2019年重庆南开中学高 高二(下)期末考试数学试题(理)及答案
重庆市南开中学高2019届高三数学(理)测试题(2019.03.10)(解析版)
重庆市南开中学高2019届高三数学（理）测试题（2019.03.10）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：图中阴影部分表示的集合，由，则，则．故选：C．阴影部分用集合表示为，只要求出M、N进行集合的运算即可．正确理解集合M、N所表达的含义，以及真确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．2.设，则“”是“”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：，，，，推不出，是充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件．故选：B．先找出的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，；．故选：A．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，以及增函数的定义．4.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，，，的所在区间为．故选：B．据函数零点的判定定理，判断，，，的符号，即可求得结论．考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此题是基础题．5.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个对称中心是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数，，，把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，令，解得：，当时，函数的对称中心为故选：A．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n等于A. 22B. 23C. 20D. 21【答案】A【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余1，被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为，则A. 23B. 32C. 35D. 38【答案】C【解析】解：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为，则，解得，故选：C．由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为，则，解得即可．本题考查了等差数列的应用，属于基础题．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为．故选：D．根据三视图知该几何体是在圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是中档题．9.若平面向量满足，，，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意，可得：，．．．．则的最大值为．故选：D．本题可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，这样就能方便于计算，切记不要直接计算．本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点本题属中档题．10.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有1种，“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．故选：B．利用隔板法求出共计有种领法，由此能求出“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数，由此能求出甲领取的钱数不少于其他任何人的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.设，分别是椭圆：的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，分别是椭圆：的左、右焦点，，．直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，可得，则，解得可得：即：，．解得．故选：A．利用已知条件求出C与A的坐标，把A点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.若对于任意的实数t，函数在R上都是增函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在R上都是增函数，在R上恒成立，，，令，则，上，，上，，时，，的最小值为，，故选：A．利用在R上都是增函数，可得在R上恒成立，分离参数，再求出右边的最小值，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z满足是虚数单位，则复数z的共轭复数______．【答案】【解析】解：，．故答案为：．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.已知的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则______．【答案】2【解析】解：由二项式系数和为，得，又令，得各项系数和为，，．故答案为：2．先根据二项式系数的和为，列出方程求出n的值；在对二项式中的x赋值1列出关于a的方程求出a的值．本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查通过给变量赋值求二项展开式的各项系数和，这是解题的关键．15.已知定点，点的坐标满足，当为坐标原点的最小值是2时，实数a的值是______．【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分定点，点，，设，要使当为坐标原点的最小值是2时，即时，点P落在直线上，此时．作出不等式对应的平面区域，利用数量积将进行化简，然后根据图象平移确定a的值．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，，将绕直线BE、绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为______．【答案】【解析】解：AB不动，由于，故无论直线DF运动到那里，其与CD的夹角不变，与AB的夹角也不变为．若DF不动，AB转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时，若DF不动，可计算出两者的夹角是，若DF转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为，取到最大值．故答案为：两者同时动，则线线关系不易确定，可以先固定一个探究规律，再作出判断本题考查两异面直线所成的角，由于本题中两条线不固定，在同时变动的情况下，两线的位置关系变化不好确定，故本题采取了先固定一个，进行研究得出规律．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知中，，，．Ⅰ若，求CD的长；Ⅱ若，，求的值．【答案】本题满分为12分解：Ⅰ由，可得：，在中，由余弦定理可得：，解得：分由，可得：，在中，由正弦定理可知：，可得：，在中，由正弦定理可知：，可得：，故分【解析】Ⅰ由已知利用三角形面积公式可解得BD的值，根据余弦定理即可解得CD的值．由已知可得，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，即可计算得解的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某地区某农产品近几年的产量统计如表：根据表中数据，建立y关于t的线性回归方；根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，参考数据：，计算结果保留小数点后两位【答案】解由题意可知：，，，，又所以y关于t的线性回归方程为由可得，当年份为2019年时，年份代码，此时，所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为万吨．【解析】先计算出和，再代入公式可求得和，进而可得线性回归方程；将2019年的年份代码代入线性回归方程可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．19.如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．证明：直线平面PAB；点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．【答案】证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以，，，，是平行四边形，可得，平面PAB，平面PAB，直线平面PAB；解：四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设，则，，，直线BM与底面ABCD所成角为，可得：，，，可得：，，，作于Q，连接MQ，，所以就是二面角的平面角，，二面角的余弦值为：．【解析】取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A、B，过F与直线垂直的直线与椭圆交于C、D，与直线：交于P．求四边形ABCD面积的最小值；求证：直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．【答案】解：Ⅰ椭圆C：的离心率为，，，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．，，椭圆的方程为；Ⅱ斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程可得，，，四边形ABCD面积为；斜率不为0时，方程为，代入椭圆方程可得设，，则，，，同理，，，，，四边形ABCD面积的最小值为；的斜率存在时，则直线的方程为．令，则，．的斜率不存在时，由对称性知，．直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．【解析】Ⅰ椭圆C：的离心率为，可得，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，求出b，即可求椭圆C的方程；Ⅱ分类讨论，设出方程代入椭圆方程，利用基本不等式，即可求四边形ABCD面积的最小值；分类讨论，设出方程，证明，即可证明直线PA，PF，PB的斜率，，成等差数列．本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于难题．21.设函数，．当时，函数有两个极值点，求a的取值范围；若在点处的切线与x轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，．．令，．时，，在单调递增，不符合题意．时，令，，在上单调递增．令，，在上单调递减．令，．又，，且．时，有两个极值点．综上所述，在点处的切线与x轴平行，且，，且，，在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角即当时，恒成立，令，，设，，，，，在上单调递增，即在上单调递增，，当时，且时，，在上单调递增，成立，当，在单调递增，，，存在有，当时，，单调递减，，不恒成立；实数a的取值范围为【解析】先求导，再分类讨论，利用导数判断函数的单调性，即可求出判断函数的极值点的情况，即可求出a的范围；先根据导数的几何意义求出，再根据函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，可得恒成立，构造函数，利用导数，即可求出a的范围本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，训练了利用分离变量求参数的取值范围，考查了学生的运算能力，在分类讨论时，此题对细节的分类要求较高，属难度较大的题目．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数是曲线上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，设点N的轨迹为曲线以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线，的极坐标方程；在的条件下，若射线与曲线，分别交于A，B两点除极点外，且有定点，求的面积．【答案】解：曲线的参数方程为为参数．由题设，得的直角坐标方程为，即，分故C的极坐标方程为，即分M是曲线上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON，点N的轨迹为曲线．设点，则由已知得，代入的极坐标方程得，的极坐标方程为分射线与曲线，分别交于A，B两点除极点外，将代入，的极坐标方程得，分又，，分，分分【解析】由曲线的参数方程能求出的直角坐标方程，由此能求出的极坐标方程；设点，由已知得，代入的极坐标方程，能求出的极坐标方程．将代入，的极坐标方程得，由，能求出的面积．本题考查曲线的极坐标的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知a，b均为正实数，且．求的最大值；求的最大值．【答案】解：，当且仅当，即时，取等号，故原式的最大值为12．原式，因为，当且仅当，即时，取等号，以，故原式的最大值为．【解析】利用平方以及柯西不等式转化求解即可．利用基本不等式，转化求解函数的最值．本题考查不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2019-2020学年重庆市南开(融侨)中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年重庆市南开（融侨）中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，a R ∈，复数()242a a i -+-是纯虚数，则a =（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-2或2【答案】B【解析】根据纯虚数概念列式求解，即得结果. 【详解】因为复数()242a a i -+-是纯虚数，所以240,202a a a -=-≠∴=- 故选：B 【点睛】本题考查根据复数概念求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．