九年级数学上册 旋转几何综合综合测试卷(word含答案)

九年级数学上册旋转几何综合综合测试卷（word含答案）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，

AP＝1

3

AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，

连接PC，且ABE为等边三角形．

（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．

（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为

93，求线段AC的长．

【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）

7 7

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；

（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；

（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：（1）∵△ABE是等边三角形，

∴∠ABE＝60°，AB＝BE，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，

∴∠CBP＝60°，BC＝BP，

∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，

即∠ABP＝∠EBC，

∴△ABP≌△EBC（SAS），

∴AP＝EC；

故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；

（2）成立，理由如下，

∵△ABE是等边三角形，

∴∠ABE＝60°，AB＝BE，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，

∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，

∴△ABP≌△EBC（SAS），

∴AP＝EC；

（3）过点C作CD⊥m于D，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，

∴3

2

93

∴PC＝3，

设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，

∵m∥n，

∴∠CAD＝∠AEB＝60°，

∴AD＝1

2

AC＝t，CD33，

∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，

∴t＝37

7

（负值舍去），

∴AC＝2t 67

．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得

解．

2．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．

（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；

②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．

【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝5

3

．

【解析】

【分析】

（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G 在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；

（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD ＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．

【详解】

解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，

∵∠ADC＝90°，

∴∠ADC+∠ADG＝90°

∴F、D、G共线，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠DAG+∠DAF＝45°，

即∠EAF＝∠GAF＝45°，

在△EAF和△GAF中，

∵

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝GF，

∵BE＝DG，

∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，

故答案为：EF＝BE+DF；

②成立，

理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，

则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADC+∠ADG＝180°，

∴C、D、G在一条直线上，

与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，

在△EAF和△GAF中，

∵

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF＝GF，

∵BE＝DG，

∴EF＝GF＝BE+DF；

（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠C＝45°，

由勾股定理得：BC22

AB AC

+4，

如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，