认识三角形(高线)!
认识三角形的高
你知道立柱与横梁有什么特殊的位置 关系吗？
学习目标：
1.理解三角形高的概念,会画任意三角形 的高。
2.通过折、画三角形高线，探索三角形 高线的数量及位置关系。并能应用新知 解决实际问题。
三角形的高线定义 A
B
DC
如图，∠BAC＝90°，AD是 BC边上的高，∠BAD＝30°， 则∠C＝ 30°。
垂直 90 °
直角三角形
两锐角互余
折一折 画一画 议一议 （1）你能用折纸的办法得到锐角三角形，直角
三角形，钝角三角形的高吗? （2）你能分别画出锐角三角形，直角三角形，
钝角三角形的高吗? （3）不同三角形高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三角形内部高的数量 高之间是否相交 高所在直线是否相交
A. 三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的一条边上
D. 不能确定
4.下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段； ②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三
角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相
交于一点，其中说法正确的有 ① 。
5．如图，已知△ABC中，AD是BC边上 的高，点E在线段BD上，且AE平分∠BAC， 若∠B=40°，∠C=78°，
3 相交 相交
1 相交 相交
三条高所在直线的交 点的位置
三角形内部
直角顶点
1 不相交 相交
三角形外部
如图，在△ABC中，BC边上的高是 AF ，
AB边上的高是 CE ；
在△BCE中，BE边上的高是 CE ，EC边
上的高是 BE ；
在△ACD中，AC边上的高是 DC ，CD边
《三角形的高》教案
-突破方法：提供丰富的实际情境问题，指导学生如何运用三角形高的知识进行问题分析和解决。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形的高》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量三角形物体高度的情况？”（如测量小树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形高的奥秘。
此外，我还发现，对于三角形高与底边比例关系这一难点，虽然通过画图和计算进行了解释，但似乎还有学生对此感到困惑。因此，我计划在下一节课的复习环节中，再次强调这一关系，并通过更多的例子来帮助学生巩固记忆。
-能够在具体情境中识别三角形的高，并运用高的概念解决实际问题。
-能够通过实际操作和绘图，掌握三角形高的作法，发展空间想象力和创造力。
2.培养学生的逻辑思维和问题解决能力，通过探索三角形高的性质，学会运用分类讨论和归纳总结的方法分析问题。
-能够分析不同类型三角形高的特点，并进行有效分类。
-能够运用所学知识，解决与三角形高相关的综合问题，提升解题策略和技巧。
-钝角三角形有3个高，其中一条在三角形内部，另外两条在三角形外部。
3.应用三角形高的知识解决实际问题。
-利用三角形高的性质测量距离或计算面积。
-探索三角形高与底边的关系，理解等腰三角形底边两侧高的相等性。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过观察、操作、推理等过程，深化对三角形高的理解，提高对几何图形的认识和操作技能。
-举例：通过计算不同形状三角形面积的练习，让学生感受高与底边长度对面积的影响。
三角形的高线
三角形的高线三角形是初中数学中非常基础也非常重要的一个概念。
在三角形中，高线是一个特殊的线段，它从一个顶点垂直地连接到对应的底边上，构成一个直角三角形。
本文将详细介绍三角形的高线，包括定义、性质和应用。
一、高线的定义在三角形ABC中，取顶点A，通过A点作直线垂直于边BC，与BC交于点D。
AD就是三角形ABC的高线。
注意，高线只能从顶点垂直地连接到对应的底边上，否则就不能称为高线。
二、高线的性质1. 高线和底边之间的关系在三角形ABC中，AD是高线，BC是底边。
根据垂直线性质，AD和BC相互垂直。
也就是说，角BAD和角BCA互为直角。
2. 高线的长度三角形ABC的高线AD被底边BC分成两个线段，分别记作BD和DC。
根据勾股定理，三角形ABD和三角形ACD都是直角三角形，因此可以求出BD和DC的长度。
3. 高线的位置在三角形ABC中，高线AD可以在三角形内部或者外部延长。
如果三角形是钝角三角形，高线在底边的延长线上。
如果三角形是直角三角形，高线是底边上的中线。
如果三角形是锐角三角形，高线在底边的中线和延长线之间。
4. 高线的唯一性在一个三角形中，从一个顶点作高线只能得到一个高线。
也就是说，一个三角形只有三条高线。
三、高线的应用1. 计算三角形的面积三角形的面积可以通过高线来计算。
假设高线AD的长度为h，底边BC的长度为a，则三角形ABC的面积S等于底边长度和高线长度的乘积的一半，即S=0.5ah。
这是三角形面积的常用公式之一。
2. 判断三角形的形状通过高线的长度与底边的关系，可以判断三角形的形状。
如果高线长度小于底边长度的一半，即h<a/2，则三角形是锐角三角形；如果高线长度等于底边长度的一半，即h=a/2，则三角形是直角三角形；如果高线长度大于底边长度的一半，即h>a/2，则三角形是钝角三角形。
3. 解决几何问题高线在几何问题中有广泛的应用。
例如，可以利用高线构造正三角形、等边三角形等特殊的三角形。
“认识三角形的高线”
认识三角形的高线什么是三角形的高线？在几何学中，三角形的高线指的是从三角形的顶点向对边作垂线所得到的线段。
简单来说，三角形的高线就是从三角形的顶点到对边上一点的垂直线段。
三角形的高线有哪些重要性质？性质1：三角形的三条高线交于一点首先，需要强调的是三角形的三条高线是会相交于一点的，这个点称为三角形的垂心。
垂心可以视为三条高线的交点。
性质2：高线的长度不一定相等三角形的高线的长度不一定相等。
只有在等腰三角形和等边三角形中，三条高线才会相等。
