递推法
递推法
递推计算方法和应用数学中有不少算法属递推算法。
递推算法就是在一个循环体内随着循环控制变量的变化，逐一通过前面的k 个已知的或已算出的值计算当前待算的值的算法，所用的算式称为递推计算公式。
递推算法分为一维递推算法、二维递推算法和广义递推算法三类。
注意广义递推算法不用了解，一维递推算法又分单步算法和多步算法。
同类递推算法对应相同的基本程度模块，可以作为一个基本类型。
算式给出后程序就能给出，程序和算式有映射关系。
一维递推算法一维递推算法分为单步算法和多步算法。
所谓单步算法是指能用下面的公式表示的算法上式称为一维递推单步算式，00a x =为表头值。
它所对应的程序模块为x[0]:=a;for i=1 to n dox[i]:=f(x[i-1])多步法是指能用下面的公式表示的算法上式表示的算式称为一维递推多步算式，该算法称为一维多步（K 步）算法，1,1,0...-k x x x 的值称为表头值。
它所对应的程序模块为：for i:=0 to k-1 dox[i]:=a[i];for i:=k to n dox[i]:=f(x[i-k],x[i-k+1],…x[i -1]];这里要强调的是，为了使算式和程序之间有一对一的映射关系，应尽量使用数组元素，这也是称为一维递推算法的原因例1计算菲波拉契数列的前21项公式为程序为program p24;varf:array[0..21] of integer;i:integer;beginf[0]:=0;f[1]:=1;for i:=2 to 21 dof[i]:=f[i-1]+f[i-2];for i:=0 to 21 dowrite(f[i],' ');end.该程序和算法的特色为：1. 程序和数学公式有一对一的关系，编程难度低；2. 数组元素的序号本身具有时间顺序特征，程序中不出现数据传递；3. 程序由输入、计算和输出三部分组成，每个程序段都具有明确的单一功能，结构规范 程序中增加一个一维数组并不会发生内存溢出，但却能方便程序设计例2 小数十翻二。
递推法
Fibonacci数列的应用
Fibonacci数列是最著名的递推公式。经常 出现在各种竞赛题中。 你能看出这几个题都是这个问题的应用吗？
例2 完美覆盖问题
问题描述:有2×n的一个长方形棋盘,用一些1×2的骨牌铺满 方格.例如n=3时,在2×3的棋盘上用1×2的骨片覆盖,共有 3种铺法。
问题求解:编写一个程序,试对给出的任意一个n(n>0),输出铺
01串
有1个长为n的01串，要求不能出现101和111.求符合条件的字符串有多 少个？ n<1000000 分析一：设a[n]为n个字符最后两位为00所形成的方案数，同样，b[n]对 应最后两位为01，c[n]对应最后两位为10，d[n]对应最后两位为11. 则a[n]=a[n-2]+b[n-2]+c[n-2]+d[n-2]=a[n-1]+c[n-1] b[n]=a[n-1]=f[n-3] c[n]=b[n-1]+d[n-1] d[n]=b[n-1]=a[n-2]=f[n-4] 所以f[n]=a[n]+b[n]+c[n]+d[n]=f[n-1]+f[n-3]+f[n-4]
我们用递推法求解问题时，关键是找出后项与前项之前的数学关系。 然后从初始项开始，逐项递推。在算出前n-1项之前，我们是不知道第 n项的值的。可以说，为了求第n项值，我们总共要计算n次，因此时间 复杂度为O(n)
而通项式建立的是第n项与项数n之间的数学关系。我们可以直接用项 数n计算出第n项的值。可以说，为了求第n项的值，我们只需计算1次 ，因此时间复杂度为O(1)
生成树的数目
在网格中取一个N x 1的矩形，并把它当作 一个无向图。这个图有2(N+1)个顶点，有 3(N-1)+4条边。这个图有多少个生成树？ 样例输入：1 样例输出：4
求解差分方程的三种基本方法
求解差分方程的三种基本方法一、引言差分方程是数学中的一种重要的方程类型，它描述了随时间变化的某一物理量的变化规律。
求解差分方程是数学中的一个重要问题，本文将介绍求解差分方程的三种基本方法。
二、递推法递推法是求解差分方程最常用的方法之一。
递推法的基本思想是从已知条件开始，通过不断地递推求出未知条件。
具体步骤如下：1. 将差分方程转化为递推关系式。
2. 根据已知条件确定初始值。
3. 通过递推关系式不断计算出后续值，直到得到所需的未知条件。
4. 验证得到的结果是否符合原来的差分方程。
三、特征根法特征根法也称为特征值法或本征值法，它是求解线性齐次差分方程最常用的方法之一。
特征根法的基本思想是通过求解差分方程对应齐次线性常系数微分方程所对应的特征方程来得到其通解。
具体步骤如下：1. 将差分方程转化为对应齐次线性常系数微分方程。
2. 求出该微分方程对应的特征方程。
3. 求解特征方程得到其特征根。
4. 根据特征根求出微分方程的通解。
5. 将通解转化为差分方程的通解。
四、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是求解非齐次差分方程最常用的方法之一。
拉普拉斯变换法的基本思想是将差分方程转化为对应的积分方程，并通过求解积分方程来得到其通解。
具体步骤如下：1. 对差分方程进行拉普拉斯变换，将其转化为对应的积分方程。
2. 求解积分方程得到其通解。
3. 对通解进行反变换，得到差分方程的通解。
五、总结本文介绍了求解差分方程的三种基本方法：递推法、特征根法和拉普拉斯变换法。
其中递推法适用于求解线性或非线性齐次或非齐次差分方程；特征根法适用于求解线性齐次差分方程；而拉普拉斯变换法则适用于求解非齐次差分方程。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
求数列通项公式的几种基本方法
求数列通项公式的几种基本方法一、递推法递推法是一种常用的求解数列通项公式的方法。
它是基于数列中的前一项或前几项与后一项或后几项之间的关系来推导数列的通项公式。
通过观察数列中的规律，我们可以写出数列中相邻两项之间的递推关系式，并利用该关系式递推得到数列的通项公式。
