重庆市南开中学高三数学五月模拟考试理人教版

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重庆市2023届高三五月第二次联考数学试题

重庆市2023届高三五月第二次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2，方差在区间[1.2,2.4]内，则这五个点数（）A．众数可能为1B．中位数可能为3C．一定不会出现6D．出现2的次数不会超过两次10．设m，n为不同的直线，a，b为不同的平面，则下列结论中正确的是（）三、填空题13．已知向量a r 与b r 为一组基底，若4ma b ®+r与2a b®+r 平行，则实数m =________.14．命题：“()1,x "Î+¥，210x ->”的否定是________.15．某市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为________.五、解答题17．在ABCV 中，内角A ，B 2p<.(1)求角A 的大小；(2)()f x 的所有极值点为1x ，2x ，…，n x ，若()()()120n f x f x f x +++=L ，求m 的值.在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ^面由ABCD 为正方形，所以AC BD ^.又1CC AC C =I ，所以BD ^面1ACC ，所因为1BD BA B =I ,所以1AC ^平面1A BD 设1AC 与平面1A BD 交于点1P ，由等体积法11113111222322AP ´´´´=´´´´´。

2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题及答案

南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}42. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（）AB. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（）A. 2y = B. sin xy x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（）A. 0B.152C. 2D. 36. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A. a c b<< B. a b c << C. b a c << D. c a b<<7.π2cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）..A. 19-B.19C.13D.898. 将函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x =，有下列命题：①函数()g x 的图象关于直线πx =对称 ②函数()g x 图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确命题个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 174⎡⎢⎣C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．12. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．的的13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为.（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.20. 已知函数()11lnx aF x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x，证明：21a a x x e e -<-<-.的南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】B 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2230x x -->，即()()130x x +->，解得3x >或1x <-，所以{}2|230{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >，所以{}|13A x x =-≤≤R ð，又{}1,2,3,4B =，所以(){}1,2,3A B ⋂=R ð.故选：B2. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.【详解】解：因为sin 0x =，根据三角函数的基本关系式，可得cos 1x ==±，反之：若cos 1x =，根据三角函数的基本关系式，可得sin 0x ==，所以“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件.故选：C.3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是奇函数，排除B ，再取特殊值验证.【详解】因为()()||sin 2||sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-所以()f x 是奇函数，排除B ，由02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除A ，由44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，排除D ．故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（）A. 2y = B. sin x y x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A 选项：()()2f x f x -==，不是奇函数，故A 选项错误；B 选项：()()()sin sin sin x x xf x f x x x x---====--，不是奇函数，故B 选项错误；C 选项：因为()f x 的定义域为R ，且()()))()22lg 2lg2lg 414lg10f x f x x x x x -+=++=+-==，∴()f x 是奇函数．设2t x ==因为t =()0,∞+上单调递减，lg y t =在()0,∞+上单调递增，由复合函数单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递减，故C 选项正确；D 选项：()11e 2e x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为1e e ,xxy y ==-在()0,∞+上都单调递增，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故D 选项错误，故选：C ．5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（）A. 0B.152C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；【详解】0ln 222423151.1e log 1lg10ln e log 812012log 222+-+++=+-+++=.故选：B6. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】化简得13c =，构造函数()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，通过导数可证得sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，可得a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，从而可得答案．【详解】2711lg 912lg 31log 922lg 2723lg 33c ==⨯=⨯=.设()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则有()cos 10f x x '=-<，()f x 单调递减，从而()(0)0f x f <=，所以sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，故11sin 33<，即a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，故有a c b <<．故选：A ．7.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.19- B.19C.13D.89【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，12sin cos23ααα⎫+-=⎪⎪⎭，1π2cos sin263ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭.πππsin2cos2626αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos2cosπ233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos22sin136αα⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212139⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.故选：A8. 将函数()π3sin26f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x=，有下列命题：①函数()g x的图象关于直线πx=对称②函数()g x的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确的命题个数为（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.【详解】函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()πππ3sin 23sin 2666y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于①，当πx =时，()π3π3sin 2π62g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，不是函数()y g x =的最值，故①错误；对于②，当π12x =时，πππ3sin 2012126g ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确；对于③，当π5π,2424x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,644x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，令(ππ2πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 23k x k =+∈，当0,1,2,3k =时，π5π4π11π,,,3636x =，在[]0,2π上有4个极值点，故④错误．故选：B.9. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B. 172144⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】分段函数分段处理，在1x >，01x <<各有1个零点，所以π0x -≤≤有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证π0x -≤≤之间有5个零点即可.【详解】由题，当1x ≥时，()ln 2f x x x =+-，显然()f x 在()1,+∞上单调递增，且()110f =-<，()22ln 220f =+->，此时()f x 在()1,+∞在有一个零点；当01x <<时，()ln 2f x x x =--，1()10f x x'=-<，所以()f x 在()0,1上单调递减，2211()220e ef =+->，此时()f x 在()0,1上只有一个零点；所有当π0x -≤≤时，()π1sin 42f x x ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭=有5个零点，令()0f x =，则π1sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2π46x k ω+=+，或π5π2π46x k ω+=+，k ∈Z ，解得π2π12k x ω-+=，或7π2π12k x ω-+=，k ∈Z ，当0k =时，12π7π1212,x x ωω--==；当1k =时，34π7π2π2π1212,x x ωω----==；当2k =时，56π7π4π4π1212,x x ωω----==；由题可得π0x -≤≤区间内的5个零点，即π4π12π7π4π12πωω⎧--⎪≥-⎪⎪⎨⎪--⎪<-⎪⎩，解得54912126ω≤<，即49651212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.故选：C.【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．【答案】18i 55--【解析】分析】运用复数运算法则计算即可.【【详解】2232i (32i)(12i)36i 2i 4i 38i 418i 12i (12i)(12i)14i 1455-----+--====--++--+.故答案为：18i 55--.11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．【答案】-5【解析】【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x 的指数幂为0，即可求得k 的值.【详解】521x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()51552215521C C 1rrrr r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令5502r -=，解得1r =，所以()11215C 15T +=-=-，521x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故答案为：-512. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．【解析】【分析】根据函数()f x 的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.【详解】由函数()f x 的图象可知，35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2π=πT ω=，2ω=.把5π12x =代入()f x ，则5ππ22π122k ϕ⨯+=+，而ππ22ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以ππππ=2sin 22sin 3333f ⎛⎫⎛⎫⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．【答案】27【解析】【分析】根据已知可得30ECA ∠= ，在EAC 中由正弦定理可得AC ，再利用t ABC R 中计算可得答案.