上海高考数学文科试题及答案详解
上海高考数学(文科)试卷与答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 若全集U R =，集合{1}A x x =≥，则U C A =2. 计算3lim(1)3n nn →∞-+= 3. 若函数()21f x x =+的反函数为1()fx -，则1(2)f --=4. 函数2sin cos y x x =-的最大值为5. 若直线l 过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l 得方程为6. 不等式11x<的解为 7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为 8. 在相距2千米的,A B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则,A C 两点之间的距离是 千米. 9. 若变量,x y 满足条件30350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+得最大值为10. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12， 8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 11. 行列式(,,,{1,1,2}a b a b c d c d∈-所有可能的值中，最大的是12. 在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 13. 随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001） 14. 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） （A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2y x = （D ）13y x = 16.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）（A ）222a b ab +> （B ）a b +≥ （C ）11a b +> （D ）2b a a b +≥ABDCA 1B 1C 1D 117.若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为,E F ，则（ ） （A ）E F Ø （B ）E F Ù （C ）E F = （D ）EF =∅18.设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，求2z20.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求 （1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四面体11AB D C 的体积21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠ （1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若0a b ⋅<，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围.22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； （2）若3m =，求PA 的最大值与最小值； （3）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*)n N ∈.将集合{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； （2）数列12340,,,,c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？请说明理由；（3）求数列{}n c 的前4n 项和4(*)n S n N ∈.2011年上海高考数学（文史类）答案15、A；16、D；17、A；18、B。
上海文数高考试题文档版(含答案)
2019年高考上海数学试卷（文史类）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 2．设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______. 3．已知平行直线1210l x y +-=：，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_____.4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）.5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 6．已知点（3,9）在函数()1xf x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()fx -=______.7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.8．方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____.9．在2)nx的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____.10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____.11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P是曲线y =则OP BA ×uu u r uu r的取值范围是 .13.设a>0,b>0. 若关于x,y的方程组1,1ax yx byì+=ïïíï+=ïî无解，则a b+的取值范围是.14.无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和.若对任意的*nÎN，{23}nSÎ，则k的最大值为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设aÎR,则“a>1”是“a2>1”的（）(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）(A)直线AA1 (B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C117.设aÎR，[0,2π]bÎ.若对任意实数x都有πsin(3)=sin()3x ax b-+，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)418.设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数.对于命题：①若f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是增函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x) 均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）(A)①和②均为真命题(B) ①和②均为假命题(C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56π，11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图 （1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于S 1面积的“经验值”.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B两点.（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b = 若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*N n ∈}，B ={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B =，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+. （1）当 1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.参考答案1. )4,2(2. 3-3.552 4. 76.1 5. 3± 6. )1(log 2-x 7. 2-8. 65,6ππ 9. 11210. 337 11.1612.⎡-⎣13.()2,+∞ 14.4 15.A 16.D 17.B 18.D19.解：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =．圆柱的体积22V 11r l πππ==⨯⨯=，圆柱的侧面积22112S rl πππ==⨯⨯=．