举例说明，假设要求解数列的通项公式：1,3,5,7,9,...通过观察数列可以发现，每一项都比前一项大2，可以推测数列的递推关系式为an = an-1 + 2、其中an表示数列中的第n项。
进一步，假设第一项为a1，则有a2 = a1 + 2，a3 = a2 + 2，依此类推。
通过这种方式，可以逐步得到数列中的每一项。
在本例中，由于数列的首项为1，所以数列的通项公式为an = 2n-1二、代数法代数法是另一种常用的求解数列通项公式的方法。
它通过假设数列的通项公式为一些未知数表达式，然后通过已知条件求解未知数的值，从而得到数列的通项公式。
举例说明，假设要求解数列的通项公式：1,4,9,16,25,...通过观察数列可以发现，每一项都是一些整数的平方。
假设数列的通项公式为an = n^2，其中n表示数列中的第n项。
我们可以通过验证前几项来确定这个假设是否成立。
在本例中，当n=1时，a1 = 1^2 = 1，当n=2时，a2 = 2^2 = 4，通过验证可知假设成立，因此数列的通项公式为an = n^2三、解方程法解方程法也是一种常用的求解数列通项公式的方法。
它通过设立数列中的一些项之间的方程，然后求解这个方程，从而得到数列的通项公式。
举例说明，假设要求解数列的通项公式：2,5,10,17,26,...通过观察数列可以发现，每一项都比前一项大3、5、7、9，可以推测数列的递推关系式为an = an-1 + 1 + (2n-1)。
其中an表示数列中的第n项。
进一步，假设第一项为a1，则有a2 = a1 + 1 + 1，a3 = a2 +1 + 3，依此类推。
求数列通项公式的十种办法
求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。
下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。
通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。
例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。
2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。
例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。
3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。
例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。
4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。
例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。
例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。
6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。
例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。
7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。
例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。
8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。
首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。
数列求通项公式方法总结
数列求通项公式方法总结数列是数学中的一种常见概念，它在很多应用领域中发挥着重要作用。
数列的通项公式是指能够通过一个公式来表示数列的每一项的方法。
在数学中，求解数列的通项公式是一种重要的技巧和思维训练。
本文将总结一些常见的数列求通项公式的方法。
方法一：递推法递推法是数列求解的一种常见方法。
它基于数列中每一项与前一项之间的关系，通过逐项递推来找到通项公式。
例如，考虑一个等差数列 2，5，8，11，14......，我们可以observe 最终一项与前一项之间的关系，即 +3。
因此，我们可以推断出该数列的通项公式为 2+3(n-1)，其中 n 为项数。
通过递推法，我们可以求解出许多常见的数列。
方法二：代数法代数法是一种通过代数方程来表示数列通项的方法。
对于一些特殊的数列，我们可以通过数学运算和等式推导来找到通项公式。
例如，考虑一个等比数列 2，4，8，16，32......，我们可以发现每一项与前一项之间的关系都是乘以2。
因此，我们可以写出等式an = a(n-1) * 2，其中 a(n-1) 表示前一项。
通过解这个等式，我们可以得到通项公式 an = 2^(n-1)。
方法三：配方法配方法是一种通过把数列分解成两个已知数列的和或差的方法，从而找到通项公式的方法。
这种方法常用于一些复杂的数列。
例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以发现每一项都是前两项之和。
通过设定两个已知数列 a(n) 和b(n)，满足 a(1) = a(2) = 1，b(1) = 2，b(2) = 3，并通过递推求解出 a(n) = a(n-1) + a(n-2) 和 b(n) = b(n-1) + b(n-2)。
因此，我们可以得到数列通项公式 F(n) = a(n) + b(n)。
方法四：生成函数法生成函数法是一种利用生成函数来表示数列的方法。
生成函数是一个形式化的工具，用于处理数列和序列的问题。
例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以将该数列转变为一个生成函数来表示。
