首都师大附中数学数学模拟试题
北京市海淀区首师大附中2022-2023学年九年级上学期期中模拟数学试题(含答案解析)
北京市海淀区首师大附中2022-2023学年九年级上学期期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程24610x x -+=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．4，6，1B ．4，6，－1C ．4，－6，1D ．4，－6，－12．抛物线22()1y x =-+的顶点坐标是（）A ．()2,1B ．()2,1-C ．()2,1--D ．()2,1-3．将2640x x --=进行配方变形，下列正确的是()A ．2(6)13x -=B ．2(6)9x -=C ．2(3)13x -=D ．2(3)9x -=4．如图，将AOB 绕着点O 顺时针旋转，得到COD △（点C 落在AOB 外），若30AOB ∠=︒，10BOC ∠=︒，则最小旋转角度是（）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．已知关于x 的方程3x 2﹣2x +m ＝0的一个根是1，则m 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．﹣16．已知二次函数2=21y x -+（），若点10A y （，）和23B y （，）在此函数图象上，则1y 与2y 的大小关系是（）A ．12y y ＞B ．12y y ＜C ．12=y y D ．无法确定7．如图，将△ABC 绕着点A 逆时针旋转65°，得到△AED ，若∠E=35°，AD ∥BC ，则下列结论不正确的是（）A ．AC=ADB ．∠BAC=80°C ．BC=AED ．∠D=65°8．二次函数y ＝a(x －4)2－4(a≠0)的图象在2＜x ＜3这一段位于x 轴的下方，在6＜x ＜7这一段位于x 轴的上方，则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－2二、填空题12．关于x 的一元二次方程是．13．如图，抛物线21y ax =+时，则x 的取值范围是14．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势，某地是7.5元/升，八月底是8.4为函数的特征数三、解答题17．解方程：(1)2320x x -+=(2)()()23430x x x -+-=；18．已知a 是方程290x x --=的一个根，求()()()2133a a a -++-的值．19．如图，在正方形网格中，ABC 和A B C ''△的顶点均在格点上，并且A B C ''△是由ABC 旋转得到的．根据所给信息，填空：(1)旋转中心为点____________、旋转角的度数为____________︒、旋转方向为____________；(2)连结BB '，则四边形'ACB B 的形状是____________．20．已知关于x 的一元二次方程20()21x m x m +-+-=(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个实数根小于0，求m 的取值范围．23．如图，在一面靠墙的空地上用长圃，设花圃的一边AB 为（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量（2）若墙的最大可用长度为24．如图，四边形ABCD ,BE AC OE AB ∥∥．(1)求证：四边形ABEO (2)若45AC =，BD =25．在平面直角坐标系中，抛物线（1）求顶点A 的坐标（用含有字母（2）若点()2,B B y ，C 出结果即可）（3）当13x ≤≤时，函数26．探究函数212y x =+27．如图，已知(0MON α∠=OM 上，且AB ON ∥．以点A 恰好在射线BM 上，在射线ON (1)①依题意补全图；(1)①点A ，C ，D ，E ，O ，与点B “联络量”是2②点M 在平面上运动，已知将点D ，E ，M 分在同一类时区域的面积为；(2)已知二次函数()243y x h =--上的任一点K 为两类的最小“类筹”大于4，直接写出h 的取值范围参考答案：1．C【分析】找出所求的系数及常数项即可．【详解】解：一元二次方程24610x x -+=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是4，-6，1．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：a 2x +bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中a 2x 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．A【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可．【详解】解：抛物线22()1y x =-+的顶点坐标是(2,1)，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．3．C【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可解答．【详解】∵2640x x --=，∴264x x -=，∴26913x x -+=，∴2(3)13x -=．故选C ．【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题关键．4．C【分析】直接利用已知得出∠AOC 的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．【详解】∵∠AOB =30°，∠BOC =10°，∴∠AOC =∠AOB +∠COB =30°+10°=40°∵将△AOB 绕着点O 顺时针旋转，得到△COD ，∴最小旋转角为∠AOC =40°．故选：C ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正确得出∠AOC 的度数是解题关键．5．D【分析】利用一元二次方程解的定义，把1x =-代入方程2320x x m -+=，然后解关于m 的方程即可．【详解】把1x =-代入方程2320x x m -+=得320m ++=，解得：5m =-．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的概念是解决本题的关键．6．A【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出1y ，2y 的值，比较后即可得出结论．【详解】解： 点10A y （，）、23B y （，）是二次函数2=21y x -+（）图象上的两点，15=y ∴，2=2y ．12y y ∴＞．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上的特征，利用二次函数图象上的坐标特征求出1y ，2y 的值是解题的关键．7．C【分析】由旋转的性质可得AC =AD ，BC =DE ，∠EAD =∠BAC ，∠D =∠C ，由三角形内角和定理可得∠AOB 的度数，再由平行线的性质得∠EAD =∠AOB =80°，据此求解即可判断．【详解】解：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转65°得△ADE ，∴AC =AD ，BC =DE ，∠EAD =∠BAC ，∠D =∠C ，故选项A 正确，不符合题意；∴∠BAE =∠CAD =65°，∠E =∠B =35°，∴∠AOB =180°-65°-35°=80°，∵AD ∥BC ，∴∠EAD =∠AOB =80°，则∠EAD =∠BAC =80°，故选项B 正确，不符合题意；∴∠D=180°-∠EAD -∠E =180°-80°-35°=65°，故选项D 正确，不符合题意；∴∠EAD =80°≠∠D=65°，∴AE ≠DE ，即BC ≠AE ，故选项C 错误，符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．8．A【详解】试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x ＜2这段位于x 轴的上方，而抛物线在2＜x ＜3这段位于x 轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y ＝a (x －4)2－4(a ≠0)可求出a=1.故选A9．1222x x ==-，【分析】先求得2x 的值，然后利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵228x =，∴24x =．∴2x =±．即1222x x ==-，．故答案为：1222x x ==-，．【点睛】此题考查了解一元二次方程－直接开平方法，熟练掌握开方平法是解本题的关键．10．21y x =-【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线2y x =沿y 轴向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为21y x =-；故答案为：21y x =-．【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是掌握抛物线的平移规律．11．<>【分析】根据二次函数的图象与性质进行作答即可．【详解】解：由图象可知，图象开口向下，交y 轴的正半轴，∴00a k <>，，故答案为：<>，．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．12．1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．13．13x -≤≤【分析】由题意知，当12y y ≤时，则x 的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的x 的取值，然后数形结合求解即可．【详解】解：由题意知，当12y y ≤时，则x 的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的x 的取值，∵图象交于()13)(A p B q -，，，两点，18．10【分析】将x a =代入方程，得到29a a -=，然后整体代入即可．【详解】解：a 是方程290x x --=的一个实数根，290a a ∴--=，29a a ∴-=∴原式22219a a a =-++-2228a a =--22()8a a =--298=⨯-10=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，从而求得代数式的解．19．(1)C ，90，顺时针(2)平行四边形【分析】（1）由图形可直接求解；（2）由旋转的性质可得4,90AB B C ABC BCB ⅱ==Ð=Ð=°，从而可得AB B C '∥，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：旋转中心为点C ，旋转角为90ACA '∠=︒，即旋转角的度数为90︒，旋转方向为顺时针；故答案为：C ，90，顺时针（2）解：根据题意得：4,90AB B C ABC BCB ⅱ==Ð=Ð=°，∴AB B C '∥，∴四边形'ACB B 是平行四边形．故答案为：平行四边形【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键．20．(1)见解析(2)1m >设道路的宽为x 米，根据题意得：()(3220x x --整理得2521000x x -+=，解得2x =或50x =，由（1）知，四边形ABEO ∴AE ，OB 互相垂直平分，∴122OM OB ==，∴22AM AO OM =-=∴8AE =，∴四边形ABEO 的面积【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．25．(1)顶点A 的坐标为【分析】(1)将抛物线解析式化成(2)将()2,B B y ，(5,C C y（4）由函数图象可得性质：①当0x <②该函数与x 轴有唯一交点．【点睛】本题考查的是函数的自变量的取值范围，求解函数值，画函数图象，归纳函数图象的性质，掌握“画函数图象以及根据图象总结函数的性质27．(1)①见解析；②见解析(2)21-【分析】（1）①根据作线段等于已知线段和作角等于已知角的作法画图即可；线的定义可求出12AOC AON ∠=∠=∠即得出BAO AOC ∠=∠，从而得出AB 12AOC ACO α∠=∠=，从而得出ACO ∠BAC DAO ∠=∠，即易证ABC ADO ≌OC OD AD =+；（2）由平行线的性质可知BAD ADO ∠+∠ADC ADO △≌△(SSS)，即得出DCA ∠=角和定理可列出关于α的等式，从而可求出于点E ．根据（1）结合等腰直角三角形的性质，从而可求出(2OD OE EF DF =++=【详解】（1）①补全图形，如图，②证明：∵OP 平分MON ∠∴12AOC AON MON ∠=∠=∠∵AB ON ∥，∴BAO AON ∠=∠，∴BAO AOC ∠=∠，∴AB BO =．由旋转可知AO AC =，∴12AOC ACO α∠=∠=，∴ACO AON ∠=∠，OAC ∠∵180BAD α∠=︒-，∴OAC BAD ∠=∠，∴BAC DAO ∠=∠，∴ABC ADO ≌(ASA)，∴AB AD =，CB OD =．∴BO AD =．∵OC CB BO =+，∴OC OD AD =+；（2）如图，∵AB ON ∥，∴180BAD ADO ∠+∠=︒．∵180BAD α∠=︒-，∴ADO α∠=．∵AC AO =，CD OD =，∴四边形ABEF 为矩形，∴AB =EF ．∵45α=︒，∴ADF △和BOE △为等腰直角三角形．由（1）可设AB AD OB x ===，则∵22OD OE EF DF x x =++=++∴21(21)AD x OD x ==-+．【点睛】本题考查基本作图，角平分线的定义，平行线的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性强，较难．正确作出图形并利用数形结合的思想是解题关键．28．(1)①点A ，点C ；②45；(2)562h >+或522h <--．【分析】（1）①根据“联络量”的定义分别计算点∴动点M 所在区域的面积()([23][[6=--⨯-故答案为：45；（2）如图2，由平移可知：()24y x h =--当2y =时，2432x -=，52x ∴=±，当抛物线在点D 的右侧时，5242h -->，562h ∴>+，当抛物线在点D 的左侧时，5242h ⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭，522h ∴<--，综上，h 的取值是562h >+或522h <--．【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了新定义-难度，注意新定义的理解和运用，用方程，不等式和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．。
