【北师大版初三数学】第1讲：三角形的证明-教案

知识讲解：1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）与直角三角形有关的结论：勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)（3）与一般三角形有关的结论：在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．2．命题的逆命题及其真假：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．3．尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线．课堂练习：考点一：等腰三角形【例题】 1、【14外国语期中】等腰三角形的一边为5另一边为9，这这个三角形的周长为（）A．19 B.23 C .14 D.19或232、【14外国语月考】等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（）A．有一个内角是600 B.有一个外角是1200C．有两个角相等 D.腰与底边相等3、【经开一中月考】将两个全等的有一个角为３００的直角三角形拼成如图所示，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１4、【14外国语月考】腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为。

5、【经开一中月考】一个等腰三角形有一角是７００，则其余两角分别为。

6、【经开一中月考】等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是 cm.7、【经开一中月考】已知：如图ＡＢ＝ＡＣ，DE∥AC求证：△ＤＢＥ是等腰三角形。

8、【14外国语月考】如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD 下方作等边△CDE，连结BE。

（1）求证：AD＝BE（2）延长ＢＥ至Ｑ，Ｐ为BQ 上一点，连结CP 、CQ 使CP=CQ=10，若ＢＣ＝１６时，求ＰＱ的长。

9、【外国语月考】如图8，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ． （1）求证：AE=BC ；（2）如图8（2），过点E 作EF ∥BD 交AB 于F,将△AEF 绕点A 逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到△AE'F'，连结CE',BF'，求证：CE'=BF'；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE'∥AB ？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由【答案】1、D2.C3.B4.7052或5.700,400或550，5506.2221或 7.证明：∵ＡＢ＝ＡＣ ∴∠B=∠C ∵DE ∥AC ∴∠C=∠DEB ∴∠B=∠DEB∴△ＤＢＥ是等腰三角形8、（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE(2)129.【练习】1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个A 36° E DFBC2.等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对3.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ． .12B ．.15 C ．.12或15D ． .184、(2013年武汉)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（ ）A ．18°B ．24°C ．30°D ．36° 5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1，），M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为（ ）A .4 B.5 C.6 D.86.如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD=CE ，∠D=74°，则∠B 的度数为（ ）A ．68° B ．32° C ． 22°D ．16°A ． 80°B ． 80°或20°C ． 80°或50°D ．20° 为边长的等腰三角形的周长为 ．9.已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE=CD=1，连接DE ，则DE= ．10.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 ．11. 如图，AB C ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，，则1∠的度数是________。

CA1DB2312.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。

求证：M是BE的中点。

AD1B MC E13、（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= 2 ，CB= +1 ．【答案】1.C。

2. B 3.B 4.A 5.C 6.B 7.B8.5 9.10. 6，4或5，5 11.75012.证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点所以∠1＝21∠ABC又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）答：13.（1）如图（2）：AB﹣BD=CB．证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AB﹣AE，∴BE=AB﹣BD，∴AB﹣BD=CB．如图（3）：BD﹣AB=CB．证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE﹣AB，∴BE=BD﹣AB，∴BD﹣AB=CB．（2）如图（1），过点B作BH⊥CD于点H，∵∠ABC=45°，DB⊥MN，∴∠CBD=135°，∵∠BCD=30°，∴∠CBH=60°，∴∠DBH=75°，∴∠D=15°，∴BH=B D•sin45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BH=BD=×=1，∵∠BCD=30°∴CD=2DH=2，∴CH==，∴CB=CH+BH=+1；考点二：直角三角形【例题】1．【2013-2014经开一中月考】如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（）2.【2013-2014郑东新区外国语月考】如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是______cm23.【2012-2013省实验月考】如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，求AE的长．4.【2011-2012省实验月考】如图，ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E,F 分别为AB,CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点'A 处，折痕交AE 于点G ，则∠ADG= ，EG=_______5.【2013-2014经开一中期中】如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A=30°，BD=1.5cm ，则AD=________cm ．6.【2013-2014经开一中期中】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ．直线l 经过点C （点A 、B 都在直线l 的同侧），AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为点D 、E ，你知道线段AD ，DE ，BE 的关系吗？证明你的结论7.【2013-2014郑东新区外国语期中】如图，在直角坐标系中，已知点A （-3，0），B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2013）的直角顶点的坐标是______8.【2012-2013省实验期中】如图，已知Rt ABC ∆中，090=∠ACB ,以斜边AB 为边向外作正方形ABDE,且正方形的对角线交于点O ，连接OC,已知AC=5，OC=26,则另一直角边BC 的长为______.【答案】1.AD=10．2. （cm2）3.解：如图，延长AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，又点E是CD的中点，∵DE=CE．∵在△AED与△FEC中，，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE=FE，AD=FC．∵AD=5，BC=10．∴BF=5在Rt△ABF中，，∴AE=6.5．4.答案：15°，错误!未找到引用源。