差错控制
差错控制
连续ARQ协议 选择重发ARQ协议
连续ARQ协议
发送端从出错数据帧及以后的各帧都要重 发 应答只采用确认帧，不用否定帧 ACK(n)表示对n-1号帧的确认，即通知发 送端准备接收n号帧。 接收一个确认一个，实际应用中，为减小 接收端得开销，对接收到的连续帧进行一 并确认。
C1，C2，……，Ck，Ck+1，……，Ck+r 码组（n）=信息码（k）+校验字段（r）
风、雨
1位码（1-风，0-雨）：没有检错和纠错能力 2位码（11-风，00-雨）：如果发生一位错码， 即变成10或01，可检查出1位错码，但无法纠错 3位码（111-风，000-雨）：接收到001
校验字段越长，编码的检错能力越强，编 码/解码越复杂；附加的冗余信息在整个编 码中所占的比例越大，传输的有效成分越 低，传输的效率下降。
2、检错重发方式
（Auto Repeat Request，ARQ），又称自动重 传方式
发送端发送的码元中加入了具有检错能力的监督码， 接收端则按照给定的规则判决传输中有无错误产生 如果发现错误，就通过反向信道把这一判决结果反 馈给发送端 优点：译码设备简单，易于实现，对各种信道的不 同差错有一定的适应能力，特别是对突发错误和信 道干扰严重的情况更为有效 缺点：需要反馈信道，信息传输效率低，不适合实 时传输系统
第6章差错控制
学习目标
了解差错产生的原因 掌握差错控制的基本概念及原理 掌握常见的差错控制编码 掌握简单差错控制协议
学习内容
6.1 差错控制的基本概念及原理 6.2 差错控制编码 6.3 简单差错控制协议
6.1 差错控制的基本概念及原理
数据通信系统的基本任务是高效率而无差错地传 送数据。数据信号在通信线路中传输时，难免受 到来自信道内部和外部的干扰，从而引起信号的 失真从而导致数据传输的错误。 传输差错处理的目的是保证信息传输的正确性。 通常，数据传输过程中的差错是不可避免的，不 增加差错处理功能的数据传输是不能直接被应用 的。 通信中，接收的数据与发送数据不一致的现象称 为传输差错。差错控制，就是检查是否出现差错 以及如何纠正差错
06-差错控制
▪ 混合纠错检错方式在实时性和译码复杂性方 面是前向纠错和检错重发方式的折衷。
例1：某数据通信系统采用停发等候重发的差错控制方式，请在 下图的“？”处填入ACK、NAK或码组号。
例2：某数据通信系统采用选择重发的差错控制方式，发送端要向 接收端发送7个码组（序号0∽6），其中1号码组出错，请在下图中
▪ 冗余编码思想就是：把要发送的有效数据在发送 时按照所使用的某种差错编码规则加上控制码 （冗余码），当信息到达接收端后，再按照相应 的校验规则检验收到的信息是否正确。
差错控制的基本工作方式
▪ 前向纠错方式FEC
➢ 发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠 正传输中的错误。
➢ 特点是单向传输，实时性好，但译码设备较复杂。
计算机
1
0
异步传输
计算机
网络基础
循环冗余码CRC
▪ CRC是一种较为复杂的校验方法，它先将要发送的信息数据 与一个通信双方共同约定的数据进行除法运算，并根据余数 得出一个校验码，然后将这个校验码附加在信息数据帧之后 发送出去。接收端接收数据后，将包括校验码在内的数据帧 再与约定的数据进行除法运算，若余数为“0”，就表示接收 的数据正确，若余数不为“0”，则表明数据在传输的过程中 出错。
汉明码
▪ 汉明码是一类常见的线性分组码，是一 种能够纠正单个错误的完备码。要纠正 码组中的单个错误，则要求与单个错误 图样对应的伴随式各不相同，且不能为 全零。若码长为n，监督码元的个数为r， 则要求2r-1≥n。码组为汉明码时取等号。 即用来纠正单个错误时，汉明码所用的 监督码元个数最少，效率最高。
▪ 若每个字符只采用一个奇偶校验位时，只能发现单个比特差错， 如果有两个或两个以上比特出错，奇偶校验位无效；
差错控制
3.1.4 差错控制编码原理
2．码重和码距的概念
（1）码重 在信道编码中，定义码组中非零码元的数目为码组的重量， 简称码重。 （2）码距与汉明距离 把两个码组中对应码位上具有不同二进制码元的个数定义为 两码组的距离，简称码距。 而在一种编码中，任意两个许用码组间的距离的最小值，称 为这一编码的汉明（Hamming）距离，用dmin来表示。
3.1 差错控制的基本概念