性质3：高线与边的关系三角形的高线与三条边有一定的关系，可以根据不同的情况进行分类。
•普通三角形：高线与对边的关系是垂直关系，即高线与对边成垂直角。
•直角三角形：直角三角形的两条腰分别等于底边的一半，即高线等于底边的一半。
•等腰三角形：等腰三角形的高线是等边线的垂直平分线，即高线与底边相交的点同时也是底边中点。
•等边三角形：等边三角形的高线是等边线的垂直平分线，即高线与底边相交的点同时也是底边中点。
性质4：高线与外心、内心和重心的关系除了垂心之外，三角形的高线还与三个特殊的点有关，即外心、内心和重心。
•外心：三角形的外接圆的圆心称为外心。
外心与三角形的顶点、底边上的点以及底边中垂心构成的四边形是一个矩形。
•内心：三角形的内接圆的圆心称为内心。
内心与三角形的顶点、底边上的点以及底边中垂心构成的四边形是一个平行四边形。
•重心：三角形的三条高线交于一点，这个交点称为重心。
重心与三角形的顶点、底边上的点以及底边中点构成的四边形是一个平行四边形。
怎样求解三角形的高线？在求解三角形的高线时，可以根据具体的已知条件和问题要求使用不同的方法。
1.已知三边长度：可以通过海伦公式计算出三角形的面积，然后利用面积公式求解高线的长度。
2.已知一个角和两边长度：可以根据三角形的正弦定理或余弦定理求解出另外两个角的大小，然后根据三角形的性质求解高线的长度。
3.已知一个角和一个高线的长度：可以根据三角形的正弦定理或余弦定理求解出另外两个角的大小，然后根据三角形的性质求解高线的长度。
三角形高线定理
三角形高线定理三角形高线定理是指在一个三角形中，从某一顶点引一条线段与对边相交于一点，那么这条线段被对边分成的两个线段的比等于该顶点到对边上分割点的距离与对边长度的比。
在数学中，高线是指从三角形的顶点到对边上某一点的连线，而三角形高线定理给出了关于高线的重要性质。
三角形高线定理可以用于解决一些与三角形有关的问题，例如求解三角形的面积、判断三角形是否为等腰三角形等。
下面将通过一些具体例子，进一步说明三角形高线定理的应用。
例一：求解三角形的面积设三角形ABC中，垂直于边BC的高线AD，AD与BC的交点为点D。
根据三角形高线定理可知，AD/BD=CD/AD。
根据此等式，可以推导出AD^2=BD*CD。
假设AB=c，AC=b，BC=a，则根据海伦公式可以得到三角形的面积S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2为三角形的半周长。
而根据三角形高线定理，可以进一步得到AD=(2S)/a。
将此式代入到AD^2=BD*CD的等式中，即可求解出三角形的面积S。
例二：判断三角形是否为等腰三角形设三角形ABC中，高线AD是从顶点A到对边BC的垂线，AD与BC的交点为点D。
根据三角形高线定理可知，AD/BD=CD/AD。
若三角形ABC为等腰三角形，则有AD=CD。
因此，若在三角形ABC中满足AD/BD=CD/AD，并且AD=CD，则可以得出结论，三角形ABC为等腰三角形。
通过上述两个例子，可以看到三角形高线定理在解决与三角形相关问题时的重要性。
在实际应用中，我们可以利用该定理快速求解出三角形的面积，并且判断出三角形是否为等腰三角形。
因此，熟练掌握并灵活运用三角形高线定理是数学学习中的一项重要内容。
除了在数学中的应用，三角形高线定理在实际生活中也有一些应用。
例如在建筑设计中，我们常常需要计算三角形的面积来确定房屋的面积，从而制定合理的平面布局。
此时，三角形高线定理可以帮助我们快速而准确地计算三角形的面积。
专题02 三角形的高、中线、角平分线 (知识点串讲)(解析版)
专题02 三角形的高、中线、角平分线重点突破知识点一三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
知识点二三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（选学）三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
知识点三三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
考查题型考查题型一画三角形的高典例1（2020·泉州市期中）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.【详解】根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.故选A.变式1-1．（2018·梁平区期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.故选D.变式1-2．（2020·海淀区期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.可以判断A,B,C虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.故选D.变式1-3．（2020·苏州市期中）如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD【答案】B【解析】试题提示：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B．变式1-4．（2019·杭州市期中）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】结合三角形高的定义可知，以AD为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共6个.故选D考查题型二与三角形高有关的计算典例2．（2019·济南市期中）如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )A．三角形面积随之增大B．∠CAB的度数随之增大C．BC边上的高随之增大D．边AB的长度随之增大【答案】C【提示】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可．