集合的含义及其表示(一)
高中数学 第一章 集合(含解析)苏教版必修1
第1课时集合的含义及其表示(1)教学过程一、问题情境(1) 小于10的所有偶数;(2) 中国的直辖市;(3) 单词book中的字母;(4) 到一个角的两边距离相等的所有的点;(5) 方程x2-5x+6=0的所有实数根;(6) 不等式x-3>0的所有解;(7) 某高中全体高一学生.二、数学建构问题1以上实例有什么共同特征?(引导学生说出:一定范围内,确定的,不同对象.然后通过学生回答,总结出集合的含义)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合A、集合B.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.集合的元素常用小写的拉丁字母来表示,如元素a、元素b.问题2回答下列问题:(1) 已知A={1, 3},问:3, 5哪个是A的元素?(2) “所有素质好的人”能否构成一个集合A?(3) A={2, 2, 4}表示是否准确?(4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一个集合?由上述问题可以归纳出集合中元素的特征:①确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则“x是A的元素”或者“x不是A的元素”这两种情况必有一种且只有一种成立.②互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不能重复出现同一元素.③无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照由小到大的数轴顺序书写.问题3元素与集合之间有怎样的关系?解如果a是集合A中的元素,就记作a∈A,读作“a属于A”;如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A或a⋷A,读作“a不属于A”.问题4常用的数集有哪些?它们分别用什么数学符号表示?解自然数集(非负整数集):N,正整数集:N*或N+,整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.问题5集合的表示方法有哪些?(1) 列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于“{}”中,元素之间用逗号分隔.列举时与元素次序无关,如{北京,上海,天津,重庆}.集合的相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等,如{北京,上海,天津,重庆}={天津,重庆,北京,上海}.思考“问题情境”中的集合都能用列举法表示吗?如果能,请表示出来.(2) 描述法:将集合中所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.{x|p(x)}中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质,如{x|x为中国的直辖市},{x|x-3>0, x∈R}. (3) Venn图:有时用Venn图示意集合(如图1),更显直观.(图1)问题6按照元素的个数,集合该怎样分类?(1) 有限集:含有有限个元素的集合称为有限集.(2) 无限集:含有无限个元素的集合称为无限集.(3) 空集:不含任何元素的集合称为空集,记作⌀,如{x|x2+x+1=0, x∈R}=⌀.三、数学运用【例1】下列各组对象能否构成集合:(1) 所有的好人;(2) 小于2012的数;(3) 和2012非常接近的数;(4) 小于5的自然数;(5) 不等式2x+1>7的整数解;(6) 方程x2+1=0的实数解. (见学生用书课堂本P1~2)[处理建议]引导学生根据定义判断.[规范板书]解(1)(3)不符合集合中元素的确定性,因此,只有(2)(4)(5)(6)能够构成集合.[题后反思]解决这类题目要抓住集合中元素的两个特征:确定性,互异性.【例2】用符号“∈”或“∉”填空:-错误!未找到引用源。
高中数学题库-集合(精华)
1. 集合的含义及其表示（一）集合元素的互异性1. 已知xR ，则集合2{3,,2}x xx 中元素x 所应满足的条件为变式：已知集合}33,)1(,2{22a a a a A，若A 1，则实数a 的值为_______2.c b a M,,中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形（二）集合的表示方法1. 用列举法表示下列集合（1）||||{|,,}a b Ax xa b ab为非零实数__________________________变式：已知a,b,c 为非零实数,则||||||||a b c abc a b c abc 的值组成的集合为___（2）},36|),{(*N x Z xyy x A ____)}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(A 变式1：12,6A x xN Nx 变式2：Ny N x yxy x A ,,6,（3）集合},,|{},22,|{2A xx y y BxZ xx A 用列举法表示集合B（4）已知集合M=}56|{*N a Z a ，则集合M 中的元素为变式：已知集合M=}|56{*N aZ a，则集合M 中的元素为2. 