七年级数学上册第五章一元一次方程5.1认识一元一次方程第2课时等式的基本性质作业课件北师大版
(3)若 3m2＋6m＝10，则 m2＋2m＝130； 根据等式的基本性质 2，等式两边都除以 3式两边都减去 3x
2
13．(8 分)将等式 5a－3b＝2a－3b 变形，过程如下： 因为 5a－3b＝2a－3b， 所以 5a＝2a，(第一步) 所以 5＝2.(第二步) (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)第二步得出错误的结论，其原因是什么？ 解：(1)等式的基本性质 1 (2)等式的两边都除以 a(a＝0)
9．(2018·临安区)中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示， 两个天平都平衡，则3个球体的质量等于____个正方体的质量．( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 10．老师在黑板上写出了一个方程 3(x－2)＝2(x－2)，小明就在方程的两边同时 除以(x－2)后得到了 3＝2，肯定不对，于是小明认为 x－2＝ 0 . 11．(2018·成都)已知6a＝b5＝4c，且 a＋b－2c＝6，则 a 的值为 12.
(2)由等式 6x＝5x－4 得等式 x＝－4，是根据等式的基本性质 1，将等式的 两边都减去 5x.
5．(12 分)用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一 条性质以及怎样变形的． (1)若 2x＋7＝10，则 2x＝10－7；
解：等式的基本性质 1，等式两边同时减去 7 (2)若 5x＝4x＋13，则 5x－4x＝13；
解：x＝－13 (2)－3x＋7＝1；
解：x＝2 (3)－y2－3＝9.
解：y＝－24
一、选择题(每小题 4 分，共 12 分) 7．根据等式的性质，方程 5x－1＝4x 变形正确的是( B ) A．5x＋4x＝－1 B.52x－12＝2x C．5x－4x＝－1 D．5x＋4x＝1 8．下列判断错误的是( D ) A．若 a＝b，则 ac－3＝bc－3 B．若 a＝b，则c2＋a 1＝c2＋b 1 C．若 x＝2，则 x2＝2x D．若 ax＝bx，则 a＝b
3．(4 分)用适当的数或式子填空，使得结果仍为等式： (1)若 x＋5＝3，则 x＝3＋__(－5)__； (2)若 2x＝6－3x，则 2x＋__3x__＝6； (3)若 0.2x＝1，则 x＝__5__； (4)若－x2＝8，则 x＝__－16__．
4．(6 分)(1)若 p－2n＝q－2n，则 p＝q，是根据等式的基本性质 1，它是将等式 的两边都加上 2n；
14．(8 分)利用等式的基本性质将下列等式化为“x＝a”的形式： (1)－0.25x＋9＝7；
解：等式两边都减去 9，得－0.25x＋9－9＝7－9， 即－0.25x＝－2，等式两边都乘－4，得－0.25x×(－4)＝(－2)×(－4)，所 以 x＝8 (2)2x－6＝4－3x. 解：等式两边都加上 6＋3x，得 5x＝10，等式两边都除以 5，得 x＝2
解：等式的基本性质 1，等式两边同时减去 4x (3)若－3x＝－18，则 x＝__6__；
解：等式的基本性质 2，等式两边同时除以－3(或乘－1) 3
(4)若 3(x－2)＝－6，则 x－2＝__－2__，所以 x＝__0__． 解：等式的基本性质 2，等式两边同时除以 3
利用等式的性质解方程 6．(12 分)利用等式的性质解下列方程： (1)8＋x＝－5；
(1)对称性：如果 a＝b，那么 b＝a，即等式的左、右两边交换位置，所得的 结果仍是等式；
(2)传递性：如果 a＝b，且 b＝c，那么 a＝c，这一性质也叫做等量代换．
等式的性质 1．(3 分)下列结论不成立的是( C ) A．若 x＝y，则 m－x＝m－y B．若 x＝y，则 mx＝my C．若 mx＝my，则 x＝y D．若xn＝yn，则 nx＝ny 2．(3 分)已知等式 3a＝2b＋5，则下列等式不一定成立的是( C ) A．3a－5＝2b B．3a＋1＝2b＋6 C．3ac＝2bc D．a＝23b＋53