【详解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=12BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确；B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用．变式2-1．（2020·毕节市期末）如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（）A．4对B．5对C．6对D．7对【答案】A【提示】根据三角形的面积公式，知：只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．【详解】由已知条件，得△ABD，△ADE，△ACE，3个三角形的面积都相等，组成了3对，还有△ABE和△ACD的面积相等，共4对.故选A.【名师点拨】本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用.变式2-2．（2020·龙岩市期中）如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（）A．10 B．10.8 C．12 D．15【答案】B【解析】∵AD，CE是△ABC的两条高，AD=10，CE=9，AB=12，∴△ABC的面积=12×12×9=12BC⋅AD=54，即12BC⋅10=54，解得BC=10.8.故选B.变式2-3．（2018·合肥市期中）如图所示，是ABC∆的三条高，，则CE=（）A．B．C．D．3【答案】C【提示】根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：因为AD、CE、BF是△ABC的三条高，，所以可得：12BC•AD=12AB•CE，可得：CE=＝＝．【名师点拨】此题考查三角形的面积，关键是根据同一三角形面积相等来提示．变式2-4．（2018·烟台市期末）如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（）A．90°B．130°C．270°D．315°【答案】B【详解】根据∠A=50°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据CD⊥AB，BE⊥AC可得∠ABE=40°，∠ACD=40°，则∠PBC+∠PCB=130°－40°－40°=50°，则∠BPC=180°－50°=130°.故选：B.变式2-5．（2019·荆门市期末）如图，三角形ABC，∠BAC=90︒，AD是三角形ABC的高，图中相等的是（）．A．∠B=∠C B．∠BAD=∠B C．∠C=∠BAD D．∠DAC=∠C【答案】C【提示】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C=90︒，由AD是三角形ABC的高，可得∠BDA=∠ADC=90︒，再运用三角形内角和定理依次判断即可.【详解】∵∠BAC=90︒，∴∠B+∠C=90︒，故选项A错误；∵AD是三角形ABC的高，∴∠BDA=90︒，∴∠BAD+∠B=90︒，故选项B错误；∵∠BAC=90︒，∴∠BAD+ ∠DAC=90︒，又∵∠ADC=90︒，∴∠DAC+ ∠C=90︒，∴∠C=∠BAD，故选项C正确，选项D错误.故选C.【名师点拨】本题考查了三角形的高线以及三角形的内角和定理，属于基础题型.变式2-6．（2019·济南市期中）如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为( )A．12 B．14 C．16 D．18【提示】连接AE 和CD ，要求三角形DEF 的面积，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE ）来分别计算，三角形ABC 是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行提示计算，即可解得△DEF 的面积． 【详解】解：连接AE 和CD ，∵BD=AB ，∴S △ABC =S △BCD =1，S △ACD =1+1=2， ∵AF=3AC ， ∴FC=4AC ，∴S △FCD =4S △ACD =4×2=8， 同理可以求得：S △ACE =2S △ABC =2，则S △FCE =4S △ACE =4×2=8； S △DCE =2S △BCD =2×1=2；∴S △DEF =S △FCD +S △FCE +S △DCE =8+8+2=18． 故选：D ．【名师点拨】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度． 考查题型三 三角形中线有关的长度计算典例3．（2018·秦皇岛市期中）如图，AE 是ABC 的中线，已知EC 4=，DE 2=，则BD 的长为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】试题解析：∵AE 是△ABC 的中线，EC=4， ∴BE=EC=4， ∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2． 故选A ．变式3-1．（2019·肇庆市期中）已知AD 是△ABC 的中线，且△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，则AB 与AC 的差为( ) A ．2cm B ．3cmC ．4cmD ．6cm【答案】B【提示】根据三角形中线的定义可得BD=CD ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵AD 是△ABC 的中线，∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选B．【名师点拨】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB-AC是解题的关键．变式3-2．（2020·哈尔滨市期中）如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（）A．高B．角平分线C．中线D．不能确定【答案】C【解析】解：设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中线．