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ， 所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．由11A B 长为3π，可知1113π∠AOB =∠A O B =， 由C A 长为56π，可知5C 6π∠AO =，C C 2π∠OB =∠AO -∠AOB =，所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π．20.解：（1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以 EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分，其方程为24y x =（02y <<）． （2）依题意，点M 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭． 所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-=，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为11814312-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 21.解：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2F ,0c，c =，()22241y b c b A=-=， 因为1F ∆AB是等边三角形，所以2c A =，即()24413b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()2F 2,0．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()2212223613k x x k +-=-， 故()21226143k x k +AB =-==-，解得235k=，故l 的斜率为． 22.解：（1）因为4∉A ，4∉B ，所以4∉A B ，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列． （2）因为416a =，所以1616420b =+=．数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++()512020221802+⨯--=． （3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=．由136151a d =-≥，得1d =或2．若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾； 若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．23.解：（1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，解得()0,1x ∈． （2）()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解， 等价于211a x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解． 当0a =时，1x =，符合题意； 当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-．综上，0a =或14-． （3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
上海高考数学试题(文科)答案与解析
2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。
2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = . 【答案】 1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】由集合A 可得：x>12，由集合B 可得：-1<经<1，所以，B A =1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。
3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .【答案】π【解析】根据韪得：1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+ 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小. 4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan ,21tan ==αα. 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230xx +--=的解是 .【答案】3log 2 【解析】根据方程03241=--+x x，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x.所以原方程的解为3log 2 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=- . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 . 【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32 . 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以(0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2xAN x AM →→-== 所以123+=•→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ， 即→→≤•≤41AN AM .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 .【答案】41 【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为41)22(21212210=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14.已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 18.若2sin sin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，P A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分 三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分 （2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数PA BCDPA BCDE)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分 由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题． 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221kb k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅OQ OP ，所以OP ⊥OQ . ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,m ax {21k k a a a b =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，所以k k b b ≥+1. ……6分 因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分 因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ；0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分 【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。
2021年高考上海卷文科数学试题及解答
