：本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力.利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．解：等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=−1，a 4=b 4=8， 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 可得：8=−1+3d ，d =3，a 2=2； 8=−q 3， 解得q =−2， ∴b 2=2．可得a2b 2=1．故答案为1．9.答案：②④解析：解：对于①，当0<x <1时，lgx <0，则lgx +1lgx ≤−2，命题①错误；对于②，设x ，y ∈R ，命题“若xy =0，则x 2+y 2=0”的逆命题为“若x 2+y 2=0，则xy =0”，为真命题，则其否命题也为真命题，命题②是真命题；对于③，∵cos(2×5π12−π3)=cos π2=0，∴函数y =cos(2x −π3)的一条对称轴是直线x =512π为假命题；对于④，若定义在R 上的函数y =f(x)是奇函数，则对定义域内的任意x 必有f(x)+f(−x)=0，取x 为2x +1，则f(2x +1)+f(−2x −1)=0，命题④正确． 故答案为：②④．求出当0<x <1时lgx +1lgx 的范围判断①；判断原命题的逆命题的真假，从而得到原命题的否命题的真假判断②；把x =512π代入函数y =cos(2x −π3)求得函数值判断③； 由奇函数的概念结合自变量的任意性判断④．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，对于④的周期理解是解答该题的关键，是基础题．10.答案：7本题考查棱锥的体积计算，根据体积公式即可求解．求出△SBC和四边形BCFE的面积之比，即可得到V A−SBC与V A−BCEF的比值，从而得到四棱锥A−BCFE 的的体积．解：由题意可得，S△SBC=12SB·SC·sin∠BSC，S△SEF=12SE·SF·sin∠BSC=12·12SB·14SC·sin∠BSC=18S△SBC，则S BCFE=S△SBC−S△SEF=78S△SBC，则V A−BCEFV A−SBC=S BCEFS△SBC=78，所以四棱锥A−BCEF的体积为7．故答案为7．11.答案：917解析：求出p的值，利用导数求得抛物线切线斜率，得到切线方程，再由圆心到切线的距离等于圆的半径解出a的值．解：抛物线x=2py过点(1,2)，得p=14，抛物线方程化为y=2x2，y′=4x，得切线斜率为4，切线方程为y−2=4(x−1)，即4x−y−2=0，又圆的方程为(x−1)2+(y+1)2=a，圆心(1,−1)，半径为√a(a>0)，所以√42+1=√a解得a=917，故答案为917，12.答案：12本题重点考查了分式不等式和一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，也考查了根与系数的关系的应用问题，是基础题．根据一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，结合根与系数的关系，求出a 的值． 解：axx−1<1⇔axx−1−1<0， 即(x −1)[(a −1)x +1]<0，∵不等式ax x−1<1的解集为{x|x <1或x >2}，∴方程(x −1)[(a −1)x +1]=0的两个实数根1和11−a ，且a −1<0； 所以11−a =2，解得a =12， 故答案为12．13.答案：12解析：解：分别以对角线BD ，AC 为x 轴、y 轴建立如图所示的直角坐标系 ∵AC =√3，BD =1，AC ⊥BD ∴A(0,−√32)，B(−12,0)，C(0,√32)，D(12,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32) ∵P 是AD 边上的动点，设P(x,y)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y +√32)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴12y +√34−√32x =0∵PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,√32−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12−x,−y) ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12−x,−y)⋅(−x,√32−y) =−12x +x 2−√32y +y 2=4x 2−4x +32根据二次函数的性质可知，当x =12时，值最小为12 故答案为：12分别以对角线BD ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设P(x,y)，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得12y +√34−√32x =0，代入PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12−x,−y)⋅(−x,√32−y)=−12x +x 2−√32y +y 2=4x 2−4x +32根据二次函数的性质可求本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，二次函数性质的应用，属于基础试题14.答案：[173,6]解析：本题考查了分段函数、带绝对值号函数的图象画法，以及数形结合思想，需要学生有较强的逻辑思维能力，分析出k 的范围．属于中档题．利用f(x)，g(x)的图象特点寻找整数x 的大致范围，再代入数字检验，确定k 的取值范围即可．解：∵函数f(x)={2−|(k+174)x +2|,x ≤0x 2,x >0，且k >0，画出f(x)的图象如下：∵g(x)=k(x −43)，又∵存在唯一的整数x ，使得f(x)<g(x)，∴k ≥k+174，得k ≥173；又∵g(x)=k(x −43)， ∴g(x)过定点(43,0)， g(3)=53k ≥859>f(3)，∴满足题意的整数为x =3，∴g(4)=83k ≤f(4)=16，∴k ≤6． 综上，实数k 的取值范围是[173,6]． 故答案为[173,6]．15.答案：证明：(1)因为SA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以SA ⊥BD ，………………………………(2分) 又因为底面ABCD 是菱形，得AC ⊥BD ， 由SA ，AC 都在面SAC 内，且SA ∩AC =A ， 所以BD ⊥面SAC ，………………………………(5分) 由BD ⊂面SAC ，得面SAC ⊥面SBD ；…………(7分) (2)由底面ABCD 是菱形，得AD//BC 所以AEEC =AM BC=AM AD=12………………(9分)又因为AN =12NS ， 所以AEEC =AN NS=12，所以NE//SC …，………………………(11分) 因为NE ⊂面BMN ，SC ⊄面BMN ，所以SC//面BMN.………………………………(14分)解析：(1)推导出SA ⊥BD ，AC ⊥BD ，由此能证明BD ⊥面SAC ，从而面SAC ⊥面SBD ． (2)推导出AD//BC ，NE//SC ，由此能证明SC//面BMN ．本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：解：(Ⅰ)∵(2a−c)cosB=bcosC，∴由余弦定理可得：(2a−c)a2+c2−b22ac =b a2+b2−c22ab，整理可得：a2+c2−b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，∴由B∈(0,π)，可得B=π3．(Ⅱ)∵内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，可得：b2=ac，∴由正弦定理可得：sin2B=sinAsinC，∴1tanA +1tanC=cosAsinA+cosCsinC=sinCcosA+sinAcosCsinAsinC=sin(A+C)sinAsinC=sinBsinAsinC=1sinB=2√33．解析：(Ⅰ)由余弦定理化简已知等式可得：(2a−c)a2+c2−b22ac =b a2+b2−c22ab，整理可得：a2+c2−b2=ac，由余弦定理可求cos B，结合B的范围即可得解B的值．(Ⅱ)由b2=ac，利用正弦定理可得：sin2B=sinAsinC，利用同角三角函数关系式及两角和的正弦函数公式化简可得1tanA +1tanC=1sinB，结合(Ⅰ)的结论即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数关系式，等差数列与等比数列的性质等知识的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．17.答案：解：(1)设EF中点为M，连结OM，则OM=cosθ,AM=sinθ,所以AB=2sinθ，AD=2cosθ，S扇形OAB =2θ2π·π=θ，S△OAB=12⋅2sinθ⋅cosθ=sinθ⋅cosθ，S EFGH=23×2cos θ，所以杠铃形图案的面积为S(θ)=2(θ−sinθcosθ+23cosθ)，当θ=π3时，杠铃形图案的面积S=2(π3−sin π3cos π3+23cos π3)=2π3−√32+23．答：当θ=π3时，杠铃形图案的面积为(2π3−√32+23)平方米．(2)由(1)得杠铃形图案的面积S(θ)=2(θ−sinθcosθ+23cosθ)，则S′(θ)=2[1−(cos2θ−sin2θ)−23sinθ]=2(2sin2θ−23sinθ)，因为π4≤θ≤5π12．所以2sin2θ−23sinθ=2sinθ(sinθ−13)>0，S′(θ)>0，S (θ)单调递增，所以当θ=π4时，S (θ)的最小值为S =2(π4−sin π4cos π4+23cos π4) =π2−1+2√23． 答：杠铃形图案的面积的最小时为(π2−1+2√23)平方米．解析：本题考查三角函数和导数的实际应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．(1)设EF 中点为M ，连结OM ，则AB =2sinθ，AD =2cosθ，由此求出杠铃形图案的面积的表达式，即可求出θ=π3时杠铃形图案的面积； (2)利用导数求最值即可．18.