四川省成都市龙泉第二中学16—17学年高一新生入学考试数学试题(附答案)
四川省成都市龙泉二中2017届高三(下)入学数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三（下）入学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R2．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i3．函数y=的值域为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）C．{y|y≠﹣1，y∈R} D．{y|y≠﹣2，y∈R}4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题5．已知函数f（x）=sin（2x+α）在时有极大值，且f（x﹣β）为奇函数，则α，β的一组可能值依次为（）A．B．C．D．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y 的值为（）A．2 B．7 C．8 D．1287．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．8．已知双曲线的左焦点为F，直线x=2与双曲线E相交于A，B两点，则△ABF的面积为（）A．12 B．24 C． D．9．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A．2 B．3C．3+2 D．310．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A．1 B．C．D．11．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．12．利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A．P=lg（1+）B．P=C．P=D．P=×二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．函数y=的值域是．14．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为M，N，则线段MN的长为．15．椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为．16．设0＜α＜＜β＜π，sinα=，则sinβ的值为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=na n﹣2n（n﹣1），等比数列{b n}的前n 项和为T n，公比为a1，且T5=T3+2b5．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列的前n项和为M n．18．甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，请依据上述数据估计，在第11次射击时，甲、乙两人分别获得优秀的概率．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）求四棱锥P﹣BFDE的体积．20．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a．（a∈R）（I）试确定函数f（x）的零点个数；（II）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．参考公式：（e t﹣x）'=﹣e t﹣x（t为常数）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜3，求a的取值范围．2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三（下）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R【考点】子集与真子集．【分析】集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则故A⊆B，进而可得答案．【解答】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中{1，2}满足要求，故选：A2．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C3．函数y=的值域为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）C．{y|y≠﹣1，y∈R} D．{y|y≠﹣2，y∈R}【考点】函数的值域．【分析】由题意可得x=log2，即＞0，解得即可．【解答】解：y==﹣1+，则y+1=，则2x﹣1=，则2x=1+，则x=log2，∴＞0，解的y＞﹣1或y＜﹣2，故选：B．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出命题的否命题判断A；由两直线垂直与系数的关系求得m判断B；写出特称命题的否定判断C；由充分必要条件的判定方法判断D．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；由1×1﹣m2=0，得m=±1，∴“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误；由三角形中，A=B⇔a=b⇔sinA=sinB，得：命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题，故D正确．故选：D．5．已知函数f（x）=sin（2x+α）在时有极大值，且f（x﹣β）为奇函数，则α，β的一组可能值依次为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．【分析】通过函数的极大值判断选项中α的值，通过f（x﹣β）为奇函数，判断β值即可．【解答】解：因为函数f（x）=sin（2x+α）在时有极大值，所以函数f（x）=sin（+α）=1， +α=2kπ+，k∈Z，所以，当k=0时，．因为函数f（x）=sin（2x+α），f（x﹣β）为奇函数，即函数f（x）=sin（2x﹣2β+）是奇函数，所以﹣2β+=kπ，k∈Z，当k=0时，．α，β的一组可能值依次：．故选D．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y 的值为（）A．2 B．7 C．8 D．128【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，若x=1不满足条件x≥2，y=8输出y的值为8．故选：C．7．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；正弦函数的图象．【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：，当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A 选项对应的图象符合．故选A．8．已知双曲线的左焦点为F，直线x=2与双曲线E相交于A，B两点，则△ABF的面积为（）A．12 B．24 C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的左焦点，求出AB坐标，然后求解三角形的面积．【解答】解：双曲线的左焦点为F（﹣2，0），直线x=2与双曲线E相交于A，B两点，则A（2，3），B（2，﹣3），则△ABF的面积为：6×4=12．故选：A．9．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A．2 B．3C．3+2 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图．【解答】解：由三视图可知，这个四棱锥的侧面都是直角三角形，正方形的边长为2sin45°=，故四棱锥的高为：=3，直角三角形的直角边为=，则其侧面积为：S=2×××3+2×××=3+；故选D．10．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A．1 B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB ，动直线x +y=a （即y=﹣x +a ）在y 轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC 是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC 是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S 阴影=S △ADC ﹣S △EOC =×3×﹣×1×1= 故答案为：D ．11．已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2+（y ﹣4）2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的应用．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F 的距离减去圆的半径．【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），圆x 2+（y ﹣4）2=1的圆心为C （0，4），根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断出当P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C ．12．利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A．P=lg（1+）B．P=C．P=D．P=×【考点】频率分布直方图．【分析】利用排除法，即可判断．【解答】解：当d=5时，其概率为P==，对于B，P=，对于C，P=0，对于D，P=，故B，C，D均不符合，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．函数y=的值域是[0，] ．【考点】函数的值域．【分析】函数y=的几何意义是点（﹣2，0）与点（x，）连线的斜率，利用数形结合求解．【解答】解：函数y=的几何意义是点（﹣2，0）与点（x，）连线的斜率，作图如右图，直线n的斜率为0，直线m的斜率为；故函数y=的值域是[0，]，故答案为：[0，]．14．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为M，N，则线段MN的长为4．【考点】圆的切线方程．【分析】先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cos∠OCM，二倍角公式求出cos∠MCN，三角形MCN中，用余弦定理求出|MN|．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0 可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2 =5，圆心C（3，4）到原点的距离为5．故cos∠OCM=，∴cos∠MCN=2cos2∠OCM﹣1=﹣，∴|MN|2=（）2+（）2+2×（）2×=16．∴|MN|=4．故答案为：415．椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为．