1a ，b ( )全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有 21 道试题，满分 150 分．考试时间 120 分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．1．方程3x -1= 1的解是 ．9 2．函数 f (x ) = 1 x - 1的反函数 f -1(x ) =．3．直线4x + y - 1 = 0 的倾斜角θ= ．4．函数 y = sec x • cos ⎛ x +π ⎫的最小正周期T =．2 ⎪ 5．以双曲线 x 4- y 25 ⎝⎭= 1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．B6．若向量的夹角为60，1= 1，则 a a - b = ． A 7．如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC - A B C 中 ， ∠ACB = 90，1 1 1AA 1 = 2 ， AC = BC = 1，则异面直线 A 1 B 与 AC 所成角的B大小是（结果用反三角函数值表示）．8．某工程由 A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 2，5，x ，4 天．四道工序的先后顺序及相互关系是： A ，B 可以同时开工； A 完成后， C 可以开工； B ，C完成后， D 可以开工．若该工程总时数为 9 天，则完成工序C 需要的天数 x 最大是 ．9．在五个数字1，2，3，4，5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．10．对于非零实数 a ，b ，以下四个命题都成立：① a +1≠ 0 ；② a(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ；③ 若| a | =| b |，则 a = ±b ；④ 若 a 2= ab ，则 a = b ． 那么，对于非零复数 a ，b ，仍然成立的命题的所有序号是．11．如图， A ，B 是直线l 上的两点，且 AB = 2．两个半径相等的动圆分别与l 相切于 A ，B 点， C 是这两个圆的公共点，则圆弧 AC ， CB 与线段 AB 围成图形面积 S 的取值范围是 ． Cl22 5 ⎪ n 2二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A ，B ，C ，D 的四个结论， 其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．已知 a ，b ∈ R ，且 2 + a i, b + 3i （ i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么 a ，b 的值分别是（ ） Ａ． a = -3， b = 2 Ｃ． a = -3， b = -2 Ｂ． a = 3， b = -2 Ｄ． a = 3， b = 2 13．圆 x 2+ y 2- 2x - 1 = 0 关于直线 2x - y + 3 = 0 对称的圆的方程是（）Ａ． ( x + 3)2+ ( y - 2)2= 12 Ｃ． ( x + 3)2 + ( y - 2)2 = 2 Ｂ． ( x - 3)2 + ( y + 2)2= 12Ｄ． ( x - 3)2 + ( y + 2)2 = 2⎧ 1， 1≤ n ≤1000 14．数列{a n }中， a n = ⎨则数列{a n }的极限值（ ）⎪ n2⎪⎩ n 2- 2n，n ≥1001， Ａ．等于0Ｂ．等于1 Ｃ．等于0 或1Ｄ．不存在15．设 f (x ) 是定义在正整数集上的函数，且 f (x ) 满足：“当 f (k ) ≥ k 2 成立时，总可推出 f (k + 1) ≥ (k + 1)2成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）Ａ．若 f (1) < 1成立，则 f (10 ) < 100 成立Ｂ．若 f ( 2 ) < 4 成立，则 f (1) ≥1成立Ｃ．若 f ( 3) ≥ 9 成立，则当 k ≥1时，均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 Ｄ．若 f ( 4 ) ≥ 25 成立，则当 k ≥ 4 时，均有 f ( k ) ≥ k 2 成立三．解答题（本大题满分 90 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分 12 分）在正四棱锥 P - ABCD 中，PA = 2，直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为60，求正四棱锥 P - ABCD 的体积V ．17．（本题满分 14 分）π B 在△ABC 中， a ，b ，c 分别是三个内角 A ，B ，C 的对边．若 a = 2, 求△ABC 的面积 S ．C = ， cos = ，4 2 518．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦，年生产量的增长率为 34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003 年的年生产量的增长率为 36%）．yA 1B 2. F.2O . MF1. F 0A x22 （1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 20 1 0 年 ，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分．已知函数 f (x ) = x 2+ ax( x ≠ 0 ，常数 a ∈R ) ．（1）当 a = 2 时，解不等式 f (x ) - f (x - 1) > 2x - 1； （2）讨论函数 f (x ) 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分．如果有穷数列 a 1，a 2，a 3， ，a m （ m 为正整数）满足条件 a 1 = a m ， a 2 = a m -1 ，…， a m = a 1 ，即a i = a m -i +1 （ i = 1，2， ，m ），我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1 与数列8，4，2，2，4，8 都是“对称数列”． （1）设{b }是 7 项的“对称数列”，其中b ，b ，b ，b 是等差数列，且b = 2， b = 11．依次写 n出{b n }的每一项；1 2 3 4 1 4（2）设{c }是49 项的“对称数列”，其中c ，c ， ，c 是首项为1，公比为2 的等比数列，求{c } n 各项的和 S ；25 26 49 n（3）设{d }是100项的“对称数列”，其中 d ，d ， ，d 是首项为 2 ，公差为3的等差数列．求n{d n }前 n 项的和 S n ( n = 1，2， ，100 ) ．515210021．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 9 分．x 2 + y 2 = y 2 + x 2 =我们把由半椭圆 a 2 b 1 ( x ≥ 0 ) 与半椭圆 b 2 1 ( x ≤ 0 ) 合成的曲线称作“果圆”， c其中 a 2 = b 2 + c 2， a > 0 ， b > c > 0 ．如图，设点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 是“果圆” 与 x ， y 轴的交点，M 是线段 A 1 A 2 的中点．（1）若△F 0 F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，求该 “果圆”的方程；y 2 + x 2 =b 2c 2 （2）设 P 是“果圆”的半椭圆 1( x ≤ 0 ) 上任意一点．求证：当 PM 取得最小值时， P 在点 B ，B 或 A 处；1212B 13 7 2 （3）若 P 是“果圆”上任意一点，求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标．2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第 1 题至第 11 题） 1． x = -1 2． 1 + 1 ( x ≠ 0 )x3． π - arctan 4 4． π5． y 2= 12x 6．1 7． 2arccos668． 39． 0.310． ② ④11． ⎛0，2 - π⎤2 ⎥ ⎝⎦二、选择题（第 12 题至第 15 题）题 号 12 13 14 15 答 案ACBD三、解答题（第 16 题至第 21 题） 16．解：作 PO ⊥平面 ABCD ，垂足为O ．连接 AO ， O 是 P正方形 ABCD 的中心， ∠PAO 是直线 PA 与平面 ABCD 所成的角．∠PAO ＝ 60 ， PA = 2．∴ PO = ． AO = 1， AB = 2 ，DC∴ V = 1PO S= 1⨯ 3⨯ 2 = 2 3．3ABCD33O17．解： 由题意，得cos B = 3， B 为锐角， sin B = 4，AB 55 sin A = sin( π - B - C ) = sin⎛ 3π - B ⎫= ，由正弦定理得⎝ 4c =10 ，7⎪ ⎭10∴ S = 1ac sin B = 1⨯ 2 ⨯10 ⨯ 4 = 8 ． 227 5 718．解：（1） 由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为36% ， 38% ， 40% ， 42% ． 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 670 ⨯1.36 ⨯1.38 ⨯1.40 ⨯1.42 ≈ 2499.8 (兆瓦)． 1420(1 + x )4 （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ，则2499.8(1 + 42%) 4≥ 95% ．解得 x ≥ 0.615 ．