2024北京首都师大附中初三一模数学试卷和答案
2024北京首都师大附中初三一模数 学一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（ ）A. 50.77810⨯B. 47.7810⨯C. 377.810⨯D. 277810⨯2. 下列计算正确的是（ ）．A. 235x x x +＝B. 236•x x x ＝C. 32x x x ÷＝D. 23626()x x ＝3. ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）A. 14 B. 13 C. 12 D. 345. 实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示．若b +d ＝0，则下列结论正确的是（ ）A. b +c >0B. a c >1C. ad >bcD. |a |>|b |6. 如图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21S ，B 课程成绩的方差为22S ，则21S ，22S 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212S s >D. 不确定7. 如图①，底面积为230cm 的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度()cm h 与注水时间()s t 之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为215cm ，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）2cmA. 24B. 12C. 18D. 21二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．8. 某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了_____米．9. 如图所示的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(－7，－4)，白棋④的坐标为(－6，－8)，那么黑棋①的坐标应该是________．10. 已知一元二次方程256x x x +=+的两根为1x 与2x ，则1211+x x 的值为_______．11. 如图，在64⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC 的顶点均是格点，则sin ABC ∠的值是______．12. 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程3ax by +=的一组解()0,0a b ≠≠，任写出一组符合题意的a 、b 值，则a =______，b =______．13. 如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若86AB AD ==，，则AF 的长为______．14. 图中的小正方形边长都相等，若MNP MFQ ≌，则点Q 可能是图中的_______．15. 初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利16%：销售一件乙纪念品可获利24%；当销售量的比为3:2时，总获利为18%．当销售量的比为1:3时，总获利为______．三、计算题：本大题共2小题，共10分．16.112cos3013-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭17. 已知2240x x +-=，求22(1)(6)3x x x ---+的值．四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18. 解不等式组：()238112x x x x ⎧-≤-⎪⎨+>-⎪⎩19. 已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC ．求作：点P ，使得AP ＝AB ，且APC BAC ∠=∠．作法：①以点A 为圆心，AB 长为半径画圆；②以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交A 于点D （异于点C ）；③连接DA 并延长交A 于点P ．所以点P就是所求作的点．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接PC ．∵AB ＝AC ，∴点C 在A 上．∵ DC DC =，∴12DPC DAC =∠∠（____________________）（填推理的依据），由作图可知， BDBC =，∴DAB ∠=______12DAC =∠．∴APC BAC ∠=∠．20. 如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠B ＝90°．（1）若AB ＝4，BC ＝3，①求Rt △ABC 外接圆的半径；②求Rt △ABC 内切圆的半径；（2）连接AO 并延长交BC 于点D ，若AB ＝6，tan ∠CAD ＝13，求此⊙O 的半径．21. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AD ：AB =2：3，BD ，AB ⊥BC ．（1）求sin ∠ABD 的值．（2）若∠BCD =120°，求CD 的长．22. 某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如下：b ．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下平均数中位数方差讲座前72.071.599.7讲座后86.8m 88.4c ．结合讲座后成绩x ，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”(80)x <，有7人获得“优秀奖”809()0x ≤<，有8人获得“环保达人奖”(90100)x ≤≤，其中成绩在8090x ≤<这一组的是：80 82 83 85 87 88 88根据以上信息，回答下列问题：（1）居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用“○”圈出代表居民小张的点；（2）写出表中m 的值；（3）参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有_____人．23. 如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB 为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD 为4米．（1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A ，B ，C ，并用平滑曲线连接；（2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．24. 如图，矩形AOBC 的顶点B ，A 分别在x 轴，y 轴上，点C 坐标是()5,4，D 为BC 边上一点，将矩形沿AD 折叠，点C 落在x 轴上的点E 处，AD 的延长线与x 轴相交于点.F（1）如图1，求点D 的坐标；（2）如图2，若P 是AF 上一动点，PM AC ⊥交AC 于M ，PN CF ⊥交CF 于N ，设AP t =，FN s =，求s 与t 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使PMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设BC 的长度为m x ，矩形区域ABCD 的面积为2m y（1）是否存在x 的值，使得矩形ABCD 的面积是21500m ；（2）x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？26. 如图，在等边ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，且DE DA =．（1）求证：BAD EDC ∠=∠；（2）点E 关于直线BC 的对称点为M ，连接DM ，AM ，①根据题意将图补全；②在点D 运动的过程中，DA 和AM 有什么数量关系并证明．27. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 经过点C ，AD ⊥EF 于点D ，∠DAC=∠BAC（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）求证：AC 2=AD·AB ；（3）若⊙O 的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 【答案】B【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．详解：将77800用科学记数法表示为：47.7810⨯．故选B ．点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2. 【答案】C【分析】根据指数的计算法则计算即可.【详解】解：A 、23x x +不能合并，错误；B 、235•x x x =，错误；C 、32x x x ÷=，正确；D 、23628()x x =，错误；故选C ．【点睛】本题主要考查指数的计算法则，是考试的重点，应当熟练的掌握.3. 【答案】B<<2=，即可得出选项【详解】解：=<<，∴2．故选：B【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，在正数范围内，一个数越大，则它的算术平方根也越大．4. 【答案】A【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A ．【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．5. 【答案】D【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a ＜b ＜0＜c ＜d ，根据有理数的运算，可得答案．【详解】解：∵b +d ＝0，由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a ＜b ＜0＜c ＜d ，A 、∵b +d ＝0，∴b +c ＜0，故A 不符合题意；B 、a c＜0，故B 不符合题意；C 、ad ＜bc ＜0，故C 不符合题意；D 、|a |＞|b |＝|d |，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的运算，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a ＜b ＜0＜c ＜d 是解题关键．6. 【答案】A【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，由图可知，B 课程成绩的波动大，A 课程成绩的波动小，∴2212s s ；故选：A ．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7. 【答案】A【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s ，满过“几何体”上方圆柱需()24186s -=，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需()422418s -=，再设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为cm a ，根据圆柱的体积公式得()3015185a ⋅-=⨯，解得6a =，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm ，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据圆柱的体积公式得()()53052418S ⋅-=⨯-，再解方程即可求解．【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：()422418s -=，这段高度为：)14113m (c -=，设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，则18303x ⋅=⨯，解得5x =，即匀速注水的水流速度为35cm /s ；“几何体”下方圆柱的高为cm a ，则3015185()a ⋅-=⨯，解得6a =，所以“几何体”上方圆柱的高为)1165m (c -=，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据题意得()()53052418S ⋅-=⨯-，解得24S =，即“几何体”上方圆柱的底面积为224cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键．二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．8. 【答案】9【分析】用潜艇从海平面以下的高度减去上升到海平面以下的高度，就是潜艇上升的高度，据此解答．【详解】根据题意得：﹣18﹣（﹣27）=9（米）．故答案为9．【点睛】本题考查了有理数的减法运算，根据题意列出算式是解答此题的关键．9. 