立体几何三视图体积表面积(学生)
专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积(解析版)
专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积【要点提炼】1.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝43πR3.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a，a2，22a.考点考向一空间几何体的表面积【典例1】(1)如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体的某个顶点为球心，2为半径的18球体后的剩余部分，则该几何体的表面积为()A.24－3πB.24－πC.24＋πD.24＋5π(2)(多选题)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A.2πB.(1＋2)πC.22πD.(2＋2)π解析(1)由题意知该几何体的表面积S＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π.故选B.(2)如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为2，所以所形成的几何体的表面积S＝π×1×2＋π×12＝(2＋1)π.如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边上的高22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S′＝2×π×22×1＝2π.综上可知，形成几何体的表面积是(2＋1)π或2π.故选AB.答案(1)B(2)AB探究提高 1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次把不规则几何体分割成几个规则的几何体.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【拓展练习1】(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为() A.122π B.12πC.82πD.10π(2)(2020·衡水金卷)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为()A.1B.2C.3D. 3解析(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为2 2.所以S表面积＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)如图，设圆柱底面半径为r (0＜r ＜2)，高为h ，则h4sin 60°＝2－r 2，即h ＝3(2－r )，其侧面积为S ＝23πr (2－r )＝23π(－r 2＋2r )，根据二次函数性质，当r ＝1时，侧面积取得最大值，此时h ＝ 3. 答案 (1)B (2)D考向二 空间几何体的体积【典例2】 (1)(2020·济南模拟)已知三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S －ABC 的体积是( ) A.4B.6C.4 3D.6 3(2)(2020·长沙模拟)如图，在四面体PBCD 中，点A 是CD 的中点，P A ＝AD ，△ABC 为等边三角形，边长为6，PB ＝8，PC ＝10，则△PBD 的面积为________，四面体P ABC 的体积为________.解析 (1)∵∠ABC ＝π2，AB ＝2，BC ＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝22＋62＝210.∵∠SAB ＝π2，AB ＝2，SB ＝4，∴AS ＝SB 2－AB 2＝42－22＝2 3.由SC ＝213，得AC 2＋AS 2＝SC 2，∴AC ⊥AS .又∵SA ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，∴AS ⊥平面ABC ，∴AS 为三棱锥S －ABC 的高，∴V 三棱锥S －ABC＝13×12×2×6×23＝4 3.故选C.(2)因为△ABC 为等边三角形，边长为6，点A 为CD 的中点，所以AD ＝AB ＝6，所以△ADB 为等腰三角形.又∠DAB ＝180°－∠CAB ＝120°， 所以∠ADB ＝12(180°－120°)＝30°，所以∠ADB ＋∠DCB ＝90°，所以∠DBC ＝90°，所以CB ⊥DB ，所以DB ＝CD 2－BC 2＝144－36＝6 3.因为PB ＝8，PC ＝10，BC ＝6，所以PC 2＝PB 2＋BC 2，所以CB ⊥PB .又DB ∩PB ＝B ，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD .因为DA ＝AC ＝AP ＝6，所以△PDC 为直角三角形，且∠DPC ＝90°，所以PD ＝CD 2－PC 2＝144－100＝211.又DB ＝63，PB ＝8，所以DB 2＝PD 2＋PB 2，即△PBD 为直角三角形，所以S △PBD ＝12×8×211＝811.因为点A 为DC 的中点，所以V P －ABC ＝12V P －CBD ＝12V C －PBD ＝12×13×S △PBD ×CB ＝12×13×811×6＝811，即四面体P ABC 的体积为811. 答案 (1)C (2)811 811探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【拓展练习2】 (1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.πB.3π4C.π2D.π4(2)(2020·东北三校一联)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，ED ＝2FC ＝2，则四面体ABEF 的体积为( )A.13B.23C.1D.43解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝AM ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.