湖南怀化市2016高三第二次模拟考试理科数学试题含答案

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2016年高三二模 理科数学参考答案一、选择题（每小题5分共60分）9AC =V到时AC 的距离d 则12332VAB VBC S S ∆∆==⨯⨯=，12222ABC S ∆=⨯⨯= 12VAC S ∆=⨯ 故选A 11解：该三角形数表共有2016行，每行第1个数1、3、8、20、…构成通项为2(1)2n n a n -=+⋅的数列， 故第2016行的唯一一个数为2014201620172a =⋅，故选D 另外可直接验证前四行寻找答案。

12解：[()]()()0xf x xf x f x x ''=+<< (0)x <，()()g x xf x ∴=在(,0)x ∈-∞上单调递减，由(2016)(2016)2(2)x f x f ++>--可得20162x +<-，即2018x <-. 二、填空题（每小题5分共20分）13. 16-；； 14. 21-； 15. 2； 16. π8. 17解：（I ）设等差数列}{n b 的公差为d ,由已知得d b d b q a q a 123,33,3,3134232+=+===即⎩⎨⎧+=+=d q dq 12333332 …………………………2分解得20()31d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或舍，所以3,2==q d …………4分 所以12,3+==n b a n n n …………………6分 （Ⅱ）由题意得n n n n n n n a b c 3)12()1()1(++⋅-=+-=,所以)12()1()12()1(...)97()53(...121+-+--+++-++-=+++=-n n c c c S n n n n )3333(132-+++++n …………………8分当n 为偶数时,得232331)31(31-+=--+=+n n S n n n …………10分 当n 为奇数时,得272331)31(3)12(11--=--++--=+n n n S n n n ………12分 (另解：用错位相减法求得})1{(n n b -的前n 项和为)1()1(1+-+-n n，利用等比数列求和得到}{n a 的前n 项和为2331-+n ， 从而得到=n S )1()1(2531+-+-+n n n 18解: （Ⅰ）∵22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ =03.355452575)15451030(1002=⨯⨯⨯⨯-⨯<841.3……………2分 ∴没有95% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”……………4分（Ⅱ）由已知得70后 “生二胎”的概率为32,且X ～B(3, 32) ……………6分 ∴k k k C k X P -==33)31()32()( 3,2,1,0=k ∴X 的分布列为……………10分∴()E X =2323=⨯……………11分 3231323)(=⨯⨯=X D ……………12分 19解：（Ⅰ）证：∵四边形ABCD 为矩形，∴AEF ∆∽CBF ∆， ∴21===BC AE BF EF CF AF ……………………………1分 又∵矩形ABCD 中，2,1==AD AB ，∴3,22==AC AE 在BEA Rt ∆中，2622=+=AE AB BE ∴3331==AC AF ，3632==BE BD 在ABF ∆中，222221)36()33(AB BF AF ==+=+ ∴ 90=∠AFB ，即BE AC ⊥……………………………3分∵⊥GF 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ∴GF AC ⊥……………………4分又∵F GF BE = ，⊂GF BE ,平面BCE ∴⊥AF 平面BEG ……………5分 （Ⅱ）在AGF Rt ∆中，22GF AF AG +=36)33()33(22=+= 在BGF Rt ∆中，22GF BF BG +=1)33()36(22=+= …………………7分 在ABG ∆中，36=AG ，1==AB BG ∴2)66(13621-⨯⨯=∆ABG S 656303621=⨯⨯= ……………9分 设点E 到平面ABG 的距离为d ，则GF S d S ABF ABG ⋅=⋅∆∆3131，∴ABG ABFS GF S d ∆⋅=1030653312221=⨯⨯⨯= 22)66()33(2222=+=+=EF GF EG ……………………11分 设直线EG 与平面ABG 所成角的大小为θ，则EG d =θsin .515221030==……………………………12分 另法：由（1）得FG BE AD ,,两两垂直,以点F 为原点，FG FE FA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系…………………………6分 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,33A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,36,0B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0,0G ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,66,0E ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0,36,33AB ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33,0,33AG ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33,66,0…………8分 设),,(z y x n =是平面ABG 的法向量，则 G F E DCB A x yz⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n AB ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0333303633z x y x ， 取2=x ，得)2,1,2(-=………………………………10分设直线EG 与平面ABG 所成角的大小为θ，则51521231610233)1(6620sin =++⋅++⨯+-⨯-⨯==θ ∴直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值为.515…………………………12分 20解：（I ）设椭圆的半焦距为.c 因为双曲线2210x y-=，，即c a =1分由题意，得2a =解得a 1c =…………2分222211b a c =-=-=.故椭圆的方程为2212x y +=…………3分 （Ⅱ）（i ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222,22x y x y =-=-. 