【详解】由图可得3609012012030∠=---= ECA ，在EAC sin 30= EA，即sin 452sin 30===EA AC ，在t ABC R 中，60CAB ∠= ，可得sin 6027=⨯== BC AC 米.故答案为：27.14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.【答案】1410⎛ ⎝【解析】【分析】写出()f x 的解析式并画出()f x 的图象，结合已知条件将问题转化为()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当[0,2)x ∈，()16(1|1|)f x x =--，当2n =时，[2,6)x ∈，此时1[0,2)2x -∈，则11()(1)16(1|2|)8(1|2|)22222x x xf x f =-=⨯--=--，当3n =时，[6,14)x ∈，此时1[2,6)2x -∈，则1155()(1)8(1||)4(1||)2224242x x x f x f =-=⨯--=--，当4n =时，[14,30)x ∈，此时1[6,14)2x-∈，则111111()(1)4(1||)2(1||)2228484x x x f x f =-=⨯--=--，……因为()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点，所以()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，如图所示，由图可知，当log a y x =经过点(10,4)A 时，两函数图象有4个交点，经过点(22,2)B 时，两函数图象有6个交点，所以当()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点时，则1log 104log 222a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得1410a <<.故答案为：1410（.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出()f x 的图象，进而可得(,)()t M a b f t ≥，结合已知条件可知只需()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，由()(2)f t f t =+可得ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，联立两者进而可求得结果.【详解】设()ln g x x ax b =++，（0a >），定义域为(0,)+∞，由单调性性质可知，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，设0()0g x =，则()g x 的图象如图所示，所以()f x 的图象如图所示，则由图象可知，{}max (),()(2)()(,)max (),(2)(2),()(2)t f t f t f t f x M a b f t f t f t f t f t ≥+⎧==+=⎨+<+⎩，所以(,)()t M a b f t ≥，如图所示，当()(2)f t f t =+时，有(ln )ln(2)(2)t at b t a t b -++=++++，则ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，①又因为{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，所以()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，所以ln ln 3b t at a ≤----，②由①②得ln(2)ln 2(1)ln ln 32t t a t t at a ++++≤-----，整理得ln(2)ln 2ln 3ln 9t t t +≥+=，即29t t +≥，所以14t ≤.故t 的最大值为14.故答案为：14【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)()a f x ≥恒成立⇔max ()a f x ≥；()a f x ≤恒成立⇔min ()a f x ≤；()a f x ≥能成立⇔min ()a f x ≥；()a f x ≤能成立⇔max ()a f x ≤.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）πT =，()5ππ122k x k =+∈Z （2）min 1y =，max 2y =.【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；（2）由x 的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】()()2πcos 2sin πcos 2f x x x x ⎤⎛⎫=+-+⋅ ⎪⎥⎝⎭⎦)22sin cos 1cos2sin2x x x x x =+⋅=-+sin22sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故周期为2ππ2T ==，令2π,32x k k ππ-=+∈Z ，解得()5ππ122k x k =+∈Z ，对称轴方程()5ππ122k x k =+∈Z ，【小问2详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵ππ42x ≤≤，∴ππ2π2,363t x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当π6t =时，即π4x =时，()min π1sin sin 62t ==，此时min 1y =，当π2t =时，即5π12x =时，()max πsin sin 12t ==，此时max 2y =.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据2C π≠，所以cos 0C ≠或2222a b c b+-≠，化简即可得出1cos 2B =，即可得出答案；（1）根据余弦定理结合第一问得出的角B 的大小得出222a c b ac +-=，结合已知223125b c ac +=-，得出224412a ac c ++=，根据基本不等式得出22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅即32ac ≤，即可由三角形面积公式得出答案；或将224412a ac c ++=化简为2(2)12a c +=，由三角形面积公式结合基本不等式得出ABC 的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，即可得出答案.【小问1详解】方法一：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据正弦定理边化角得：sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，即()sin sin cos 2sin cos cos A C C A A B C +-=，所以sin cos 2sin cos cos A C A B C =，因为2C π≠，所以cos 0C ≠，又sin 0A >，所以1cos 2B =，又0πB <<，所以3B π=.方法二：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据余弦定理：得2222222cos 22b c a a b c b c a B bc ab+-+--=⋅，即2222222cos 22b c a a b c B b b -++-=⋅，因为2C π≠，所以22202a b c b+-≠，所以1cos 2B =，又0πB <<，得3B π=.小问2详解】方法一：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=，因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，因为0,0a c >>，所以22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅，所以32ac ≤，当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC的面积1sin 2S ac B ==≤，所以ABC方法二：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=.因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，即2(2)12a c +=，所以ABC的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，【当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面PBD 的一个法向量，再由向量法求解；（3）求出平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，再由向量法求解.【小问1详解】解：以点A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ，向量()0,1,1BE = ，()1,0,0AB =，故0BE AB ⋅= ，又AB为平面PAD 的一个法向量，又BE ⊄面PAD ，所以//BE 平面PAD .【小问2详解】向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =- ，()0,1,1BE = 设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以cos ,n BE n BE n BE⋅===⋅所以直线BE 与平面PBD【小问3详解】向量()1,2,0BC = ，设平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，220n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x y x z +=⎧⎨-=⎩，令11y =-，得()22,1,1n =- 为平面PBC 的一个法向量，则22BD n d n ⋅===.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为..（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.【答案】（1）22142x y += （2）【解析】【分析】（1）根据题意得出,a b 的值，进而可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，将其与椭圆方程联立，得出EM 斜率，联立方程组得出M 点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于k 的方程，解出即可得结果.小问1详解】由题意可得2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，b =，c =∴椭圆C 的方程为22142x y +=.【小问2详解】易知椭圆左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()0,2E k ，()0,2H k -，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2222128840k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，∴()()422644841216k k k ∆=--+=，【则有2122812k x x k +=-+，21228412k x x k-=+，∴()2012214212k x x x k =+=-+，()0022212=+=+k y k x k ，∴0012OP y k x k ==-，∴直线EM 的斜率2EM k k =，∴直线EM 的方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离d =，∴AB ==∴1||2AP AB ==∴241132212APM k S AP d k =⋅=⨯==+△，解得k =.20. 已知函数()11lnx a F x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x ，证明：21a a x x e e -<-<-.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2a ≤；（Ⅲ）证明见解析.【解析】分析】（Ⅰ）当2a =时对()h x 求导，证明1x >时，()0h x '>即可.（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，根据函数的单调性判断ln x 与()11a x x -+的关系，根据()0F x >恒成立，确定a 的取值范围；（Ⅲ）根据函数的单调性求出2121a a t t x x e e --<-<-，得到【21t t -==，证明结论成立即可.【详解】（Ⅰ）()()ln 111x a h x x x x ⎛⎫=--⎪-+⎝⎭当2a =时，()()()21ln 21ln 111x x h x x x x x x -⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭()()()()()()()()2222221211111114x x x x h x x x x x x x x +---+-'=-==+++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上为单调递增函数，因为()10h =，所以()()10h x h >=，（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，则()()()222111x a x f x x x +-+'=+，令()()2211g x x a x =+-+，当1a ≤时，当0x >时，()0g x >，当12a <≤时，2480a a ∆=-≤，得()0g x ≥，所以当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数，且()10f =，所以有()101f x x >-，可得()0F x >．当2a >时，有2480a a ∆=->，此时()g x 有两个零点，设为12,t t ，且12t t <.又因为()12210t t a +=->，121t t =，所以1201t t <<<，在()21,t 上，()f x 为单调递减函数，所以此时有()0f x <，即()1ln 1a x x x -<+，得ln 011x a x x -<-+，此时()0F x >不恒成立，综上2a ≤．（Ⅲ）若()F x 有两个不同的零点12, x x ，不妨设12x x <，则12, x x 为()()1ln 1a x f x x x -=-+的两个零点，且11x ≠，21x ≠，由（Ⅱ）知此时2a >，并且()f x 在()10,t ，()2,t +∞为单调递增函数，在()12,t t 上为单调递减函数，且()10f =，所以()10f t >，()20f t <，因为()201a a a f e e -=-<+，()201aa a f e e =>+，1a a e e -<<，且()f x 图象连续不断，所以()11,a x e t -∈，()22,a x t e∈，所以2121a a t t x x e e--<-<-，因为21t t -==综上得:21||a a x x e e -<-<-.【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.。

