人教版高中数学选修4-4：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介含解析
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
最新人教版高中数学选修4-4《极坐标系》教材梳理
最新⼈教版⾼中数学选修4-4《极坐标系》教材梳理庖丁巧解⽜知识·巧学⼀、极坐标系的概念1.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常⽤距离和⽅向来表⽰⼀点的位置.⽤距离和⽅向表⽰平⾯上⼀点的位置，就是极坐标.极坐标系的建⽴：在平⾯内取⼀个定点O ，叫做极点.引⼀条射线Ox ，叫做极轴.再选定⼀个长度单位和⾓度正⽅向（通常取逆时针⽅向）.这样就建⽴了⼀个极坐标系.2.如图1-2-3，极坐标系内⼀点的极坐标的规定：对于平⾯上任意⼀点M ，⽤ρ表⽰线段OM 的长度，⽤θ表⽰从Ox 到OM 的⾓度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极⾓，有序数对(ρ,θ)就叫做M 的极坐标.图1-2-3深化升华极点、极轴、长度单位、⾓度单位和它的正⽅向，构成了极坐标系的四要素，缺⼀不可.1.特别规定：当M 在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值.2.平⾯上⼀点的极坐标是不唯⼀的，有⽆数种表⽰⽅法.坐标不唯⼀是由极⾓引起的.不同的极坐标可以写出统⼀表达式.⼆、极坐标和直⾓坐标的互化1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.互化公式??≠=+===.0,t an ,,sin ,co s 222x x y y x y x θρθρθρ在进⾏两种坐标间的互化时,应注意以下⼏点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直⾓坐标求极坐标时,理论上不是唯⼀的,但这⾥约定只在主值范围内求值;③由直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程,最后要化简;④由极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程时要注意变形的等价性,通常总要⽤ρ去乘⽅程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形.问题·探究问题1 平⾯内建⽴直⾓坐标系是⼈们公认的最容易接受并且被经常采⽤的⽅法，但为什么它并不是确定点的位置的唯⼀⽅法，为什么要使⽤极坐标?探究:确定平⾯内⼀个点的位置时，有时是依靠⽔平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与⽅位⾓（即“长度”与“⾓度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚⾄更贴近⽣活的如⼈听声⾳，不但有⾼低之分,还有⽅向之分.描述⼀个⼈所⾛的⽅向和路程，经常会这样说：从A 点出发向北偏东60°⽅向⾛了⼀段距离到B 点，再从B 点向南偏西15°⽅向⾏⾛……描述某飞机的位置：飞⾏⾼度1 200⽶，从飞机上看地平⾯控制点B 的俯⾓α=16°31′……这种位置的刻画能够给⼈⼀个很直观的形象.⽣活中除了应⽤这两种坐标系外,还应⽤地理坐标系，它实际上能称为真实世界的坐标系了.它能确定物体在地球上的位置.最常⽤的地理坐标系是经纬度坐标系，这个坐标系可以确定地球上任何⼀点的位置.另外,从⼏何上来说,有些复杂的曲线，⽐如说环绕⼀点做旋转运动的点的轨迹，⽤直⾓坐标表⽰，形式极其复杂，但⽤极坐标表⽰，就变得⼗分简单且便于处理.在应⽤上有重要价值的等速螺线，它的直⾓坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有⼀个简单的⼀次函数关系ρ＝ρ0＋aθ(a≠0)，从⽽可以看出ρ的值是随着θ的增加（或减少）⽽增加（或减少）的.总之，使⽤极坐标是⼈们⽣产⽣活的需要.平⾯内建⽴直⾓坐标系是⼈们公认的最容易接受并且被经常采⽤的⽅法，但它并不是确定点的位置的唯⼀⽅法.问题2 ⽤极坐标与直⾓坐标来表⽰点时，⼆者究竟有哪些相同和不同呢？探究:极坐标系是⽤距离和⾓来表⽰平⾯上的点的位置的坐标系，它由极点O 与极轴Ox 组成.对于平⾯内任⼀点P ，若设|OP|=ρ(≥0)，以Ox 为始边，OP 为终边的⾓为θ，则点P 可⽤有序数对(ρ,θ)表⽰.直⾓坐标是⽤两个长度来度量的，直⾓坐标系是在数轴的基础上发展起来的，⾸先定义原点，接着⽤两条互相垂直的直线分别构成x 轴和y 轴.点的位置⽤有序数对(x,y)来表⽰.在平⾯直⾓坐标系内，点与有序实数对,即坐标（x ，y ）是⼀⼀对应的，可是在极坐标系内，虽然⼀个有序实数对（ρ,θ）只能与⼀个点P 对应，但⼀个点P 却可以与⽆数多个有序实数对（ρ，θ）对应.也就是说平⾯上⼀点的极坐标是不唯⼀的.极坐标系中的点与有序实数对极坐标(ρ,θ)不是⼀⼀对应的.典题·热题例1设有⼀颗彗星，围绕地球沿⼀抛物线轨道运⾏，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30（万千⽶）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹⾓为30°，试建⽴适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.