重庆市南开中学2020-2021学年高2020级高二下学期期末数学(理)试题

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重庆市南开中学2020-2021学年高二下学期期末考试物理试题含答案

重庆市南开中学2020-2021学年高二下学期期末考试物理试题一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于速度的说法中正确的是A ．某物体在某段时间里的瞬时速度都为零，则该物体在这段时间内静止B ．做直线运动的物体，在某段时间内平均速度的大小等于该段时间的平均速率C ．平均速度一定等于初、末两个时刻瞬时速度的平均值D ．做匀加速直线运动的物体在相同时间间隔里的平均速度是相同的2． 2021年6月17日，在神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功实现自主快速交会对接后，于18时48分，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱，标志着中国人首次进入自己的空间站。

则下列说法正确的是A ．宇航员在太空中由于完全失重，所以没有惯性B ．宇航员进入核心舱需借助外力，说明力是维持物体运动的原因C ．载人飞船加速升空的过程中，宇航员对座椅的压力与其受到的支持力大小相等D ．宇航员在空间站内用力F 双手互拉弹簧两端时，弹簧弹力大小为2F3．中国“嫦娥五号”在月球采集的约2公斤月壤中含有地球上鲜有的He 32，He 32是地球上很难得到的清洁、安全和高效的核聚变发电燃料，被科学家们称为“完美能源”。

有关He 32聚变的核反应方程如下：①MeV 3.3X He H H 322121++→+ ，②12.86MeV Y 2He He He 423232++→+；下列说法正确的是A ．X 为质子，Y 为中子B ．He 32的比结合能比He 42的比结合能大C ．方程①中：质量亏损约为5.9×10-31kgD ．方程②中：核子平均释放的能量约为2.14MeV4．建筑工地，一货箱在电机牵引力下从高处竖直向下送至地面进行装货，已知该货箱先后经历匀加速、匀速、匀减速直线运动三个阶段。

从货箱加速过程结束时开始计时，测得电机牵引力F 随时间t 变化的图象（F -t 图）如图所示，3t 时刻货箱速度恰好为0且到达地面。

2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。

2020学年重庆市南开中学高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

2020学年重庆市南开中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合={22|}A x x x -≤，{|1B x x =＜－或3}x ＞，则A B =（） A ．RB ．()-∞，4C ．()431⎡⎫∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭-，-， D ．()()13∞⋃+∞－，－，【答案】C【解析】首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案. 【详解】根据题意得，2|2|x x -≤等价于()222|2|,0x x x -≤≥，解得443x ≤≤，于是()431A B ⎡⎫=∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭-，-，，故答案为C. 【点睛】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.2．设随机变量 ()2~3,1.5X N ，()40.7P X ≤=，则()2P X ≤=（）A ．0.3B ．0.4C ．0.2D ．0.1【答案】A【解析】根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】由于()40.7P X ≤=，故()40.3P X ≥=，则()()4.320P X P X ≥=≤=，故答案为A. 【点睛】本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.3．复数z 满足(1)1z i ai +=-，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（）A ．[11]－，B ．()1∞－，－C ．()11－，D ．()1+∞，【答案】C【解析】首先化简z ，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案. 【详解】根据题意得，()1(1)1111222ai i ai a az i i ----+===-+，因为复平面内对应的点在第四象限，所以1021+02aa -⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得11a -<<，故选C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大. 4．已知0a <，若4(2x 的展开式中各项系数之和为81，则展开式中常数项为（） A ．1 B ．8 C ．24 D ．32【答案】B【解析】通过各项系数和为1，令1x =可求出a 值，于是可得答案. 【详解】根据题意，在4(2x 中，令1x =，则4(2)81a -=，而0a <，故1a =-，所以展开式中常数项为3142=8C ，故答案为B.【点睛】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.5．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（）A ．1(,)23π-B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π【答案】A【解析】由圆cos()3πρ=θ+，化为21(cos )22ρρθθ=-，∴2212x y x y +=-，化为2211()(44x y -++=，∴圆心为1(,)44-，半径r=12．∵tanα=，取极角3π-，∴圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)23π-．故选A ．6．从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（） A ．184B ．142C ．128D ．114【答案】D【解析】先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案. 【详解】通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有39=84C 种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有336A =种可能，于是所求概率为61=8414.选D. 【点睛】本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大. 7．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1x y e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（）A ．23e - B ．13e - C ．43e- D ．53e- 【答案】D【解析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2xx edx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D.【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等. 8．已知,0x y >，33122x y +=++，则2x y +的最小值为（）A ．9B ．12C ．15D ．3【答案】D【解析】首先可换元2a x =+，2b y =+，通过()332=2a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由题意，可令2a x =+，2b y =+，则=2x a -，2y b =-，于是()3312,2a b a b+=>>，而2=26x y a b ++-， ()33632=2=9+9b a a b a ba b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪⎝⎭2x y +的最小值为3，故答案为D. 【点睛】本题主要考查基本不等式的综合应用，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.9．命题P ：“关于x 的方程220x ax ++=的一个根大于1，另一个根小于1”；命题q ：“函数1()1xx h x e +=-的定义域内为减函数”.若p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．()3-+∞，B ．()3-∞-，C ．(]3-∞，D ．R【答案】B【解析】通过分析命题q 为假命题只能P 真，于是可得到答案. 【详解】命题P 真等价于(1)120f a =++<即3a <-；由于()h x 的定义域为{}|0x x ≠，故命题q 为假命题，而p q ∨为真命题，说明P 真，故选B. 【点睛】本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等.10．2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（） A ．84 B ．48 C ．36 D ．28【答案】A【解析】首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案. 【详解】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力，计算能力，难度中等.11．给出下列四个说法：①命题“0,x 都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃≤使得0012x x +<”；②已知0a b 、＞>a b >”的逆命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln x f x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=，其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①②③④分别依次判断真假可得答案. 【详解】对于①，命题“0,x 都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃>使得0012x x +<”，故①错误；>a b >”的逆命题为“若a b >>1x >则21x >，若21x >则1x >或1x <-，因此1x >是21x >的充分不必要条件，故③错误；对于④，若0x x =为函数2()2ln x f x x x x e -=++-，则020002ln =0x x x x e -++-，即()020000=2ln 0x x x e x x --+>，可令000()2ln h x x x =+，则002'()10h x x =+>，故0()h x 为增函数，令()02000=()0x g x e x x -->，显然0()g x 为减函数，所以方程00()=()h x g x 至多一解，又因为002ln 0x x +=时022000ln 0x x x e x ---∴==，所以002ln 0x x +=，则④正确，故选C. 【点睛】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.12．已知函数2()23,(0,)x f x e ax ax x =++-∈+∞，若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．(-1,0) B ．1,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在(0,)+∞小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案. 【详解】根据题意，得()22x f x e ax a '=++，若()f x 有最小值，即()f x 在(0,)+∞ 上先递减再递增，即()f x '在(0,)+∞先小于0，再大于0，令()0f x '<，得：2(1)x e a x <-+，令(),()2(1)x g x e h x a x ==-+，只需()h x 的斜率2a -大于过()1,0-的()g x 的切线的斜率即可，设切点为()00,x x e ，则切线方程为：000()x xy e e x x -=-，将()1,0-代入切线方程得：0=0x ，故切点为()01，，切线的斜率为1，只需21a ->即可，解得：12a <-，故答案为C.【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.二、填空题13．已知集合[)21{|}A B x x a A B =+∞=≤≤⋂≠∅，，，，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)2,+∞【解析】通过A B ⋂≠∅，即可得到答案. 【详解】根据题意，A B ⋂≠∅，则2a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞. 【点睛】本题主要集合交的运算，难度较小.14．一个袋子里装有大小形状完全相同的5个小球，其编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为1，则停止取球；若编号不为1，则将该球放回袋子中。

