(预测题)中考数学专题22几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(含解析)

o，四边形 CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图
2）．
（ 1）在上述旋转过程中， ①BH与 CK有怎样的数量关系？②四边形 现的结论．
CHGK的面积是否发生变化？并证明你发
5 （ 2）如图， 连接 KH，在上述旋转过程中， 是否存在某一 位置使△ GKH的面积恰好等于△ ABC面积的 18 ？若
2
135 22 135 =
23 =。
360
360
4
三 . 四边形旋转问题 5. 如图 1，把边长分别是为 4 和 2 的两个正方形纸片 OABC和 OD′E′F′叠放在一起．
（ 1）操作 1：固定正方形 OABC，将正方形 OD′E′F′绕点 O按顺时针方向 旋转 45 °得到正方形 ODEF，如 图 2，连接 AD、 CF，线段 AD与 CF 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； （ 2）操作 2，如图 2，将正 方形 ODEF沿着射线 DB以每秒 1 个单位的速度平移，平移后的正 方形 ODEF设为 正方形 PQM，N 如图 3，设正方形 PQMN移动的时间为 x 秒，正方形 PQMN与正方形 OABC的重叠部分面积为 y， 直接写出 y 与 x 之间的函数解析式； （ 3）操作 3：固定正方形 OABC，将正方形 OD′E′F′绕点 O按顺时针方向旋转 90°得到正方形 OHKL，如 图 4，求△ ACK 的面积．
②∵ l 4 与 l 5 的夹角是为 900，∴ l 5 与 x 轴的夹角是为 300。
设 l 5 的解析式为 y k 2x b2 （ k 2≠ 0），
∵直线 l 5 与 x 轴的正方向所成的角为钝角，∴
k 2=－tan30 0=
3 。
3
又∵直线 l 5 经过点（ 1， 0），∴ 0
3 3 b2 ，即 b2
中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它
图形的问题。 一 . 直线（线段）的旋转问题
1. 如图，直线 l ： y
3 x 3 与 y 轴交于点 A，将直线 l 绕点 A 顺 时针旋转 75o 后，所得直线的解
析式为【
】
A． y 3 x 3 【答案】 B。
，待定系数法的应用，直线上点的
坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
二 . 三角形的旋转问题
3. 有两个全等的等腰直角三角板 ABC和 EFG其直角边长均为 6（如图 1 所示）叠放在一起，使三角板 EFG
的直角顶点 G与三角板 ABC的斜边中点 O重合．现将三角板 EFG绕 O点顺时针旋转，旋转角满足 0＜o＜ 90
3 。
3
∴直线 l 5 的函数表达式为 y
3
3
x
。
3
3
（ 3）通过观察（ 1）（ 2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中
自变量的系数互为负倒数关系，
11 ∴过点（ 1， 1）且与直线 y x 垂直的直线 l 6 的函数表达式为 y
55
5x 6 。
【考点】 一次函数综合题，旋转问题，探索规律题（图形的变化类）
D． 7 周
故选 B。 8. 已知抛物线 C： y ax2 bx c a < 0 过原点，与 x 轴的另一个交点为 B(4 ， 0) ， A 为抛物线 C 的顶
点，直线 OA的解析式为 y 式。
3 x ，将抛物线 C 绕原点 O 旋转 180 °得到抛物线 C1，求抛物线 C、 C1 的解析
3
【答案】 如图，过 A 作 AE⊥ OB于 E，
存在，请求出此时 KC的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】 (1) ① BH=CK，②不变；（ 2）x=2 或 x=4 【解析】
试题分析：（ 1）先由 ASA 证出△ CGK≌△ BGH，再根据全等三角形的性质得出
BH=CK，根据全等得出四边形
CKGH的面积等于三角形 ACB面积一半；
S△ GHK
∴ 抛物线 C 的解析式为 y
3 (x
2) 2
23 ，即 y
6
3
又∵抛物线 C1 是由抛物线 C绕原点 O旋转 180°得到，
∴ 抛物线 C、 C1 关于原点对称。
3 x2
23 x。
6
3
23
∴抛物线 C1 的顶点坐标 A1 为 Nhomakorabea( 2,
)。
3
∴抛物线 C1 的解析式为 y
3 (x 2) 2 2 3 ，即 y
针方向旋转 90°，此时，点 O运动到了点 O1 处（即点 B 处），点 C 运动到了点 C1 处，点 B 运动到了点 B1 处，
又将正方形纸片 AO1C1B1 绕 B1 点，按顺时针方向旋转 90°…，按上述方法经过 4 次旋转后，顶点 O经过的总
路程为
，经过 61 次旋转后，顶点 O经过的总路程为
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转
180°，如果