(2)∵ED ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD ， ∴ED ⊥AD .∵在正方形ABCD 中，AD ⊥DC ，而DC ∩ED ＝D ， ∴AD ⊥平面CDEF .易知FC ＝ED2＝1，V A －BEF ＝V ABCDEF －V F －ABCD －V A －DEF .∵V E －ABCD ＝ED ×S 正方形ABCD ×13＝2×2×2×13＝83，V B －EFC ＝BC ×S △EFC ×13 ＝2×2×1×12×13＝23，∴V ABCDEF ＝83＋23＝103.又V F －ABCD ＝FC ×S 正方形ABCD ×13＝1×2×2×13＝43， V A －DEF ＝AD ×S △DEF ×13＝2×2×2×12×13＝43，V A －BEF ＝103－43－43＝23.故选B. 答案 (1)B (2)B考向三 多面体与球的切、接问题【典例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π3(2)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P －ABCD 为阳马，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝3，BC ＝AB ＝4，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则R ＝________；内切球的体积V ＝________.解析 (1)由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r . 则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. ∴2r ＝4＞3不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大. 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.(2)在四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，则(2R )2＝AB 2＋AD 2＋AP 2＝16＋16＋9＝41， 因此R ＝412.依题意Rt △P AB ≌Rt △P AD ，则内切球O 在侧面P AD 内的正视图是△P AD 的内切圆，故内切球的半径r ＝12(3＋4－5)＝1，则V ＝43πr 3＝43π. 答案 (1)B (2)412 43π探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 且P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【拓展练习3】 (1)(2020·太原模拟)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝1，点D 为侧棱BB 1上的动点.若△ADC 1周长的最小值为3＋5，则三棱锥C 1－ABC 的外接球的体积为( )A.2πB.32π C.5π2D.3π(2)(2020·烟台诊断)已知点A，B，C在半径为2的球面上，满足AB＝AC＝1，BC ＝3，若S是球面上任意一点，则三棱锥S－ABC体积的最大值为________. 解析(1)将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开在同一平面内，示意图如图所示，易知当D为侧棱BB1的中点时，△ADC1的周长最小，此时设BD＝x(x＞0)，则21＋x2＋2＋4x2＝3＋5，解得x＝12，所以CC1＝1，AC1＝ 3.又三棱锥C1－ABC的外接球的球心为AC1的中点，所以外接球的半径R＝32，于是三棱锥C1－ABC的外接球的体积为V＝43πR3＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫323＝32π.(2)设球心为O，△ABC的外心为D，则OD⊥平面ABC.在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝12＋12－（3）22×1×1＝－12，则sin A＝32.所以S△ABC＝12AB·AC sin A＝12×1×1×32＝34，且△ABC的外接圆半径DA＝BC2sin A＝32×32＝1.因此在Rt△OAD中，OD＝OA2－DA2＝22－12＝ 3.当三棱锥S－ABC的高最大时，三棱锥S－ABC的体积取最大值，而三棱锥S－ABC的高的最大值为3＋2，所以三棱锥S－ABC的体积的最大值为13×34×(3＋2)＝3＋2312.答案(1)B(2)3＋2312【专题拓展练习】1．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，4ABC π∠=，2AC =，则三棱锥P ABC-外接球表面积的最小值是（ ） A ．8π B ．4πC ．2πD ．π【答案】B 【详解】设底面ABC 外接圆圆心为1O ，半径为r ， 则22sin ACr ABC==∠，即1r =.设三棱锥P ABC -高为h ，球的半径为R .由PA PB PC ==，得球心O 在1PO 上，且222()R h R r -+=，则11112122R h h h h⎛⎫=+≥⋅⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1h =时等号成立， 此时外接球表面积最小，则min 4S π=.故选：B2．已知菱形ABCD 360BAD ∠=︒，将ABD △沿BD 折起，使A ，C 两点的3A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．92πC ．6πD ．152π【答案】B由已知得BAD 为等边三角形，∴对角线3BD AB BC CD DA =====,将ABD △沿BD 折起，使A ，C 两点的距离为3，∴折起后三棱锥A BCD -为正四面体，各棱长都是3，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为a ,则正方体的面对角线为323,2a a =∴=，所以正方体的体对角线为322a R ==,其中R 为正方体的外接球半径，由于正方体的外接球就是正四面体ABCD 的外接球，∴正四面体ABCD 的外接球表面积为24R π=92π,3．