MNB ．M NC ．M N ⊃≠ D ．M N ⋂=∅【答案】B【解析】对集合M 和N 中的代数式化为统一的形式，再进行比较． 【详解】对于集合M ：121244k k x +=+=，k ∈Z ， 对于集合N ：12424k k x +=+=，k ∈Z ，∵2k +1是奇数集，k +2是整数集，∴M N 故选：B ． 【点睛】本题考查了集合间的关系，以及转化思想，是基础题．3．某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有99%的把握但没有99.9%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则2K 的观测值可能为（ ）A ．2 3.206K =B ．2 6.561K =C ．27.869K =D ．211.208K =【答案】C【解析】根据把握率确定2K 的观测值区间范围，即可作出选择. 【详解】因为有99%的把握但没有99.9%的把握，所以2K 的观测值区间范围为[6.635,10.828)因此2K 的观测值可能为7.869 故选：C 【点睛】本题考查独立性检验原理，考查数据处理与应用能力，属基础题. 4．下列说法中错误的是（ ）A ．若事件A ，B 为对立事件，则()()1P A P B += B ．已知随机变量1~10,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则85D ξ=C ．已知p ：()00,x ∃∈+∞，001x x ≥-，则p ⌝：()0,x ∀∈+∞，01x x ≥- D ．命题“若2233a b a b --->-，则a b >”是真命题 【答案】C【解析】根据对立事件概念可判断A;根据二项分布方差公式可判断B;根据命题否定可判断C;根据函数单调性可判断D.【详解】因为事件A ，B 为对立事件，所以()()1P A P B +=，因此A 正确；1~10,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭11810(1)555D ξ∴=⨯⨯-=，因此B 正确；因为p ：()00,x ∃∈+∞，0001x x ≥-，则p ⌝：()0,x ∀∈+∞，01x x <-或1x =，故C 错误；22332323a b a b a a b b----∴->-->-()23x x f x -=-在上单调递增，且()()f a f b a b >∴>，故D 正确；故选：C 【点睛】本题考查对立事件概念、二项分布方差公式、命题否定、函数单调性应用，考查基本分析求解与判断能力，属基础题.5．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）A ．()221a p r -B ．()221a p r +C ．() 1a p r - D ．() 1a p r+ 【答案】A【解析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出p ，则π可求． 【详解】圆形钱币的半径为r cm ，面积为S 圆＝π•r 2； 正方形边长为a cm ，面积为S 正方形＝a 2．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是p S S S -==圆正方形圆122a r π-，所以π()221a p r =-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．()()6112x x -+展开式中6x 的系数为（ ） A ．128 B ．-128 C ．11 D ．-11【答案】A【解析】先分析()612x +展开式中含6x 与含5x 的系数，再根据多项式展开规律求结果. 【详解】()612x +展开式中含6x 与含5x 的系数分别为()()6565662,2C C所以()()6112x x -+展开式中6x 的系数为()()65656622128C C -+=故选：A 【点睛】本题考查二项展开式定理及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7．在2019年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的物成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)80,90，[]90,100，90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ）A ．从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人B ．若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C ．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为70D ．该省考生物理成绩的中位数为75分【答案】D【解析】利用频率分布直方图的性质直接求解． 【详解】解：对于A ，90分以上为优秀，由频率分布直方图得优秀的频率为0.010100.1⨯=，∴从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试生约有：10000.1100⨯=人，故A 正确；对于B ，由频率分布直方图得[40，50)的频率为0.01100.1⨯=，[50，100)的频率为：10.10.9-=，∴若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分，故B 正确；对于C ，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为： 450.01010550.01510650.02010750.03010850.01510950.0101070.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=分，故C 正确；对于D ，[40，70)的频率为：(0.0100.0150.020)100.45++⨯=， [70，80)的频率为0.030100.3⨯=，∴该省考生物理成绩的中位数为：0.50.45701071.670.3-+⨯≈分，故D 错误．故选：D ． 【点睛】本题考查频数、合格分数线、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8．设{},,0,1,2,3,4a b c ∈，由a ，b ，c 构成一个三位数，若这个三位数的十位数字比其它两个数位上的数字都小，则称该三位数为“V 型数”，已知a ，b ，c 构成三位数，则该三位数是“V 型数”的概率是（ ） A ．110B ．310C ．25D ．1225【答案】B【解析】先计算出构成的所有三位数，再计算符合条件的三位数，可得到答案. 【详解】因为{},,0,1,2,3,4a b c ∈，所以由a ，b ，c 构成三位数由455100⨯⨯=， 满足三位数的十位数字比其它两个数位上的数字都小的 当十位数字为0时，有4416⨯=个； 当十位数字为1时，有339⨯=个；当十位数字为2时，有224⨯=个；当十位数字为3时，有111⨯=个，共有30个， 所以三位数是“V 型数”的概率是30310010=， 故选：B. 【点睛】本题考查两个计数原理，注意计算时是分步还是分类.9．已知函数()xf x xe =，()()2ln 1g x x ax =++，若对[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈使得()()12f x g x >成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 2a <- B ．ln 2a ≤-C ．ln 2a e <-D ．ln 2a e ≤-【答案】A【解析】先根据恒成立转化不等式为()()2min f x g x >，再分离转化为求()2ln 1(),(0,1]x h x x x-+=∈最大值，利用导数研究其单调性，即可确定结果. 【详解】()()()()()min (1)[0,1]000x xf x xe f x x e x f x f x f ''=∴=+∈∴>∴==因为对[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈使得()()12f x g x >成立， 所以[]0,1x ∃∈使得()20ln 1x ax >++成立，因为()20,ln 10x x ax =++=，所以(0,1]x ∃∈，使得()20ln 1x ax >++成立，令()2ln 1(),(0,1]x h x x x-+=∈，所以max ()a h x < ()()2431[ln 1]22ln 111()x x x x x x x h x x x -⋅--+⋅-++++'==()()(]()()()()()2212212ln 1,0,1,0001111x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕ+=-++∈∴=-+=>∴>=++++' 因此max ()0()(1)ln 2ln 2h x h x h a '>∴==-∴<- 故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立与有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题. 10．2019年高考结束了，有5位同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A ．84 B ．48 C ．36 D ．28【答案】A【解析】首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案. 【详解】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C =⋅种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力， 计算能力，难度中等.11．若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D【解析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.12．已知函数()222,02,0x x x a x f x e ax e x ⎧++<=⎨-+-≥⎩在R 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．(),e +∞C ．()0,1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()20,1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】首先分析0不是函数的零点．然后利用导数求出0x >时函数有零点的a 的范围，然后对a 分类并分析即可求得()f x 在R 恰有两个零点的实数a 的取值范围． 【详解】解：当0x =时，2()10f x e =--≠，故0不是函数的零点；当(0,)x ∈+∞时，()0f x =等价于22x e e a x+=．令2()x e e g x x +=，则22()x x xe e e g x x --'=．当2x <时，()0g x '<，当2x =时，()0g x '=，当2x >时，()0g x '>，2()g x e ∴，即22a e ，22e a ．①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞上有两个零点，则()f x 在(0,)+∞无零点，则22ea <，01a ∴<<；②当0a 或1a =时，()f x 在(,0)-∞上有一个零点，故()f x 在(0,)+∞上需要有一个零点，此时不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞上无零点，故()f x 在(0,)+∞上需要有两个零点，则22e a >．综上，实数a 的取值范围是()20,1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，训练了利用导数求最值，属于难题．二、填空题13．随机变量ξ的分布列如表格所示，0ab ≠，则14a b+的最小值为______．【答案】9【解析】先根据概率分布得1a b +=，再根据基本不等式求最值. 【详解】根据概率分布得1a b +=，且0,0a b >>，14144()()559b a a b a b a b a b ∴+=++=++≥+= 当且仅当223b a ==时取等号 即14a b+的最小值为9 故答案为：9 【点睛】本题考查概率分布、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知5件产品中有3件合格品，2件不合格品，从中任取3件，记取出的不合格产品的件数为X ，则()E X =______． 【答案】65【解析】先确定随机变量，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】0,1,2X =32112332323335551633(0),(1),(2),1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========()1336012105105E X ∴=⨯+⨯+⨯= 故答案为：65【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.15C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F，∴直线AB的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 16．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln xf x x=图象上的动点，则PQ 的最小值为______． 2【解析】先求与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点，再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】由题意，PQ 的最小值为与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点到直线1y x =+的距离，设切点为00(,)x y因为()22000221ln 1ln 1ln 1ln x x f x x x y x x x x --'=∴=∴+==+单调递增，01x ∴=因此PQ ln1|11|122-+=2 【点睛】本题考查导数几何意义、点到直线距离公式，考查数形结合思想方法，属中档题.