递推法
ans A[i]
i 1
东北师大附中
z 1
3 平面分割问题（课后练习）
设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭 曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相 交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区 域个数。
东北师大附中
分析
设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图2可 以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。从这些式子中可 以看出an-an-1=2(n-1)。当然，上面的式子只是我们通过 观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下 面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲 线将平面分割成an-1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相 交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条 封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相 交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上 一共增加2(n-1)个区域，加上已有的an-1个区域，一共 有an-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是 an=an-1+2(n-1) 边界条件是a1=1。
东北师大附中
杨辉三角 （课后练习）
东北师大附中
分析
C C
r n r n 1
C n 1
r 1
组合公式的证明：
(n 1)! C n1 r!(n r 1)!
r
r r 1
(n 1) ！ C n1 (r 1)!(n r )!
r 1
(n 1) (n r ) (n 1)! r ！ n！ r Cn C n1 C n1 r!(n r )! r!(n r )!
倒推到第三步
东北师大附中
依次类推，为了在I=k处贮藏k*500公升汽油，卡车至少从 I=k+1处开k趟满载车至I=k处，即 oil[k+1]=(k+1)*500=oil[k]+500，加上从I=k返回I=k+1 的k-1趟返程空间，合计2k-1次。这2k-1次总耗油量按最 省要求为500公升，即d[k+1]=500/(2k-1)，图22倒推到第 n步 Way[k+1]=Way[k]+d[k+1]=Way[k]+500/(2k-1)；
求通项公式的常用方法
求通项公式的常用方法通项公式是数列中每一项与序号n之间的关系式，可通过递推关系和数列特点来确定。
下面将介绍几种常用的方法来求解通项公式。
一、等差数列等差数列是一种公差固定的数列，通项公式可以通过公差和首项求得。
1.递推法：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则通项公式为an = a₁ + (n -1)d。
2.求和法：对于等差数列，可以根据前n项和与首项之间的关系来求解通项公式。
设前n项和为Sn，首项为a₁，公差为d，则有等差数列求和公式Sn =n/2(a₁ + an)。
二、等比数列等比数列是一种比值固定的数列，通项公式可以通过公比和首项求得。
1.递推法：设等比数列的首项为a₁，公比为r，则通项公式为an = a₁ * r^(n -1)。
2.求和法：对于等比数列，可以根据前n项和与首项之间的关系来求解通项公式。
设前n项和为Sn，首项为a₁，公比为r，则有等比数列求和公式Sn=a₁(r^n-1)/(r-1)。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，之后的每一项都是前两项的和。
1.递推法：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则通项公式为F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=12.通项公式法：利用通项公式公式Fn = (Phi^n - (-Phi)^(-n))/sqrt(5)，其中Phi是黄金分割比(约为1.618）。
四、多项式数列多项式数列是指通项由多项式表达的数列。
1.解线性递推关系：对于多项式数列，可以根据给定的递推关系式来推导通项公式。
具体的方法可以通过代入法、特征根法、辅助方程法等来求解。
2.拉格朗日插值法：对于已知部分数列项的数值，可以利用拉格朗日插值法求解通项公式。
该方法需要确定数列项数目与已知项数目一致。
以上是一些常见的求通项公式的方法，不同的数列类型可能需要不同的方法来求解。
在实际问题中，还可以根据数列性质和给定条件等将其转化为已知的数列类型，从而应用相应的求解方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
输入：x=1 y=2 z=8 输出：37
分析
首先我们来看样例：每隔1个月产2对卵，求过8 月（即第8+1=9月）的成虫个数
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 新增卵 0 2 2 2 6 10 14 26 46 … 成虫 1 1 1 3 5 7 13 23 37 …
计算河心n个石礅可承载的最大青蛙数
设f[i]表示河心i个石礅可承载的最大青蛙数(1<=i<=n) 左岸为A,右岸为D
(1) 0个石礅,f[0]=0 (2) 1个石礅,f[1]=m+1 (3) 2个石礅s1,s2，f[2]=?