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5% ． 19．解： （1） x 2+ 2- (x - 1)2-x2x -1> 2x-1，⎪ 2 c 2 0 1 2 (2 - 2 x x - 1> 0 ， x (x - 1) < 0 ．∴ 原不等式的解为0 < x < 1．（2）当 a = 0 时， f (x ) = x 2，对任意 x ∈ ( - ∞，0 ) ( 0，+ ∞ ) ， f (-x ) = (-x )2= x 2=f (x ) ， ∴ f (x ) 为偶函数．当 a ≠ 0 时， f (x ) = x 2 + a( a ≠ 0，x ≠ 0 ) ，x取 x = ±1，得 f (-1) + f (1) = 2 ≠ 0， f (-1) - f (1) = -2a ≠ 0 ， ∴ f (-1) ≠ - f (1)， f (-1) ≠ f (1) ，∴ 函数 f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数． 20．解：（1）设数列{b n }的公差为 d ，则b 4 = b 1 + 3d = 2 + 3d = 11，解得 ∴ 数列{b n }为2，5，8，11，8，5，2 ．（2） S = c 1 + c 2 + + c 49 = 2(c 25 + c 26 + + c 49 ) - c 25d = 3， = 2(1 + 2 + 22 + + 224 )- 1 = 2(225 - 1 )- 1 = 226 - 3 =67108861．（3） d 51 = 2， d 100 = 2 + 3⨯ (50 - 1) = 149 ． 由题意得 d 1，d 2， ，d 50 是首项为149，公差为 - 3的等差数列． 当 n ≤ 50 时， S n = d 1 + d 2 + + d n= 149n +n (n - 1) (-3) = - 3 n 2 + 301n ． 2 2 2当51≤ n ≤100 时， S n = d 1 + d 2 + + d n= S 50 + (d 51 + d 52 + + d n )= 3775 + 2 (n - 50) +(n - 50)(n - 51)⨯ 32= 3 n 2 - 299n + 7500 ．2 2⎧- 3 n 2 + 301 n ， 1≤ n ≤ 50， 综上所述， S = ⎪2 2n⎨ 3 299 n - ⎩ 2 2n + 7500， 51≤n ≤100． 21．解：（1） F ( c ，0 )， F (0，-， F 0，∴ F F =b = 1， F F = 21 ，0 2 1 2于是c 2 = 3 ， a 2 = b 2 + c 2 = 7，44所求“果圆”方程为 4x 2 + y 2 = 1 ( x ≥ 0 ) ， y 2 + 4x 2 = 1 ( x ≤ 0 ) ．（2）设 P ( x ，y ) ，则 | PM |2= ⎛ x - 7a - c ⎫2⎪ 3+ y 2⎝2 ⎭ ⎛ b 2 ⎫ 2 (a - c )2 2= 1 - ⎪ x ⎝ ⎭- ( a - c ) x ++ b ， - c ≤ x ≤0 ， 4x2x b∴21 -c 2< 0，| PM | 的最小值只能在x = 0或x =-c 处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点B1，B2 或A1 处．x2 y2（3） | A1 M |=| MA2 | ，且B1 和B2 同时位于“果圆”的半椭圆a2 +b2 = 1 ( x ≥ 0 ) 和半椭圆2 2 2+= 1 ( x ≤0 ) 上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆b2 c2 a2y2+= 1 (x ≥0) 上b2的情形即可．⎛a -c ⎫2| PM |2 = x -⎝⎪+y 2 2 ⎭c 2 ⎡=⎢x - a 2 (a -c) ⎤2⎥ +b 2 + (a -c)2a 2 (a -c)2．a 2 ⎣ a2 (a -c)2c 2 ⎦424c 2a 2 (a -c)当x =≤a ，即a ≤2c 时，| PM | 2c2a 2 (a -c) 的最小值在x =时取到，2c 2此时P 的横坐标是a 2 (a -c)．2c 22 2当x =2c 2>a ，即a > 2c 时，由于| PM | 在x <a 时是递减的，|PM | 的最小值在x =a 时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若a ≤2c ，当| PM | 取得最小值时，点P 的横坐标是取得最小值时，点P 的横坐标是a 或-c ．a 2 (a -c)2c 2；若a > 2c ，当| PM |y-。
上海高考文科数学试题详解
2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科)详解满分1５0分;考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有14题，满分５6分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分,否则一律得零分．1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .考点:三角恒等变形、三角函数的周期解答:因为212cos (2)cos4y x x =-=-，所以2T π=.难度:容易题2．若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭． 考点：复数的四则运算,共轭运算解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭难度：容易题3．设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-.若(2)1f =,则(1)f = .考点:解方程、求函数值解答:由()(2)1413f a f =⇒=⇒= 难度:容易题4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .考点：圆锥曲线的标准方程解答：知抛物线的焦点坐标为()2,0,则其准线方程为:2x =- 难度:容易题5.某校高一、高二、高三分别有学生１6００名、1200名、8０0名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．考点：分层抽样解答:高一、高二共有学生2800名，按40：１的比例，需抽取学生数为70人。
难度：容易题６．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．考点：基本不等式解答：222222112=222x y x x x x ⎛⎫⎛⎫++≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22222x y +≥难度:容易题7．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示）．考点：圆锥的侧面展开图解答：如图：21=,=,3,arcsin 3rl r l r ππα=∴=侧面积底面积可得 难度:容易题8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .考点：三视图解答:由三视图知,切割掉的两个小长方体可拼成一个 长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24. 难度:容易题9.设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ． 考点:函数的单调性及最值ﻩ解答:()()()()min min 0,0;0,12;2x f x f a x f x f a ≤==>==∴≤时时即可 难度：中等题10.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若134lim()n n a a a a →∞=+++，则q = .考点：无穷等比数列各项的和解答:()22111515101,1a q a q q q orq q q -+--=∴+-=∴==>-舍 难度：中等题 11．若2132()f x x x-=-,则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．考点：幂函数的单调性 解答：212332()=,f x x x x x-=--∴其定义域为()0,,+∞ 又23y x =是增函数，12y x -=是减函数，2132()f x x x -∴=-是增函数,αl r又()10f =，()0f x ∴<,即为()()1f x f <，0 1.x ∴<< 难度：中等题1２．方程sin 1x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于 .考点:三角方程解答：()sin 1,2sin 1,1336k x x x x k ππππ⎛⎫+=∴+=∴+=+- ⎪⎝⎭()1,[0,2],1,263kx k x k ππππ∴=+--∈∴=1212117,,263x x x x πππ∴==∴+= 难度:中等题1３.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示)．考点:组合、概率解答:未来的连续10天中随机选择3天的所有情况有310C 种；未来的连续10天中选择的3天恰好为连续3天的所有情况有8种;则所求概率为3108115C = 难度:中等题1４．