三棱柱111ABC A B C -中，棱1AB AC AA 、、两两垂直，12AA =，底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8 B ．10πC ．12πD ．π【答案】C 【详解】底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱111ABC A B C -可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：22222232++=，所以球O 的表面积为243)12ππ=， 故选：C ．.4．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V ，该几何体所有棱的棱长之和为L ，则A ．8,14253V L ==+ B ．8,1425V L ==+ C ．8,16253V L ==+D ．8,1625VL ==+【答案】A 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，E 分别为11,B C BC 的中点，该几何体为四棱锥P ABCD -，且PE ⊥平面ABCD ． 由三视图可知2AB =，则5,3PCPB PD PA ====，则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=． 故选：A.5．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为83π，则球的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．36πD ．48π【答案】C 【详解】设球的半径为R ，圆锥的底面半径为r ，因为球心到截面的距离为1， 所以有：221r R =-， 则题中圆锥体积()2181133V R ππ=⨯⨯-=，解得3R =，故球的表面积为2436R ππ=. 故选：C6．一个体积为243的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ）A ．63B ．8C ．123D ．12【答案】C 【详解】侧视图的宽为23即为俯视图的高， ∴底面正三角形的边长为234sin 60=︒，设三棱柱的高h ， 体积为1243=42362h h ⨯⨯⇒= ∴侧视图的面积为：236123S ==,故选：C.7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AP =，22AB =4AC =，45BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积是（ ） A ．14π B ．16πC ．18πD ．20π【答案】D 【详解】在BAC 中，45BAC ∠=︒，22AB =4AC =， 由余弦定理可得22222cos 81624222242BC AB AC AB AC π=+-⋅=+-⨯⨯=，则222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 由PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ， 所以BC PB ⊥，所以PBC 为直角三角形， 又PAC △为直角三角形，所以PC 是外接球直径，O 是PC 的中点，即为球心， 又22,2AB BC PA ===，所以()()2222222225PC =++=5所以球O 的体积245)20V ππ=⨯=. 故选：D.8．已知长方体的两个底面是边长为1的正方形，长方体的一条体对角线与底面成45角，则此长方体的外接球表面积为（ ） A ．4π B ．6πC ．12πD ．24π【答案】A 【详解】记该长方体为1111ABCD A B C D -，1BD 为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为45，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，侧棱1DD ⊥底面ABCD ， 则1D BD ∠为1BD 与底面所成角，即145D BD ∠=， 因为长方体的两个底面是边长为1的正方形，所以222BD AD AB =+=，则12DD BD ==，所以1222BD =+=， 又长方体的外接球直径等于其体对角线的长， 即该长方体外接球的直径为12222R BD ==+=， 所以此长方体的外接球表面积为244S R ππ==. 故选：A.9．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）A ．2B ．1C ．高D ．考【答案】C 【详解】解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”， 故选:C .10．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43，则正方体外接球的体积为（ ） A ．43π B ．6πC ．323πD ．86π【答案】B 【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为43， 所以()12133442242AB CS Sa==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=，所以正方体的外接球的体积为3466 3ππ⎛⎫=⎪⎪⎝⎭11．已知三棱锥P ABC-，3BACπ∠=，3BC=，PA⊥平面ABC且23PA=，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．163πB．43πC．16πD．323π【答案】D【详解】如图，设球心为O，三角形ABC外接圆心为1O，PA⊥平面ABC，∴1132OO PA==，设球半径为R，圆1O的半径为r，则在三角形ABC中，由正弦定理可得322sin3BCrBAC===∠，即1r=，在直角三角形1AOO中，22211OO AO OA+=，即()2223r R+=，解得2R=，则外接球的体积为343233Rππ=.故选：D.12．已知正三棱柱111ABC A B C-的各棱长均为2，底面ABC与底面111A B C的中心分别为O、1O，P是1OO上一动点，记三棱锥P ABC-与三棱锥111P A B C-的体积分别为1V、2V，则12V V⋅的最大值为（）A ．