【答案】（-3，-7）【详解】根据白棋的坐标，可确定如图，所示的平面直角坐标系，可得黑棋①的坐标为(－3，－7)．10. 【答案】23-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出121246x x x x +==-，，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程256x x x +=+，即2460x x --=，的两根为1x 与2x ，∴121246x x x x +==-，，∴1211+x x 12124263x x x x +===--，故答案为：23-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．11.【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．构造直角三角形由勾股定理求出AB 长，由锐角的正弦定义即可求解．【详解】如图，利用格点作AD BC ⊥交BC 的延长线于点D ，ABD是直角三角形，AB ∴===sinAD ABC AB ∴∠===，12. 【答案】 ①. 1 ②. 1【分析】把方程组解代入，即得到关于,a b 的一个方程，有无数个解，任意写出一个即可．【详解】解：把21x y =⎧⎨=⎩代入方程3ax by +=可得：23a b +=1a ∴=时，有1b =故答案为：1，1．【点睛】本题考查了二元一次方程的解的意义．熟记相关定义即可．13. 【答案】103【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先利用勾股定理求出对角线AC 的长，再证明CDF AEF ∽，根据对应边成比例即可求出AF 的长．【详解】解： 四边形ABCD 是矩形，86AB AD ==，，∴8CD AB ==，CD AB ∥，90ADC ∠=︒，∴10AC ===，E 是边AB 的中点，∴142AE AB ==， CD AB ∥，∴CDF AEF ∠=∠，DCF EAF ∠=∠，∴CDF AEF ∽，∴AE AF AF CD CF AC AF ==-，∴4810AF AF=-，解得103AF =，故答案为：103．14. 【答案】点D【分析】设图中小正方形的边长为1，由勾股定理可计算出MNF 的三边长，再计算出点M 、F 分别与A 、B 、C 、D 四点的距离，即可作出判断．【详解】解：设图中小正方形的边长为1，∵2MN MF ==，由勾股定理得：MP ==NP ==，由于AF MF ⊥，显然点A 不可能是点Q ；∵MD FD ====，∴MD MP FD NP ==，，∴MNP MFD ≌，即点D 是点Q ；∵MB MP FB NP ==≠==≠，，∴点B 不是点Q ；同理，点C 不是点Q ；∴点Q 可能是图中的点D ；故答案为：点D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求得各线段的长度是关键．15. 【答案】20.8%【分析】本题考查了分式方程，利润、成本及利润率的关系，设一件甲纪念品的成本为a 元，一件乙纪念品的成本为b 元，由“销售量的比为3:2时，总获利为18%”及利润率公式，可求得a 与b 的关系，则可求得销售量的比为1:3时的总获利．【详解】解：设一件甲纪念品的成本为a 元，一件乙纪念品的成本为b 元，则16%324%218%32a b a b⨯⨯+⨯⨯=+，解得2a b =，当销售量的比为1:3时，总获利为：16%124%3216%124%3104%20.8%3235a b b b b a b b b b⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯===++，故答案为：20.8%．三、计算题：本大题共2小题，共10分．16. 【答案】4【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解．112cos3013-⎛⎫+-︒+ ⎪⎝⎭2321=+--231=+4=．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键．17. 【答案】9．【分析】将2240x x +-=化为224x x +=，整体代入化简后的代数式即可．【详解】解：∵2240x x +-=，∴224x x +=.∴22222(1)(6)32426325459x x x x x x x x x ---+=-+-++=++=+=．【点睛】本题考查整式的混合运算及化简求值，掌握完全平方公式和单项式乘多项式的法则正确计算是解题关键．四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18. 【答案】2x ≤-【分析】分别解两个不等式得到两个不等式的解集，再取解集的公共部分可得答案．【详解】解：()238112x x x x ⎧-≤-⎪⎨+>-⎪⎩①②解不等式①，得2x ≤-解不等式②，得3x <在数轴上表示不等式①、②的解集，所以这个不等式组的解集是2x ≤-．【点睛】本题考查的是解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．19. 【答案】（1）见解析 （2）圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC【分析】（1）根据作法按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：连接PC ．∵AB ＝AC ，∴点C 在A 上．∵ DC DC =，∴12DPC DAC =∠∠（_圆周角定理 或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半__）（填推理的依据），由作图可知， BDBC =，∴DAB ∠=_∠BAC __12DAC =∠．∴APC BAC ∠=∠．故答案为：圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC ．【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．20. 【答案】（1） ①52; ②1（2）32【分析】（1）①先求得线段AC 的长度，然后取AC 的中点H ，得到AH 的长即为△ABC 的外接圆半径；②过点O 作OE BC ⊥于点E ，OF AB ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，然后可得四边形OEBF 是正方形，设半径为1，结合点O 是ABC 的内心可得AF ，CE 的长度，然后由切线长定理得到4AG AF r ==-，3CG CE r ==-，进而得到72AC r =-，最后利用勾股定理求得r 的值；（2）设半径为r ，得到OF r =，6AF r =-，由内心的定义可知CAD BAD ∠=∠，然后利用正切值求得的大小，即为结果．【小问1详解】解：（1）①如图1，取AC 的中点H ，∵90B Ð=°，∴点H 是Rt ABC 的外接圆圆心．∵4AB =，3BC =，90B Ð=°，∴A 5AC ===1522AH AC ∴==，∴Rt ABC 的外接圆半径为52；②如图2，过点O 作OE BC ⊥于点E ，OF AB ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，则90OFB OEB ∠=∠=︒．90B ∠=︒ ，∴四边形OEBF 是正方形，设半径为r ，则BF OF OE BE r ====，∴O 是Rt ABC 的内切圆，4AB =，3BC =，∴4AG AF r ==-，3CG CE r ==-，∴.72AC AG CG r =+=-，在Rt ABC 中，222AB BC AC +=，()2224372r ∴+=-，解得1r =或6r =(不符合题意舍去)，Rt ABC ∴ 内切圆的半径为l ；【小问2详解】解：如图2，设半径为r ，则0F r =，6AF r =-．O 是Rt ABC 的内切圆，OAF CAD ∴∠=∠.13tan CAD ∠= ，13OF tan OAF AF ∴∠==,163r r ∴=-，解得32r =，O ∴ 的半径为32．【点睛】本题考查了三角形的外接圆和内切圆的性质、解直角三角形，熟知圆的切线长定理是解题关键．21. 【答案】（1）sin ∠；（2）【分析】（1）作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥DE 于F ．设AE=a ．在Rt △BDE 中，利用勾股定理构建方程求出a ，即可解决问题；（2）作CF ⊥DE 于F ．首先证明四边形CFEB 是矩形，解直角三角形△CFB 即可解决问题．【详解】解：（1）作DE ⊥AB 于E ，设AE=a ．在Rt △ADE 中，∵∠A=60°，AE=a ，∴∠ADE=30°，∴AD=2a ，a ，∵AD ：AB=2：3，∴AB=3a ，EB=2a ，在Rt △DEB 中，）2+（2a ）2=2，解得a=1，∴BE=2，∴sin ∠ABD=DE AB （2）CF ⊥DE 于F ．∵CB ⊥AB ，CF ⊥DE ，∴∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°，∴四边形CFEB 是矩形，∴CF=EB=2，BC=EF ，∵∠DCB=120°，∠FCB=90°，∴∠DCF=30°，∴，∴【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22. 【答案】（1）见解析 （2）87.5（3）64【分析】（1）找出横坐标是80，纵坐标是95的点即可；（2）根据中位数的定义求解；（3）利用样本估计总体思想求解．【小问1详解】解：代表居民小张的点如下图所示：【小问2详解】解：将讲座后20人的成绩从低到高排序，第10名和第11名的成绩分别为87，88，因此中位数878887.52m +==；【小问3详解】解：81606420⨯=（人），即估计能获得“环保达人奖”的有64人，故答案为：64．【点睛】本题考查统计图、中位数、利用样本估计总体等知识点，解题的关键是看懂所给统计图，掌握中位数的定义，能够利用样本估计总体思想解决问题．23. 【答案】（1）见详解 （2）21493y x x =-+ （3）能安全通过，理由见详解【分析】（1）以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系即可；（2）待定系数法求抛物线的表达式即可；（3）游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为6,x =游船也关于直线6x =对称，宽度为4米，对称轴左右两边各2米，当624x =-=时，求出y 的值，再进行比较即可．【小问1详解】以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，【小问2详解】解：(0,0),(12,0)A B ，根据交点式，设抛物线的表达式为2(0)(12)12y a x x ax ax =--=-，代入点(6,4)C 得：136724,9a a a -==-， 抛物线的表达式为21493y x x =-+；【小问3详解】解：能安全通过，理由如下:游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为6,x =游船也关于直线6x =对称，宽度为4米，对称轴左右两边各2米当624x =-=时，2143244939y =-⨯+⨯=，32550.5 2.8918-=> ，故能安全通过．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．24. 【答案】（1）34,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）8s =+ （3）存在，()4,2或4024,1111⎛⎫⎪⎝⎭或4820,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设()5,D a ，则,4BD a CD ED a ===-，再求出,OE BE 的长，在Rt BDE △中，根据勾股定理求出a 的值，即可求解；（2）延长MP 交OF 于N '，则PN OF '⊥，先证明ADC FDB ∽，可得38BF OF ==，，从而得到AF ==，在Rt BCF 中，由勾股定理可得5CF =，可得AC CF =，从而得到CAF AFC ∠=∠，进而得到CAF EFA AFC ∠∠∠==，可证得PFN DAC ∽，可得到11,422PN s PM s ==-，再证明APM FPN ' ∽，即可求解；（3）分三种情况：①当PM PN =时；②当PM MN =时；当MN NP =时，即可求解．