三、解答题17．已知集合2102x a A xx a ⎧⎫--⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，集合{}|32B x x =-<． （Ⅰ）当2a =时，求A B ；（Ⅱ）设p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{|45}A B x x ⋂=<<；（Ⅱ）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）当2a =时，求出集合A ，集合B ，由此能求出AB ．（Ⅱ）设:p x A ∈，:q x B ∈，p 是q 的充分条件，从而A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）当2a =时，集合215|0{|0}{|45}24x a x A x x x x x a x ⎧⎫---=<=<=<<⎨⎬--⎩⎭， 集合{||3|2}{|15}B x x x x =-<=<<． {|45}AB x x ∴=<<．（Ⅱ）设:p x A ∈，:q x B ∈，p 是q 的充分条件，A B ∴⊆，当221a a <+时，1a ≠，集合221|0{|21}2x a A x x a x a x a ⎧⎫--=<=<<+⎨⎬-⎩⎭， 集合{||3|2}{|15}B x x x x =-<=<<．∴22115a a ⎧⎨+⎩，且1a ≠，解得122a ．且1a ≠， 当1a =时，A =∅，成立． 综上，实数a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查交集、实数的取值范围的求法，考查充分条件、交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18．已知函数()()1xf x x ae a R =-+∈．（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）若函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）(0,1)【解析】（Ⅰ）先求导数，再根据导函数符号确定函数单调性，最后根据单调性确定最大值取法；（Ⅱ）先分离转化研究函数1x x y e+=单调性与值域，结合零点存在定理确定实数a 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）当1a =时，()()1100xxf x x e f x e x '=-+∴=-=∴=当0x >时，()0()f x f x '<∴在(0,)+∞上单调递减； 当0x <时，()0()f x f x '>∴在(,0)-∞上单调递增； 因此当0x =时，()f x 取最大值0； （Ⅱ）()10x x f x a e+=⇔=，因此函数()f x 恰有两个不同的零点，等价于y a =与1x x y e +=恰有两个不同交点 100x x x xy y x e e+-'=∴==∴=当0x >时，10x x y y e +'<∴=在(0,)+∞上单调递减，(0,1)y ∈；当0x <时，10x x y y e+'>∴=在(,0)-∞上单调递增，(,1)y ∈-∞；当0x =时，1x x y e+=取最大值1；因此(0,1)∈a ，下面证明(0,1)∈a 时y a =与1x x y e+=恰有两个不同交点，首先，00011|x a y e=+<==时，当1x <-时，10x x y a e+=<<，因此当0x <时，y a =与1x x y e +=有且仅有一个交点；先研究()2ln ,2g x x x x =->，222()10,()(2)22ln 202ln ,ln ,(2)x g x g x g x x x x e x x x '=->∴>=->∴>∴>>> 当2max{2,}x a >时，2112x x x y a e x x ++=<<<，即当0x >时，y a =与1xx y e +=有且仅有一个交点； 综上，(0,1)∈a 时，函数()f x 恰有两个不同的零点. 【点睛】本题考查利用导数求函数最值、利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.19．某综艺节目邀请嘉宾进行答题闯关挑战，每位嘉宾挑战时，节目组用电脑出题的方式，从题库中随机出4道题，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，电脑依次出题，嘉宾按规则作答，挑战规则如下：①嘉宾每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；②嘉宾若答对第i A 题，则继续作答第1i A +题；嘉宾若答错第i A 题，则失去第1i A +题的答题机会，从第2i A +题开始继续答题；直到4道题目出完，挑战结束；③每位嘉宾初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则嘉宾闯关成功，否则闯关失败．嘉宾小源即将参与挑战，已知小源答对题库中每道题的概率均为23，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （Ⅰ）挑战结束时，小源共答对3道题的概率1P ； （Ⅱ）挑战结束时，小源恰好作答了3道题的概率2P ； （Ⅲ）小源闯关成功的概率3P ． 【答案】（Ⅰ）881；（Ⅱ）1627；（Ⅲ）2027【解析】（Ⅰ）先确定挑战结束时，小源共答对3道题对应情况，再求对应概率； （Ⅱ）先确定挑战结束时，小源恰好作答了3道题对应情况，再求对应概率； （Ⅲ）先确定小源闯关成功时对应作答情况，再求对应概率. 【详解】（Ⅰ）挑战结束时，小源共答对3道题，所以小源前三题答对，第4题答错，所以31228()(1)3381P =-=； （Ⅱ）挑战结束时，小源恰好作答了3道题，所以小源第一题答对第二题答错，或第一题答错第三题答对，或第一题答对第二题答对第三题答错，所以2222222216(1)(1)(1)333333327P =⨯-+-⨯+⨯⨯-=；（Ⅲ）小源闯关成功, 小源前三题全答对、或第一题答对第二题答对第三题答错、或第一题答对第二题答错第四题答对、或第一题答错第三题答对第四题答对 所以33222222222220()()(1)()(1)()(1)()()33333333327P =+-+-+-= 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且43CD AB =． （Ⅰ）求1C 离心率；（Ⅱ）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）22212:1,:81612x y C C y x +==【解析】（Ⅰ）利用,,a b c 表示抛物线2C 方程以及,CD AB ，再根据条件43CD AB =解得,,a b c 关系，即得离心率；（Ⅱ）根据（Ⅰ）用c 表示1C 方程以及2C 的准线方程，再根据题意列方程，解得c ，即得1C 与2C 的标准方程． 【详解】（Ⅰ）设22(,0):4F c C y cx ∴=令x c =，则22422222221,,||||c y b b b y y AB a b a a a+=∴==∴=令x c =，则224,||2||4y c y c CD c =∴=∴= 因为43CD AB =，所以222242142()323200132b c a c ac e e e e a=⨯∴-=∴+-=<<∴=；（Ⅱ）根据（Ⅰ）2212212,:1243x y e a c b C c c=∴==∴+=2C 的准线方程为x c =-因为1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，所以()()122,4,c c c a c a c a b ++++-+=∴===22212:1,:81612x y C C y x +==【点睛】本题考查椭圆方程、椭圆离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.21．潜叶蝇是南方地区水稻容易遭受的虫害之一，成虫将虫卵产在叶片里，待虫卵孵化之后幼虫会在叶片中啃叶肉，使得秧苗的叶片呈现白色的状态，进而降低水稻产量．经研究，每只潜叶蝇的平均产卵数y 和夏季平均温度x 有关，现收集了某地区以往6年的数据，得到下面数据统计表格．（Ⅰ）根据相关系数r 判断，潜叶蝇的平均产卵数y 与平均温度x 是否具有较强的线性相关关系，若有较强的线性相关关系，求出线性回归方程y bx a =+，若没有较强的线性相关关系，请说明理由（一般情况下，当0.75r >时，可认为变量有较强的线性相关关系）；（Ⅱ）根据以往的统计，该地区夏季平均气温为()C ξ︒近似地服从正太分布()226.5,N σ，且()125282P ξ<≤=．当该地区某年平均温度达到28C ︒以上时，潜叶蝇快速繁殖引发虫害，需要进行一次人工治理，每次的人工治理成本为200元/公顷（其他情况均不需要人工治理），且虫害一定会导致水稻减产，对过往10次爆发虫害时的减产损失进行统计，结果如下：用样本的频率估计概率，预测未来2年，每公顷水稻可能因潜叶蝇虫害造成的经济损失Y （元）的数学期望．（经济损失＝减产损失＋治理成本） 参考公式和数据：()()niix x y y r --=∑()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-()()61700iii x x y y =--=∑，6214126ii x==∑，61240i i y==∑，()6218816i i y y=-=∑，8.4≈786≈．【答案】（Ⅰ）具有较强的线性相关关系，10220y x =-；（Ⅱ）330元 【解析】（Ⅰ）代入公式计算r ，再做判断，根据公式求,b a ，即得结果；（Ⅱ）先确定温度达到28C ︒以上时概率，再确定随机变量取法，分别求出对应概率，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】 （Ⅰ）21232527293171121226411526,4066xy ++++++++++=======()()7000.75786niix x y y r --==>=>∑所以潜叶蝇的平均产卵数y 与平均温度x 具有较强的线性相关关系，()()()1217001070nii i ni i xx y y b x x==--===-∑∑，401026220a y bx =-=-⨯=- 10220y bx a x ∴=+=-；（Ⅱ）()12528,2P ξ<≤=()C ξ︒近似地服从正太分布()226.5,N σ，()()12528128,24P P ξξ-<≤∴>==0,1200,1600Y =13141163(0)1,(1200),(1600)444101041020P Y P Y P Y ==-===⨯===⨯=313()01200140033041020E Y =⨯+⨯+⨯=(元)【点睛】本题考查线性回归方程、数学期望公式、正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题. 22．已知函数()21ln 22f x x ax ax =+-，0a >． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，实数()12,0,x x ∈+∞，且()()123f x f x +=-，证明：22122x x ≥+．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）先求导数，再根据导函数零点以及符号变化规律分类讨论，即得结果； （Ⅱ）先根据单调性确定12,x x 取值范围，再构造函数，利用导数求其最值，证得结果. 【详解】 （Ⅰ）()()221121ln 222ax ax f x x ax ax f x ax a x x-+'=+-∴=+-=2444(1)a a a a ∆=-=-当01a <≤时；()0,()f x f x '≥在()0,∞+上单调递增；当1a >时；()0f x x '=⇒=当x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f x '>；当x ∈，()0f x '<；()f x ∴在⎫+∞⎪⎪⎝⎭和⎛ ⎝⎭上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ）1a =，()()22121ln 2002x x f x x x x f x x-+'=+-=∴=≥，()f x 在()0,∞+上单调递增；不妨设120x x <≤，()()123+=-f x f x 因为()312f =，故121x x ≤≤， 下证：对任意的(]0,1x ∈，总有()()32f x f x --≥-. 设()()()()()2223ln 221g x f x f x x x x x =-++=---+，设()(]ln 1,0,1h t t t t =-+∈，则()10th t t-'=≥恒成立（不恒为零）， 故当(]0,1t ∈时，()()10h t h ≤=，故(]ln 10,0,1t t t -+≤∀∈， 又(]0,1x ∈时，(]220,1x x -∈，故()()22ln 2210x xx x ---+≤对任意的(]0,1x ∈恒成立即()()32f x f x --≥-成立，又()()123+=-f x f x 等价于()()213f x f x =--， 所以()()212f x f x ≥-，因为()f x 为()0,∞+上的增函数， 所以212x x ≥-即212x x +≥.而()212221222x x x x ++≥=，故22122x x ≥+成立.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性、利用导数证明不等式，考查综合分析论证求解能力，属难题.。
【解析】重庆市南开中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题