故选C．变式3-3．（2019·临清市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB 与AC的和为13cm，那么AC的长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【答案】B【提示】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的长度．【详解】∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长-△ABD的周长=5cm．∴AC-AB=5cm．又∵AB+AC=13cm，∴AC=9cm．即AC的长度是9cm．故选B.【名师点拨】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC-AB=5cm，是解题的关键．考查题型四三角形中线有关的面积计算典例4．（2020·渠县期中）如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且△ABC 的面积为4cm 2，则△BEF 的面积等于（ ） A ．2cm 2 B ．1cm 2 C ．0．5 cm 2 D ．0．25 cm 2【答案】B【提示】依据三角形的面积公式及点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，推出14BEFABC S S ∆=从而求得△BEF 的面积．【详解】解：∵点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 14BEF ABC S S ∆∆∴=∵△ABC 的面积是4， ∴S △BEF =1． 故选：B【名师点拨】本题主要考查了与三角形的中线有关的三角形面积问题，关键是根据三角形的面积公式S= 12×底×高，得出等底同高的两个三角形的面积相等．变式4-1．（2018·鄂尔多斯市期中）如图，△ABC 的面积为12cm 2，点D 在BC 边上，E 是AD 的中点，则△BCE 的面积是（ ） A ．4cm 2 B ．6cm 2C ．8cm 2D ．6cm 2【答案】B【解析】∵E 是AD 的中点，∴S △BDE =12S △ABD ，S △DEC =12S △ADC ， ∴△BCE 的面积=S △BDE +S △DEC =12×（S △ABD +S △ADC ）=12×△ABC 的面积=6， 故选B ．名师点拨：本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．变式4-2．（2019·沧州市期末）如图，D ，E ，F 分别是边BC ，AD ，AC 上的中点，若S 阴影的面积为3，则△ABC 的面积是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【提示】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，111222ABDACDABC BDEABD ADFADC S SS SS SS ====，，，再得到1148BDEABC DEFABCSS SS ==，，所以83ABCSS =阴影部分即可得出. 【详解】∵D 为BC 的中点∴1122BDE ABD ADF ADC SS SS ==，，12DEF ADFS S =∴1148BDE ABC DEFABC S S S S ==， ∴BDE S △+DEF S △=14ABC S +18ABC S =38ABC S∴ABC S =83S 阴影部分=83×3=8故选：D【名师点拨】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键.变式4-3．（2019·温州市期中）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，E ，F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF ，若S △CEF ＝5，则△ABC 的面积为（ ） A ．15 B ．20C ．25D ．30【答案】B【提示】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案 【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得 ∵F 是BE 的中点， S △CFE ＝S △CFB ＝5，∴S △CEB ＝S △CEF +S △CBF ＝10， ∵E 是AD 的中点，∴S △AEB ＝S △DBE ，S △AEC ＝S △DEC ， ∵S △CEB ＝S △BDE +S △CDE ∴S △BDE +S △CDE ＝10 ∴S △AEB +S △AEC ＝10∴S △ABC ＝S △BDE +S △CDE +S △AEB +S △AEC ＝20故选：B．【名师点拨】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用. 考查题型五三角形重心的有关性质典例5．（2019·北京市期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A．三边高的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点【答案】D【提示】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，故选D．【名师点拨】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．变式5-1．（2019·泉州市期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD=6，则AG的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【提示】根据D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G，即可得出G为三角形的重心，利用重心的性质得出AG的长即可.