3.1.3 差错控制方式
2．前向纠错（FEC） 前向纠错（Forward Error Correcting，FEC）方式。前向纠 错系统中，发送端的信道编码器将输入数据序列按某种规 则变换成能够纠正错误的码，接收端的译码器根据编码规 律不仅可以检测出错码，而且能够确定错码的位置并自动 纠正。 这种方式的优点是不需要反馈信道，也不存在由于反复重 发而延误时间，实时性好。其缺点是要求附加的监督码较 多，传输效率低，纠错设备比检错设备复杂。
c2 = c6 ⊕ c5 ⊕ c4 c1 = c6 ⊕ c5 ⊕ c3 c = c ⊕ c ⊕ c 6 4 3 0
3.2 常用的差错控制编码
3.2.2 线性分组码及汉明码
（2）线性分组码的监督矩阵和生成矩阵
表3-5 （7，4）线性分组码的编码表
信息位 c6 c5 c4 c3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 监督位 c2 c1 c0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 信息位 c6 c5 c4 c3 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 监督位 c2 c1 c0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
差错控制的四种基本方式
差错控制的四种基本方式差错控制是计算机通信中非常重要的一项技术，其目的是在数据传输过程中发现并纠正错误，保证数据的可靠性和完整性。
常见的差错控制方式有四种：1. 奇偶校验码奇偶校验码是最简单的差错控制方式之一，它通过在数据中添加一个奇偶位来检测错误。
具体来说，将每个字节中所有位的值相加，如果结果为奇数，则奇偶位为1；如果结果为偶数，则奇偶位为0。
接收方在接收到数据后也进行相同的计算，并将计算结果与发送方发送的奇偶位进行比较，如果不一致则说明出现了错误。
2. 校验和校验和是一种更复杂但更可靠的差错控制方式。
它将数据分成若干个固定长度（通常为16位或32位）的块，并对每个块进行求和运算得到一个校验和。
发送方将这个校验和添加到数据末尾发送给接收方，在接收方收到数据后也进行相同的操作，并将计算出来的校验和与发送方发送过来的校验和进行比较，如果不一致则说明出现了错误。
3. 循环冗余检测（CRC）循环冗余检测是一种更高级的差错控制方式，它通过生成一个多项式来检测错误。
具体来说，发送方将数据按照一定的规则转换成一个二进制数，并将这个数与一个预设的多项式进行除法运算得到一个余数，这个余数就是CRC校验码。
接收方在接收到数据后也进行相同的操作，并将计算出来的CRC校验码与发送方发送过来的CRC校验码进行比较，如果不一致则说明出现了错误。
4. 奇偶校验位组合奇偶校验位组合是一种将奇偶校验和校验和两种方式结合起来使用的差错控制方式。
具体来说，在每个字节中添加一个奇偶位用于奇偶校验，并对每个块进行求和运算得到一个校验和用于校验和。
发送方将这两个值添加到数据末尾发送给接收方，在接收方收到数据后也进行相同的操作，并将计算出来的奇偶位和校验和与发送方发送过来的值进行比较，如果不一致则说明出现了错误。
总之，不同的差错控制方式有各自优缺点，在实际应用中需要选择适合自己需求的方式。
差错控制技术(海明码和CRC)
VS
机遇
随着5G、6G等新一代通信技术的发展， 差错控制技术将迎来更多的应用场景和市 场需求。
差错控制技术在通信领域的应用前景
无线通信
差错控制技术是无线通信系统中的重要组成部分，对于保障数据 传输的可靠性和稳定性具有重要作用。
有线通信
在有线通信领域，差错控制技术同样具有广泛的应用前景，如光纤 通信、宽带接入等。
03
CRC原理及实现
CRC的原理
循环冗余校验（CRC）是一种利 用数据传输中的冗余信息进行错 误检测和纠正的差错控制技术。
CRC的基本思想是利用多项式编 码理论，通过一个生成多项式对 数据进行处理，使得数据的冗余 信息以某种规律分布在数据中， 从而在接收端通过同样的多项式 对接收数据进行校验，判断数据 是否出错。
02
海明码原理及实现
海明码的原理
海明码是一种线性纠错码，通过在数据位之间 添加冗余校验位，实现错误检测和纠正。
海明码基于奇偶校验原理，通过将数据位和校 验位进行奇偶校验，检测出错误的位置。
