广东省揭阳市2016届高三第一次模拟考试数学(文)试题带答案
广东省揭阳市高考一模文科数学试题答案
通知：各位”羽十俱进”的队员，为了更好地开展协会活动，提高整体羽毛球水平，请各位进行搭档组合展开针对性更强的训练，项目包括男双、女双、混双，每人至少报一项，限报两项（有兴趣的也可另报单打），女队员至少报一项女双。
希望大家尽快找好自己的搭档（名单详见收件人），周三前将组合名单报至卢华处。
报名统计完毕后将分组每周展开定时训练和比赛，每周训练时间为周一和周四，报名的时候顺便报一下你这个组合哪天有空参加训练。
谢谢支持！绝密★启用前揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为40－50岁50岁以上40岁以下30%20%50%A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a-=(0)a >的离心率为A.5 B.5C.2D. 35．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为A. 2-B. 2C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2xy = D. 1()2x y =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为A.8B.12C.20D.308．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为 图1A. 14B.5C. 3D. 79．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--FE ACB 3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI）指数40120160200③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 63A =， 则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=- ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+= 被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF△ABC 的两条高，已知1,AE =3,42,AB CF ==则BC 边的长为 ． 图2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图； （2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？ （图中纵坐标1/300即1300，以此类推） 图418．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，6AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<． 20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sinln(1)1nk n k =<++∑．2015揭阳市数学(文科)参考答案一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.13. 3；14..解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = BC三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(, )6612ππα+∈， --------------------------------------------4分∴πcos(2)63α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分23116132326=+⋅=----------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分 ⇒2cos 23sin 23αα-=-----------------------①---------------------------------6分 将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------------8分 解得：12246126cos 2α±±==--------------------②---------------------10分∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴126cos 2α+=.-----------------------------------------------------------12分] 17．解：（1）---4分 ----8分 (2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------------11分 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD AB CD ∴⊥，----------------1分又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2）CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF平面BCD l =∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEFACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅116116428=⨯⨯⨯=------------------14分 [解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分 1611166113423228=⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分] 19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分∴数列{}n S n 为首项161S=,公差为3的等差数列， 63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分 20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分 [解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =5=, 即22()252p m m +-=，-------------------------------------------①-------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.--------------②-------------3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分] （2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点200(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得222x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分 [解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2xy y x x -=-，---------------------------------------------7分令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--------③----10分分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------④(1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入③式得， 左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入③式得， 左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分] 21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，---------------------------------------------------------1分 令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分 （2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数∴1'()cos(1)0G x a x x=--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分 当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x =--≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，--------------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n++++<++++341ln(2)ln(1)23n n n +=⋅⋅⋅=+， 即11sin ln(1)1n k n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。
201x年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：（每小题5分，共60分）．1．复数（1+2i ）2（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．4B ．﹣4C ．4iD ．﹣4i2．已知集合，则满足A∩B=B 的集合B 可以是（ ）A ．{0， }B ．{x|﹣1≤x ≤1}C ．{x|0＜x ＜}D ．{x|x ＞0} 3．各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，则log 2a 7+log 2a 11=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知平面向量，，，则λ的值为（ ） A ．1+B ．﹣1C ．2D ．15．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆x 2+（y ﹣）2=r 2（r ＞0）内，则r 的最小值是（ ） A ．B ．C ．1D ．6．如图所示为函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么fA ．B ．﹣C ．﹣1D ．17．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．16B ．17C ．14D ．158．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为（ ） A ．1 B ．C ．D ．与M 点的位置有关9．已知抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=2，则直线AF 的倾斜角为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知点F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．D ．11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（ ）A ．4+B ．6C ．4+D ．612．设函数y=f （x ）对任意的x ∈R 满足f （4+x ）=f （﹣x ），当x ∈（﹣∞，2]时，有f （x ）=2﹣x ﹣5．若函数f （x ）在区间（k ，k+1）（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（ ） A ．﹣3或7 B ．﹣4或7 C ．﹣4或6 D ．﹣3或6二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），则数列{a n }的通项公式a n = ． 14．若直线2ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）经过曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心，则+的最小值为 ．15．已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为 ． 16．已知函数f （x ）=，g （x ）=acos+5﹣2a （a ＞0）若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知=（1）求角C 的大小，（2）若c=2，求使△ABC 面积最大时a ，b 的值．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且．（Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．20．已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点，求点O 到直线l 的距离的最小值． 21．已知函数f （x ）=e 2x ﹣1﹣2x ﹣kx 2．（1）当k=0时，求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求k 的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ． （Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线； （Ⅱ）若=，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l的距离最短．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|．（Ⅰ）若不等式f（x）﹣f（x+5）≥|m﹣1|有解，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，证明：＞f（）．2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）．1．复数（1+2i ）2（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．4i D ．﹣4i 【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（1+2i ）2，则答案可求． 【解答】解：复数（1+2i ）2=1+4i+4i 2=﹣3+4i ， 则复数（1+2i ）2的虚部为：4． 故选：A ．2．已知集合，则满足A∩B=B 的集合B 可以是（ ）A ．{0， }B ．{x|﹣1≤x ≤1}C ．{x|0＜x ＜}D ．{x|x ＞0}【考点】交集及其运算．【分析】求出A 中y 的范围确定出A ，根据A∩B=B，找出满足题意的集合B 即可． 【解答】解：∵x 2+1≥1，∴0＜y=（）x2+1≤（）1=， ∴A={y|0＜y ≤}．则满足A∩B=B 的集合B 可以{x|0＜x ＜}． 故选：C ．3．各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，则log 2a 7+log 2a 11=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【考点】等比数列的性质．【分析】利用a 4•a 14=（a 9）2，各项为正，可得a 9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，∴a 4•a 14=（2）2=8，∵a 4•a 14=（a 9）2， ∴a 9=2，∴log 2a 7+log 2a 11=log 2a 7a 11=log 2（a 9）2=3， 故答案为：3．4．已知平面向量，，，则λ的值为（ ）A ．1+B ．﹣1C ．2D ．1 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出λ． 【解答】解： =（2，2﹣λ）， ∵||=2， ∴22+（2﹣λ）2=4，解得λ=2． 故选：C ．5．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆x 2+（y ﹣）2=r 2（r ＞0）内，则r 的最小值是（ ） A ．B ．C ．1D ．【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 圆x 2+（y ﹣）2=r 2（r ＞0）对应的圆心坐标为（0，）， 由图象知只需要点B （1，0）或A （﹣1，0）在圆内即可， 即r ≥==，在r 的最小值为， 故选：A ．6．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么fA．B．﹣C．﹣1 D．1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由图象得到振幅A，由A、B两点的距离结合勾股定理求出B和A的横坐标的差，即半周期，然后求出ω，再由f（0）=1求φ的值，则解析式可求，从而求得f=2sin（x+φ）．