重庆市2020-2021学年高二数学下学期期末质量检测试题含答案

重庆市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在没每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，那么的子集个数为A. 8B. 6C. 4D. 22.设为虚数单位，则复数z的虚部为A. B. 4 C. D. 4i3.不负青山，力换“金山”——重庆缙云山国家级自然保护区经过治理，逐步实现“生态美、百姓富”。

近几年，北碚区结合当地资源禀赋，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，加大缙云山棚户区改造，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施。

游客甲与乙同时沿下图旅游线路游玩。

甲将在第18站之前的任意一站下，乙将在第9站之前的任意一站下，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下的概率为A. B. C. D.4.假设地球是半径为r的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于Oxy平面上，z轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线弧是0度经线，位于xOz平面上，且交x轴于点0，，如图所示．已知赤道上一点位于东经60度，则地球上位于东经30度、北纬60度的空间点P的坐标为A. B. C. D.5.某商场为了解毛衣的月销售量件与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温17 13 8 2月销售量件24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为6，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A. 46B. 40C. 38D. 586.康托是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数n的最小值为参考数据：，A. 4B. 5C. 6D. 77.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为A. B. 5 C. D.8.设，，，则A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届重庆市南开中学高三下学期第九次质检数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市南开中学高三下学期第九次质检数学（理）试题一、单选题1．用列举法表示集合35(,)|3x y A x y x y ⎧+=⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（）A ．{}2,1x y ==-B ．(){}2,1-C ．{}2,1-D ．{}1,2-【答案】B【解析】解方程组353x y x y +=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】解方程组353x y x y +=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩. 所以(){}2,1A =-.故选：B 【点睛】本题主要考查集合的表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2．已知5250125(2)x a a x a x a x -=++++，则012345a a a a a a -+--+的值为（） A ．1 B ．32- C ．243- D ．81【答案】C【解析】根据题意，令1x =-，即可求得012345a a a a a a -+--+的值，得到答案. 【详解】由5250125(2)x a a x a x a x -=++++，令1x =-，可得0123455(12)243a a a a a a -=---=--++.故选：C. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数的和问题，其中合理赋值求解是解答的关键，着重考查赋值思想，以及运算能力.3．设复数：20202021=+i i z ，其中i 为虚数单位，则z =（） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --【答案】A【解析】根据虚数单位i 的周期即可得到答案. 【详解】2020202141==+=++i i i i z i故选：A 【点睛】本题主要考查虚数单位i 的周期，属于简单题. 4．已知x y <，则下列不等式一定成立的是（） A ．11x y> B ．1133x y <C ．33x y --<D ．()()22ln 1ln 1x y +<+【答案】B【解析】结合指数函数、幂函数的单调性可判断B 、C ，代入特殊值可判断A 、D ，从而可选出正确选项. 【详解】解：若1,1x y =-=时，1111x y-=<=，则A 不正确；因为()13f x x =为增函数，x y <，所以1133x y <，则B 正确；因为()133xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭为减函数，由x y <可得33x y -->，所以C 不正确；当1,1x y =-=时，()()22ln 2ln 1ln 1ln 2x y =+=+=，所以D 正确. 故选:B. 【点睛】本题考查不等式的性质，对不等式是否一定成立问题，可通过举反例说明它不一定成立. 5．已知则π(0,)2α∈，sin22cos22αα=+，则tan α=（）A B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】由二倍角公式代入化简即可得tan α.【详解】sin 22cos22αα=+，()22sin cos 21cos222cos αααα∴=+=⨯，所以sin 2cos αα=，故tan 2α=. 故选：C 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，考查学生的运算求解能力. 6．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男､子､伯，侯､公，共五级.若给有巨大贡献的3人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为（） A ．35B ．1325C ．45D ．1225【答案】D【解析】先由题意，确定3人封爵所包含的总的基本事件个数，再求出满足条件的基本事件个数，基本事件个数比，即可为所求概率. 【详解】由题意，每个人被封爵都有5种情况，因此对3人封爵，共有35125=种，3人中恰好有两人被封同一等级共有223560C A =种情况；则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为601212525P ==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于常考题型.7．P 是双曲线222116x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线的方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线的左､右焦点，若112PF F F ⊥，则2PF =（） A ．12 B ．16C ．18D ．20【答案】A【解析】由双曲线的渐近线方程可得2a =，进而可得18PF =，再由双曲线的定义即可得解. 【详解】不妨设0a >，因为双曲线222116x y a -=的一条渐近线的方程为20x y -=，所以42a =即2a =，所以双曲线的方程为221416x y -=，所以点()1F -，所以点P 的横坐标为-P 的纵坐标为8±，所以18PF =，21212PF a PF =+=. 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线定义及渐近线方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．已知一组鞋码与身高的数据(x 表示鞋码，y (cm)表示身高)，其中m +n =360.若用此数据由最小二乘法计算得到回归直线ˆ 2.25yx a =+，则实数a =（） A ．82.5 B ．83.5 C ．84.5 D ．85.5【答案】B【解析】利用平均数公式求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求出a 的值. 【详解】由题意可知：360m n +=， 4041424344425x ++++==，1721751831785m n y ++++==，将(x ，)y 代入回归直线可得178 2.2542a =⨯+⇒83.5a =，故选：B. 