(1)A上m+1只青蛙s1 (2) A上m+1只青蛙 s2 , (3)s1上的m+1青蛙 s2 (4) A上m+1只青蛙s1 因此，f[2]=m+1+f[1]+f[1]=3*(m+1) (4) 3个石礅s1,s2,s3, (1)A上3(m+1)只青蛙s1,s2 (2) A上m+1只青蛙 s2 , (3)s1,s2上的3(m+1)青蛙 s2 (4) A上3(m+1)只青蛙s1,s2 因此，f[3]=m+1+2*f[2]=7*(m+1) …… (5) n个石礅? (1)A上f(n-1)只青蛙s1…sn-1 (2) A上m+1只青蛙 sn (3)s1…sn-1上的f(n-1)只青蛙sn (4) A上f(n-1)只青蛙s1…sn-1 因此， f[n]=m+1+2*f[n-1]
分析
设数组A[i]表示第i月新增的成虫个数。 由于新成虫每过x个月产y对卵，则可对每个A[i]作如下
操作: A[i+k*x+2]:=A[i+k*x+2]+A[i]*y (1<=k,i+k*x+2<=z+1） 因为A [i]的求得只与A[1]~A[i-1]有关，即可用递推求法。 则总共的成虫个数为：
=Pi-2+kak+Qi-2+kd+Ri-2+kak-1
∴ an=Pn-k+2ak+Qn-k+2d+Rn-k+2ak-1
ak=(an-Qn-k+2d+Rn-k+2ak-1)/Pn-k+2
……⑤
根 但 多。据由公于式Pn⑤-k+2，递可减以，顺因推此a最2、后a得3、出…的、aamM要。比虽直然接仍利然用存公在式实①数精误确差得，
z 1
ans A[i] i 1
例2 : HLeabharlann noi塔问题Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。 开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图1所 示。要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：
(1)一次只能移一个圆盘； (2)圆盘只能在三个柱上存放； (3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。
Ri=Ri-2-2Ri-1
……④
显然，P1=0 Q1=0 R1=1 （i=1）
P2=1 Q2=0 R2=0 （i=2）
将初值P1Q1R1和P2Q2R2代入②③④可以求出PnQnRn
∵ an=Pna2+Qnd+Rna1
∴ a2=(an-Qnd+Rna1)/Pn
然后根据公式①递推求出am，问题解决。
改进算法
n1
CiCni1
i2
边界条件C2=1。
例6：实数数列
一个实数数列共有N项，已知 ai=(ai-1-ai+1)/2+d，(1<I<N) (N<60) 键盘输入N，d，a1，an，m，输出am。 输入数据均不需判错。
分析
根据公式ai=(ai-1-ai+1)/2+d 变形得，ai+1=ai-1-2ai+2d，因 此该数列的通项公式为：ai=ai-2-2ai-1+2d，已知a1，如 果能求出a2，这样就可以根据公式递推求出am
问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少 个盘次？
a
b
c
图1
分析
设当hnn=为1时n ，个只盘需子把从aa柱柱移上到的c盘柱子所直需接移移动动的到盘c次柱。就显可然以，了， 故去h；1=然1。后当将n大=2盘时子，从先a将柱a移柱到上c面柱的；小最盘后子，移将动b到柱b上柱的上小 盘a柱子上移有到nc(柱n>上=2， )个共盘记子3个时盘，次总，是故先借h2=助3。c柱以把此上类面推的，n当-1 个盘子移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c 柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总 共移动hn-1+1+hn-1个盘次。
设Cn表示凸n边形的拆分方案总数。由题目中的要求可知一个凸n 边形的任意一条边都必然是一个三角形的一条边，边P1 Pn也不例 外，再根据“不在同一直线上的三点可以确定一个三角形”，只 要构成在一P2个，三P3角，形…的…三，个Pn顶-1点点中，找就一将个n边点形Pk分(1成<k了<n三)，个与不P相1、交P的n 部共分同 (如图)，我们分别称之为区域①、区域②、区域③，其中区域③必 定是一个三角形，区域①是一个凸k边形，区域②是一个凸n-k+1 边故P2包形，含，P3△区，P域…1①P…kP的，n拆的Pn分n-1种方边任案形一总的点数拆，是分根C方k据，案加数区法为域原② Ck理的Cn，拆-k+凸分1种n方边，案形而数的P为k三可C角以n-k拆是+1， 分方案总数为:
