概率论试题

一 、选择题(选择正确答案,并将其代号写在题干后面的括号里.每小题 3分，共 15 分)1．设随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=，bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有【. C 】()A .0==b a ； ()B .0≠=b a ； ()C .0=+b a ； ()D .0=ab 2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E 【A 】 ()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ． 3．若Y X ,ρ表示二维随机变量()Y X ,的相关系数，则“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b使得{}1=+=bX a Y P ”的【C 】 ()A .必要条件，但非充分条件； ()B .充分条件，但非必要条件； ()C .充分必要条件； ()D .既非充分条件，也非必要条件． 4．设总体X 与Y 相互独立，且都服从正态分布()10，N ．()91X X ，，Λ是从总体X 中抽取的一个样本，()91Y Y ，，Λ是从总体Y 中抽取的一个样本，则统计量~292191YY X X U ΛΛ+++=【C 】()A ()92χ； ()B ()82χ； ()C ()9t ； ()D ()8t5．设总体X 服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，现从该总体中随机选出容量为20一个样本，则该样本的样本均值的方差为【B 】()A . 1； ()B . 5.0； ()C . 5； ()D . 50．二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1．设A 、B 、C 是三个随机事件，则“A 、B 、C 这三个随机事件中不多于两个事件发生”这一随机事件可用A 、B 、C 表示为ABC 或者C B A ⋃⋃，C AB C B A BC A C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃_________________．2．设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫⎝⎛-=其它021112x x k x f 则=k _2=k ；_______．3．在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是_43； __． 4．设()n t X ~，则~2X ()n F ,1．5． 设总体()p B X ，1~，()n X X X ，，，Λ21是从总体X 中抽取的一个样本，则参数p 的矩估计量为=pˆ_ X __三、将两信息分别编码为A 和B 发送出去．接收站收到时，A 被误收作B 的概率为04.0；而B 被误收作A 的概率为07.0．信息A 与信息B 传送频繁程度为2:3．若已知接收到的信息是A ，求原发信息也是A 的概率。

（14分） 解：设{}A A 原发信息是=，{}B B 原发信息是=．{}A A 接收信息是='，{}B B 接收信息是='．﹎﹎﹎﹎﹎﹎2分 则由题设，()53=A P ，()52=B P ，()04.0='A B P ，()07.0='B A P ．所求概率为()A B P '，根据Bayes 公式，得()()()()()()()9536.007.05296.05396.053=⨯+⨯⨯='+''='B A P B P A A P A P A A P A P A B P ﹎﹎14分四、设随机变量()1,0~N X ，X Y =．试求随机变量Y 的密度函数()y f Y ．（14分）： 随机变量X 的密度函数为()2221x X ex f -=π()+∞<<∞-x ．﹎﹎﹎2分设随机变量X Y =的分布函数为()y F Y ，则(){}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=．﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎4分 ⑴ 当0≤y 时，(){}{}0=≤=≤=y X P y Y P y F Y ．﹎﹎﹎6分 ⑵ 当0>y 时，(){}{}{}y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤= ()⎰⎰⎰----===yx yyx yyXdx edx edx x f 022222221ππ﹎﹎﹎﹎﹎﹎8分所以，()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-00022022y y dx e y F y xY π．﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎10分所以，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0002222y y e y F y f yY Y π．﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎14分五、设二维离散型随机变量()Y X ,的联合分布律为证明：随机变量与不相关，但是随机变量与不独立．（14分）解：XY 因此，()()0814081=⨯+⨯+⨯-=X E ﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎4分 同理，()()0831410831=⨯+⨯+⨯-=Y E()()0411210411=⨯+⨯+⨯-=XY E ﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎所以，()()()()0,cov =-=Y E X E XY E Y X ，这表明随机变量X 与Y 不相关﹎﹎12分．但是，()()()41410000,0⨯===≠===Y P X P Y X P 所以，随机变量X 与Y 不独立．﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎14分六、一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、2.1元、5.1元各个值的概率分别为3.0、2.0、5.0．某天该食品店出售了300只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为395元的概率．（14分） （附表：标准正态分布()x Φ的数值表：解：设k X 表示该食品店出售的第k 只蛋糕的价格()300,,2,1Λ=k ，则k X 的分布律为所以，()29.15.05.12.02.13.01=⨯+⨯+⨯=k X E ，﹎﹎﹎﹎﹎4分()713.15.05.12.02.13.012222=⨯+⨯+⨯=k X E ，所以，()()()[]0489.029.1713.1222=-=-=k k k X E X E X D ．﹎﹎﹎﹎6分因此，30021,,,X X X Λ是独立同分布的随机变量，故()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑∑∑∑======3001300130013001300130013951395k k k kk k k k k k k k X D X E X D X E X P X P ()0183.09817.0109.2109.20489.030029.130013001=-=Φ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛<⨯⨯--=∑=k k X P ﹎﹎14分七 已知总体X 的分布律为其中10<<θ是未知参数，()321,,X X X 是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为()1,2,1321===x x x 时，参数θ的最大似然估计值．（14分）七．14分 解： ()()()()1211,2,1321321=======X P X P X P X X X P()()θθθθθθ-=⋅-⋅=1212522﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎．4分所以当样本观测值为()1,2,1321===x x x 时，似然函数为()()θθθ-=125L ﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎6分 所以，()()θθθ6554-='L ．令()0='θL ，得()06554=-θθ，由此得似然函数()θL 在区间()1,0上的驻点为650=θ．并且0θ是似然函数()θL 在区间()1,0上的唯一驻点．因此此时似然函数()θL 的最大值点为650=θ．即当样本观测值为()1,2,1321===x x x 时，参数θ的最大似然估计值为65ˆ=θ．﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎﹎14分一、选择题（本题共5小题,每小题 3 分，共 15 分) (从下列备选答案中选择正确答案)1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为（ A）。

(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/62．设随机变量的概率密度⎩⎨⎧≤>=-101)(2x x Bx x f ，则B=（B ）。

(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/23．对于任意随机变量Y X ,，若)()()(Y E X E XY E =，则（B ）。

(A) )()()(Y D X D XY D = （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+ (C) Y X ,一定独立 （D ）Y X ,不独立4．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2221,χχ独立，则~2221χχ+（D ）。

(A) )(~22221n χχχ+ （B ）~2221χχ+)1(2-n χ (C) ~2221χχ+t(n) （D ）~2221χχ+)(212n n +χ5．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2<x<4}=（A ）。

(A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543 二、填空题（本题共 5 空，每空 3 分，共 15 分） （请将正确答案填入空格内）1．设A 、B 为互不相容的随机事件,5.0)(,2.0)(==B P A P 则=⋃)(B A P （0.7 ）。

2．设有9件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（1/9 ）。

3．设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f 则{}=>3.0X P （7/10 ）。

4．设()D X ＝9,()D Y =16, 5.0=xy ρ，则()D X Y +=（13 ）。

5．设),(~2σμN X ，则~nX σμ-（ N(0,1) ）。

三、计算题（本题共___小题,每小题 分，共 分）（要求写出主要计算步骤及结果）1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。

现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ 1.全概率公式)4(034.0)6(100210045100410025100510030)()()(31分分=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P2．设连续型随机变量X 的密度为 ⎩⎨⎧≤>=-.0,00,)(5x x Me x f x(1)确定常数M (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x). 2.①)3(1510)(005分==+=⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞-M dx Me dx dx x x ϕ故M =5 。