【点睛】本题考查平均数公式的应用以及回归直线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos 14a b C c =-，2BA BC ⋅=-，则ABCS=（）A ．B ．4C ．D ．【答案】A【解析】由已知条件利用正弦定理以及两角和差的正弦公式求出1cos 4B =-，再利用数量积的公式代入求出8BA BC =，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由cos 14a b C c =-，利用正弦定理得：1sin sin cos sin 4A B C C =-，利用180180A B C A B C ++=︒⇒=︒--，则()sin sin A B C =+，即()1sin sin cos cos sin sin cos sin 4B C B C B C B C C +=+=-，得1cos 4B =-，sin B =cos 28BA BC BA BC B BA BC ⋅==-⇒=，11sin 822ABCSBA BC B ==⨯=故选：A. 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及两角和差的正弦公式，考查了数量积的公式以及三角形面积公式.属于中档题.10．2020年5月5日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是一定流速的风流经桥面时，产生了卡门涡街现象.卡门涡街是流体力学中重要的现象，在自然界中常可遇到，在工业生产中也有很多成功的应用.比如在工业中广泛使用的卡门涡街流量计，就是利用卡门涡街现象制造的一种流量计.在流体中设置旋涡发生体(也称阻流体)，从旋涡发生体两侧交替地产生有规则的旋涡，这种旋涡称为卡门涡街.设旋涡的发生频率为f (单位：赫兹)，旋涡发生体两侧平均流速为u (单位：米/秒)，漩涡发生体的迎面宽度为d (单位：米)，表体通径为D (单位：米)，旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为m ，根据卡门涡街原理，满足关系式：r m ds uf ⋅=⋅，其中：r s 称为斯特罗哈尔数.对于直径为d (即漩涡发生体的迎面宽度)的圆柱21m θπ⎤⎥=-⎥⎦，sin d D θ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.设d D α=，当0.005α≤时，在近似计算中可规定0α≈.已知某圆柱形漩涡发生体的直径为0.01米，表体通径为10米，在平均流速为20米/秒的风速下，发生的频率为420赫兹，则r s =（） A ．0.15 B ．0.32C ．0.21D ．0.36【答案】C【解析】先计算出0α≈，从而得到0θ≈，再根据题设中给出的公式可计算r s . 【详解】由题设可得0.01d =，10D =，=20u ，420f =，此时0.0010.005dDα==<，故0α≈，而0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，0θ≈，所以1m =，42010.010.2120r f m d s u⋅⋅⨯⨯===，故选：C. 【点睛】本题考查函数的应用，该问题背景新颖，题干较长，读懂题意是关键，本题属于基础题. 11．已知函数2()x x f x e e x -=++，则不等式()()23f x f x <-的解集为（） A ．()(),31,-∞-⋃+∞ B ．()1,2- C ．()0,1D ．()3,1-【答案】D【解析】设()()2,xxg x e e h x x -=+=，结合导数和二次函数的性质可判断两函数的单调性，由单调性的性质从而可求出()f x 的单调性；由奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，从而可得23x x <-，进而可选出正确答案. 【详解】解：设()()2,xxg x e e h x x -=+=，由()21x xe g x e-'=，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，则()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由二次函数的性质可知，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以2()xxf x e e x -=++在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()()2x x f x ee xf x --=++=，所以()f x 为偶函数.由()()23f x f x <-可知，23x x <-，即()()2223x x <-，解得31x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查了函数单调性的求解，考查了函数奇偶性的判断，考查了转化的思想，属于中档题.12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段1BD 上的动点，下列四个结论：①存在点M ，使得1//C M 平面1AB C ； ②存在点M ，使得11D C DM -的体积为15； ③存在点M ，使得平面1C DM 交正方体1111ABCD A B C D -的截面为等腰梯形； ④若13D M MB =，过点M 作正方体1111ABCD A B C D -的外接球的截面，则截面的面积最小值为9π4. 则上述结论正确的是（） A ．①②④ B ．①③C ．②③④D ．①②【答案】B【解析】连接1DA ，11C A ，由面面平行的判定与性质即可判断①；由锥体体积公式结合111111D C DM M C D D B C D D V V V ---=≤即可判断②；由线面平行的性质可判断③；由正方体、球的几何特征可判断④. 【详解】对于①，连接1DA ，11C A ，如图，由正方体的几何特征可得平面11//DC A 平面1AB C ，令平面111DC A BD M ⋂=，则1//C M 平面1AB C ，所以存在点M ，使得1//C M 平面1AB C ，故①正确；对于②，11111111111113265D C DM M C D D B C D D V V V ---≤=⨯⨯⨯⨯=<=，所以不存在点M ，使11D C DM -的体积为15，故②错误；对于③，因为1//C D 平面11ABB A ，所以平面1C DM 交平面11ABB A 的交线与1C D 平行，由正方体的几何特征可得存在点M ，使截面为等腰梯形，故③正确；对于④，当且仅当M 为截面圆的圆心时，截面圆的面积最小，由正方体的几何特征可得该正方体的外接球球心为1BD 的中点，且半径为132BD =，所以最小截面的半径2233332244r ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时截面面积为9π16，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了几何体几何特征的应用及体积的求解，考查了线面、面面位置关系的应用，属于中档题.二、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，||||2==a b ，则||a b +=_______________.【答案】【解析】由平面向量数量积的定义可得2a b ，再由()22||a b a b+=+，结合平面向量数量积的运算律即可得解. 【详解】因为向量a ，b 的夹角为60︒，||||2==a b ，所以||||cos602⋅=⋅=a b a b ，所以()2222||244412a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=，所以||23a b +=.故答案为：【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14π4，则圆锥的体积为_______________. 【答案】3π 【解析】由圆锥的几何特征可得圆锥的底面半径和高，再由圆锥体积公式即可得解. 【详解】，母线与底面所成角为π4，所以圆锥的底面半径r 及高h 满足1r h ===，所以圆锥的体积2133V r h ππ==. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查了圆锥几何特征的应用及体积的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于基础题.15．已知1F ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和上顶点，点O 为坐标原点.过点3(,0)5a垂直于x 轴的直线交椭圆C 在第一象限的交点为P ，且1PB BF ⊥，则椭圆C 的离心率为___________.【答案】32【解析】求出1,,F B P 三点的坐标，利用10PB BF ⋅=计算可得. 【详解】由题意得：1(,0)F c -，(0,)B b ，把点3(,0)5a 代入椭圆方程得：22223()51ay a b+=，45y b =±， ∴ P 点坐标为34(,)55a bP ，∴3(,)55a bPB =-，1(,)BF c b =--，1PB BF ⊥，∴213055ac b PB BF ⋅=-=，得：23b ac =，即223a c ac -=，两边同除以2a 得：213e e -=，解得：e =，故答案为：32. 