【考点】椭圆的简单性质；基本不等式．【分析】直接利用椭圆的离心率，求出a，b的关系代入表达式，通过基本不等式求出表达式的最小值．【解答】解：因为椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，所以a=2c，所以4b2=3a2，=，当且仅当a=时取等号．所以的最小值为．故答案为：．16．设0＜α＜＜β＜π，sinα=，则sinβ的值为．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】先根据α，β的范围确定α+β的取值范围，再由题中所给sinα、cos（α+β）求出sin（α+β）与cosα的值，最后将β表示为（α+β﹣α）后运用两角和与差的正弦公式可得答案【解答】解：0＜α＜＜β＜π，sinα=，∴＜α+β＜，∴cosα=，cos（α+β）=﹣，∴sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=×﹣（﹣）×=，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=na n﹣2n（n﹣1），等比数列{b n}的前n 项和为T n，公比为a1，且T5=T3+2b5．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列的前n项和为M n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I）由T5=T3+2b5，化为b4=b5，可得a1=1．由S n=na n﹣2n（n﹣1），利用递推关系可得：n≥2，a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣4（n﹣1），化为a n﹣a n﹣1=4，利用等差数列的通项公式可得a n．（II），利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．【解答】解：（I）∵T5=T3+2b5，∴T3+b4+b5=T3+2b5，∴b4=b5，∴a1=1．∵S n=na n﹣2n（n﹣1），∴n≥2，S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1﹣2（n﹣1）（n﹣2），∴n≥2，a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣4（n﹣1），即n≥2时，有a n﹣a n﹣1=4，∴{a n}为等差数列，公差为4，首项为1，∴a n=4n﹣3．（II），∴=，n≥1时，易知M n为递增数列，∴，即．18．甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，请依据上述数据估计，在第11次射击时，甲、乙两人分别获得优秀的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）先求出平均数，再求出方差，由＜，知乙比甲的射击成绩更稳．（Ⅱ）由题意得：甲运动员获得优秀的概率为，乙运动员获得优秀的概率为．【解答】解：（Ⅰ）∵x甲=，x乙=（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7，7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（5﹣7）2+（4﹣7）2+∴S2甲= [（（9﹣7）2+（10﹣7）2+（7﹣7）2+（4﹣7）2]=4，= [（9﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2]=1.2，∵＜，∴乙比甲的射击成绩更稳．（Ⅱ）由题意得：在第11次射击时，甲运动员获得优秀的概率为p1==，乙运动员获得优秀的概率为p2=．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）求四棱锥P﹣BFDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接EF交BD于O，连接OP，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，可得EF⊥OP，又EF⊂平面BFDE，即可证得平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知平面POD⊥平面DEF，进一步得到∠OPD=90°，作PH ⊥OD于H，则PH⊥平面DEF，求出PH的值，则答案可求．【解答】（Ⅰ）证明：连接EF交BD于O，连接OP．在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，∴BE=BF，DE=DF，∴△DEB≌△DFB，∴在等腰△DEF中，O是EF的中点，且EF⊥OD，因此在等腰△PEF中，EF⊥OP，从而EF⊥平面OPD，又EF⊂平面BFDE，∴平面BFDE⊥平面OPD，即平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）的证明可知平面POD⊥平面DEF，可得，，，PD=2，由于，∴∠OPD=90°，作PH⊥OD于H，则PH⊥平面DEF，在Rt△POD中，由OD•PH=OP•PD，得．又四边形BFDE的面积，∴四棱锥P﹣BFDE的体积．20．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f（0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h （x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a．（a∈R）（I）试确定函数f（x）的零点个数；（II）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．参考公式：（e t﹣x）'=﹣e t﹣x（t为常数）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可；（Ⅱ）要证x1+x2＜2，只需证x1＜2﹣x2，只需证f（x1）＞f（2﹣x2），即要证f （2﹣x2）＜0，令h（x）=﹣xe2﹣x﹣（x﹣2）e x，根据函数的单调性证明即可；【解答】解：（I）由g（x）=0得a=（2﹣x）e x，令g（x）=（2﹣x）e x，函数f（x）的零点个数即直线y=a与曲线g（x）=（2﹣x）e x的交点个数，∵g'（x）=﹣e x+（2﹣x）e x=（1﹣x）e x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由g'（x）＞0得x＜1，∴函数g（x）在（﹣∞，1）单调递增，由g'（x）＜0得x＞1，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴当x=1时，函数g（x）有最大值，g（x）max=g（1）=e，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又当x＜2时，g（x）＞0，g（2）=0，当x＞2时g（x）＜0，∴当a＞e时，函数f（x）没有零点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a=e或a≤0时，函数f（x）有一个零点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当0＜a＜e时，函数f（x）有两个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）证明：函数f（x）的零点即直线y=a与曲线g（x）=（2﹣x）e x的交点横坐标，不妨设x1＜x2，由（I）知x1＜1，x2＞1，得2﹣x2＜1，∵函数g（x）=（2﹣x）e x在（﹣∞，1）上单调递增，∴函数f（x）=﹣g（x）+a在（﹣∞，1）单调递减，要证x1+x2＜2，只需证x1＜2﹣x2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴只需证f（x1）＞f（2﹣x2），又f（x1）=0，即要证f（2﹣x2）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵由a=g（x2）得，（x2＞1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令h（x）=﹣xe2﹣x﹣（x﹣2）e x，则h'（x）=（1﹣x）（e x﹣e2﹣x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x＞1时，e x＞e2﹣x，h'（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）=0，∴当x2＞1时，f（2﹣x2）＜0，即x1+x2＜2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣证法二：由（Ⅰ）知，a＞0，不妨设x1＜1＜x2，设F（x）=f（x）﹣f（2﹣x）（x＞1），则F（x）=（x﹣2）e x+xe2﹣x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣F'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣e x），易知y=e2﹣x﹣e x是减函数，当x＞1时，e2﹣x﹣e x＜e﹣e=0，又1﹣x＜0，得F'（x）＞0，所以F（x）在（1，+∞）递增，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞f（2﹣x）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由x2＞1得f（x2）＞f（2﹣x2），又f（x2）=0=f（x1），所以f（2﹣x2）＜f（x1），由g（x）=（2﹣x）e x在（﹣∞，1）上单调递增，得f（x）=﹣g（x）+a在（﹣∞，1）单调递减，又2﹣x2＜1，∴2﹣x2＞x1，即x1+x2＜2，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣】请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C参数方程消去参数θ，能求出曲线C的方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的直角坐标方程．（2）设曲线C上的点为（，sinθ），利用点到直线的距离公式能求出曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【解答】解：（1）曲线C参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的方程为，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．即=2，整理，得ρcosθ+ρsinθ=4，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0．（2）设曲线C上的点为（，sinθ），∴曲线C上的点到直线l的距离：．∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由不等式f（x）＜1求得2a﹣1＜x＜2a+1，再根据不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，求得a的值．（2）令g（x）=f（x）+x=|x﹣2a|+x=，可得g（x）的最小值为2a，根据题意可得2a＜3，由此求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R，∴不等式f（x）＜1 即|x﹣2a|＜1，求得2a﹣1＜x＜2a+1．再根据不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，求得a=1．（2）令g（x）=f（x）+x=|x﹣2a|+x=，故g（x）=f（x）+x的最小值为2a，根据题意可得2a＜3，a＜，故a的范围是（﹣∞，）．2017年4月21日。
