四种傅里叶变换
常用傅立叶变换表完整版
常用傅立叶变换表
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
18
δ(ω) 代表分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换
19 变换23的频域对应
20 由变换3和24得到.
21
由变换1和25得到，应用了:
时域信号
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
1线性
2 时域平移
3 频域平移, 变换2的频域对应
4
如果
值较大，则
会收缩到
原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta 函数。
5 傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量 和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示 和 的卷积 — 这就是 9
和归一化的 10 变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。
11
tri 是 12 变换12的频域对应 13 exp( αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。
14
15
16 a>0
17
变换本身就是一个公式。
常见傅里叶变换
常见傅里叶变换傅里叶变换是一种常见的数学方法，用来把一个信号从时域（time domain）变换到频域（frequency domain），即从时间变换成周期，为信号分析和处理提供理论。
从量子物理学到电路设计，从数字图像处理到数字信号处理，傅里叶变换都发挥着重要作用。
一般来说，傅里叶变换可分为离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CFT）。
离散傅里叶变换是对某类数字信号进行频率谱分析的方法，用于表达在某一时刻及其之前的信号。
例如，它可以用来分析歌曲中的某些音调，或者某个难以分析的电路中的某些信号。
另一方面，连续傅里叶变换是一种从时域变换到频域的数学技术，它可以计算信号的振幅和相位，以及其他用于检测特定频率信号的信息。
它广泛应用于音频处理，天文观测，射电望远镜等领域。
傅里叶变换也可以用来表示函数和操作，比如傅里叶级数、小波变换等。
傅里叶变换可以帮助人们实现更高精度的信号处理，提高信号处理效率。
它有助于确定信号构成，也可以探索不同信号之间的关系。
举个例子，当电台收到许多不同频率的电视信号时，傅里叶变换可帮助把这些信号的相位分开，避免它们混合在一起。
此外，傅里叶变换也有助于把复杂的数据简化为简单的数学形式，比如利用傅里叶级数来解决非线性方程。
除离散傅里叶变换和连续傅里叶变换外，还有一类受欢迎的傅里叶变换，它在信号处理领域也有广泛的应用。
它包括快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）、中心矩形法（Central Momentum Method）、矩形变换（Rectangular Transform）、拉普拉斯变换（Laplace Transform）等。
快速傅里叶变换几乎在所有的数字信号处理系统中都有应用，它可以以更少的时间来完成傅里叶变换，从而使信号处理变得更有效率。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1.傅里叶变换定义：F(w) = ∫[f(t)e^(-jwt)] dt2.傅里叶逆变换定义：f(t) = ∫[F(w)e^(jwt)] dw / (2π)傅里叶逆变换定义了将频域函数F(w)转换回时域函数f(t)的方式。
3.单位冲激函数的傅里叶变换：F(w) = ∫[δ(t)e^(-jwt)] dtδ(t)是单位冲激函数，其傅里叶变换结果为14.周期函数的傅里叶级数展开：f(t) = ∑[a(n)cos(nω0t) + b(n)sin(nω0t)]f(t)可以用无穷级数形式表示，其中ω0为基本角频率，a(n)和b(n)为系数。
5.周期函数的傅里叶变换：F(w)=2π∑[δ(w-nω0)]周期函数f(t)的频谱是一系列频率为nω0的冲激函数。
6.卷积定理：FT[f*g]=F(w)G(w)f*g表示函数f(t)和g(t)的卷积，FT表示傅里叶变换，*表示复数乘法。
卷积定理说明卷积在频域中的运算等于对应的傅里叶变换相乘。
7.积分定理：∫[f(t)g(t)] dt = 1/2π ∫[F(w)G(-w)] dw积分定理表明函数f(t)和g(t)的乘积在时域中的积分等于它们在频域中的乘积的逆变换。
8.平移定理：g(t) = f(t - t0) 对应的傅里叶变换 F(w) = e^(-jwt0) G(w)平移定理说明在时域中将函数f(t)右移t0单位，等价于在频域中将F(w)乘以e^(-jwt0)。