思路分析：如图1-2-4所⽰，建⽴极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：图1-2-4（1）当θ=30°时,ρ=30（万千⽶）;（2）当θ=150°时,ρ=30（万千⽶）;(3)当θ=210°时,ρ=30(万千⽶);(4)当θ=330°时,ρ=30(万千⽶).解：彗星此时的极坐标有四种情形：(30,30°),(30,150°),(30,210°),(30,330°).误区警⽰彗星此时的极坐标是四个，不能忽略了夹⾓的概念.如果只找到了⼀个极坐标，这是三⾓概念不清.例2极坐标与直⾓坐标的互化：（1）化点M 的直⾓坐标（-3，4）为极坐标；（2）化点M 的极坐标（-2，6π-）为直⾓坐标.思路分析：本题利⽤直⾓坐标与极坐标之间的互化公式，化极坐标时，需要找到点所对应的极径,极⾓；将极坐标化为直⾓坐标，直接根据公式可得到横,纵坐标.解：（1）∵ρ=22224)3(+-=+y x =5，tanθ=34-=x y , ⼜∵x<0,y>0，∴θ是第⼆象限⾓.∴θ=π-arctan 34. ∴点M 的极坐标为（5，π-arctan34）. （2）x=2cos(6π-)=3-，y=-2sin(65π-)=1，∴点M 的直⾓坐标为（3-，1）.深化升华（1）化点的直⾓坐标为极坐标时，⼀般取ρ≥0,0≤θ<2π，即θ取最⼩正⾓,由tanθ=xy 求θ时，还需结合点(x,y)所在的象限来确定θ的值. （2）化点的极坐标为直⾓坐标时，直接⽤互化公式?==,sin ,cos θρθρy x 例3在极坐标系中，A(4,9π),B(1,185π),则△OAB 的⾯积是__________. 思路解析：如图1-2-5所⽰,∠AOB=185π-9π=6π，图1-2-5S △AOB =21·|AO|·|BO|·sin ∠AOB=21·4·1·sin 6π=1. 答案：1⽅法归纳既然是求⾯积,那么就要明确所⽤到的⾯积公式不是⼀般的底乘⾼的⾯积公式,⽽是正弦定理的⾯积公式.例4已知两点的极坐标A(3,2π)、B(3,6π)，则|AB|=______，AB 与极轴正⽅向所夹的⾓为____.图1-2-6思路解析：如图1-2-6所⽰，根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=60°，即△AOB 为正三⾓形.答案：3,65π⽅法归纳在坐标系中找到点的位置后，利⽤数形结合的⽅法可求出距离来.例5在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A(2,4π)、B(2,45π),那么顶点C 的坐标可能是( )A.(4,43π)B.(32,43π) C.(32,π) D.(3,π)思路解析：如图1-2-7，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点.图1-2-7⼜|AB|=4，△ABC 为正三⾓形，|OC|=32，∠AOC=2π，C 对应的极⾓θ=4π+2π=43π或θ=4π-2π=4π-，即C 点极坐标为(32,43π)或(32,4π-). 答案：B深化升华在找点的极坐标时，把图形画出来，通过画图解决问题.例6(1)θ=43π的直⾓坐标⽅程是______； (2)极坐标⽅程ρ=sinθ+2cosθ所表⽰的曲线是______. 思路解析：(1)根据极坐标的定义，∵t anθ=xy ，∴tan 43π=x y ，即y=-x. (2)将极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程即可判断曲线的形状，因为给定的ρ不恒等于零，⽤ρ同乘⽅程的两边得ρ2=ρsinθ+2ρcosθ.化成直⾓坐标⽅程为x 2+y 2=y+2x,即(x-1)2+(y-21)2=45，这是以点(1,21)为圆⼼，半径为25的圆. 答案：(1)y=-x (2)以点(1,21)为圆⼼，半径为25的圆+++++++++++ ⽅法归纳当极坐标⽅程中含有sinθ、cosθ时，可将⽅程两边同乘以ρ，凑成含有ρsinθ、ρcosθ的项，然后再代⼊互化公式便可化为直⾓坐标⽅程，此法称为拼凑法.。
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
新人教A版高二数学选修4-4第一章坐标系 1.4 柱坐标系与球坐标系_1
Q
叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，
其中 r 0, 0 , 0 2
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
s
in
z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
1 cos
1 sin
1 z
解得ρ=
2，θ=
4
点在柱坐标系中的坐标为
（ 2 ， ，1）.
4
注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致
给定一个底面半径为r，高为h的圆 柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述 圆柱侧面以及底面上点的位置.
z
注：坐标与点的位置有关 o
x
y
练习：
1、设点M的直角坐标是(1, 3,3),则它的柱 坐标是？
(2, 4 ,3)
3
2、设点M的柱坐标为(2, ,7),求它的直角坐标。
6
( 3,1,7)
阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标 系中点的确定
z 设P是空间任意一点，
P(r,φ,θ)
在oxy平面的射影为Q， 连接OP，记| OP |=r，
阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用 柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ,θ)(ρ≥0,
0≤θ＜2π)表示点Q o 在平面oxy上的极坐标， θ
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
人教版高中数学选修4-4教材用书第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介 2.球坐标系 Word版含答案
．球坐标系球坐标系()定义：建立空间直角坐标系，设是空间任意一点，连接，记＝，与轴正向所夹的角为φ.设在平面上的射影为，轴按逆时针方向旋转到时所转过的最小正角为θ.这样点的位置，)φ就可以用有序数组表示．这样，空间的点与有序数组(，θ之间建立了一种(θ)φ，，对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(，φ，，θ)φθ)叫做点的球坐标，记作(，，其中θ≥π.≤＜≤φ≤π，()空间点的直角坐标(，，)与球坐标(，φ，θ)之间的变换关系为(\\(＝φθ，＝φθ，＝φ.))直接套用变换公式求解．由变换公式，得＝φθ＝＝.＝φθ＝＝.＝φ＝＝－.∴它的直角坐标为(，－)．已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.．求下列各点的直角坐标：()；().解：()由变换公式，得＝φθ＝＝，＝φθ＝＝，＝φ＝＝.∴它的直角坐标是.()由变换公式，得＝φθ＝＝－.＝φθ＝＝－.＝φ＝＝－.∴它的直角坐标为.．将点的球坐标(π，π，π)化成直角坐标．解：∵(，φ，θ)＝(π，π，π)，∴＝φθ＝，＝φθ＝，＝φ＝－π.∴点的直角坐标为(，－π).直接套用坐标变换公式求解．由坐标变换公式，可得＝＝＝.由φ＝＝，得φ＝＝，φ＝.又θ＝＝，θ＝(在第一象限)，从而知点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点的球坐标为(，φ，θ)，再利用变换公式(\\(＝φθ，＝φθ，＝φ，))求出，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用＝＋＋，θ＝，φ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．．求下列各点的球坐标：()(，，)；()(－，－)．解：()＝＝＝，由＝φ，得φ＝＝＝.∴φ＝，又θ＝＝＝，>，>，。
高中数学选修4-4知识点(坐标系与参数方程)
这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引 入参数，也可把普通方程化为参数方程． 2．圆的参数方程
1．圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的参数方程 如图圆 O 与 x 轴正半轴交点 M0(r，0)．
α α (t
为参数)
称为直线参数方程的标准形式，此时的参数 t 有明确的几何意义．
一般地，过点 M0(x0，y0)，斜率 k＝ba(a，b 为常数)的直线，参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt(t 为参
数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数 t 不具有标准式中参数的几何意义． 四 渐开线与摆线（了解）
x＝rsin φcos θ (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为y＝rsin φsin θ ．
z＝rcos φ
第二讲：
第4页
一 曲线的参数方程
1．参数方程的概念 1．参数方程的概念
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变
2．参数方程与普通方程的区别与联系 (1)区别：普通方程 F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，它含有
x，y 两个变量；参数方程xy＝ ＝fg（（tt））(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，
它含有三个变量 t，x，y，其中 x 和 y 都是参数 t 的函数． (2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一
就可得到普通方程． (3)普通方程化参数方程，首先确定变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，
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第一讲 坐标系
四、柱坐标系与球坐标系简介
A 级 基础巩固
一、选择题
1．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的柱坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π6，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，－2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，－π6，－2 解析：ρ＝（3）2＋12＝2，tan θ＝