2016-2017学年四川省成都市龙泉实验中学高二(上)入学数学试卷(解析版)
2016-2017学年四川省成都市龙泉实验中学高二（上）入学数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9）和B（10，﹣1，6）为端点的线段长是（）A．49B．45C．7D．32．（5分）设a，b，c∈R，且b＞a，则下列命题一定正确的是（）A．bc＞ac B．b3＞a3C．b2＞a2D．＜3．（5分）已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]4．（5分）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则k 的值是（）A．1或3B．1或5C．3或5D．1或25．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出A的值为（）6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a3•a7＝9，则log3a4+log3a5+log3a6＝（）A．1B．2C．3D．47．（5分）若，是两个单位向量，且（2+）•（﹣2+3）＝2﹣1，则，的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）设A为圆（x﹣1）2+y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2＝4B．（x﹣1）2+y2＝2C．y2＝2x D．y2＝﹣2x9．（5分）函数y＝sin（2x+）的单调减区间为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）10．（5分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P，若＝λ+μ，则λ等于（）A．B．﹣1C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x＝对称12．（5分）三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC且P A＝2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）已知x、y∈R+，且满足+＝2，则8x+y的取值范围是．14．（5分）将一根长为10cm的细铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，则所围成矩形的面积大于6cm2的概率为．15．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）＝2，则不等式f（x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝A sin x+cos x，A＞0．（1）若A＝1，求f（x）的单调递增区间；（2）函数f（x）在x＝x0处取得最大值，求cos x0 的值．18．（12分）如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM＝3km，且∠AOM＝β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα＝2，cosβ＝，AO＝15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．19．（12分）在△ABC中，直线AB的方程为3x﹣2y﹣1＝0，直线AC的方程为2x+3y﹣18＝0．直线BC的方程为3x+4y﹣m＝0（m≠25）．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．20．（12分）已知{a n}是各项均为正数的数列，{b n}是等差数列，且a1＝b1＝1，a5﹣3b2＝7.+（2﹣a n+1）a n﹣a n+1＝0（n∈N*）（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠ABC＝60°，P A⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，点H在PD上，且EH⊥PD，P A＝AB＝2．（1）求证：EH∥平面PBA；（2）求三棱锥P﹣AFH的体积．22．（12分）已知A，B分别是直线y＝x和y＝﹣x上的两个动点，线段AB的长为2，D 是AB的中点．（1）求动点D的轨迹C的方程；（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，①当|PQ|＝3时，求直线l的方程；②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省成都市龙泉实验中学高二（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．【解答】解：|AB|＝＝＝7．故选：C．2．【解答】解：∵b＞a，当c≤0时，bc≤ac，故A错误；y＝x3为增函数，故b3＞a3，故B正确；b＝1，a＝﹣1时，满足b＞a，但b2＝a2，故C错误；b＞0＞a时，＞，故D错误；故选：B．3．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．4．【解答】解：由两直线平行得，当k﹣3＝0时，两直线的方程分别为y＝﹣1 和y＝，显然两直线平行．当k﹣3≠0时，由＝≠，可得k＝5．综上，k的值是3或5，故选：C．5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得A＝1，i＝1A＝，i＝2满足条件i≤10，A＝，i＝3满足条件i≤10，A＝，i＝4满足条件i≤10，A＝，i＝5满足条件i≤10，A＝，i＝6满足条件i≤10，A＝，i＝7满足条件i≤10，A＝，i＝8满足条件i≤10，A＝，i＝9满足条件i≤10，A＝，i＝10满足条件i≤10，A＝，i＝11不满足条件i≤10，退出循环，输出A的值为，故选：C．6．【解答】解：∵在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3•a7＝9，∴a3•a7＝（a5）2＝9，∴a5＝3，∴log3a4+log3a5+log3a6＝log3（a4×a5×a6）＝log3a53＝＝3．故选：C．7．【解答】解：∵（2+）•（﹣2+3）＝2﹣1，∴﹣4+3+4＝2﹣1．∵＝＝1，∴＝．∴cos＜，＞＝＝．∴＜，＞＝．故选：A．8．【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，其轨迹方程为（x﹣1）2+y2＝2．故选：B．9．【解答】解：令：，t＝sin（2x+）根据对数函数的定义域可得sin（2x+）＞0，∴2kπ＜2x+＜2kπ+π，由复合函数的单调性可知，∴2kπ＜2x+≤2kπ+∴kπ＜x≤kπ+∴函数的单调减区间为（k∈Z）故选：B．10．【解答】解：以BC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB＝，则：A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）；根据正切的二倍角公式：设tan22.5＝x，则，且x＞0；∴解得x＝；∴直线BE的方程为；∴令x＝0，y＝，即；∴，；∴；∴；解得．故选：D．11．【解答】解：由题意可得＝π，解得ω＝2，故函数f（x）＝sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin[2（x﹣）+φ]＝sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ＝﹣，故函数f（x）＝sin（2x﹣），故当x＝时，函数f（x）＝sin＝1，故函数f（x）＝sin（2x﹣）关于直线x＝对称，故选：D．12．【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为的正三角形，P A⊥底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以P A为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r＝＝1，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，故球的半径R＝＝，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4πR2＝8π，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．【解答】解：∵x、y∈R+，且满足+＝2，∴8x+y＝（+）（8x+y）＝（10++）≥（10+8）＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝3时，取等号，∴8x+y的取值范围是[9，+∞）．故答案为：[9，+∞）．14．【解答】解：10厘米剪成两段，设为x，10﹣x（0＜x＜10）．S＝x（10﹣x）＞6，∴4＜x＜6所以概率为＝．故答案为：．15．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E＝2EB，CF＝2FC1，所以BE：CF＝1：2所以SB：SC＝1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS＝a，BP＝，BE＝，在RT△PBE中，tan∠EPB ＝＝＝，故答案为：16．【解答】解：因为f（x）是在R上的奇函数，f（﹣1）＝2，所以f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x﹣1）+2≤0为：f（x﹣1）≤﹣2＝f（1），所以0＜x﹣1≤1，解得1＜x≤2，所以不等式f（x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为（1，2]，故答案为：（1，2]．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）∵由题意可得：f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），∴由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．（2）∵f（x）＝A sin x+cos x＝sin（x+φ），其中tanφ＝，且函数f（x）在x＝x0处取得最大值，∴sin（x0+φ）＝1，其中tanφ＝，＝，∴由A＞0，解得：A＝2，sinφ＝＝，x0+φ＝2kπ+，k∈Z，∴x0＝2kπ+﹣φ，k∈Z，∴cos x0 ＝cos（2kπ+﹣φ）＝sinφ＝．18．