三、解答题(共 38 分) 12．(12 分)在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，
并说明是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)若－1x0＝y5，则 x＝－2y； 根据等式的基本性质 2，等式两边都乘－10 (2)若 23x＝4－13x，则 x＝4； 根据等式的基本性质 1，等式两边都加上 13x
第五章 一元一次方程
5．1 认识一元一次方程 第2课时 等式的基本性质
1．等式的基本性质 1：等式两边同时加(或减)__同一个代数式__，所得结果仍 是等式，即如果 a＝b，那么 a±c＝__b±c__. 2．等式的基本性质 2：等式两边同时乘__同一个数__(或除以_ _同一个不为 0 的数__)，所得结果仍是等式，即如果 a＝b，那么 ac＝__bc__； 如果 a＝b(c≠0)，那么ac＝__bc__. 3．等式还有两条性质：
北师版七年级数学上册课件(BS) 第五章 一元一次方程 认识一元一次方程 第2课时 等式的基本性质
7．(9分)利用等式的性质解下列方程： (1)8＋x＝－5； 解：x＝－13 (2)－3x＋7＝1； 解：x＝2 (3)－y2 －3＝9. 解：y＝－24
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 8．下列判断错误的是( D ) A．若 a＝b，则 ac－3＝bc－3
14．(10分)(新定义运算)规定“*”为一种新运算，对任意有理数a，b，有a*b ＝a＋2b，若6*x＝12，试用等式的性质求x的值．
解：6*x＝12，得6＋2x＝12，根据等式的性质1，等式两边同时减去6，得6＋ 2x－6＝12－6，得2x＝6，根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得x＝3
【素养提升】 15．(10 分)能不能从(a＋3)x＝b－1 得到 x＝ba＋－31 ，为什么？反之，能不能 从 x＝ba＋－31 得到等式(a＋3)x＝b－1，为什么？ 解：当 a＝－3 时，从(a＋3)x＝b－1 不能得到 x＝ba＋－31 ，因为 0 不能为除数； 而从 x＝ba＋－31 可以得到等式(a＋3)x＝b－1，这是根据等式的性质 2，且从 x ＝ba＋－31 可知 a＋3≠0
利用等式的性质解方程
5．(3 分)根据等式的性质，方程 5x－1＝4x 变形正确的是( B ) A．5x＋4x＝－1 B．52 x－12 ＝2x C．5x－4x＝－1 D．5x＋4x＝1
Байду номын сангаас
6．(6 分)完成下列解方程 3－13 x＝4 的过程． 解：根据_等__式__性__质__1_，两边_减__3__，得 3－13 x－3＝4_－__3__．化简，得－13 x
新北师大版七年级数学上册 第5章 一元一次方程 5.1.2等式的基本性质【习题课件】
第五章 一元一次方程
1 认识一元一次方程 第2课时 等式的基本性质
习题链接
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11 A 12 B
16 (1)3.(2)－16. 1
(3)3.(4)5.
答案显示
13 C
17 1.
14 15
(1)x＝14－2y.
(2)y＝7－12x. 不能,理由略.能，理由略.
18
(1)3x＝x＋5.4. (2)一元一次方程．(3)2.7.
课堂导练
11．利用等式的基本性质解方程x2＋1＝2，结果是( A )
A．x＝2
B．x＝－2
C．x＝4
D．x＝－4
课堂导练
12．(2017·重庆)若 x＝－13，y＝4，则式子 3x＋y－3 的 值为( B )
A．－6 B．0 C．2
D．6
【点拨】因为 x＝－13，所以由等式的基本性质 2，两
边同时乘 3，得 3x＝－13×3＝－1.将 3x＝－1，y＝4
精彩一题
18．如图，天平左边放着三个乒乓球，右边放着5.4 g 的物体和一个乒乓球，天平恰好平衡，如果设一 个乒乓球的质量为x g.