已知曲线24:y x C --=，直线:6l x =.若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0=+AQ AP ，则m 的取值范围为 ．考点:圆的方程、能成立问题解答：∵曲线24:y x C --=，即:C ()2240x y x +=≤，∵=+，∴点(,0)A m 即为P Q 、中点；设()6Q y ，,∵(,0)A m ,则()26,P m y --，∵点P 在曲线C 上，∴()()()()2222264264260260m y m y m m ⎧⎧-+-=-=--⎪⎪⇒⎨⎨-≤-≤⎪⎪⎩⎩ ()[]202642,3260m m m ⎧≤-≤⎪⇒⇒∈⎨-≤⎪⎩ 难度:较难题二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分，否则一律得零分． 15．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）(A) 充分非必要条件ﻩ(Ｂ) 必要非充分条件(C) 充分必要条件 ﻩﻩ(D ） 既非充分又非必要条件考点:充分条件、必要条件 解答:必要非充分条件，选Ｂ 难度:容易题16.已知互异的复数,a b 满足0ab ≠,集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=( )(A ） 2ﻩ (B) 1 (Ｃ) 0ﻩ (D) 1- 考点:集合的相等、复数范围内1的立方根解答:⑴若22,,a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩则0,1,0,1,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩0,1,1,0,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍）;⑵若22,,a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩则4a a =, 那么0a =（舍)或1a =（舍）或13,2213,22i a i b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或13,2213,22ia ib ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 综合上述，1a b +=-.选D难度:中等题17．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，)7,,2,1( =i P i 是小正方形的其余顶点，则)7,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为( )（A ） 7 (Ｂ) 5 (C) 3 (D) 1考点:向量的数量积、向量的投影解答:结合图形,观察i AP 在AB 上的投影即可：136AP AP AP 、、在AB 上的投影相同;47AP AP 、在AB 上的投影相同；25AP AP 、在AB 上的投影相同；故)7,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为3，选Ｃ难度：中等题18.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ )(Ａ) 无论12,,k P P 如何,总是无解ﻩﻩ (B) 无论12,,k P P 如何,总有唯一解 （C) 存在12,,k P P ,使之恰有两解 ﻩ (D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法解答：把11(,)P a b 代入直线1y kx =+得111b ka =+，即111ka b -+=.同理可得221ka b -+=．则,1x k y =-=是方程组11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解．若,1x k y =-=不是方程组11221,1.a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的唯一解,则方程组11221,1.a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 有无数解则1212,a a b b ==，与已知矛盾综上,方程组11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解,选B ．难度：较难题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. １9.(本题满分1２分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .考点:棱锥的体积、空间想象能力解答：依题意:123PP P ∆是边长为４的正三角形,折叠后是棱长为2的正四面体P ABC -(如图）.设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ,连接BO ,则O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC .323BO AB == 284,3PO BO =-=12233P ABC ABC V S PO -∆=⋅⋅= 难度:容易题OBAP20.（本题满分１４分)本题共有2个小题，第１小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(．（1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值,讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由． 考点：反函数、函数的奇偶性解答:(1)因为2424x x y +=-,所以()4121x y y +=-,得1y <-或1y >，且212log 1y x y +=+-．因此，所求反函数为121()2log ,1x fx x -+=+-()(),11,x ∈-∞-+∞．(2）①当0a =时,()1f x =,定义域为R ,故函数()y f x =是偶函数；②当1a =时,21()21x x f x +=-,定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x xx f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数;③当0a >且1a ≠时,定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称,故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数.难度:容易题21．（本题满分14分）本题共有２个小题，第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端,AC 长35米,CB 长８0米.设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和. (1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.０1米）？(２)施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.1218.45αβ==,，求CD 的长（结果精确到0.0１米)．考点:解斜三角形解答：(1)设CD h =,则tan ,tan 3580h hαβ==.因2αβ≥，所以22tan tan tan 21tan βαββ≥=-,即2280351()80h h h ⋅≥-，20228.282h ≤=≈(米） （2）在ABD ∆中，由已知,56.57αβ+=,115AB =， 由正弦定理得()sin sin BD ABααβ=+ ,解得85.064BD ≈(米)． 在BCD ∆中,由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅， 解得26.93CD ≈(米）.所以，CD 的长约为26.93米．难度：中等题２2.（本题满分1６分）本题共有3个小题,第１小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分７分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ,记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<,则称点12,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．(１)求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔;（２）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（３）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E .求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线. 