【点睛】此题考椭圆离心率的求法，向量法是其中一种比较常用的方法，属于基础题.三、双空题16．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点M -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点(),N x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+，π0,0,||2t ωϕ⎛⎫≥>< ⎪⎝⎭，则函数()f t 的解析式为_______________，当[]10,25t ∈时，函数()f t 的最大值是_______________.【答案】()4sin()304f t t ππ=- 4 【解析】由点(22,2)M -，利用勾股定理求出R ，再利用周期60T =可得ω，最后代入点2,2)M -可得. 【详解】288164R R =+=⇒=，26030ππωω=⇒=，则()4sin()30f t t πϕ=+又(0)4sin 224f πϕϕ==-⇒=-，所以()4sin()304f t t ππ=-，当71025,1230412t t ππππ≤≤≤-≤，所以45,30422t t πππ-==时，()f t 取得最大值为4. 故答案为：()4sin()304f t t ππ=-；4. 【点晴】此题考根据图像求三角函数的解析式，属于简单题.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =+，其中*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*2232,,k k a a a k ++∈N为等比数列{}nb 的前三项，求数列{}nb 的通项公式.【答案】（1）2n a n =；（2）12n n b +=.【解析】（1）由数列n a 与n S 的关系运算即可得解；（2）由数列{}n a 的通项公式及等比中项的性质列方程可得2k =，进而可得等比数列{}n b 的首项和公比，即可得解.【详解】（1）当2n ≥时，()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--=，当1n =时，112a S ==，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =；（2）由题意可得24a =，224k a k +=+，3264k a k +=+ 因为()*2232,,k k a a a k ++∈N为等比数列，所以2(24)4(64)k k +=+，解得2k =或0(舍)，所以等比数列{}n b 的前3项为4，8，16，所以{}n b 的公比2q，所以数列{}n b 的通项公式为1111422n n n n b b q --+==⋅=.【点睛】本题考查了等比、等差数列的综合应用及数列n a 与n S 的关系的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）若直线1B C 与1AA 所成的角为45，求二面角B DC E --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】（1）取BC 的中点F ，连接AF 、EF ，证明出四边形ADEF 为平行四边形，可得出//DE AF ，再证明出AF ⊥平面11BCC B ，由此可证明出DE ⊥平面11BCC B ；（2）设2AB AC ==，先利用异面直线所成的角为1145B CC ∠=，可计算出11122CC B C ==，然后以点A 为坐标原点，以AB 、AC 、1AA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，AB AC =，F 为BC 的中点，AF BC ∴⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，1BB AF ∴⊥，1BB BC B =，AF ∴⊥平面11BCC B .E 、F 分别为1B C 、BC 中点，112EF BB ∴=，1//EF BB ， D 为1AA 中点，112AD BB ∴=，1//AD BB ，//AD EF ∴，AD EF =， ∴四边形ADEF 为平行四边形，//AF DE ∴，所以DE ⊥平面11BCC B ；（2）设2AB AC ==，11//AA CC ，11B CC ∴∠为异面直线1B C 、1AA 所成的角，1145B CC ∴∠=，11122CC B C ∴==，以A 为坐标原点，以AB 、AC 、1AA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()1,1,0F ，(2D ，(2E ，()2,2,0BC =-，(2BD =-，(1,2CE =-，()1,1,0DE AF ==，设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，由00m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得220220x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则1y =，z =BCD 的一个法向量(m =，设平面CDE 的法向量为(),,n a b c =，由00n CE n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得00a b a b ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令1a =-，则1b =，c =CDE 的法向量为(1,1,n =-，设二面角B DC E --的大小为θ，·21cos 222m n m n θ===⋅⨯，所以sin 2θ==. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．新型冠状病毒肺炎(简称新冠肺炎)是由严重急性呼吸系统综合症冠状病毒2感染后引起的一种急性呼吸道传染病，临床表现为发热､乏力､咳嗽和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，新冠肺炎疫情得到了控制.我国科研人员也在积极研究新冠肺炎的疫苗，在研究中利用小白鼠进行科学试验，为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现呼吸困难症状(记为H 症状)的情况，决定对小白鼠进行接种试验，该试验的要求为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现H 症状的概率均为13，假设每次接种后当天是否出现H 症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现H 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次H 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）1927；（2）分布列答案见解析，数学期望为：1669729. 【解析】（1）结合概率的乘法公式计算出第一天、第二天、第三天接种后当天出现H 症状的概率，再由概率的加法公式即可得解；（2）由独立重复试验概率公式可得一个周期内出现2次或3次H 症状的概率，再结合概率的乘法公式可得(1)P X =、(2)P X =、(3)P X =，即可得分布列，再由期望的公式即可得期望.（1）已知每只小白鼠接种后当天出现H 症状的概率均为13，且每次试验间相互独立，所以一只小白鼠第一天接种后当天出现H 症状的概率为113P =，第二天接种后当天出现H 症状的概率为21121339P ⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭，第三天接种后当天出现H 症状的概率为311141133327P ⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为12419392727P =++=；（2）设事件A 为“一个周期内出现2次或3次H 症状”，则2323331217()33327P A C C ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，随机变量X 可能的取值为1，2，3，则7(1)27P X ==，77140(2)12727729P X ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭， 77400(3)112727729P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望为728012001669()27729729729E X =++=. 【点睛】本题考查了概率加法、乘法公式的应用，考查了离散型随机变量分布列及期望的求解，属于中档题.20．