空间数据的内插方法
具体。用户如何通过有限的已知点来构建线、面、体?
空间数据内插的基本概念
定义：通过已知点或分区的数据，推求任意点或分区数 定义 据的方法称为空间数据的内插。
基本原理： 基本原理：
根据已知观测数据,找到一个函数关系式，使 该关系式最好地逼近这些已知的空间数据.
根据函数关系式推求出其它任意未知点的值。 :已知高程点 已知高程点 :未知高程点 未知高程点
如何模拟真实地形？ 如何模拟真实地形？
对数字地形的研究转变为对构成数 字地形的点要素的研究
面由无数条线构成 体由无数个面构成
线由无数个点构成
:已知高程点 已知高程点 由于测量条件、野外工作条件或工程经费的限制，决定了采集的 :未知高程点 未知高程点 点要素量往往是非常有限的。由此数据精度不可能表达得更精确、更
数 据 处 理——内插方法的选择 内插方法的选择
:已知高程点 已知高程点
整体内插法:按最小二乘法原理用多项式对数据点 整体内插法 进行拟合.
1、低次多项式 、 2、高次多项式模拟 、
内插方法的选择——移动拟合法 移动拟合法 内插方法的选择
Y
取用一个多项式曲面 P(xp,yp) 拟合该点附近的地表面,此 时取待定点作平面坐标的 原点,以圆内数据点来定义 函数的待定系数. 二次多项式拟合，则有：
Zp=Fi（x，y） （ ， ）
以点数据为例
空间数据内插的类型
1、内插:在已存在观测点的区域范围之内估计未观 、内插 在已存在观测点的区域范围之 在已存在观测点的区域范围之内 测点的特征值的过程称内插 .
2、推估 :在已存在观测点的区域范围之外估计未 、 在已存在观测点的区域范围之外 在已存在观测点的区域范围之 观测点的特征值的过程称推估。 观测点的特征值的过程称推估。
空间数据内插——实施步骤 实施步骤 空间数据内插
数据点的选取以及 坐标的确定
数据取样
数 据 处理
以数据点作为控制基础,用某 一数学模型来模拟地表面
数据记录
将建立的节点特征值记录于 存储器内,以供分析应用
数据取样
取样原则: 取样原则 数据点的选取应能反映出地形变化的特征点 例如将数据点选择在地性线坡度改变处， （例如将数据点选择在地性线坡度改变处，或沿等高线 在方向改变的地点） 这样数据点落在地形特征点上 这样数据点落在地形特征点上， 在方向改变的地点）,这样数据点落在地形特征点上，才 能通过数据点控制地表的形态变化。 能通过数据点控制地表的形态变化。
数据处理
由于数据点离散,或者数据点虽按格网排列 但 由于数据点离散 或者数据点虽按格网排列,但 或者数据点虽按格网排列 格网密度不满足精度要求,这样就需要以数据点为 格网密度不满足精度要求 这样就需要以数据点为 基础探求数据变化的数学模型,然后据此模型探求 基础探求数据变化的数学模型 然后据此模型探求 未知点信息. 未知点信息
讨 论 题 — 研究某地区气象观测站的最优设置
目 的：某地区内有12个气象观测站，为了减少开支，计划减 少观测站的数目。 基本情况： 基本情况：已知该地区12个气象观测站的位置；已知10年来12 个气象观测站测得的年降水量； 问 题：考虑减少那些观测站可以使所得的降水量的信息足 够大？ 假设条件：该地区的地理特性具有一定的均匀性，而不是复杂多 假设条件： 变的地理特性；相近地域的气象特征具有较大的相似性和相关性； 在距离较远的条件下，由于地形、环境等因素而造成不同区域的 年降水量相似的可能性很小，可以忽略，不同区域年降水量的差 异主要与距离有关。
数 据 取 样——取样间隔大小的确定 取样间隔大小的确定
∆h h’’ h1
∆h=h’’- h’
h’ h2 h2’
h’’:=(h1+h2)/2
插值
二次线性内
h’:=(h1+h2)/2
取样间隔大小
线性内插值
间隔大小确定原则:∆h应在数字地面模型精度要求的限差之内 应在数字地面模型精度要求的限差之内 间隔大小确定原则
空间数据的插值方法
系 部: 资源科学系 瑞
主 讲 人: 黄
课程大纲
为何实施空间数据内插 空间数据内插的基本概念 空间数据内插实施的具体步骤
思 内插？
生产和生活需中，当我们对某一种地形开展研究利用时,如在某一山面 上开展生态保护工程.我们通常要了解地形的面积,坡度、坡向等各种地 形因子，以决定生态保护工程的具体措施。这就要求我们必须要掌握研 究区的地形特征。
地形特征点
数 据 取 样——取样间隔大小的确定 取样间隔大小的确定
小间隔取样
大间隔取样
取样间隔过大则数字地面模拟效果不佳，超出了精度要求。 取样间隔过大则数字地面模拟效果不佳，超出了精度要求。 如果间隔过小，保证了精度要求，但是数据存储量较大， 如果间隔过小，保证了精度要求，但是数据存储量较大，对 数据库产生负担。 数据库产生负担。