【小问1详解】解：在矩形AOBC 中，()5,4C ，5AC ∴=，4OA BC ==，设()5,D a ，则BD a =，4CD ED a ==-，5AE AC == ，在Rt AOE △中，3O E ===，532BE OB OE ∴=-=-=，在Rt BDE △中，由勾股定理得：222DE BD BE =+，222(4)2a a ∴-=+，0a ∴>，32a ∴=，34,2D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；【小问2详解】如图2，延长MP 交OF 于N '，则PN OF '⊥，∵AC BF ∥，PAM DFB ∠∠∴=，90ACD FBD ∠∠==︒ ，ADC FDB ∴ ∽，ACCDBF BD ∴=，由（1）知：32BD =，35422CD ∴=-=，又5AC =，55232BF ∴=，38BF OF ∴==，，AF ∴===在Rt BCF中，由勾股定理得：5CF ==，5AC = ，AC CF ∴=，CAF AFC ∴∠=∠，∵AC EF ∥，CAF EFA AFC ∠∠∠∴==，FA ∴平分CFO ∠，,PN CF PN OF '⊥⊥ ，PN PN '∴=，4PM PN PM PN MN ''∴+=+==，90CAF CFA ACD PNF ∠∠∠∠===︒ ，，PFN DAC ∴ ∽，FN PNAC CD ∴=，51252PN CD NF AC ∴===，又NF s =，11,422PN s PM s ∴==-，PA t PF t ==- ，，,PAM PFN APM FPN ∠∠∠∠''== ，APM FPN '∴ ∽，PM AP PN PF ∴='，即14212s s-=8s ∴=+；【小问3详解】分三种情况：①当PM PN =时，如图3，PAM PFN ∠=∠ ，90AMP PNF ∠=∠= ，PAM ∴ ∽PFN ，1PA PMPF PN ∴==，PA PF ∴=，即t t =-，解得：t =，∴84FN s ==+=，2PM PN ∴===，4AM ===，()4,2P ∴；②当PM MN =时，如图4，过M 作MH PN ⊥于H ，PN 与MC 的延长线交于点G ，有1124PH NH PN s ===，4PM PN += ，142PM s ∴=-，GCN MPN BFC ∠∠∠== ，即MPN BFC ∠∠=，90MHP CBF ∠=∠= ，∴ PMH ∽FCB ，53PM FC PH FB ∴==，即1452134ss-=，解得：4811s =，代入8s =+得：t =∵AC OF ∥，∴MAP AFO ∠=∠，tan tan MAP AFO ∠=∠，∴12PM AOAM OF ==，∴::1:2PM AM AP =，∴4011AM =，2011PM =，∴P 的纵坐标为：202441111-=，4024,1111P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；③当MN NP =时，如图5，过点N 作NQ PM ⊥于Q ，NPQ BFC ∠∠∴=，90NQP CBF ∠=∠= ，NQP ∴ ∽CBF V ，PNCFPQ BF ∴=，又12PN s =，1111422224PQ PM s s ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，5CF =，1521324s s ∴=-，4011s ∴=，代入8s =+得：t =同理可得：4820,1111P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上，点P 的坐标是()4,2或4024,1111⎛⎫⎪⎝⎭或4820,.1111⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数，等腰三角形的性质和判定，锐角三角函数的应用等知识，用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题是解本题的关键．25. 【答案】（1）不存在x 的值，使得矩形ABCD 的面积是21500m ；（2）当40x =时，y 有最大值，最大值是21200m 【分析】（1）设AE a =，由题意得2AE AD BE BC ⋅=⋅，进而得1322BE a AB a ==，，即可得到y 与x 的函数关系式，将数据代入即可判断；（2）将（1）中函数关系式进行变形即可判断；【小问1详解】解：设AE a =，由题意得：2AE AD BE BC ⋅=⋅，∵AD BC =，∴1322BE a AB a ==，，由题意可得：12321602x a a ++⨯=，∴1402a x =-，∴33140222y AB BC ax x x ⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭，∴()23600804y x x x =-+<<，令1500y =得：236015004x x -+=，化简得：28020000x x -+=，∵28042000640080000∆=-⨯=-<，∴方程无解，答：不存在x 的值，使得矩形ABCD 的面积是21500m ．【小问2详解】()22336040120044y x x x =-+=--+，∴当40x =时，y 有最大值，最大值是21200m ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数关系式是解题的关键．26. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②DM AM =，证明见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，利用轴对称的性质求解是解题关键．（1）根据等边三角形的性质可得60BAC ACB ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可得出BAD EDC ∠=∠；（2）①根据题意补全图形即可；②根据轴对称的性质得出MDC EDC ∠=∠，DE DM =，结合（1）中结论可得60ADM B ∠=∠=︒，即可证明ADM △是等边三角形，可得DM AM =．【小问1详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60BAC ACB ∠=∠=︒，∵BAD DAC BAC ∠+∠=∠，EDC DEC ACB ∠+∠=∠，∴BAD DAC EDC DEC ∠+∠=∠+∠，∵DE DA =，∴DAC DEC ∠=∠，∴BAD EDC ∠=∠．【小问2详解】①补全图形如图所示：②DM AM =，理由如下：如①中图，连接CM ，∵点M 、E 关于直线BC 对称，∴MDC EDC ∠=∠，DE DM =，由（1）知BAD EDC ∠=∠，∴MDC BAD ∠=∠，∵ADC BAD B ∠=∠+∠，即ADM MDC BAD B ∠+∠=∠+∠，∴60ADM B ∠=∠=︒，∵DA DE DM ==，∴ADM △是等边三角形，∴DM AM =．27. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；23π.【分析】（1）连接OC ，根据OA=OC 推出∠BAC=∠OCA=∠DAC ，推出OC ∥AD ，得出OC ⊥EF ，根据切线的判定推出即可．（2）证△ADC ∽△ACB ，得出比例式，即可推出答案．（3）求出等边三角形OAC ，求出AC 、∠AOC ，在Rt △ACD 中，求出AD 、CD ，求出梯形OCDA 和扇形OCA 的面积，相减即可得出答案．【详解】解：（1）证明：连接OC ，∵OA=OC ，∴∠BAC=∠OCA ．∵∠DAC=∠BAC ，∴∠OCA=∠DAC ．∴OC ∥AD ．∵AD ⊥EF ，∴OC ⊥EF ．∵OC 为半径，∴EF 是⊙O 的切线．（2）证明：∵AB 为⊙O 直径，AD ⊥EF ，∴∠BCA=∠ADC=90°．∵∠DAC=∠BAC ，∴△ACB ∽△ADC ．∴AD ACAC AB =．∴AC 2=AD•AB ．（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.∵OC=OA ，∴△OAC 是等边三角形．∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°．∵在Rt △ACD 中，AD=12AC=1．由勾股定理得：∴阴影部分的面积是S=S 梯形OCDA ﹣S 扇形OCA =12×（2+1）260223603ππ⋅⋅=-．。
2024年北京市海淀区首都师大附中中考数学零模试卷及答案解析
2024年北京市海淀区首都师大附中中考数学零模试卷一、单项选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，全国超过6000万中小学生观看授课直播，其中6000万用科学记数法表示为（）A．6000×104B．6×107C．0.6×108D．6×1082．（2分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕.2022年北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源；北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是以熊猫为原型进行设计创作；北京冬季残奥会的吉祥物“雪容融”是以灯笼为原型进行设计创作．下列冬奥元素图片中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）下列运算正确的是（）A．a•a2＝a3B．a6÷a2＝a3C．2a2﹣a2＝2D．（3a2）2＝6a44．（2分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（）A．|a|＜|b|B．ab＞0C．a＜﹣b D．a﹣b＞05．（2分）若a+b＝1，则代数式（﹣1）•的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．（2分）一个不透明的盒子中装有15个除颜色外无其他差别的小球，其中有2个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．7．（2分）一组数据1，2，2，3，5，将这组数据中的每一个数都加上a（a≠0），得到一组新数据1+a，2+a，2+a，3+a，5+a，这两组数据的以下统计量相等的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差8．（2分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是（）V（单位：立方米）644838.43224…P（单位：千帕） 1.52 2.534…A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．反比例函数二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：3m2﹣6m+3＝．11．（2分）如表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：投篮次数n4882124176230287328投中次数m335983118159195223投中频率0.690.720.670.670.690.680.68根据如表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为．（结果精确到0.01）12．（2分）如图，双曲线y＝与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为．13．（2分）方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组为．14．（2分）不等式组的解集为．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B （﹣2，n），则m n（填“＞”“＝”或“＜”）．16．（2分）下图是国家统计局发布的2021年2月至2022年2月北京居民消费价格涨跌幅情况折线图（注：2022年2月与2021年2月相比较成为同比，2022年2月与2022年1月相比较称为环比）．根据图中信息，有下面四个推断：①2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比均上涨；②2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比有涨有跌；③在北京居民消费价格同比数据中，2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月同比数据的方差；④在北京居民消费价格环比数据中，2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1月环比数据的平均数．所有合理推断的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
2024年北京市首都师范大学附属中学大兴北校区中考模拟数学试题(原卷版)
首师大附中大兴北校区2023-2024学年第二学期初三数学第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是【 】A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱柱D. 三棱锥2. 据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（ ）A. B. C. D. 3. 如图，，，若，则的大小为（ ）A. B. C. D. 4. 实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 每一个外角都是的正多边形是（ ）A 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）A. B. 1 C. D. 47. 2024年央视春晚主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（）.的517510⨯61.7510⨯71.7510⨯80.17510⨯AB BC ⊥AD BE 28BAD ∠=︒CBE ∠66︒64︒62︒60︒2a ≥-3a <-2a ->3a -≥40︒x 220x x m ++=m 1-4-A B. C. D. 8. 如图，在等边三角形中，有一点P ，连接、、，将绕点B 逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）9.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．10. 分解因式__________．11. 方程解为_______．12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为_______．13. 如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为__________．14. 某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x （单位：）．数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示．若高度不低于的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有_________棵．.的23121316ABC PA PB PC BP 60︒BD PD AD BPC BDA ≌ BDP △150BPC ∠=︒²²²PA PB PC =+34a a -=1231x x =-xOy (0)k y k x=≠(,2)A a (,2)B b -a b +ABCD M N BC CD MN ACcm 300cm15. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则________°．16. 