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)， 由题意可得直线MN 的方程为y =x −1， 代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0， x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2=(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2)=8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2)=8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证．19.答案：(Ⅰ)证明：由已知得f(x)的定义域为(0,+∞)∵函数f(x)=lnx −x1+2x ， ∴f′(x)=1x −1+2x−2x (1+2x)=4x 2+3x+1x(1+2x)．∵x >0，∴4x 2+3x +1>0，x(1+2x)2>0． ∴当x >0时，f′(x)>0．即f(x)在区间(0,+∞)上单调递增； (Ⅱ)∵函数f(x)=lnx −x1+2x ， ∴f(1)=ln111+2×1=−13． 由f[x(3x −2)]<−13可得 f[x(3x −2)]<f(1)． 由(Ⅰ)得{x(3x −2)>0x(3x −2)<1，解得−13<x <0或23<x <1．故实数x 的取值范围为(−13,0)∪(23,1)．解析：(Ⅰ)求导数即可；(Ⅱ)将−13写成f(1)，再根据(Ⅰ)即可利用函数的单调性求得实数x 的取值范围． 本题考查利用求导的方法判断函数的单调性以及求满足条件的自变量的区间．20.答案：解：(Ⅰ)由已知{a 2=4a 3+a 4=24，解得{a 1=2q =2，所以a n =2n(Ⅱ)根据条件易得，b n =n,b na n=n2n于是T n =12+222+323+⋯+n2n ， 所以12T n =122+223+⋯+n−12n+n 2n+1，以上二式相减，可得，12T n =12+122+123+⋯+12n −n2n+1=1−12n −n2n+1， 所以T n =2−n+22n．解析：(Ⅰ)根据等比数列{a n }的各项均为正数，a 2=4，a 3+a 4=24，求出数列的首项与公比，即可求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =log 2a n ，可得数列{b n a n}的通项，再利用错位相减法，可求数列{bna n}的前n 项和T n ．本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项，正确运用错位相减法是关键．21.答案：解：由条件可知[1a −14][21]=λ[21]， ∴{2+a =2λ−2+4=λ，解得a =λ=2.因此A =[12−14]，所以A 2=[12−14][12−14]=[−110−514].解析：由条件可知[1a −14][21]=λ[21]，可得方程组，即可求实数a ，λ的值及A 2． 本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键． 22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)， 消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0，所以C 的极坐标方程为ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6)．(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，θ∈[0,2π]， 则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=cosθ(√32sinθ+12cosθ)=√34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+π6)+14，当，即当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案：解：因为3a +2b +c =1，所以1a +1a+b +1b+c=(2a +a +b +b +c)⋅(1a +1a+b +1b+c )．⩾(√2a ×√1a +√a +b ×√1a +b +√b +c ×√1b +c)2=(√2+1+1)2=6+4√2，当且仅当√1a√2a =√1a+b√a+b =√1b+c√b+c时，等号成立，所以1a +1a+b +1b+c 的最小值为6+4√2．解析：本题考查柯西不等式的应用，考查考生的推理论证能力及等价转化思想的应用．利用柯西不等式求解．24.答案：解：(1)作AD 边上的高PO ．∵平面PAD∩平面ABCD=AD，平面PAD⊥平面ABCD，PO在平面PAD内，∴PO⊥平面ABCD．∵CD在平面ABCD内，∴PO⊥CD，又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵AD、PO为平面PAD内两条相交直线，∴CD⊥平面PAD，∵PD在平面PAD内，∴CD⊥PD．∵PC=√13，PD=2，∴CD=3．以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P(0,0,√3)，A(1,0，0)，B(1,3，0)，C(−1,3，0)，D(−1,0，0)．连结AC交BD于点N，连结MN．∵PA//平面MBD，平面APC∩平面MBD=MN，PA在平面APC内，∴MN//PA．又N是AC的中点，∴M 是PC 的中点，∴点M(−12,32,√32)． ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−3,0)，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−32,−√32)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3,−√3)， 设平面BDM 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则由n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2x −3y =0−x 2−3y2−√3z2=0,令x =1，得y =−23，z =√33， ∴平面BDM 的一个法向量为n ⃗ =(1,−23,√33)． 设PC 与平面BDM 所成的角为θ，则，∴直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值为．(2)由(1)知平面PAD 的一个法向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,0)．设平面BDM 与平面PAD 所成的锐二面角为φ，则，∴平面BDM 与平面PAD 所成锐二面角的大小为 π 3．解析：本题考查了线面角和二面角，属于中档题．(1)以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OP 所在直线为z 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDM 的一个法向量和PC 的方向向量，可求线面角的正弦值；⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,0).设平面BDM与平面PAD所成的锐二面角为φ，(2)由(1)知平面PAD的一个法向量为CD则，可求平面BDM与平面PAD所成锐二面角．25.答案：解：当a3=8时，且a3−a2−2=0或2a3−a2=0，解得a2=6或a2=16，当a2=6时，且a2−a1−2=0或2a2−a1=0，解得a1=4或a1=12；当a2=16时，且a2−a1−2=0或2a2−a1=0，解得a1=14或a1=32，所以a1>20的概率是1．4解析：本题主要考查了数列的递推关系和古典概型的应用，属于基础题.当a3=8时，且a3−a2−2= 0或2a3−a2=0，解得a2=6或a2=16，进而求得答案．。
江苏省南通市海安市2020届高三下学期3月月考数学试题含解析
江苏省南通市海安市2020届高三下学期3月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.） 1.已知集合{}1,0,3A =-，{1,2,3}B =，则A B =_________.【答案】{3} 【解析】由交集的定义{3}A B ⋂=，应填答案{3}．2.已知复数z 满足()12i z i -=+,则复数z 的模为_______.10【解析】 【分析】由已知得21i z i+=-,将其整理成1322z i =+,即可求出模.【详解】解:由题意知, ()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+ 所以223211022z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:102. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把2i 当成了1来计算.3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_______. 【答案】10 【解析】 【分析】代入求解平均数的公式计算即可.【详解】解:平均数()112810119105=⨯++++=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错. 4.如图，是一个算法的流程图，则输出的b 的值为_______.【答案】4 【解析】 【分析】根据流程框图进行循环计算,跳出循环时b 的值即为所求.【详解】解:第一次循环:2,2b a ==;第二次循环:4,3b a ==.此时3a < 不成立 故答案为:4.【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则p 的值为_______. 【答案】22【解析】【分析】求出双曲线的右焦点),令2p=即可求出p 的值.【详解】解:双曲线2112c =+=,即右焦点为).即抛物线()220y px p =>的焦点为)所以2p=,解得p =.故答案为: 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把p 当做了抛物线焦点的横坐标.6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4 【解析】 【分析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n 和这2只球颜色相同包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式计算即可．【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球． 