X
Zp=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F
数据记录
数据记录是将内插结果， 数据记录是将内插结果，按一定的数据结构形 式，存储与磁性介质内，以供系统应用。 存储与磁性介质内，以供系统应用。
精度分析方法：在研究区内随机选取 个数据 精度分析方法：在研究区内随机选取n个数据 点，与其对应的内插值进行比较
ArcGIS中空间数据统计、插值分析-以克里金插值法为例--胡碧峰解析
可采用一个线性组合来估计：
n
z*x0 i zxi i 1
无偏性和估计方差最小被作为 选取的标准 i
无偏 E Zx0 Z * x0 0 最优 Var Zx0 Z * x0 min
2、直方图：直方图显示数据的概率分布特征以及概括 性的统计指标。从图中可观察分析数据是否为正态分布。克
里格方法对正态数据的预测精度最高，而且有些空间分析方法特 别要求数据为正态分布。
3、正态QQ Plot图： 检查数据的正态分布情况。作图原理是用分位图
思想。直线表示正态分布，从图中可以看出数据很接 近正态分布
j
E
Z *x0 Zx0 2
2
n
j
0,
i1
j 1, , n
Z*(x0)
1、数据检查，即空间数据探索分析。此功能主要通过 Explore Data菜单中实现。扩展模块提供了多种分析工具， 这些工具主要是通过生成各种视图，进行交互性分析。 如直方图、QQ plot图、半变异函数/协方差图等。
（3）趋势分析图。 蓝线表示南北方向，呈近似水平，可见南北方向无
趋势。绿线表示东西方向，呈倒"U"形，可用二阶曲线 拟合，在后面进行表面预测时将会去除。
4、半变异函数/协方差函数。 该图可以反应数据的空间相关
程度，只有数据空间相关，才有必要进行空间插值法。图表的横 坐标表示任两点的空间距离，纵标表示该两点的半变异函数值。 根据距离越近越相似的原理，因而x值越小，y值应该越小。
克里金插值
克里金方法（Kriging）, 是以南非矿 业工程师D.G.Krige (克里格)名字命名的一 项实用空间估计技术，是地质统计学 的重 要组成部分，也是地质统计学的核心。
空间内插方法
空间采样点分布的选择
规则采样和随机采样好的结合方法是成层随机采样，即单个 的点随机的分布于规则的格网内
聚集采样可用于分析不同尺度的空间变化
规则断面采样常用于河流、山坡剖面的测量
等值线采样是数字化等高线图插值数字高程模型最常用的方
▪ 离散空间数据内插 对于离散空间，假定任何重要变化发生在边界上，则在边界内的 变化是均匀的，同质的，即在各个方面都是相同的。对于这种空 间的最佳内插方法是邻近元法，即以最邻近图元的特征值表征未 知图元的特征值。这种方法在边界会产生一定的误差，但在处理 大面积多边形时，则十分方便。在Arc View中，无离散数据的内 差功能，只有把矢量的离散数据转换为GRID数据的功能。
法
（1）规则采样
（2）随机采样
（3）断面采样
（4）成层随机采样
（5）聚集采样
（6）等值线采样
空间插值分析
连续空间与离散空间
▪ 现实空间可以分为具有渐变特征的连续空间和具有跳跃特征的离散 空间。举例来讲，土地类型分布属离散空间，而地形表面分布则是 连续空间
空间插值分析
空间插值的理论假设是空间位置上越靠近的点，越可能具有 相似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的可能性越 小。
空间插值的基础
理论假设
▪ 空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值 ▪ 而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小
需要空间插值的情况
▪ 现有的离散曲面的分辨率、象元大小或方向与所要求的不符，需要重 新插值 例如将影象从一种分辨率或方向转换到另一种分辨率或方向
▪ 现有连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重 新插值
GIS空间数据处理与分析
栅格单元(i,j)四角点坐标的计算:
X(i1,i2)=(j-1)*DX和J*DX Y(i1,i2)=(i-1)*DY和i*DY I,j:栅格单元行列值; DX,DY:栅格单元边长
⑴:识别内边界,并将内边界端点坐标置零. 判别方法: 判断与栅格单元某条边相邻的另一栅 格单元的值,若值小于零,则该边为内边界. 内边界端点坐标置零: 边界起点和终点坐标置零.
