【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算学习目标：1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．显然，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．2．平面向量的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则有：1．思考辨析(1)若OA →＝(2，－1)，则点A 的坐标为(2，－1)．( )(2)若点A 的坐标为(2，－1)，则以A 为终点的向量的坐标为(2，－1)．( ) (3)平面内的一个向量a ，其坐标是唯一的．( )[解析] (1)正确．对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同． (2)错误．以A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等． (3)正确．由平面向量坐标的概念可知． [答案] (1)√ (2)× (3)√2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12C ．(－8,1)D ．(8,1)A [AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2) ＝(－8,1)， 12AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12.]3．如图2­3­14，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，若|a |＝2，θ＝45°，则向量a 的坐标为________．图2­3­14(2，2) [由题意知a ＝(2cos 45°i,2sin 45°j )＝(2i ，2j ) ＝(2，2)．][合 作 探 究·攻 重 难]如图AOx ＝45°，∠OAB＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．图2­3­15(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标；(3)求点B 的坐标. 【导学号：84352220】 [解] (1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332， ∴AB →＝OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎪⎫22－32，22＋332.[规律方法] 求点、向量坐标的常用方法：求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.[跟踪训练]1．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．[解] (1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23，y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).(1)已知a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)，则a ＝________，b ＝________. (2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的坐标．[思路探究] (1)用加减消元法求a ，b 的坐标．(2)法一：设点M ，N 的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值． 法二：用向量线性运算的几何意义直接计算OM →，ON →的坐标． (1)(3,5) (－2，－2) [由a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)， 所以2a ＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)， 所以a ＝(3,5)，2b ＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)， 所以b ＝(－2，－2)．](2)[解] 法一：(待定系数法)由A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 可得CA →＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以CM →＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3,24)，x 1＝0，y 1＝20；CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12,6)，x 2＝9，y 2＝2，所以M (0,20)，N (9,2)，MN →＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．法二：(几何意义法)设点O 为坐标原点，则由CM →＝3CA →，CN →＝2CB →， 可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 从而OM →＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →， 所以OM →＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)，即点M (0,20)，N (9,2)，故MN →＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．[规律方法] 平面向量坐标的线性运算的方法：若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. 若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. [跟踪训练]2．若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．[解] ∵AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， ∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)， BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3).[1．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？提示：∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.2．对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．提示：∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形不能为平行四边形．(1)已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________.(2)已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R )，试求λ为何值时， ①点P 在一、三象限角平分线上；②点P 在第三象限内. 【导学号：84352221】 [思路探究] (1)求向量m a ＋n b 的坐标→相等向量的坐标相同列方程组→解方程组求m ，n 得m ＋n(2)用λ表示点P 的横、纵坐标→根据条件列方程或不等式→求解(1)7 [由已知得m a ＋n b ＝m (2，－3)＋n (1,2)＝(2m ＋n ，－3m ＋2n )． 又p ＝(9,4)且p ＝m a ＋n b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，－3m ＋2n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m ＋n ＝7.](2)[解] 设点P 的坐标为(x ，y )， 则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，A B →＋λ·A C →＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵A P →＝A B →＋λA C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.①若P 在一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，∴当λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上．②若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1，∴当λ<－1时，点P 在第三象限内．母题探究：1.若本例(2)条件不变，试求λ为何值时，点P 在第四象限．[解] 若P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ＞0，4＋7λ＜0，解得－1＜λ＜－47.2．若本例(2)条件“AP →＝AB →＋λAC →”改为“BP →＝BA →＋λBC →”，其他条件不变，应如何解答？[解] 设点P 的坐标为(x ，y )， 则BP →＝(x －5，y －4)， BA →＋λBC →＝(－3，－1)＋λ(2,6)＝(－3＋2λ，－1＋6λ)．因为BP →＝BA →＋λBC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3＋2λ，y －4＝－1＋6λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝3＋6λ.①若P 在一、三象限角平分线上， 则2＋2λ＝3＋6λ，解得λ＝－14.②若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋2λ＜0，3＋6λ＜0，解得λ＜－1.[规律方法] 1.解答本题可用待定系数法．此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．[当 堂 达 标·固 双 基]1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．] 2．已知A (2，－3)，AB →＝(3，－2)，则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( ) 【导学号：84352222】A ．B (5，－5)，M (0,0)B ．B (5，－5)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－4 C ．B (1,1)，M (0,0)D ．B (1,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－4 B [OB →＝OA →＋AB →＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)， OM →＝OA →＋12AB →＝(2，－3)＋12(3，－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－4.]3．已知平行四边形OABC ，其中O 为坐标原点，若A (2,1)，B (1,3)，则点C 的坐标为________．(－1,2) [设C 的坐标为(x ，y )，则由已知得OC →＝AB →，所以(x ，y )＝(－1,2)．] 4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 [AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.] 5．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .[解] (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23.。