从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n ＝25C ＝10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m ＝2232C C +＝4，∴这2只球颜色相同的概率为p ＝410m n ==0.4． 故答案为0.4．【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______. 【答案】4π 【解析】 【分析】求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为r ,可得34433r π=π,求出球的半径,进而可求球的表面积.【详解】解:由题意知,圆锥的体积为2141433ππ⨯⨯⨯=.设球的半径为r 则34433r π=π,解得1r =.所以表面积为244r ππ=. 故答案为:4π.【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.8.已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】由639S S =可得()33319S q S +=,进而可求出公比的值,即可求3a 的值.【详解】解:()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S = ()33319S q S ∴+= 解得,2q.所以2314a a q ==.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和.等比数列问题,一般可采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算. 9.已知1e ，2e 是夹角为60两个单位向量，1232a e e =+，122b e ke =-()k R ∈，且a ⋅()8ab -=则k 的值为_______.【答案】67- 【解析】 【分析】由题意知()()()121212323228a a b e e e e e ke ⋅-=+⋅+-+=,进而可求k 的值.【详解】解:()()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ⋅-=+⋅+-+=+⋅++⎡⎤⎣⎦()()()()221122733822+338cos60221182e k e e k e k k k =++⋅+=++++=+=. 解得67k =-. 故答案为:67-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:280C x y x ++-=,直线():1,l y k x k R =-∈过定点A ，与圆C 交于点,B D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC ∆的周长为_______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意得1,0A ,圆心为()1,0C -,半径为3r =,由平行可知EA EDCB CD=,化简后可得EA CE r +=,进而可求三角形的周长.【详解】解:当1x = 时,0y = 与k 无关,则1,0A .圆()2222:2819C x y x x y ++-=++=所以,圆的圆心为()1,0C -,半径为3r =.则由题意知,ED r CE =-EA 与CB 平行 EA ED CB CD ∴= 即 EA r CEr r-= EA CE r ∴+= 则AEC ∆的周长235AC AE CE AC r =++=+=+=. 故答案为:5.【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.11.如图，已知两座建筑物,AB CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD >>，从建筑物AB的顶部A 看建筑物CD 的张角为CAD ∠，测得6tan 13CAD ∠=，则,B C 间的距离_______m .【答案】12 【解析】 【分析】由()tan tan 6BCBAD DAC BAC ∠==∠+∠,可得613156611315BC BC BC +=-⨯,进而可求,B C 间的距离.【详解】解:由题意知()tan tan 6BC BCBAD DAC BAC AB CD ∠===∠+∠-6tan tan 1315661tan tan 11315BCBC DAC BAC BCDAC BAC +∠+∠==-∠⨯∠-⨯,整理得 22391800BC BC -+= ,解得12BC =或152BC = .9BC CD >=，12BC ∴=故答案为:12. 【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错.12.设曲线()0+1my m x =>在,1x t t =≠-处的切线为l ，则点()2,1P t -到l 的最大距离为_______. 2【解析】 【分析】求出切线方程为()2120mx t y mt m ++--=,从而则()2,1P t - 到l 的距离可用t 表示出来,结合基本不等式即可求解. 【详解】解:()2'1my x =-+ ()21l mk t ∴=-+ 则切线方程为()()211m m y x t t t -=--++ 整理得()2120mx t y mt m ++--=.则()2,1P t - 到l 的距离()()()()()242224222212121111t m m t m d m m t t t ++++===++++++ ()()222121m t m t ++≥+,当且仅当()()22211m t t +=+即1t =± 时等号成立2112d ∴≤+=即d ≤故答案为.【点睛】本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理. 13.已知函数3cos()2y x ππ=+，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31326t <≤或52t > 【解析】 【分析】由诱导公式可知3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,令m x π=,结合函数图像,讨论最大值为12和1两种情况,进而求出t 的取值范围. 【详解】解:3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 令m x π=.则由55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭可得5,6m t ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则5sin ,,6y m m t ππ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为12 则31326t πππ<≤,解得31326t <≤若最大值为1,则52t ππ>,解得52t >.综上所述: 31326t <≤或52t >. 故答案为:31326t <≤或52t >. 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.14.已知函数1()1f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ≤，k *∈N .若函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为_______. 【答案】{3,5} 【解析】 【分析】由题意写出12345(),(),(),(),()f x f x f x f x f x 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们的图像,判断哪个函数图像与ln y x = 图像有三个交点,即为所求.【详解】解:由题意知1()1f x x =-,2()11f x x =--,3()111f x x =---,4()1111f x x =----,5()11111f x x =-----.则其函数图像为由图像可知,当3k =或5时, 函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点. 故答案为: {3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数()()()f x g x h x =-,则函数()f x 的零点个数就等同于函数(),()g x h x 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函数图像.对于()y f x =,首先画出()y f x = 的图像,然后将x 轴下方的图像向上翻折即可;对于()y f x = 的图像,首先画出()y f x = 的图像,然后将y 轴右侧向左翻折.二、解答题（本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系xOy 中，设向量()()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）求a b ⋅的最大值及取得最大值时x 的值. 【答案】(1)6π或56π;(2)最大值32,3x π=. 【解析】 【分析】(1)求出||,||a b ,由||||a b =可得1|sin |2x =,结合[0,]x π∈可求出所求. (2) 1sin 262a b x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭,结合[0,]x π∈和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时x 的值.【详解】解:(1)因为(3sin ,sin ),(cos ,sin )a x x b x x == 所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+= 因为||||a b =,所以1|sin |2x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =于是6x π=或56π.(2)23sin cos sin a b x x x ⋅=+112cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是113sin 22622x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭. 所以当226x ππ-=,即3x π=时,a b ⋅取最大值32. 