由f（0）=1，得2sinφ=1，∴sinφ=．又≤φ≤π，∴φ=．则f（x）=2sin（x+）．∴f=2×=1．故选：D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．16B ．17C ．14D ．15 【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果． 【解答】解：第一次循环：S=log 2，n=2； 第二次循环：S=log 2+log 2，n=3； 第三次循环：S=log 2+log 2+log 2，n=4； …第n 次循环：S=log 2+log 2+log 2+…+log 2=log 2，n=n+1；令log 2＜﹣3，解得n ＞15．∴输出的结果是n+1=16． 故选：A ．8．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为（ ） A ．1 B ．C ．D ．与M 点的位置有关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，连接BC 1，取=，可得PN ∥D 1C 1，=1，由于D 1C 1⊥平面BCC 1B 1，可得PN ⊥平面BCC 1B 1，利用三棱锥M ﹣PBC 的体积=V 三棱锥P ﹣BCM =即可得出．【解答】解：如图所示，连接BC 1，取=，则PN ∥D 1C 1，，PN=1，∵D 1C 1⊥平面BCC 1B 1， ∴PN ⊥平面BCC 1B 1，即PN 是三棱锥P ﹣BCM 的高． ∴V 三棱锥M ﹣PBC =V 三棱锥P ﹣BCM ===．故选：B ．9．已知抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=2，则直线AF 的倾斜角为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质． 【分析】可先画出图形，得出F （），由抛物线的定义可以得出|PA|=2，从而可以得出P 点的横坐标，带入抛物线方程便可求出P 点的纵坐标，这样即可得出A 点的坐标，从而求出直线AF 的斜率，根据斜率便可得出直线AF 的倾斜角． 【解答】解：如图，由抛物线方程得；|PF|=|PA|=2；∴P 点的横坐标为； ∴，P 在第一象限；∴P 点的纵坐标为；∴A 点的坐标为；∴AF 的斜率为；∴AF 的倾斜角为． 故选：D ．10．已知点F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．D ．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF 2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F 1F 2|，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF 2|=4，|AF 2|=5，∵|AB|2+|BF 2|2=|AF 2|2，∴∠ABF 2=90°，又由双曲线的定义得：|BF 1|﹣|BF 2|=2a ，|AF 2|﹣|AF 1|=2a ，∴|AF 1|+3﹣4=5﹣|AF 1|，∴|AF 1|=3．∴|BF 1|﹣|BF 2|=3+3﹣4=2a ，∴a=1．在Rt △BF 1F 2中，|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2=62+42=52，又|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=52，∴c=，∴双曲线的离心率e==． 故选：C ．11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（ ）A ．4+B ．6C ．4+D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．12．设函数y=f（x）对任意的x∈R满足f（4+x）=f（﹣x），当x∈（﹣∞，2]时，有f（x）=2﹣x﹣5．若函数f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或7 C．﹣4或6 D．﹣3或6【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知可得函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，画出函数的图象，进而可得满足条件的k值．【解答】解：∵函数y=f（x）对任意的x∈R满足f（4+x）=f（﹣x），∴函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈（﹣∞，2]时，有f（x）=2﹣x﹣5．故函数y=f（x）的图象如下图所示：由图可知，函数f （x ）在区间（﹣3，﹣2），（6，7）各有一个零点，故k=﹣3或k=6，故选：D二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），则数列{a n }的通项公式a n = n （n+1） ． 【考点】数列递推式．【分析】由已知得a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），由此利用累加法能求出该数列的通项公式．【解答】解：∵数列{a n }满足：a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），（n ≥2），∴a n =a 1+a 2﹣a 1+a 3﹣a 2+…+a n ﹣a n ﹣1=1+2+3+4+…+n=n （n+1），故答案为：．14．若直线2ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）经过曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心，则+的最小值为 3+2 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出函数的对称中心坐标，推出ab 关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心（，1）．直线2ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）经过曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心，可得a+b=1．+=（+）（a+b ）=3+≥3+2=3+2， 当且仅当b=，a+b=1，即b=2，a=时，表达式取得最小值．故答案为：3+2．15．已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为 16π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】设球心到平面ABCD 的距离为d ，利用△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E 到平面ABCD 的距离为，从而R 2=（）2+d 2=12+（﹣d ）2，求出R 2=4，即可求出多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面ABCD 的距离为d ，则∵△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°， ∴E 到平面ABCD 的距离为， ∴R 2=（）2+d 2=12+（﹣d ）2，∴d=，R 2=4， ∴多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=16π．故答案为：16π．16．已知函数f （x ）=，g （x ）=acos +5﹣2a （a ＞0）若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 [，5] ．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （x ）∈[0，]；∵g （x ）=acos +5﹣2a （a ＞0），当x 2∈[0，1]时，∴acos ∈[0，a]∴g （x ）∈[5﹣2a ，5﹣a]∵存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[5﹣2a ，5﹣a]∩[0，]≠∅，∴只需排除[5﹣2a ，5﹣a]∩[0，]=∅的情况，即5﹣2a ＞，或5﹣a ＜0，得a ＜或a ＞5∴a 的取值范围是[，5]．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．【分析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．（Ⅱ）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， 则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（Ⅱ）设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中a ，b=6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知= （1）求角C 的大小，（2）若c=2，求使△ABC 面积最大时a ，b 的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA 不为0求出cosC 的值，即可确定出C 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c 与cosC 的值代入并利用基本不等式求出ab 的最大值，进而确定出三角形ABC 面积的最大值，以及此时a 与b 的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B ，即cos （A+C ）=﹣cosB ， ∴由正弦定理化简已知等式得： =，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB ，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ，∵sinA ≠0，∴cosC=﹣，∵C 为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，即4=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab ，∴ab ≤，（当且仅当a=b 时成立），∵S=absinC=ab ≤，∴当a=b 时，△ABC 面积最大为，此时a=b=， 则当a=b=时，△ABC 的面积最大为． 19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且．（Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I ）取AB 的中点M ，根据，得到F 为AM 的中点，又E 为AA 1的中点，根据三角形中位线定理得EF ∥A 1M ，从而在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1DBM 为平行四边形，进一步得出EF ∥BD ．最后根据线面平行的判定即可证出EF ∥平面BC 1D ．（II ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱AC 上存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出AG 与AC 的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】证明：（I ）取AB 的中点M ，∵，∴F 为AM 的中点，又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点，∴A 1D ∥BM ，A 1D=BM ，∴A 1DBM 为平行四边形，∴AM ∥BD∴EF ∥BD ．∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ，∴EF ∥平面BC 1D ．（II ）设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15， 则， ∵= =∴，∴，∴AG=． 所以符合要求的点G 不存在．20．已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点，求点O 到直线l 的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（2）当直线l 的向量存在时，设直线l 的方程为：y=kx+m ，与椭圆方程联立化为（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k 2﹣m 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．可得x 0=x 1+x 2，y 0=y 1+y 2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O 到直线l 的距离d==即可得出．当直线l 无斜率时时，由对称性可知：点O 到直线l 的距离为1．即可得出．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得a=2，b 2=2，∴椭圆M 的方程为．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y=kx+m ， 联立，化为（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣4=0，△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣4）＞0，化为2+4k 2﹣m 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．∴x 0=x 1+x 2=，y 0=y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=．∵点P 在椭圆M 上，∴， ∴+=1，化为2m 2=1+2k 2，满足△＞0．又点O 到直线l 的距离d====．当且仅当k=0时取等号．当直线l 无斜率时时，由对称性可知：点P 一定在x 轴上，从而点P 的坐标为（±2，0），直线l 的方程为x=±1，∴点O 到直线l 的距离为1．∴点O 到直线l 的距离的最小值为．21．已知函数f （x ）=e 2x ﹣1﹣2x ﹣kx 2．（1）当k=0时，求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求k 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当k=0时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求函数导数，讨论k 的范围，结合函数的单调性研究最值即可求k 的取值范围．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=e2x﹣1﹣2x，f'（x）=2e2x﹣2，…令f'（x）＞0，则2e2x﹣2＞0，解得：x＞0，令f'（x）＜0，则2e2x﹣2＜0，解得：x＜0，…所以，函数f（x）=e2x﹣1﹣2x的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…．（2）由函数f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2，则f'（x）=2e2x﹣2kx﹣2=2（e2x﹣kx﹣1），令g（x）=e2x﹣kx﹣1，则g'（x）=2e2x﹣k．…由x≥0，所以，①当k≤2时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，而g（0）=0，所以g（x）≥0，即f'（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．…②当k＞2时，令g'（x）＜0，即2e2x﹣k＜0，则．即g（x）在上为减函数，而g（0）=0，所以，g（x）在上小于0．即f'（x）＜0，所以f（x）在上为减函数，而f（0）=0，故此时f（x）＜0，不合题意．综上，k≤2．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）根据OA=OD，得到∠ODA=∠OAD，结合AD是∠BAC的平分线，得到∠OAD=∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE．再根据DE⊥AE，得到DE⊥OD，结合圆的切线的判定定理，得到DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接OD，BC，设AC=2k，AB=5k，可证OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=k，然后通过OD∥AE，利用相似比即可求出的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD∵∠BAC的平分线是AD∴∠OAD=∠DAC∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；…5分（Ⅱ）解：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，又OD∥AE，∴∠OGB=∠ACB=90°，∴OD⊥BC，∴G为BC的中点，即BG=CG，又∵=，∴设AC=2k，AB=5k，根据中位线定理得OG=k，∴DG=OD﹣OG=k，又四边形CEDG为矩形，∴CE=DG=k，∴AE=AC+CE=k，而OD∥AE，∴可得…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l的距离最短．