用描述法表示下列集合（1）直角坐标系中坐标轴上的点_______________________________变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________Rx x yy x ,),（（2）能被3整除的整数_______________________Z n n x x ,3.3. 已知集合10，A ，A x x B ，Ax x C （1）用列举法写出集合C B,；（2）研究集合C B A ,,之间的包含或属于关系4. 命题(1) 200x；(2)00,0；(3)0；(4)0N 表述正确的是.5. 使用和和数集符号来替代下列自然语言：（1）“255是正整数” （2）“２的平方根不是有理数”（3）“3.1416是正有理数” （4）“-1是整数”（5）“x 不是实数”6. 用列举法表示下列集合：（1）不超过30的素数（2）五边形ABCDE 的对角线（3）左右对称的大写英文字母（4）60的正约数7. 用描述法表示：若平面上所有的点组成集合E ，EB E A,（1）平面上以A 为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为_________5PA E P （2）说明下列集合的几何意义：5PA E P ；PBPA E P 8. 当b a,满足什么条件时，集合0bax x 是有限集？无限集？空集？9. 元素0、空集、0、三者的区别？10. 请用描述法写出一些集合A ，使它满足：（i ）集合A 为单元素集，即A 中只含有一个元素；（ii ）集合A 只含有两个元素；（iii ）集合A 为空集11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。
高一数学集合的含义及其表示
； / 快转 ；
言活着并且再次杀到宋家,而是他感觉得出来,鞠言の实历似乎比上壹次,提升了极多.上壹次の事候,老族长就觉得与鞠言厮杀胜少输多,那么现在鞠言实历再度提升,他の胜算就等于零！“鞠言小友,你呐是何意?”宋家老族长沙哑の声音,喝问道.鞠言,冷笑了笑.在宋家老族长现身后,鞠言 倒是暂事の停止了杀戮宋家人,他散发着冷意の目光紧紧の盯着呐位白发飘舞の老族长.“老族长！俺再来宋家の原因,你应该很清楚！俺鞠言,最痛恨の就是那种出尔反尔の小人.对你,俺真の很失望！俺以为你呐位老族长,是值得信任の人,可你做出の事情,却辜负了俺の信任！”鞠言の 声音极其高昂,并且带着令人心悸の愤怒.“呵呵,你们呐些人,是认为俺已经死了吧?可惜,俺没让你们如愿！俺,还活着！”鞠言手中天吙剑再闪,剑芒瞬间凝聚而出.“鞠言！俺宋家,似乎没有做出让你如此愤怒の事情.呐其中,有误会！”老族长见鞠言又要动手,连忙急促の解释说道.“老 族长,说呐些没有任何意义,俺也不想听你更多の解释.”鞠言摇头.再绝对の实历面前,鞠言也懒得多说废话.“快看宋家上空！”“那是……鞠言?”“哪个?他没死?他不是被暗夜杀手给杀掉了吗?怎么还活着?”“鞠言没死,宋家要完蛋了！”宋家宅院四周の许多修行者,也都发现了鞠言. 鞠言还活着,让他们意外.可鞠言出现在宋家,倒是没有让他们吃惊.他们知道鞠言为何会再杀到宋家.最近宋家の壹连串动作……呵呵……既然鞠言还活着,那宋家确实要完蛋了.上壹次鞠言为烈焰杀到宋家斩杀宋家拾多名强者,宋家老族长出面许下诺言.可是之后,宋家所做の事,明眼人壹 眼就能看出宋家是背信弃义了.不过就算看出呐壹点,最多也就能暗中鄙夷壹下,要他们出面主持公道,他们没有那个实历.鞠言知道宋家背叛了他,呐样の愤怒,也是理所当然の事情.赤色剑光凝聚,壹柄巨大の长达上百名の剑影,带着无与伦比の威能和杀意,横扫而下.宋家老族长来不及再多 说话
集合的含义与表示
集合的含义与表示目录集合的含义与表示 (1)知识点： (1)一、集合的三性：确定性、互异性、无序性 (3)①确定性 (3)②互异性 (4)二、集合的表示方法 (7)①元素与集合的关系 (7)②列举法 (8)③描述法 (10)三、区别点集与数集 (11)知识点：1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}②描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5.元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A∉（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集N*或N+；整数集Z；有理数集Q；实数集R.一、集合的三性：确定性、互异性、无序性①确定性1.下列各组对象能够构成集合的是( )A. 我国所有的老人B. 我们班的高个子C. 长命万岁的人D. 我国的小河流答案：C。
集合的含义与表示
(x－2a)＜0
当B A时，画数轴知2a≥1或a＋1≤－1， 1 即a≥ 或 a≤－2. 2 而a＜1，∴满足条件的a的取值范围是 1 (－∞，－2］∪［ ，1). 2
所有奇数组成的集合可以表示为:
B={x| x=2k+1,k∈Z}.
说明:
(1)列举法和描述法是集合的常用表示方法,两种方 法各有优点,用什么方法表示集合,要具体问题具 体分析.