小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则_________花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差_________元．第Ⅱ卷（共68分）三、解答题（本题共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题5分，第25题6分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：18. 解不等式组：19. 已知，求代数式的值．20. 如图，在中，O 为的中点，点E ，F 分別在上，经过点O ，．AB O C O B O AC D 50D ∠=︒BOC ∠=112sin 60|1|2-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭4352123x x x -<⎧⎪+⎨>-⎪⎩240b a -=()24112a b b +-+ABCD Y AC BC AD ，EF AE AF =（1）求证：四边形为菱形；（2）若E 为的中点，，．求的长．21. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，且与轴交于点A ．（1）求该一次函数的解析式及点A 的坐标；（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数（）的值且大于，直接写出的取值范围．23. 年月日北京市生态环境局召开了“年北京市空气质量”新闻发布会，通报了年北京市空气质量状况：北京年年均浓度为微克/立方米，最长连续优良天数为天，“北京蓝”已成为常态．下面对年北京市九个区月均浓度的数据进行整理，给出了部分信息：a ．年月和月北京市九个区月均浓度的折线图：AECF BC 3AE =4AC =AB 5:3xOy y kx b =+0k ≠2y x =x 2x >x y x n =+y kx b =+0k ≠3-n 202413202320232023PM2.532PM2.51922023PM2.52023910PM2.5b ． 年月和月北京市九个区月均浓度的平均数、中位数、众数：月均浓度平均数中位数众数月月（1）写出表中，的值；（2）年月北京市九个区月均浓度的方差为，年月北京市九个区月均浓度的方差为，则 （填“”，“”或“”）；（3）年至年，北京市空气优良级别达标天数显著增加，年空气优良达标天数为天，年比年增幅达到约，年达标天数约为 天．24. 数学学习小组的同学共同探究体积为330mL 圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：（1）建立模型：设该容器的表面积为S ，底面半径为cm ，高为cm ，则， ①2023910PM2.5PM2.5929.6m n 1037.43636m n 20239PM2.521S 202310PM2.522S 21S 22S >=<2013202320131762023201354%20232cm x y 2330x y π=， ②由①式得，代入②式得． ③可知，S 是x 的函数，自变量x 的取值范围是．（2）探究函数：根据函数解析式③，按照下表中自变量x 的值计算（精确到个位），得到了S 与x 的几组对应值：...1 1.52 2.53 3.54 4.55 5.56 (666454355303277266266274289310)336…在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）解决问题：根据图表回答，①半径为2.4cm 的圆柱形容器比半径为4.4cm 的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm （精确到0.1）．25. 如图，是的外接圆，的直径交于点E ，点D 为的中点，连接．（1）求证：；（2）过点C 作，交的延长线于点F ，若，求的长．222S x xy ππ=+2330y xπ=26602S x xπ=+0x >/cmx 2/cm S 2cm O ABC O AD BC BCBD DBC BAD ∠=∠CF BD ⊥BD cos DBC ∠=3DF =AC26. 已知抛物线，若点，，在抛物线上．（1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）；（2）若当时，，则值为______；（3）若对于时，都有，求的取值范围．27. 在中，，，点D 在边上（不与点B ，C 重合），将线段绕点A 顺时针旋转，得到线段，连接．（1）根据题意补全图形，并证明：；（2）过点C 作的平行线，交于点F ，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l 和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l 对称，可以得到的弦 (，分别是B ，C 的对应点)，则称线段是以直线l 为轴的的“关联线段”．例如，图1中线段是以直线l 为轴的的“关联线段”．（1）如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．① 在线段，，中，以直线：为轴的的“关联线段”是 ；② 在线段，，中，存在以直线：为轴的的“关联线段”，求b 的值；（2）已知直线：交x 轴于点A ．在中，，，若线段是的22y x tx =-+()11,P y -2,2t Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭()3,M m y t 2m =30=y t 23m ≤≤132y y y <<t ABC AC BC =90ACB ∠=︒BC AD 90︒AE DE EAC ADC ∠=∠AB DE EF DF xOy O BC BC O ''B C 'B 'C BC OBC O 1B 1C 2B 2C 3B 3C 11B C 22B C 33B C 1l 4y x =+O 11B C 22B C 33B C 2l y x b =-+O 3l ()>0y m m =+ABC 6AB =2BC =BC以直线为轴的的“关联线段”，直接写出m 的最大值与最小值，以及相应的的长．3l O AC。
北京首都师范大第二附属中学2024届八年级数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
北京首都师范大第二附属中学2024届八年级数学第一学期期末达标检测模拟试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，将一张长方形纸片对折，再对折，然后沿第三个图中的虚线剪下，将纸片展开，得到一个四边形，这个四边形的面积是（ ）A ．28cmB ．216cmC ．218cmD ．220cm2．化简2x x x 11x+--的结果是 A ．x +1 B ．x 1- C ．x - D ．x3．如图，小明从A 地出发，沿直线前进15米后向左转18°，再沿直线前进15米，又向左转18°⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A 地时，一共走的路程是（ ）A ．200米B ．250米C ．300米D ．350米4．一根蜡烛长30cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时蜡烛剩余的长度h （cm ）和燃烧时间t （小时）之间的函数关系用图像可以表示为中的（ ）A ．B ．C ．D．5．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是()A．11B．12C．13D．146．如图，在中，，是的角平分线交于点，于点，下列四个结论中正确的有（）①②③④A．个B．个C．个D．个7．下面计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．a2+a3＝a5C．（﹣2a3b2）3＝﹣8a9b6D．a3•a2＝a68．如图，在三角形ABC中，已知AB=AC，D为BC边上的一点，且AB=BD，AD=CD，则∠ABC等于（）A．36°B．38°C．40°D．45°9．若k90k+1（k是整数），则k=（）A．6 B．7 C．8 D．910．a，b是两个连续整数，若a11b，则a+b的值是（）A．7 B．9 C．21 D．25二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知x ay b=⎧⎨=⎩是方程组23327x yx y+=-⎧⎨-=⎩的解，则5a﹣b的值是_____．12．计算(x－a)(x+3)的结果中不含x的一次项，则a的值是________．13．如图，在ABC ∆中，30B ∠=︒，点D 是BC 的中点，DE BC ⊥交AB 于E ，点O 在DE 上，OA OC =，1OD =，25OE =，则AE =_________．14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y =x −1的图象经过P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）两点，若x 1＜x 2，则y 1_____y 2（填“＞”，“＜”或“=”）15．在实数范围内规定一种新的运算“☆”，其规则是：a ☆b=3a+b ，已知关于x 的不等式：x ☆m>1的解集在数轴上表示出来如图所示．则m 的值是________ ．16．已知点A （l ，－2），若A 、B 两点关于x 轴对称，则B 点的坐标为_______17．若分式2x x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______． 18．如图，直角坐标系中，直线2y x =+和直线y ax c =+相交于点(),3P m ，则方程组2y x y ax c =+⎧⎨=+⎩的解为__________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图1，ABC 是直角三角形，90C ∠=︒，CAB ∠的角平分线AE 与AB 的垂直平分线DE 相交于点E ．（1）如图2，若点E 正好落在边BC 上．①求B 的度数；②证明：3BC DE =．（2）如图3，若点E 满足C 、E 、D 共线．线段AD 、DE 、BC 之间是否满足AD DE BC +=，若满足请给出证明；若不满足，请说明理由．20．（6分）（1）解方程：()()31112x x x x -=--+； （2）先化简2728333x x x x x -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭,再从04x ≤≤中选一个适合的整数代人求值． 21．（6分）先化简：222122(1)1211x x x x x x x x ++-+÷+--+-，然后从22x -<≤的范围内选取一个合适的整数为x 的值代入求值．22．（8分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，点D 在斜边AB 上，且AD=AC ，过点B 作BE ⊥CD 交直线CD 于点E ．（1）求∠BCD 的度数；（2）求证：CD=2BE ．23．（8分）计算：（1）()320422018(3)-++-·(-3)-2 （2）(2)(2)(1)(5)y y y y +---+24．（8分）ABC 在直角坐标系中如图所示，请写出点、、A B C 的坐标.25．（10分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个边长为22，面积为6的等腰三角形．26．（10分）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】在直角三角形BAC中，先求出AB长，四边形的面积即为图中阴影部分三角形面积的4倍，求出阴影部分三角形面积即可求解．【题目详解】再Rt△BAC中2222(25)24AB BC AC=-=-=∴S△ABC=11244 22AB AC⨯⨯=⨯⨯=∴S四边形=4 S△ABC=16 故选：B【题目点拨】本题考查了图形的折叠问题，发挥空间想象力，能够得出S四边形=4 S△ABC是解题的关键．2、D【解题分析】试题分析：()22x x1x x x xxx11x x1x1--+===----．故选D．3、C【分析】由题意可知小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和进行分析即可求出答案．【题目详解】解：正多边形的边数为：360°÷18°=20，∴路程为：15×20=300（米）.故选：C．【题目点拨】本题主要考查多边形的外角和定理，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．4、B【分析】根据蜡烛剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范围就可以得出函数图象．【题目详解】解：由题意，得y=30-5t，∵y≥0，t≥0，∴30-5t≥0，∴t≤6，∴0≤t≤6，∴y=30-5t是降函数且图象是一条线段．故选B．【题目点拨】本题考查一次函数的解析式的运用，一次函数的与实际问题的关系的运用，一次函数的图象的运用，自变量的取值范围的运用，解答时求出函数解析式及自变量的范围是关键．5、C【分析】根据三角形的三边关系求出第三边长的取值范围，再结合已知条件求出第三边长的最大整数值，即可求出三角形的周长最大值．【题目详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5∴5－2＜第三边长＜5＋2解得：3＜第三边长＜7∵第三边长为整数，∴第三边长可以为4、5、6∴第三边长的最大值为6∴三角形的周长最大值为2＋5＋6=13故选C．【题目点拨】此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围和求三角形的周长，掌握三角形的三边关系和三角形的周长公式是解决此题的关键．6、C【分析】根据角平分线性质，即可得到DE=DC；根据全等三角形的判定与性质，即可得到BE=BC，△BDE≌△BDC．【题目详解】解：∵∠ACB=90°，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DC，故①正确；又∵∠C=∠BEC=90°，BD=BD，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），故④正确；∴BE=BC，故②正确；∵Rt△ADE中，AD＞DE=CD，∴AD=DC不成立，故③错误；故选C．