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△AOM中，A0＝15，∠AOM＝β，且cosβ＝，OM＝3，由余弦定理可得：AM2＝OA2+OM2﹣2OA•OM•cos∠AOM＝（3）2+152﹣2××15×＝72．所以可得：AM＝6，大学M在站A的距离AM为6km．…6分（2）∵cos，且β为锐角，∴sinβ＝，在△AOM中，由正弦定理可得：＝，即＝，∴sin∠MAO＝，∴∠MAO＝，∴∠ABO＝α﹣，∵tanα＝2，∴sin，cosα＝，∴sin∠ABO＝sin（）＝，又∵∠AOB＝π﹣α，∴sin∠AOB＝sin（π﹣α）＝．在△AOB中，AO＝15，由正弦定理可得：＝，即，∴解得AB＝30，即铁路AB段的长AB为30km．…12分19．【解答】解：（1）∵直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，k AB k AC＝﹣1，∴直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形．（2）解方程组，得，即A（3，4）．设点A到直线BC的距离为d，则．由题意知d＝1，即，即m＝20或30．20．【解答】解：（1）由得：a n+1（a n+1）＝2a n（a n+1）．∵因为{a n}的各项都为正数，∴．故{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，因此数列{a n}的通项公式为．设数列{b n}的公差为d，由a5﹣3b2＝7，b1＝1得d＝2，∴数列{b n}的通项公式为b n＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知c n＝（2n﹣1）•2n﹣1，设{c n}的前n项和为S n，则S n＝1×20+3×21+5×22+…+（2n﹣3）×2n﹣2+（2n﹣1）×2n﹣1，2S n＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n，上述两式相减，得﹣S n＝1+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）×2n＝2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n＝﹣（2n﹣3）×2n﹣3，所以S n＝（2n﹣3）•2n+3，n∈N*．21．【解答】（1）证明：∵平面ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵P A＝AB，∴P A＝AD，∵AB＝BC，∠B＝60°，BE＝EC，∴∠BAE＝30°，∴∠EAD＝90°，∵P A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴P A⊥AE，即∠P AE＝90°，∴△P AE≌△DAE，∴PE＝PD，∵EH⊥PD，∴H为PD的中点，∵FH∥CD∥AB，∴FH∥平面P AB，∵E，F分别为BC，PC的中点∴EF∥AB，∵AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB，∵EF∩FH＝H，EF⊂平面EFH，FH⊂平面EFH，∴平面EFH∥平面P AB，∵EH⊂平面EFH，∴EH∥平面P AB．（2）∵F，H为中点，∴V P﹣AFH＝V P﹣ACD＝•••2•2•sin60°•2＝22．【解答】解：（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），∵D是AB的中点，∴x＝，y＝，∵|AB|＝2，∴（a﹣b）2+（a+b）2＝12，∴（2y）2+（2x）2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2+y2＝3．（2）①当直线l与x轴垂直时，P（1，），Q（1，﹣），此时|PQ|＝2，不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为，由＝，解得k＝±．故直线l的方程为y＝±（x﹣1）．②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k（x﹣1），由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则由韦达定理得x1+x2＝，x1x2＝，则＝（m﹣x1，﹣y1），＝（m﹣x2，﹣y2），∴•＝（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2＝m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2＝m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝m2﹣++k2（﹣+1）＝要使上式为定值须＝1，解得m＝1，∴•为定值﹣2，当直线l的斜率不存在时P（1，），Q（1，﹣），由E（1，0）可得＝（0，﹣），＝（0，），∴•＝﹣2，综上所述当E（1，0）时，•为定值﹣2．。
四川省成都市龙泉驿区一中2017届高三(下)入学数学试卷(解析版)(理科)
2016-2017学年四川省成都市龙泉驿区一中高三（下）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|ax2+x﹣3=0}，B={x|3≤x＜7}，若A∩B≠∅，则实数a的取值集合为（）A．[﹣，0]B．[﹣，﹣）C．（﹣，0] D．[﹣，0]2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知f（x）=﹣x+sinx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x）≥04．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．5．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A． B． C． D．6．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．D．7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，则m的值为（）A．±4 B．±2C．±2D．±58．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣] C．[，]D．[，+∞）11．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．512．要得到函数y=2sin（2x+）的图象，应该把函数y=cos（x﹣π）﹣sin（x﹣）的图象做如下变换（）A．将图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变B．沿x向左平移个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的2而纵坐标不变C．先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿x向右平移个单位D．先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿x向左平移个单位二、填空题（本体包括4小题，每小题5分，共20分）13．二项式的展开式中的常数项为．14．已知f（x）=（1+x）m+（1+3x）n（m、n∈N*）的展开式中x的系数为11．（1）求x2的系数的最小值；（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．15．已知直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点，则斜率k的取值范围为．16．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是 ．（填命题的序号）三、解答题（本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知函数f （x ）=cosx （sinx +cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sinα=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．18．（12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P （A ）的估计值；（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P （B ）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．19．（12分）边长为2的正方形ABCD 所在的平面与△CDE 所在的平面交于CD ，且AE ⊥平面CDE ，AE=1．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）设点F 是棱BC 上一点，若二面角A ﹣DE ﹣F 的余弦值为，试确定点F在BC 上的位置．20．（12分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足：2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0且a n≠0．数列{b n}中，b1=f（0）且b n=f（a n﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n a n+1}的前n项和S n；（3）求数列{|b n|}的前n项和T n．21．（12分）已知a为实常数，函数f（x）=lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在（1，+∞）是减函数，求实数a的取值范围；（2）当0＜a＜1时函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），求证：＜x1＜1且x1+x2＞2．（注：e为自然对数的底数）；（3）证明+++…+＜（n∈N*，n≥2）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．2016-2017学年四川省成都市龙泉驿区一中高三（下）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|ax2+x﹣3=0}，B={x|3≤x＜7}，若A∩B≠∅，则实数a的取值集合为（）A．[﹣，0]B．[﹣，﹣）C．（﹣，0] D．[﹣，0]【考点】交集及其运算．【分析】分离参数，转化为二次函数求值域问题，即可得出结论．【解答】解：由ax2+x﹣3=0，可得a=3（﹣）2﹣，∵3≤x＜7，∴＜，∴=时，a的最小值为﹣，=时，a的最大值为0，故选A．【点评】本题考查集合的运算，考查二次函数的性质，正确转化是关键．2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=1+3i，得，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知f（x）=﹣x+sinx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x）≥0【考点】全称命题；特称命题．【分析】先判断命题P的真假性，再写出该命题的否定命题即可．