海明码可以分为奇偶校验码和循环冗余校验码 （CRC），其中奇偶校验码又可以分为水平奇 偶校验、法进 行运算，将待校验的数据左移若 干位后与生成多项式进行模2除法 运算，得到余数即为CRC校验码。
CRC的编码过程
01
02
03
发送端将数据左移k位（ k为生成多项式的位数） ，相当于在数据后面添
加k个0。
将移位后的数据除以生 成多项式，得到余数即
为CRC校验码。
将余数附加在原始数据 后面，一起发送到接收
智能化
01
利用人工智能和机器学习技术，实现差错控制系统的自适应和
自优化，提高差错控制性能。
差错控制
通信过程中的差错大致可分为两类：一类是由热噪声引起的随机错误;另一类是由冲突噪声引起的突发错误。 突发性错误影响局部，而随机性错误影响全局。
产生原因
产生原因
差错产生的原因主要是由于线路本身电气特性所产生的随机噪声(热噪声),信号振幅,频率和相位的衰减或畸 变,电信号在传输介质上的反射回音效应,相邻线路的串扰,外界的电磁干扰和设备故障等因素造成的.
作用
差错控制已经成功地应用于卫星通信和数据通信。在卫星通信中一般用卷积码或级连码进行前向纠错，而在 数据通信中一般用分组码进行反馈重传。此外，差错控制技术也广泛应用于计算机，其具体实现方法大致有两种： ①利用纠错码由硬件自动纠正产生的差错；②利用检错码在发现差错后通过指令的重复执行或程序的部分返回以 消除差错。
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根据差错性质不同，差错控制分为对随机误码的差错控制和对突发误码的差错控制。随机误码指信道误码较 均匀地分布在不同的时间间隔上；而突发误码指信道误码集中在一个很短的时间段内。有时把几种差错控制方法 混合使用，并且要求对随机误码和突发误码均有一定差错控制能力。
一种保证接收的数据完整、准确的方法。因为实际线总是不完善的。数据在传输过程中可能变得紊乱或丢失。 为了捕捉这些错误，发送端调制解调器对即将发送的数据执行一次数学运算，并将运算结果连同数据一起发送出 去，接收数据的调制解调器对它接收到的数据执行同样的运算，并将两个结果进行比较。如果数据在传输过程中 被破坏，则两个结果就不一致，接收数据的调制解调器就申请发送端重新发送数据。
差错控制
通讯传媒术语
01 简介
目录
02 产生原因
03 方式
04 控制方法
05 系统组成及作用原理
基本信息
差错控制（error control）是在数字通信中利用编码方法对传输中产生的差错进行控制，以提高数字消息 传输的准确性。
第六章差错控制
第六章差错控制第六章差错控制1 差错控制的基本概念1.1 差错的特点由于通信线路上总有噪声存在，噪声和有⽤信息中的结果，就会出现差错。
噪声可分为两类，⼀类是热噪声，另⼀类是冲击噪声，热噪声引起的差错是⼀种随机差错，亦即某个码元的出错具有独⽴性，与前后码元⽆关。
冲击噪声是由短暂原因造成的，例如电机的启动、停⽌，电器设备的放弧等，冲击噪声引起的差错是成群的，其差错持续时间称为突发错的长度。
衡量信道传输性能的指标之⼀是误码率po。
po=错误接收的码元数/接收的总码元数⽬前普通电话线路中，当传输速率在600~2400bit/s时，po在之间，对于⼤多数通信系统，po在之间，⽽计算机之间的数据传输则要求误码率低于。
1.2 差错控制的基本⽅式差错控制⽅式基本上分为两类，⼀类称为“反馈纠错”，另⼀类称为“前向纠错”。
在这两类基础上⼜派⽣出⼀种称为“混合纠错”。
(1)反馈纠错这种⽅式在是发信端采⽤某种能发现⼀定程度传输差错的简单编码⽅法对所传信息进⾏编码，加⼊少量监督码元，在接收端则根据编码规则收到的编码信号进⾏检查，⼀量检测出(发现)有错码时，即向发信端发出询问的信号，要求重发。
发信端收到询问信号时，⽴即重发已发⽣传输差错的那部分发信息，直到正确收到为⽌。
所谓发现差错是指在若⼲接收码元中知道有⼀个或⼀些是错的，但不⼀定知道错误的准确位置。
图6－1给出了“差错控制”的⽰意⽅框图。
オ(2)前向纠错这种⽅式是发信端采⽤某种在解码时能纠正⼀定程度传输差错的较复杂的编码⽅法，使接收端在收到信码中不仅能发现错码，还能够纠正错码。
在图6－1中，除去虚线所框部分就是前向纠错的⽅框⽰意图。
采⽤前向纠错⽅式时，不需要反馈信道，也⽆需反复重发⽽延误传输时间，对实时传输有利，但是纠错设备⽐较复杂。