分区数据的方法就称为空间数据的内插。
第五节 空间数据的内插方法
1、点的内插：研究具有连续变化特征现象 的数值内插方法。
步骤： 数据取样；数据处内插；数据记录
第五节 空间数据的内插方法
2、区域的内插
研究根据一组分区的已知数据来推求
同一地区另一组分区未知数据的内插方法。
区域内插方法：
2.1 叠合法：认为源和目标区的数据是均匀 分布的，首先确定两者面积的交集，然后 计算出目标区各个分区的内插值。
1、遥感与GIS数据的融合：
遥感技术的优势 融合必要性 GIS技术的优势 遥感图像与图形的融合 融合方法： 遥感数据与DEM的融合 遥感数据与地图扫描图像的融合第三节 多源 Nhomakorabea间数据的融合
2、不同格式数据的融合
不同格式数据的融合方法主要有：
2.1基于转换器的数据融合：
一种软件的数据格式输出为交换格式，然后用于另
P3
P
0
x
判断点是否在多边形内，从该点向左引水平扫描线，计算此 线段与区域边界相交的次数，若为奇数，该点在多边形内；若为 偶数，在多边形外。利用此原理，直接做一系列水平扫描线，求 出扫描线和区域边界的交点，对每个扫描线交点按X值的大小进 行排序，其两相邻坐标点之间的射线在区域内。
第二节
第六讲 空间插值
每个采样点对插值结果的影响随距离增加而减弱，因 此距目标点近的样点赋予的权重较大。
n
a ttr0 a ttri * w i i1
wi
1 pow er (D isti )n
n
1 pow er(D isti )n
i1
二、空间插值方法
4. 距离反比加权法—参数对插值结果的影响
权重的影响
权重过高，较近点的影响较大，拟合表面更细致（不光 滑）；
趋势面分析的一个基本要求就是，所选择的趋势面模型应 该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精确度才能 达到足够的准确性；
在数学上，拟合数学曲面要注意两个问题：一是数学曲面 类型（数学表达式）的确定，二是拟合精度的确定。
二、空间插值方法
5.1 趋势面模型的建立
设地理要素的实际观测数据为Zi(xi,yi)(i=1,2,…,n)，
基本内容
空间插值：定义及应用 空间插值方法及特征
泰森多边形（ Voronoi ）及不规则三角网（TIN） 距离反比加权法（IDW） 地质统计学（Geostatistics)
利用样条曲线优化插值结果 插值精度评估 三参数插值方法（体数据或者动态演化特征）
为何进行插值？
1. 2D离散点转化为连续面，如地表、地层界面 如基于空间离散点，剖面数据和等高线等来构建连续
不足——对权重函数的选择十分敏感；易受数据点集群的 影响，结果常出现一种孤立点数据明显高于周围数据点的 “鸭蛋”分布模式；
全局最大和最小变量值都散布于数据之中。 距离反比很少有预测的特点，内插得到的插值点数据在样
点数据取值范围内。
二、空间插值方法
5. 趋势面分析
实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，前者反应 地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果； 而后者则对应于微观区域，被认为是随机因素影响的结果。
空间插值方法大致总结
前段时间要对气象要素进行插值,翻看了多种方法,做了个PPT报告.对每个方法有简单的介绍极一些总结,不一定都是个人看法,参考了多方书面(sufer,ArcGIS应用教程)以及坛子里,百度上等搜到的资料的看后笔记,有些注了出处有些忘了.截图共享下,也不知有用没用.有错的地方请跟贴指正,谢谢啦!--------------------------------所谓空间数据插值,即通过探寻收集到的样点/样方数据的规律,外推/内插到整个研究区域为面数据的方法.即根据已知区域的数据求算待估区域值, 影响插值精度的主要因素就是插值法的选取空间数据插值方法的基本原理:任何一种空间数据插值法都是基于空间相关性的基础上进行的。
即空间位置上越靠近,则事物或现象就越相似, 空间位置越远,则越相异或者越不相关，体现了事物/现象对空间位置的依赖关系。
（/dky/nb/page/2000-3-3/2000332117262480.htm，南京师范大学地理科学学院地理信息系统专业网络课程教程）➢由于经典统计建模通常要求因变量是纯随机独立变量，而空间插值则要求插值变量具备某种程度的空间自相关性的具随机性和结构性的区域化变量。
即区域内部是随机的，与位置无关的，而在整体的空间分布上又是有一定的规律可循的，这也是不宜用简单的统计分析方法进行插值预估的原因。
从而空间统计学应用而生。
➢无论用哪种插值方法，根据统计学假设可知，样本点越多越好，而样本的分布越均匀越好。
常用的空间数据插值方法之一：趋势面分析⏹趋势面分析（Trend analyst）。
严格来说趋势面分析并不是在一种空间数据插值法。
它是根据采样点的地理坐标X，Y值与样点的属性Z值建立多元回归模型，前提假设是，Z值是独立变量且呈正态分布，其回归误差与位置无关。
⏹根据自行设置的参数可建立线性、二次…或n次多项式回归模型，从而得到不同的拟合平面，可以是平面，亦可以是曲面。
精度以最小二乘法进行验证。
ArcGIS中几种空间插值方法
ArcGIS 中几种空间插值方法1. 反距离加权法(IDW)ArcGIS 中最常用的空间内插方法之一，反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法，插值点越近的样本点赋予的权重越大，其权重贡献与距离成反比。
