选修2-2 2.3.1数学归纳法教案

设计意图： 通过从不同的角度审视， 更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质。 （四）方法的应用 例 1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则 an=a1+(n-1)d 对于一切
n∈ N*都成立。（学生板书，教师在教室走动看同学们对数学归纳法的掌握情况 及做题规范）注：张老师建议将本例题换成 1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6 证明: (1)当 n=1 时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1,
五、教学方法
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出 发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之 间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归
纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证 明一些与正整数 n 有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决 问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强 调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。
在应用数学归纳法时，第一步中的起点 1 可以恰当偏移(如取 k=n0)，那么由 第二步，就可证明命题对 n=n0 以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也 可作灵活的变动， 如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递 推时的基础. 数学归纳法名为归纳法， 实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法 “这 个名字是随便起的”.归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要 的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一 种演绎法，它的实质是如庞加莱所说“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”，它 得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳 公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则 从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性. 数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论 的发现过程中， 往往先通过对大量个别事实的观察， 通过归纳形成一般性的结论， 最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的， 而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”.
；
第二步：
； 第三步，
（由
推

）
；
（由
推
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第四步， 推 ） „„
；
（由
第 99 步，
；
（由
推
）
第 100 步， 问 2：我们能否只用最少的步骤就能证明这个结论呢？
. （由
推
）
预设：除了第一步论证之外，其余 99 个步骤的证明都可以概括成一个命题的证 明，即转化为对以下命题的证明： 若 n 取某一个值时结论成立，则 n 取其下一个值时结论也成立，即
二、学情分析
该阶段学生的认知基础： （1）对正整数的特点的感性认识； （2）对“无穷” 的概念有一定的认识和兴趣；（3）在数列的学习中对递推思想有一定的体会； （4）在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实； 但数学归纳法作为一种证明的方法，且不论其方法的结构形式，运用技巧， 就是对其自身的可靠性， 学生都有一定的疑虑， 具体可能会体现在以下一些方面： （1） 为什么要引进数学归纳法？验证为何不可行？ （2） 数学归纳法的两步骤中， 对第二步的认识往往难以到位.将解决由 P(k)到 P(k+1)的传递性问题， 误解为证 明 P(k+1)的真实性.由此造成对证明中何以用“假设”的不理解.（3）数学归纳 法的第二步中由 k 到 k+1 的递推性应保证 k 从第一个值时的任意一个整数都能成 立,由此只要第一个值成立，就能确保可以一直递推下去.（4）数学归纳法中的
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f（40）＝1 681＝412 是合数．
问题 1、2、3、4 的设计意图：提出问题如何寻找一个科学有效的方法证明结论 的正确性呢？我们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一 （二）实验演示，探索解决问题的方法 多米诺骨牌：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一 般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？ （1） 推倒第一块骨牌； （2） 前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌 （三） 方法的形成
P(k)真 P(k+1)真 „
著 《中学数
因此得到对于任何正整数 n，命题 p(n)都为真. 数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，即 验证由任意一个整数 n 过渡到下一个整数 n+1 时命题是否成立.这两个步骤都非 常重要， 缺一不可.第一步确定了 n=1 时命题成立， n=1 成为后面递推的出发点， 没有它递推成了无源之水；第二步确认了一种递推关系，借助它，命题成立的范 围就能从 1 开始， 向后面一个数一个数的无限传递到 1 以后的每一个正整数，从 而完成证明.因此递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留 在对有限情况的把握上.
若
（
），则
.
（*）
（
.）
问 3：你能进一步说明命题（*）的证明对原命题的证明起到什么作用吗？
问 4： 有了命题 （*） 的证明， 你能肯定
吗？你能肯定
吗？你能肯定
吗？甚至你能肯定
吗？„
问 5：给定
及命题（*），你能推出什么结论呢？
预设：通过步步递推，可以证明对任意的正整数 n，结论 成立.