13B ．3 C ．23 D ．23【答案】A 【详解】∵正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2， ∴111122sin 6032ABC A B C S S ∆∆==⨯⨯⨯=，且12OO =， ∴11112111111123()3333ABC A B C ABC ABC V V S OP S O P S OP O P S OO ∆∆∆∆+=⋅+⋅=⋅+=⋅=， 由1212232V V V V ⋅≤+=得：1213V V ⋅≤，当且仅当点P 为1OO 的中点时等号成立，∴12V V ⋅的最大值为13， 故选：A.13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．1B ．2C 6D ．23【答案】D 【详解】借助于边长为2的正方体画出该三棱锥，如图所示，11212ABD BDC S S ==⨯⨯=△△ ,ABC 是边长为22的等边三角形，()2322234ABC S =⨯=△,ACD △是等腰三角形，腰长为5，底边长为22， ()()221225262ACD S =⨯⨯-=△∴该几何体的各个面中最大面的面积为23. 故选:D.14．日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为12cm ，矩形的宽和正方形的边长均为8cm .若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为V 3cm ，则V 的最大值为（ ）A ．6423π B ．3223π C ．32π D ．2563π 【答案】A 【详解】根据题意作出礼盒的直观图如下图所示：由图可知该几何体为直三棱柱，设等腰三角形的内切圆半径为R ，又因为等腰三角形的高为2212482-=， 所以根据等面积法可知：121288822R ++⨯⋅=，所以22R =， 又因为正方形的边长为8，所以82242R =<=， 所以球形硬糖的半径最大值为22，所以体积V 的最大值为()3464222=3ππ，故选：A.15．如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【详解】 设,PE PFx y PB PD==,则,PE xPB PF yPD == 所以412,323P AEF P ABD P MEF P BCD V xy V xy V xyV xy ----=⋅===， 1212,2323P AFM P ACD P AEM P ABC V y V y V x V x ----=⋅==⋅=， ()223P AEMF P AEF P EMF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+， 所以3x y xy +=，则331yx y =-， 令31y t -=，因为1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()221311412,319992t y t y tt +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦， 所以2238,13319P AEMF y V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，。
高中一二轮复习立体几何三视图求解体积表面积问题ppt课件
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① 保险利益原则（基本原则） 投保方对保险标的具有法律上承认的权益或利
害关系——经济契约的必要条件（前提）； 构成该必要条件的要素是： 有关保险利益必须为：
法律上所认可的利益→合法利益 经济上的利益→经济利益 确定的和能实现的利益→确定利益
作用：防止道德因素风险，消除赌博/投机行为 ，避免不当得利；限制赔偿程度，保障经营稳定
二．特征 1. 特殊的法律原则（或者政策）； 2. 有力保障受害者的权益； 3. 保险项目不可选择； 4. 典型的无过失责任保险原则； 5. 具有社会公益性质；
三、四、五部分自学；
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五．中国交强险（中国特色） 若干特殊说明： 注意：第三者责任险性质的最低保障； 始于2003年：明确该制度； 2006年成为法规并予以实施； 执行特点：统一费率与限额； 执行原则：不赢利、不亏损； 根据具体执行状态，又修订若干条款与规定
这就决定了汽车，特别是占有市场总量90%以 上的私人乘用车，在生产、销售、服务等方面具有 某些特殊的性质；
操作车辆保险作业的人员，前提条件就是： 深入了解汽车；
பைடு நூலகம்
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第二章 车辆保险制度 第一节、相关制度 一．过失原则与无过失原则； 二．过失责任为基础的汽车保险制度； 三．无过失责任为基础的汽车保险制度； 思考题： 制度的思辩； 法律与道德；
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③ 近因原则 损害结果与风险事故的发生有直接的因果关系
时，保险人对责任范围内的风险事故导致的损失才 能给予赔偿；
近因的认定规则； 保险责任的认定方法：
从最初事件出发，进行顺向逻辑推理； 从最终损失开始，逆向追溯事件原因：
自用利用三视图求体积表面积
一。8
P
D C
A B
再看二。10
练习：一个几何体的三视图如下图，则这个几何体的体 积为________。
三。
一·2
例：已知正三棱台的上、下底面边长分
别是2cm和4cm，侧棱长是 6 cm，试
求该正三棱台的体积
A
B
OC
A'
O'
B'
C'
例：一个正三棱台的上、下底面边长分
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台
C′ C′
o
A
A
二。例2.已知一几何体的三视图如下图，试求其表面 积与体积.
1
1
1
主视图
侧视图
2
2
俯视图
直观图
2 3 6 cm2 , 3 cm3
一。6
练习 长对正 高平齐 宽相等
下图是一个几何体的三视图（单位：㎝）， 画出它的直观图，并求表面积。
6
6
8
8
10
10
6
10
一。7
D′
D
A
C B
的侧面积.