【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于()sin y A ωx φ=+ 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ； （2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)取1B D 的中点F ,连,OF EF ,通过证明//AC EF 从而证明线面平行.(2)通过AC BD ⊥,1B B AC ⊥推出1EF BB ⊥,EF BD ⊥,从而证明EF ⊥平面1B BD ,进而可证面面垂直.【详解】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =. 在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点 所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF . 又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD , 所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为正方形 所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD . 又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 两点分别为椭圆22221,0x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，且7AB =，右准线l 的方程为4x =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q .若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ 的方程.【答案】(1)22143x y +=3230x y --=3230x y +-=.【解析】 【分析】(1)由右准线l 的方程为4x =以及7AB =可列出方程组22222247a c a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎩解得即可求出椭圆的方程.(2) 设PQ 的方程为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,求出2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭;联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩可得(4,2)Q k ,由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,从而可求出k =进而可求直线的方程.【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >.由题意得22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩,解得224,3a b ==.所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)由题意得直线PQ 不垂直于x 轴,设PQ 的方程为(2)y k x =-联立22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 得()2222431616120k x k x k +-+-=.又直线PQ 过点(2,0)A ,则方程必有一根为2,则228643P k x k -=+.代入直线(2)y k x =-,得点2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩,所以(4,2)Q k . 又以PQ 为直径的圆过原点,所以OP OQ ⊥.则222228612824420434343k k k OP OQ k k k k ---⋅=⋅+⋅==+++,解得23k =,所以k =. 所以直线PQ0y --=0y +-=.【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直.18.下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,AB m BC m ==120ABC ∠=.拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉.设,EB x EF y ==（单位：m ）.（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）试确定点,E F 的位置，使直路EF 的长度最短.【答案】(1)E 是AB 的中点;(2)2222525010100001001020x x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩;(3) 当2.5EB m =,7.5FC m =时,EF 最短,其长度为53.【解析】 【分析】 (1)由14BEC ABCD S S ∆=可知1124EB h AB h ⋅=⋅,从而证明E 是AB 的中点. (2)求出平行四边形的面积为1003ABCDS=,进而可求253EBF S ∆=从而用x 可将BF表示出来,利用余弦定理即可得到y 关于x 的函数关系式.(3)当 010x ≤<,由二次函数的性质可求最值;当1020x ≤≤时,由基本不等式可求最值. 【详解】解:(1)当点F 与点C 重合时,由题设知,14BEC ABCDS S ∆=.于是1124EB h AB h ⋅=⋅,其中h 为平行四边形AB 边上的高. 得12EB AB =,即点E 是AB 的中点.(2)因为点E 在线段AB 上,所以020x ≤≤.当1020x ≤≤时,由(1)知 点F 在线段BC 上.因为20,10,120AB m BC m ABC ︒==∠=所以3sin 201010032ABCDSAB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=. 由1sin1202532EBF S x BF ︒∆=⋅⋅=,100BF x=.所以EBF ∆中,由余弦定理得 2222100100100002cos120100y EF x x x x x x ︒⎛⎫==+-⋅⋅=++ ⎪⎝⎭当010x ≤<时,点F 在线段CD 上,由1()10sin 602532EBCF S x CF ︒=+⨯⨯=四边形得10CF x =-.当BE CF ≥时,EF =当BE CF <时,EF =化简均为y EF ==综上,0101020x y x ⎧≤<=≤≤. (3)当010x ≤<时,y ==于是当52x =时,min y =,此时15102CF x =-=. 当1020x ≤≤时,y =≥=当且仅当22100=00x x，即10x =时，取等号 综上： 当E 距点 2.5B m ，F 距点7.5C m 时，EF最短，其长度为.【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.19.已知函数()y f x =的定义域为D ，若满足,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥，则称函数()f x 为“L 型函数”.（1）判断函数xy e =和ln y x =是否为“L 型函数”，并说明理由；（2）设函数()(1)ln (1)ln ,0f x x x x a a =+-->，记()g x 为函数()f x 的导函数. ①若函数()g x 的最小值为1，求a 的值；②若函数()f x 为“L 型函数”，求a 的取值范围.【答案】(1)xy e =不是,ln y x =是,理由见解析;(2)①a e =;②20a e <≤. 【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的定义域,判断,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥即可.(2) ①求出1()()ln 1ln ,(0,)g x f x x a x x'==++-∈+∞,再求()g x ',通过导数探究当x 取何值时,()g x 取最小值,令最小值为1,即可求出a 的值.②由题意(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥恒成立,分别讨论当20a e <≤和2a e >时,通过探究()f x 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出a 的取值范围.【详解】解:(1)对于函数xy e =,定义域为R ,显然000e e ⋅≥不成立,所以xy e =不是“L 型函数”;对于函数ln y x =,定义域为(0,)+∞.当01x <<时,ln 0x <,所以(1)ln 0x x ->,即ln ln x x x >; 当1x ≥时,ln 0x ≥,所以(1)ln 0x x -≥,即ln ln x x x ≥.所以(0,)x ∀∈+∞,都有ln ln x x x ≥.所以函数ln y x =是“L 型函数”. (2)①因为11()()ln ln ln 1ln ,(0,)x g x f x x a x a x x x+'==+-=++-∈+∞ 所以22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上为减函数; 当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 所以min ()(1)2ln g x g a ==-.所以2ln 1a -=,故a e =. ②因为函数()(1)ln (1)ln f x x x x a =+--为“L 型函数”,所以(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥(*). (ⅰ)当2ln 0a -≥,即20a e <≤时,由①得()0g x ≥,即()0f x '≥. 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数,又(1)0f =,当(0,1)x ∈时,()0f x < 所以(1)()0x f x ->;当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≥,所以(1)()0x f x -≥. 所以(0,)x ∀∈+∞,适合(*)式.(ⅱ)当2ln 0a -<,即2a e >时,(1)0g <,1()10g a a=+>. 所以由零点存在性定理得0(1,)x a ∃∈,使()00g x =,又()g x 在(1,)+∞上为增函数 所以当()01,x x ∈时,()0<g x ,所以()f x 在()01,x 上为减函数又(1)0f =,所以当()01,x x ∈时,()0f x <,所以(1)()0x f x -<,不适合(*)式. 