【解答】解：∵f（x）=﹣x+sinx，∴f′（x）=﹣1+cosx≤0∴f（x）是定义域上的减函数，∴f（x）≤f（0）=0∴命题P：∀x∈（0，），f（x）＜0，是真命题；∴该命题的否定是¬P：∃x0∈（0，），f（x0）≥0．故选：D．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了命题与命题的否定之间的关系，是基础题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中正方形为底面的四棱锥，切去一个以俯视图中虚线部分为底面的三棱锥得到的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中正方形为底面的四棱锥，切去一个以俯视图中虚线部分为底面的三棱锥得到的组合体，大四棱锥的体积V=×2×2×2﹣××1×2×1=，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．5．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A． B． C． D．【考点】平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选D【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．6．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离为=，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=，求得T=6，再根据T==6，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=2，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，则m的值为（）A．±4 B．±2C．±2D．±5【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质，求出抛物线的焦点坐标，转化求解即可．【解答】解：抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2），可知抛物线的开口向下，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，可得准线方程为：y=3，焦点坐标（0，﹣3），则：=5，解得m=±2．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．8．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，作出椭圆的图象，分析可得A的坐标，将A的坐标代入椭圆方程可得+=1，①；结合椭圆的几何性质a2=b2+c2，②；联立两个式子，解可得c=（﹣1）a，由离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，如图，设F（0，c），又由△OAF是等边三角形，则A（，），A在椭圆上，则有+=1，①；a2=b2+c2，②；联立①②，解可得c=（﹣1）a，则其离心率e==﹣1；故选：A．【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是结合题意，由等边三角形的性质表示出A的坐标．9．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．10．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣] C．[，]D．[，+∞）【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，等价于不等式（sin cos+cos2﹣）min≥m对于x∈[﹣，]恒成立，令f（x）=sin cos+cos2﹣，求x∈[﹣，]的最小值即可．【解答】解：由题意，令f（x）=sin cos+cos2﹣，化简可得：f（x）=+（cos）==sin（）∵x∈[﹣，]∴∈[，]当=时，函数f（x）取得最小值为．∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选B．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．11．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】系统抽样方法．【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．12．要得到函数y=2sin（2x+）的图象，应该把函数y=cos（x﹣π）﹣sin（x﹣）的图象做如下变换（）A．将图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变B．沿x向左平移个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的2而纵坐标不变C．先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿x向右平移个单位D．先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿x向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再来一用诱导公式以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=cos（x﹣π）﹣sin（x﹣）=2cos[（x﹣）+]=2cos（x+）=2sin（+x+）=2sin（x+）的图象，先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，可得y=2sin （2x +）的图象，再将所得图象沿x 向右平移个单位，可得y=2sin （2x ﹣+）=2sin （2x +）的图象， 故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，诱导公式以及函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，属于基础题．二、填空题（本体包括4小题，每小题5分，共20分）13．二项式的展开式中的常数项为 24 ．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的系数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 T r +1=•x 4﹣r •2r •x ﹣r =•x 4﹣2r ．令x 的幂指数4﹣2r=0，解得 r=2，故展开式中的常数项为=4×6=24，故答案为 24．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．已知f （x ）=（1+x ）m +（1+3x ）n （m 、n ∈N *）的展开式中x 的系数为11．（1）求x 2的系数的最小值；（2）当x 2的系数取得最小值时，求f （x ）展开式中x 的奇次幂项的系数之和． 【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x 的系数，列出方程得到m ，n 的关系；利用二项展开式的通项公式求出x 2的系数，将m ，n 的关系代入得到关于m 的二次函数，配方求出最小值（2）通过对x 分别赋值1，﹣1，两式子相加求出展开式中x 的奇次幂项的系数之和．【解答】解：（1）由题意得：=11，即：m+3n=11．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）x2的系数为：==9（n﹣2）2+19﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当n=2时，x2的系数的最小值为19，此时m=5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）可知：m=5，n=2，则f（x）=（1+x）5+（1+3x）2设f（x）的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）令x=1，则f（1）=a0+a1+a2+a3+a4+a5令x=﹣1，则f（﹣1）=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）则a1+a3+a5==22，所求系数之和为22﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．15．已知直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点，则斜率k的取值范围为（﹣，）．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】法一、由题意画出图形，求出双曲线的渐近线方程，结合对任意实数m，直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点即可得到k的取值范围；法二、联立直线方程和双曲线方程，由二次项系数不为0，且判别式大于0恒成立即可求得k的范围．【解答】解：法一、由双曲线=1，得a2=9，b2=4，∴a=3，b=2．∴双曲线的渐近线方程为y=，如图，∵直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点，∴＜k＜．法二、联立，得（4﹣9k2）x2﹣18kmx﹣9m2﹣36=0．∴，即，∴．故答案为：（﹣，）．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是①③．（填命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据题设中提供的可换命题的定义，对四个命题进行验证，四个命题交换后分别是①垂直于同一直线的两个平面平行；②垂直同一直线的两条直线平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④平行于同一直线的两个平面平行．根据相关条件对其进行判断，得出正确命题．【解答】解：由题意，四个命题交换后所得命题分别是①垂直于同一直线的两个平面平行；正确命题②垂直同一直线的两条直线平行不是正确命题，在此情况下两直线的位置关系可能是相交、平行、异面；错误③平行于同一平面的两个平面平行是正确命题，平面的平行关系具有传递性；正确④平行于同一直线的两个平面平行不是正确命题，在此条件下两平面可能是相交与平行关系．错误综上①③是“可换命题”故答案为：①③【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是对四个命题所涉及的知识点熟练掌握理解并能灵活应用，三、解答题（本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f （x ），求出f （x ）的最小正周期与单调增区间即可． 【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f （α）=cosα（sinα+cosα）﹣ =×（+）﹣=；（2）∵函数f （x ）=cosx （sinx +cosx ）﹣ =sinxcosx +cos 2x ﹣ =sin2x +﹣=（sin2x +cos2x ） =sin （2x +），∴f （x ）的最小正周期为T==π； 令2kπ﹣≤2x +≤2kπ+，k ∈Z ，解得kπ﹣≤x ≤kπ+，k ∈Z ；∴f （x ）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z ．