重庆市南开中学高2020级高二（下）期末考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合={22|}A x x x -≤，{|1B x x =＜－或3}x ＞，则A B =（ ）A. RB. ()-∞，4C. ()431⎡⎫∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭-，-， D. ()()13∞⋃+∞－，－， 【答案】C 【分析】首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.【详解】根据题意得，2|2|x x -≤等价于()222|2|,0x x x -≤≥，解得443x ≤≤， 于是()431A B ⎡⎫=∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭U -，-，，故答案为C. 【点睛】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.2.设随机变量 ()2~3,1.5X N ，()40.7P X ≤=，则()2P X ≤=（ ）A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.1【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案.【详解】由于()40.7P X ≤=，故()40.3P X ≥=，则()()4.320P X P X ≥=≤=，故 答案为A.【点睛】本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.3.复数z 满足(1)1z i ai +=-，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）A. [11]－， B. ()1∞－，－ C. ()11－， D. ()1+∞， 【答案】C 【分析】首先化简z ，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案. 【详解】根据题意得，()1(1)1111222ai i ai a az i i ----+===-+，因为复平面内对应的点 在第四象限，所以1021+02a a -⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得11a -<<，故选C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大.4.已知0a <，若4(2x -的展开式中各项系数之和为81，则展开式中常数项为（ ） A. 1 B. 8C. 24D. 32【答案】B 【分析】通过各项系数和为1，令1x =可求出a 值，于是可得答案. 【详解】根据题意，在4(2x -中，令1x =，则4(2)81a -=，而0a <，故1a =-，所以展开式中常数项为3142=8C ，故答案为B.【点睛】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.5.在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ）A. 1(,)23π-B. 1(,)23πC. (1,)3π-D. (1,)3π【答案】A由圆cos()3πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=-，∴2212x y x y +=-，化为2211()(444x y -++=， ∴圆心为1(,)44-，半径r=12．∵tan α=3π-， ∴圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)23π-． 故选A ．6.从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ） A.184B.142C.128D.114【答案】D 【分析】先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案.【详解】通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有39=84C 种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有336A =种可能，于是所求概率为61=8414.选D. 【点睛】本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.7.如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1xy e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）A.23e - B.13e - C.43e- D.53e- 【答案】D 【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案.【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.8.已知,0x y >，33122x y +=++，则2x y +的最小值为（ ）A. 9B. 12C. 15D. 3【答案】D 【分析】首先可换元2a x =+，2b y =+，通过()332=2a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭再利用基本不等式即可得到答案.【详解】由题意，可令2a x =+，2b y =+，则=2x a -，2y b =-，于()3312,2a b a b+=>>，而2=26x y a b ++-， ()33632=2=9+9b a a b a ba b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪⎝⎭，故2x y +的最小值为3，故答案为D.【点睛】本题主要考查基本不等式的综合应用，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.9.命题P ：“关于x 的方程220x ax ++=的一个根大于1，另一个根小于1”；命题q ：“函数1()1xx h x e +=-的定义域内为减函数”.若p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()3-+∞，B. ()3-∞-，C. (]3-∞，D. R【答案】B 【分析】通过分析命题q 为假命题只能P 真，于是可得到答案.【详解】命题P 真等价于(1)120f a =++<即3a <-；由于()h x 的定义域为{}|0x x ≠，故命题q 为假命题，而p q ∨为真命题，说明P 真，故选B.【点睛】本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等.10.2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A. 84B. 48C. 36D. 28【答案】A 【分析】首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案.【详解】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A.【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力， 计算能力，难度中等.11.给出下列四个说法：①命题“0,x ">都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃≤使得0012x x +<”；②已知0a b 、＞，>则a b >”的逆命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln xf x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=，其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【分析】对于①②③④分别依次判断真假可得答案. 【详解】对于①，命题“0,x ">都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃>使得0012x x +<”，>a b >”的逆命题为“若a b >>确；对于③，若1x >则21x >，若21x >则1x >或1x <-，因此1x >是21x >的充分不必要条件，故③错误；对于④，若0x x =为函数2()2ln xf x x x x e -=++-，则020002ln =0x x x x e -++-，即()020000=2ln 0x x x e x x --+>，可令000()2ln h x x x =+，则002'()10h x x =+>，故0()h x 为增函数，令()02000=()0x g x e x x -->，显然0()g x 为减函数，所以方程00()=()h x g x 至多一解，又因为002ln 0x x +=时022000ln 0x x x e x ---∴==，所以002ln 0x x +=，则④正确，故选C.【点睛】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.12.已知函数2()23,(0,)x f x e ax ax x =++-∈+∞，若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. (-1,0)B. 1,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在(0,)+∞小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案.【详解】根据题意，得()22xf x e ax a '=++，若()f x 有最小值，即()f x 在(0,)+∞ 上先递减再递增，即()f x '在(0,)+∞先小于0，再大于0，令()0f x '<，得：2(1)xe a x <-+，令(),()2(1)xg x e h x a x ==-+，只需()h x 的斜率2a -大于过()1,0-的()g x 的切线的斜率即可，设切点为()00,x x e，则切线方程为：000()x x y ee x x -=-，将()1,0-代入切线方程得：0=0x ，故切点为()01，，切线的斜率为1，只需21a ->即可，解得：12a <-，故答案为C.【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合[)21{|}A B x x a A B =+∞=≤≤⋂≠∅，，，，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)2,+∞ 【分析】通过A B ⋂≠∅，即可得到答案.【详解】根据题意，A B ⋂≠∅，则2a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞. 【点睛】本题主要集合交的运算，难度较小.14.一个袋子里装有大小形状完全相同的5个小球，其编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为1，则停止取球；若编号不为1，则将该球放回袋子中。
2019-2020学年重庆市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年重庆市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{5，7}2．复数的共轭复数是（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（）A．随机抽样B．散点图C．回归分析D．独立性检验4．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2＞0B．∃x∈R，x2+2≤0C．∀x∈R，x2+2≤0D．∀x∈R，x2+2＜05．已知函数f（x）＝a sin x+b的导函数为f'（x），若，则a＝（）A．4B．2C．1D．6．设随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.15，则P（0≤X ≤2）＝（）A．0.35B．0.6C．0.7D．0.857．从3位男生、4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（）A．24B．30C．36D．408．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．409．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（）A．B．C．D．10．已知曲线f（x）＝（x+alnx）e x在点（1，e）处的切线经过坐标原点，则a＝（）A．﹣e B．﹣2C．﹣1D．e﹣211．已知函数f（x）＝ax3+bx+c（bc＜0），则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．已知f′（x）是定义在R上的偶函数f（x）的导函数，当x＜0时，xf′（x）＜2f（x），且f（1）＝0，若a＝log0.53，b＝0.50.3，c＝log0.50.2，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为．14．已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据如表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程＝0.7x+0.35，则m＝．x3456y 2.5m4 4.515．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有种．16．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次（n≥2，n∈N*），各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若EX＞5，则n的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数．（1）求n的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值．18．（1）已知z∈C，解关于z的方程（z﹣3i）•＝1+3i；（2）已知3+2i是关于x的方程2x2+ax+b＝0在复数集内的一个根，求实数a，b的值．19．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．20．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计没有注射重组新冠疫10x A苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828 21．某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立．（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3：3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．22．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣2x，a∈R．