(3)混合纠错混合纠错的⽅式是：少量纠错在接收端⾃动纠正，差错较严重，超出⾃⾏纠正能⼒时，就向发信端发出询问信号，要求重发。
因此，“混合纠错”是“前向纠错”及“反馈纠错”两种⽅式的混合。
第21讲差错控制技术
m Q p,
n
n
pn
式中，Q为整数，则在模n运算下，有
m p (模n)
所以，在模n运算下，一个整数m等于它被n除得的余数。
码多项式的按模运算
若任意一个多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商 式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，即
01 × 10 × S: 11 D： 11 √
表示附加一位监督码 以后码组具有了检测 1位错码，但因译码 器不能判别哪位是错 码，不具备纠正错码 的能力；且无法检测 错2位错码。
③ 用三位二进制数
“000”—A “111”—B 称为许用码
组
“001”、“010”、“011”、“100” “1S0：1”0、00“11D0”：皆0是00禁√ 用码组
判断错码的位置。
例：若接收码组为0000011，则按上三式计算得到
：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1。这样，由上表可知，错
码位置在a3。
22
上例中的汉明码是(7, 4)码，其最小码距d0 = 3。
由式 d0 e 1 d0 2t 1
可知，此码能够检测2个错码，或纠正1个错码。
❖汉明码的码率： k 2r r 1 n 2r 1
若规定校正子和错码位置的关系如下表，则仅当在a6 a5 a4 a2位置上有错码时，校正子S1的值才等于1；否则S1的值为 零。这就意味着a6 a5 a4 a2四个码元构成偶数监督关系：
S1 a6 a5 a4 a2
同理，有
S2 a6 a5 a3 a1
S3 a6 a4 a3 a0
a2 a6 a5 a4 a1 a6 a5 a3 a0 a6 a4 a3
按照上式计算结果为
21
在接收端解码时，对于每个接收码组，先按式
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差错控制差错控制在数据通信过程中能发现或纠正差错，把差错限制在尽可能小的允许范围内的技术和方法。
信号在物理信道中传输时，线路本身电器特性造成的随机噪声、信号幅度的衰减、频率和相位的畸变、电器信号在线路上产生反射造成的回音效应、相邻线路间的串扰以及各种外界因素（如大气中的闪电、开关的跳火、外界强电流磁场的变化、电源的波动等）都会造成信号的失真。
在数据通信中，将会使接受端收到的二进制数位和发送端实际发送的二进制数位不一致，从而造成由“0”变成“1”或由“1”变成“0”的差错。
1.热噪声和冲击噪声传输中的差错都是由噪声引起的。
噪声有两大类，一类是信道固有的、持续存在的随机热噪声；另一类是由外界特定的短暂原因所造成的冲击噪声。
热噪声引起的差错称为随机差错所引起的某位码元的差错是孤立的，与前后码元没有关系。
它导致的随机错通常较少。
冲击噪声呈突发状，由其引起的差错称为突发错。
冲击噪声幅度可能相当大，无法靠提高幅度来避免冲击噪声造成的差错，它是传输中产生差错的主要原因。
冲击噪声虽然持续时间较短，但在一定的数据速率条件下，仍然会影响到一串码元。
2.差错的控制方法最常用的差错控制方法是差错控制编码。
数据信息位在向信道发送之前，先按照某种关系附加上一定的冗余位，构成一个码字后再发送，这个过程称为差错控制编码过程。
接收端收到该码字后，检查信息位和附加的冗余位之间的关系，以检查传输过程中是否有差错发生，这个过程称为检验过程。
差错控制编码可分为检错码和纠错码。
①检错码－－能自动发现差错的编码；②纠错码－－不仅能发现差错而且能自动纠正差错的编码。
差错控制方法分两类，一类是自动请求重发ARQ，另一类是前向纠错FEC。
在ARQ方式中，当接收端发现差错时，就设法通知发送端重发，直到收到正确的码字为止。
ARQ方式只使用检错码。
在FEC方式中，接收端不但能发现差错，而且能确定二进制码元发生错误的位置，从而加以纠正。
FEC方式必须使用纠错码。
3.编码效率衡量编码性能好坏的一个重要参数是编码效率R，它是码字中信息位所占的比例。
编码效率越高，即R越大，信道中用来传送信息码元的有效利用率就越高。