【详解】∵D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G∴G为△ABC的重心∴AG=2DG∵AD=6∴AG=4故选C.【名师点拨】本题考查的是三角形的重心性质，能够判断出点G是三角形的重心是解题的关键.考查题型六三角形的角平分线典例6．（2019·滨州市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A【详解】根据题意可得，在△ABC 中，70,48︒︒∠=∠=C ABC ，则62︒∠=CAB ， 又AD 为△ABC 的角平分线，1262231︒︒∴∠=∠=÷=又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高∴90159359︒︒︒∠=-∠=∴∠=∠=EFA EFA变式6-1．（2019·宁德市期末）如图，已知AE 是ΔABC 的角平分线，AD 是BC 边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE 的大小是（ ） A ．5° B ．13°C ．15°D ．20°【答案】C【提示】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE 是∠BAC 的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD 是BC 边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE ，问题得解． 【详解】在△ABC 中， ∵∠ABC=34°，∠ACB=64°, ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°， ∵AE 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAE=∠CAE=41°. 又∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB=90°，∵在△ABD 中∠BAD=90°−∠B=56°， ∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°. 【名师点拨】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.变式6-2．（2019·信阳市期中）如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于点E ，△ABC 的面积为7，AB=4，DE=2，则AC 的长是（ ） A ．4B ．3C ．6D ．5【答案】B【解析】过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3.故选B.变式6-3．（2019·合肥市期中）如图所示，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 等于（）A．20°B．18°C．45°D．30°【答案】A【提示】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．【详解】∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD=14°，∠CAD=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°，∴∠DAE=34°-14°=20°．故选：A．【名师点拨】此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠DAE的度数是解题关键．变式6-4．（2020·泰兴市期中）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A．115°B．110°C．100°D．90°【答案】A【提示】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC与∠ACB的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB的度数，进而求出∠BDC的度数．【详解】∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE、CF是△ABC的角平分线，∴1122EBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()1652EBC FCB ABC ACB ∠+∠=⨯∠+∠=︒， ∴∠BDC=180°﹣65°=115°， 故选A ．【名师点拨】考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.变式6-5．（2019·西安市期末）如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC 的大小为( )A ．135°B ．120°C ．90°D ．60° 【答案】B【提示】由条件可知O 为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12（180°-∠A ），在△BOC 中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC ．【详解】∵O 到三边的距离相等∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A) ∵∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=60°∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°故选B.【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线把一个角分成两个相等的角是解题的关键．。
三角形中的高线