重庆南开中学校2024届高三第五次质检数学试卷+答案

重庆市高2024届高三第五次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知复数()i z a =∈R ，复数z 的共轭复数为z 若3z z ⋅=，则a =（）A.2B. D.82.函数()()sin cos f x x x x =−∈R 的图象的一条对称轴方程是（） A.π4x =B.π4x =−C.π2x = D.π2x =−3.已知函数()222x xf x −−=，则不等式()()230f x f x −+ 的解集是（）A.(],1∞−B.[)1,∞+C.(],3∞−D.[)3,∞+4.已知()26(21)x x a x ++−展开式中各项系数之和为3，则展开式中x 的系数为（） A.-10 B.-11 C.-13 D.-155.已知集合{}0,1,2,3,4A =，且,,a b c A ∈，用,,a b c 组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（） A.14 B.17 C.20 D.236.已知正三棱台111ABC A B C −的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60 ，则此三棱台的体积为（）A. D.7.已知函数()()120(0)xkx x x f x e kx x −−+=−>恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（） A.[)1,e B.()1,1,2e ∞ −∪+ C.1,2e−D.1,12 −8.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点3,02A p−，点M 在抛物线上，且满足MA MF =，若MAF的面积为p 的值为（）A.3B.4C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，112a =，若数列{}n n a S −既是等差数列，又是等比数列，则（）A.{}n a 是等差数列B.ln n a n是等比数列 C.{}n S 为递增数列 D.(){}1n n n a −最大项有两项10.已知圆22:4O x y +=，过直线:3l y x =−上一点P 向圆O 作两切线，切点为A B ､，则（）A.直线AB 恒过定点44,33−C.AB 的最小值为43D.满足PA PB ⊥的点P 有且只有一个 11.某中学为了提高同学们学习数学的兴趣，激发学习数学的热情，在初一年级举办了以“智趣数学，“渝”你相约”为主题的数学文化节活动，活动设置了各种精彩纷呈的数学小游戏，其中有一个游戏就是数学知识问答比赛.比赛满分100分，分为初赛和附加赛，初赛不低于75的才有资格进入附加赛（有参赛资格且未获一等奖的同学都必须参加）.奖励规则设置如下：初赛分数在[]95,100直接获一等奖，初赛分数在[)85,95获二等奖，但通过附加赛有15的概率升为一等奖，初赛分数在[)75,85获三等奖，但通过附加赛有13的概率升为二等奖（最多只能升一级，不降级），已知A 同学和B 同学都参加了本次比赛，且A 同学在初赛获得了二等奖，根据B 同学的实力评估可知他在初赛获一､二､三等奖的概率分别为111,,642，已知4，B 获奖情况相互独立.则下列说法正确的有（） A.B 同学最终获二等奖的概率为13B.B 同学最终获一等奖的概率大于A 同学获一等奖的概率C.B 同学初赛获得二等奖且B 最终获奖等级不低于A 同学的概率为21100D.在B 同学最终获奖等级不低于A 同学的情况下，其初赛获三等奖的概率为41512.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 在侧面11AA D D 内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（）A.存在点P 满足平面PBD ∥平面11B D CB.当P 为线段1DA 中点时，三棱锥111P A B D −C.若()101DP DA λλ=，则PQ PB −最小值为32D.若QPD BPA ∠∠=，则点P 的轨迹长为2π9三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知角α终边上有一点()2,1P ，则πsin 22α+=__________. 14.已知数列{}n a 满足111750,1751n n a a a +==−，若123n n T a a a a =⋅⋅ ，则2024T =__________. 15.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为()()12,0,,0F c F c −，过椭圆外一点()3,0P c 和上顶点M 的直线交椭圆于另一点N ，若1MF ∥2NF ，则椭圆的离心率为__________.16.平面向量,,a b c 满足||||2,()()1a b c a c b ==−⋅−=−，则a c ⋅ 最大值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD 为钝角三角形，,AC BC P ⊥为AC 与BD 的交点，若π,4,6ACD AD AC ∠===，且7tan 9BAD ∠=（1）求ADC ∠的大小；（2）求PDC 的面积.18.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①首项*11,,a m n =∀∈N ，均有2m nn S S mn +=+ ②*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S −=请从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na n a ⋅前n 项和nT 的表达式19.新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了28.2%，提前三年超过了“十四五”预定的20%的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表：月份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 渗透率%y29323432333436363638（1）假设自2023年1月起的第x 个月的新能源渗透率为%y ，试求y 关于x 的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率.（2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价10%支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为X 万元，求X 的分布列和期望.附：一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+的系数公式为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay bx xnx ==−==−−∑∑ 20.如图，斜三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 是边长为a 的正三角形，侧面11ABB A 为菱形，且160A AB ∠= .（1）求证：1AB A C ⊥；（2）若11cos 4A AC ∠=，三棱柱111ABC A B C −的体积为24，求直线1A C 与平面11CBB C 所成角的正弦值.21.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条浙近线方程为y x =，且点P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）设双曲线左右顶点分别为,A B ，在直线1x =上取一点()()1,0P t t ≠，直线AP 交双曲线右支于点C ，直线BP 交双曲线左支于点D ，直线AD 和直线BC 的交点为Q ，求证：点Q 在定直线上.22.若函数()f x 在定义域内存在两个不同的数12,x x 同时满足()()12f x f x =且()f x 在点()()11,x f x ，()()22,x f x 处的切线斜率相同，则称()f x 为“切合函数”.（1）证明：()326f x x x =−为“切合函数”；（2）若()21ln g x x x x ax e=−+为“切合函数”（其中e 为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为12,x x .①求证：2124e x x <；②求证：2123(1)4a x x +<.数学试题参考答案与评分细则题号 1 23 4 5 6 7 8 9101112选项 A BABCCDDBCD ACBCDABD13.35【解析】2π3sin 2cos212sin 25αααα +==−=14.750【解析】2341231111750751,,117501751a a a a a a ====−==−−− 所以{}n a 周期为3，且6741232024121,(1)750a a a T a a =−=−⋅⋅=【解析】法一：因为2F 为1PF 中点，1MF ∥2NF ，所以N 也是PM 中点. 则3,22c b N，代入椭圆方程可得离心率c e a==法二：因为2F 为1PF 中点，1MF ∥2NF ，所以2113,222N a c NF MF x === 用焦半径公式322a a e c −⋅=，解得c e a==16.4【解析】设()()0,0,2,0O OA a == ，向量,a b夹角为θ，则()2cos ,2sin b OB θθ==设(),c x y =，由()()1c a c b −⋅−=− 得： ()()2,02cos ,2sin 1x y x y θθ−−⋅−−=−化简得： 22(1cos )(sin )12cos x y θθθ −++−=−，即(),x y 在一个圆上而2a c x ⋅= ，所以即求x 的最大值，为c 在a上投影长度最大时，即1cos θ+ 令t=，则(22221cos 32(1)44x t t t θ=++=−+=−−+ 在1t =即π2θ=时取得17.