（1）若函数f（x）在（0，+∞）内单调，求a的取值范围；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，求+的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{5，7}【分析】求出集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}＝{x|x＜2或x＞3}，∴A∩B＝{5，7}．故选：D．2．复数的共轭复数是（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数的定义进行求解即可．解：＝＝＝3+i，则复数的共轭复数为3﹣i，故选：B．3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（）A．随机抽样B．散点图C．回归分析D．独立性检验【分析】根据题意，分别判断题目中是统计方法是否在研究学生体重与身高间的相关关系的过程中使用到即可．解：利用随机抽样得出样本数据，利用散点图判断学生体重与身高间的相关关系强弱，利用回归分析判断建立的模型效果是否合适；独立性检验是研究两个变量之间是否有关系的判断问题，所以不会用到独立性检验．故选：D．4．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2＞0B．∃x∈R，x2+2≤0C．∀x∈R，x2+2≤0D．∀x∈R，x2+2＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是：∃x∈R，x2+2≤0．故选：B．5．已知函数f（x）＝a sin x+b的导函数为f'（x），若，则a＝（）A．4B．2C．1D．【分析】可以求出导函数f′（x）＝a cos x，从而得出，然后求出a的值即可．解：f′（x）＝a cos x，∴，∴a＝2．故选：B．6．设随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.15，则P（0≤X ≤2）＝（）A．0.35B．0.6C．0.7D．0.85【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴方程，再由已知结合正态分布曲线的对称性求解．解：由随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），可知正态分布曲线的对称轴方程为x＝1，又P（X＜0）＝0.15，∴P（X＞2）＝0.15，则P（0≤X≤2）＝1﹣[P（X＜0）+P（X＞2）]＝1﹣0.3＝0.7．故选：C．7．从3位男生、4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（）A．24B．30C．36D．40【分析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的3人为1男2女，②选出的3人为2男1女，分别求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，要求选出的3人男女生都要有，分2种情况讨论：①选出的3人为1男2女，有C31C42＝18种选法，②选出的3人为2男1女，有C32C41＝12种选法，则有18+12＝30种不同的选法；故选：B．8．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．40【分析】把（x+2）5按照二项式定理展开，可得（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x3项的系数．解：由于（2x﹣1）（x+2）5＝（2x﹣1）（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32），∴含x3项的系数为2×80﹣40＝120，故选：B．9．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（）A．B．C．D．【分析】所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，由此能求出至少一人通过测试的概率．解：所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为p＝，故至少一人通过测试的概率为p＝．故选：D．10．已知曲线f（x）＝（x+alnx）e x在点（1，e）处的切线经过坐标原点，则a＝（）A．﹣e B．﹣2C．﹣1D．e﹣2【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再由题意结合两点求斜率列式求得a值．解：由f（x）＝（x+alnx）e x，得，∴f'（1）＝（a+2）e，由题知，解得：a＝﹣1．故选：C．11．已知函数f（x）＝ax3+bx+c（bc＜0），则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先对函数f（x）求导得f'（x）＝3ax2+b，根据f'（x）＝0的根的情况可判断函数的极值点情况；再根据函数的单调性分析a、b、c的符号，从而得解．解：f'（x）＝3ax2+b，若f（x）存在极值点，则极值点必有两个，且互为相反数，故选项A、C都是错误的；对于选项B、D，由图象可知函数均是先单调递增，再单调递减，再单调递增，所以a ＞0，b＜0，因为bc＜0，所以c＞0，即函数图象与y轴的交点应在正半轴上，即选项B是错误的．故选：D．12．已知f′（x）是定义在R上的偶函数f（x）的导函数，当x＜0时，xf′（x）＜2f（x），且f（1）＝0，若a＝log0.53，b＝0.50.3，c＝log0.50.2，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）【分析】令，根据函数的奇偶性和单调性求出g（b）＞0＞g（a）＞g（c），从而判断结论．解：当x＜0时，，即，令，则g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，又f（x）为偶函数，∴g（x）也是偶函数，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝f（1）＝0，故当x∈（﹣1，0）∪（0，1）时，g（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，g （x）＜0，a＝log0.53＝﹣log23∈（﹣2，﹣1），，c＝log0.50.2＝log25∈（2，3），故g（b）＞0＞g（a）＞g（c），即，故f（b）＞0，f（a）＜0，f（c）＜0，又，∴，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为﹣1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝i（﹣i﹣1）＝1﹣i，∴复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．14．已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据如表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程＝0.7x+0.35，则m＝3．x3456y 2.5m4 4.5【分析】利用回归直线经过样本中心，然后求解m即可．解：由题意可知＝，＝，因为回归直线经过样本中心，所以，解得m＝3．故答案为：3．15．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有18种．【分析】根据题意，分2步进行分析：①分析易得三个大人必各住一个房间，由排列数公式可得其安排方法数目，②分情况讨论两个小孩的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．解：由题分析知，三个大人必各住一个房间，有A33种安排方法，两个小孩有2种情况：可以同住三人间或三人间、两人间各一人，有1+A22种安排方法所以不同的安排方法有种；故答案为：1816．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次（n≥2，n∈N*），各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若EX＞5，则n的最小值为6．【分析】求出硬币面朝上的概率，得到独立重复实验的概型，求出期望，列出不等式求解即可．解：抛一次硬币，至少有1枚硬币正面朝上的概率为，由题知，则，即，所以正整数n的最小值为6．故答案为：6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数．（1）求n的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值．【分析】（1）直接根据二项式系数的特点即可求n；（2）直接根据二项式系数的特点即可求出对应项的项数，进而求出对应项的系数，即可求解结论．解：（1）由题知，二项式系数和，故n＝8；（2）二项式系数分别为，根据其单调性知其中最大，即为展开式中第5项，∴，即．18．（1）已知z∈C，解关于z的方程（z﹣3i）•＝1+3i；（2）已知3+2i是关于x的方程2x2+ax+b＝0在复数集内的一个根，求实数a，b的值．【分析】（1）利用待定系数法，代入结合复数相等进行求解即可．（2）根据实系数虚根必共轭，然后利用根与系数之间的关系进行求解即可．解：（1）设z＝a+bi，则（a+bi﹣3i）（a﹣bi）＝1+3i，即a2+b2﹣3b﹣3ai＝1+3i，∴，得，∴z＝﹣1或﹣1+3i；（2）在实系数方程中，虚根必为共轭复数根，则方程在复数集内另一根为3﹣2i，故，即a＝﹣12，b＝26．19．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．（2）判断函数的单调性，求出极值以及端点值，然后求解最值．【解答】解；（1）函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1，所以f'（x）＝3x2﹣2x﹣1，f'（0）＝﹣1，又f（0）＝1，所以切线方程为y﹣1＝﹣1•（x﹣0），即x+y＝1；（2）由（1）知f'（x）＞0⇒x＞1或，∴f（x）在[0，1]上单减，在[1，2]上单增，又f（0）＝1，f（1）＝0，f（2）＝3，∴f（x）在[0，2]上的最大值为3，最小值为0．20．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计没有注射重组新冠疫10x A苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）由题意列方程求出y、x和A、B的值；计算K2，对照附表得出结论；（2）由题意计算所求的概率值即可．解：（1）由题知，解得y＝5，所以x＝30﹣5＝25，A＝10+25＝35，B＝20+5＝25；所以，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，所以．21．某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立．（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3：3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）由赢球者发下一个球，不会出现一方连续两次得2分的情况，从而三次发球能结束比赛必是两人分差达3分，由此能求出三次发球后比赛结束的概率．（2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况，得到X的所有可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解：（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分：①若第一个球甲赢，则甲得1分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为0.6×0.6×0.6＝0.216；②若第一个球乙赢，则乙得2分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束，不符合题意；若甲赢，两人2：2，第三个球结束分差不可能达3分，也不符合题意；故三次发球后比赛结束的概率为0.216．（2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况：故X的所有可能取值为2，3，4，P（X＝2）＝0.4×0.5＝0.2，P（X＝3）＝0.6×（0.6×0.6+0.4×1）+0.4×0.5×1＝0.656，P（X＝4）＝0.6×0.6×0.4×1＝0.144，X的分布列为X234P0.20.6560.144 EX＝2×0.2+3×0.656+4×0.144＝2.944．22．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣2x，a∈R．（1）若函数f（x）在（0，+∞）内单调，求a的取值范围；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，求+的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤2x2﹣2x恒成立，求出a的范围即可；（2）求出+的解析式，令g（x）＝（1﹣x）lnx+xln（1﹣x），（0＜x ＜），根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出问题的答案．解：（1）f′（x）＝2x﹣﹣2＝（x＞0），由题意得f′（x）≥0恒成立，即a≤2x2﹣2x恒成立，而2x2﹣2x＝2﹣≥﹣，∴a≤﹣；（2）由题意知2x2﹣2x﹣a＝0在（0，+∞）内有2个不等实根x1，x2，则﹣＜a＜0，且x1+x2＝1，x1x2＝﹣，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜，∴+＝（x1﹣a﹣2）+（x2﹣a﹣2）＝﹣3﹣a（+）＝﹣3+2x1x2（+）＝2x2lnx1+2x1lnx2﹣3＝2（1﹣x1）lnx1+2x1ln（1﹣x1）﹣3，令g（x）＝（1﹣x）lnx+xln（1﹣x），（0＜x＜），则g′（x）＝﹣lnx++ln（1﹣x）﹣＝ln（﹣1）+，显然﹣1＞1，1﹣2x＞0，故g′（x）＞0，g（x）递增，而g（）＝ln＝﹣ln2，x→0时，g（x）→﹣∞，故g（x）∈（﹣∞，﹣ln2），∴+∈（﹣∞，﹣3﹣2ln2）．。
重庆南开中学高 高二(下)期末考试数学试题(理)及答案