A1 O1 C1 B1 D1 C
A
O ED
B
面积 体积
温故知新
圆柱的表面积：S 2r(r l) 圆柱
圆锥的表面积：S圆锥 r(r l) 圆台的表面积：S (r 2 r'2 rl r'l)
圆台
球的表面积： S 4R 2 球
柱体的体积：V Sh 柱
锥体的体积：V 1Sh
锥3
台体的体积：V 1 (S SS' S')h
台3
球的体积： V 4R 3
空间几何体的三视图、表面积、体积专题复习
空间几何体的三视图、表面积、体积专题复习简单几何体的表面积与体积：(1)柱体、锥体、台体和球的表面积：①S 直棱柱侧面积＝ch ，其中c 为底面多边形的周长，h 为直棱柱的高．②'=ch S 21正棱锥形面积，其中c 为底面多边形的周长，h ＇为正棱锥的斜高． ③''+=h c c S )(21正棱台侧面积，其中c ＇，c 分别是棱台的上、下底面周长，h ＇为正棱台的斜高．④S 圆柱侧面积＝2πRh ，其中R 是圆柱的底面半径，h 是圆柱的高． ⑤S 圆锥侧面积＝πRl ，其中R 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长． ⑥S 球＝4πR 2，其中R 是球的半径． (2)柱体、锥体、台体和球的体积：①V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．②Sh V 31=锥体，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ③)(31'+'+=S SS S h V 台体,其中S ＇,S 分别是台体的上、下底面的面积,h 为台体的高．④3π34R V =球，其中R 是球的半径．练习：1. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形,主视图与左视图是边长为2的正∆, 则其全面积是 A ．8B ．12 C．4(1+ D．2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．14+πB ．134+πC ．834+πD ．84+π3. 如右图,已知一个锥体的正视图,侧视图和俯视图均为Rt ∆,且面积分别为3,4,6，则该锥体的体积为（ ） A ．24 B ．8 C ．12 D ．44. 如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视 图轮廓为正方形，则其体积是( ) A.423 B.433 C.36 D.835. 用大小相同的且体积为1的小立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如上图所示,则它的体积的最小值与 最大值分别为( )A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与15 6. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④7. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图中ABC ∆是边长为2的正∆,俯视图为俯视图正视侧视CA5题正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为A.12B.32C.23 D.6 8. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是（ ）9. 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( ) A. 22 B. 23 C. 4 D. 2 510.一个正三棱柱的三视图如下所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）A . 2，B .，2 C . 4，2 D . 2，4 11.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是（ ）A ．403B．3C ．503D．612.下图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为（ ）A ．72B ．36C ．24D ．1213.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 （ ）A ．4 cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 314.一个圆锥的正视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为（ ）A ．4πB ．πC ．94πD ．4π主视图正视图侧视图俯视图俯视图左视图13题15.已知某四棱锥的三视图,如图.则此四棱锥的体积为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．616.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．8π3B ．3πC．10π3D ．6π17.已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积=V （ ）A ．π12B ．π16C ．π18D ．π6418.已知某个几何体的三视图如图2所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),则这个几何体的体积是（ ）A ．38cmB ．312cmC ．324cmD ．372cm19.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．23220.一空间几何体的三视图如右上图所示,该几何体的体积为12π+则正视图与侧视图中x 的值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．221.已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正∆）的高与底面边长均为2,其直观图和正视图如下,则它的侧视图的面积是 ．俯视图侧视图正视图第16题图图222.设某几何体的三视图如下左边所示（尺寸的长度单位为m ）。
高考数学中由三视图求表面积和体积
高考数学中由三视图求表面积和体积【核心考点回顾】1.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的性质：①侧面都是平行四边形；②两底面是全等多边形；③平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；④面积：ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）； ⑤体积：d S Sh V 侧面棱柱21==（S 为底面积，h 为高，d 为已知侧面与它对棱的距离）. 2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥；底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
棱锥的性质：①平行于底面的截面和底面相似，截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； ②面积：'21ch S =正棱锥（c 为底周长，'h 为斜高）③体积：Sh V 31=棱锥（S 为底面积，h 为高）3.由三视图求空间几何体的表面积与体积:(1)空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
可先根据三视图确定几何体的结构特征,再利用几何体的表面积与体积公式计算。
(2)三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法。
(3)三视图中如果其中两个视图是矩形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为矩形)那么该空间几何体为柱体，当第三个视图为圆时,该空间几何体为圆柱,否则为棱柱。
(4)三视图中如果其中两个视图是三角形(不管内部细节,只要外轮廓线为三角形就称视图为三角形)则该空间几何体为锥体，当第三个视图为圆时,该空间几何体为圆锥,否则为棱锥。
立体几何三视图体积表面积(学生)