【题目点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．7、C【分析】分别根据合并同类项的法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．【题目详解】解：2a与3b不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；a2与a3不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；（-2a3b2）3=-8a9b6，正确，故选项C符合题意；a3•a2=a5，故选项D不合题意．故选：C．【题目点拨】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 8、A【解题分析】试题分析：根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，根据三角形外角的性质得到∠ADB=2∠C=2∠B ，于是得到∠BDA=∠BAD=2∠B ，在△ABD 中利用三角形内角和定理可求出∠B ．解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵CD=DA ，∴∠C=∠DAC ，∵BA=BD ，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B ，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故选A ．考点：等腰三角形的性质．9、D【分析】找到90.【题目详解】本题考查二次根式的估值．∵8190100<<，∴910<，∴9k =．一题多解：可将各个选项依次代入进行验证．如下表：【题目点拨】本题考查二次根式的估算，找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键.10、A的范围，即可得出a 、b 的值，代入求出即可．【题目详解】解：∵3＜4，∴a ＝3，b ＝4，∴a ＋b ＝7，故选：A ．【题目点拨】的范围，难度不是很大．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】把x a y b =⎧⎨=⎩代入方程组，得23327a b a b +=-⎧⎨-=⎩①②，两个方程相加，即可求解． 【题目详解】把x a y b =⎧⎨=⎩代入方程组23327x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得：23327a b a b +=-⎧⎨-=⎩①②， ①+②得：5a ﹣b =1．故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，掌握方程的解的定义和加减消元法，是解题的关键．12、3【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，令x 的一次项系数为0，列出关于a 的方程，求出即可．【题目详解】解：()2()=(333)x a x a x a x +--+－, ∵不含x 的一次项，∴3－a =0,∴a=3,故答案为：3.【题目点拨】本题考查了多项式乘以多项式法则，理解多项式中不含x 的一次项即x 的一次项的系数为0是解题的关键．不要忘记合并同类项.13、92【分析】根据直角三角形的性质得到BE=2DE=2（1+2.5）=7，过O 作OF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到BF=AF ，根据直角三角形的性质即可得到结论．【题目详解】解：∵1OD =,25OE =∴DE=1+2.5=3.5∵DE ⊥BC ，∠B=30°，∴BE=2DE=7，过O 作OF ⊥AB 于F ，∵点D 是BC 的中点，DE BC ⊥∴OC=OB ，∠BDE=90°，∵OC=OA ，∴OB=OA ，∴BF=AF ，∵30B ∠=︒∴∠FEO=60°， ∴∠EOF=30°，∴EF=12OE=54， ∴BF=BE-EF=7-54=234 ， ∴AF=BF=234，∴AE=AF-EF=92． 故答案为：92 ． 【题目点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14、＜【分析】根据k=1结合一次函数的性质即可得出y=x ﹣1为单调递增函数，再根据x 1＜x 1即可得出y 1＜y 1，此题得解．【题目详解】∵一次函数y=x ﹣1中k=1，∴y 随x 值的增大而增大．∵x 1＜x 1，∴y 1＜y 1．故答案为＜．15、-2【分析】根据新运算法则得到不等式31x m +>，通过解不等式即可求m 的取值范围，结合图象可以求得m 的值．【题目详解】∵x ☆ 31m x m =+>， ∴13m x ->， 根据图示知，已知不等式的解集是1x >， ∴113m -=， 故答案为：2m =-．【题目点拨】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集及解不等式，本题的关键是理解新的运算方法．16、（1，2）【题目详解】关于x 轴对称，则两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，故B 点的坐标为（1，2）.17、x ≠－2【解题分析】根据分式有意义的条件进行求解即可.【题目详解】由题意得：x+2≠0，解得：x ≠-2，故答案为：x ≠-2.【题目点拨】本题考查了分式有意义的条件，熟知“分式的分母不为0”时分式有意义是解题的关键.18、13x y =⎧⎨=⎩ 【分析】根据题意，将(),3P m 代入2y x =+中求出m 即可得到方程组的解.【题目详解】将(),3P m 代入2y x =+中得32m =+，则1m =∴()1,3P∵直线2y x =+和直线y ax c =+相交于点(),3P m∴2y x y ax c =+⎧⎨=+⎩的解为13x y =⎧⎨=⎩.故答案为：13x y =⎧⎨=⎩. 【题目点拨】本题主要考查了一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系，熟练掌握相关知识是解决本题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）①30；②见解析；（2）满足，证明见解析【分析】（1）①由角平分线与垂直平分线的性质证明：CAE DAE B ∠=∠=∠，再利用三角形的内角和定理可得答案；②先利用角平分线的性质证明：EC ED =，再利用30B ∠=︒， 证明2BE DE =， 从而可得结论；（2）过点E 作EF AC ⊥于点F ，证明：EF CF =，再证明()Rt ADE Rt AFE HL ≌，可得AD AF =，再利用线段的和差可得答案．【题目详解】（1）①解：∵AE 平分CAB ∠∴CAE BAE ∠=∠又∵ED 是AB 的垂直平分线∴EA EB =∴B DAE ∠=∠，∴CAE DAE B ∠=∠=∠又∵90C ∠=︒ ∴190303B ∠=⨯︒=︒； ②证明：∵AE 平分CAB ∠，且EC AC ⊥，ED AB ⊥∴EC ED =，在Rt EDB 中，30B ∠=︒∴2BE DE =，3BC BE CE BE DE DE =+=+=；（2）解：线段AD 、DE 、BC 之间满足AD DE BC +=，证明如下：过点E 作EF AC ⊥于点F ，∵ED 是AB 的垂直平分线，且C 、E 、D 共线∴CD 也是AB 的垂直平分线∴CA CB =又90ACB ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形．∴45ACD ∠=︒∴CEF △是等腰直角三角形．∴EF CF =∵AE 平分CAB ∠，且EF AC ⊥，ED AB ⊥∴EF ED =∴ED FC =，在Rt ADE △和Rt AFE 中EF ED AE AE =⎧⎨=⎩∴()Rt ADE Rt AFE HL ≌∴AD AF =，∴BC AC AF FC AD DE ==+=+．【题目点拨】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，含30的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．20、（1）原方程无解；（2）42x x +，52． 【分析】(1)先去分母,再解整式方程,再验根;(2)根据分式运算法则先化简,再代入已知条件中的值计算.【题目详解】()1解：()()31112x x x x -=--+方程两边同时乘以()()12x x -+,得()()()2312x x x x +=-+-.解得 1.x =检验:当1x =时, ()()120x x -+=,所以, 1.x =不是原方程的解,原方程无解.()2解：2728333x x x x x -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭ 229728333x x x x x x ⎛⎫--=-÷ ⎪---⎝⎭()()()443324x x x x x x +--=-- 42x x += 当1x =时,原式145212+=⨯ 【题目点拨】 考核知识点:分式化简求值.掌握分式运算法则是关键.21、241x x -+，当2x =时，原式＝0. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约分得到最简结果，将适合的x 的值代入计算即可求出值．【题目详解】原式=211(1)2(1)1(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++---⋅+-++- =22(1)21(1)1x x x x x x -⋅--++ =2(1)211x x x --++ =241x x -+， ∵满足22x -≤≤的整数有±2，±1，0，而x=±1，0时，原式无意义，∴x=±2，当x=2时，原式=224021⨯-=+，当x=－2时，原式=2(2)4821⨯--=-+．22、（1）22.5°；（2）见解析【分析】（1）首先根据等腰直角三角形求出,A B ∠∠的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出,ACD ADC ∠∠的度数，最后余角的概念求值即可；（2）作AF ⊥CD 交CD 于点F ，首先根据等腰三角形三线合一得出CF=FD=12CD ，∠FAD=12∠CAB=22.5°，进一步可证明△AFD ≌△CEB ，则有BE=DF ，则结论可证．【题目详解】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠A=∠B=45°，∵AD=AC ，∴∠ACD=∠ADC=180-452︒︒=67.5°， ∴∠BCD=90°-67.5°=22.5°；（2）证明：作AF ⊥CD 交CD 于点F ，∵AD=AC ，∴CF=FD=12CD ，∠FAD=12∠CAB=22.5°， ∵∠ADC=67.5°，∴∠BDE=67.5°，∴∠DBE=90°-67.5°=22.5°，∴∠CBE=45°+22.5°=67.5°，在△AFD 和△CEB 中，AFD CEB ADF CBE AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFD ≌△CEB ，∴BE=DF ，∴CD=2BE ．【题目点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定及性质，掌握这些性质及定理是解题的关键．23、（1）-54；（2）-4y+1【分析】（1）根据有理数幂的乘方、0指数幂、同底数幂乘法的运算法则计算即可；（2）先利用平方差公式及多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可.【题目详解】（1）原式＝32(4)1(3)-++-＝6419-++＝54-（2）原式＝()22445y y y --+-＝y 2-4-y 2-4y+5＝41y -+【题目点拨】本题考查有理数幂的乘方、0指数幂、同底数幂乘法的运算及整式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键. 24、22112)2(()()A B C ---，，，，，. 【分析】根据平面直角坐标系的特点写出点A 、B 、C 的坐标；【题目详解】解：由平面直角坐标系可得：A(2,2)，B(-1,1)，C(-2,-2)；故答案为A(2,2)，B(-1,1)，C(-2,-2).【题目点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，解题的关键是熟练掌握基本知识.25、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析；（4）画图见解析.【解题分析】（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可；（2）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．（3）利用三角形面积求法以及等腰直角三角形的性质画出即可；（4）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．【题目详解】解：（1）如图（1）所示：（2）如图（2）所示：（3）如图（3）所示；（4）如图（4）所示．【题目点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及作图；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．26、见解析【分析】连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°【题目详解】证明：连接AC.∵AB=20，BC=15，∠B=90°，∴由勾股定理,得AC2=202+152=625又CD=7，AD=24，∴CD2+AD2=625，∴AC2=CD2+AD2∴∠D=90°，∴∠A+∠C=360°−180°=180°【题目点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、多边形内角与外角，借助辅助线方法是解决本题的关键。