考点:定义法求曲线方程、数形结合思想 解答：(1）证明：因为40η=-<,所以点,A B 被直线10x y +-=分隔.（2）解：直线y kx =与曲线2241x y -=没有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩无解,即12k ≥.当12k ≥时,对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<,即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔．故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞.(3）证明:设M 的坐标为(,)x y ,则曲线E 1x =.对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<,即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔．所以y 轴为曲线E 的分隔线． 难度：中等题23.（本题满分１８分)本题共有３个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分，第３小题满分9分．已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈,11a =.(1)若2342,,9a a x a ===,求x 的取值范围; （2）设{}n a 是等比数列,且11000m a =,求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比;(３)若10021,,,a a a 成等差数列，求数列10021,,,a a a 的公差的取值范围. 考点：等差数列、等比数列与不等式综合 解答:(1）由条件得263x ≤≤且933x x ≤≤,解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈.（2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤,且110n n a a q -=≠,得0n a >.因为1133n n n a a a +≤≤,所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥,131000m -≥,解得8m ≥.8m =时,1[,3]3q =．所以，m 的最小值为8,8m =时,{}n a （3)设数列10021,,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，得223n n a d a -≤≤，99,,2,1 =n ．①当0d >时,129899a a a a >>>> ，所以102d a <≤，即02d <≤． ②当0d =时,9998211a a a a =====,符合条件.③ 当0d <时，129899a a a a <<<< ,所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+,又0d <,所以20199d -≤<． 综上，10021,,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-. 难度：较难题。
2023上海文数全解全析
2023年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意:1．答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试卷,满分150分,考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将解析直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1．不等式11x -＜地解集是 ．【解析】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2．若集合{}|2A x x =≤,{}|B x x a =≥满足{2}A B = ,则实数a = ．【解析】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素.3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位),则z = ．【解析】1i+【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-.4．若函数()f x 地反函数为12()log f x x -=,则()f x = ．【解析】()2xx R ∈【解析】令2log (0),y x x => 则y R ∈且2,yx =()()2.xf x x R ∴=∈5．若向量a ,b 满足12a b == ，且a 与b 地夹角为3π,则a b += ．【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b+=++=++22||||2||||cos 73a b a b π=++= ||a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =地焦点,则实数a = ．【解析】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =地焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=地一个虚根,且2z =,则p = ．【解析】4【解析】设z a bi =+,则方程地另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=,由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+-=8．在平面直角坐标系中,从五个点:(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个,这三点能构成三角形地概率是 （结果用分数表示）．【解析】45【解析】由已知得A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线,所以五点中任选三点能构成三角形地概率为3335245C C -=9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数,且它地值域为(]4-∞，,则该函数地解析式()f x = ． 【解析】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数,则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，,224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数为10.5．若要使该总体地方差最小,则a 、b 地取值分别 ． 【解析】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知,只需10.5a b ==时,总体方差最小.11．在平面直角坐标系中,点A B C ，，地坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成地区域（含边界）上地点,那么当xy ω=取到最大值时,点P 地坐标是 ． 【解析】5,52⎛⎫⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时,点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题,每题都给出代号为A 、B 、C 、D 地四个结论,其中有且只有一个结论是正确地,必须把正确结论地代号写在题后地圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出地代号超过一个（不论是否都写在圆括号内）,一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上地点．若12F F ，是椭圆地两个焦点,则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】D【解析】 由椭圆地第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中地直线l 及平面α．条件"直线l 与平面α内两条相交直线都垂直"是"直线l 与平面α垂直"地（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件【解析】C【解析】"直线l 与平面α内两条相交直线都垂直"⇔"直线l 与平面α垂直".14．若数列{}n a 是首项为1,公比为32a =地无穷等比数列,且{}n a 各项地和为a ,则a 地值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【解析】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或.15．