解：（1）在ACD中，由正弦定理得：sin sin sin AD ACADC ACD ADC∠∠∠=⇒==π3ADC ∠∴=或2π3，当π3ADC ∠=时，π2DAC ∠=，与ACD 为钝角三角形不符合，舍去.所以2π3ADC ∠=. （2）由（1）知，ACD 为等腰三角形，()πtan tanπ6,4,tan tan π61tan tan 6BAD DAC DC BAC BAD DAC BAD ∠∠∠∠∠∠−===−=+⋅ ,tan 3AC BC BC AC BAC ∠⊥∴=⋅= ，由1π11ππsin sin 262262DCP PCBDCB S S S DC PC PC CB DC CB ∧+=⇒⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+，可得1πsin 26PDC PC S DC PC =∴=⋅⋅=法二：作DH AC ⊥于H ，则πsin 26DH DC ==，由PDH PBC ∽得23DP DH PB BC ==，则221ππsin 55262DCP DCB S S CD ==⋅⋅+. 18.解：（1）若选条件①，则令1m =，可得：121n n S S n +−=+，故当2n 时有：()()()()212132113521n n n S S S S S S S S n n −=+−+−++−=++++−=⇒ 221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−又当11a =也符合上式，所以21na n =− 若选条件②，则由()214n n a S +=可得当2n 时有：()21114n n a S −−+=，两式相减得；()()1120n n n n a a a a +−+−−=，因为0n a >，故有120n n a a −−−= 又由题可求得11a =，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，从而有21na n =− （2）由（1）可知：()212212na n n a n −⋅=−，则()13521123252212n n T n −=×+×+×++− ()357214123252212n n T n +=×+×+×++−两式相减得：()()13521213122222212n n n T n −+−=×+×+++−−()()1212181410522212221433n n n n n −++−=+×−−=−+− −所以2110252939n n n T + =+−⋅19.（1）计算得 5.5,34xy =，所以：122211936105.53466ˆˆˆ0.8,340.85.529.6385105.582.5ni ii nii x y nxyb a y bx xnx ==−−⋅⋅=====−=−⋅=−⋅−∑∑ 则同归直线方程为ˆ0.829.6y x =+，代入13x =得40y = 所以预测2024年1月新能源渗透率为40%；（2）由题意，每个客户购买新能源车的概率为25，燃油车概率为35X 所有可能取值为0,2,4,6则()()321132823360,2512555125P X P X C ======， ()()2323123543274,6551255125P X C P X======所以X 的分布列为所以()365427450182461251251251255E X =⋅+⋅+⋅==（万元）. 20.解：（1）证明：取AB 中点O ，连接1,A O CO ，由题知1A AB 为正三角形，而ABC 也是正三角形，1,A O AB CO AB ∴⊥⊥，又1,A O CO O AB ∩=∴⊥ 平面1ACO ， 1A C ⊂ 平面11,A CO AB A C ∴⊥（2）111,cos 4A AAB AC a A AC ∠==== ，由余弦定理得2222111132cos 2A C AA AC AA AC A AC a ∠=+−⋅⋅=1AC ∴，又1AO CO ==， 222111,AO CO AC AO CO ∴+∴⊥ 又11,,A O AB AB CO O A O ⊥∩=∴⊥ 平面1,ABC A O CO AB ∴､､两两垂直. 以O 为原点，以,,CO OB OA的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图.因为三棱柱111ABC A B C −的体积为21244ABC V S AO a a =⋅==⇒= ，则()()()((110,2,0,0,2,0,,0,0,,A B C A AC −−−−(()110,2,,2,0CC AA CB ===.设平面11CBB C 的法向最为(),,nx y z =，由120020y n CC n CB y +⋅=⇒ ⋅=+= ′，可取()1,n = ，设向量n 与1AC的夹角为θ，()(11,cos n AC θθ∴⋅=⋅−−=−⇒， ∴直线1A C 与平面11CBB C.21.解：（1）因为渐近线方程为y x =，所以a b =，设双曲线为222x y a −=，代入P得24a =，双曲线的标准力程为224x y −=（2）设直线3:2AP x y t =−，联立双曲线22324x y tx y=−−= 得： 22222291212318244,,299cc t t y y y y x y t t t t t ε+−+−===−=−−；设直线1:2BP x y t =−+，联立双曲线22124x y t x y=−+ −= 得： 22222214412244,,2;11D D D t t y y y y x y t t t t t −−−+−===−+=−− 所以2222224121319,442219C D AD BCD C t ty y t t k k t t x t x tt t −−===−===−+−−− 则()()13:2,:2AD y x BC y x t t=−+=− 设()00,Q x y ，则()()00001232y x t y x t=−+=−，两式相除消t 得00021,123x x x −=−=+ 所以Q 在直线1x =上另证：设直线()()()2242:22222D D D D D D D D y y x x AD y x x x x x y y −−=+=⋅+=+++，直线()()()2242:22222C C C C C C C Cy y x x BC y x x x x x y y −+=−=⋅−=−−−，由于BP BD k k =，即2DD y t x =−−，由于AP AC k k =，即23C C y tx =+则()()13:2,:2AD y x BC y x tt=−+=−.后同前证22.解：（1）假设存在12,x x 满足题意，易知()266f x x =−′，由题可得： ()()3322121122112226263f x f x x x x x x x x x ⇔−−⇒++()()221212121266660f x f x x x x x x x ′=⇔−−′=⇒+=⇒=−代入上式可解得()(12,x x =或，故()f x 为“切合函数”（2）由题可知()2ln 1xg x x a e=−++′，因为()g x “切合函数”，故存在不同的12,x x （不妨设120x x <<）使得：()()()()221122211211122221121221121221ln ln 1ln ln :222ln 1ln 12ln ln x x x x x x x x a x x ax x x ax x x e g x g x e e g x g x x x e x x x a x a x x e e −+ =+ −+=−+ −= ⇔⇔ =− =−++=−++ − ′′①先证：2121ln ln x x x x −>−2211ln ln ln x x x x =>−=令t =，则由120x x <<可知1t >，要证上式，只需证： ()211ln 2ln 2ln 0(1)t t t m t t t t l l −>=⇔=−+<>，易知()22(1)0t m t t−−=<′ 故()m t 在()1,∞+单调递减，所以()()10m t m <=，故有2121ln ln x x x x −>− 由上面的221224e e x x <⇒< ②由上面的2式可得：21211ln ln 12x x x x e −−，代入到1式中可得： ()()()()212111221122211211221221212121ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 1222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x x x x x x −+−−−+−=+===−−−− 21212ln 2a x x x x e −−⇒=且由（1）可得2ln 24ln 2e a e >−= （另解：由上面的2式可得2121ln ln 2x x x x e−−=，代入到1式的变形： ()2221211122ln ln x x a x x x x x x e−−=−+，整理后也可得到12ln 2x x a =−）故要证2123(1)4a x x +<，只需证： 2222332(1)(1)0ln 44a a a a a e e e e a a e −− +−<⇔+−+>>设()2232(1)ln 4a a h a e e a a e =+−+>，则即证：()0h a > ()()()()()22321,323212a a a a a a h a e e a h a e e e e ′=+−+=+−′=′−+ ()()222ln ln ,320033a a a e e h a h a e >>∴>⇒>′′⇒>⇒′− 在2ln ,3∞ + 单调递增()()2222ln ln 2ln 10ln 10333h a h h x x e >>=′′′−−>−− ()h a ⇒在2ln ,3∞ + 单调递增()2222ln ln ln ln 20333h a h h e  ⇒>>=−−>  所以原不等式成立另证：当2ln ,0a e∈时，可用1a e a + 放缩代入证明不等式成立当()0,a ∞∈+时，可用2112a e a a ++放缩代入证明不等式成立综上，原不等式成立。