北京首都师大附中2022年九年级数学第一学期期末考试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）1．对于问题：如图1，已知∠AOB ，只用直尺和圆规判断∠AOB 是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA 、OB上分别取C 、D ，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交OB 的反向延长线于点E ，若测量得OE=OD ，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（ ）A ．等角对等边B ．线段中垂线上的点到线段两段距离相等C ．垂线段最短D ．等腰三角形“三线合一”2．如图，点A 、B 、C 是⊙0上的三点，若∠OBC=50°，则∠A 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°3．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为 近视眼镜的度数y （度）200 250 400 500 1000 镜片焦距x （米）0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A ．y x = B ．100y = C ．y x = D ．400y = 4．点A （﹣3，y 1），B （0，y 2），C （3，y 3）是二次函数y ＝﹣（x +2）2+m 图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＝y 3＜y 2C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 25．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是( )A ．B ．C ．D ．6．如图，在△ABC 中，DE //BC ，12AD DB ＝，S 梯形BCED ＝8，则S △ABC 是（ ）A ．13B ．12C ．10D ．97．二次根式1x -有意义的条件是（ ）A ．x>－1B ．x≥－1C ．x≥1D ．x ＝－18．抛物线y=2(x －1)2－6的对称轴是( ).A ．x=－6B ．x=－1C ．x=12D ．x=19．如图是由几个相同的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，AE ：EB=2：3，EF=4，则AD 的长为（ ）A ．B ．8C ．10D ．1611．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是( )A ．2520(1)312x -=B ．2520(1)312x +=C ．2520(12)312x -=D ．2520(1)312x -=12．有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中符合题意的是( )A ．x(x ﹣1)＝21B ．x(x ﹣1)＝42C ．x(x+1)＝21D ．x(x+1)＝42二、填空题（每题4分，共24分） 13．二次函数的解析式为()2213y x =-++，顶点坐标是__________．14．如图，ABC ∆内接于O ，若O 的半径为2，45A ︒∠=，则BC 的长为_______．15．如图，在圆O 中，AB 是弦，点C 是劣弧AB 的中点，联结OC ，AB 平分OC ，联结OA 、OB ，那么AOB ∠=__________度．16．若m 是方程2x 2﹣3x ＝1的一个根，则6m 2﹣9m 的值为_____．17．布袋中装有3个红球和4个白球，它们除颜色外其余都相同，如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是_______．18．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为xcm ，长为40cm ，左侧图片的长比宽多4cm . 若1416x ，则右侧留言部分的最大面积为_________2cm .三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知反比例函数y ＝k x 的图象经过点A (4，m )，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2. (1)求k 和m 的值；(2)若点C (x ，y )也在反比例函数y ＝k x的图象上，当－3≤x ≤－1时，求函数值y 的取值范围．20．（8分）（1）解方程：2510x x -+=（配方法）（2）已知二次函数：21218y mx x =-+与x 轴只有一个交点，求此交点坐标．21．（8分）为了测量竖直旗杆AB 的高度，某数学兴趣小组在地面上的D 点处竖直放了一根标杆CD ，并在地面上放置一块平面镜E ，已知旗杆底端B 点、E 点、D 点在同一条直线上．该兴趣小组在标杆顶端C 点恰好通过平面镜E 观测到旗杆顶点A ，在C 点观测旗杆顶点A 的仰角为30．观测点E 的俯角为45︒，已知标杆CD 的长度为1米，问旗杆AB 的高度为多少米？（结果保留根号）22．（10分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被哦感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（3）n 轮（n 为正整数）感染后，被感染的电脑有________台．23．（10分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是射线BC 上一动点(点P 不与点B 重合)，连接AP DP 、，点E 是线段AP 上一点，且ADE APD ∠=∠，连接BE .()1求证:2AD AE AP =⋅；()2求证:BE AP ⊥； ()3直接写出DPAP的最小值.24．（10分）如图，射线MN 表示一艘轮船的航行路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，A 处到M 处的距离为200海里．（1）求点A 到航线MN 的距离．（2）在航线MN 上有一点B .且23MAB ∠=︒，若轮船沿的速度为50海里/时，求轮船从M 处到B 处所用时间为多少小时．（参考数据：tan 230.424,tan370.754,3 1.732︒≈︒≈≈）25．（12分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB cm =，8BC cm =．动点D 从点C 出发，沿线段CA 向终点A 以1cm /s 的速度运动，同时动点E 从点C 出发，沿折线CB BA -以2cm /s 的速度向终点A 运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，以DC 、DE 为邻边作设▱CDEF 与Rt ABC ∆重叠部分图形的面积为()2cmS .点D 运动的时间为0t s t ()(＞)．（1）当点E 在AB 边上时，求AE 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当点F 落在线段BC 上时，求t 的值；（3）求S 与t 之间的函数关系式()0S ＞，并写出自变量t 的取值范围．26．如图，图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，ABC ∆在方格纸中的位置如图所示．（1）请在图中建立平面直角坐标系，使得A ，B 两点的坐标分别为(2,1)A -，(1,4)B -，并写出C 点的坐标； （2）在图中作出ABC ∆绕坐标原点旋转180︒后的111A B C ∆，并写出1A ，1B ，1C 的坐标．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵CD=CE ，OE=OD ，∴AO 是线段DE 的垂直平分线，∴∠AOB=90°；则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．2、A【分析】在等腰三角形OBC 中求出∠BOC ，继而根据圆周角定理可求出∠A 的度数．【详解】解：∵OC=OB ，∴∠OCB=∠OBC=50°，∴∠BOC=180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠A=12∠BOC=40°；故选A．【点睛】本题考查在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．3、A【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．【详解】解：由表格中数据可得：xy＝100，故y关于x的函数表达式为：100yx ．故选A．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．4、C【解析】先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小．【详解】二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象的对称轴为直线x＝﹣2，又a=-1, 二次函数开口向下，∴x＜-2时，y随x增大而增大，x＞-2时，y随x增大而减小，而点A（﹣3，y1）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x＝﹣2的距离最大，所以y3＜y2＜y1．故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.5、C【解析】分析：根据“俯视图”的定义进行分析判断即可.详解：由几何体的形状可知，俯视图有3列，从左往右小正方形的个数是1，1，1.故选B．点睛：弄清“俯视图”的含义是正确解答这类题的关键.6、D【分析】由DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求△ADE的面积，再加上BCED 的面积即可．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABC S S ＝2AD AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2112⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝19， ∴18ADE BCED S S =四边形， ∵S 梯形BCED ＝8，∴=1ADE S∴189ABC ADE BCED S S S =+=+=梯形故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用平行线得相似，利用相似三角形的面积的性质求解．7、C【解析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求出x 的取值范围即可.∴x-1≥0，∴x≥1，故选：C.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键.8、D【解析】根据抛物线的顶点式，直接得出结论即可．【详解】解：∵抛物线y=2（x-1）2-6，∴抛物线的对称轴是x=1．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉二次函数的顶点式：y=a （x-h ）2+k （a≠0），其顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．9、A【分析】由几何体的俯视图观察原立体图形中正方体的位置关系【详解】由俯视图可以看出一共3列，右边有前后2排，后排是2个小正方体，前面一排有1个小正方体，其他两列都是1个小正方体，由此可判断出这个几何体的主视图是A．故选A．10、C【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD中，AD=BC，问题得解．【详解】解：∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC，∴EF：BC=AE：AB，∵AE：EB=2：3，∴AE：AB=2：5，∵EF=4，∴4：BC=2：5，∴BC=1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=1．【点睛】本题考查(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．11、A【分析】根据题意可得到等量关系：原零售价⨯（1-百分率）（1-百分率）=降价后的售价，然后根据等量关系列出方程即可．【详解】解：由题意得：2x-=，520(1)312故答案选A．【点睛】本题考查一元二次方程与实际问题，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．12、B【分析】设这次有x 队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：12x （x-1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数=21场，依此等量关系列出方程即可．【详解】设这次有x 队参加比赛,则此次比赛的总场数为12x (x −1)场， 根据题意列出方程得：12x (x −1)=21， 整理,得：x (x −1)=42，故答案为x (x −1)=42. 故选B.【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确找到等量关系是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、()1,3-【分析】由已知和抛物线的顶点式，直接判断顶点坐标．【详解】解：∵二次函数的解析式为：()2213y x =-++，∴二次函数图象的顶点坐标为：（-1，3）．故答案为：（-1，3）．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）． 14、22【分析】连接OB 、OC ，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接OB 、OC ，由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=90°，∴利用勾股定理得：2222OB OC +=故答案为：22【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．