如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x 轴地正半轴、y 轴地正半轴分别相切于点C 、D 地定圆所围成地区域（含边界）,A 、B 、C 、D 是该圆地四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥,则称P 优于P '．如果Ω中地点Q 满足:不存在Ω中地其它点优于Q ,那么所有这样地点Q 组成地集合是劣弧（ D ）Ａ． AB B ． BCC ． CD D ． DA 【解析】D【解析】由题意知,若P 优于P ',则P 在P '地左上方,∴当Q 在 DA上时, 左上地点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 地点,∴Q 组成地集合是劣弧 DA.三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要地步骤．16．(本题满分12分)如图,在棱长为2地正方体1111ABCD A B C D -中,E 是BC 1地中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角地大小（结果用反三角函数值表示）．16. 【解】过E 作EF ⊥BC ,交BC 于F ,连接DF.∵ EF ⊥平面ABCD ,∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成地角. ……………4分由题意,得EF =111.2CC =∵11,2CF CB DF ==∴=分∵ EF ⊥DF , ∴tan EF EDF DF ∠==……………..10分故直线DE 与平面ABCD所成角地大小是….12分17．（本题满分13分）如图,某住宅小区地平面图呈扇形AOC ．小区地两个出入口设置在点A 及点C 处,小区里有两条笔直地小路AD DC ，,且拐弯处地转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟,从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行地速度为每分钟50米,求该扇形地半径OA 地长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形地半径为r 米. 由题意,得CD =500（米）,DA =300（米）,∠CDO=060在CDO ∆中,22022cos 60,CD OD CD OD OC+-⋅⋅⋅=……………6分即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ,作OH ⊥AC ,交A C 于H …………………..2分由题意,得CD =500（米）,AD =300（米）,0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米）∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题,第1个题满分5分,第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ,g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭,直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，地图象分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时,求｜MN ｜地值；（2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时地最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分 231cos.32π=-=………………………………5分（2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 222t t =……...8分26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………….11分∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN . ……………15分19．（本题满分16分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分．已知函数||1()22xx f x =-．（1）若()2f x =,求x 地值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立,求实数m 地取值范围．19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知,2122,22210,2x x x x-=-⋅-=即解得 21x=±…………6分∵ (220,log 1x x >∴= …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t ttt m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈-- 故m 地取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20．（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 地渐近线方程；（2）已知点M 地坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上地点,Q 是点P 关于原点地对称点．记MP MQ λ=．求λ地取值范围；（3）已知点D E M ，，地坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，,P 为双曲线C 上在第一象限内地点．记l 为经过原点与点P 地直线,s 为DEM △截直线l 所得线段地长．试将s表示为直线l 地斜率k 地函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y y x -=+= ……………...3分（2）设P 地坐标为()00,x y ,则Q 地坐标为()00,x y --, …………….4分()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ (7)分0x ≥ λ∴地取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内地点,则直线l地斜率.k ⎛∈ ⎝……………11分由计算可得,当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝时……………15分∴ s 表示为直线l 地斜率k 地函数是()1(0,21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝….16分21．（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分４分,第2小题满分６分,第3小题满分8分．已知数列{}n a :11a =,22a =,3a r =,32n n a a +=+（n 是正整数）,与数列{}n b :11b =,20b =,31b =-,40b =,4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ,求r 地值；（2）求证:当n 是正整数时,124n T n =-；（3）已知0r >,且存在正整数m ,使得在121m T +,122m T +, ,1212m T +中有4项为100．求r 地值,并指出哪4项为100．21、【解】（1）()()()12312...12342564786a a a a r r r r ++++=++++++++++++++ 484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴=………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明:当12,4.n n Z T n +∈=-时①当n=1时,1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分②假设n=k 时等式成立,即124,k T k =-那么当1n k =+时,()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定:当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r nn m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数,41,4,44m r m r m -+-----均为负数,∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时,293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
普通高等学校招生全国统一考试上海卷文科数学试题及答案
数据,就业局势必定是()
计算机行业好于化工行业.(B)建筑行业好于物流行业.
(C)机械行业最紧张.
(D)营销行业比贸易行业紧张.
三.解答题(本大题满分86分)
17.(此题满分12分)
已知复数z1知足(1+i)z1=－1+5i,
若C的方程y2
=2px(p≠0)点.