【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目．18．（12分）（2016•新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．【解答】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保，P（A）的估计值为：=；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为：=；（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为==1.1925a．【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．19．（12分）（2015秋•嘉兴期末）边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE 所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（Ⅱ）设点F是棱BC上一点，若二面角A﹣DE﹣F的余弦值为，试确定点F 在BC上的位置．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥CD，AD⊥CD，得CD⊥面ADE，由此能证明平面ABCD ⊥平面ADE．（Ⅱ）以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，过D作平面CDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出当点F满足时，二面角A ﹣DE﹣F的余弦值为．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，…（2 分）又∵AD⊥CD，AE∩AD=A，∴CD⊥面ADE，…（4分）又CD⊂面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．…（6分）（Ⅱ）∵CD⊥DE，∴如图，以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，过D作平面CDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则：，∴，∴，…（8分）设，λ∈[0，1]则…（10分）设平面FDE的法向量为，则，取z=﹣2，得，…（12分）又平面ADE的法向量为，∴，∴，…（14分）故当点F 满足时，二面角A ﹣DE ﹣F 的余弦值为…（15分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016秋•通榆县校级期中）已知函数f （x ）=，数列{a n }满足：2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0且a n ≠0．数列{b n }中，b 1=f （0）且b n =f （a n ﹣1）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n a n +1}的前n 项和S n ； （3）求数列{|b n |}的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0得．（2）裂项求和即可；（3）b n ==7﹣（n +1）=6﹣n ．当n ≤6时，T n =（5+6﹣n ）=；当n ≥7时，T n =15+（1+n ﹣6）=．【解答】解：（1）由2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0得．所以数列{}是等差数列．而b 1=f （0）=5，所以=5，7a 1﹣2=5a 1，所以a 1=1，=1+（n ﹣1），所以a n =．（2）a n a n +1==4（）=．（3）因为a n =．所以b n ==7﹣（n +1）=6﹣n ．当n ≤6时，T n =（5+6﹣n ）=；当n ≥7时，T n =15+（1+n ﹣6）=．所以，T n =【点评】本题考查了数列的递推式，数列求和，属于中档题．21．（12分）（2017春•揭东区校级月考）已知a 为实常数，函数f （x ）=lnx ﹣ax +1．（1）若f （x ）在（1，+∞）是减函数，求实数a 的取值范围；（2）当0＜a ＜1时函数f （x ）有两个不同的零点x 1，x 2（x 1＜x 2），求证：＜x 1＜1且x 1+x 2＞2．（注：e 为自然对数的底数）；（3）证明+++…+＜（n ∈N *，n ≥2）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，即可求出，（2）分两部分证明，根据导数函数的最值得关系，可证明＜x 1＜1，再证根据导数和函数单调性的关系可得f （x 2）=0，则有f （﹣x 1）＞f （x 2），问题得以证明，（3）根据数列的函数特征，得到lnn 2＜n 2﹣1，即＜，累加即可证明．【解答】解：（1）因f （x ）=lnx ﹣ax +1，则f°（x ）=﹣a=，又f （x ）在（1，+∞）是减函数，所以1﹣ax≤0在（1，+∞）时恒成立，∴a≥在（1，+∞）时恒成立，∵y=在（1，+∞）为减函数，∴a≥1则实数a的取值范围为[1，+∞）（2）证明：因当0＜a＜1时函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），则有lnx1﹣ax1+1=lnx2﹣ax2+1=0，则有a==．设g（x）=（x＞0），则g′（x）=．当0＜x＜1 时，g′（x）＞0；当x＞1 时，g′（x）＜0；所以g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，g（x）最大值为g（1）=1．由于g（x1）=g（x2），且0＜a＜1，所以0＜=＜1，又x1＜x2，所以＜x1＜1．下面证明：当0＜x＜1时，lnx＜．设h（x）=lnx﹣，x＞0，则h′（x）=＞0．则h（x）在（0，1]上是增函数，所以当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0．即当0＜x＜1时，lnx＜．由0＜x1＜1得h（x1）＜0．所以ln 1＜．所以＜，即a ＜，x 1（﹣x 1）＞1，lnx 1+ln （﹣x 1）＞0．又ax 1=1+lnx 1，所以ax 1﹣1+ln （﹣x 1）＞0，ax 1+ln （﹣x 1）＞1．所以f （﹣x 1）=ln （﹣x 1）﹣a （﹣x 1）+1=ln （﹣x 1）+ax 1﹣1＞0，而f （x 2）=0，则有f （﹣x 1）＞f （x 2）．由（1）知f′（x ）=﹣a=，则f （x ）在（0，）内单调递增，在（，+∞）内单调递减，由0＜x 1＜＜x 2，得﹣x 1＞x 2，所以＜x 1＜1且x 1+x 2＞2．（3）证明：由（1）知当a=1时，f （x ）=lnx ﹣x +1在（1，+∞）上是减函数，且f （1）=0所以当x ∈（1，+∞）时恒有lnx ﹣x +1＜0，即lnx ＜x ﹣1，当n ∈N *，n ≥2时，有lnn 2＜n 2﹣1，即＜，累加得：++…+＜（1+2+3…+（n ﹣1））=，（n ∈N *，n ≥2时）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式的证明等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力、推理论证能力，本题综合性强，能力要求较高．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•四川模拟）在平面直角坐标系中，曲线C 1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．【点评】本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•兴庆区校级一模）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围得到相对应的f（x）的表达式，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集．【解答】解：（1）当x≤﹣1时，f（x）=3，成立；当﹣1＜x＜2时，f（x）=﹣2x+1，﹣4＜﹣2x＜2，∴﹣3＜﹣2x+1＜3，成立；当x≥2时，f（x）=﹣3，成立；故﹣3≤f（x）≤3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当x≤﹣1时，x2﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤2，∴x=1；当﹣1＜x＜2时，x2﹣2x≤﹣2x+1，∴﹣1≤x≤1，∴﹣1＜x≤1；当x≥2时，x2﹣2x≤﹣3，无解；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）综合上述，不等式的解集为：[﹣1，1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查绝对值函数，考查分类讨论的数学思想，确定函数的解析式是关键．。
2016-2017年四川省成都市龙泉中学高二下学期入学数学试卷及答案(理科)
2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高二（下）入学数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R2．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+1＜0，则（）A．￢p：∀x∈R，x2+1＞0 B．￢p：∃x∈R，x2+1＞0C．￢p：∀x∈R，x2+1≥0 D．￢p：∃x∈R，x2+1≥03．（5分）点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π4．（5分）设数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2016=（）A．2016 B．1680 C．1344 D．10085．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．26．（5分）已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．3 C．D．7．（5分）已知A，B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列的前10项和（n∈N*）B．求数列的前10项和（n∈N*）C．求数列的前11项和（n∈N*）D．求数列的前11项和（n∈N*）9．（5分）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E 是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log2），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a12．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．