要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时， 不宜采用列举法
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2 +3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要 不引起误解，集合的代表元素也可省略，
集合的含义与表示
一、集合的含义：
(1)1~20以内的所有质数； (2)我国从1991~2005年的15年内所发射的所有人造卫星;
(3)金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
(4)2004年1月1日之前与我国建立立外交关系的所有国家 ;
(5)所有的正方形;
归纳总结这些 例子 (6)到直线l的距离等于定长3cm的所有点 ; ,你能说出 它们的特征吗? (7)方程x2+3x+2=0的所有实数解;
n ② {x|x= n 2
, n ∈ N*且n≤5}
2.用列举法表示下列集合：
6 （1）A=﹛x∈N︱1 x∈Z﹜
6 B=﹛1 x∈N
(2)
︱ x∈ Z ﹜
3. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
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集合理论是由德国数学家康托尔发现的，他 创造的集合论是近代许多数学分支的基础．
集合的概念及其表示(第1课时)教案1
集合的含义及其表示（一）教学目标：使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性.教学重点：集合概念、性质；教学难点：集合概念的理解；课型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
二、活动尝试“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。
如：用到过的“正数的集合”、“负数的集合”、“质数”、“合数”如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
如：自然数的集合0，1，2，3，……结论：一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
三、师生探究思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？（1）所有3的倍数（2）很大的数的全体（3）中国的直辖市（4）young中的字母（5）book中的字母（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8）满足3x-2>x+3的全体实数（9）方程210x x++=的实数解（10）评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
四、数学理论△集合理论是由德国数学家康托尔发现的，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。
△集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
1.1.1集合的概念及其表示(一)
用列举法表示下列集合： 例１ 用列举法表示下列集合： (1) 小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x 2 = x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合． 以内的所有质数组成的集合． ～ 以内的所有质数组成的集合
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ 全体非负整数组成的集合称为自然数集， • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N + 所有正整数组成的集合称为正整数集， • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ 全体整数组成的集合称为整数集， • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ 全体有理数组成的集合称为有理数集， • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ 全体实数组成的集合称为实数集，
一般形式： 一般形式：{ x ∈ A x满足的条件}
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 说明： 、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 、多层描述时，准确使用“ 3、描述语言力求简明、准确； 、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。 、多用于元素无限多个时。
的所有自然数组成的集合为Ａ， 解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 设小于 的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝. ｝ Ａ＝｛
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关， 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此 集合Ａ可以有不同的列举方法． 集合Ａ可以有不同的列举方法．例如 Ａ＝｛９ Ａ＝｛９,8,7,6,5,4,3,2,1,0｝. ｝
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化 范围,再画一条竖线 或变化)范围 再画一条竖线,在竖线后写出这个 号及以取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征. 集合中元素所具有的共同特征
1.11集合的含义及其表示方法1(1
知识引入:
一：集合的含义：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，… 二：集合的元素：
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…
三：集合的中元素的三个特性：
集合的元素满足以下要求： I. 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在 不在这个集合中是确定的. II. 互异性：集合中的元素是不重复出现的. III. 无序性：集合中的元素排列是没有顺序的. 四：集合相等：只要构成两个集合的元素是一样 的，我们就称这两个集合是相等的.
提出问题
①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能 构成一个集合啊？” ②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一 个集合啊？
③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的 汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活 中的实际例子呢?请你给出集合的含义.
例题2．下列结论中，不正确的是( A ) 2 a z A.若a∈N，则aN B.若a∈Z，则 C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则 3 a R
练习2 用合适的符号填空： 1. 1__N 1__Z 1__Q 1__R 2. -1__N -1__Z -1__Q -1__R 3. 0.5__N 0.5__Z 0.5__Q 0.5__R 4. π __N π__Z π__Q π__R 练习3 用合适的符号填空： 1. 若A={x|x2=x}，则-1__A； 2. 若B={x|x2+x-6=0}，则3___B； 3. 若C={x∈N|1≤x≤10}，则8___C，9.1___C.
（1）集合的定义：指定的某些对象的全体构成一个集合 （2）集合的元素：集合中每个对象叫做这个集合的的元素。 ④如果用A表示高一(8)班全体学生组成的集合,用a表示高一(8) 班的一位同学,b是高一(9)班的一位同学,那么a、b与集合A分 别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？ ⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
高一数学集合的含义及表示
(4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素。 (5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。 (6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。
2、集合中元素的特性 （1）确定性：
按照明确的判断标准给定
（三） 有限集与无限集
高
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的 集合。
一 数
2、无限集(infinite set )：含有无限个元素 学
的集合。
3、空集(empty set)：不含任何元素的集合。 记作Φ
例2 用符号“∈”或“∈”填空：
(1)3.14＿Q； (2) π＿Q ；
(3)0 ＿ N+
(4)0 ＿ N
(5)(-2)0 ＿ N+ (6)2 5 ＿ Z
(7) 2 5 ＿ Q (8)2 5 ＿ Q
三、小 结：本节课学习了以下内容： 1.集合的含义； 2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
3.数集及有关符号.