P1
2
2
2
(0,0),于定的自然数n,明：
成等差数列；
(x1+p),(x2+p),
⋯,(xn+p)
(3)
若C的方程x
2
y2
1(a>b>0).点P1(a,0),于定的自然数
n,当公差d化
a
2
b2
,求Sn的最小.
符号意义
本试卷所用符号
等同于《实验教材》符号
向量坐标
a={x,y}
(2)当P抛物上位于段AB下方
(含A.B)的点,求OPQ面的最大.
21.(安分16分)第1小分4分,第2小分6分,第3小分6分
如,P-ABC是底面1的正三棱分棱上的点,截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱P-ABC的棱和相等.(棱和是指多面体中全部棱的度之和)
明：P-ABC正四周体；
1
(2)若PD=PA,求二面角D-BC-A的
∞)
(2)
由(x－a－1)(2a－x)>0,
得(x－a－1)(x－2a)<0.
a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).
∵BA,∴2a≥1或a+1≤－1,即a≥1或a≤－2,而a<1,
2022年文数高考试题答案及解析-上海
2022上海高考数学试题〔文科〕答案与解析一、填空题〔本大题共有14题，总分值56分〕【点评】此题主要考查行列式的根本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．假设是直线的一个方向向量，那么的倾斜角的大小为〔结果用反三角函数值表示〕.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，那么21arctan ,21tan ==αα. 【点评】此题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的外表积为. 【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的外表积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】此题主要考查空间几何体的外表积公式.审清题意，所求的为圆柱的外表积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的外表积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230xx +--=的解是.【答案】3log 2 【解析】根据方程03241=--+x x，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>，那么原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x.所以原方程的解为3log 2.【点评】此题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.此题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.此题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，那么12lim(...)n n V V V →∞+++=.【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积那么组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】此题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于.【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=-. 【点评】此题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.()y f x =是奇函数，假设()()2g x f x =+且(1)1g =，那么(1)g -=. 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】此题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，此题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是. 【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，〔包括边界〕目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z . 【点评】此题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，此题属于中档题，难度适中. 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛，假设每人只选择一个工程，那么有且仅有两位同学选择的工程相同的概率是〔结果用最简分数表示〕. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的工程的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】此题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清根本领件数和根本领件总数.此题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，那么AM AN ⋅的取值范围是【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下列图，因为1,2==AD AB ，所以 (0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2xAN x AM →→-==所以123+=•→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ， 即→→≤•≤41AN AM .【点评】此题主要考查平面向量的根本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.此题属于中档题，难度适中.13.函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =〔01x ≤≤〕的图像与x 轴围成的图形的面积为. 【答案】41【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41.【点评】此题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出表达数形结合思想，此题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，此题属于中高档试题，难度较大. 14.1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，假设20102012a a =，那么2011a a +的值是. 【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a 〔负值舍去〕.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】此题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，此题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. 二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕15.假设1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，那么〔 〕A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-=【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1-也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】此题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四那么运算.属于中档题，注重对根本知识和根本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn >〞是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】此题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，假设222sin sin sin A B C +<，那么△ABC 的形状是〔 〕 A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.应选择A.【点评】此题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.此题属于中档题. 18.假设2sin sin...sin 777n n S πππ=+++〔n N *∈〕，那么在12100,,...,S S S 中，正数的个数是〔 〕A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】此题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕19.〔此题总分值12分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，∠BAC ＝2π，2AB =，3AC =2PA =，求： 〔1〕三棱锥P ABC -的体积； 〔2〕异面直线BC 与AD 所成的角的大小〔结果用反三角函数值表示〕. 【答案与解析】【点评】此题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.此题源于 必修2 立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20.〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分()lg(1)f x x =+.〔1〕假设0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；〔2〕假设()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =〔[]1,2x ∈〕的反函数. 【答案与解析】【点评】此题主要考查函数的概念、性质等根底知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21.〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系〔以1海里为单位长度〕，那么救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .〔1〕当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；〔2〕问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 【答案与解析】【点评】此题主要考查函数的概念、性质及导数等根底知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22.〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:21C x y -=.〔1〕设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，假设22MF =M 的坐标； 〔2〕过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； 〔3〕设斜率为k 〔2k <l 交C 于P 、Q 两点，假设l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ .【答案与解析】【点评】此题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，此题属于中档题 ．23.〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =〔1,2,...,k m =〕，即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.〔1〕假设各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a ； 〔2〕设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=〔C 为常数，1,2,...,k m =〕，求证：k k b a =〔1,2,...,k m =〕；〔3〕设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，假设(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-. 【答案与解析】【点评】此题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的根本性质等根底知识，此题属于信息给予题，通过定义“控制〞数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的根本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。