（5分）已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），若（﹣）⊥，则k=．14．（5分）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则+的最小值为．15．（5分）人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是r1，r2，则卫星轨道的离心率=．16．（5分）设F 1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y 轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=．（1）若b=3，求sinA的值；=3，求b，c的值．（2）若△ABC的面积S△ABC18．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n•（a n+1）}的前n项和T n．19．（12分）已知双曲线C与椭圆+=1共焦点，且它们的离心率之和为，求双曲线C的标准方程及其渐进线方程．20．（12分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数与平均数．（注：将频率视为相应的概率）21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点．（1）证明：PC⊥平面BEF；（2）求平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C：C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点A（﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+t（t≠﹣a）与椭圆C交于不同两点B，C，且满足AB⊥AC．求证：直线l过定点，并求出定点M的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过A作AD⊥l，垂足为D，求D的轨迹方程．2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高二（下）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B=A，∴B⊆A．考查各选项，{0，1}⊆A．故选A．2．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+1＜0，则（）A．￢p：∀x∈R，x2+1＞0 B．￢p：∃x∈R，x2+1＞0C．￢p：∀x∈R，x2+1≥0 D．￢p：∃x∈R，x2+1≥0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＜0的否定是￢p：∀x∈R，x2+1≥0，故选：C3．（5分）点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到定点A的距离|PA|＜1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积S=1正方形阴影部分的面积故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P==故选：C4．（5分）设数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2016=（）A．2016 B．1680 C．1344 D．1008【解答】解：∵a n=ncos，∴a1=1×cos=1×=，a2=2cos=2×（﹣）=﹣1，a3=3cosπ=﹣3，a4=4cos=4×（﹣）=﹣2，a5=5cos=5×=，a6=6cos2π=6×1=6，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣1﹣3﹣2++6=3，同理可得a7+a8+a9+a10+a11+a12=3，故S2016=×3=1008，故选：D5．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中侧面是正三角形，底面ABCD是正方形，且底面ABCD⊥侧面PAB．∴该几何体的体积V==．故选；B．6．（5分）已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．3 C．D．【解答】解：∵=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），∴=（﹣2﹣2k，7），∵（﹣2）⊥，∴（﹣2）•=﹣2﹣2k+14=0，解得k=6，∴=（6，﹣3），||==3．故选：A．7．（5分）已知A，B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（x，y），实轴两顶点坐标为（±a，0），则∵点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，∴•=2，∴=+1，∵﹣=1，∴+1﹣=1，∴b2=2a2，∴c2=a2+b2=3a2，∴c=a，∴e==，故选：B．8．（5分）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列的前10项和（n∈N*）B．求数列的前10项和（n∈N*）C．求数列的前11项和（n∈N*）D．求数列的前11项和（n∈N*）【解答】解：根据题意，s=s+n=n+2∴数列为又∵K≤10∴计算的是求数列的前10项和（n∈N*）故答案为：B9．（5分）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C【解答】解：由题意可知球的体积为，则c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），由此可得，而球的表面积为S（t）=4πR2（t），=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），所以V表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=即V表故选D10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E 是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA．∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）．又∵∠PBO=45°，BO=1，∴PO=1，PB=在Rt△AOB中，AO=AB•cos30°==OP，∴在Rt△POA中，PA=2，∴EF=1．∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，∴△ABD为正三角形．∴DF=，∵PB=PD=，BD=2，∴△PBD为等腰直角三角形，∴DE==，∴cos∠DEF==．即异面直线DE与PA所成角的余弦值为．故选：B．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log2），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：根据题意，函数f（x）=2|x﹣m|﹣1为偶函数，即f（﹣x）=f（x），则有2|x﹣m|﹣1=2|﹣x﹣m|﹣1，解可得：m=0，即f（x）=2|x|﹣1，所以，，所以c＜a＜b，故选C．12．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：设|MF|=a，|NF|=b．由抛物线定义，结合梯形中位线定理可得2|PQ|=a+b，由勾股定理得，|MN|2=a2+b2配方得，|MN|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2，得到|MN|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．（5分）已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），若（﹣）⊥，则k=12．【解答】解：∵向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），∴=（3﹣k，3），∵（﹣）⊥，∴=3﹣k+9=0，解得k=12．故答案为：12．14．（5分）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则+的最小值为3．【解答】解：，当且仅当x=y=1时取等号．所以的最小值为3．故答案为：315．（5分）人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是r1，r2，则卫星轨道的离心率=．【解答】解：椭圆的离心率：e=∈（0，1），（c，半焦距；a，长半轴）所以只要求出椭圆的c和a，由题意，结合图形可知，a=，c=OF1==，所以e===．故答案为：．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y 轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是②③④．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．【解答】解：①以线段F1，F2为直径的圆O的半径R=c，则B（0，c），D（0，c），则线段BD不是双曲线的虚轴；故①错误，②∵三角形PF1F2是直角三角形，∴PF12+PF22=4c2，又PF1﹣PF2=2a，则平方得PF12+PF22﹣2PF1PF2=4c2，即4a2﹣2PF1PF2=4c2，则PF1PF2=2c2﹣2a2=2b2，则△PF1F2的面积为S=PF1PF2=2b2=b2，故②正确，③由得或，即M（a，b），N（﹣a，﹣b），则AN⊥x轴，若∠MAN=120°，则∠MAx=30°，则tan30°==，平方得=，即=，则双曲线C的离心率e=====；故③正确，④设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2分与内切圆的切点分别为M1、N1，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM1|=|PN1|，故|M1F1|﹣|N1F2 |=2a，即|HF1|﹣|HF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故（x+c）﹣（c﹣x）=2a，∴x=a．即△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．故④正确，故答案为：②③④三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=．（1）若b=3，求sinA的值；=3，求b，c的值．（2）若△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）因为，所以．由正弦定理，得．（2）因为，所以．由余弦定理，得．所以．18．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n•（a n+1）}的前n项和T n．【解答】解：（1）证明：a n+1=（2a n+1）+1=2（a n+1）+1于是…（4分）即数列{a n+1}是以2为公比的等比数列．