综上得,实数a 的取值范围为20a e <≤.【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题. 20.已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .（1）求2a ,3a 的值;（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：111ni ib =≥∑. 【答案】(1)22a =,33a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)令1,2n n == 即可求出2a ,3a 的值; (2)由112n n n n na a S a a ++=-得1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥-两式相减进行整理可得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,即可证明{}n a 为等差数列.(3)由(2)可知1n n b b n +=,11(2)n n b b n n -=-≥两式相减整理得111(2)n n nb b n b +-=-≥,则当2n ≥时,12111231111111nn n i i n b b b b b b b b b b +==++++=--++∑,通过放缩即可证明; 当1n =时,111b ≥.从而可证.【详解】解:(1)令1n =得,211212a a S a a =-,又11a =,解得22a =;令2n =得,122322a a S a a =-,即()1123222a a a a +=-,从而33a =.(2)因为112n n n n na a S a a ++=- ①;所以1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥- ② ①-②得,11112n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---.因为数列{}n a 的各项均为正数,所以0n a >.从而11112n n n n n n a a a a a a +-+-=---.去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---化简并整理得,21120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 等差数列.(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以111(2)n n n b b n b +-=-≥. 当2n ≥时,112311111ni i nb b b b b ==++++∑ 31425321111n n n n b b b b b b b b b b b -+-=+-+-+-++-+-12111n n b b b b b +=--++1≥1=,当1n =时,111b ≥,原不等式也成立.综上得,111ni ib =≥∑. 【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.本题难点在于整理出111(2)n n nb b n b +-=-≥,从而对所证式子进行化简.涉及到n S 和n a 的递推公式时,一般代入公式11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 进行求解.。
江苏省海安中学2020届高三阶段测试三数学试题含附加题解析版
海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1UA =，2，4}，则集合A = ．解：全集{1U =，2，3，4，5}， 若{1UA =，2，4}，则集合{3A =，5}． 故答案为：{3，5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 解：复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+-213i i =+-=-，||z ∴=，3．已知一组数据123,,,n a a a a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318C A =种； 故共有121830+=种． 故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ．解：因为22()1()10c b a a =+=，所以3ba =，所以渐近线方程为3y x =±．故答案为：3y x =±． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象， 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象，故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=，则()4sin 442f ππ==，故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ．解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数()f x ，且在区间[0，)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0])-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，2(3)f x x f -+（2）20(3)f x x f >⇒->-（2）22(3)(2)32f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，则3tan C的值为．解：锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，A B∴<，4cos5A==，sin3tancos4AAA==．3tan1tan tan4tan()331tan tan1tan4BA BA BA B B---=-==++，13tan9B∴=．则tan tan3tan3tan()3791tan tanA BC A BA B+=-+=-=-，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()n nS na n n n N=--∈，且211a=，则20S的值为．解：由2122232(21)S a a a=+=-⨯-，211a=，可得15a=．解法1：当2n时，由1n n na S S-=-，得13(1)[(1)3(1)(2)]n n na na n n n a n n-=-------，1(1)(1)6(1)n nn a n a n-∴---=-，即*16(2,)n na a n n N--=∈，∴数列{}na是首项15a=，公差为6的等差数列，202019205612402S⨯∴=⨯+⨯=．解法2：当2n时，由13(1)()3(1)n n n nS na n n n S S n n-=--=---，可得1(1)3(1)n nn S nS n n---=-，∴131n nS Sn n--=-，∴数列{}nSn是首项151S=，公差为3的等差数列，∴2053196220S=+⨯=，201240S∴=．11.设正实数x，y满足x yxyx y+=-，则实数x的最小值为．解：由正实数x，y满足x yxyx y+=-，化为22(1)0xy x y x+-+=，∴22221212(1)401010x x x y y x y y ⎧=--⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+⎨>⎩， 解得21x+．因此实数x1．1．12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．解：连接DE ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， ∴11A AED A FED V V --=，∴11113A AED E A AD A ADV V SAB --==111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -===， ∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9．13．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，则a c 的值为 ．解：可设ABa =，BCb =，CAc =，由题意可得1tan 2B =，1tan 3C =， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A =︒，又B ，C 为锐角，22sin cos 1B B +=，sin 1cos 2B B =，可得sin B =同理可得sin C =由正弦定理可得2sin1355==︒ 即有210||5c =，25||5a =， 则2102524||||cos455525a c c a =︒==．故答案为：45．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ． 解：对于①()22x g x =-，当1x <时，()0g x <，又①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x mx m ∴=-++<在1x 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面 则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x < ∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可，()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为，且()18AC AB CB -=，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和向量(1,cos cos )n A B =是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ． 