重庆市南开中学2024届高三上学期第一次质量检测数学试题含答案

重庆市高2024届高三第一次质量检测数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}2540A x Z x x =∈-+≤，集合{B x y ==，则集合A B 的子集的个数是（）A.2B.4C.7D.82.命题“1x ∀<，21x <的否定是（）A.“1x ∃≥，21x <” B.“1x ∃<，21x ≥”C.“1x ∀<，21x ≥”D.“1x ∀≥，21x ≥”3.设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，0.32c =，则（）A.a b c >>B.b c a>> C.a c b>> D.c a b>>4.已知函数()f x =的定义域为R ，则实数k 的取值范围为（）A.0k ≥或32k ≤-B.32k ≥C.3322k -≤≤ D.302k <≤5.某高铁动车检修基地库房内有A ～E 共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车01、02、高铁01、02、03共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车01停放在A 道的概率为（）A.14B.15 C.18 D.1106.已知函数2s 1()log in 1xf x x x+=+-，则不等式()()021f x f x ++<的解集为（）A.1,3⎛⎫ ⎪⎝∞-⎭- B.11,3⎛⎫ ⎪⎝-⎭- C.11,23⎛⎫⎪⎝-⎭-D.11,2⎛⎫ ⎪⎝-⎭-7.已知函数215,022()2,0x x x x f x e x ⎧--<⎪=⎨⎪-≥⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的根1234,,,x x x x（12x x <34x x <<），则314242x e x x x x --的最大值是（）A.55ln32+ B.5ln24+ C.5ln3D.132e-8.已知a ，b R ∈，关于x 的不等式xe ax b ≥+在R 上恒成立，则ab 的最大值为（）A.3e B.2e C.2e D.3e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()24f x f x +-=，且()f x 在()0,1单调递增，则以下说法一定正确的是（）A.()f x 为周期函数B.()12f = C.()20232f =- D.()f x 在()3,4单调递减10.两个具有相关关系的变量x ，y 的一组数据为()11,x y ，()()22,,n n x y x y ⋅⋅⋅，求得样本中心点为(),x y ，回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，决定系数为2R ；若将数据调整为()11,1x y +，()()22,1,,,1n n x y x y +⋅⋅⋅+，求得新的样本中心点为(),x y ''，回归直线方程为ˆˆˆy b x a '''=+，决定系数为2R '，则以下说法正确的有（）附()()121ˆ()niii ni i xxy y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，()22121ˆ()1nii i ni i y yR y y==-=--∑∑A.y y '= B.ˆˆbb '= C.ˆˆa a '< D.22R R '<11.已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为()0k k >的直线l 交椭圆于A ，B 两点，A 在x 轴上方，M 为线段AB 上一点，且满足11934AM MF F B ==，则（）A.12123AF F BF F S S =△△ B.直线lC.2AF ，AB ，2BF 成等差数列D.2AMF △的内切圆半径13r a =12.已知实数a ，b 满足0a b +<，函数()xxf x ae be cx -=++（e 为自然对数的底数）的极大值点和极小值点分别为12,x x ，且12x x <，则下列说法正确的有（）A.0a > B.20a c +< C.120x x +< D.120()()f x f x +<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X 服从二项分布()(),01B n p p <<，若()()2E X D X =，则p =______.14.已知实数a ，b 满足()()()22log 1log 1a b a b -=-≠，则2a b +的最小值为______15.随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为______万吨，预计到______年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨.（参考数据：lg1.10.0414≈，lg 30.4771≈）16.已知抛物线28y x =焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交抛物线于A ，B ，AB 中点为Q ，若圆()2249x y ++=上存在点P 使得12PQ AB =，则k 的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 是公比为2的等比数列，且2442a a b +=+，1323a a b b +=+.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设数列211log n n a b +⎧⎫⎨⎩⋅⎬⎭的前n 项和为n S ，求证：1613n S ≤<.18.（本小题满分12分）如图，多面体EFABC 中，FA ⊥平面ABC ，且//FA EB ，2EB BA BC ===，4FA =，M 是FC 的中点.（1）求证：平面CEF ⊥平面CAF ；（2）若ME =ME 与平面CBE 所成角的大小.19.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x ax =++在1x =处的切线l 和直线0x y +=垂直.（1）求实数a 的值；（2）若对任意的1x ，(]20,2x ∈，12x x ≠，都有12221212()()x x f x f x x x m e e--+>-成立（其中e 为自然对数的底数），求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）为了带动节能减排的社会风尚，引导居民错峰用电，某地区下个月开始将实行分时电价.过去居民用电实行的是阶梯电价，每月用电量不超过180度的部分，按照每度电0.45元收取，超过180度的部分，按照每度电0.6元收取.而新的分时电价则是将每日24小时分为峰段、谷段、平段三个时段，按照峰段每度电0.6元，谷段每度电0.4元，平段每度电0.5元收取.该地区一位居民为了预估自己下个月的用电费用变化，他做了以下工作：首先，为了估计开空调与不开空调的用电量，他统计了过去一些天自己家的日均用电情况后得出结论：开空调时的每日用电量为10度，不开空调时的每日用电量为5度.然后，他统计了一天中三个时段的用电量比例，在开和不开空调的情况下分别如下图：假设下个月一共30天，每天他开空调的概率均为p （01p <<）.（1）根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为X 度，求X 的分布列和期望()E X （用p 表示）.（2）根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为a 元，不开空调的每日平均用电费用为b 元，分别求a ，b ；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为Y 元，求Y 的分布列和期望()E Y （用p 表示）.（3）如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为()E X ；用分时电价计算全月电费时，将每日用电费用视为()E Y .要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则p 的取值范围为多少?21.（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为A 、B ，渐近线方程为12y x =±，焦点到渐近线距离为1，直线:l y kx m =+与C 左右两支分别交于P ，Q ，且点2323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在双曲线C 上.记APQ △和BPQ △面积分别为1S ，2S ，AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k（1）求双曲线C 的方程；（2）若12432S S =，试问是否存在实数λ，使得1k -，k λ，2k .成等比数列，若存在，求出λ的值，不存在说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()sin ln 1f x x x =-+（1）求证：当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x ≥；（2）求证：()111111ln(1)sin sin sin sin ln ln 2N 224622n n n n *+<+++⋅⋅⋅+<+∈.重庆市高2024届高三第一次质量检测数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.1-4DBDB5-8CBAB3.D 【解析】()0.20.20.2log 0.3log 1,log 0.20,1()a =∈=，22log 0.3log 10b =<=，0.30221c =>=，故c a b>>4.B 【解析】由题：230kx x k -+≥恒成立，易知0k =时不满足，0k ≠时，有2039402k k k >⎧≥⎨∆=-≤⇒⎩5.C 【解析】记M =“两动车相邻”，N =“动车01停在A 道”，则()332424()1()8A n MN P N M n M A A ===6.B 【解析】由题知10111xx x+>⇒-<<-，易知()()()0f x f x f x -+=⇒为奇函数又2212log log 111x y x x +⎛⎫==- ⎪--⎝⎭和sin y x =在()1,1-递增，故由()()()()()21210121111312f x f x f x f x f x x x x <⇒<-=⇒-<<---<<+++-<--⇒7.A 【解析】由图可知当且仅当01m <<时，方程()f x m =有四个不同的根，且125252x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭，由题：332ln(2)x em x m -=-⇒=，442ln(2)x e m x m ==+⇒-，3214422(2)5ln(2)25ln(2)4x e x x x x m m m m --=-+∴+=-+++设()()01)(2524h m m ln m m =-+++<<则12()2m h m m -'=+，令()1012m m h '<⇒<<，1()002h m m '>⇒<<故()h m 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减，max 15()5ln 322h m h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⇒8.B 【解析】由图像可知，0a <不成立，则0a ≥，要ab 最大，需要0a >，0b >；1b >时，0x =时不成立，则01b <≤；对于取定的b ，要ab 最大需要a 更大，所以只需过(0,)b 作xy e =的切线，切线斜率即为最大的a .设切点(),tt e ，则0t t e be t -=-即t a e =，()1tb t e =-()()21t ab t e g t =-=，()()()()22212112t t tg t t e e t e '=-⋅+-=-所以在12t =取得最大值2e 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.ABD10.BC11.AC12.ABD9.ABD 【解析】由于()()24f x f x +-=，得到()f x 关于()1,2对称，又因为定义域为R ，所以()12f =，B 正确；因为是偶函数()()()224f x f x f x -=-=-，()()()()44244f x f x f x f x -=--⎡⎤⎣=⎦--=，所以周期为4，A 正确；由于周期性和奇偶性，()()()2023112f f f =-==，C 错误；由于周期为4，()f x 在()3,4的单调性与()1,0-的单调性相同，由于偶函数，在()1,0-的单调性与(0)1，的单调性相反，所以D 正确.10.BC 【解析】123123111111n ny y y y y y y y y y n n++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅'==+=+，А错误；ˆb 的计算中，i x 数据不变，()1i i y y y y '-=+-也不变，所以ˆb 不变，B 正确；ˆˆˆˆˆ11ay bx y bx a a ''=-=+-=+>，C 正确；由于()22121ˆ()1nii i ni i y yR y y==-=--∑∑，i y 变成了1i y +，1y y '=+，ˆˆˆˆˆ11i i ii y b x a bx a y '''=+=++=+，从而ˆi i y y -，i y y -都不变，所以22R R '=，D 错误.11.AC 【解析】由11934AM MF F B == 可得：12121133AF F BF F AF F B S S =⇒=△△，故A 正确设()1,0F c -，()2,0F c ，:l x ty c =-，由椭圆离心率为2可得：a =，b c =，故椭圆方程可化为：22222x y c +=，联立直线l 方程整理得：()222220t y tcy c +--=.设11(),A x y ，22(),B x y ，.则有：12222tc y y t +=+，21222c y y t -=+，又由113AF F B =可得：123y y =-，联立可解得：2221111t k k t =⇒==⇒=，故B 错误由12145k AF F =⇒∠=︒，.