可表示为：1111()()n nip p i i i i Z Z D D ===∑∑其中Z 是插值点估计值，Z i (i=1Λn)是实测样本值，n 为参与计算的实测样本数，D i 为插值点与第i 个站点间的距离，p 是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。
2.多项式法多项式内插法(Polynomial Interpolation)是根据全部或局部已知值，按研究区域预测数据的某种特定趋势来进行内插的方法,属统计方法的范畴。
在GA 模块中，有二种类型的多项式内插方法，即全局多项式内插和局部多项式内插。
前者多用于分析数据的全局趋势；后者则是使用多个平面来拟合整个研究区域，能表现出区域内局部变异的情况。
3.样条函数内插法样条函数是一个分段函数，进行一次拟合只有少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续，这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线。
样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。
4.克里格插值法克里格法是GIS 软件地理统计插值的重要组成部分。
这种方法充分吸收了地理统计的思想，认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单的平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。
这种连续性变化的空间属性称为“区域性变量”，可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量。
地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略，即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值。
Kriging 插值方法着重于权重系数的确定，从而使内插函数处于最佳状态，即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计。
地理信息系统概论重点讲义(3)
重点一坐标及投影变换1．坐标变换实质是建立两个平面点之间的一一对应关系，包括几何纠正和投影转换，他们是空间数据处理的基本内容之一。
几何纠正是对数据坐标转换和图纸变形误差的纠正。
投影变换是指投影方式的变换2．仿射变换。
在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射，由一个线性变换接上一个平移组成。
是GIS 数据处理中使用最多的一种几何纠正方法。
它的主要特性为：同时考虑到因地突变形而引起的实际比例尺在x 方向和y 方向上的变形，因此纠正后的坐标数据在不同方向上的长度比将发生变化。
注：一般的GIS 软件都有仿射变换、相似变换和二次变换等几何纠正功能3．大地基准面(Geodetic datum) ，设计用为最密合部份或全部大地水准面的数学模式。
它由椭球体本身及椭球体和地表上一点视为原点间之关系来定义。
此关系能以6 个量来定义，通常(但非必然)是大地纬度、大地经度、原点高度、原点垂线偏差之两分量及原点至某点的大地方位角。
每个国家或地区均有各自的基准面，我们通常称谓的北京54 坐标系、西安80 坐标系，指的就是两个大地基准面。
4．我国采用的椭球体及坐标系我国参照前苏联从1953 年起采用克拉索夫斯基( Krassovsky) 椭球体建立了我国的北京54 坐标系。
1978 年采用国际大地测量协会推荐的1975 地球椭球体(IAG75) 建立了我国新的大地坐标系－－西安80 坐标系。
目前大地测量基本上仍以北京54 坐标系作为参照，北京54 与西安80 坐标之间的转换可查阅国家测绘局公布的对照表。
WGS1984 基准面采用WGS84 椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心，目前GPS测量数据多以WGS1984 为基准。
5．椭球体与基准面的关系。
椭球体与基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面。
6．地图投影，就是指建立地球表面(或其他星球表面或天球面) 上的点与投影平面(即地图平面)上点之间的一一对应关系的方法。
空间插值介绍简洁明了
（2）“实际”验证
将部分已知变量值的样本点作为“训练数据集”，用于插值 计算；另一部分样点 “验证数据集”，该部分站点不参加 插值计算。然后利用“训练数据集” 样点进行内插，插值 结果与“训练数据集”验证样点的观测值对比，比较插值的 效果。
插值方法
1. 最近邻法(Nearest Neighbor) 2. 算术平均值(Arithmetic Mean) 3. 距离反比法(Inverse Distance) 4. 高次曲面插值(Multiquadric) 5. 趋势面插值(Polynomial) 6. 最优插值(Optimal) 7. 样条插值(Spline Surface) 8. 径向基函数插值(Radial Basis Functions) 9. 克里金插值(Kriging) 10. 最小曲率 (Minimum Curvature)
公式
其数学表达式为：