9.缩放定理：g(t) = f(at) 对应的傅里叶变换 G(w) = 1/，a， F(w/a)缩放定理说明在时域中将函数f(t)横向拉伸为af(t)，等价于在频域中将F(w)纵向压缩为1/，a，F(w/a)。
除了以上列举的公式，傅里叶变换还有许多性质和定理，如频移定理、频域微分定理、频域积分定理等，这些公式和定理在信号处理中非常有用，可以加速计算和简化问题的分析。
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表在数学和工程领域中，傅里叶变换是一种极其重要的工具，它能够将复杂的时域信号转换为频域表示，从而帮助我们更好地理解和分析各种信号的特性。
而常用傅里叶变换表则为我们提供了一系列常见函数的傅里叶变换结果，方便我们在实际应用中快速查找和使用。
首先，让我们来了解一下什么是傅里叶变换。
简单来说，傅里叶变换是一种数学变换，它将一个函数从时域（以时间为变量）转换到频域（以频率为变量）。
通过这种转换，我们可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦波的组合，从而揭示出信号中所包含的频率成分。
在常用傅里叶变换表中，有一些基本的函数及其对应的傅里叶变换值得我们熟悉。
单位冲激函数（也称为狄拉克δ函数）是一个非常特殊的函数。
它在某一时刻有一个无限大的值，而在其他时刻的值都为零。
其傅里叶变换是常数 1。
这意味着单位冲激函数包含了所有频率的成分，且各个频率成分的幅度相同。
单位阶跃函数，它在 t ＜ 0 时取值为 0，在t ≥ 0 时取值为 1。
其傅里叶变换是 1 ／（jω) ＋πδ(ω) ，其中 j 是虚数单位，ω 是角频率，δ(ω) 是狄拉克δ函数。
正弦函数sin(ω₀t) 的傅里叶变换是jπδ(ω ω₀) δ(ω ＋ω₀) 。
这表明正弦函数只包含两个频率成分，即±ω₀。
余弦函数cos(ω₀t) 的傅里叶变换是πδ(ω ω₀) ＋δ(ω ＋ω₀) 。
指数函数 e^（jω₀t) 的傅里叶变换是2πδ(ω ω₀) 。
矩形脉冲函数，即在某个时间段内取值为 1，其他时间段为 0 的函数，其傅里叶变换是一个 sinc 函数。
这些常见函数的傅里叶变换在信号处理、通信、控制工程等领域有着广泛的应用。
例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制和解调。
调制过程可以看作是将原始信号与一个高频载波信号相乘，而解调过程则需要通过傅里叶变换将调制后的信号转换到频域，然后提取出原始信号的信息。
在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像的滤波、增强和压缩等操作。
8个典型信号的傅里叶变换
8个典型信号的傅里叶变换1. 常数信号（直流信号）这个常数信号啊，就像一个超级稳定的家伙，一直保持一个值不变。
它的傅里叶变换可有趣啦，就是一个冲激函数（狄拉克函数）在频率为0的地方。
你可以想象啊，常数信号就只有一个频率成分，那就是0频率，就像一个静止不动的状态在频率域里的表示呢。
2. 正弦信号。
正弦信号就像一个有规律的摇摆舞者。
它的傅里叶变换呢，是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
比如说一个正弦函数Asin(ω_0t)，在频率ω = ω_0和ω=-ω_0的地方有两个冲激。
这就好像在说，正弦信号就只有一个频率在那欢快地跳动，这个频率就是它自己的角频率ω_0，一正一负就像在频率轴上对称地站着两个代表它的小尖刺。
3. 余弦信号。
余弦信号跟正弦信号是近亲呢。
Acos(ω_0t)的傅里叶变换也是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
不过和正弦信号有点小区别，就像是两个风格相似但又有点不同的舞者。
余弦信号的傅里叶变换，那两个冲激函数就像是在频率轴上标记着它自己独特的角频率ω_0的两个小灯塔。
4. 单位冲激信号（狄拉克函数）这个单位冲激信号啊，就像一个超级突然的小爆炸，瞬间爆发然后就没了。
它的傅里叶变换可神奇了，是一个常数1。
你想啊，这个小爆炸包含了所有频率成分，就像一个超级大杂烩，在频率域里就变成了一个平坦的1，就好像所有频率都被它平等对待，一股脑儿地全在里面了。
5. 矩形脉冲信号。
矩形脉冲信号就像一个突然冒出来又突然消失的小方块。
它的傅里叶变换是Aτ Sa((ωτ)/(2))，这里的A是脉冲的幅度，τ是脉冲的宽度，Sa函数是(sin x)/(x)。
这个变换就像是把矩形脉冲信号这个小方块在时间域的信息，分散到了频率域里，就像把一个集中的小方块打散成了好多频率成分，那些频率成分按照Sa函数的规律分布着。
6. 三角脉冲信号。
三角脉冲信号就像一个小山峰。
它的傅里叶变换是Aτfrac{Sa^2((ωτ)/(2))}{ω^2}。
常用傅里叶变换+定理+各种变换规律(推荐)
√
√
f
(t )
=
⎪⎧1 ⎨
−
t
⎪⎩
τ, t 0, t
<τ >τ
τSa 2
ωτ (
)
2
W Sa2 (Wt )
2π
2
F
(ω
)
=