都
问 6：试写出此命题的证明:（教师板书，一边板书一边做相应的强调说明）
数学选修 2-2
2.3.1 数学归纳法教案
北师大附中京西 江冬梅
注：本教案是在参考各种资料的基础上形成的，其中主要参考人教官网上浙江 省黄岩中学 李柏青老师关于数学归纳法的教学设计以及罗增儒 学课例分析》P246-275 课例 14“数学归纳法的教学设计” 一、教材内容解析 由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数 n 的命题,难以对 n 进行一一 的验证， 从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的 结论.这是数学归纳法产生的根源. 数学归纳法是数学上证明与自然数 N 有关的 命题的一种特殊方法， 它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中 常用来证明等式成立和数列通项公式成立。 （可以理解成数学归纳法是证明与自 然数相关的命题的方法， 但主要证明一些与正整数 n 有关的简单数学命题？看了 一些资料都有不同的表述，对此有些疑问） 数学归纳法是一种证明与正整数 n 有关的命题的重要方法。它的独到之处便 是运用有限个步骤就能证明无限多个对象， 而实现这一目的的工具就是递推思想。 设 p(n)表示与正整数 n 有关的命题，证明主要有两个步骤：（1）证明 p(1) 为真；（2）证明若 p(k)为真，则 p(k+1)为真；有了这两步的保证,就可实现以 下的无穷动态的递推过程： P(1)真 P(2)真 P(3)真„
∴ 当 n=1 时，结论成立 (2)假设当 n=k 时结论成立， 即 则当 n=k+1 时 ak+1= ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+[(k+1)-1]d ∴当 n=k+1 时，结论也成立 由(1)和(2)知,等式对于任何 n∈N*都成立。 例 2： 已知数列{an}，其通项公式为 an=2n-1，试猜想该数列的前 n 项和公式 Sn， 并用数学归纳法证明你的结论。 解：（1）S1=a1=1 S3= S2+a3=4+5=9 (2) 猜想 Sn=n2, S2= S1+a2=1+3=4 S4= S3+a4=9+7=16 ak=a1+(k-1)d
递推是一种无穷尽的动态过程， 学生对于不断反复地运用步骤二来进行推理的模 式缺乏清晰的认知.
三、教学目标
知识与技能：理解数学归纳的原理与实质．掌握两个步骤；会证明简单的与 自然数有关的命题．培养学生观察,分析,思考,论证的能力, 发展抽象思维能力 和创新能力．培养学生大胆猜想、小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出 问题的意识和数学交流的能力． 过程与方法：努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛 围， 提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过程, 体会类比的 数学思想． 情感态度价值观： 让学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点； 体会研究数学 问题的一种方法, 激发学生的学习热情， 使学生初步形成做数学的意识和科学精 神．
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问题：已知数列{an},a1=1,an+1=������ +2an，求 a4，a100 以及 an。 师生活动：学生进行计算推理后，展示思考结果.
教师追问： （1）根据递推公式 an+1=������ +2an，可以由 推出 ,说说你又是如何求得 呢？
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出发，推出
，再由
推出
,由
预设：由前四项归纳猜想
.
（2）归纳猜想的结果并不可靠，你能否对 吗？ 设计意图：学生通过对
给以严格的证明
的求解以及多米诺骨牌游戏所渗透的思想，体会到只
需知道某一项， 就可求出其下一项的值.针对学生的回答情况， 教师可进行追问： 问 1 :利用递推公式，命题中的 n 由 1 可以推出 2，由 2 可以推出 3，由 3 可以 推出 4，···，由 99 可以推出 100. 这样要严格证明 n=100 结论成立，需要进 行多少个步骤的论证呢？ 第一步，
已知数列｛an｝：
，求证：
.
预设：证明:(1) 当 n=1 时，
,所以结论成立.
(2) 假设当 n=k(k∈N*)时，结论成立，即 则当 n=k+1 时
，
即当 n=k+1 时，结论也成立.
由（1）(2)可得，对任意的正整数 n 都有 问 7：你能否总结出这一证明方法的一般模式?