又1OA OF A =⇒为上顶点，2AF a ==，33AB =+=，2243BF a AF AB =--=，易知满足222AB AF BF =+，故C 正确对于D ：由前面的分析知：2AMF △是以A 为直角的直角三角形，故内切圆半径222AM AF MF r +-=52144244c a +-===，故D 错误12.ABD 【解析】由题方程()2200x x xxx x xae ce bf x ae bec ae ce b e-+-'=-+==⇔+-=有两不等实根12,x x ，且()f x 在1(),x -∞，2(),x +∞上单调递增，在()12,x x 单调递减，故0a >.A 正确令xt e =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11xt e =，22xt e =，从而有：240c ab ∆=+>，00a b b a +<⇒<-< ()()()2204222020c a c a c a c a c a ⇒<-=+-⇒+<-< ()12000ct t c a a+=->⇒<> 1200b t t b a -⋅=>⇒<，又0a b +< ，故12121210x x b t t e x x a+-⋅==>⇒+>，故B 正确，C 错误对于D ：12121212()()()()()x x x x f x f x a e e b e e c x x --+=+++++11121211()()a t t b c x x t t ⎛⎫=+++++=⎪⎝⎭1212()()0c c a b c x x c x x a b ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅++=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1214.3+15.5.5，203516.226226,1313⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭13.12【解析】X 服从二项分布(),B n p ，则()E X np =，()()1D X np p =-所以()21np np p =-，12p =14.3+【解析】若()()22log 1log 1a b -=-，则a b =不成立；若2221log (1)log (1)log 1a b b -=--=-，则()()111a b --=，ab a b =+，111a b⇒+=所以1122(2)2132b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，b =时取得15.5.52035【解析】设2023年为第一年，第n 年该厂的金属产量为n a ，截止第n 年末这家冶金厂该金属的累计总产量为n S ，11(2)20(1)n n n S a n S a n -+≥⎧=⎨+=⎩12010%35a =⨯+=，()220510%3 5.5a =+⨯+=，故2024年产量为5.5万吨，10.13n n a S +=⋅+，10.13n n a S -=⋅+作差得()10.12n n n a a a n +-=⋅≥，所以()1 1.12n n a a n +=⋅≥，211.1a a =⋅也成立，所以151.1n n a -=⋅，由151.115n n a -=⋅>得11.13n ->，(1)lg1.1lg 3n ->lg 30.4771(1)11.5lg1.10.0414n ->≈≈，则n 取13，为2035年16.226226,1313⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】设AB 中点为()00,Q x y ，12PQ AB =即PA PB ⊥，P 在AB 为直径的圆上.所以只需该圆与AB 为直径的圆有公共点即可.设直线():2AB y k x =-，联立得()2228kx x-=解得21202242x x k x k++==，04y k =，0122r AB x ==+所以圆心距d =，3d r ≤+即可（不可能内含）05x ≤+化简得20029y x ≤+，代入得22164229k k ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，28226226,131313k k ⎛⎡⎫≥∈-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭⇒ 17.解：（1）由题意可得111121282266a b a b +=+⎧⎨+=⎩，解得13a =，12b =，因为数列{}n a 的公差为3，数列{}n b 的公比为2，所以3n a n =，2nn b =（2）由（1）知：2111111log 3(1)31n n a b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭111111111111322334131n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝∴⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦易知111y n =-+在*n N ∈单调递增，故1n =，n S 取最小值16，n →+∞，13n S →故1613n S ≤≤成立.18.解：（1）证明：取AC 的中点N ，连结MN ，BN因为BA BC =，所以BN CA ⊥.因为FA ⊥面ABC ，BN ⊂面ABC ，所以FA BN ⊥.又因为CA FA A = ，所以BN ⊥平面CAF .因为点M 是FC 的中点，所以////MN FA EB ，且2FAMN EB ==.所以四边形MNBE 为平行四边形，所以//EM BN ，所以EM ⊥面CAF ，又EM ⊂平面CEF ，从而平面CEF ⊥平面CAF .（2）设点O ，D 分别为AB ，EF 的中点，连结OD ，则//OD FA ，因为FA ⊥面ABC ，OC ⊂面ABC ，所以OD AB ⊥.因为ME =，由（1）知BN =，又因为2BC BA ==所以2AC =，所以ABC △为正三角形，所以OC AB ⊥，因为FA ⊥面ABC ，所以OC ⊥面ABEF .故OC ，OA ，OD 两两垂直，以点O 为原点，分别以OC ，OA ，OD的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.C ，()0,1,0B -，()0,1,2E -，()0,1,4F ，31(,222M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭设平面CBE 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以020y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取y =，则(n =- ，设ME 与平面CBE 所成的角为α，则1sin cos ,2n ME α== ，因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以6πα=，故ME 与平面CBE 所成角的大小为6π.（2）另解：由于//EM BN ，所以即求BN 与平面CBE 所成的角.又因为FA ⊥面ABC ，FA ⊂面EBC ，所以面ABC ⊥面EBC ，而BN ⊂面ABC ，面ABC 面,EBC BC =所以BN 在面EBC 的投影为BC ，则CBN ∠即为所求角.而ME BN ==，2BA BC ==，所以1MC =，2AC =，则ABC △为正三角形，而N 是AC 的中点，所以6CBN π∠=，故ME 与平面CBE 所成角的大小为6π.19.解：（1）1()2f x x a x '=++ ，()13f a '∴=+由题知()11f '=，312a a ∴+=⇒=-（2）不妨设1202x x <<≤，则120x x e e-<，由题可得：()122212121()()()x x f x f x x x ee f x m --+<⇔-1222122()x x x me f x x e m -<---，设()()2x g x f x x me =--，则：12()()g x g x <故()g x 在(]0,2单调递增，从而有：11()202x xg x me m e x x -⇔⎪⎛⎫'≤=--≥- ⎝⎭在(]0,2上恒成立，设1()2x h x e x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()min m h x ≤2221121()2(02)x x x x x h x e e e x x x x -----⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=⋅<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2021211012h x x x x x x '>⇒--=+->⇒<≤()001h x x <⇒<<'()h x ∴在()0,1单调递减，在(]1,2单调递增.又1(1)h e =-，故()h x 在(]0,2上最小值min 1()h x e=-从而有1m e ≤-，即1,m e⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦20.解：（1）X 的分布列为X510P 1p-p ()()511055E X p p p=-+=+（2）开空调时每日用电量：峰段1030%3⨯=度，谷段1040%4⨯=度，平段1030%3⨯=度，则30.640.430.5 4.9a =⨯+⨯+⨯=元不开空调时每日用电量：峰段560%3⨯=度，谷段520%1⨯=度，平段520%1⨯=度则50.610.410.5 2.7b =⨯+⨯+⨯=元Y2.7 4.9P 1p-p ()()2.71 4.9 2.7 2.2E Y p p p=-+=+（3）分时电价总电费为()30 2.7 2.28166p p +=+（元）30天总用电量()3055150150p p +=+度0.2p ≤时，阶梯电价总电费为()()0.4515015067.51p p +=+（元）0.2p >时，阶梯电价总电费为()0.451800.61501501806390p p ⨯+⨯+-=+（元）所以，0.2p ≤时，()816667.5113.5 1.50p p p +-+=-≤，9p ⇒≥，不成立；0.2p >时，8166639018240p p p +--=-≤，34p ≥综上，3,14p ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用.21.解：（1）由题可得222121b a c a b ⎧=⎪⎪==+⎪⎩2a ⇒=，22114:b C x y ⇒=-=（2）由点2323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在22:14x C y -=上可得：2243m k -=.联立y kx m =+和22:14x C y -=整理得：()()222148410k x kmx m ---+=设11(),P x y ，22(),Q x y ，则有：122814km x x k+=-，21224(1)14m x x k -+=-⋅，()221641640m k ∆=-+=>又由直线交左右两支各一点可得：2221224(1)10140414m x x k k k -+=<⇒-⇒<-⋅>1228114PQ x k =-=-()2,0A -到直线:l y kx m =+的距离1d =，()2,0B 到直线:l y kx m =+的距离2d =2212121222224311484322211(14)m k d d S S PQ d PQ d k k k ∴-⎛⎫⎛⎫===== ⎪⎪++-⎝⎝⎭⇒⎭2213(14)16k k =⇒⇒-=（2140k -> ）又121212*********()4y y y y k k x x x x x x =⋅=+-+--，其中2222121212122243()()()1414m k y y kx m kx m k x x km x x m k k -=++=+++==--212212224(1)842()424141414m x x x x k k k -+-+--=+-=---1212122132()44y y k k x x x x ==-+--∴假设存在实数λ，使得1k -，k λ，2k成等比数列，则有2221213642k k k λλλ=-⇒=⇒=±，故存在2λ=±满足题意22.解：（1）首先发现()00f =，而1cos 1()f x x x '=-+，(]1,0x ∈-时，cos 1x ≤，111x ≥+，()0f x '≤，()f x 单减则()()00f x f ≥=成立；0,2x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时，2sin 1()(1)f x x x ''=-++在0,2x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时单减，()010f ''=>，211110212f ππ⎛⎫''=-+<-+= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以存在0,2x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()00f x ''=，()f x '在0(0,)x 单增，0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，而()00f '=，所以00()f x '>，又02f π⎛⎫'<⎪⎝⎭所以存在10,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10f x '=，()f x '在1(0,)x 单增，1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，由于12e π+<所以1ln 111022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+>-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x >综上，()0f x ≥在1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立得证.（2）由（（1），102f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，11sin ln 122n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭所以111135721sinsin sin sin ln ln ln ln 24622462n n n ++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅从而111146822sin sin sin sin ln ln ln ln 246235721n n n ++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+两式相加得：11113456222sin sin sin sin ln ln ln ln ln ln(1)2462234521n n n n +⎛⎫+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅=+ +⎝⎭所以左边得证；又由（1），102f n ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，1121sin ln 1ln 222n n n n -⎛⎫⎛⎫->-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12sin ln 221n n n <-所以111142sin sin sin sin ln ln ln ln 24623212615n n n +++⋅⋅⋅+<++-从而111121sin sin sin sin ln ln ln ln 246222235124n nn -+++⋅⋅⋅+<++-两式相加得：111134522sin sin sin sin 2ln 2ln ln ln ln 2ln 2ln 246223421n n n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+=+ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以右边得证.（右边不等式另证）设1111sinsin sin ln 222ln 24n a n n =++⋅⋅⋅+--先证明sin x x <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭成立：()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-<，()g x 单减，()()00g x g <=则1111sinln1ln 2ln 20222a =--<-<而1111111sin ln(12ln )222222n n n a a n n n n n n +-=+-+<++++设(0,1)1n t n =∈+，构造11()(1)22ln h t t t =-+，1111()122t h t t t-⎛⎫'=-+=⋅ ⎪⎝⎭可知在()0,1，()h t 单增，()()10h t h <=所以10n n a a +-<，n a 单减，则10n a a <<。