v e vi vi 表示 i 点的变量值。 其中ve 表示待估点变量值，
i 点必须满足如下条件：
d ei min( d e1 , d e 2 , d en )
d ij xi x j y i y j
一、最近邻法(Nearest Neighbor)
• 最近邻点法又叫泰森多边形方法。它采用一种极端的边界内 插方法—只用最近的单个点进行区域插值（区域赋值）。 • 泰森多边形按数据点位置将区域分割成子区域，每个子区域 包含一个数据点，各子区域到其内数据点的距离小于任何到 其它数据点的距离，并用其内数据点进行赋值。
⑤ 可视化、可操作性（插值软件选择）：三维的透视图等。
插值验证
（1） 交叉验证 交叉验证法（cross－validation），首先假定每一测点 的要素值未知，而采用周围样点的值来估算，然后计算所有 样点实际观测值与内插值的误差，以此来评判估值方法的优 劣。 各种插值方法得到的插值结果与样本点数据比较。
空间插值方法
7．空间插值7．1空间插值的概念和理论空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较，它包括了空间内插和外推两种算法。
空间内插算法是一种通过已知点的数据推求同一区域其它未知点数据的计算方法；空间外推算法则是通过已知区域的数据，推求其它区域数据的方法。
在以下几种情况下必须作空间插值：1）现有的离散曲面的分辨率，象元大小或方向与所要求的不符，需要重新插值。
例如将一个扫描影象（航空像片、遥感影象）从一种分辨率或方向转换到另一种分辨率或方向的影象。
2）现有的连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重新插值。
如将一个连续的曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式，从TIN到栅格、栅格到TIN或矢量多边形到栅格。
3）现有的数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需要插值。
如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面。
空间插值的理论假设是空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值；而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。
然而，还有另外一种特殊的插值方法——分类，它不考虑不同类别测量值之间的空间联系，只考虑分类意义上的平均值或中值，为同类地物赋属性值。
它主要用于地质、土壤、植被或土地利用的等值区域图或专题地图的处理，在“景观单元”或图斑内部是均匀和同质的，通常被赋给一个均一的属性值，变化发生在边界上。
7．2空间插值的数据源连续表面空间插值的数据源包括：●摄影测量得到的正射航片或卫星影象；●卫星或航天飞机的扫描影象；●野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律的线性分布（沿剖面线或沿等高线）；●数字化的多边形图、等值线图；空间插值的数据通常是复杂空间变化有限的采样点的测量数据，这些已知的测量数据称为“硬数据”。
如果采样点数据比较少的情况下，可以根据已知的导致某种空间变化的自然过程或现象的信息机理，辅助进行空间插值，这种已知的信息机理，称为“软信息”。
但通常情况下，由于不清楚这种自然过程机理，往往不得不对该问题的属性在空间的变化作一些假设，例如假设采样点之间的数据变化是平滑变化，并假设服从某种分布概率和统计稳定性关系。
空间插值IDW
空间插值是用已知点的 数值来估算其它点的数 值的过程
例如：在一个没有数据记录的地点，其降水量可 通过对附近气象站已知降水量记录的插值来估 算出来。
为什么插值为栅格？
在GIS应用中主要用于估算出栅格 中每个象元的值。因此空间插值 是将点数据转换成面数据的一种 方法，目的是使点数据也能用于 空间分析和建模。
空间插值的理论假设是：空间位置上越靠近的点，越可能具有相 似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。空 间插值方法正是依据该假设设计的，分为整体插值方法和部分插值方 法两类。
整体插值：用研究区域所有采样点的数据进行全区域特征拟合， 如边界内插法、趋势面分析等。
部分插值：仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值，如最邻近点 法（泰森多边形方法）、移动平均插值方法（距离倒数插值法）、 样条函数插值方法、空间自协方差最佳插值方法（克里金插值）等。
nA1 += nTemp; nValue += nTemp * ValueList[i]; }
nValue = nValue / nA1; return nValue; }
IDW实现-公共函数2
//获取要素参数 protected void getFeaturesParameters(ref double[] nPointsX, ref double[] nPointsY, ref double[] nValues)
nValues[i] = Convert.ToDouble(pFeature.get_Value(this.m_nFieldIndex)); i++; pFeature = pCursor.NextFeature(); } }
IDW实现-公共函数3