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ．把ρ2=x2+y2，代入可得C的直角坐标方程．由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t得直线l的普通方程．（Ⅱ）由曲线C：x2+（y﹣1）2=1是以G（0，1）为圆心，1为半径的圆，点D在曲线C上，可设点D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），利用点到直线的距离公式即可得出点D到直线l 的距离d及其最小值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ．∴曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1，∵直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t得直线l的普通方程为x+y﹣5=0．（Ⅱ）∵曲线C：x2+（y﹣1）2=1是以G（0，1）为圆心，1为半径的圆，∵点D在曲线C上，∴可设点D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），∴点D到直线l的距离为d==2﹣sin（φ+），∵φ∈[0，2π），当φ=时，d=1，min此时D点的坐标为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|．（Ⅰ）若不等式f（x）﹣f（x+5）≥|m﹣1|有解，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，证明：＞f（）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的意义得到|m﹣1|≤5，求出m的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证明（ab﹣3）2＞（b﹣3a）2，通过作差证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）﹣f（x+5）=|x﹣3|﹣|x+2|≤|（x﹣3）﹣（x+2）|=5，当且仅当x≤﹣2时等号成立，所以|m﹣1|≤5，解得﹣4≤m≤6；…（Ⅱ）证明：要证，即证，只需证|ab﹣3|＞|b﹣3a|，即证（ab﹣3）2＞（b﹣3a）2，又（ab﹣3）2﹣（b﹣3a）2=a2b2﹣9a2﹣b2+9=（a2﹣1）（b2﹣9），|a|＜1，|b|＜3，所以（a2﹣1）（b2﹣9）＞0，所以（ab﹣3）2＞（b﹣3a）2，故原不等式成立…2016年9月4日如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
广东省揭阳市数学高三文数第一次模拟考试试卷
广东省揭阳市数学高三文数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·天津模拟) 集合 ,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·永州模拟) 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数（）A .B .C .D .3. （2分）下列命题中，正确的命题有（）①用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量服从正态分布N（0，1），若,则；④回归直线一定过样本点的中心A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分）若非零向量，满足，且，则向量的夹角为（）A .B .C .D .5. （2分）(2012·福建) 下列命题中，真命题是（）A . ∃x0∈R，≤0B . ∀x∈R，2x＞x2C . a+b=0的充要条件是 =﹣1D . a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件6. （2分） (2018高一下·安徽期末) （）A .B .C .D . 17. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A . －3B .C . 2D .8. （2分） (2019高二下·平罗月考) 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 19. （2分）某三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为A . 2B . 3C . 4D . 610. （2分）要使有意义，则应有（）A .B . m≥﹣1C .D .11. （2分） (2018高二上·长安期末) 已知双曲线C：(a>0，b>0)与直线交于其中，若 ,且 ,则双曲线C的渐近线方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·中山月考) 若函数的两个零点是，，则（）A .B .C .D . 无法确定和的大小二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2017高二下·杭州期末) 设抛物线x2=4y，则其焦点坐标为________，准线方程为________．14. （1分）(2017·沈阳模拟) 某班共46人，从A，B，C，D，E五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后（没人弃权）：若A得25票，B得票数占第二位，C、D得票同样多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票数为________．15. （1分） (2018高二上·凌源期末) 椭圆上的任意一点(短轴端点除外)与短轴上、下两个端点的连线交轴于点和，则的最小值是________．16. （1分） (2016高一下·蕲春期中) 已知，则cosα=________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2015高三上·青岛期末) 设数列{an}的前n项和为．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．18. （10分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．19. （15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．BM⊥PD于M．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角的正切值；（3）求点O到平面ABM的距离．20. （10分） (2017高二下·大名期中) 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且，求y0的值．21. （10分）(2016·江苏) 已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2,b= .①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．22. （10分）(2018·内江模拟) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）已知直线上一点的极坐标为，其中 . 射线与曲线交于不同于极点的点，求的值.23. （10分） (2017高一上·桂林月考) 已知函数 .（1）用分段函数的形式表示该函数，并画出该函数的图象；（2）写出该函数的值域、单调区间(不用说明理由)．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：（每小题 分，共 分）．．复数（ ） （其中 为虚数单位）的虚部为（ ） ．．﹣ ． ．﹣．已知集合，则满足 的集合 可以是（ ）． ，． ﹣ ≤ ≤ ． ＜ ＜ ． ＞．各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则（ ）．．． ．．已知平面向量，，，则 的值为（ ）．．﹣ ． ．．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆 （ ﹣）（ ＞）内，则 的最小值是（ ）．．． ．．如图所示为函数 （ ） （ ）（ ＞ ，≤ ≤ ）的部分图象，其中 ， 两点之间的距离为 ，那么． ．﹣ ．﹣ ．．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）． ． ． ．．在棱长为 的正方体 ﹣ 中， 在线段 上，且， 为线段上的动点，则三棱锥 ﹣ 的体积为（ ）． ．．．与 点的位置有关．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ⊥ ，垂足为 ， ，则直线 的倾斜角为（ ）．．．．．已知点 、 分别是双曲线 ：﹣ （ ＞ ， ＞ ）的左右焦点，过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，若 ： ： ： ： ，则双曲线的离心率为（ ）．．．．．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）． ． ． ．．设函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．若函数 （ ）在区间（ ， ）（ ∈ ）上有零点，则 的值为（） ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或二、填空题（每小题 分，共 分）．已知数列满足，﹣﹣（ ≥ ），则数列的通项公式 ．．若直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，则 的最小值为．．已知△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ， ，∠ ，则多面体 ﹣ 的外接球的表面积为．．已知函数 （ ） ， （ ） ﹣ （＞ ）若存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，则实数 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共 小题，满分 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 小时．（ ）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为，停车付费多于 元的概率为，求甲停车付费恰为 元的概率；（ ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为 元的概率．．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知（ ）求角 的大小，（ ）若 ，求使△ 面积最大时 ， 的值．．如图，三棱柱 ﹣ 中， ⊥平面 ， 、 分别为 、 的中点，点 在棱 上，且．（ ）求证： ∥平面 ；（ ）在棱 上是否存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由．．已知椭圆 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（， ）．（ ）求椭圆 的方程；（ ）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，以线段 、 为邻边作平行四边形 ，其中点 在椭圆 上， 为坐标原点，求点 到直线 的距离的最小值．．已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ．（ ）当 时，求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求 的取值范围．选修 ：几何证明选讲．如图， 是圆 的直径， 是弦，∠ 的平分线 交圆 于点 ， ⊥ ，交 的延长线于点 ， 交 于点 ．（ ）求证： 是圆 的切线；（ ）若 ，求的值．选修 ：坐标系与参数方程．已知直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ）．（ ）求直线 与曲线 的直角坐标方程；（ ）在曲线 上求一点 ，使它到直线 的距离最短．选修 ：不等式选讲．已知函数 （ ） ﹣ ．（ ）若不等式 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ 有解，求实数 的取值范围；（ ）若 ＜ ， ＜ ，且 ≠ ，证明：＞ （）．年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（ 月份）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 分，共 分）．．复数（ ） （其中 为虚数单位）的虚部为（ ） ．．﹣ ． ．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（ ） ，则答案可求． 【解答】解：复数（ ） ﹣ ，则复数（ ）的虚部为： ．故选： ．．已知集合，则满足 的集合 可以是（ ）． ，． ﹣ ≤ ≤ ． ＜ ＜ ． ＞【考点】交集及其运算．【分析】求出 中 的范围确定出 ，根据 ，找出满足题意的集合 即可． 【解答】解：∵ ≥ ，∴ ＜ （） ≤（） ， ∴ ＜ ≤ ．则满足 的集合 可以 ＜ ＜ ． 故选： ．．各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则（ ）．．． ．【考点】等比数列的性质．【分析】利用 （ ） ，各项为正，可得 ，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，∴ （ ） ，∵ （ ） ，∴ ，∴ （ ） ，故答案为： ．．已知平面向量，，，则 的值为（） ． ．﹣ ． ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出 ．【解答】解： （ ， ﹣ ），∵ ，∴ （ ﹣ ） ，解得 ．故选： ．．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆 （ ﹣） （ ＞ ）内，则 的最小值是（）． ． ． ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆 （ ﹣） （ ＞ ）对应的圆心坐标为（ ，），由图象知只需要点 （ ， ）或 （﹣ ， ）在圆内即可，即 ≥ ，在 的最小值为，故选： ．．如图所示为函数 （ ） （ ）（ ＞ ，≤ ≤ ）的部分图象，其中 ， 两点之间的距离为 ，那么． ．﹣ ．﹣ ．【考点】由 （ ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由图象得到振幅 ，由 、 两点的距离结合勾股定理求出 和 的横坐标的差，即半周期，然后求出 ，再由 （ ） 求 的值，则解析式可求，从而求得 （ ）．由 （ ） ，得 ，∴ ．又≤ ≤ ，∴ ．则 （ ） （ ）．∴ × ．故选： ．．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）． ． ． ．【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环： ， ；第二次循环： ， ；第三次循环： ， ；第 次循环：， ；令＜﹣ ，解得 ＞ ．∴输出的结果是 ． 故选： ．．在棱长为 的正方体 ﹣ 中， 在线段 上，且， 为线段上的动点，则三棱锥 ﹣ 的体积为（ ）． ．．．与 点的位置有关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】如图所示，连接 ，取，可得 ∥ ，，由于 ⊥平面 ，可得 ⊥平面 ，利用三棱锥 ﹣ 的体积 三棱锥 ﹣即可得出．【解答】解：如图所示，连接 ，取 ，则 ∥ ，， ，∵ ⊥平面 ， ∴ ⊥平面 ， 即 是三棱锥 ﹣ 的高． ∴ 三棱锥 ﹣ 三棱锥 ﹣．故选： ．．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ⊥ ，垂足为 ， ，则直线 的倾斜角为（）． ． ． ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可先画出图形，得出 （），由抛物线的定义可以得出 ，从而可以得出 点的横坐标，带入抛物线方程便可求出 点的纵坐标，这样即可得出 点的坐标，从而求出直线 的斜率，根据斜率便可得出直线 的倾斜角．【解答】解：如图，由抛物线方程得；；∴ 点的横坐标为；∴， 在第一象限；∴ 点的纵坐标为；∴ 点的坐标为；∴ 的斜率为；∴ 的倾斜角为．故选： ．．已知点 、 分别是双曲线 ：﹣ （ ＞ ， ＞ ）的左右焦点，过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，若 ： ： ： ： ，则双曲线的离心率为（ ）．．．．