(1)请你列出一个含有未知数x的方程； (2)说明所列的方程是哪一类方程； (3)利用等式的基本性质求出x的值．
精彩一题 【思路点拨】(1)从“形”的平衡中找相等关系，然后 列方程；(2)按方程的定义判断； (3)用等式的基本性质将方程变形成x＝a的形式． (1)请你列出一个含有未知数x的方程；
9．下列说法正确的是( B ) A．在等式 ab＝ac 的两边同时除以 a，得 b＝c B．在等式 a＝b 的两边同时除以 c2＋1，得c2＋a 1＝c2＋b 1 C．在等式ba＝ac的两边同时除以 a，得 b＝c D．在等式 x－2＝6 的两边同时加 2，得 x＝6
七年级数学上册教学课件《认识一元一次方程(第2课时)》
解析：根据等式的性质1，可知B、C正确；根据等式的性质2，可 知D正确；根据等式的性质2，A选项只有m≠0时才成立，故A错误， 故选A． 易错提醒：此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用 等式的性质2等式两边同除某个字母，只有这个字母确定不为0时， 等式才成立.
巩固练习
5.1 认识一元一次方程
(5)如果x=y,那么2x-13=2y-13 （ √ ）等式的性质1和性质2
探究新知
5.1 认识一元一次方程
知识点 3 利用等式的性质解方程 例1 利用等式的性质解下列方程：
(1) x + 2 = 5;
(2) 3=x -5.
解: 方程两边同时减去2，得 解:方程两边同时加上5，得
x + 2 -2 = 5 -2 于是 x = 3.
依据等式的性质1两边同时加5. (2) 怎样从等式 3+x=1 得到等式 x =-2?
依据等式的性质1两边同时减3.
(3) 怎样从等式 4x=12 得到等式 x =3? (4) 依怎据样等从式等的式性1a0质0 2=两10b边0 同，时得除到以等4式或a同=乘b?14.
依据等式的性质2两边同时除以1100或同乘100.
a
左
右
探究新知
左
你能发现什么规律？
5.1 认识一元一次方程
b a
右
探究新知
你能发现什么规律？
5.1 认识一元一次方程
b a
左
右
探究新知
你能发现什么规律？
5.1 认识一元一次方程
b
a
左
右
a=b
探究新知
你能发现什么规律？
5.1 认识一元一次方程
bc
a
2024年秋新人教版7年级上册数学课件 第5章 1元1次方程 5.2 解1元1次方程(第2课时)移项
1.等式的性质
等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
如果a=b，那么a±c=b±c
问题导入
上一课时列方程解决例1时，题目中的相等关系为“各部分量的和=总量”，除此之外，实际问题中还有其他相等关系吗？
新知探究
问题2 把一些图书分给某班学生阅读.若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本.这个班有多少学生？
溯源
约820年，阿拉伯数字家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，“还原”指的是“移项”，“对消”隐含着移项后合并同类项，我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的于中国古代数学中所说的“盈不足问题”. “盈”是分配中的多余情况，“不足”是分配中的缺少情况，有的题目不会出现“盈”或“不足”的字样. “盈不足”问题中，一般会给出两个条件：什么情况下会“盈”，“盈”多少；什么情况下会“不足”，“不足”多少.
5.2 解一元一次方程
第五章 一元一次方程
第2课时 移项
学习目标
1. 理解移项的意义，掌握移项的方法.
2. 学会运用移项、合并同类项解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程.
3. 进一步认识解方程的基本变形—移项，感悟解方程过程中的转化思想.
重点
重点
4. 能够抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题.
3x+20=4x-25
3x -4x= -25-20
- x= -45
x=45
移项
系数化为1
合并同类项
由上可知，这个班有45名学生.