三角形中的高线三角形的高线是指从三角形的一个顶点，垂直地连到对立边上的一条线段。
在三角形中，高线起到了重要的几何作用，它与其他线段和角度之间具有一些特殊的性质和关系。
本文将介绍三角形的高线的定义、性质及其应用。
首先，我们来了解三角形高线的定义。
对于任意一个三角形ABC，如果从某个顶点A作一条垂直于对立边BC的线段AD, 其中D是在BC上的点，那么AD就是三角形ABC的高线。
需要注意的是，高线并不一定通过三角形的顶点，只要它垂直于对立边就可以。
了解了高线的定义后，我们来研究一下高线的性质。
首先要了解的是，三角形的三条高线都是交于一个点，这个点被称为三角形的垂心。
垂心是三条高线的共同交点，它不仅是高线的特殊性质，也是三角形的一个重要定位点。
其次，对于直角三角形，高线和斜边重合；对于等腰三角形，高线和底边重合；对于等边三角形，三条高线重合且穿过三角形重心。
接下来，我们来讨论高线的应用。
首先是高线与面积的关系。
根据高线的定义和性质，我们可以推导出一个关于面积的定理，即：三角形的面积等于高线长度与对立边长度乘积的一半，也就是S=1/2 * AD * BC。
这个定理被广泛应用于三角形的面积计算中。
其次，高线也可以用于求解三角形的边长和角度。
通过应用三角函数的定义，我们可以利用高线和锐角三角形的一些已知边长或角度，求解出其他未知边长或角度。
除了以上基本性质和应用外，高线还有一些衍生的性质和定理，如垂心定理、垂心角定理等。
这些定理通过与其他几何线段和角度的关系，进一步丰富了高线的几何性质。
综上所述，三角形的高线是三角形的重要几何特征之一。
它具有一些独特的性质和定理，应用广泛，并且对于解决三角形相关的问题非常有用。
在学习和应用的过程中，我们可以发现高线和其他几何概念之间的联系，从而深入理解和掌握几何知识。
总的来说，研究三角形高线的定义、性质和应用，可以帮助我们更好地理解三角形的几何关系，并在实际问题中应用解决。
通过深入研究和练习，我们可以更加灵活地运用三角形高线相关的知识，提高解决几何问题的能力和水平。
七年级数学：“认识三角形的高线”
初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 七年级数学教案编订：XX文讯教育机构“认识三角形的高线”教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中七年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
教学设计北师大版义务教育课程标准实验教科书七年级下册第五章第一节第四部分“三角形的高线”。
教材分析：本节是学生在认识了三角形，并且讨论过三角形角平分线，三角形的中线的定义及其性质，学生反反复复地折纸、画线、交流感受其意义,同时也在七年级上学期了解了两直线互相垂直等概念，会过一点作已知直线的垂线的基础上进一步的整理与探究。
“认识三角形的高线”主要研究的就是三角形的高线的定义及其性质，能在具体的三角形中作出它们。
因为有了三角形的角平分线，三角形的中线的定义及其性质作为基础。
在此，学生将进一步熟悉实验探究的基本方法，加深对三角形的理解和认识。
这样，有利于知识的系统化和条理化。
又因为我们研究的方法类似于研究三角形的角平分线和三角形的中线的定义及其性质的方法，所以我们要对照比较学习，找出它们之间的区别及其联系。
在教学中，要充分地给学生动手、动脑的时间，让学生慢慢地思考、总结、归纳，积累数学思维的经验，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
教学内容：认识三角形的高线。
教学目标：知识与技能：1.认识三角形高线的定义。
2.会在任意一个三角形中画出三角形的三条高线。
通过画图了解三角形三条高的位置随着三角形的形状的不同而不同。
过程与方法:通过观察,操作,想象,推理,交流等活动,发展空间观念,培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的能力,以及推理能力和有条理的表达能力。
情感与态度:通过折纸,画图等活动,培养学生的动手能力,提高学生的识图技能,使学生的思维变得更灵活。
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求：∠ACD、∠BCD
3、已知：∠ACB=90°CD⊥AB AB=13 BC=12AC=5
求：（1）S△ABC
（2）CD长
4、在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线∠B=35°∠C=55°
求∠CAD∠EAD
七年级数学：三角形高线导学案
姓名班级时间：年月日
课题：三角形的高
学习目标：1理解三角形的高的概念，能够用直角三角尺画三角形的高。并感悟高线与垂线的区别联系
2、能用数学语言叙述三角形的高并会用式子表示。
学习重点：三角形的高的概念及几何语言表述
学习难点：画三角形的高
预习导学：1、垂线：如果两直线相交成，则两直线互相，其中一条直线是另一条直线的。
AB边上的高高也是△和△的高
5画高线:
〈1〉用三角尺画出下列三角形的高线
〈2〉画高线的方法:放移:(延长线)
画标:
〈3〉填表
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
中线相交于
角平分线相交于
高线相交于
三线都是
挖掘教材：
6：指出AD是哪一个三角形的高线?
7:例:已知AD是三角形ABC的中线
求证: S△ABD＝S△ACD
8:画画看：（1）作BC边上的高线AE
（2）作BC边上的中线AF
（3）作∠BAC的平分线AH
（4）过A点作BC的并行线MN
当堂检测:1、下列说法正确的是（）
A、三角形的三条高线都在三角形内部B、三角形的高线、中线、角平分线都是线段
C、三角线高线是垂线D、三角形角平分线是射线
2、分别过A、B、两点作线段a的垂线
·C
A·
3、过C点作线段a的垂线段a B·
学习研讨：三角形的高线
4、阅读教材填空：
〈1〉高线的叙述：
①AD是△ABC的边上的高。
②ADBC垂足为D
③∠=∠=90°
④三角形BC边上的高AD是(线段射线直线)
〈2〉三角形高线的定义：
〈3〉识别三角形的高:如图
1△ABC中:BC边上的高