已知抛物线2:2(0)T x py p =>的焦点为F ，B ，C 为抛物线C 上两个不同的动点，(B ，C 异于原点)，当B ，C ，F 三点共线时，直线BC 的斜率为1，2BC =. （1）求抛物线T 的标准方程；（2）分别过B ，C 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，N ，若MNPBCFSS=，求BC 中点P 的【答案】（1）2yx ；（2）2122y x =+. 【解析】（1）设直线BC 的方程为：2py x =+，联立直线与抛物线的方程，设()()1122,,,B x y C x y ，从而求得BC 的长，即可解出p 的值，得出抛物线T 的标准方程；（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出,M N 的坐标，表示出MNFS 以及直线BC 的方程，令直线BC 与y 轴交于点H ，则()120,H x x -，表示出BCFS ，利用MNPBCFS S=即可求出轨迹. 【详解】（1）设直线BC 的方程为：2py x =+，则2222022p y x x px p py x⎧=+⇒--=⎪⎨⎪=⎩，设()()1122,,,B x y C x y ，则121||11||22BC x x p =+-=⇒=，所以抛物线T 的标准方程为：2yx .（2）令()()1122,,,B x y C x y ，1(0,)4F ，则()()12,0,,0M x N x ，则121124MNFSx x =-，直线BC 的方程为：()()2111121221y y y y x x y x x x x x x x --=-⇒=+--，令直线BC 与y 轴交于点H ，则()120,H x x -，所以121||||4HF x x =+， 121||||2BCFSHF x x =- 所以12121212111111||242442x x HF x x x x x x -=-⇒+=⇒=-或0(舍)，令BC 中点为()00 ,P x y ，则()12022222121200121202222122x x x y y x x y x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨++⎪==⇒=++=-⎪⎩，所以中点轨迹方程2122y x =+. 【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程和点的轨迹方程，属于中档题. 21．已知函215()2ln 422f x x x x x =+-+. （1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()y h x =，并证明：()()f x h x ≥；（2）当512-<<a 时，方程()f x a =有两个不同的实数根12,x x ，证明：2123-<+x x a .【答案】（1）y x =-，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求出导函数()2ln 2f x x x '=+-，利用导数的几何意义以及点斜式方程可求切线方程；构造函数215()2ln 322x x x x x φ=+-+，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最小值min [()](1)0x φφ==即证.（2）12,x x 为方程()f x a =的两根，不妨设12x x <，由()2ln 2f x x x '=+-在(0,)+∞上单调递增，根据零点存在性定理可知，存在012x <<，使0()0f x '=，由y xy a =-⎧⎨=⎩，得x a =-，由（1）可得1x a >-，212x x x a -<+，然后利用分析法即可证出. 【详解】（1）()2ln 2f x x x '=+-，所以()11f '=-，()11f =-，即切线方程：y x =-.下证：2152ln 422x x x x x +-+≥-，令215()2ln 322x x x x x ϕ=+-+ 因为：()2ln 1x x x ϕ'=+-，显然()x ϕ'在()0,∞+单调递增，()10ϕ'=，所以易得()x ϕ在()0,1递减，()1,+∞递增，所以()()min 10x ϕϕ⎡=⎣⎦=⎤，所以()()f x h x ≥. （2）215()2ln 422f x x x x x =+-+，则12,x x 为方程()f x a =的两根，不妨设12x x <，显然()2ln 2f x x x '=+-在0x >时单调递增，由()10f '<，()20f '>，所以存在012x <<，使()00f x '=，当()00,x x ∈，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞，()0f x '>，()f x 递增，由（1）得()()f x h x ≥，y xx a y a =-⎧⇒=-⎨=⎩，所以：1x a >-，∴212x x x a -<+，要证：2123-<+x x a ，需证：223x a a +<+，即证：23x a <+，因为：512-<<a ，所以03a x +>，即证：()()23f a f x +>，即：215(3)2(3)ln(3)4(3)22a a a a a ++++-++>，令215()(3)2(3)ln(3)4(3)22F a a a a a a =++++-++-，2122(3)ln(3)52a a a a =-+++-，()()23F a a n a l '=++，显然()F a '在5(1,)2-单调递增，且()112ln20F '-=-+>，因为()F a 在5(1,)2-单调递增，所以5()(1)4ln 202F a F >-=->，即不等式成立. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数证明不等式、分析法证明不等式，考查了转化与化归的思想，要求有较高的推理能力，属于难题.22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为π,0,π22sin 6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎛⎫⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩ （1）求曲线C 与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线1sin2ρθ=交于A，B两点，求AB.【答案】（1）13π4+；（2）3【解析】（1）利用互化公式，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1与3的直角三角形，即可求出面积；（2）联立方程组，分别求出A和B的坐标，即可求出AB.【详解】解：（1）由于C的极坐标方程为3π,0,π22sin6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎛⎫⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩，根据互化公式得，曲线C的直角坐标方程为：当03x<≤时，330x y+-=，当10x-≤≤时，221x y+=，则曲线C与极轴所在直线围成的图形，是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1与3的直角三角形，∴围成图形的面积13π4S=+.（2）由11sin2ρρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得5π1,6A⎛⎫⎪⎝⎭，其直角坐标为321⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1sin2ρθ=化直角坐标方程为12y=，2sin 6ρθ=+ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为x =∴122B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AB ==【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.23．已知0a >，0b >. （1）若1a b +=，求14a b+的最小值；（2+≥ 【答案】（1）9；（2）证明见解析. 【解析】（1）首先将14a b+转化为144()()1144b a a b b b a a b a +=++=+++，再利用基本不等式求最小值即可.（2）首先将题意转化为证明≥，再利用作差法证明即可. 【详解】（1）因为0a >，0b >，所以144()()145914b aa b a a b bb a ++=+++≥+==+，当且仅当：2113b a a a b =⎧⇒=⎨+=⎩，23b =时取最小值9.（2）因为0a >，0b >，+≥≥而a b =+.2)0a b =-=-≥，当且仅当“a b =”时取等号.≥【点睛】本题第一问考查基本不等式求最值，第二问考查做差法证明不等式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.第 1 页共 21 页。