南开中学高高二(下)期末测试卷数 学（理工农医类）数学（理工农医类）测试卷共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为（A ）1-（B ）0（C（D ）1（2）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-=0,1log 0≤,12)(2x x x x f x ，则=))41((f f（A ）21-（B ）21（C ）1（D ）7（3）已知集合{|}A x x a =<，3{|log 1}B x x =<，()R A B R =ð，则实数a 的取值范围是（A ）3a > （B ）3a ≥ （C ）3a ≤ （D ）3a < （4）已知,a b R ∈,“1a b >-”是“a b >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）某个自然数有关的命题，如果当)(1*∈+=N n k n 时，该命题不成立，那么可推得k n =时，该命题不成立.现已知当2012=n 时，该命题成立，那么，可推得 （A ）2011=n 时，该命题成立 （B ）2013=n 时，该命题成立 （C ）2011=n 时，该命题不成立 （D ）2013=n 时，该命题不成立（6）一个几何体的三视图如题(6)图所示， 则该几何体的侧面积为（A）（B）（C ）4 （D ）8（7）对给出的下列命题：①2,0x R x ∀∈-<；②2,5x Q x ∃∈=；③2,10x R x x ∃∈--=； ④若2:,1p x N x ∀∈≥，则2:,1p x N x ⌝∃∈<．其中是真命题的是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）②③（D ）③④（8）3个女生与2个男生站成一排合影，要求女生甲不站左端，且其中一个女生恰好站在两个 男生之间的站法有（A ）48种 （B ）36种（C ）28种（D ）12种（9）若]22,22[-∈∃k使2(1) ||a k k +≤成立，则实数a 的取值范围是 （A ）]0,(-∞（B ）]41,(-∞（C ）]42,(-∞（D ）]82,(-∞ 2 22 正视图 222侧视图俯视图题(6)图（10）如题（10）图，用4个半径为1的小圆去覆盖一个半径为2的大圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） （A ）1π（B ）11π-（C ）21π-（D ）112π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）二项式91()x x-的展开式中3x 的系数是 ．（12）已知映射B A f →：,其中R B A ==,对应法则，：222+-=→x x y x f 若对实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 . （13）已知函数()f x x =0,0a b >>且()(1)f a f b =-，则14a b+的最小值为 .考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． （14）如题(14)图，圆O 的半径为1，直线AB 与圆O 相切于点B ，3=AB ，直线AO 交圆O 于D C 、两点， 则BD 的长为 ．（15）在极坐标系中，点(2,0)A 到曲线2:4sin 3C θ=上点P 的距离最小，点P 的极坐标为 ．（16）设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >,若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x -≤，则a 的值为 ．题(10)图三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是33,,45m ，且三人能否达标互不影响．（Ⅰ）若三人中至少有一人达标的概率是2425，求m 的值； （Ⅱ）设甲在3次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．（18）（本小题满分13分） 已知定义在R 上函数2()1x bf x x ax +=++为奇函数． （Ⅰ）求a b +的值； （Ⅱ）求函数()f x 的值域．（19）（本小题满分13分）如题(19)图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，122,,DC DD AD AB AD DC ===⊥AB ∥DC ．（Ⅰ）求证：平面1BCD ⊥平面1D BD ； （Ⅱ）求二面角11B AC D --的大小． （20）（本小题满分12分）设函数x e ax ax x f )1()(2++=，其中R a ∈．（Ⅰ）若()f x 在其定义域内是单调函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若()f x 在)0,1(-内存在极值，求a 的取值范围.（21）（本小题满分12分）题(19)图C 1D 1A 1B 1DCB A已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是1A 、2A ，离心率为，点(1,)2A 在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)且与椭圆C 交于P 、Q 两点,设直线1PA 与2QA 的交点为00(,)M x y ，求证：0=4x .（22）（本小题满分12分）已知集合{|,,,0,0}mQ x x m Z n Z m n n*==∈∈≠≠，设Q *的子集S 满足如下性质： （1）如果,a S b S ∈∈，则,a b S ab S +∈∈； （2）r Q *∀∈， r S ∈与r S -∈有且仅有一条成立.求证：（Ⅰ）1S ∈；（Ⅱ）设*r Q ∈，则r S ∈的充要条件是0r >.高二下期末考试参考答案（理科）一、选择题 DABBB DDCCD 二、填空题11. 84- 12. (,1)-∞ 13. 914. 15. (1,)3π16. 2三、解答题17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设三人中至少有一人达标为事件A ，则332431()1(1)(1)(1);45255p A m m -=----=⇒=……………6分（Ⅱ）03(0)p C ξ==311()464=，123319(1)()()4464p C ξ===2233127(2)()()4464p C ξ===，333327(3)()464p C ξ===ξ∴的分布列为19272790123.646464644E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=……………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()f x 为R 上的奇函数，知(0)0,(1)(1)f f f =-=-，由此解得0,0a b ==，故0a b +=.（Ⅱ）设21x y x =+的值域为C ，则y C ∈当且仅当关于x 的方程20yx x y -+=有根，当0y =时，根为0x =符合；当0y ≠时，2140y ∆=-≥，于是1122y -≤≤且0y ≠； 综上，值域为11[,]22-. 19．（本小题满分13分）解：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 设1AD AB ==,则(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0)A B C1111(1,0,2),(1,1,2),(0,2,2),(0,0,2)A B C D -………2分（Ⅰ）1(1,1,0),(1,1,2)BC BD =-=--1(0,0,2)DD =11(1,1,0)(1,1,2)0,BC BD BC BD ⋅=-⋅--=∴⊥11(1,1,0)(0,0,2)0,,BC DD BC DD BC ⋅=-⋅=∴⊥∴⊥平面1D DB∴平面1BCD ⊥平面1D BD ;………………7分（Ⅱ）1(0,1,2),A B =-1(1,2,2),AC =--11(1,0,0),A D =- 设平面1BA C 与平面11A CD 的法向量分别为：(,,),(,,)m x y z n a b c ==则11m AC m A B⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩2202202x y z x z y z y z -+-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，令1,z =则(2,2,1),m = 111n AC n A D ⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩22000x y z x x y z -+-==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，令1,z =则(0,1,1),n = cos ,||||32m n m n m n ⋅∴<>===∴二面角11B A C D --的大小为3.4π……………13分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）xe a ax ax xf )()(132+++=' )(x f 在R 上单调，则当0=a 时，0>='x e x f )(，符合；当0≠a 时，01492≤+-=)(Δa a a 即540≤<a ； 540≤≤∴a ； （Ⅱ）要使()f x 在),(01-内存在极值，由（Ⅰ）知首先有0<a 或54>a ，另外还需要方程0132=+++=a ax ax x g )(的根在),(01-内 对称轴123-<-=x ∴只需001<-)()(g g解得1>a 或1-<a 1>∴a 或1-<a ．21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由2242e a b =⇒= 由22221314,14a b a b+=⇒==.椭圆C 的方程为2214x y +=……………4分 （Ⅱ）设:1l x my =+,由22221(4)230.41x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩设112212122223(,),(,),,44m P x y Q x y y y y y m m ∴+=-=-++.……………7分 又设E 为直线1A P 与4x =的交点，N 为直线2A Q 与4x =的交点.1A P 的方程是11116(2)22E y y y x y x x =+⇒=++,同理,2222N y y x =- 由121212126232()2231E N y y y y y y x x my my -=-=-+-+- 1221123(1)(3)2(3)(1)y my y my my my --+=+-12121223()20(3)(1)my y y y my my -+=⋅=+-E N y y =,E 、N 为同一个点. 即1A P 与2A Q 的交点E 横坐标为4.……12分22．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由条件（2），1S ∈与1S -∈有且仅有一条成立，若1S -∈，则1S ∉， 又由条件（1），1(1)(1)S =--∈，这是一个矛盾.故1S ∈.（Ⅱ）若n S ∈，又由（Ⅰ）知1S ∈，则由条件（1），1n S +∈，由数学归纳法原理，这说明S 包含所有的正整数.现在我们考虑一个正的分数(0,0)mm n n>>，由条件（2），m S n ∈与m S n -∈有且仅有一个成立，若m S n -∈，又已证n S ∈，则由条件（1），()mm n S n-=-∈，这与已证的m S ∈矛盾（m S -∈与m S ∈有且仅有一条成立）.故mSn∈.即S 包含所有的正分数.于是由条件（2），S 不可能含有任何负分数.。
2019年7月重庆市高2020届高2017级高二下学期理科数学期末试题及答案
2019年春高二(下)期末测试卷理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(12i)5z -=，则z =A ．12i+B C ．5D ．252．设随机变量~()X B n p ， ，若32EX DX ==，，则n =A ．3B ．6C ．8D ．93．已知变量x y ， 的取值如下表：x 3456y2.5344.5由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，据此预测：当9x =时，y 的值约为A ．5.95B ．6.65C ．7.35D ．74．设随机变量X 服从正态分布2(3)N σ， ，若(4)0.7P X <=，则(2)P X <=A ．0.3B ．0.6C ．0.7D ．0.855．已知命题:p 单位向量的方向均相同，命题:q 实数a 的平方为负数．则下列说法正确的是A ．p q ∨是真命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ⌝∨是假命题D ．()p q ∧⌝是假命题6．已知一组样本数据12345x x x x x ，， ， ， 恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为A ．25B ．50C ．125D ．2507．已知二项式(n x-的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为A ．20-B ．15-C ．15D ．208．已知函数21()ln 2f x x a x =-在[1)+∞， 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．1a <B ．1a ≤C ．0a ≤D ．01a ≤≤9．将4本不同的课外书全部分给3名同学，每名同学最多可分得2本，则不同的分配方法种数为A ．32B ．48C ．54D ．7210．已知函数2()(31)e xf x x x k =++-有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是A ．415(e e-，B ．45(0e，C ．451(e e-， D ．1()e-+∞，11．将编号分别为12345，， ， ， 的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A ．17B ．16C ．625D ．72412．已知函数2()3f x x =+，()(2ln )g x x a x =-，若()()f x g x ≥对任意(0)x ∈+∞， 成立，则实数a 的取值范围是A ．(0]-∞， B ．(4]-∞， C ．(4ln 3]-∞， D ．(42ln 3]-∞+， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数1iz =（i 为虚数单位）的共轭复数是．14．数列122333444455555------- ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n 的有n 个，则该数列第30项是．15．已知函数2()(1)e 1xf x f x '=+-，其中()f x '是()f x 的导函数，则曲线()y f x =在点(1(1))f ， 处的切线方程为．16．已知随机变量X 的分布列为（00a b >>， ），当()D X 最大时，()E X =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