集合的含义是什么？ 集合之间有什么关系？ 怎样进行集合的运算？
练习： (1)《课课练》P1 Ex2 (2)在作业本上写出你这节 课不懂的地方。 (3)思考题：已知2是集合{0,a,a2 -3a+2} 中的元素,则实数a为( )
（一）集合的有关概念：
1、集合的含义
（1）集合：一定范围内某些确定的、不同 的对象的全体构成一个集合(set)。
（2）元素：集合中的每一个对象叫做该集 合的元素(element)或简称元。
探讨以下问题: (1){1,2,2,3}是含1个1,2个2,
1个3的四个元素的集合吗?
集合的含义及其表示1学案(人教A版必修1)
第1章集合§1.1集合的含义及其表示(一)1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作“a属于A”，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．4．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．练习集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2.其中正确的命题有________个．集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．元素与集合的关系【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题 1．由下列对象组成的集体属于集合的是____ ____(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．3．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则M 中元素的个数为________． 6．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中含有________个元素．7．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC (填“能”或“不能”)________为等腰三角形．二、解答题8．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .9．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？10．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：集合的概念【例1】 考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数比如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．规律方法 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N 中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2.其中正确的命题有________个．答案 2解析 因为集合N 中最小的数是零，故(1)(2)正确，(3)(4)错误．故正确的命题有2个．集合中元素的特性【例2】 已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .分析 考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．解 ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 规律方法 对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值．解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，∴m 的值为3.元素与集合的关系【例3】 若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，判断6－22是不是集合A 中的元素．分析 解答本题首先要理解∈与∉的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A 中的元素．解 因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．规律方法 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素． 解 ∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ， 即12－3∈A .1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题1．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．答案 ①④⑤2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．答案 03．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 答案 (1) ∉ (2)∈ (3) ∉ (4)∈ (5)∈(6)∈4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．答案 1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.5．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为________．答案 3解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，根据集合中元素的互异性知，M中的元素为4,0，－4.6．方程x2－2x＋1＝0的解集中含有________个元素．答案 17．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC(填“能”或“不能”)________为等腰三角形．答案不能解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．二、解答题8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.解当3 x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.9．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。
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1.1-1集合的含义及其表示（一）
教学目标：使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性. 了解有限集、无限集、空集概念，
教学重点：集合概念、性质；“∈”，“∉”的使用
教学难点：集合概念的理解；
课型：新授课
教学手段：
教学过程：
一、引入课题
军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。
集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。
（参看阅教材中读材料P17）。
下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。
二、新课教学
“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。
如：自然数的集合0，1，2，3，……
如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…
2、元素与集合的关系
a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作a∈A ，
a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A
思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，
进而讲解下面的问题。
例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？
（1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4）maths中的字母
（5）book中的字母（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8）满足3x-2>x+3的全体实数
（9）方程210
++=的实数解
x x
评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
3、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
2.元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
比如：book中的字母构成的集合
3.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N 有理数集Q
正整数集N*或N+ 实数集R
整数集Z注：实数的分类
5、集合的分类原则：集合中所含元素的多少
①有限集含有限个元素，如A={-2，3}
②无限集含无限个元素，如自然数集N，有理数
③空集不含任何元素，如方程x2+1=0实数解集。
专用标记：Φ
三、课堂练习
1、用符合“∈”或“∉”填空：课本P15练习惯1
2、判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×”
(1)所有在N中的元素都在N*中（）
(2)所有在N中的元素都在Ｚ中( )
(3)所有不在N *中的数都不在Z 中（ ）
(4)所有不在Q 中的实数都在R 中（ ）
(5)由既在R 中又在N *中的数组成的集合中一定包含数0（ ）
(6)不在N 中的数不能使方程4x ＝8成立（ ）
四、 回顾反思
1、集合的概念
2、集合元素的三个特征
其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.
“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
3、常见数集的专用符号.
五、 作业布置
1．下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数
（2）好心的人
（3）1，2，2，3，4，5．
2．设a,b 是非零实数，那么b b
a a
+可能取的值组成集合的元素是 3．由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ）
（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素
4．下列结论不正确的是( )
A.O ∈N
B. 2∉Q
C.O ∉Q
D.-1∈Z
5．下列结论中，不正确的是( )
A.若a ∈N ，则-a ∉N
B.若a ∈Z ，则a 2∈Z
C.若a ∈Q ，则｜a ｜∈Q
D.若a ∈R ，则R a ∈3
6．求数集{1，x ，x 2-x}中的元素x 应满足的条件；
板书设计（略）。