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可求得 ，∠ ，再利用勾股定理可求得 ，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵ ： ： ： ： ， 不妨令 ， ， ， ∵ ，∴∠ ，又由双曲线的定义得： ﹣ ， ﹣ ， ∴ ﹣ ﹣ ，∴ ． ∴ ﹣ ﹣ ，∴ ．在 △ 中， ， 又 ，∴ ， ∴，∴双曲线的离心率 ．故选： ．．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）． ． ． ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为 ，几何体底面圆心角为 ，∴几何体底面弧长为 ．圆锥高为 ．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中， ， ⊥ ， ⊥ ， ，，．∴∠ ∠ ，∠ ．∴∠ ．∴ ．故选 ．．设函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．若函数 （ ）在区间（ ， ）（ ∈ ）上有零点，则 的值为（） ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知可得函数 （ ）的图象关于直线 对称，画出函数的图象，进而可得满足条件的 值．【解答】解：∵函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），∴函数 （ ）的图象关于直线 对称，又∵当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．故函数 （ ）的图象如下图所示：由图可知，函数 （ ）在区间（﹣ ，﹣ ），（ ， ）各有一个零点，故 ﹣ 或 ，故选：二、填空题（每小题 分，共 分）．已知数列满足，﹣﹣（ ≥ ），则数列的通项公式 （ ）．【考点】数列递推式．【分析】由已知得 ﹣﹣（ ≥ ），由此利用累加法能求出该数列的通项公式．【解答】解：∵数列 满足： ， ﹣ ﹣ （ ≥ ），（ ≥ ），∴ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣（ ），故答案为：．．若直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，则 的最小值为 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出函数的对称中心坐标，推出 关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心（， ）．直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，可得 ．（ ）（ ） ≥ ，当且仅当 ， ，即 ， 时，表达式取得最小值．故答案为： ．．已知△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ， ，∠ ，则多面体 ﹣ 的外接球的表面积为 ．【考点】球的体积和表面积．【分析】设球心到平面 的距离为 ，利用△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ，∠ ，可得 到平面 的距离为，从而 （） （﹣ ） ，求出 ，即可求出多面体 ﹣ 的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面 的距离为 ，则∵△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ，∠ ，∴ 到平面 的距离为，∴ （） （﹣ ） ，∴ ， ，∴多面体 ﹣ 的外接球的表面积为 ．故答案为： ．．已知函数 （ ） ， （ ） ﹣ （ ＞ ）若存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，则实数 的取值范围是， ．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数 （ ） ，∴ （ ）∈ ， ；∵ （ ） ﹣ （ ＞ ），当 ∈ ， 时，∴ ∈ ，∴ （ ）∈ ﹣ ， ﹣∵存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，∴ ﹣ ， ﹣ ， ≠∅，∴只需排除 ﹣ ， ﹣ ， ∅的情况，即 ﹣ ＞，或 ﹣ ＜ ，得 ＜或 ＞∴ 的取值范围是 ， ．三、解答题：本大题共 小题，满分 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 小时．（ ）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为，停车付费多于 元的概率为，求甲停车付费恰为 元的概率；（ ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．【分析】（ ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为 求解即可．（ ）先列出甲、乙二人停车付费之和为 元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．【解答】解：（ ）设 甲临时停车付费恰为 元 为事件 ，则．所以甲临时停车付费恰为 元的概率是．（ ）设甲停车付费 元，乙停车付费 元，其中 ， ， ， ， ．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共 种情形．其中，（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）这 种情形符合题意．故 甲、乙二人停车付费之和为 元 的概率为．．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知（ ）求角 的大小，（ ）若 ，求使△ 面积最大时 ， 的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（ ）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 不为 求出 的值，即可确定出 的度数；（ ）利用余弦定理列出关系式，将 与 的值代入并利用基本不等式求出 的最大值，进而确定出三角形 面积的最大值，以及此时 与 的值即可．【解答】解：（ ）∵ ﹣ ，即 （ ） ﹣ ，∴由正弦定理化简已知等式得： ，整理得： ﹣ ，即﹣（ ） ，∵ ≠ ，∴ ﹣，∵ 为三角形内角，∴ ；（ ）∵ ， ﹣，∴由余弦定理得： ﹣ ，即 ≥，∴ ≤，（当且仅当 时成立），∵ ≤，∴当 时，△ 面积最大为，此时 ，则当 时，△ 的面积最大为．．如图，三棱柱 ﹣ 中， ⊥平面 ， 、 分别为 、 的中点，点 在棱 上，且．（ ）求证： ∥平面 ；（ ）在棱 上是否存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（ ）取 的中点 ，根据，得到 为 的中点，又 为 的中点，根据三角形中位线定理得 ∥ ，从而在三棱柱 ﹣ 中， 为平行四边形，进一步得出 ∥ ．最后根据线面平行的判定即可证出 ∥平面 ．（ ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱 上存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出 与 的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】证明：（ ）取 的中点 ，∵，∴ 为 的中点，又∵ 为 的中点，∴ ∥在三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点， ∴ ∥ ， ，∴ 为平行四边形，∴ ∥ ∴ ∥ ．∵ ⊂平面 ， ⊄平面 ，∴ ∥平面 ．（ ）设 上存在一点 ，使得平面 将三棱柱分割成两部分的体积之比为 ： ，则，∵∴，∴，∴ ．所以符合要求的点 不存在．．已知椭圆 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（， ）．（ ）求椭圆 的方程；（ ）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，以线段 、 为邻边作平行四边形 ，其中点 在椭圆 上， 为坐标原点，求点 到直线 的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（ ）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（ ）当直线 的向量存在时，设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立化为（ ） ﹣ ，由△＞ ，化为 ﹣ ＞ ，设 （ ，），（， ）， （ ， ）．可得 ， ．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点 到直线 的距离 即可得出．当直线 无斜率时时，由对称性可知：点 到直线 的距离为 ．即可得出．【解答】解：（ ）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得 ， ，∴椭圆 的方程为．（ ）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ，联立，化为（ ） ﹣ ，△ ﹣ （ ）（ ﹣ ）＞ ，化为 ﹣ ＞ ，设 （ ， ）， （ ， ）， （ ， ）．∴ ， （ ） ．∵点 在椭圆 上，∴，∴ ，化为 ，满足△＞ ．又点 到直线 的距离 ．当且仅当 时取等号．当直线 无斜率时时，由对称性可知：点 一定在 轴上，从而点 的坐标为（± ， ），直线 的方程为 ± ，∴点 到直线 的距离为 ．∴点 到直线 的距离的最小值为．．已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ．（ ）当 时，求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（ ）当 时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求函数导数，讨论 的范围，结合函数的单调性研究最值即可求 的取值范围．【解答】解：（ ）当 时， （ ） ﹣ ﹣ ， （ ） ﹣ ， 令 （ ）＞ ，则 ﹣ ＞ ，解得： ＞ ，令 （ ）＜ ，则 ﹣ ＜ ，解得： ＜ ，所以，函数 （ ） ﹣ ﹣ 的单调增区间为（ ， ），单调减区间为（﹣， ）． ．（ ）由函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ，则 （ ） ﹣ ﹣ （ ﹣ ﹣ ），令 （ ） ﹣ ﹣ ，则 （ ） ﹣ ．由 ≥ ，所以，当 ≤ 时， （ ）≥ ， （ ）为增函数，而 （ ） ，所以 （ ）≥ ，即 （ ）≥ ，所以 （ ）在 ， ）上为增函数，而 （ ） ，所以 （ ）≥ 在 ， ）上恒成立．当 ＞ 时，令 （ ）＜ ，即 ﹣ ＜ ，则．即 （ ）在上为减函数，而 （ ） ，所以， （ ）在上小于 ．即 （ ）＜ ，所以 （ ）在上为减函数，而 （ ） ，故此时 （ ）＜ ，不合题意．综上， ≤ ．选修 ：几何证明选讲．如图， 是圆 的直径， 是弦，∠ 的平分线 交圆 于点 ， ⊥ ，交 的延长线于点 ， 交 于点 ．（ ）求证： 是圆 的切线；（ ）若 ，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（ ）根据 ，得到∠ ∠ ，结合 是∠ 的平分线，得到∠ ∠ ∠ ，可得 ∥ ．再根据 ⊥ ，得到 ⊥ ，结合圆的切线的判定定理，得到 是⊙ 的切线．（ ）连接 ， ，设 ， ，可证 垂直平分 ，利用勾股定理可得到 ，得到 ，于是 ，然后通过 ∥ ，利用相似比即可求出的值．【解答】（ ）证明：连接 ，∵ ，∴∠ ∠∵∠ 的平分线是∴∠ ∠∴∠ ∠ ，可得 ∥又∵ ⊥ ，∴ ⊥∵ 是⊙ 的半径∴ 是⊙ 的切线； 分（ ）解：连接 ，如图，∵ 为直径，∴∠ ，又 ∥ ，∴∠ ∠ ，∴ ⊥ ，∴ 为 的中点，即 ，又∵ ，∴设 ， ，根据中位线定理得 ，∴ ﹣ ，又四边形 为矩形，∴ ，∴ ，而 ∥ ，∴可得 分选修 ：坐标系与参数方程．已知直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ）．（ ）求直线 与曲线 的直角坐标方程；（ ）在曲线 上求一点 ，使它到直线 的距离最短．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（ ）由曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ），即 ．把 ，代入可得 的直角坐标方程．由直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），消去 得直线 的普通方程．（ ）由曲线 ： （ ﹣ ） 是以 （ ， ）为圆心， 为半径的圆，点 在曲线 上，可设点 （ ， ）（ ∈ ， ）），利用点到直线的距离公式即可得出点 到直线 的距离 及其最小值．【解答】解：（ ）由曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ），即 ．∴曲线 的普通方程为 ﹣ ，配方为 （ ﹣ ） ，∵直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），消去 得直线 的普通方程为 ﹣ ．（ ）∵曲线 ： （ ﹣ ） 是以 （ ， ）为圆心， 为半径的圆，∵点 在曲线 上，∴可设点 （ ， ）（ ∈ ， ）），∴点 到直线 的距离为 ﹣ （ ），∵ ∈ ， ），当 时， ，此时 点的坐标为．选修 ：不等式选讲．已知函数 （ ） ﹣ ．（ ）若不等式 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ 有解，求实数 的取值范围；（ ）若 ＜ ， ＜ ，且 ≠ ，证明：＞ （）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（ ）根据绝对值不等式的意义得到 ﹣ ≤ ，求出 的范围即可；（ ）问题转化为证明（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，通过作差证明即可．【解答】解：（ ）因为 （ ）﹣ （ ） ﹣ ﹣ ≤ （ ﹣ ）﹣（ ） ，当且仅当 ≤﹣ 时等号成立，所以 ﹣ ≤ ，解得﹣ ≤ ≤ ；（ ）证明：要证，即证，只需证 ﹣ ＞ ﹣ ，即证（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，又（ ﹣ ） ﹣（ ﹣ ） ﹣ ﹣ （ ﹣ ）（ ﹣ ）， ＜ ， ＜ ，所以（ ﹣ ）（ ﹣ ）＞ ，所以（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，故原不等式成立年 月 日。
(优辅资源)广东省揭阳市高三上学期期末调研考试数学(文)试题 Word版含答案
绝密★启用前揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{}Z k k x x M ∈+==,12，{}Z k k x x N ∈+==,2，则（A ）N M =（B ）N M ⊂（C ）M N ⊂（D ）φ=⋂N M（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32 （B ）12 （C ）12- （D ）12i - （3）设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3 （B ）4（C ）5 （D ）6（5）已知3cos 5α=，3(,2)2παπ∈，则cos()4πα-=（A （B ） （C （D ）（6）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b （B ）b c ⊥（C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（7）对于任意的非零实数m ，直线2y x m =+与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有且只有一个交点，则双曲线的离心率为（A（B）2 （C ） 2 （D（8）已知曲线a x x x f 2ln )(+=在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π，则a 的值为（A ）1 （B ）－4 （C ）21-（D ）－1 （9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A ）242 （B ）274（C ）275 （D ）338 图1（10） 函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （11）在ABC ∆中，有正弦定理：sin sin sin a b cA B C===定值，这个定值就是ABC ∆的外接圆的直径．如图2所示，DEF ∆中，已知DE DF =，点M 在直线EF 上从左到右运动（点M 不与E 、F 重合），对于M 的每一个位置，记DEM ∆的外接圆面积与DMF∆的外接圆面积的比值为λ，那么（A ）λ先变小再变大 （B ）仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值（C ）λ先变大再变小 （D ）λ是一个定值图2（12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件0,.y x y M x y M ⎧≤≤⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）9（B ）13（C ）16 （D ）18第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量)1,1(-=a ，)2,(n b = ，若53a b ⋅=，则n = ．