重庆市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷

重庆市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（）A．B．C．D．1第(2)题已知为复数单位，，则的模为（）A．B．1C．2D．4第(3)题“是第二象限角”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件第(4)题已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（）A．B．C．D．第(5)题在的二项展开式中，二项式系数的和为（）A．8B．16C．27D．81第(6)题已知命题p：若，则；命题q：若方程只有一个实根，则.下列命题中是真命题的是（）A．B．C．D．第(7)题已知命题，，则p的否定是（）A．，B．，C．，D．，第(8)题已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，下列说法正确的有（）A．曲线在处的切线方程为B．的单调递减区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解第(2)题a，b为两条直线，，为两个平面，则以下命题不正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，则第(3)题红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（）．A．事件A与事件C是独立事件B．事件A与事件B是互斥事件C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.第(2)题一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数，则__________，__________．第(3)题已知向量，，，且，则实数_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设椭圆E：经过点，且离心率，直线垂直x轴交x轴于T，过T的直线l 1交椭圆E于，两点，连接，，．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线PA，PB的斜率分别为，．（ⅰ）求的值；（ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值．第(2)题已知数列是首项为9，公比为的等比数列．(1)求的值；(2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值．第(3)题在直角坐标系中，直线的参数方程为，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求点的直角坐标；（2）若直线与曲线相交于两点，线段的中点横坐标为，求直线的普通方程.第(4)题某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．图1-图3中的相关边、角满足以下条件：直线与的交点是，，．米．小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．(1)假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长；(2)假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；(3)请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．第(5)题如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．(1)证明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．。

2022版高考数学一轮复习考案(5理+5文)第五章数列综合过关规范限时检测(含解析)新人教版

第五章综合过关规范限时检测（时间：120分钟满分150分)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．数列错误!,－错误!，错误!,－错误!,…的一个通项公式为(D）A．a n＝(－1）n·错误!B．a n＝（－1）n·错误!C．a n＝（－1）n＋1·错误!D．a n＝（－1)n＋1·错误!［解析］该数列是分数形式，分子为奇数2n＋1，分母是指数2n，各项的符号由（－1）n＋1来确定,所以D选项正确．2．已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若S10＝20，S20＝60，则S30＝（C）A．100B．120C．140D．160［解析］由等比数列的性质可知，S10，S20－S10,S30－S20成等比数列，则（S20－S10）2＝S10·(S30－S20)，即(60－20）2＝20（S30－60）,解得S30＝140。

3．（2021·河北衡水中学模拟)已知等差数列｛a n｝的公差为2，前n项和为S n,且S10＝100，则a7的值为(C）A．11B．12C．13D．14［解析］由S10＝100及公差为2，得10a1＋错误!×2＝100，得a1＝1。

所以a n＝2n －1,故a7＝13。

故选C。

4．（2021·山东潍坊期末)已知S n是等比数列｛a n｝的前n项和,若存在m∈N＊，满足错误!＝28,错误!＝错误!，则数列｛a n}的公比为（B)A．2B．3C．错误!D．错误!［解析］设数列{a n｝的公比为q，由题意知q≠1，因为错误!＝28，错误!＝错误!，所以1＋q m＝28，q m＝错误!，所以m＝3，q＝3.故选B.5．设等差数列｛a n}的前n项和为S n，若S13>0，S14〈0,则S n取最大值时n的值为（B)A．6B．7C．8D．13[解析]根据S13〉0,S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7〉0，a1＋a14＝a7＋a8<0.所以a7〉0,a8<0，则S n取最大值时n的值为7.故选B.6．（2021·江西南昌三中模拟）在等比数列｛a n}中，已知对任意的正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2n＋m，则a错误!＋a错误!＋…＋a错误!＝（A)A。

重庆市南开中学2020届高三数学第三次教学质量检测考试试题理(含解析)

重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2020.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为的形式即可．【详解】复数．故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.等差数列的前7项和为28，，则（）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. 1 C. 2 D. -8【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出a,b,再由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85＜X＜90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.联立得A(1,2),所以的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.记，则（）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0得求出的值，令x=-2得的值，再求的值.【详解】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【详解】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.【详解】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.(3)在x∈时，x≥，恒有.综上.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A. -2B. 1C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由题可设A，其中a>0,d＜0.根据得，再利用平面向量的数量积运算化简得解.【详解】由题可设A，其中a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,由题得=-f(x),所以函数f（x）是奇函数，因为，所以函数f(x)是定义域上的增函数，所以=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.由题得,在△中，由余弦定理得.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．【答案】9【解析】【分析】先化简得，再根据得到，再解不等式得解.【详解】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=12×240+(x-240)×1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，∴小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为故，.因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知，是椭圆：上两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.【详解】解：（1）代入，两点：，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设坐标为，则①线段的中点，，所以：.令，并结合①式得，，当且仅当，时取等，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.（1）当时，求证：；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵顶点在底面的射影是，∴面，由面，∴.∵，，，连，∴，，，，∴，则，∴.由，，∴面，由面，∴，∵菱形，，∴.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∵，则，∴.∵，则，∴，设面的法向量为，由，解得.由与面所成角的正弦值为，即有，解得.设面的法向量为，由，解得.∴二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中.（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（2）若函数有三个极值点，，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1）由，得，由仅在处取得极值，则，即.令，则，当单调递减，单调递增，则，∴当时，，此时仅一个零点，则仅一个为极值点，当时，与在同一处取得零点，此时，，，，∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.∴.（2）由，则.由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，令，则，∴当时取极值，时单调递增，∴，则时有两零点，，且，若证：，即证：，由，，则，即证：，由在上单调递增，即证：，又，则证，令，，∴.∴恒成立，则为增函数，∴当时，，∴得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

重庆市2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学试题(原卷版)