编码效率计算公式为：R=k/n=k/(k+r)式中k为码字中的信息位位数r为编码时外加冗余位位数n为编码后的码字长度2.5.2 奇偶校验码奇偶校验码是一种通过增加冗余位使得码字中“１”的个数为奇数或偶数的编码方法，它是一种检错码。
1.垂直奇偶校验的特点及编码规则发送顺序↑││││I11 I12 ... I1q┐│││┘信息位I21 I22 ... I2q......I p1 I p2 ... I pqr1 r2... r q冗余位1)编码规则：偶校验：r i=I1i+I2i+...+I pi(i=1,2,...,q)奇校验：r i=I1i+I2i+...+I pi+1(i=1,2,...,q)式中p为码字的定长位数q为码字的个数垂直奇偶校验的编码效率为R=p/(p+1)。
2)特点：垂直奇偶校验又称纵向奇偶校验，它能检测出每列中所有奇数个错，但检测不出偶数个的错。
因而对差错的漏检率接近1/2。
2.水平奇偶校验的特点及编码规则1)编码规则：发送顺序↑││││I11 I12 ... I1q r1r2....r pI21 I22 ... I2q......I p1 I p2 ... I pq└──────┘↑信息位冗余位偶校验：r i=I i1+I i2+...+I iq(i=1,2,...,p) 奇校验：r i=I i1+I i2+...+I iq+1(i=1,2,...,p)式中 p 为码字的定长位数 q 为码字的个数水平奇偶校验的编码效率为R=q/(q+1)。
2)特点：水平奇偶校验又称横向奇偶校验，它不但能检测出各段同一位上的奇数个错，而且还能检测出突发长度<=p 的所有突发错误。
其漏检率要比垂直奇偶校验方法低，但实现水平奇偶校验时，一定要使用数据缓冲器。
3.水平垂直奇偶校验的特点及编码规则 1)编码规则：发送顺序 ↑ │ │ │ │I 11 I 12 ... I 1q r 1,q+1 I 21 I 22...I 2qr 2,q+1 ...... ... I p1I p2...I pqr p,q+1 r p+1,1 r p+1,2 ... r p+1,qr p+1,q+1若水平垂直都用偶校验，则r i,q+1=I i1+I i2+...+I iq (i=1,2,...,p)r p+1,j=I1j+I2j+...+I pj (j=1,2,...,q)r p+1,q+1=r p+1,1+r p+1,2+...+r p+1,q=r1,q+1+r2,q+1+...+r p,q+1水平垂直奇偶校验的编码效率为R=pq/[(p+1)(q+1)]。
2)特点：水平垂直奇偶校验又称纵横奇偶校验。
它能检测出所有3位或3位以下的错误、奇数个错、大部分偶数个错以及突发长度<=p+1的突发错。
可使误码率降至原误码率的百分之一到万分之一。
还可以用来纠正部分差错。
有部分偶数个错不能测出。
适用于中、低速传输系统和反馈重传系统。
2.5.3 循环冗余码（CRC）1.CRC的工作方法在发送端产生一个循环冗余码，附加在信息位后面一起发送到接收端，接收端收到的信息按发送端形成循环冗余码同样的算法进行校验，若有错，需重发。
2.循环冗余码的产生与码字正确性检验例子。
例1.已知：信息码:110011信息多项式:K(X)=X5+X4+X+1生成码:11001 生成多项式:G(X)=X4+X3+1(r=4) 求：循环冗余码和码字。
解：1)(X5+X4+X+1)*X4的积是X9+X8+X5+X4对应的码是1100110 000。
2)积／G(X)(按模二算法)。
由计算结果知冗余码是1001，码字就是1100111001。
1 0 0 0 0 1←Q(X)G(x)→1 1 0 0 1 )1 1 0 0 1 1 0 0 0 0←F(X)*X r1 1 0 0 1，1 0 0 0 01 1 0 0 11 0 0 1←R(X)(冗余码)例2.已知：接收码字:1100111001多项式:T(X)=X9+X8+X5+X4+X3+1 生成码:11001 生成多项式:G(X)=X4+X3+1(r=4)求：码字的正确性。
若正确，则指出冗余码和信息码。
解：1)用字码除以生成码，余数为0，所以码字正确。