小结
(1) 总量=各部分量的和；
5.1.2等式的基本性质教学设计
《5.1.2等式的基本性质》教学设计教材分析《等式的基本性质》这节内容是北师大版义务教育教科书七年级数学上册第五章一元一次方程第一节第二课时，等式的基本性质是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的，它是系统学习方程的开始，其核心思想是构建等量关系的数学模型，它是解方程的必备知识，并且对解一元一次方程中的移项、合并同类项起着至关重要的作用。
本节课的学习是学生在实验的基础上，掌握等式的两个基本性质，引导学生通过比较，发现规律，并为今后运用等式的基本性质解方程打基础。
同时培养学生数学思维能力。
教学目标 1、借助天平的操作活动，理解并能用语言表述等式的基本性质；2、能用等式的基本性质解决简单问题。
3、在用算式表示实验结果、讨论、归纳等活动中，经历观察、比较、抽象、归纳等思维活动，发展学生的数学思维能力，并且探索出等式基本性质教学重难点教学重点：引导学生探索发现等式的基本性质，利用等式的基本性质解决简单问题。
教学难点：抽象归纳出等式的基本性质。
教学方法实验探究，讲练结合教学用品天平、砝码教学过程一、复习旧知1.下列选项中，是一元一次方程的是( B )A ．225x x +=B ．23x x =C ．5x +D ．34x y -=-2．下列方程中，2x =不是该方程的解的是( B ) A.23-=2-41x B. 35x x -= C.5.0=1-21）（x D. 237x += 【设计意图】通过两道题复习一元一次方程和方程的解的概念，加深理解，巩固记忆。
二、探究活动抛出问题你能解方程534x x =+吗？操作天平，使学生总结等式的基本性质。
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个代数式，所的结果仍是等式。
等式的性质2：等式两边乘（或除）（除数不能为0）同一个数，所的结果仍是等式。
【设计意图】通过实践操作，使学生直观感受和理解等式的基本性质，并要求学生用语言表达，教师适当补充。
培养学生合作精神和表达能力。
七年级数学上册 第五章 一元一次方程 5.1 认识一元一次方程教案 (新版)北师大版-(新版)北师大
5.1 认识一元一次方程（第1课时）一、学生起点分析学生在小学期间已学过等式、等式的基本性质以及方程、方程的解、解方程等知识，经历了分析简单数量的关系，并根据数量关系列出方程、求解方程、检验结果的过程。
对方程已有初步认识，但并没有学习“一元一次方程”准确的理性的概念。
二、学习任务分析本节从有趣的“猜年龄”游戏入手，通过对五个熟悉的实际问题的分析，学生结合已有知识，能得出一元一次方程。
在此过程中，学生逐渐体会方程是刻画现实世界、解决实际问题的有效数学模型。
本节的重点：学生在实际问题中分析、找到等量关系,准确列出方程，并总结所列方程的共同特点，归纳出一元一次方程的概念。
本节的难点：由特殊的几个方程的共同特点归纳一元一次方程的概念。
三、教学目标1、在对实际问题情境的分析过程中感受方程模型的意义；2、借助类比、归纳的方式概括一元一次方程的概念，并在概括的过程中体验归纳方法；3、使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实的密切联系。
四、教学过程设计环节一：阅读章前图内容1：请一位同学阅读章前图中关于“丟番图”的故事。
（大约1分钟）丢番图（Diophantus）是古希腊数学家。
人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程。
上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛。
五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉。
悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。
——出自《希腊诗文选》（The GreekAnthology）第 126 题目的：通过阅读章前图中的故事，激发同学们探索丟番图年龄的兴趣，进而引导学生通过列方程解决问题，感受利用方程可以解决实际问题，感受方程是刻画现实世界有效地模型。
效果：学生对丟番图的故事很感兴趣，有的学生提出问题：他的年龄是多少呢？教师借机也提出问题：用什么方法可以求解丟番图的年龄呢？紧接着呈现内容2。
5.1.2--等式的性质【新课标版】七年级上册数学
(1)x－4＝1; 解：x＝5
(2)3x＋5＝0.
解：x＝－
5 3
课堂小结
1.关于等式的两个基本事实: 等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a. 相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c.
课堂小结
2.等式的基本性质: 等式的性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 等式的性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
(3)-7·x=28;根据等式的性质2，等式两边乘-7，
结果仍相等.
(4)
3 2
m=2·n;根据等式的性质2，等式两边除以2，
结果仍相等.
探究新知
学生活动三 【一起探究】 用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式,并说明是根据 哪条性质以及怎样变形的: (1)如果3x=-2x-1,那么3x+ 2x =-1；两边同时 加2x ， 根据是 等式的性质1 ；
a m
＝
b m
；④a2＝b2；⑤
a b
＝1.其中正确的有_①__②__④__.
(填序号)
当堂训练
4．已知2x2－3＝5，你能求出x2＋3的值吗？说明过程．
解：由2x2－3＝5，得2x2－3＋3＝5＋3，x2＝4， 所以x2＋3＝7.