（14）偶函数()f x 的图象关于直线3x =对称，(4)4f =，则(2)f -= ．（15）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构） 啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 图3 经90榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为 ．（容器壁的厚度忽略不计） （16）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（小题满分12分）已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a n =+． （I ）求n a ；（II ）设12nn n b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）如图4，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AO=AB=BC=1，，3=PC ．（I ）证明：平面POC ⊥平面P AD ；（II ）若，三棱锥P-ABD 与C-PBD 的体积分别为1V 、2V ，求证122V V =． 图4 （19）（本小题满分12分）某次数学测验后，数学老师统计了本班学生对选做题的选做情况，得到如下表数据：(单位：人)（I 97.5%的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关？（II ）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”所用的时间为区间[5,7]内一个随机值（单位：分钟），解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间[6,8]内一个随机值（单位：分钟），试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（20）（本小题满分12分）已知圆Ｃ过点)0,43(A ，且与直线43:-=x l 相切， （I ）求圆心C 的轨迹方程；（II ） O 为原点，圆心C 的轨迹上两点M 、N （不同于点O ）满足0=⋅OM ，已知13OP OM =，13OQ ON =，证明直线PQ 过定点，并求出该定点坐标和△APQ 面积的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数()(2)=-+xf x x e a .(a R ∈)（I ）试确定函数()f x 的零点个数；（II ）设12，x x 是函数()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 参考公式：为常数）t e ex t xt ()'(---=请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．（I ）写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； （II ）若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． （I ）若1m =，求函数)(x f 的值域；（II ）若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：（12）由2222290ab a b ++-=结合222ab a b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在区域内， 在x 轴上整点有7个，在直线x=1上有5个，在x=2上有3个， 在x=3上有1个，共16个.二、填空题：（16）设1122(,),(,)A x y B x y ，由三角函数的定义得：12cos cos x x αβ+=+ 由2242,1.x y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得：2174120x x --=，则12417x x +=，即4cos cos 17αβ+=. 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）当1n =时，21121S a =+，解得11a =；--------------------------------------------1分当2n ≥时，由22n n S a n =+，得21121n n S a n --=+-，两式相减，得()221121n n n n S S a a ---=-+，即()22110n n a a ---=，即11(1)(1)0n n n n a a a a --+---=∵数列{}n a 为递增数列，∴110n n a a -+-≠， ∴11n n a a --=，------------------------------------------------------------------------------------------4分∴ 数列{}n a 是首项为1、公差为1的等差数列，故n a n =；---------------------------------6分（Ⅱ）nn n b 2)1(+=，()nn n T 2123222 1⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=，n T = ()2312232212n n n n +⋅+⋅++⋅++⋅，-------------------------------------------8分两式相减，得－()()132212224+⋅+-+⋅⋅⋅+++=n n n n T()()1141241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，------------------------------------------------------------------------11分，12+⋅=n n n T *n N ∈．-------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC 中，∵AO //BC ，AO =BC ，AB ⊥AD ，∴四边形OABC 是正方形，得OC ⊥AD ，-----------------------2分 在△POC 中，∵222PC OC PO =+，∴OC ⊥PO ，-------4分 又O AD PO = ，∴OC ⊥平面P AD ，又⊂OC 平面POC ，∴平面POC ⊥平面P AD ；-------------6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形ABCO 为正方形，∴OC =AB =1, OC ⊥OD -----------8分∴1OD ==，从而2AD =,-----------------------------------------------------9分设点P 到平面ABCD 的距离为h ，∵平行线BC 与AD 之间的距离为1，∴2121121313121==⋅⋅==⋅⋅=BC AD BC AD S S h S h S V V BCD ABD BCD ABD △△△△-------------------------------------------11分 即122V V =．---------------------------------------------------------------------------------------------12分其它解法请参照给分． （19）解：（1）22⨯列联表如下-3分由表中数据得()2250221288505.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表可知，有超过97.5%的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关；-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）设甲解答一道“坐标系与参数方程”需要x 分钟，解答一道“不等式选讲”需要y 分钟，-------------------------------------------------------------7分记“甲在考试中选做‘坐标系与参数方程’比选做‘不等式选讲’所用时间更长”为事件A ，则总的基本事件构成区域()57,68x x y y ⎧≤≤⎫⎧⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭，--------------------------------------------------9分而满足事件A 的基本事件构成区域为(){}8675,≤≤≤≤>y x y x y x ，， ，----------10分即图中阴影部分，由几何概型知()11112228P A ⨯⨯==⨯，即甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做 “不等式选讲”所用时间更长的概率为18．……………12分（20）解：（Ⅰ）法一：由已知得圆心C 的轨迹是以A 为焦点，l 为准线的抛物线，由432=p 得x px y 322==，得圆心C 的轨迹方程为x y 32=；-------------------------3分【法二：设圆半径为R ，圆心C (x , y )，则|AC |=R =|)43(|--x ，即22)43(y x +-=|)43(|--x ，化简得x y 32=即圆心C 的轨迹方程为x y 32=------------------------------------------------------------------3分】（Ⅱ）证明：依题意知OM 的斜率k 存在，且0≠k ，设OM 的方程为kx y =， ------------4分∵OM ⊥ON ，则ON 的方程为x ky 1-=，由⎩⎨⎧==xy kx y 32得x x k 322=，得23k x M =，------------------------------------------------------6分同理得23k x N =，由已知得21k x P =，2k x N =，∴)1,1(2kk P ，),(2k k Q -，----------------------------8分∴111222--=---=k k k k k k k PQ，直线PQ 的方程为=+k y )(122k x k k ---， 即0)1()1(2=-+-y k x k ，∴直线PQ 过定点（1，0），---------------------------------10分设B （1，0），则|1|4121||||21k k y y AB S Q P APQ +⨯⨯=-⋅=∆41281|)||1(|81=⨯≥+=k k ，∴△APQ 面积的最小值为41．---------------------------------------------------------------------12分【证法二：设()()1122,,,M x y N x y ，MN 的方程为x ty m =+ 由23x ty m y x=+⎧⎨=⎩ 得2330y ty m --=，---------------------------------------------------------------------4分 则29120t m ∆=+>，且12123,3y y t y y m +=-=----------------------------------------------------5分∵OM ON ⋅=，∴12120x x y y +=-----------------------------------------------------------------------6分 即221212109y y y y +=，解得129y y =-，所以39m -=-，解得3m =--------------------------- 7分 ∴MN的方程为3x t y =+，则直线MN过定点E ()3,0---------------------------------------------8分 设PQ 与x 轴相交于点F11,33OP OM OQ ON ==，//PQ MN ∴31||||||||==OM OP OE OF ，可得1OF =，则()1,0F ， 故PQ 过定点()1,0F -------------------------------------------------------------------------------------10分121111122434APQ P Q SAF y y y y ∴=-=⋅⋅⋅-=≥ ∴△APQ 面积的最小值为14.-------------------------------------12分】（21）解：（I ）由0)(=x g 得(2)=-xa x e ，令()(2)=-xg x x e ，函数()f x 的零点个数即直线a y =与曲线()(2)=-xg x xe 的交点个数， ∵'()(2)(1)=-+-=-xxxg x e x e x e ，-------------2分 由'()0g x >得1x <，∴函数()g x 在(,1)-∞单调递增， 由'()0g x <得1x >，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，∴当1=x 时，函数()g x 有最大值，max ()(1)==g x g e ，----------------------------------------3分又当2<x 时，()g x >0，(2)0=g ，当2>x 时()0<g x ，∴当>a e 时，函数()f x 没有零点；----------------------------------------------------------------4分当=a e或≤a 时，函数()f x 有一个零点；------------------------------------------------------5分当0<<a e 时，函数()f x 有两个零点．------------------------------------------------------------6分（II ）证明：函数()f x 的零点即直线a y =与曲线()(2)=-xg x x e 的交点横坐标，不妨设12<x x ，由（I ）知121,1<>x x ，得122<-x ， ∵函数()(2)=-xg x x e 在(,1)-∞上单调递增，∴函数a x g x f +-=)()(在(,1)-∞单调递减，要证122x x +<，只需证212x x -<， ------------------------------------------------------------7分∴只需证)2()(21x f x f ->，又0)(1=x f ，即要证0)2(2<-x f ，---------------------8分∵由)(2x g a =得222222222(2)(2)---=-+=---x x x f x x e a x e x e ，（21>x ）--------9分令2()(2)-=---xx h x xe x e ，则2'()(1)()-=--xx h x x e e ，------------------------------10分当1>x 时，x x e e ->2，'()0<h x ，即函数()h x 在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)0<=h x h ，∴当21>x 时，2(2)0-<f x ，即122x x +<．------------------------------------------------12分【证法二：由（Ⅰ）知，0>a ，不妨设211x x <<， 设-=)()(x f x F )1()2(>-x x f ，则xx xe e x x F -+-=2)2()(，-----------------------------8分))(1()('2x x e e x x F --=-，易知x x e e y -=-2是减函数，当x >1时，02=-<--e e e e x x ，又1-x <0， 得0)('>x F ， 所以)(x F 在),1(∞+递增，0)1()(=>F x F ，即)(x f >)2(x f -.---------------------------10分由12>x 得)(2x f >)2(2x f -，又)(0)(12x f x f ==，所以)()2(12x f x f <-， 由()(2)=-xg x x e 在(,1)-∞上单调递增，得a x g x f +-=)()(在(,1)-∞单调递减， 又122<-x ，∴122x x >-，即221<+x x ，得证． ---------------------------------------12分】 选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y tx 221221，的普通方程为2+=x y ， --------------------------------6分则直线l的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ．精 品 文 档试 卷 得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π． -----------10分 （23）解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f ------------------------------------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ， ------------------------------------------------3分3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；-------------------------------5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++， ---------------------------------6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ；------------------------7分②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ；------------------8分③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解；--------------------------- 9分综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞． --------------------------------------------------------10分。