-- -- z - 立体几何三视图体积表面积一、选择题1．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为（ ）（A ）48122+ （B ）48242+（C ）72122+ （D ）72242+2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）22 （B ）43 （C ）83 （D ）43．一个几何体的三视图如图，则其体积为（ ）A ．203 B ．6 C ．163 D ．54．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于 （ ）侧视图正视图 俯视图 2 22试卷第2页，总7页A． 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．6 35．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）A ．34π B ．23π C ．π D ．π3 6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是为（ ）A ．80B ．40C ．803D ．403 7．某几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积为正视图 侧视图俯视图-- -- z - （A ）200+9π（B ）200+18π（C ）140+9π（D ）140+18π8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）侧（左）视图俯视图正视图111122A B CD9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．π2B ．2π2C ．3π D ．23π 10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．16πC ．32πD ．64π试卷第4页，总7页二、填空题11．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为_______．12．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______.13．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为 ．14．用18m 长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____3m ．15．一个球的接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________．16．如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）1111ABCD A B C D 中，E 是BC 的中点，F 是1C D 的中点，P 是棱1CC 所在直线上的动点．则下列四个命题：-- -- z -①CD PE ⊥ ②EF //平面1ABC③111P A DD D ADE V V --=④过P 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．三、解答题17．如图所示，一圆柱挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆锥的母线长为6，底面半径为2，求该几何体的表面积．18．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）若M 为CB 中点，证明：1//MA CNB 平面；（Ⅱ）求这个几何体的体积．C D D 1C 1B 1 1F E试卷第6页，总7页19．（12分）如图，P AB '∆是边长为31+的等边三角形，31P C P D ''==-现将P CD '∆沿边CD 折起至PCD 得四棱锥P ABCD -, 且PC BC ⊥（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）求证：//PB 平面AEC ;（2）设1,3,2,PA AB AD ===求三棱锥B PCD -的体积。
2019数学(理)二轮精选讲义专题五 立体几何 第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积 含答案
专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。
[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。
[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。
［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。
［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。
高考数学 8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
3.圆柱、圆锥、圆台的特征 分别以⑤ 矩形一边 、⑥ 直角三角形一直角边 、
⑦ 直角梯形中垂直于底边的腰 所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一 周而形成的面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.其中,旋转轴叫 做所围成的几何体的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的 底面;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面,无论旋转 到什么位置,这条边都叫做侧面的⑧ 母线 . 4.棱台、圆台的定义 用平行于底面的平面分别去截棱锥、圆锥,⑨ 截面与底面间 的部分 分别叫做棱台、圆台.
5.球
(1)一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球 面,球面所围成的几何体叫做球.
形成球的半圆的圆心叫做球心;连接球面上一点和球心的线段叫做球的 半径;连接球面上两点且通过球心的线段叫做球的直径. (2)球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆,被经过球心的平 面截得的圆叫做球的大圆. 球的截面性质:r=⑩
1 2 3 πr h
,棱锥的体积公式为V= Sh.圆锥和
1 3
棱锥的体积公式可以统一为V锥=
,其中S为底面面积,h为高.
1 3 Sh
1 1 6.圆台的体积公式为V= π(r'2+r'r+r2)h,棱台的体积公式为V= (S'+ SS ' + 3 3 1 S)h.圆台和棱台的体积公式可以统一为V台= (S'+ S ' S +S)h,其中S'、S分 3
( B
)
A.6 2 B.6 C.4 2 D.4
解析 由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所 示.其中面ABC⊥面BCD,△ABC为等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC的中
高考数学复习：空间几何体的三视图、表面积及体积
V＝13×3×6×3＝18.
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专题五 立体几何
空间几何体的三视图与直观图的对应关系
典题例析 例 1 (1)下列三视图所对应的直观图是
二 轮 复 习
(C )
数 学
[解析] 由题意可知，几何体的直观图下部是长方体，上部是圆柱，并且高 相等，所以C选项符合题意．
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专题五 立体几何
(2)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为
学
习
(r，r′为底面半径，h 为高)
球 V 球＝__43_π_R_3_____(R 为球的半径) S 球＝___4_π_R_2___(R 为球的半径)
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专题五 立体几何
2．空间几何体的三视图和直观图
(1)空间几何体的三视图
三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上
方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对
＝π4.