⎪⎧1 ⎨
−
ω
⎪⎩
W,ω <W 0, ω > W
√ e−atu(t), Re{a} > 0
e −a t , Re{a} > 0 √
e−at cosω0tu(t), Re{a} > 0 √
)
√
时域微 分性质 时域积 分性质
√ 时域卷
积性质
√ 对称性
d f (t) dt
∫t f (τ )dτ −∞
f (t) * h(t)
f (−t) f * (t)
f * (−t)
jωF (ω)
F(ω) + πF (0)δ (ω) jω F (ω)H (ω)
F (−ω) F * (−ω ) F * (ω )
−∞ 1/ 2
= ∫ exp(− j2πux)dx
rect
x a
=
1, 0,
−1/ 2
=1
1/2
exp(− j2πux)
− j2πu
-1/2
= sin(πu) πu
结论：
x ≤a 2
其它
= sinc(u) rect（x） F.T. sinc（u）
5
普遍型
F
rect
x a
= a sin(πau) πau
2
2
2
+∞
2π ∑ Fkδ (ω − kω0 ) k =−∞
傅里叶变换的四种形式
傅里叶变换的四种形式
傅里叶变换的四种形式包括：
1.连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform）：这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
其逆变换为：一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
对于周期函数，其傅里叶级数是存在的。
2.离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）：DTFT在时域上是离散的，在频域上则是周期的。
DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。
3.离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）：DFT 是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
4.离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，DFS）：对于周期性离散信号，可以使用离散傅里叶级数（DFS）进行表示。
傅里叶变换公式】
傅里叶变换公式
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学运算，用于将一个函数从时域（时间域）转换到频域。
傅里叶变换的基本公式如下：
离散傅里叶变换（DTFT）：X(k) = Σ[n=0, N-1] x(n) * e^(-j * 2π * k * n / N) 其中，X(k)表示频域中的复数值，k表示频域的离散频率，x(n)表示时域中的复数值，n表示时域的离散时间，N表示时域采样点数。
如果是连续信号，可以使用连续傅里叶变换（CTFT）：
X(ω) = ∫[−∞,+∞] x(t) * e^(-j * ω * t) dt 其中，X(ω)表示频域中的复数值，ω表示频域的连续角频率，x(t)表示时域中的复数值，t表示时域的连续时间。
傅里叶变换将信号从时域变换到频域，可以揭示信号中不同频率成分的强度和相位信息，对于频谱分析、滤波、信号处理等具有重要意义。
傅里叶变换的逆变换可以将信号从频域重新转换回时域，以便还原原始信号。
需要注意的是，上述公式是傅里叶变换的基本形式，而傅里叶变换还有一些特殊形式和性质，如快速傅里叶变换（FFT）等。
这些公式和性质在信号处理、图像处理、通信等领域中有着广泛的应用。
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傅里叶变换
对信号和系统的分析研究可以在时间域进行，也可以在频域进行。
连续时间信号是时间变量t 的函数，连续时间系统在时间域可以用线性常系数微分方程来描述，也可以用冲激响应来描述。
离散时间信号（序列）是序数n 的函数，这里n 可以看成时间参量，离散时间系统在时间域可以用线性常系数差分方程来描述，也可以用单位脉冲响应来描述。
在时间域对信号和系统进行分析研究，比较直观，物理概念清楚，但仅在时间域分析研究并不完善，有些问题研究比较困难。
比如，有两个序列，从时间波形上看，一个变化快，一个变化慢，但都混有噪声，希望用滤波器将噪声滤除。
从信号波形观察，时域波形变化快，意味着含有更高的频率成分，因此这两个信号的频谱结构不同，那么对滤波器的性能要求也不同。
为了设计合适的滤波器，就需要将时域信号转换到频率域，得到其频谱结构，分析其特性，进而得到所要设计的滤波器的技术指标，然后才能进行滤波器的设计。
在连续时间信号与系统中，其频域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。
在离散时间信号与系统中，频域分析采用z 变换与傅里叶变换作为数学工具。