它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，
这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转
180 度后能与自身重合，
这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
CQGZ的面积，即等于△ ACB面
5 （ 2）假设存在使△ GKH的面积恰好等于△ ABC面积的 18 的位置．
设 BH=x，由题意及（ 1）中结论可 得， CK=BH=，x CH=CB-BH=6-x，
S△ CKH
1 CH CK
3x 1 x2
2
2，
S△ GHK
S四边形 CKGH
S△ CKH
1 x2 3x 9
B ．y x 3
C ．y x 3 D ．y x 3
【考点】 旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三 角函数值。
【分析】 如图，由已知，可求直线 y
3 x 3 与 x 、 y 轴的交点分别为 B（ 1， 0）， A（ 0， 3 ），
2. 根据要求，解答下列问题： （ 1）已知直线 l 1 的函数表达式为 y x 1 ，直接写出：①过原点且与 l 1 垂直的直线 l 2 的函数表达式；②过
（ 3）分别观察（ 1）（ 2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的
系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点
11 （ 1，1）且与直线 y x 垂直的直线 l 6 的函数表达式。
55
【答案】（ 1）① y ②y
x。 x 1。
（ 2）①设直线 l 4 的函数表达式为 y k1 x b1 （ k1≠ 0），
专题 22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、
面）整体绕一固 定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、
旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图
．
【答案】
，
四 . 其它图形的问题
7. 如图，正六边形的边长为 π，半径是 1 的⊙ O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发，在正六边形外部按
顺时针方向沿正六边形滚动，又回 到与 AB相切于点 D的位置，则⊙ O自转了【
】
A． 4 周
B． 5 周
C． 6 周
【答案】 B。
【考点】 多边形内角和定理，直线与圆的位置关系。
6
3
3 x2 2 3 x 。
6
3
【考点】 二次函数图象的对称性，待定系数法，曲线上点的坐标与
方程的 关系，旋转的性质。
2
，
4. 如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=45°， AB=2．将△ ABC绕顶点 A 顺时针方向旋转至△ AB′C′
的位置， B， A，C′三点共线，则线段 BC扫过的区域面积为
．
【答案】 3 。 4
【考点】 扇形面积的计算，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，转换思想的应用。 【分析】 先根据 Rt △ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， AB=2求出 BC及 AC的长，再根据线段 BC扫过的区 域面积为：
（ 2）根据面积公式得出
S四边形 CKGH
S△ CKH
1 x 2 3x 9
2
，根据△ GKH 的面积恰好等于△ ABC
5 面积的 18 ，代入得出方程即可求得结果．
（ 1） BH与 CK的数量关系： BH=CK，理由是： 连接 OC，由直角三角形斜边上中线性质得出 OC=BG，
四边形 CHGK的面积的变化情况：四边形 CHGK的面积不变，始终等于四边形 积的一半，等于 9；
点（ 1， 0）且与 l 1 垂直的直线 l 2 的函数表达式； （ 2）如图，过点（ 1，0）的直线 l 4 向上的方 向与 x 轴的正方 向所成的角为 600，①求直线 l 4 的函数表达式； ②把直线 l 4 绕点（ 1，0）按逆时针方向旋转 900 得到的直线 l 5，求直线 l 5 的函数表达式；
【答案】（1）相等 见解析 【解析】解： （ 1）相等
（ 2）见解析
（ 3） 8
（ 3）连接 OK，
∵∠ COK∠= ACO=4°5 ， ∴OK∥AC， ∴Ｓ△ACK=S△AOC=8．
6. 把边长为 1 的正方形纸片 OABC放在直线 m上， OA边在直线 m上，然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时
形的对应点到旋转中心的距离相等，
即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；
旋转前、 后 的
图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。