重庆南开中学高2019级高二(下)期末
重庆南开中学2017-2018年度（下）高2019级期末考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．1．已知集合}034|{2<+−=x x x M ，{|lg(1)0}N x x =−<，则=N M （ ） A ．}21|{<<x x B ．}31|{<<x x C ．φ D ．}32|{<<x x2．命题：“R m ∈∀，方程12=x m 有正数解”的否定是（ ） A ．R m ∈∀，方程12=x m 无正数解 B ．R m ∈∀，方程12=x m 有负数解 C ．R m ∈∃0，方程12=x m 无正数解 D ．R m ∈∃0，方程12=x m 有负数解3．“1>a ”是“函数)3(log )(ax x f a −=在)2,1(∈x 上单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在32)1)(2(x x +−的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A ．1B ．1−C ．2D ．2−5．有甲、乙、丙、丁四名运动员参加比赛，分出一、二、三、四名（无并列），赛后记者采访四人，甲说：“我是第一名”，乙说：“甲，丙都不是第一名”，丙说：“甲或者乙是第一名”，丁说：“乙是第一名”．已知这四句话中恰有两句是正确的，则第一名是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁6．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=−，且当(1,2)x ∈时，2()(2)f x x =−，则当()2017,2018x ∈时，()f x =（ ）A ．()21x −B ．()22x − C ．2)2017(−x D ．()22018x −7．函数()f x = ）A ．1,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦C ．11,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦D ．]1,0[8．设0,0>>y x 且4=+y x ，则2122+++y y x x 的最小值是（ ） A ．1023 B ．716 C ．49 D ．379．某班需要将“三好学生”、“优秀班干部”、“文明学生”、“优秀科代表”、“学习标兵”等5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“三好学生”与“优秀班干部”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有（ ）A ．150种B ．120种C ．114种D ．118种10．函数(),()ln x f x e kx g x x kx =−=−，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()0f x g x ⋅<成立，则实数k 的取值范围为（ ） A. 1(,)e e B. 1(0,)(,)e e +∞ C. (1,)e D. 1(,1)e11．已知抛物线24x y =的焦点为F ，过点F 且斜率为43−的直线与抛物线在第一象限的交点为M . 若抛物线在点M 处的切线与双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25 C ．10 D12．已知函数()f x 的定义域为R ，(0)0f =，()f x '是()f x 的导函数，且满足1)()(<+'x f x f ，则关于t 的不等式tt f 11)(ln −>的解集为（ ）A. ）（1,0B. )1∞+，（C. ),0(eD. ),(+∞e第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13．函数())f x x x =⋅是偶函数，则实数a = ．14．在极坐标系中，已知点)2,2(πA ，)65,2(πB ，则=||AB ．15．已知函数1)(2+−=mx x x f ，命题:p 关于x 的方程m x f =)(的两个实数根12,x x 满足：120x x <<；命题:q 0>∀x ，有0)(>x f 恒成立．若命题p q ∧为真，则实数m 的范围是 ．16．已知函数()(,)af x x b a b R x=++∈在区间(0,1]上存在零点，且021a b ≤−≤，则实数a 所能取到的最大值为 ．三、解答题：本大题6个小题，共70分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17．（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 9cos 436+=．（1）以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程；（2）若),(y x P 是曲线C 上的一个动点，求y x 43+的最大值．18．（本小题满分12分）已知函数||)(a x x f −=．（1）若不等式3)(≤x f 的解集为}51|{≤≤−x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）某媒体在俄罗斯世界杯期间对100人进行问卷调查，其中爱看世界杯的有75人，不爱看世界杯的有25人；爱看世界杯且喜欢运动的有50人，不爱看世界杯且不喜欢运动的有15人.（1）根据以上数据建立一个22⨯列联表；（2）试判断是否有%5.97的把握认为“是否爱看世界杯与是否喜爱运动有关”？（参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=，其中d c b a n +++=）20．（本小题满分12分）在硬币生产中，在4枚合格硬币中不小心混入了一枚偏轻的劣币，现在我们将5枚硬币分别编为1，2，3，4，5号．为了找出劣币，工人甲和工人乙分别提供了两种使用天秤的检测方案，其中使用一次天秤就称为一次检测．甲说：“我依次用标准法码对每枚硬币进行检测，直到找出劣币为止．”乙说：“我先将1，2号硬币和3，4号硬币分别放到天秤的两端，如果哪边较轻，就在哪边选取一枚硬币进行检测即可；如果两边一样重，则5号硬币是劣币．” （1）试从检测次数的数学期望的角度来分析，哪种方案更好？ （2）求乙的检测次数不低于甲的检测次数的概率．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上、下顶点分别为2B 、1B ，且四边形1221F B F B 是面积为12的正方形． （1）求椭圆E 的方程．（2）设与22F B 平行的直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，若在y 轴上有且只有一个点P ，使得90=∠MPN ，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数x a x x f ln )5()(+−=，xa x x g 23)(+=．（1）当0=a 时，求()f x 的最大值．（2）当0>a 时，若函数()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一个公共点，求a 的值．高二（下）期末数学（理科）参考答案一、选择题：ACBBA DCBCA DA二、填空题：13．1 14．2 15．()1,2 16．1 三、解答题：17．解：（1）曲线C 的直角坐标方程为14922=+y x ．（2）设)sin 2,cos 3(θθP ，则θθsin 8cos 943+=+y x )sin(145ϕθ+=， 当1)sin(=+ϕθ时，y x 43+的最大值为145．18．解：（1）由3)(≤x f ，得3||≤−a x ，解得33+≤≤−a x a ． 又已知不等式3)(≤x f 的解集为}51|{≤≤−x x ，所以⎩⎨⎧=+−=−5313a a ，解得2=a ．（2）当2=a 时，|2|)(−=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ，于是|3x ||2|)(++−=x x g 2233,12,5,12>≤≤−−<⎪⎩⎪⎨⎧+−−=x x x x x所以当3−<x 时，5)(>x g ；当23≤≤−x 时，5)(=x g ；当2>x 时，5)(>x g ． 综上可得，)(x g 的最小值为5，则m 的取值范围为]5,(−∞．（2）假设是否爱看世界杯与是否喜爱运动无关，556.540602575100)10251550(22≈⨯⨯⨯⨯⨯−⨯=K 024.5>，∴有%5.97的把握认为“是否爱看世界杯与是否喜爱运动有关”．20．解：（1）用ηξ,分别表示甲、乙两种方案所需检测次数，则ξ的取值可能是4,3,2,1，η的取值可能是2,1．1)3()2()1(======ξξξP P P ，2)4(==ξP ， ∴554535251=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ，23252224)1(C C C C P ==η51=，2325122412)2(C C C C C P ==η54=，∴542511⨯+⨯=ηE 5=， ∵ηξE E >，∴工人乙的方案更好．（2）乙的检测次数不低于甲的检测次数的概率)2()2()2()1()1()1(=⋅=+=⋅=+=⋅==ηξηξηξP P P P P P P 259=．21．解：（1）椭圆E 的方程为161222=+y x ．（2）直线22F B 斜率为1−，故可设直线l 的方程为m x y +−=）（6≠m ， 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++−=161222y x m x y ，得01224322=−+−m mx x . 由0)18(8)122(1216222>−=−−=∆m m m ，得182<m ，记),(11y x M ，),(22y x N ，则3421m x x =+，3122221−=m x x ，由题意，以MN 为直径的圆与y 轴相切与点P ，该圆的圆心为)2,2(2121y y x x ++，当圆与y 轴相切时，半径2122121)(22||22x x x x x x r −+=−=|2|21x x +=， 即22121)(8x x x x +=，即943)122(222m m =−，解得1892<=m ， 所以3±=m ，即：直线l 方程为3+−=x y 或3−−=x y ．22．解：（1）当0a =时，()ln f x x x =−，()()'ln 1f x x =−+， 令()'0f x =，得1x e =，所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 所以()max 11f x f e e⎛⎫==⎪⎝⎭． （2）若()f x 与()g x 有且仅有一个公共点，即()()0g x f x −=有且仅有一个解，令()()()()23ln a h x g x f x x x x x=−=+++，则()223'ln 2a h x x x =+−，由()()22233161''60a h x x a x x x=−+=−+≥，得()'h x 在()0,+∞单调递增，又当<02min x e −⎧<⎨⎩时，()'0,h x <当2max x e −⎧>⎨⎩时，()'0,h x >故存在唯一00x >，使得()0'0h x =，且()h x 在0x x =处取得最小值．要使()()0g x f x −=有且仅有一个解，即有()()000'0h x h x =⎧⎪⎨=⎪⎩，化简得()20000202003ln 03ln 20a x x x x a x x x ⎧+++=⎪⎪⎨⎪++−=⎪⎩，代入化简得2302000a x x x −−++=，得()202010a x x ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，得0x a =．即ln 230a +=，解得1a =．。
2019学年重庆市高二理下学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年重庆市高二理下学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设是虚数单位，，则复数在复平面内对应的点落在（） A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 ____________________ D．第四象限2. 随机变量，若，则（）A． B． C． D．3. 已知，，那么“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件______________ C．充要条件___________ D．不充分不必要条件4. 某三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积是（）A． B．________ C．_________ D．5. 为了解社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机抽查5户家庭得如下数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户收入 20万元家庭的支出是（）A．15.6万元 B．15.8万元 C．16万元 D．16.2万元6. 若两异面直线所成角为，则成为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（）A．12对 B．24对 C．36对 D．48对7. 设，是球的球面上两点，，是球面上的动点，若球的表面积是，则四面体的体积的最大值为（）A． B． C． D．8. 某商场要从化为手机、、、、 5种型号中，选出3种型号的手机进行促销活动，则在型号被选中的条件下，型号也被选中的概率是（） A． B． C． D．9. 将甲，乙，丙3本不同的书籍放到6个书柜里，每个书柜最多放2本书，那么不同的放法有（）A．150种 ________ B．180种 C．210种 D．240种10. 数列的各项均为正数，前项和为，若，，则（）A． B． C． D．11. 由点向圆：引两条切线，切点为，，则的最小值是（）A． B． C． D．