(2.3) 第三节 反函数和复合的求导法则(少学时简约版).

( y ) 0，则它的反函数 y = f( x )在区间
I x ={ x x = ( y ), y I y }
内也可导，且
fx
1y
,
或dy
dx
1 dx
.
dy
关系式 f x 是 按1“y点 ”叙述的: 此关系左边[ f( x )]是关于 x 的表达式，右边是关
于 y 的表达式，二者相等的意义是在点 M( x ,y )处对 应的“函数值”相等。
接函数与反函数的导数关系： 当 x I x =( -1 ,1 )时有
fx a r c c o sx 1 yc o s 1 y s1 in y,
为应用的方便，应将上式右边写成 x 的函数。
因为当 y I y =( 0 , )时有 s i n y 1 c o s 2 y 1 x 2 ,x I x 1 , 1 ,
设 x = ( y )为直接函数，y = f ( x )为其反函数，且
直接函数 x = ( y )在某区间 I y 内单调，相应反函数
y = f( x )的单调区间为 I x .
对任意的 x I x ，给 x 以增量 x 0，x + x I x,
由反函数 y = f ( x )的单调性知，其相应的增量满足
yloga
y
1 0. ylna
故由直接函数与反函数的导数关系：
当 x I x =( - ,+ )时有
fxax1 ylo g 1 ay
1 yln a. 1
yln a
为应用的方便，应将上式右边写成 x 的函数。
因为当 y I y =( 0 ,+ )时, y = a x，故有
( a x)= a x ln a，x (- ,+ )
故由直接函数与反函数的导数关系： 当 x I x =( - ,+ )时有
fx a r cc o tx 1 yc o 1 ty c sc 1 2y.
为应用方便，应将上式右边写成 x 的函数。
因为当 y I y =( 0 , )时有 c s c y 1 c o t 2 y 1 x 2 ,x I x , + ,
故求得 a r c c o tx 1 1 x 2,x ,
同理可求得
a rcta n x1 1 x 2,x ,
例：设 y = a x，求: y . 对此基本初等函数求导问题，容易想到根据导
数定义计算。同时由于 log a x 的导数已求得，故也可利 直接函数与反函数导数关系求此指数函数导数。
这种表述形式对于导出结果是方便的，但对于应 用却显得不便。因此，在应用时常需将等式两边换成 相同的变量，即此关系式的应用形式应是
fx1 yf1x .
(3) 反函数求导法则的应用
例：设 y = arccos x，求: y . 对此基本初等函数求导问题，容易想到根据定
义计算，但按定义求此反三角函数导数却不方便。 注意到余弦函数 cos x 的导数已求得，故考虑利用
由导数定义及函数的四则运算的求导规则 求得了几个基本初等函数的导数，为便于求出 全部基本初等函数的导数还需讨论反函数的求 导规则。
由于初等函数由基本初等函数经由四则运 算和复合运算构成，故求得了基本初等函数的 导数，再能建立复合运算的求导规则就可解决 所有初等函数的导数计算问题。
(2) 直接函数导数与反函数导数的关系
特例 ( e x)= e x ln e = e x，x (- ,+ )
(1) 复合函数求导问题的提法
设有复合函数 y = f[ g( x )]，其求导问题的一般提
法为：若内层函数 u = g( x )在点 x 处可导，
即d du xlixm 0 u x存 在 ,
外层函数 y = f ( u )在对应点 u = g( x )处可导,
即d du ylium 0 u y存 在 ,
考虑复合函数 y = f[ g( x )]在点 x 处是否可导，
即 d dxylxim 0xy 是否存在？
若存在，其导数形式如何？
由于复合函数 y = f [g( x )]的因变量 y 通过中
故求得 a r c c o sx 1 1 x 2 ,x 1 ,1
例：设 y =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱarccot x，求: y .
用反函数求导法则计算
取 x = ( y )= cot y ,y I y =( 0 , )为直接函数，则
f( x )= arccot x 为其反函数。
由于 x = ( y )= cot y 在 I y =( 0 , )内单调可导，且 ( cot y )= - csc 2 y ， y I y =( 0 , ).
当 x → 0 时, y → 0 .
若进一步假设 x = ( y )在点 y 处可导，且
y lim y 0
x y
0,
于是由复合函数取极限定理有
lim x0
y x
x0 y0
即 fx 1y .
lim
y0
1
x
,
y
由上讨论有如下结果：
反函数求导法则
如果函数 x = ( x )在区间 I y 内单调、可导，且
用反函数求导法则计算
取 x = ( y )= log a y ,y I y =( 0 ,+ ),( a > 0 , a 1 ),
为直接函数，则 y = f( x )= a x 为其反函数。
由于 ( y )= log a y 在 I y =( 0 ,+ )内单调可导，且
当 y I y =( 0 ,+ )时
y = f ( x + x )- f ( x ) 0 ， 于是在点 M( x ,y )处，直接函数 x = ( y )的变化
率与其反函数 y = f( x )相应的变化率满足关系
y x
1 x
.
y
若假设 x = ( y ) 在点 y 处连续，则由反函数的连
续性知，y = f( x )在对应点 x 处连续，即
直接函数与反函数导数间的关系求此反三角函数导数。 用反函数求导法则计算
取 x = ( y )= cos y ,y I y =( 0 , )为直接函数，则
f( x )= arccos x 为其反函数。
由于 x = ( y )= cos y 在 I y =( 0 , )内单调可导，且 ( y )=( cos y ) = - sin y < 0 , y I y =( 0 , )，故由直