2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷(文科)（5月份）一、选择题：（每小题5分，共60分）．1．复数（1+2i)2（其中i为虚数单位）的虚部为（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i2．已知集合，则满足A∩B=B的集合B可以是（)A．{0，}B．｛x｜﹣1≤x≤1｝C．｛x｜0＜x＜｝ D．｛x｜x＞0｝3．各项为正的等比数列{a n}中,a4与a14的等比中项为2,则log2a7+log2a11=()A．4 B．3 C．2 D．14．已知平面向量，,,则λ的值为（)A．1+B．﹣1 C．2 D．15．不等式组,表示的平面区域内的点都在圆x2+（y﹣）2=r2（r＞0）内,则r的最小值是(）A． B． C．1 D．6．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，≤φ≤π）的部分图象,其中A，B两点之间的距离为5，那么fA． B．﹣C．﹣1 D．17．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（)A．16 B．17 C．14 D．158．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点,则三棱锥M﹣PBC的体积为（）A．1 B．C． D．与M点的位置有关9．已知抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限,PA⊥l，垂足为A,｜PF｜=2,则直线AF的倾斜角为（）A． B． C． D．10．已知点F1、F2分别是双曲线C:﹣=1（a＞0，b＞0)的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若｜AB｜：｜BF2|：｜AF2|=3：4:5,则双曲线的离心率为（）A．2 B．4 C． D．11．某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为()A．4+B．6 C．4+D．612．设函数y=f（x）对任意的x∈R满足f(4+x）=f（﹣x)，当x∈（﹣∞，2］时，有f（x）=2﹣x﹣5．若函数f（x）在区间（k，k+1）(k∈Z）上有零点，则k的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或7 C．﹣4或6 D．﹣3或6二、填空题（每小题5分,共20分）=n(n≥2）,则数列｛a n}的通项公式a n=．13．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣114．若直线2ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）经过曲线y=cosπx+1(0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．15．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2,∠AEB=60°,则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为．16．已知函数f（x）=,g(x)=acos+5﹣2a(a＞0)若存在x1，x2∈［0，1］，使得f(x1)=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题:本大题共5小题，满分60分。
广东省揭阳市高三数学第一次模拟考试试题 文
是输入x x=|x|-2x ＝2x -1否|x|>1？结束开始输出x 图1揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合={|23,}B y y x x A =-∈，则A B I 中元素的个数为（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4（2）已知点(01)A ，，(3,2)B ，向量(7,4)BC =--u u u r ，则向量AC =u u u r（A ）(10,7) （B ）(10,5) （C ）(4,3)-- （D ）(4,1)-- （3）若直线20mx y m ++=与直线3(1)70mx m y +-+=平行，则m 的值为（A ）7（B ）0或7 （C ）0（D ）4（4）已知命题:,,sin()sin sin p x y R x y x y ∃∈+=+，命题1cos 2:[0,cos 2xq x x π+∀∈=，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）曲线xy )31(=与12y x =的交点横坐标所在区间为（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（6）阅读图1的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为36-时，输出x 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）3 (D ）15（7）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ， 那么2x y -的最大值为（A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）3-（8）清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4层的灯盏数应为（A ）3 （B ）12 （C ）24 （D ）36（9）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m , n 为点P 的坐标(,)m n ，那么点P 在圆2217x y +=内部（不包括边界）的概率是（A ）14 （B ）16 （C ）518（D ）29（10）某工件的三视图如图2所示，现将该工件通过 切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则 新工件的棱长为 （A ）12（B ）1 （C ） 2 （D ）22（11）已知抛物线221y ax x a =+--()a R ∈，恒过第三象限上一定点A ，且点A 在直线310mx ny ++=(0,0m n >>）上，则11m n+的最小值为 (A)4 (B) 12(C) 24 (D) 36(12)已知函数()=|sin |([,])f x x x ππ∈-，()g x 为]4,4[-上的奇函数，且⎩⎨⎧≤<-≤<-=)42(124)20(2)(x x x x x g ，设方程(())0f f x =，(())0f g x =，(())0g g x =的实根的个数分别为m 、n 、t ，则m n t ++=俯视图22222222图2A CBA 1C 1B 1DE图31105(日泄流量）x1210频率组距（A ）9 (B)13 (C)17 (D) 21第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知函数3()1f x ax bx =++，若()8f a =，则()f a -=_________.（14）已知数列{}n a 对任意的n N *∈都有112n n n n a a a a ++=-，若112a =，则8a = .（15）已知△ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O-ABC 的体积为403，则该球的表面积等于 .（16）已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点2)A ,则△APF 周长的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知：复数12sin sin ()z A C a c i =++,212cos cos 4 z A C i =++,且12z z =，其中A 、B 、C为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ） 若22b =，求△ABC 的面积． （18）（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1，11AB A B E =I ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ；（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）若1,AB =且1AC AD =⋅，求三棱锥A-BCB 1的体积． （19）（本小题满分12分）某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水 量发电．图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的 日泄流量X （单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整）， 已知)120,0[∈X ，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平 均天数为156，一年按364天计．（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）已知一台小型发电机，需30万立方米以上的日泄流 量才能运行，运行一天可获利润为4000元，若不运行，则每天亏损500元；一台中型发电机，需60万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利10000元，若不运行，则每天亏损800元；根据历年日泄流量的水文资料，水电站决定安装一台发电机，为使一年的日均利润值最大，应安装哪种发电机？ （20）（本小题满分12分）已知椭圆222:1(2)2x y C a a +=>的离心率为22，点,M N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为12-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点()00,P x y 满足2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，是否存在常数λ，使得P 是椭圆2222x y a λ+=上的点.（21）（本小题满分12分）已知函数x e ax f x ln )(+=．()a R ∈ （Ⅰ）若函数在区间],1[e e上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）试讨论函数()f x 在区间(0,)+∞内极值点的个数．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l ：αθ=)),,0[(R ∈∈ρπα与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求||OM 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数)1()(-=x a x f ．（Ⅰ）当1a =时，解不等式|()||()|3f x f x x +-≥； （Ⅱ）设1||≤a ，当1||≤x 时，求证：45|)(|2≤+x x f ．揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBDBABCDBBD部分题目解析：（8）依题意知，此塔各层的灯盏数构成公比2q =的等比数列，且前7项和7381S =，由 71(12)381,12a -=-解得13a =，故34124a a q ==．（102，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x 22222x x-=，解得12x =，故2x=1，即新工件棱长为1．（11）易得(1,3)A --,则13m n +=，又11m n+n n m m n m )(3)(3+++=)(36n mm n ++= 1266=⋅+≥nm m n ，当且仅当m n =时等号成立．(或111122122m n m n m nmn+≥⋅=≥=+．) （12）因[,]x ππ∈-，所以函数()f x 的值域为[0,1]，函数()g x 的 图象如图示，由图象知，其值域为[4,4]-，注意到方程()0f x =的 根为0，π-，π，所以方程(())0f f x =的根为方程()0f x =或(),f x π=-()f x π=的根，显然方程()0f x =有3个实根，因 ,[0,1]ππ-∉，所以(),f x π=-与()f x π=均无实根；所以方程(())0f f x =的实根的个数为3，即3m =；方程(())0f g x =的实根为方程()0g x =或(),()g x g x ππ=-=的根，方程(),()g x g x ππ=-=各有3个根，同时方程()0g x =也有3个根，从而方程(())0f g x =根的个数为9，即9n =；方程()0g x =有三个实根-3、0、3，方程(())0g g x =的实根为方程3)(-=x g 或()0g x =或3)(=x g 的根，方程3)(-=x g 或3)(=x g 各有3个根，同时方程()0g x =也有3个根，从而方程(())0g g x =根的个数为9，即9t =，故m n t ++=21. （12）二、填空题：题号 1314 1516答案6-400π 4(12)+部分题目解析：(14) 由112n n n n a a a a ++=-得1112n n a a +-=，故数列1{}n a 是112a =，公差2d =的等差数列122(1)2n n n a =+-=，故8116a =. （15）依题意知△ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为152AC =，设三棱锥O-ABC 的高为h ，则由116840332h ⨯⨯⨯=得53h =，设球O 的半径为R ，则由2225h R +=得10R =， 故该球的表面积为400π.（16）易得点(6,0)F ,△APF 的周长l =||||||AF AP PF ++||2|'|||AF a PF AP =+++，要△APF 的周长最小，只需 |||'|AP PF +最小，如图，当A 、P 、F 三点共线时取到，故l 2||24(12)AF a =+=+. 三、解答题：(17)解：（Ⅰ）∵12z z =∴2sin sin 12cos cos A C A C =+----①,4a c +=----② --------------------------------2分由①得2(cos cos sin sin )1A C A C -=- 即1cos()cos()cos 2A CB B π+=-=-=-----------③ -----------------------------------4分∴1cos 2B =,∵0B π<< ∴EDB 1C 1A 1BCA3B π=-------------------------------------------------------------6分(Ⅱ) ∵22b =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⇒228a c ac +-=,--④-------------------------------------------------------------------------------8分由②得22216a c ac ++=------------⑤ 由④⑤得83ac =， -------------------------------------------------------------------------------------10分∴1sin 2ABC S ac B ∆==1832323⨯⨯=.