现在针对几种傅里叶变换的基本概念、重要特点、相互关系作详细的介绍。
傅里叶变换的几种可能形式
对傅里叶变换的几种可能形式进行总结，再进一步引出周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示。
一. 非周期连续时间信号的傅里叶变换
在“信号与系统”课程中，这一变换对为
⎰∞
∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j a a )()( ΩΩ=⎰∞
∞-Ωd e j X t x t j a a )(21)(π
这一变换对的时频域示意图(只说明关系，不表示实际的变换对)如图所示。
可以看出时域上是非周期连续信号，频域上是连续非周期的频谱。
二. 周期连续时间信号的傅里叶级数及傅里叶变换表示
在“信号与系统”课程中，如果)(t x 是一个周期为T 的连续时间信号，则)(t x 可以展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n X ，n X 是离散频率的非周期函数。
)(t x 与n X 组成周期连续时间信号的傅里叶级数变换对为 ⎰-Ω-=22
1)(1T
T t jn n dt e t x T X ∑∞-∞=Ω=n t jn n e X t x 1)(
这一变换对的时频域示意图如图所示。
可以看出时域上是周期连续信
号，频域上是离散非周期的频谱。
也就是说，周期连续信号可以分解成无穷多个谐波分量之和，其中基波频率分量为T π21=
Ω。
另外，周期信号虽然不满足绝对可积条件，但在频域引入冲激函数函数后，其傅里叶变换仍可以表示。
对周期信号)(t x ，其傅里叶变换)(Ωj X 表示为
∑∞-∞=Ω-Ω=Ωn n n X j X )(2)(1δπ
三. 非周期序列的傅里叶变换
周期连续信号及其频谱
p
T 1=Ω非周期连续信号及其频谱
0Ω0
序列的傅里叶变换，即
n j n j e n x e X ωω
-∞-∞=∑=)()(
ωπωωππd e e X n x n j j )(21)(⎰-=
这一变换对的时频域示意图如图所示。
可以看出时域上是非周期离散时间信号，频域上是连续周期的频谱。
序列的傅里叶变换是序列的频谱，也就是时域离散信号的频域特征。
在数字滤波器的设计和信号的频谱分析中经常用到，因此是数字信号处理的重要工具之一。
)(ωj e X 一般是复函数，可以写成模和辐角，或者实部和虚部的形式。
)()()()()(ωωωφωωj I j R j j j e jX e X e e X e X +== (3.2.
5)
其中ωω|~)(|j e X 称为序列的幅度频谱，而ωωϕ~)(称为序列的相位频谱；ωω~)(j R e X 称为序列的实部频谱，ωω~)(j I e X 称为序列的虚部频谱。
经常用ωω|~)(|j e X 和ωωϕ~)(来表示信号的频谱。
四. 周期序列的离散傅里叶级数
上面所讨论的三种傅里叶变换都不能在计算机上实现，因为它们在时域连续或者频域连续，或者时域和频域都是连续的。
如果要用数字计算机对信号进行频谱分析，也就是要计算信号的傅里叶变换，必须要求输入时域信号是离散的，而计算机得到的频谱值也应该是离散的。
由上面三种情况，不难发现以下规律：一个域的连续必然对应另一个域的非周期，一个域的离散必然对应另一个域的周期。
所以，可以大胆推断出第四种情况，也就是周期序列的频谱特征必然是离散周期的。
示意图如图所示。
表1非周期序列及其频谱
ωj
对四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。
这里所介绍得到傅里叶变换的几种可能形式中，只有第四种形式对于数字信号处理有实用价值。
要使前三种形式能用数字计算机上进行计算，必须针对每一种形式的具体情况，或者在时域和频域同时取样；或者在时域取样；或者在频域取样。
最后都将使原时间函数和频率函数都成为周期离散的函数，那么前三种形式最后都变成第四种形式。
这也就是我们将要提出的周期序列的离散傅里叶级数，也可以认为是后面要重点介绍的离散傅里叶变换（DFT ）的过渡形式。
表1 四种傅里叶变换形式的归纳
设)
(~n x
是以N 为周期的周期序列，与连续时间信号的傅里叶级数展开类似，由于)(~
n x 是周期的，必然可以进行傅里叶级数展开。
离散傅里叶级数变换对： kn N j N n e n x n x DFS k X π
210)(~)](~[)(~--
=∑== ∞<<∞-k
周期序列及其频谱
kn N j N k e k X N k X IDFS n x π
210)(~1)](~[)(~∑-=== ∞<<∞-n 这里的)(~n x 和)(~k X 都是以N 为周期的周期序列，
时域和频域都是周期离散的，也是傅里叶变换的第四种形式。
其有很明显的物理意义，它表示周期序列
)(~n x 可以分解成N 次谐波，第k 次谐波频率为k N
π2，1,,2,1,0-=N k ，谐波的幅度为|)(~|1k X N。
其中0=k ，表示直流分量，其幅度为|)(~|1|)0(~|110∑-==N n n x N X N 。