15、120【分析】连接AC ，证明△AOC 是等边三角形，得出AOB ∠的度数．【详解】连接AC∵点C 是AB 的中点∴=AC BC∵OC AB ⊥ ，AOC BOC ∠=∠∴AB 平分OC∴AB 是线段OC 的垂直平分线∴AO AC =∵OA OC =∴OA OC AC ==∴△AOC 是等边三角形∴=60AOC ∠︒∴=60BOC AOC =︒∠∠∴6060120AOB AOC BOC =+=︒+︒=︒∠∠∠故答案为120︒ ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定定理，从而得出目标角的度数．16、1【分析】把m 代入方程2x 2﹣1x ＝1，得到2m 2-1m=1，再把6m 2-9m 变形为1（2m 2-1m ），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 是方程2x 2﹣1x ＝1的一个根，∴2m 2﹣1m ＝1，∴6m 2﹣9m ＝1(2m 2﹣1m)＝1×1＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17、37【分析】由题意根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．【详解】解：∵一个布袋里装有3个红球和4个白球，共7个球， ∴摸出一个球摸到红球的概率为：37， 故答案为：37. 【点睛】本题主要考查概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．18、320【分析】先求出右侧留言部分的长，再根据矩形的面积公式得出面积与x 的函数解析式，利用二次函数的图像与性质判断即可得出答案.【详解】根据题意可得，右侧留言部分的长为(36-x)cm∴右侧留言部分的面积()()()22363632432418324x x x x x =-=--++=--+ 又14≤x≤16 ∴当x=16时，面积最大()21618324320=--+=(2)cm故答案为320.【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，比较简单，解题关键是根据题意写出面积的函数表达式.三、解答题（共78分）19、 (1) k ＝4， m ＝1；(2)当－3≤x ≤－1时，y 的取值范围为－4≤y ≤－43. 【详解】试题分析：（1）根据反比例函数系数k 的几何意义先得到k 的值，然后把点A 的坐标代入反比例函数解析式，可求出k 的值；（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y 的值，再根据反比例函数的性质求解．试题解析：（1）∵△AOB 的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为4y x=，∵A （4，m ），∴m=44=1； （2）∵当x=﹣3时，y=﹣43；当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数4y x=在x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，y 的取值范围为﹣4≤y≤﹣43． 考点：反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．20、（1）12x x ==（2）2m =，交点坐标为(3,0). 【分析】（1）把常数项移到方程的右边，两边加上一次项系数的一半的平方，进行配方，再用直接开平方的方法解方程即可，（2）由二次函数的定义得到：0,m ≠再利用0∆=求解m 的值，最后求解交点的坐标即可．【详解】解：（1） 2510x x -+=，251,x x ∴-=-222555()1(),22x x ∴-+=-+ 2521(),24x ∴-=5,22x ∴-=±1255,22x x +-∴== （2）二次函数：21218y mx x =-+与x 轴只有一个交点， 2040m b ac ≠⎧∴⎨∆=-=⎩ 2(12)4180,m ∴--⨯=2,m ∴=∴ 22212182(3),y x x x =-+=-∴ 这个交点为抛物线的顶点，顶点坐标为：(3,0).即此交点的坐标为：(3,0).【点睛】本题考查了解一元二次方程的配方法，二次函数与x 轴的交点坐标问题，掌握相关知识是解题的关键．21、23+ 【分析】作//CF BD 交AB 于点F ，则30ACF ∠=︒，45ECF CED ∠=∠=︒，易得1CD DE ==，根据光的反射规律易得45AEB CED ∠=∠=︒，可得△CDE 和三角形ABE 均为等腰直角三角形，设AB x =，则BE x =，1BD CF x ==+，1AF x =-，在Rt ∆ACF 中有tan AF ACF CF∠=，代入求解即可. 【详解】解：如图作//CF BD 交AB 于点F ，则30ACF ∠=︒，45ECF CED ∠=∠=︒在Rt ∆CDE 中，易求得1CD DE ==由光的反射规律易得45AEB CED ∠=∠=︒，在Rt ∆ABE 中，易求得AB BE =设AB x =，则BE x =，1BD CF x ==+，1AF x =-在Rt ∆ACF 中，tan AF ACF CF ∠=，即3131x x -=+， 解得：23x =+即旗杆AB 的高度为23+．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及光的反射规律，本题属于中等题型22、（1）8；（2）会；（3）9n ．【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可．（2）根据题意计算出3轮感染后被感染的电脑数，与700进行比较即可．（3）根据题中规律，写出函数关系式即可．【详解】（1）解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意得：()1181x x x +++=解得12810x x = =-，（舍去）（2）81881729700+⨯=>答：3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．（3）由（1）得每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑第一轮：被感染的电脑有9台；第二轮：被感染的电脑有29989+⨯=台；第三轮：被感染的电脑有239+989⨯=台；故我们可以得出规律：n 轮（n 为正整数）感染后，被感染的电脑有9n 台【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用和归纳总结题，掌握解一元二次方程的方法和找出关于n 的函数关系式是解题的关键．23、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DP AP 的最小值为512- 【分析】（1）由DAP EAD ADE APD ∠=∠∠=∠,得出ADP AED ，进而得出AD AP AE AD =，即可得出2AD AE AP =⋅；（2）首先由正方形的性质得出，,90AB AD ABC =∠=︒，然后由（1）中结论得出AB AP AE AB=，进而即可判定ABP AEB ，进而得出.BE AP ⊥（3）首先由（1）中ADPAED 得出DP DE AP AD =，然后构建圆，找出DE 的最小值即可得解. 【详解】()1DAP EAD ADE APD ∠=∠∠=∠,ADPAED ∴ AD AP AE AD∴= 2AD AE AP ∴=⋅()2∵四边形ABCD 是正方形,90AB AD ABC ∴=∠=︒由(1)知2AD AE AP =⋅2AB AE AP ∴=⋅，AB AP AE AB ∴= 又,BAP EAB ∠=∠ABP AEB ∴90AEB ABP ∴∠=∠=︒.BE AP ∴⊥()3由（1）中ADP AED ，得 DP DE AP AD= 若使DP AP 有最小值，则DE 最小，由（2）中 BE AP ⊥，点E 在以AB 为直径的圆上，如图所示∴DE 最小值为222212151OA AD OE ++=∴DP AP 51- 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，以及动点综合问题，解题关键是找出最小值.24、（1）100海里（2）约为1.956小时【分析】（1）过A 作AH ⊥MN 于H ．由方向角的定义可知∠QMB=30°，∠QMA=60°，那么∠NMA=∠QMA-∠QMB=30°．解直角△AMH 中，得出AH=12AM ，问题得解； （2）先根据直角三角形两锐角互余求出∠HAM=60°，由∠MAB=15°，得出∠HAB=∠HAM-∠MAB=45°，那么△AHB 是等腰直角三角形，求出BH=AH 距离，然后根据时间=路程÷速度即可求解．【详解】解：（1）如图，过A 作AH MN ⊥于H .∵30,60QMB QMA ∠=︒∠=︒，∴30NMA QMA QMB ∠=∠-∠=︒在直角AMH 中，∵90AHM ∠=︒，30AMH ∠=︒，200AM =海里，∴11002AH AM ==海里. 答：点A 到航线MN 的距离为100海里.（2）在直角AMH 中，90,30AHM AMH ∠=︒∠=︒，由（1）可知1003MH =，∵23MAB ∠=︒∴602337,BH BAN tan BAH AH∠=︒-︒=︒∠=， ∴100310037173.275.497.8BM MH BH tan =-=-⋅︒≈-=，∴轮船从M 处到B 处所用时间约为97.850 1.956÷=小时.答：轮船从M 处到B 处所用时间约为1.956小时.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．25、（1）142AE t =-；（2）407t =；（3）详见解析 【分析】（1）根据动点E 从点C 出发，沿折线CB BA -以2cm /s 的速度向终点A 运动，得出2CB BE t +=，即可表达出AE 的表达式；（2）由DE CB ，可得ADE ACB ∽，可得AD AE AC AB=，列出方程即可求解； （3））分当04t ≤＜时，当4047t <时，当4077t <时，三种情况进行画图解答即可． 【详解】解：（1）当点E 在AB 边上时,2CB BE t +=,∴()6+8-2142AE AB BC BC BE t t =+-+==-∴142AE t =-．（2）如图：当点F 落在线段BC 上时，此时：142CD t AE t ==-，，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB cm =，8BC cm =∴10AC cm =∴10-t AD =在▱CDEF 中：DE CB ，ADE ACB ∴∽， ∴AD AE AC AB =， 10142106t t --∴=， 解得407t =． （3）依题意得：,CD t =在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB cm =，8BC cm =∴10AC cm =∴10-t AD =当04t ≤＜时，此时E 在CB 边上，此时,2CD t CE t ==如图：过D 作DM⊥BC 于M∴90CMD ∠=︒∵90B ∠=︒∴=90CMD B ∠=︒∠∴DM AB ∴C M AB D CD A = ∴106DM t = ∴6310=5t t DM = ∴21133=22255S CE DM t t t =⋅⋅⋅⋅= 当4047t <时，E 在AB 边上，F 在BC 的下方，此时：14228AE t BE t =-=-， 如图：过E 作EP⊥AC 于E, EF 交BC 于Q,连接CE∴90EPA ∠=︒∴90EPA B ∠=∠=︒∵A A ∠=∠∴APEABC ∆∆ ∴CE BC P AE A = ∴14-2108PE t = ∴()()814-2414-21=05t PE t = ∴()11414-2225CDE S CD PE t t ∆== 在▱CDEF 中EQ//AC∴BQ BC C AE A =∴14826CQ t =- ∴()()8142414263=t CQ t --= ∴()()11414-22-8223CQE S CQ BE t t ∆== ∴()()()2141414-214-22-825235252422415153CDE CQE S S S t t t t t t ∆∆=+==-+-+ 当4077t <时，E 在AB 边上，F 在BC 的上方，此时：142AE t =- 如图：过E 作EP⊥AC 于E,∴90EPA ∠=︒∴90EPA B ∠=∠=︒∵A A ∠=∠∴APEABC ∆∆ ∴CE BC P AE A = ∴14-2108PE t = ∴()()814-2414-21=05t PE t =∴()2485614-2-555CDEF S S CD PE t t t ====+ ∴综上所述：S 与t 之间的函数关系式是：()22230455252422440=415153785640-7557t t S t t t t t ⎧≤⎪⎪⎪⎛⎫-+-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+<⎪ ⎪⎝⎭⎩＜ 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、二次函数的应用，掌握三角形的性质是解题的关键．26、（1）图形见解析，C 点坐标(3,3)-；（2）作图见解析，1A ，1B ，1C 的坐标分别是(2,1)- (1,4)- ()3,3-【分析】（1）根据已知点的坐标，画出坐标系，由坐标系确定C 点坐标；（2）由关于原点中心对称性画111A B C ∆，可确定写出1A ，1B ，1C 的坐标．【详解】解：（1）(2,1)A -，把(2,1)A -向左平移两个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到原点O,建立如下图的直角坐标系，∴ C （3，-3）；（2）分别找到,,A B C 的对称点1A ，1B ，1C ，顺次连接1A ，1B ，1C ，∴ 111A B C ∆即为所求，如图所示，1A （-2，1），1B （-1，4），1C （-3，3）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．。