重庆市高2023届高三第一次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知数列a n 为等差数列，a 2+a 8=6，则a 3+a 5+a 7=()A.9B.12C.15D.162.设集合A ={x |x +2 ≤2|，B ={x x 2+2x ≤3 }，C ={x x ∈A 且x ∈B }，则集合C =()A.∅B.[-4,-3)C.(-4,-3]D.(0,1]3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是()A.y =x12B.y =e x +e -xC.y =x 2D.y =-xln 4.已知a =(57)-57，b =(75)25，c =275log ，则()A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.c <a <b5.用1，2，3，⋯，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有()A.600个B.540个C.480个D.420个6.使得“函数f (x )=7+2ax -x 2在区间[-1，1]上单调递减”成立的一个充分不必要条件是()A.a ≤-1B.0<a ≤3C.-3<a <-1D.-3≤a <07.已知a >1，b >1，且a lg =1-2b lg ，则a 2log +b 4log 的最小值为()A.10B.9C.92lg D.82lg 8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=2f (x )+x 2-x ，则函数g (x )=xf 2(x )-1x的零点个数为()A.3B.4C.5D.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分9.已知实数m ，n 满足m >n >0，则下列结论正确的是()A.m >nB.m +1m >n +1n C.m +1n log <n +1mlog D.n m 2<m n22022.9公众号：一枚试卷君10.设函数f 1(x )=f (x )，f n +1(x )=f [f n (x )]，n ∈N *，则下列函数中满足f 3(x )与f (x )值城相同的是A.f (x )=e xB.f (x )=xln C.f (x )=x 2-1D.f (x )=x +1x11.已知函数f (x )=a x +b ⋅a -xx 2+c，a >0且a ≠1，则f (x )的大致图象可以是()12.设定义在R 上的函数f (x )与g (x )的导函数分别为f '(x )和g '(x )，若f (x +2)-g (1-x )=2，f '(x )=g '(x +1)，且g (x +1)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()A.g (1)=0B.函数g '(x )的图像关于x =2对称C.2022k =1g (k ) =0D.2021k =1f (k )g (k ) =0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.设函数f (x )的导函数为f '(x )，且f (x )=x ln +f '(1)x 2+3，则f '(1)=．14.已知函数f (x )=1-3x ,x ≤09x log ,x >0 ，则f (f (14))=．15.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在双曲线上，若F 1F 3 =2OP ，PF 2 =2PF 1 ，则此双曲线的渐近线方程为．16.已知l 1，l 2是曲线f (x )=x x ln -ax 的两条倾斜角互补的切线，且l 1，l 2分别交y 轴于点A 和点B ，O 为坐标原点，若OA +OB >4，则实数a 的最小值是．四、解答题：本题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=3a n -2，n ∈N *．(1)设b n =a n -1，求数列a n 的通项公式；(2)设T n =3a 1log +3a 2log +⋯+3a n log ，(n ∈N *)，求证：T n >n (n -1)2．某大型企业组织全体员工参加体检，为了解员工的健康状况，企业相关工作人员从中随机抽取了40人的体检报告进行相关指标的分析，按体重"超标"和"不超标"制2×218.(本小题满分12分)列联表如下：附：Κ2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，n =a +b +c +d ．(1)完成题中的2×2列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.001的前提下认为该企业员工“体重是否超标与性别有关”？(2)若以样本估计总体，用频率作为相应事件的概率，现从该大型企业的男、女员工中各随机抽取一名员工的体检报告，求抽到的两人中恰有一人体重超标的概率.19.(本小题满分12分)如图，EA ⊥平面ABCD ，EA //FC ，AC =EA =2FC =2，四边形ABCD 为菱形．(1)证明：FA ⊥平面EBD ；(2)若直线AB 与平面EBD 所成角的正弦值为25，求三棱锥E -BDF 的体积．ABCDEF超标不超标合计男1620女15合计P (Κ2≥k )0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828公众号：一枚试卷君20.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行围棋比赛，规则如下：甲、乙进行第一局比赛，丙旁观；每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比賽，负者下一局旁观；直至有人累计胜两局，则比赛结束，且先累计胜两局者为本次比赛获胜者．巳知甲乙对弈，每局双方获胜的概率均为0.5，甲丙对弈乙丙对弈，每局丙获胜的概率均为0.4，对方获胜的概率均为0.6，各局比赛结果相互独立.(1)设本次比赛共进行了X局，求X的分布列与数学期望；(2)若比赛结束时共进行了4局对弈，求丙是本次比赛获胜者的概率．21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，斜率不为0的直线l与抛物线C相切，切点为A，当l的斜率为2时，AF=10．(1)求p的值；(2)平行于l的直线交抛物线C于B，D两点，且∠BAD=90°，点F到直线BD与到直线l的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由．22.(本小题满分12分)ln-1，a>0．已知函数f(x)=x-a x(1)若f(x)在区间[1，+∞)上不单调，求a的取值范围；(2)若不等式a(x-1)e x≥f(x)对∀x∈[1，+∞)恒成立，求a的取值范围.。

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重庆市南开中学2012届高三5月月考数学（理）试题
本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第1卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．复数2
1z i
=
-的虚部为
（） A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 2．已知命题P ：“1g(x －1) <0”，命题q ：“|1－x|<2”，则p 是q 的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．从10名女生与5名男生中选出6名同学组成课外兴趣小组，如果按照性别分层随机抽样，则男生甲被选中的概率为（）
A ．
1
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
4．已知1lim (0),lim
1x
x
x
x x a a a a →∞→∞->+不存在则的值为
（）
A ．－1
B ． 0
C ．1
D ．不存在
5．已知函数
2
1(0)
3
(),(),1(0)
x x f x f a a a x x
⎧-≥⎪⎪=>⎨
⎪<⎪⎩若则实数的取值范围为（） A ．(,3)-∞- B ．(,1)-∞-
C ．(1,)+∞
D ．(0,1)
6．
已
知
函
数
231
()112(
)4,(2012)2012
f x a o
g b og x f f =++=且则的值为
（）
A ．—4
B ．2
C ．0
`D ．—2
7．正项数列{}n a 满足，22
1112231
1111
1,,4n n n
n n a a a a a a a a a a ++==++++=
+则（）
A ．422
n -
+ B ．212
n -
+ C ．2
41
n -
+ ` D ．421
n -
+
8．长方体AC 1中，AB=BC=1，AA 1=2，过顶点D 1在空间作直线l ，使l 与直线AC 和BC 1所成的角都等于3
π
，这样的直线最多可作（）条 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
9．已知函数5sin cos 3
y x a x x π
=+=的图象关于对称,则函数y=asinx+cosx 图象的一条对称轴是
（）
A ．3
x π=
B ．23
x π
=
C ．116
x π
=
D ．x π=
10．已知圆C 的方程为22
2
2
(1)1,143
x y x y p -+=+=是椭圆 ,,p 上一点过作圆的两条切线切线为A 、B ，求PA □PB
的范围为
（）
A ．56
[0,
]9
B
．3,]+∞
C
．56
3,
]9
D ． 356
[,
]29
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填写在答题卡相应位置上） 11．设集合}{}{
}}{
{
1,2,3,4,5,2,4,3,4,5,3,4U A B C ====则()()U A
B C C =
12．设242380238(1)(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x -+=+-+-+-+
+-，
则128a a a +++=
13
．
若
12,,21,a b c R a b c a b b c
+∈++=+++且则
的最小值为。

14．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心O 并交椭圆于点M 、N ，若过椭圆的左焦点F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为。

15．如图，一个8×8的国际象棋盘有32个黑格和32个白格。

一条“线路”由8个白格组
成，每行有一个，且相邻的白格有公共顶点，则这样的“路线”共有条（请用数字作答）
三、解答题（共6小题；共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 16．（共13分）已知△ABC
的面积为2AB 且·2AC =
（1）求tanA 的值；（2）求
2
2sin 2sin cos 1222cos()
4
A A A
A π
+--的值。

17．（13分）甲、乙两人进行投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为
1
2
，乙投监命中的概率为
2
3
，两人相互不受影响，每次投篮结果也不受影响。

（1）求甲至多命中2个且乙至少命中3个的概率；（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中和—1分，求乙所得分数η的分布列与期望。

18．（13分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为棱CC 1的中点。

（1）求证：AB 1⊥平面A 1BD ；
（2）求二面角A —A 1D —B 的大小。

19．（12分）已知x=1是()21b
f x x nx x
=-+的一个极植点
（1）求函数 ()f x 的单调增区间；（2）设3
()()g x f x x
=-
，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线()y g x =相切？请说明理由。

20．（12分）已知抛物线2
:2(0):C x my m l y x m =>=-和直线没有公共点（其中m 为常
数）。

动点P 是直线l 上的任意一点，过P 点引抛物线C 的两条切线，切点分别为M 、N ，
且直线MN 恒过点Q （1，1）。

（1）求抛物线C 的方程；
（2）已知O 点为原点，连结PQ 交抛物线 C 于A 、B 两点，求
||||
||||
PA QA PB QB -
的值。

21．（12分）a 为实数，数列}{
1,1,2,3
n a a a n ==满足对于
11,12,1n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-+≤⎩时
时
（1）12n n +<0<a <2时,证明0<a ；（2）01,(1,2,3
);n a a a n <<=满足求
（3）k 为自然数，求使(1,2,3
)n k n a a n +==，成立的所有k 与a 。

参考答案。