13＝33，θ＝π6，所以点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π6，－2. 答案：C
2．已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，π3，π6，则它的直角坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，π3，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，32 解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，
因为点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，π3，π6， 所以x ＝1·sin π3cos π6＝34
， y ＝1·sin π3sin π6＝34
， z ＝1·cos π3＝12
. 所以M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，34，12. 答案：B
3．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点Q 的球坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A ．点P(5，1，1)，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫364
，324，62 B ．点P(1，1，5)，点Q ⎝
⎛⎭⎪⎫364，324，62 C ．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫364
，324，62，点Q(1，1，5) D ．点P(1，1，5)，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫62
，364，324 答案：B
4．在空间直角坐标系中的点M(x ，y ，z)，若它的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，π3，3，则它的球坐标为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π3，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，π3 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，π4，π3 解析：因为M 点的柱坐标为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，π3，3，设点M 的直角坐标为(x ，y ，z)． 所以x ＝3cos π3＝32，y ＝3sin π3＝332
，z ＝3， 所以M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，332，3. 设点M 的球坐标为(γ，φ，θ)．
γ是球面的半径，φ为向量OM 在xOy 面上投影到x 正方向夹角，θ为向量OM 与z 轴正方向夹角．
所以r ＝ 94＋274＋9＝32，容易知道φ＝π3
，同时结合点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，3，
可知cos θ＝z γ＝332＝22
， 所以θ＝π4
， 所以M 点的球坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫32，π3，π4. 答案：B
5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z 轴的对称点的柱坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，3π4，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，2[来源:] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π4，2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，7π4，2 解析：(2，2，2)关于z 轴的对称点为(－2，－2，2)，[来源:学科网]
则ρ＝（－2）2＋（－2）2
＝22，tan θ＝y x ＝－2－2＝1， 因为点(－2，－2)在平面Oxy 的第三象限内， 所以θ＝5π4
， 所以所求柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，5π4，2. 答案：C
二、填空题
6．已知点M 的球坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．
答案：(－2，2，22) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，3π4，22 7．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，2π3，5，且点M 在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析：设点M 在平面xOy 上的射影为P ，连接PN ，则PN 为线段MN 在平面xOy 上的射影．
因为MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面xOy ，。