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专题五 立体几何
7．(2019·北京卷，11)某几何体是由一个正方体去 掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上 小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__4_0___.
数 学
二 轮 复 习
[解析 ] 由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S＝(2＋4) ×2÷2＝6，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6×4＝24.又正方 体的体积为43＝64，所以该几何体的体积为64－24＝40.
(1)加强对空间几何体结构特征的理解，掌握各种几何体的体积、表面积公式．
(2)掌握空间几何三视图的画法规则，掌握几何直观图中各个元素之间的关系以
及三视图中长宽之间的关系．
数
空间几何体的体积与表面积、三视图
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．空间几何体的结构特征2(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段；(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图． 4．柱、锥、台和球的表面积和体积题型一 空间几何体的结构特征 例1 (1)下列说法正确的是( )A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°题型二 空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则 它的直观图的面积是________．(1)(2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于 ( )A ．1B. 2C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形题型三 空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A.2π3＋12 B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12(2012·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ( )A.26B.36C.23 D.22转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥C—MNP的体积．1.【2017课标II ，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）103.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+4.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）5.【2015北京文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．BCD ．6.【2015新课标2文6】 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.57. (2014课标全国Ⅰ，文8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )．A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱 8.【2015高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）1+ （B ）1+ （C ）2+ （D ）9.【2014湖北卷7】在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 10.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A) 123π+ (B)136π(C) 73π (D) 52π11.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 3cmB ．123cm C ．3233cm D ．4033cm12.【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）12+π33 （B）1+π33 （C）1+π36（D）1+π613. 【2014四川，文4】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh，其中S 为底面面积，为高） A 、 B 、 CD 、侧视图俯视图1122221114. 2016高考新课标Ⅲ文数]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）8115.【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A 、89πB 、827πC 、21)πD 、21)π16.【2016高考新课标1文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是（ ）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π17.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．BCD ．。
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立体几何三视图体积表面积
一、选择题
1．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为（ ）
（A ）48122+
（B ）48242+
（C ）72122+ （D ）72242+
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A ）22 （B ）43 （C ）8
3 （D ）4
3．一个几何体的三视图如图，则其体积为（ ）
A ．20
3 B ．6 C ．16
3 D ．5
%
4．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于 （ ）
/正视图 俯视图 2 2
2
A ． 3
B ．2 3
C ．3 3
D ．6 3
5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）
A ．3
4π B ．23π C ．π D ．π3 6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是为（ ）
!
A ．80
B ．40
C ．803
D ．403
7．某几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积为
正视图 侧视图
俯视图
（A）200+9π
（B）200+18π
（C）140+9π
（D）140+18π
8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）
侧（左）视图
俯视图
正视图
1
1
1
1
2
2
*
A B C
D
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．π2B．2π2C．
3
π
D．
2
3
π
10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）
A ．8π
B ．16π
C ．32π
D ．64π
二、填空题
)
11．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为_______．
12．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______.
13．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为 ，外接球的表面积为 ．
14．用18m 长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____3m ．
&
15．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________．
16．如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的
中点，F 是1C D 的中点，P 是棱1CC 所在直线上的动点．则下列四个命题：
①CD PE ⊥
②EF //平面1ABC
③111P A DD D ADE V V --=
④过P 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．
其中正确命题的序号是
（写出所有正确命题的序号）．
三、解答题
; 17．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆锥的母线长为6，底面半径为2，求该几何体的表面积．
18．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
C
D
D 1
C 1B 1
、 F E
（Ⅰ）若M 为CB 中点，证明：1//MA CNB 平面；
（Ⅱ）求这个几何体的体积．
19．（12分）如图，P AB '∆是边长为
31+的等边三角形，31P C P D ''==-现将P CD '∆沿边CD 折起至PCD 得四棱锥P ABCD -, 且PC BC ⊥
（1）证明：BD ⊥平面PAC ；
/
（2）求四棱锥P ABCD -的体积．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
（1）求证：//PB 平面AEC ;
（2）设1,3,2,PA AB AD ===求三棱锥B PCD -的体积。
21．（本小题满分12分）如图：三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB ＝90°,AC ＝BC=12
1AA ,D 是侧棱AA 1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比．
22．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．
P /
" A
B D C
P D
A B
C
（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ． 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12
V V 的值．。