（统称为合法的落脚点）； 2. 一只青蛙只有背上没有其它青蛙的时候才能够从一个落脚点跳到
另一个落脚点； 3. 青蛙允许从左岸A直接跳到河心的石墩、荷叶和右岸的石墩D上，
允许从河心的石墩和荷叶跳到右岸的石墩D上； 4. 青蛙在河心的石墩之间、荷叶之间以及石墩和荷叶之间可以来回
跳动； 5. 青蛙在离开左岸石墩后，不能再返回左岸；到达右岸后，不能再
如何建立递推关系 递推关系有何性质 如何求解递推关系
递推的形式
顺推法和倒推法
例1：昆虫繁殖
科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫， 这种昆虫的繁殖能力很强。每对成虫过x个月产 y对卵，每对卵要过两个月长成成虫。假设每个 成虫不死，第一个月只有一对成虫，且卵长成 成虫后的第一个月不产卵(过X个月产卵)，问过 Z个月以后，共有成虫多少对？x>=1,y>=1,z>=x
问题讨论:青蛙过河(Frog )
大小各不相同的一队青蛙站在河左岸的石墩（记为A） 上，要过到对岸的石墩(记为D)上去。河心有几片菏叶 (分别记为Y1…Ym)和几个石墩(分别记为S1…Sn)。图 示如下：
荷叶Yi
左岸石墩A
右岸石墩D
河心石墩Sj
试题描述
青蛙的站队和移动方法规则如下： 1. 每只青蛙只能站在荷叶、石墩，或者仅比它大一号的青蛙背上
对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并 清楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了， 接下来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这 种重复运算，真正起到“物尽其用”的效果。
递推概念
给定一个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在 整数n0，使当nn0时,可以用等号(或大于 号、小于号)将Hn与其前面的某些项 Hn(0i<n)联系起来，这样的式子就叫做递 推关系。
∵ ai=ai-2-2ai-1+2d
……(1)
=ai-2-2（ai-3-2ai-2+2d）+2d
=-2ai-3+5（ai-4-2ai-3+2d）-2d
=5ai-4-12ai-3+8d
……
一式直。迭代下去，直到最后，可以建立ai和a1与a2的关系
分析
设ai=Pia2+Qid+Ria1，我们来寻求Pi,Qi,Ri的变化规律。
试题描述
青蛙希望最终能够全部移动到D上，并完成站队。 设河心有m片荷叶和n个石墩，请求出这队青蛙至多有
多少只，在满足站队和移动规则的前提下，能从A过到 D。 [输入文件] 文件仅有两行，每一行仅包含一个整数和一个换行/回 车符。第一行的数字为河心的石墩数n（0<=n<=25）， 第二行为荷叶数m（0<=m<=25）。 [输出文件] 文件中仅包含一个数字和一个换行/回车符。该数字为 在河心有n个石墩和m片荷叶时，最多能够过河的青蛙 的只数。
an=an-1+2(n-1) 边界条件是a1=1。
例4：杨辉三角
分析
C C C r r r1
n
n1
n1
组合公式的证明：
C C r (n 1)!
n1 r!(n r 1)!
r1 (n 1)！ n1 (r 1)!(n r)!
C C C r r1 (n 1)！ (n r) (n 1)!r n！ r
跳回； 6. 假定石墩承重能力很大，允许无论多少只青蛙都可呆在上面。但
是，由于石墩的面积不大，至多只能有一只青蛙直接站在上面， 而其他的青蛙只能依规则1落在比它大一号的青蛙的背上。 7. 荷叶不仅面积不大，而且负重能力也有限，至多只能有一只青蛙 站在上面。 8. 每一步只能移动一只青蛙，并且移动后需要满足站队规则； 9. 在一开始的时候，青蛙均站在A上，最大的一只青蛙直接站在石墩 上，而其它的青蛙依规则6站在比其大一号的青蛙的背上。
但 除 断 显法的然仔，扩，细分因大这析此。种会在算，存实法上在际虽述实中简算法数 ， 单有误 当 但差 不一m超， 可个过这 靠明3个 。0显时的误，差缺求在陷出以：的后在a递m求就推由明求于显在a偏m的求离过a正2要程确运又值不用。
为了减少误差，我们可设计如下算法：
∵ ai=Pia2+Qid+Ria1 =Pi-1a3+Qi-1d+Ri-1a2 =Pi-2a4+Qi-2d+Ri-2a3 ……