当堂训练
5.小明学习了《等式的性质》后对小亮说：“我发现4可以 等于3，你看这里有一个方程4x－2＝3x－2，等式的两边同 时加上2，得4x＝3x，然后等式的两边再同时除以x，得4＝ 3.” (1)请你想一想，小明的说法对吗？为什么？ (2)你能求出方程4x－2＝3x－2的解吗？
探究新知
等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 例如：对于等式a=b，在等式两边都乘以-5， 计算a×（-5）与b×（-5）的值，
人教版七年级数学上册 5.1方程(第五章 一元一次方程 自学、复习、上课课件)
感悟新知
知2－练
(2)有一块长方形空地，长为20 m，宽为15 m. 在内部分割出一块小 正方形地用来放置杂物，其余部分种植草坪. 已知草坪的面积为 200 m2，求小正方形地的边长.
解题秘方：设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系， 即得方程. 解：设小正方形地的边长为x m，那么草坪的面积为( 20×15 － x2)m2 . 根据“草坪的面积为200 m2”，列得方程20×15 －x2=200 .
感悟新知
特别提醒 1. ①②③是一元一次方程的三个基本特征，
其中特征①③是把方程化简后进行判断， 特征②是通过化简前的方程进行判断， 即必须满足分母中不能含有字母. 2. 判断一元一次方程的步骤：
5×2－2 =8，右边=7＋2×2 =11 .
因为左边≠右边，所以x=2 不是方程5x－2 =7＋2x 的解.
(2)x=3 .
将x=3 分别代入方程的左边和右边， 得左边=5×3 －2 =13 ，右边=7＋2×3 =13 . 因为左边= 右边，所以x=3 是方程5x－2 =7＋2x 的解.
感悟新知
感悟新知
知3－练
例 3 [母题 教材P114 例2]检验下列各未知数的值是不是方 程5x－2=7＋2x 的解，并写出检验过程. 解题秘方：紧扣方程的解的定义，将未知数的值代 入方程左右两边，看方程左右两边的值是否相等进 行检验.
感悟新知
(1)x=2；
知3－练
解：将x=2 分别代入方程的左边和右边，得左边=
方法点拨：检验一个数是不是方程的解的方法： 把这个数分别代入方程的左右两边，当左边= 右边时， 这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数不是方 程的解.
感悟新知
3-1.下列方程中解为x=2 的是( D )
5.1.2 等式的性质+课件+2024-2025学年人教版数学七年级上册
(2)0.5 = 15
(3)5 − 10 = 0；
(4)3 + 1 = 4
答案：（1） = 11；（2） = 30；（3） = 2；（4） = 1
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.有一个爱思考的同学，他平时总喜欢思考问题．有一天他对妈妈
说：“我发现2和5是可以一样大的，我这里有一个方程5 − 2 =
1
27 是方程− − 5 = 4的解.
3
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．若 = ，则下列变形正确的是（ C ）
A．3 = 4
B． − 2 = + 2
C．
3
D．
=
3
=
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2．下列各式进行的变形中，正确的是（ D ）
A．若 + = − ，则 = ． B．若 2 = 3，则 = 3．
所以3 = 2．（第二步）
(1)上述过程中，第一步的依据是什么？
(2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正．
解：（1）∵3 − 2 = 2 − 2,
∴根据等式的性质1，两边都减去−2,
得3 = 2,
∴第一步的依据是：等式的性质1；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.在将等式3 − 2 = 2 − 2变形时，小明的变形过程如下：
C．若2 = 2 − 则 = − ．
D．若
=
，则
= ．
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
北师大版七年级数学上册知识点归纳：第五章一元一次方程
一元一次方程知识点（一）、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x ）=5等都是一元一次方程. （例1）3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（二）、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b ，那么a ±c=b ±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c ≠0)，那么a c =b c（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）（四）、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．（五）、解方程的一般步骤（例4）1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a ≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b a). 一．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．二、一元一次方程的实际应用1. 和、差、倍、分问题：增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.例1：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？解：设x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x 年后兄的年龄是15+x ，弟的年龄是9+x ．（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3•年后具有相反意义的量）2. 等积变形问题：（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.（2) 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝h r 2π ②长方体的体积 V ＝长×宽×高＝abc例2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）． 解：设圆柱形水桶的高为x 毫米，依题意，得3. 工程问题：工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1例3. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？解：设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(115+112)×3+x 12=1 4.行程问题：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．例4. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。