12. 已知是上的减函数，其导函数满足，那么下列结论中正确的是（）A．，B．当且仅当，C．，___________________________________D．当且仅当，二、填空题13. 的展开式中含项的系数是______________ ．14. 抛物线与曲线交于点，若到抛物线焦点的距离为 4，则___________ ．15. 如果函数有两个不同的极值点，那么实数的范围是___________ ．16. 设，，是直角三角形的三边长，斜边上的高为，为斜边长，则给出四个命题：① ；② ；③ ；④ ．其中真命题的序号是____________________ ，进一步类比得到的一般结论是______________ ．三、解答题17. 设是等差数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：18. 上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中抽取80名学生的数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设抽出学生的数学成绩在段各不相同，且都超过94分.若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数字中任意抽取2个数，有放回地抽取3次，记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为，求的分布列和期望.19. 如图，在三棱柱中，点在平面内的射影是的中点，侧面是边长为 2的菱形，且，．（1）证明：平面；（2）求锐二面角的大小．20. 椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离是．（1）求椭圆的方程；（2）若直线：被圆：截得的弦长为 3，且与椭圆交于，两点，求△ 面积的最大值．21. 函数，，已知曲线与在原点处的切线相同．（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围．22. 选修4-1：几何证明选讲四边形内接于圆，，过点作圆的切线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）若，，，求的长．23. 在极坐标系中，曲线的方程为，点．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求的值．24. 设函数，不等式的解集是．（1）求实数的值；（2）若对一切恒成立，求的范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
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数学精品复习资料南开中学高高二(下)期末测试卷数 学（理工农医类）数学（理工农医类）测试卷共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为（A ）1-（B ）0（C（D ）1（2）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-=0,1log 0≤,12)(2x x x x f x ，则=))41((f f（A ）21-（B ）21（C ）1（D ）7（3）已知集合{|}A x x a =<，3{|log 1}B x x =<，()R A B R =ð，则实数a 的取值范围是（A ）3a > （B ）3a ≥ （C ）3a ≤ （D ）3a < （4）已知,a b R ∈,“1a b >-”是“a b >”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）某个自然数有关的命题，如果当)(1*∈+=N n k n 时，该命题不成立，那么可推得k n =时，该命题不成立.现已知当2012=n 时，该命题成立，那么，可推得 （A ）2011=n 时，该命题成立 （B ）2013=n 时，该命题成立 （C ）2011=n 时，该命题不成立 （D ）2013=n 时，该命题不成立（6）一个几何体的三视图如题(6)图所示， 则该几何体的侧面积为（A）（B）（C ）4 （D ）8（7）对给出的下列命题：①2,0x R x ∀∈-<；②2,5x Q x ∃∈=；③2,10x R x x ∃∈--=； ④若2:,1p x N x ∀∈≥，则2:,1p x N x ⌝∃∈<．其中是真命题的是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）②③（D ）③④（8）3个女生与2个男生站成一排合影，要求女生甲不站左端，且其中一个女生恰好站在两个 男生之间的站法有（A ）48种 （B ）36种（C ）28种（D ）12种（9）若]22,22[-∈∃k使2(1) ||a k k +≤成立，则实数a 的取值范围是 （A ）]0,(-∞（B ）]41,(-∞（C ）]42,(-∞（D ）]82,(-∞ 2 22 正视图 222侧视图俯视图题(6)图（10）如题（10）图，用4个半径为1的小圆去覆盖一个半径为2的大圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） （A ）1π（B ）11π-（C ）21π-（D ）112π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）二项式91()x x-的展开式中3x 的系数是 ．（12）已知映射B A f →：,其中R B A ==,对应法则，：222+-=→x x y x f 若对实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 . （13）已知函数()f x x =0,0a b >>且()(1)f a f b =-，则14a b+的最小值为 .考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． （14）如题(14)图，圆O 的半径为1，直线AB 与圆O 相切于点B ，3=AB ，直线AO 交圆O 于D C 、两点， 则BD 的长为 ．（15）在极坐标系中，点(2,0)A 到曲线2:4sin 3C θ=上点P 的距离最小，点P 的极坐标为 ．（16）设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >,若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x -≤，则a 的值为 ．题(10)图三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是33,,45m ，且三人能否达标互不影响．（Ⅰ）若三人中至少有一人达标的概率是2425，求m 的值； （Ⅱ）设甲在3次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．（18）（本小题满分13分） 已知定义在R 上函数2()1x bf x x ax +=++为奇函数． （Ⅰ）求a b +的值； （Ⅱ）求函数()f x 的值域．（19）（本小题满分13分）如题(19)图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，122,,DC DD AD AB AD DC ===⊥AB ∥DC ．（Ⅰ）求证：平面1BCD ⊥平面1D BD ； （Ⅱ）求二面角11B AC D --的大小． （20）（本小题满分12分）设函数x e ax ax x f )1()(2++=，其中R a ∈．（Ⅰ）若()f x 在其定义域内是单调函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若()f x 在)0,1(-内存在极值，求a 的取值范围.（21）（本小题满分12分）题(19)图C 1D 1A 1B 1DCB A已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是1A 、2A ，离心率为，点(1,)2A 在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)且与椭圆C 交于P 、Q 两点,设直线1PA 与2QA 的交点为00(,)M x y ，求证：0=4x .（22）（本小题满分12分）已知集合{|,,,0,0}mQ x x m Z n Z m n n*==∈∈≠≠，设Q *的子集S 满足如下性质： （1）如果,a S b S ∈∈，则,a b S ab S +∈∈； （2）r Q *∀∈， r S ∈与r S -∈有且仅有一条成立.求证：（Ⅰ）1S ∈；（Ⅱ）设*r Q ∈，则r S ∈的充要条件是0r >.高二下期末考试参考答案（理科）一、选择题 DABBB DDCCD 二、填空题11. 84- 12. (,1)-∞ 13. 914. 15. (1,)3π16. 2三、解答题17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设三人中至少有一人达标为事件A ，则332431()1(1)(1)(1);45255p A m m -=----=⇒=……………6分（Ⅱ）03(0)p C ξ==311()464=，123319(1)()()4464p C ξ===2233127(2)()()4464p C ξ===，333327(3)()464p C ξ===ξ∴的分布列为19272790123.646464644E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=……………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()f x 为R 上的奇函数，知(0)0,(1)(1)f f f =-=-，由此解得0,0a b ==，故0a b +=.（Ⅱ）设21x y x =+的值域为C ，则y C ∈当且仅当关于x 的方程20yx x y -+=有根，当0y =时，根为0x =符合；当0y ≠时，2140y ∆=-≥，于是1122y -≤≤且0y ≠； 综上，值域为11[,]22-. 19．（本小题满分13分）解：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 设1AD AB ==,则(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0)A B C1111(1,0,2),(1,1,2),(0,2,2),(0,0,2)A B C D -………2分（Ⅰ）1(1,1,0),(1,1,2)BC BD =-=--1(0,0,2)DD =11(1,1,0)(1,1,2)0,BC BD BC BD ⋅=-⋅--=∴⊥11(1,1,0)(0,0,2)0,,BC DD BC DD BC ⋅=-⋅=∴⊥∴⊥平面1D DB∴平面1BCD ⊥平面1D BD ;………………7分（Ⅱ）1(0,1,2),A B =-1(1,2,2),AC =--11(1,0,0),A D =- 设平面1BA C 与平面11A CD 的法向量分别为：(,,),(,,)m x y z n a b c ==则11m AC m A B⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩2202202x y z x z y z y z -+-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，令1,z =则(2,2,1),m = 111n AC n A D ⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩22000x y z x x y z -+-==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，令1,z =则(0,1,1),n = cos ,||||32m n m n m n ⋅∴<>===∴二面角11B A C D --的大小为3.4π……………13分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）xe a ax ax xf )()(132+++=' )(x f 在R 上单调，则当0=a 时，0>='x e x f )(，符合；当0≠a 时，01492≤+-=)(Δa a a 即540≤<a ； 540≤≤∴a ； （Ⅱ）要使()f x 在),(01-内存在极值，由（Ⅰ）知首先有0<a 或54>a ，另外还需要方程0132=+++=a ax ax x g )(的根在),(01-内 对称轴123-<-=x ∴只需001<-)()(g g解得1>a 或1-<a 1>∴a 或1-<a ．21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由2242e a b =⇒= 由22221314,14a b a b+=⇒==.椭圆C 的方程为2214x y +=……………4分 （Ⅱ）设:1l x my =+,由22221(4)230.41x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩设112212122223(,),(,),,44m P x y Q x y y y y y m m ∴+=-=-++.……………7分 又设E 为直线1A P 与4x =的交点，N 为直线2A Q 与4x =的交点.1A P 的方程是11116(2)22E y y y x y x x =+⇒=++,同理,2222N y y x =- 由121212126232()2231E N y y y y y y x x my my -=-=-+-+- 1221123(1)(3)2(3)(1)y my y my my my --+=+-12121223()20(3)(1)my y y y my my -+=⋅=+-E N y y =,E 、N 为同一个点. 即1A P 与2A Q 的交点E 横坐标为4.……12分22．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由条件（2），1S ∈与1S -∈有且仅有一条成立，若1S -∈，则1S ∉， 又由条件（1），1(1)(1)S =--∈，这是一个矛盾.故1S ∈.（Ⅱ）若n S ∈，又由（Ⅰ）知1S ∈，则由条件（1），1n S +∈，由数学归纳法原理，这说明S 包含所有的正整数.现在我们考虑一个正的分数(0,0)mm n n>>，由条件（2），m S n ∈与m S n -∈有且仅有一个成立，若m S n -∈，又已证n S ∈，则由条件（1），()mm n S n-=-∈，这与已证的m S ∈矛盾（m S -∈与m S ∈有且仅有一条成立）.故mSn∈.即S 包含所有的正分数.于是由条件（2），S 不可能含有任何负分数.。