重庆南开中学高高二(下)期末考试数学试题(理)及答案

南开中学高高二(下)期末测试卷数学（理工农医类）数学（理工农医类）测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为（A ）1-（B ）0（C（D ）1（2）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-=0,1log 0≤,12)(2x x x x f x ，则=))41((f f（A ）21-（B ）21（C ）1（D ）7（3）已知集合{|}A x x a =<，3{|log 1}B x x =<，()R A B R =ð，则实数a 的取值范围是（A ）3a > （B ）3a ≥ （C ）3a ≤ （D ）3a < （4）已知,a b R ∈,“1a b >-”是“a b >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）某个自然数有关的命题，如果当)(1*∈+=N n k n 时，该命题不成立，那么可推得k n =时，该命题不成立.现已知当2012=n 时，该命题成立，那么，可推得（A ）2011=n 时，该命题成立（B ）2013=n 时，该命题成立（C ）2011=n 时，该命题不成立（D ）2013=n 时，该命题不成立（6）一个几何体的三视图如题(6)图所示，则该几何体的侧面积为（A）（B）（C ）4 （D ）8（7）对给出的下列命题：①2,0x R x ∀∈-<；②2,5x Q x ∃∈=；③2,10x R x x ∃∈--=； ④若2:,1p x N x ∀∈≥，则2:,1p x N x ⌝∃∈<．其中是真命题的是（A ）①③ （B ）②④ （C ）②③（D ）③④（8）3个女生与2个男生站成一排合影，要求女生甲不站左端，且其中一个女生恰好站在两个男生之间的站法有（A ）48种（B ）36种（C ）28种（D ）12种（9）若]22,22[-∈∃k使2(1) ||a k k +≤成立，则实数a 的取值范围是（A ）]0,(-∞（B ）]41,(-∞（C ）]42,(-∞（D ）]82,(-∞ 2 22 正视图 222侧视图俯视图题(6)图（10）如题（10）图，用4个半径为1的小圆去覆盖一个半径为2的大圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）（A ）1π（B ）11π-（C ）21π-（D ）112π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．（11）二项式91()x x-的展开式中3x 的系数是．（12）已知映射B A f →：,其中R B A ==,对应法则，：222+-=→x x y x f 若对实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 . （13）已知函数()f x x =0,0a b >>且()(1)f a f b =-，则14a b+的最小值为 .考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（14）如题(14)图，圆O 的半径为1，直线AB 与圆O 相切于点B ，3=AB ，直线AO 交圆O 于D C 、两点，则BD 的长为．（15）在极坐标系中，点(2,0)A 到曲线2:4sin 3C θ=上点P 的距离最小，点P 的极坐标为．（16）设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >,若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x -≤，则a 的值为．题(10)图三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是33,,45m ，且三人能否达标互不影响．（Ⅰ）若三人中至少有一人达标的概率是2425，求m 的值；（Ⅱ）设甲在3次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．（18）（本小题满分13分）已知定义在R 上函数2()1x bf x x ax +=++为奇函数．（Ⅰ）求a b +的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域．（19）（本小题满分13分）如题(19)图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，122,,DC DD AD AB AD DC ===⊥AB ∥DC ．（Ⅰ）求证：平面1BCD ⊥平面1D BD ；（Ⅱ）求二面角11B AC D --的大小．（20）（本小题满分12分）设函数x e ax ax x f )1()(2++=，其中R a ∈．（Ⅰ）若()f x 在其定义域内是单调函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 在)0,1(-内存在极值，求a 的取值范围.（21）（本小题满分12分）题(19)图C 1D 1A 1B 1DCB A已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是1A 、2A ，离心率为，点(1,)2A 在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)且与椭圆C 交于P 、Q 两点,设直线1PA 与2QA 的交点为00(,)M x y ，求证：0=4x .（22）（本小题满分12分）已知集合{|,,,0,0}mQ x x m Z n Z m n n*==∈∈≠≠，设Q *的子集S 满足如下性质：（1）如果,a S b S ∈∈，则,a b S ab S +∈∈；（2）r Q *∀∈， r S ∈与r S -∈有且仅有一条成立.求证：（Ⅰ）1S ∈；（Ⅱ）设*r Q ∈，则r S ∈的充要条件是0r >.高二下期末考试参考答案（理科）一、选择题 DABBB DDCCD 二、填空题11. 84- 12. (,1)-∞ 13. 914. 15. (1,)3π16. 2三、解答题17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设三人中至少有一人达标为事件A ，则332431()1(1)(1)(1);45255p A m m -=----=⇒=……………6分（Ⅱ）03(0)p C ξ==311()464=，123319(1)()()4464p C ξ===2233127(2)()()4464p C ξ===，333327(3)()464p C ξ===ξ∴的分布列为19272790123.646464644E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=……………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()f x 为R 上的奇函数，知(0)0,(1)(1)f f f =-=-，由此解得0,0a b ==，故0a b +=.（Ⅱ）设21x y x =+的值域为C ，则y C ∈当且仅当关于x 的方程20yx x y -+=有根，当0y =时，根为0x =符合；当0y ≠时，2140y ∆=-≥，于是1122y -≤≤且0y ≠；综上，值域为11[,]22-. 19．（本小题满分13分）解：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：设1AD AB ==,则(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0)A B C1111(1,0,2),(1,1,2),(0,2,2),(0,0,2)A B C D -………2分（Ⅰ）1(1,1,0),(1,1,2)BC BD =-=--1(0,0,2)DD =11(1,1,0)(1,1,2)0,BC BD BC BD ⋅=-⋅--=∴⊥11(1,1,0)(0,0,2)0,,BC DD BC DD BC ⋅=-⋅=∴⊥∴⊥平面1D DB∴平面1BCD ⊥平面1D BD ;………………7分（Ⅱ）1(0,1,2),A B =-1(1,2,2),AC =--11(1,0,0),A D =- 设平面1BA C 与平面11A CD 的法向量分别为：(,,),(,,)m x y z n a b c ==则11m AC m A B⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩2202202x y z x z y z y z -+-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，令1,z =则(2,2,1),m = 111n AC n A D ⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩22000x y z x x y z -+-==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，令1,z =则(0,1,1),n = cos ,||||32m n m n m n ⋅∴<>===∴二面角11B A C D --的大小为3.4π……………13分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）xe a ax ax xf )()(132+++=' )(x f 在R 上单调，则当0=a 时，0>='x e x f )(，符合；当0≠a 时，01492≤+-=)(Δa a a 即540≤<a ； 540≤≤∴a ；（Ⅱ）要使()f x 在),(01-内存在极值，由（Ⅰ）知首先有0<a 或54>a ，另外还需要方程0132=+++=a ax ax x g )(的根在),(01-内对称轴123-<-=x ∴只需001<-)()(g g解得1>a 或1-<a 1>∴a 或1-<a ．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2242e a b =⇒= 由22221314,14a b a b+=⇒==.椭圆C 的方程为2214x y +=……………4分（Ⅱ）设:1l x my =+,由22221(4)230.41x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩设112212122223(,),(,),,44m P x y Q x y y y y y m m ∴+=-=-++.……………7分又设E 为直线1A P 与4x =的交点，N 为直线2A Q 与4x =的交点.1A P 的方程是11116(2)22E y y y x y x x =+⇒=++,同理,2222N y y x =- 由121212126232()2231E N y y y y y y x x my my -=-=-+-+- 1221123(1)(3)2(3)(1)y my y my my my --+=+-12121223()20(3)(1)my y y y my my -+=⋅=+-E N y y =,E 、N 为同一个点. 即1A P 与2A Q 的交点E 横坐标为4.……12分22．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由条件（2），1S ∈与1S -∈有且仅有一条成立，若1S -∈，则1S ∉，又由条件（1），1(1)(1)S =--∈，这是一个矛盾.故1S ∈.（Ⅱ）若n S ∈，又由（Ⅰ）知1S ∈，则由条件（1），1n S +∈，由数学归纳法原理，这说明S 包含所有的正整数.现在我们考虑一个正的分数(0,0)mm n n>>，由条件（2），m S n ∈与m S n -∈有且仅有一个成立，若m S n -∈，又已证n S ∈，则由条件（1），()mm n S n-=-∈，这与已证的m S ∈矛盾（m S -∈与m S ∈有且仅有一条成立）.故mSn∈.即S 包含所有的正分数.于是由条件（2），S 不可能含有任何负分数.。