-------------------------------------------------------12分 （18）解：（Ⅰ）连结ED ，----------------------------------------------------------------------------------1分∵平面AB 1C ∩平面A 1BD=ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED，----------------------------------------------------------------------------------------------3分 ∵E 为AB 1中点，∴D 为AC 中点，∵AB=BC ， ∴BD ⊥AC ①， -------------------------------4分 法一：由A 1A ⊥平面ABC ，⊂BD 平面ABC ，得A 1A ⊥BD ②， 由①②及A 1A 、AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线，得BD ⊥平面11ACC A .-------------------------------------------6分 【法二:由A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面11ACC A∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，又平面11ACC A I 平面ABC=AC ，得BD ⊥平面11ACC A .】 （Ⅱ）由1AB =得BC=BB 1=1，由（Ⅰ）知AC DA 21=，又1=⋅DA AC 得22AC =,----------------------------------------8分∵2222BC AB AC +==，∴BC AB ⊥，---------------------------------------------------10分 ∴1122ABC S AB BC ∆=⋅= ∴11111113326A BCB ABC V S BB -∆=⋅=⨯⨯=.---------------------------------------------------------12分其它解法请参照给分．1701105(日泄流量）x1210901206030频率组距（19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=------------------------------------------------1分 31==73070⨯频率组距，-------------------------2分 设在区间[0，30）上，a =频率组距， 则130)21011051701(=⨯+++a ， 解得2101=a ，----------------------------------------3分 补充频率分布直方图如右；--------------------------5分（Ⅱ）当日泄流量X ≥30（万立方米）时，小型发电机可以运行，则一年中一台小型发电机可运 行的天数为：136430364312210-⨯⨯=（天）；-----------------------------------------------------7分当日泄流量X ≥60（万立方米）时，中型发电机可以运行，则一年中一台中型发电机可运行 的天数为：11()30364156105210+⨯⨯=（天）；------------------------------------------------------9分①若运行一台小型发电机，则一年的日均利润值为：11(312400052500)33573647⨯⨯-⨯=（或723500）（元）------------------------------10分②若运行一台中型发电机，则一年的日均利润值为：14(15610000208800)38283647⨯⨯-⨯=（或726800）（元）----------------------------11分 因为413828335777>，故为使水电站一年的日均利润值最大，应安装中型发电机．----12分 （20）解：（Ⅰ）由22=a c 得22222a c a b =-=，又22=b ，解得2=a ，故椭圆的标准方程为22142x y +=.--------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设()()1122,,,M x y N x y ,则由2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r，得0120122,2x x x y y y =+=+----------------------------------------------------------------------6分又点,M N 在椭圆22142x y +=上，∴2222112224,24x y x y +=+=设,OM ON k k 分别为直线,OM ON 的斜率，由题意知，212121-==⋅x x y y k k ON OM ，∴12122=0x x y y +，---------------------------------------------------8分222222000012122(2)2(2)4244x y x y x x y y ++++∴+=== 222211221212(2)4(2)4(2)20544x y x y x x y y ++++⋅+⋅==--------------------------------------11分 因此，存在常数5,λ=使得P点在椭圆22542x y +=上． ------------------------------------------12分 （21）解：（Ⅰ）由题意知：对∈∀x ],1[e e ，01)('≤+-=x e a x f x， 即xe a x ≥，对∈∀x ],1[e e恒成立，-----------------------------------------------------------------1分令2(1)(),()x xe x e g x g x x x -'==，当01x <<时，()0,g x '<当1x >时，()0,g x '>所以函数()g x 在)1,1[e上单调递减，在],1(e 上单调递增，----------3分由e e eg 11)1(+=，1)(-=e e e g ，ee e e 111+->，得区间],1[e e 上1max )(-=e e x g ， 所以1-≥e e a ． ------------------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：1().xx x x xe a a e ax xf x e x xe e --'=-+==Q ----------------------------------------------6分 令2(1)(),()x xe x e g x g x x x -'==-------------------------------------------------------------------------7分且当01x <<时，()0,g x '<当1x >时，()0,g x '>所以函数()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，-----------------------------------------8分min ()(1)g x g e ∴==，当a e ≤时，()g x a ≥恒成立，()0.f x '∴≥函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增，()f x 无极值点----------------------------------------------9分当a e >时，min ()(1)g x g e a ==<，故存在1(0,1)x ∈和2(1,)x ∈+∞，使得12()()g x g x a == 当10x x <<时，()0,f x '>当12x x x <<时，()0,f x '<当2x x >时，()0,f x '>所以函数()f x 在12(,)x x 单调递减，在1(0,)x 和2(,)x +∞单调递增，所以1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点.--------------------------------11分综上可知：当a e ≤时，函数()f x 无极值点当a e >时，函数()f x 有两个极值点----------------------------------------------------------------12分【解法二：x x xe ax e x f -=)(')0(>x ，---------------------------------------------------------------------6分设ax e x h x -=)()0(>x ，则a e x h x -=)('，由0>x 得1>x e ，(1)当1≤a 时，0)('>x h ，)(x h 递增，1)0()(=>h x h ，得0)('>x f ，)(x f 递增，()f x 在区间(0,)+∞内无极值点；--------------------------------7分(2)当1>a 时，由0)('>-=a e x h x得a x ln >，可知)(x h 在)ln ,0(a 内递减，在),(ln ∞+a 内递增，所以)ln 1()(ln )(min a a a h x h -==， ①当e a ≤<1时，0)()(min ≥≥x h x h ，得0)('>x f ，)(x f 递增，()f x 在区间(0,)+∞内无极值点；--------------------------------9分②当e a >时，0)(min <x h ，又0)0(>h ，x 很大时0)(>x h ，所以存在∈1x )ln ,0(a ，),(ln 2∞+∈a x ，使得0)(1=x h ，0)(2=x h ，即0)('1=x f ，0)('2=x f ，可知在21,x x 两边)('x f 的符号相反，所以函数()f x 有两个极值点21,x x ，--------------------------------------------------------------11分综上可知：当a e ≤时，函数()f x 无极值点当a e >时，函数()f x 有两个极值点--------------------------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（I ）曲线C 的普通方程为222(1)(1)2x y ++-=，--------------------------------------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；---------------------------------------5分（II ）解法1：联立αθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得22(cos sin )20ρραα+--=，------------------------------------------------------------------6分设),(1αρA 、),(2αρB ，则)4sin(22)cos (sin 221παααρρ-=-=+--------------8分由|2|||21ρρ+=OM ， 得2|)4sin(|2||≤-=παOM ，---------------------------------9分当34πα=时，|OM |取最大值2．----------------------------------------------------------------10分【解法2：由（I ）知曲线C 是以点P (1,1)-为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线l 的方程为x y ⋅=αtan ，则||PM =，---------------------------------------------------6分 ∵2222||||||2OM OP PM =-=-22tan 11tan αα=-+，-----------------------------8分 当(,)2παπ∈时，tan 0α<，21tan 2|tan |αα+≥，222|tan |||121tan OM αα=+≤+，当且仅当tan 1α=-，即34πα=时取等号，∴||OM ≤,即||OM 的最大值为2．-----------------------------------------------------------10分】（23）解：（I ）当1a =时，不等式|()||()|3f x f x x +-≥即|1||1|3x x x -++≥当1x ≤-时，得113x x x ---≥0x ⇒≤，∴1x ≤------------------------------------------1分当11x -<<时，得113x x x -++≥23x ⇒≤，∴213x -<≤ -----------------------------2分当1x ≥时，得113x x x -++≥0x ⇒≤，与1x ≥矛盾，-------------------------------------3分综上得原不等式的解集为2{|1}{|1}3x x x x ≤--<≤U =2{|}3x x ≤------------------------5分 （II ）|)1(||)(|22x x a x x f +-=+|||)1(|2x x a +-≤-----------------------------------------------6分∵1||≤a ，1||≤x∴2|()|f x x +||)1(||2x x a +-≤||12x x +-≤-------------------------------------------------7分4545)21|(|1||||22≤+--=++-=x x x ， ----------------------------------------------------9分 当21||=x 时取“=”，得证． -----------------------------------------------------------------------10分。
广东省揭阳市高考数学一模试题 文
揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh=．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B U 中元素的个数为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a -=(0)a >的离心率为A.B. C.2D.5．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==r r （-），若a b ⊥r r ，则tan α的值为A. 2-B. 2C.12D. 12-6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为 A. 4xy = B.4log y x = C.2xy = 1()xy =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为 A.8 B.12 C.20 D.30 8．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为 图1A. 14B.5C. 3D. 79．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a a b b a b ≥⎧⎨<⎩. 则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =-- ③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 3A =，则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，FEACB3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数40120160200 若11a =，则333121010()()()1()3f a f a f a +++=-L ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF 分别为钝角 △ABC 的两条高，已知1,AE =3,42,AB CF ==则BC 边的长为 ． 图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值. 17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图； （2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图4 18．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===o， 6AB =，AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF I 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分) 已知nS 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求证：1211113n S S S +++<L ． 20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x=--在区间(0,1)上为减函数，求a的取值范围；证明：11sin ln(1)1nknk=<++∑．揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B. 