解：（1）//m n ，(tan tan )cos cos sin 2A B A B C ∴+=，即sin cos cos sin sin2A B A B C +=，sin()sin 2A B C ∴+=，sin 2sin cos C C C ∴= sin 0C ≠，∴1cos 2C =， (0,)C π∈ ∴3C π=（2）由()18AC AB CB -=得：2()18AC AB BC AC +==，∴113sin 3293222b ab C a ====∴a =2222cos 54c a b ab C ∴=+-=，∴c =16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且AB =1BC =，E ，F 分别为AB ，PC 中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以//FM CD ，且12FM CD =．因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以//EA CD ，且12EA CD =．所以//FM EA ，且FM EA =． 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以//EF AM ．又AM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法二：连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC ， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠．又AE EB =，所以CEB NEA ∆≅∆．所以CE NE =． 又F 为PC 的中点，所以//EF NP ．⋯（5分）又NP ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法三：取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ ．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE DQ =，且//AE DQ ． 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以//EQ AD ．又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊂/平面PAD ，所以//EQ 平面PAD ． 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以//FQ PD ． 又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊂/平面PAD ，所以//FQ 平面PAD ． 又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQEQ Q =，所以平面//EQF 平面PAD ．因为EF ⊂平面EQF ，所以//EF 平面PAD ． （2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为AB ，E 为AB 的中点．所以DA CDAE DA= 又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA ∆∆∽，所以ADE DCA ∠=∠． 又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=︒，所以90DCA CDE ∠+∠=︒． 由DGC ∆的内角和为180︒，得90DGC ∠=︒．即DE AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6OA km =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km ．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ． （1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成th 时的半径为r a =为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以/h 的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，0(Q x ，03)(0)x >．=00x > 得03x =，(3,3)Q ∴． ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，由360y xx y =-⎧⎨+-=⎩ 得39x y =-⎧⎨=⎩ 即(3,9)B -，∴AB ==即水上旅游线AB 的长为． （2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得(3,9)P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC =，102t，(618,18)C t t ∴-． 强水波不会波及游轮的航行即2210,2PC r t ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦对恒成立．2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t = 时，上式恒成立，当10,0,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时即时，()101017248.7248,0,2a t g t t t t t ⎛⎤<+-=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724824548g t t t=+--，当且仅当1(0,]2t 时等号成立，所以，在048a << 时r PC < 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，其左、右焦点分别为1F 、2F，离心率为2． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．()i 求证：OP OM 为定值；()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由． 解：（1）由题意可得2213122a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c -=，解得2a =，b =，即有椭圆方程为22142x y +=； （2）()i 证明：由(2,0)A -，(2,0)B ，MB AB ⊥， 设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， 可得00:42y y MA y x =+， 代入椭圆方程可得，2222000(1)40822y y y x x +++-=，由201204(8)28y x y --=+，可得201202(8)8y x y -=-+，00011208428y y yy x y ==+=+，则200022004(8)8488y y OP OM y y y -=-+=++为定值； ()ii 直线MQ 过定点(0,0)O ．理由如下：由题意可得2001222100088282(8)2(8)PBy y y k x y y y +==-+---+02y =-， 由PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ， 可得MQ PB ⊥，即有02MQ y k =． 则直线0:0(2)2y MQ y y x -=-， 即02y y x =， 故直线MQ 过定点(0,0)O ． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．解：（1）由已知可知：41a k =+，52a k =+，624a k k=++． 把数列{}n a 的项代入21n n n n a a b a +++=，求得132b b ==，2421k b b k+==；（2）由*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈，可知：121n n n n a a k a a +--=+．⋯① 则：211n n n n a a k a a +-+=+．⋯② ①-②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -= ∴132123122n n a a b b b a --+==⋯===，242222321n n a a k b b b a k-++==⋯===． ∴41(1)22nn k b k k+-=+；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数， 则由（2）可知：2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，⋯③ 由1a k Z =∈，624a k Z k =++∈，可知1k =，2．当1k =时，213k k+=为整数，利用1a ，2a ，3a Z ∈，结合③式，可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，⋯④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数．1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立． 故数列{}n a 是整数列．综上所述，k 为1，2时，数列{}n a 是整数列． 20．（本小题满分16分）设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当0a =时，()f x xlnx x =-，()f x lnx '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． （2）()()f x x a lnx x a =--+，()af x lnx x'=-，其中0x >，令()g x xlnx a =-，分析()g x 的零点情况．