重庆市南开中学高二数学下学期期末考试试题理

重庆南开中学高2016级高二(下)期末考试数学试题(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷(选择题共60分)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{0,1,2}A =，1{|0,}1B x x R x =>∈-，则U AC B I =（） A ．{0}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}2．已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则p ⌝是（） A ．2,210x R x ∀∈+≤B ．200,210x R x ∃∈+>C ．200,210x R x ∃∈+<D ．200,210x R x ∃∈+≤3．函数y =的定义域是（） A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞4．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b5．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（） A ．ln(1)y x =+ B ．|1|y x =- C ．1()2xy =D ．2sin y x x =-6．已知,x y 的取值如下表所示从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a =（） A ．2.2B ．2.4C ．2.6D ．2.87．已知a 为实数，则||1a ≥是关于x 的不等式|3||4|x x a -+-≤有解的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数2()log ()a x af x x+=有最小值1，则a 等于（）A ．14B ．12C ．2D ．49．右图为函数2()f x x ax b =++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则函数()ln '()g x x f x =+的零点所在的区间是（） A ．11(,)42B ．(1,2)C ．1(,1)2D ．(2,3)10．定义在R 上函数()f x 满足：()()f x f x =-，(2)(2)f x f x +=-，若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y +-=，则()y f x =在2015x =的切线方程为（） A ．30x y +-=B ．20130x y --=C ．20150x y --=D ．20170x y -+= 11．点00(,)P x y 是曲线C ：||(0)x y ex -=≠上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则△AOB 面积的最大值为（） A ．2eB ．4eCD．12．已知偶函数():ff x Z Z −−→，且()f x 满足：(1)1,(2015)1f f =≠，对任意整数,a b 都有()max{(),()}f a b f a f b +≤，其中,max{,},x x yx y y x y ≥⎧=⎨<⎩，则(2016)f 的值为（） A ．0B ．1C ．2015D ．2016第Ⅱ卷(非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上． 13．设随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，若(23)(3)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为_____． 14．若函数3()f x x a =-的图象不经过第二象限，则实数a 的取值范围是__________15．已知函数2()|1|f x x =-，在[0,1]上任取一数a ，在[1,2]上任取一数b ，则满足()()f a f b ≤的概率为___________16．己知函数,0()1,0x e a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程(())0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为_________三．解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知命题21:()93a a p -<，:|21|4q a -<，若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18．(本题满分l2分)某校小卖部根据以往某种商品的销售记录，绘制了如下的日销售量频率分布直方图．若以日销售量的频率为概率，假设每天的销售量是相互独立的．结合直方图相关数据，以此来估计未来连续3天日销售量．(I)求在未来3天里，恰好只有连续．．2天的日销售量都高于100个的概率；(II)用X 表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．(本题满分12分)已知函数2()2ln 3f x x x x ax =--+，其中a R ∈.(I)设曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y -+=平行，求a 的值； (II)若函数()f x 在1[,]e e上单调递减，求a 的取值范围．20．(本题满分12分)已知函数2()log (41)()xf x kx k R =++∈是偶函数．(I)求k 的值；(II)设函数()log 2(24)xg x a a =⋅-，其中0a >．若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围．21．(本题满分12分)已知函数(),()xf x eg x ax b ==+，其中,a b R ∈．(I)若1a =-，函数1()()y f x g x =+在(0,)+∞上有意义，求b 的取值范围；(II)若021a b ≤≤≤，求证：当0x ≥时，11()()x f x g x +≥请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10)选修4-1：几何证明选讲如图△ABC 内接于圆O ，AB=AC ，直线MN 切圆O 于点C ，弦BD ∥MN ，AC 与BD 相交于点E ． (I)求证：△ABE≌△ACD； (II)若AB=6，BC=4，求DEAE的值.23．(本小题满分10)选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线C 1的方程为2cos 2sin ρθθ=+，直线C 2的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数） (I)将C 1的方程化为直角坐标方程；(II)P 为C 1上一动点，求P 到直线C 2的距离的最大值和最小值．24．(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲设函数()|2||3|f x x x a =+--- (I)当1a =时，求函数()f x 的最大值； (II)若4()f x a≤对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．。