二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.；13. 3；14..解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又f f f +++L 101011210(1)3(1)1a q a a a q q -=+++==--L ，所以1031()3=-.15．依题意得BE =，因△BEA ∽△CFA 得AE BE ABAF FC AC ==,所以2,AF =6,AC =BC ==．三、解答题：16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=-----------------------3分 ∵(0,)8πα∈，∴5π2(, )6612ππα+∈， --------------------------------------------4分∴πcos(2)63α+==-----------------------------------------6分∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分 23116132326=⋅+⋅=----------------------------------------------------12分17．解：（1）---4分 ----8分(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------------11分故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分 18.解：（1）证明：Q AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD AB CD ∴⊥，----------------1分 又BC CD ⊥， AB BC B =I ， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分 又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2）Q CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF I 平面BCD l = ∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD∴AEF ACD ∆∆:------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅11611642=⨯⨯⨯=------------------14分由（1）知EF ⊥平面ABC ，∴F EBC F BCDV V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分1611166113423228=⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分]19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n=+-=-------------8分（3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分11111()3(1)31n S n n n n ==-++Q--------------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+L L 111(1)313n =-<+，命题得证．---------------------------------------------------------------------14分 20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=---u u u u r u u u r --------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=u u u u r u u u r --------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x >∴11'()1x F x x x -=-=，---------------------------------------------------------1分令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分∴函数()F x 在1x =处有极小值， ∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分 当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a ≥-在(0,1)上恒成立，设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=，∴11a≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分] （3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x⇒->1sin(1)lnx x ⇒-<，------------------------②----------------10分∵对k N *∀∈有(0,1)1kk ∈+，- 11 - 在②式中令1kx k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k +-=<++，--------------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n ++++<++++L L341ln(2)ln(1)23n n n +=⋅⋅⋅=+L ， 即11sin ln(1)1n k n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启用前揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号. 用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑.2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{|2}A x y x ==-，2{|20}B x x x =-<，则A ∩B =（A ）(0,2] （B ）(0,2) （C ）(,2]-∞ （D ）(2,)+∞（2）复数131iz i -=-在复平面上所对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）设)(x f 是定义在R 上的函数,则“)(x f 不是奇函数”的充要条件是（A ）,()()x R f x f x ∀∈-≠-（B ）,()()x R f x f x ∀∈-≠（C ）000,()()x R f x f x ∃∈-≠- （D ）000,()()x R f x f x ∃∈-≠ （4）若2cos()3cos 3πθθ-=，则tan θ=(A)23 (B)32 (C)33- (D)233（5）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的 时间，为此进行了4次试验，收集数据如右表示：根据右表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为（A ）63.6 min （B ）65.5 min （C ）67.7 min （D ）72.0 min （6）已知函数()f x 是周期为2的奇函数，当[)0,1x ∈时，()()lg 1f x x =+，则2016()lg185f += (A)1 (B)2 (C)5 (D)10零件数x (个) 2 3 4 5加工时间y (min)26 39 49 54（7） 记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω，若在区域1Ω内任取一点，则该点落在区域2Ω的概率为 (A)14 (B)1π(C)12π (D)24ππ- （8）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +++=相切，且圆C 的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= （B ）22145x y -= （C ）22136x y -= （D ）22163x y -= （9）已知不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为D ，直线:3l y x m =+不经过区域D ，则实数m 的取值范围是（A ）[]3,1- （B ）[]3,3- （C ）()(),31,-∞-+∞ （D ）()(),33,-∞-+∞（10）已知角ϕ的终边经过点()1,1P ，函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭(A)22-(B)22 (C)32- (D)32（11）已知球O 表面上有三个点A 、B 、C 满足3AB BC CA ===，球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的一半，则球O 的表面积为(A)4π (B)8π (C)12π (D)16π（12）在直角坐标平面上，已知点(02),(0,1),(,0)A B D t ，(0)t >,M 为线段AD 上的动点，若||2||AM BM ≤恒成立，则实数t 的取值范围为(A) 23[,)3+∞ (B) 3[,)3+∞ (C) 23(0,]3(D) 4(0,)3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量,a b 的夹角为34π，且2a = ，2b = ，则()2a a b ⋅-= ．（14）如图1所示的流程图，输入正实数x 后，若输出4i =，那么输入的x 的取值范围是 ．图 1（15）已知某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是 ． （16）已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，且△ABC 的面积为3，则AC 边的最小值 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1232n n S a =-，*n N ∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设312log 2n n b a =+，求证：1223111112n n b b b b b b ++++< ． （18）（本小题满分12分）某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图3所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意，(Ⅰ)根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得2 3.7781K =，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？不满意 满意 合计 男 4 7 女 合计附：P (K 2≥k )0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.635(Ⅱ) 估计用户对该公司的产品“满意”的概率；(Ⅲ) 该公司为对客户做进一步的调查，从上述对其产品满意的用户中再随机选取2人，求这两人都是男用户或都是女用户的概率. （19）（本小题满分12分）如图4所示，在矩形ABCD 中， 2BC AB =，E 为线段AD 的中点， F 是BE 的中点，将ABE ∆沿直线BE 翻折成A BE '∆，使得A F CD '⊥，（Ⅰ）求证：平面A BE '⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若四棱锥A BCDE '-的体积为22，求点F 到平面A DE '的距离． （20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>的焦距为22,且点(03)P ，3 3 4 6 8 5 1 3 6 4 6 2 4 5 5 1 7 3 3 5 6 9 8 3 2 1 图3开始 输入x i =0 j =10 j <19?i =i +1j = j +x 结束是 否 输出i图6O CDE F P B A 在1C 上．（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆1C 切于A 点，与抛物线22:2C x y =切于B 点，求直线l 的方程和线段AB 的长．（21）（本小题满分12分）已知函数21()2ln 2f x x x x =+-． (Ⅰ)求函数()f x 的最小值；(Ⅱ)证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有不等式2(1)()2ln 3x x e x x ---+<恒成立． 请考生在第（22）（23）（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图5,圆O 的直径10AB =，P 是AB 延长线上一点，BP =2 , 割线PCD 交圆O 于点C ，D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC于点E ，交直线AD 于点F . (Ⅰ) 当=60PEC ∠时，求PDF ∠的度数； (Ⅱ) 求PE PF ⋅的值. （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2213x y +=的左焦点1F ，且交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）.（Ⅰ）求点C 对应的参数C t （用θ表示）；（Ⅱ）若1FB AC =，求直线l 的倾斜角θ的值． （24）(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设a R ∈，()()1f x x a a x =-+-. （I ）解关于a 的不等式()20f <；（II ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．图5揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BBCDBA CADBDA解析：12解法一：设(,)M x y ，由||2||AM BM ≤得22222()()33x y +-≥，即点M 恒在圆22222()()33x y +-=的外部（含圆周）上，故当线段AD 与圆相切时，t 取最小值，∵:12x yAD t += ∴由22|2|2233334t t t t-=⇒=+.答案A. 解法二：由||2||AM BM ≤可得sin ||2,sin ||ABM AM BAD BM ∠=≤∠2sin 2sin 24tABM BAD t ∴∠≤∠=⋅+恒成立，故2124tt ≤⋅+，解得233t ≥解法三：设,(,12),AM AD BM AM AB t λλλ=∴=-=-由||2||AM BM ≤恒成立 可得2222222||4||,(4)4[(12)]AM BM t t λλλ≤∴+≤+-化简得22(312)1640t λλ+-+≥221616(312)0t ∴∆=-+≤，解得233t ≥二、填空题：13.6；14.934x ≤<；15.48；16.2. 解析：16.∵A 、B 、C 成等差数列，∴2A C B +=，又A B C π++=，∴3B π=，由1sin 32ABC S ac B ∆==得4ac =，∵2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-，及222a c ac +≥，∴24b ac ≥=，2b ≥，∴b 的最小值为2.三、解答题：17．解：（1）当1n =时，111232S a =-，即111232a a =-，112a =；------------------1分当2n ≥时，由1232n n S a =-，得111232n n S a --=-，两式相减， 得1233n n n a a a -=-，即13nn a a -=，-------------------------------------------------4分 数列{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列，1132n n a -=⋅；---------------------6分 （2）证明：∵312log 221n n b a n =+=-，-----------------------------------------8分 ∴()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴12231111111111123352121n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭-------------------10分 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．----------------------------------12分 18．解：（Ⅰ） -----------------------------2分∵23.7781K ≈<3.84 1，∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关。