()1g x lnx '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析11()()min g x g a e e==--，而11()1f ln ae ae e e '=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+，221()2(2)22a f e e a e e '=-=-，①若1a e -，则()0a f x lnx x '=-，故()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；②若122a e e -<<-，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+>，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有两个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点； ③若202a e -<，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有一个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点；综上所述，当(a ∈-∞，1]e -时，()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；当1(a e ∈-，2)2e -时，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；当2[2a e ∈-，0)时，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点． （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立． 证明如下：由（2）得()g x 在1(e ，)+∞上单调递增，且g （1）0a =-<，(1)(1)(1)g a a ln a a +=++-．因为当1x >时，11(*)lnx x >-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+．故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x ． 由知，(1,1)x a ∈+，(){f x max f <（1），(1)}f a +． 又(1)(1)1f a ln a +=+-，而1x >时，1(**)lnx x <-， 所以(1)(1)111f a a a f +<+--=-=（1）． 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-．所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(,)x t t a ∈+，使()1f x a <-． 补充证明(*): 令1()1F x lnx x =+-，1x ．111()022x F x x x x -'=-=， 所以()F x 在[1，)+∞上单调递增．所以1x >时，()F x F >（1）0=，即11lnx x>-． 补充证明(**)令()1G x lnx x =-+，1x ．1()10G x x'=-， 所以()G x 在[1，)+∞上单调递减．所以1x >时，()G x G <（1）0=，即1lnx x <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答] A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．解：由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即1111111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=-⎧⎨-=⎩ 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩ 解得2a =，3b =，2c =，1d =．因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=．22．已知实数a ，b 满足||2a b +，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++． 证明：由||||||2b a a b -+，可得||||2b a +，22|22||()()2()|a a b b a b a b a b +-+=+-++|||2|2|2|a b a b a b =+-+-+，要证22|22|4(||2)a a b b a +-++，即证|2|2(||2)a b a -++， 由于|2|||||2a b a b -+++，即证||||22(||2)a b a +++， 即为||||2b a +，显然成立．故原不等式成立．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC AB λ=，且向量PC 与BD ． （1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 则：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)；DC AB λ=， 可得(C λ，2，0)．（1）(PC λ=，2，2)-，(1BD =-，2，0)，向量PC 与BD ．4814+=+，解得10λ=（舍去）或2λ=．实数λ的值为2．；（2）(2PC =，2，2)-，(0PD =，2，2)-，平面PCD 的法向量(n x =，y ，)z ． 则0n PC =且0n PD =，即：0x y z +-=，0y z -=，0x ∴=，不妨去1y z ==， 平面PCD 的法向量(0n =，1，1)．又(1PB =，0，2)．故cos ,||||n PB n PB n PB <>==-．直线PB 与平面PCD ．24．已知数列{}n a 的通项公式为]n nn a -，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．解：（1）1212nn nn n n S C a C a C a =++⋯+ 122151515()())222nn nn n C C C +++=++⋯+- 122151515(()())]222nn nn n C C C ---++⋯+(1]n n=+-+]n n =-， 即有151S ==；2353S ==；（2）]n nn S =-，222]]n n n n n S +++=-=-1]3n nn n S S +--=-， 即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1n S +，n S 除以8的余数确定， 因为11a =，21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=， 432324321S S S =-=-=，543363855S S S =-=-=， 654316521144S S S =-=-=，765343255377S S S =-=-=， 87631131144987S S S =-=-=，987329613772584S S S =-=-=，由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，⋯，它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3n k =，*k N ∈，即所求集合为：{|3n n k =，*}k N ∈．。
江苏省海安中学2020届高三阶段测试三数学试题含附加题原卷版
海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1U A =ð，2，4}，则集合A = ． 2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 3．已知一组数据123,,,n a a a a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，2+1n a 的方差为_____.4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ． 9．在锐角三角形ABC 中，3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ． 10．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若*3(1)()n n S na n n n N =--∈，且211a =，则20S 的值为 ． 11.设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ． 12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．13．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，则a c 的值为 ．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为，且()18AC AB CB -=，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和向量(1,cos cos )n A B =是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ．如图，四棱锥P ABCDBC=，E，F分别为AB，PC中-的底面为矩形，且AB=1点．（1）求证：//EF平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE．17．（本小题满分14分）如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan3=，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3km．现MONOA km∠=-，6要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成th时的半径为r a=为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，其左、右焦点分别为1F 、2F． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ()i 求证：OP OM 为定值；()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答] A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．22．已知实数a ，b 满足||2a b +…，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++…．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若D C A B λ=，且向量PC 与BD ． （1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．24．已知数列{}n a 的通项公式为]n nn a -，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．。
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3
3
故答案为: 4 .