2020-2021人教版高二下学期数学期末检测试卷附答案解析[最新]

人教版高二（下学期）数学期末检测试卷
一、选择题：本大题共13小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则A∪B（）
A．（﹣∞，2）B．（0，1）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）
2．在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（）
（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
21．已知函数f（x）= x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．
（Ⅱ）若该地1月份某天的最低气温为6℃，预测该店当日的营业额
（参考公式： = = ， = ﹣ ）．
20．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
A．375B．﹣375C．15D．﹣15
8．若函数h（x）=2x﹣ + 在（1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是（）
A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2]
9．设随机变量X～B（10，0.8），则D（2X+1）等于（）
A．1.6B．3.2C．6.4D．12.8
10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

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16．已知函数在处切线方程为 ,若对恒成立，则 _________.
三、解答题
17．某校为了了解学生对电子竞技的兴趣，从该校高二年级的学生中随机抽取了人进行检查，已知这人中有名男生对电子竞技有兴趣，而对电子竞技没兴趣的学生人数与电子竞技竞技有兴趣的女生人数一样多，且女生中有的人对电子竞技有兴趣.
A． B． C． D．
7．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（）
A． B． C． D．
8．已知，，则的最小值为（）
A． B． C． D．
9．命题：“关于x的方程的一个根大于，另一个根小于 ”；命题：“函数的定义域内为减函数”.若为真命题，则实数的取值范围是（）
根据题意得，等价于，解得，
于是，故答案为C.
【点睛】
本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.
2．A
【分析】
根据正态分布的对称性即可求得答案.
【详解】
由于，故，则，故
答案为A.
【点睛】
本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.
3．C
【分析】
首先化简，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案.
将这20名同学的两颗成绩绘制成散点图如图：
根据该校以为的经验，数学成绩与英语成绩线性相关.已知这名学生的数学平均成绩为，英语平均成绩，考试结束后学校经过调查发现学号为的同学与学号为的同学（分别对应散点图中的）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消.
取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数；
【详解】
根据题意得，，因为复平面内对应的点
在第四象限，所以，解得，故选C.
【点睛】
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大.
4．B
【分析】
通过各项系数和为1，令可求出a值，于是可得答案.
【详解】
根据题意，在中，令，则，而，故，所以展开式中常数项为，故答案为B.
【点睛】
22．在平面直角坐标系中,以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的直角坐标方程为 .
求圆的极坐标方程；
设圆与圆：交于两点，求 .
23．已知函数 .
求不等式的解集；
若，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.
【详解】
取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩x与英语成绩y的线性回归直线方程，并据此估计本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊的英语成绩.（结果保留整数）
附：位同学的两科成绩的参考数据：
参考公式：
19．某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为，其它情况下，选手每答对一题得分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加分，若次全答对，则额外加分.已知某选手每次答题的正确率都是，且每次答题结果互不影响.
重庆市南开中学2020-2021学年高2020级高二下学期期末数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，或，则（）
A． B．
C． D．
2．设随机变量，，则（）
A． B． C． D．
14．一个袋子里装有大小形状完全相同的个小球，其编号分别为甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为，则停止取球；若编号不为，则将该球放回袋子中．由乙随机取出个小球后甲再从袋子中剩下的个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到号球的概率为__________.
15．已知集合，若则集合所有可能的情况有_________种.
A． B． C． D．
10．2021年高考结束了，有位同学（其中巴蜀、一中各人，八中人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到三个班，每个班至少分配位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）
A． B． C． D．
11．给出下列四个说法：①命题“ 都有 ”的否定是“ 使得 ”；②已知，命题“若，则 ”的逆命题是真命题；③ 是的必要不充分条件;④若为函数的零点，则，其中正确的个数为（）
A． B． C． D．
12．已知函数，若有最小值，则实数的取值范围是（）
A． B． C．取值范围是_________.
3．复数满足，且在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．已知，若的展开式中各项系数之和为，则展开式中常数项为（）
A． B． C． D．
5．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）
A． B． C． D．
6．从2021年到2021年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了套卷，即：全国I卷，全国II卷，全国III卷.小明同学马上进入高三了，打算从这套题中选出套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（）
求该选手恰答对道题的概率；
记为该选手参加比赛的最终得分，求的分布列与数学期望.
20．已知函数 .
证明：；
已知，证明： .
21．已知抛物线的焦点为，圆：与轴的一个交点为，圆的圆心为，为等边三角形.
求抛物线的方程；
设圆与抛物线交于两点，点为抛物线上介于两点之间的一点，设抛物线在点处的切线与圆交于两点，在圆上是否存在点，使得直线均为抛物线的切线，若存在求出点坐标（用表示）；若不存在，请说明理由.
在被抽取的女生中与名高二班的学生，其中有名女生对电子产品竞技有兴趣，先从这名学生中随机抽取人，求其中至少有人对电子竞技有兴趣的概率；
完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“电子竞技的兴趣与性别有关”.
有兴趣
没兴趣
合计
男生
女生
合计
参考数据：
参考公式：
18．某校20名同学的数学和英语成绩如下表所示：