数列递推公式的九种方法
常见递推数列通项的九种求解方法
常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。
是一类考查思维能力的好题。
要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。
类型一：1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。
【类型一专项练习题】1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。
2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。
3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
4、已知}{n a 中，nn n a a a 2,311+==+，求n a 。
5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
9、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
九类常见递推数列求通项公式方法
九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。
)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。
解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。
2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。
类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。
i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。
例2已知a11，anan1n，求an。
解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。
方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。
类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
数列的几种递推公式
数列的几种递推公式一、 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
二、 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
例3:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---。
变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ，n a a a aa a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1， 将以上n 个式子相乘，得2!n a n =)2(≥n三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例4.已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n . 故递推公式为)3(231+=++n n a a , 令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b . 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列， 则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .变式:在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________（key:321-=+n n a ）四、类型4 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
高中数学数列的递推公式及推导过程
高中数学数列的递推公式及推导过程数列是高中数学中的重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成。
在数列中，递推公式是一种常见的描述数列规律的方式。
本文将详细介绍数列的递推公式及其推导过程，并通过具体题目的分析，帮助读者理解数列的考点和解题技巧。
一、等差数列的递推公式及推导过程等差数列是最常见的数列之一，它的每一项与前一项之差都相等。
对于等差数列，我们可以通过递推公式来描述其规律。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。
例如，考虑等差数列1，4，7，10，13，...，其中首项a₁=1，公差d=3。
我们可以使用递推公式来求解该数列的任意一项。
例如，我们要求第10项a₁₀的值，根据递推公式可以得到：a₁₀ = a₁ + (10-1)×3 = 1 + 9×3 = 28通过递推公式，我们可以很方便地求解等差数列中任意一项的值。
二、等比数列的递推公式及推导过程等比数列是另一种常见的数列，它的每一项与前一项之比都相等。
对于等比数列，我们同样可以使用递推公式来描述其规律。
假设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的递推公式为：aₙ = a₁ × q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n为项数。
例如，考虑等比数列2，6，18，54，162，...，其中首项a₁=2，公比q=3。
我们可以使用递推公式来求解该数列的任意一项。
例如，我们要求第6项a₆的值，根据递推公式可以得到：a₆ = a₁ × 3^(6-1) = 2 × 3^5 = 486通过递推公式，我们可以轻松地求解等比数列中任意一项的值。
三、斐波那契数列的递推公式及推导过程斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的递推公式可以通过观察数列的规律得到。
假设斐波那契数列的第n项为Fₙ，则斐波那契数列的递推公式为：Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂其中，F₀=0，F₁=1。
数列的递推公式
数列的递推公式数列的递推公式是指通过已知的数列前几项来推导出数列中后一项与前一项之间的关系的公式。
递推公式在数学和计算机科学中应用广泛，可以用于解决各种数值计算问题。
一、定义数列数列是按一定规律排列的一系列数的有序集合。
数列中的每个数称为该数列的项，项之间的序号称为项号。
通常用字母{n}表示数列中的第n项。
二、等差数列的递推公式等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d例如，对于等差数列 2, 5, 8, 11, 14，首项a₁=2，公差d=3，第n项aₙ可以通过递推公式计算：aₙ = 2 + (n-1)3三、等比数列的递推公式等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的递推公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)例如，对于等比数列 2, 4, 8, 16, 32，首项a₁=2，公比r=2，第n项aₙ可以通过递推公式计算：aₙ = 2 * 2^(n-1)四、斐波那契数列的递推公式斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设斐波那契数列的首项为a₁，第二项为a₂，第n项为aₙ，则斐波那契数列的递推公式为：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁例如，斐波那契数列的前几项为 0, 1, 1, 2, 3, 5，可以通过递推公式计算出后续的项。
五、其他数列的递推公式除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还存在其他类型的数列，它们各自具有特定的递推公式。
例如，如下所示的数列为自然数的平方数列：1, 4, 9, 16, 25该数列的递推公式为：aₙ = n^2再例如，如下所示的数列为自然数的阶乘数列：1, 2, 6, 24, 120该数列的递推公式为：aₙ = n!在解决具体问题时，需要根据数列的规律来确定递推公式，从而计算出数列中任意一项的值。
数列递推公式的九种方法
数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。
如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。
2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。
如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。
如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。
回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。
6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。
斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。
阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。
8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。
斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。
9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。
卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。
利用递推关系求数列通项的九种类型及解法
利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，)2(23f a a =-)1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=-即：∑-=+=111)(n k n k f a a .为了书写方便，也可用横式来写：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- . 例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=nn a证明：由已知得：故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--nn n ∴213-=nn a .例 2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N+=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
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求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
解由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为121=---n n b b ，因此}{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。
由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2)1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-=-n n a n ，即)2(212+-=n n a n四、积差相消法例5设正数列0a ，1a ，n a …，n a ，…满足2-n n a a 21---n n a a =12-n a )2(≥n 且110==a a ，求}{n a 的通项公式.解将递推式两边同除以21--n n a a 整理得：12211=----n n n n a aa a 设nb =1-n na a ，则011a a b ==1，121=--n n b b ，故有1212=-b b ⑴1223=-b b ⑵…………121=--n n b b (1-n )由⑴22-⨯n +⑵32-⨯n +…+(1-n )02得122221-++++=n n b =12-n，即1-n n a a =12-n.逐项相乘得：n a =2)12(-222)12()12(-⋅⋅-⋅n，考虑到10=a ，故⎩⎨⎧-⋅⋅--=2222)12()12()12(1n n a )1()0(≥=n n .五、取倒数法例6已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n≥2时，1211+=--n n n a a a ，求通项公式n a 。
解将1211+=--n n n a a a 两边取倒数得：2111=--n n a a ，这说明}1{n a 是一个等差数列，首项是111=a ，公差为2，所以122)1(11-=⨯-+=n n a n，即121-=n a n .六、取对数法例7若数列{n a }中，1a =3且21n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知n a ＞0，将21n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即2lg lg 1=+nn a a ，所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列，12113lg 2lg lg -=⋅=-n n n a a ，即123-=n n a .七、平方（开方）法例8若数列{n a }中，1a =2且213-+=n n a a （n 2≥），求它的通项公式是n a .解将213-+=n n a a 两边平方整理得3212=--n n a a 。
数列{2n a }是以21a =4为首项，3为公差的等差数列。
133)1(212+=⨯-+=n n a a n 。
因为n a ＞0，所以13+=n a n 。
八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、B Aa a n n +=+1（A、B 为常数）型，可化为λ++1n a =A（λ+n a ）的形式.例9若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a .解递推式n n n S S S 431+=+可变形为41311+⋅=+n n S S （1）设（1）式可化为)1(311λλ+=++nn S S （2）比较（1）式与（2）式的系数可得2=λ，则有)21(3211+=++n n S S 。
故数列{21+n S }是以3211=+S 为首项，3为公比的等比数列。
21+n S =n n 3331=⋅-。
所以131-=n n S 。
当n 2≥，1238332231231211+⋅-⋅-=---=-=--n n nn n n n n S S a 。
数列{n a }的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 。
2、B Aa a n n +=+1nC ⋅（A、B、C 为常数，下同）型，可化为11++⋅+n n C a λ=nn C a A ⋅+λ(）的形式.例10在数列{n a }中，,342,1111-+⋅+=-=n n n a a a 求通项公式n a 。
解：原递推式可化为：)3(2311-+⋅+=⋅+n n n n a a λλ①比较系数得λ=-4，①式即是：)34(23411-+⋅-=⋅-n n n n a a .则数列}34{1-⋅-n n a 是一个等比数列，其首项534111-=⋅--a ，公比是2.∴112534--⋅-=⋅-n n n a 即112534--⋅-⋅=n n n a .3、n n n a B a A a ⋅+⋅=++12型，可化为)()(112n n n n a a A a a λλλ+⋅+=++++的形式。
例11在数列{n a }中，2,121=-=a a ，当N n ∈，n n n a a a 6512-=++①求通项公式n a .解：①式可化为：))(5(112n n n n a a a a λλλ++=++++比较系数得λ=-3或λ=-2，不妨取λ=-2.①式可化为：)2(32112n n n n a a a a -=-+++则}2{1n n a a -+是一个等比数列，首项122a a -=2-2（-1）=4，公比为3.∴11342-+⋅=-n n n a a .利用上题结果有：112534--⋅-⋅=n n n a .4、C Bn Aa a n n ++=+1型，可化为])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式。
例12在数列{n a }中，231=a ，12--n n a a =63-n ①求通项公式n a .解①式可化为：21121)1()(2λλλλ+-+=++-n a n a n n ②比较系数可得：1λ=-6，92=λ，②式为12-=n n b b }{n b 是一个等比数列，首项299611=+-=n a b ，公比为21.∴121(29-=n n b 即nn n a 21(996⋅=+-故96)21(9-+⋅=n a nn .九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出123,,,a a a ……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式n a ，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。
例13在各项均为正数的数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，n S =1(2n a +1)na ，求其通项公式。
求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩，112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩，1322n n n a --∴=．二、形如2n n n Aa Ba Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa Ba Ca D++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax Bx Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n nn n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a ．若②有二重根αβ=，则可令111n n c a a αα+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a ．此方法又称不动点法．例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n nn n a a c a a ++--=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =-，∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n n n n na --∴=+-．例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n ca a +=+++由12,a =得2314a =，求得1c =，∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+，135106n na n -∴=-．。