由于点A 与点C 关于原点对称，所以11(,)C x y --.222222212121212122222221212121121.2(22)(22)2()AB BC y y y y y y y y y y k k x x x x x x y y y y -+---⋅=⋅====--+----- 故直线AB 与BC 的斜率之积为定值12-……………6分 （ii ）设直线AB 的方程为1x ty =-，11(,)A x y ，22(,).B x y由221,22x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理，得22(2)210.t y ty +--= 因为直线AB 与椭圆交于,A B 两点，所以12122221,.22t y y yy t t -+==++…………8分 ||AB ===2t=+点O到直线AB的距离d=因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2.d1||22ABCS AB d=⋅==△………………10分u，则1u≥.1ABCSu uu==++△11分当且仅当1uu=，即1u=，亦即0t=时，ABC△此时直线AB的方程为1x=-……………………12分21解：（I）（i）令()(1)xu x e x=-+，则()1,xu x e'=-0x<时()0u x'<，0x>时()0u x'>，∴()(0)0u x u≥=，即()1g x x≥+………………………2分（ii）()(1)()ln(1)xh x f x g x x ax e=++=+-+，1()1xh x e ax'=+-+．①当2a≤时，由（1）知1xe x≥+，∴11()12011xh x e a x a ax x'=+-≥++-≥-≥++，()h x在[)0,+∞上递增，()(0)1h x h≥=恒成立，符合题意…………………4分②当2a>时，因为2221(1)1()0(1)(1)xxx eh x ex x+-''=-=≥++，∴()h x'在[)0,+∞上递增，且(0)20h a'=-<，则存在(0,)x∈+∞，使得(0)0h'=．∴()h x在(0,)x上递减，在(,)x+∞上递增，又()(0)1h x h<=，∴()1h x≥不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数a的取值范围是(],2-∞……………6分(另解（ii）()(1)()ln(1)xh x f x g x x ax e=++=+-+，1()1xh x e ax'=+-+．令axext x-++=11)(,则0)1(1)1()1(1)(222,≥+-+=+-=xexxextxx∴)(xt在[)+∞∈,0x上递增,即1()1xh x e ax'=+-+在[)+∞∈,0x上递增,且ah-=2)0(,①当2a≤时，02)0(,≥-=ah,()h x在[)0,+∞上递增，()(0)1h x h≥=恒成立，符合题意．②当2a>时, (0)20h a'=-<,则存在(0,)x∈+∞，使得0)(,=xh．∴()h x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，又0()(0)1h x h <=， ∴()1h x ≥不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞．)（Ⅱ）设切线2l 的方程为2y k x =，切点为22(,)x y ，则22xy e =， 22222()x y k g x e x '===，所以21x =，2y e =，则22x k e e ==． 由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e ==，1l 的方程为11y k x x e==． 设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111111()y k f x a x e x '==-==， ∴1111x y ax e==-，111a x e =-． 又∵111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e-+-=…………9分 令11()ln 10m x x x e =-+-=，则22111)('xx x x x m -=-=， ()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．若1(0,1)x ∈，因为11()20m e e e =-+->，1(1)0m e =-<，∴11(,1)x e∈， 而111a x e =-在11(,1)x e∈上单调递减，∴211e e a e e --<<． 若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0m e =，则1x e =， ∴1110a x e =-=（舍去） 综上可知，211e e a e e--<<…………………12分 22解：（I ）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD …………2分 又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠CBA PAC ∆∆∴∽，ABAC AC PC =∴…………………4分 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC …………5分（II ） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅， …………8分2212=⋅=∴EF ，BE EF =∴．…………10分 23解 ：（I ）直线l …………………2分曲线C 的方程为：122=+y x …………………4分（II ）∵⎩⎨⎧='='y y x x ,2 ∴将⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x ,2代入C ，得C '：1)(4)(22='+'y x ，即椭圆C '的方程为1422=+y x ……………………6分将直线l 的参数方程t t y t x (232,21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=为参数). 代入椭圆C '的方程中可得:1)232(4)211(22=+++t t 化简可得:013)138(4132=+++t t ∴134)138(21+-=+t t 4.21=t t (21,t t 同号)………………8分 ∴PB PA 11+=13138.11212121+=+=+t t t t t t ………………10分24解：（Ⅰ）因为()()32325x x x x --+≤--+= 所以15m -≤，解得46m -≤≤，故4M =-……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得34a b +=所以()311311933344a b a b b a b a ba ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1634⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当9a b b a =即32a b ==时等号成立…………10分。