【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据
题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.
8.已知等比数列 an 的前 n 项的和为 Sn , a1 1, S6 9S3 ,则 a3 的值为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
由 S6 9S3 可得 S3 q3 1 9S3 ,进而可求出公比的值,即可求 a3 的值. 【详解】解: S6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a1 a2 a3 a1q 3 a2q 3 a3q 3 S3 q 3 1 S6 9S3 S3 q3 1 9S3 解得, q = 2 .所以 a3 a1q2 4 .
参考公式：锥体的体积公式 V锥体
1 Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为高.球的体积公式 3
V球
4 3
R3 ，球的表面积公式
S球
4
R2
，其中
R
为球的半径.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合 A 1, 0,3 ， B {1, 2,3}，则 A B _________.
【答案】 {3}
【解析】
由交集的定义 A B {3}，应填答案{3} ．
2.已知复数 z 满足 1 i z 2 i ,则复数 z 的模为_______.
【答案】 10 2
【解析】
【分析】
由已知得
z
2i 1i
,将其整理成
z
1 2
3 2
i
,即可求出模.
【详解】解:由题意知,
z
2i 1i
2 i1 i 1 i1 i
则该球的表面积为_______. 【答案】 4 【解析】
【分析】
求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为 r ,可得 4 r3 4 ,求出球的半径,进而可求球的
3
3
表面积.
【详解】解:由题意知,圆锥的体积为 1 12 4 4 .设球的半径为 r
3
3
则 4 r3 4 ,解得 r 1 .所以表面积 为 4 r2 4 .
k
R
，且
a (a b) 8 则 k 的值为_______.
【答案】 6 7
【解析】
【分析】
由题意知 a
a
b
3e1
2e2
3e12e22e1源自 ke28,进而可求
k
的值.
【详解】解: a
【答案】 2 2
【解析】 【分析】
求出双曲线的右焦点 2, 0 ,令 p 2 即可求出 p 的值. 2
【详解】解:双曲线 c2 11 2 ,即右焦点为 2, 0 .即抛物线 y2 2 px p 0 的焦点为 2,0
所以 p 2 ,解得 p 2 2 . 2
故答案为: 2 2 .
故答案为:4. 【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循 环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块.
5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 x2 y2 1的右焦点与抛物线 y2 2 px p 0 的
焦点重合，则 p 的值为_______.
【详解】解:平均数 1 12 8 10 11 9 10 .
5
故答案为:10. 【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错.
4.如图，是一个算法的流程图，则输出的 b 的值为_______.
【答案】4 【解析】
-2-
【分析】
根据流程框图进行循环计算,跳出循环时 b 的值即为所求. 【详解】解:第一次循环: b 2, a 2 ;第二次循环: b 4, a 3.此时 a 3 不成立
2020 届高三阶段性检测试题 数学
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答 题卡上. 3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作 答一律无效.如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把 p 当做了抛物线 焦点的横坐标.
6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只红球．从中一次随 机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4 【解析】 【分析】 从中一次随机摸 2 只球，写出基本事件总数 n 和这 2 只球颜色相同包含的基本事件数 m，由古 典概型概率公式计算即可． 【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只红球．
1 3i 2
1 2
3 2
i
-1-
所以 z
1 2 2
3 2 2
10 . 2
故答案为: 10 . 2
【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把 i2 当成了 1
来计算. 3.某人 5 次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为 12，8，10，11，9.则这组数据的平均 数为_______. 【答案】10 【解析】 【分析】 代入求解平均数的公式计算即可.
从中一次随机摸出 2 只球，基本事件总数 n＝ C52 ＝10，
-3-
这 2 只球颜色相同包含的基本事件个数 m＝ C32 C22 ＝4，
m ∴这 2 只球颜色相同的概率为 p＝
4
=0.4．
n 10
故答案为 0.4．
【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．
7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为 1，高为 4.若将它制作成一个总体积不变的球，
故答案为:4.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和.等比数列问题,一般可
采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考
虑利用性质简化计算.
-4-
9.已知
e1
，
e2
是夹角为
60
的两个单位向量，
a
3e1
2e2
，b
2e1
k e2