1 0 0 0 0 1←Q(X)G(x)→1 1 0 0 1 )1 1 0 0 1 1 1 0 0 1←F(X)*X r＋R(x)1 1 0 0 11 1 0 0 11 1 0 0 10←S(X)(余数)2)因r=4，所以冗余码是：11001，信息码是:1100113.循环冗余码的工作原理循环冗余码CRC在发送端编码和接收端校验时，都可以利用事先约定的生成多项式G(X)来得到，K位要发送的信息位可对应于一个(k-1)次多项式K (X),r位冗余位则对应于一个(r-1)次多项式R(X)，由r位冗余位组成的n=k+r位码字则对应于一个(n-1)次多项式T(X)=Xr*K (X) +R(X)。
4.循环冗余校验码的特点1)可检测出所有奇数位错；2)可检测出所有双比特的错；3)可检测出所有小于、等于校验位长度的突发错。
5.4种生成码(P44)2.5.4 海明码1.海明码的概念海明码是一种可以纠正一位差错的编码。
它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。
它必需满足以下关系式：２r>=n+1 或2r>=k+r+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r)式中k为信息位位数r为增加冗余位位数2.海明码的生成与接收方法一：（按教科书）1)海明码的生成。
例1.已知：信息码为："0010"。
海明码的监督关系式为：S2=a2+a4+a5+a6S1=a1+a3+a5+a6S0=a0+a3+a4+a6求：海明码码字。
解：1)由监督关系式知冗余码为a2a1a0。
2)冗余码与信息码合成的海明码是："0010a2a1a0"。
设S2=S1=S0=0,由监督关系式得：a2=a4+a5+a6=1a1=a3+a5+a6=0a0=a3+a4+a6=1因此，海明码码字为："0010101"2)海明码的接收。
例2.已知：海明码的监督关系式为：S2=a2+a4+a5+a6S1=a1+a3+a5+a6S0=a0+a3+a4+a6接收码字为："0011101"(n=7)求：发送端的信息码。
解：1)由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。
2)由监督关系式可构造出下面错码位置关系表：3)由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。
4)纠错--对码字的a3位取反得正确码字："0 0 1 0 1 0 1"5)把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码："0010"方法二：(不用查表，方便编程)1)海明码的生成（顺序生成法）。
例3.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 "(k=8)求：海明码码字。
解：1)把冗余码A、B、C、…，顺序插入信息码中，得海明码码字:" A B1 C1 0 0 D1 1 0 0 "码位: 1 23 45 6 7 8910 11 12其中A,B,C,D分别插于2k位(k=0,1,2,3)。
码位分别为1,2,4,8。
2)冗余码A,B,C,D的线性码位是：(相当于监督关系式)A->1,3,5,7,9,11；B->2,3,6,7,10,11；C->4,5,6,7,12；(注5=4+1；6=4+2；7=4+2+1；12=8+4)D->8,9,10,11,12。
3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0)：A=∑(0,1,1,0,1,0)=1B=∑(0,1,0,0,1,0)=0C=∑(0,1,0,0,0)=1D=∑(0,1,1,0,0)=04)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"2)海明码的接收。
例4.已知：接收的码字为："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8) 求：发送端的信息码。
解：1)设错误累加器(err)初值=02)求出冗余码的偶校验和，并按码位累加到err中：A=∑(1,0,1,0,1,0)=1err=err+20=1B=∑(0,0,0,0,1,0)=1err=err+21=3C=∑(1,1,0,0,0)=0err=err+0=3D=∑(0,1,1,0,0)=0err=err+0=3由err≠0可知接收码字有错，3)码字的错误位置就是错误累加器(err)的值3。