因为，所以…（6分）（2）①2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1②…（8分）①﹣②得…（10分）==﹣2﹣（n﹣1）•2n+1故…（12分）19．（12分）已知双曲线C与椭圆+=1共焦点，且它们的离心率之和为，求双曲线C的标准方程及其渐进线方程．【解答】解：椭圆+=1的焦点为（±4，0），a=5，b=3，c=4，离心率为e==，…（2分）∴双曲线C的焦点为（±4，0），离心率为e=﹣=4，…（4分）设双曲线C：，（a＞b＞0），则c=4，e==4，∴a=1，则b2=c2﹣a2=15，故双曲线C：，…（8分）其渐进线方程为：y=x或y=﹣x．…（12分）20．（12分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数与平均数．（注：将频率视为相应的概率）【解答】解：（I）a=0.1﹣（0.03+0.025+0.02+0.01）=0.015，估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为0.85（Ⅱ）从这5名学生代表中任选两人的所有选法共有10种，分别为：AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN，代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为：AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN，设”学生代表M，N至少一人被选中”为事件D，P（D）=∴学生代表M，N至少一人被选中的概率为．（Ⅲ）由频率分布直方图得样本的中位数为：=75，平均数为：55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.015×10=76.5．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点．（1）证明：PC⊥平面BEF；（2）求平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP=AB=2，BC=AD=2，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．又E，F分别是AD，PC的中点，∴E（0，，0），F（1，，1）．…（2分）∴=（2，2，﹣2），=（﹣1，，1），=（1，0，1）．∴•=﹣2+4﹣2=0，•=2+0﹣2=0．…（4分）∴⊥，⊥∴PC⊥BF，PC⊥EF．又BF∩EF=F，∴PC⊥平面BEF．…（6分）（2）解：由（1）知平面BEF的一个法向量==（2，2，﹣2），…（9分）平面BAP的一个法向量==（0，2，0），∴．设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，则cosθ=|cos|===，∴平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知椭圆C：C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点A（﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+t（t≠﹣a）与椭圆C交于不同两点B，C，且满足AB⊥AC．求证：直线l过定点，并求出定点M的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过A作AD⊥l，垂足为D，求D的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，a=2，由题意知e==，∴c=1，由b2=a2﹣c2=3，椭圆C的标准方程为；…（3分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a=2，A（﹣2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），把x=my+t（t≠﹣a），代入得：（3m2+4）y2+6mty+3（t2﹣4）=0，…（4分）△=36m2t2﹣12（3m2+4）×（t2﹣4）=48（3m3+4﹣t2）＞0，∴y1+y2=﹣，y1•y2=…（5分）若AB⊥AC，•=0，则（x1+2）（x2+2）+y1•y2=（my1+t+2）（my2+t+2）+y1•y2，=（m2+1）y1•y2+m（t+2）（y1+y2）+（t+2）2，=（m2+1）•+m（t+2）（﹣）+（t+2）2，==0…（8分）∵Q≠﹣2，t=﹣，∴直线l：x=my+，即直线l恒过定点M（﹣，0）．…（9分）（Ⅲ）设D（x，y），由（Ⅱ）知直线l恒过定点M（﹣，0），∵AD⊥l，AD⊥DM，∴D的轨迹是以AM为直径的圆（除点A外），则D的轨迹方程为（x+）2+y2=（x≠﹣2）．…（12分）。
四川省成都市龙泉中学2016_2017学年高一物理新生入学考试试题
成都龙泉高中高2016级高一新生入学考试试题物理（全卷满分： 100 分时间：90 分钟）（Ⅰ卷答在机读卡上，Ⅱ卷答在答题卷上。
考试结束后，只交机读卡和答题卷。
）第Ⅰ卷（选择题，共42分）一、单项选择题：（本题共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项．．．．．．是符合题意的。
每小题3分，共18分）1．下列关于质点的理解与判断的说法中正确的是( C )A．体积小的物体都能看成质点B．质量巨大的物体都不能看成质点C．观察“嫦娥二号”发射过程某时刻到达的位置时，可将其视为质点D．研究第16届亚运会火炬传递路线时，火炬不可以视为质点2．预计我国将于2020年前发射月球登陆车,采集月球表面的一些样本后返回地球.月球登陆车返回时,由月球表面发射后先绕月球在近月圆轨道上飞行,经轨道调整后与停留在较高轨道的轨道舱对接.下列关于此过程的描述正确的是( B )A.登陆车在近月圆轨道上运行的周期与月球自转的周期相等B.登陆车在近月轨道的加速度大于在较高轨道的轨道舱的加速度C.登陆车与轨道舱对接后由于质量增加若不加速则轨道半径不断减小D.登陆车与轨道舱对接后经减速后才能返回地球3．如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动。
当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是（B）A.v1＝v2 B．v1＝v2tanθC．v1＝v2cosθ D．v1＝v2sinθ4．如右图所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为( B )A．2 m/s B．2.4 m/sC．3 m/s D．3.5 m/s5、如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。
木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。
四川省成都市龙泉中学2016-2017学年高二(下)入学数学试卷(文科)
2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高二（下）入学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意1．已知i为虚数单位，则复数等于（）A．﹣1+i B．1﹣i C．2+2i D．1+i2．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．C．{0，1，2}D．{0，2}3．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（）A．f（1）+f（3）＜2f（2）B．f（1）+f（3）＞2f（2）C．f（1）+f（3）＞f（0）+f （4）D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4）5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5051 B．5050 C．5049 D．50486．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，607．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A．cm2B．cm2C．8cm2D．14cm28．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形10．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a 的取值范围是（）A．（﹣1，5） B．（﹣∞，3）C．（3，+∞） D．（3，5）11．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：喜欢数学不喜欢数学总计男4080120女40140180总计80220300并经计算：K2≈4.545P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828请判断有（）把握认为性别与喜欢数学课有关．A．5% B．99.9% C．99% D．95%12．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分）13．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是．14．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是．15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：50，60），…，后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在0，2﹣2，20，1）∪（2，+∞）．【考点】函数的零点．【分析】原问题可转化为函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，数形结合可得答案．【解答】解：关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，等价于函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象可得：由图象可知实数k的取值范围是0，1）∪（2，+∞）15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：50，60），…，后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在70，80）内的频率等于1减去得分在与内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果．【解答】解：由题意，分数在70，80）内的人数是0.3×100=30人；故答案为：30．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．=3S，可得|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的【分析】如图所示，S△ABC方程为：y=（x﹣c），代入椭圆方程可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，利用x C×（﹣c）=，解得x C．根据，即可得出．【解答】解：如图所示，=3S，∵S△ABC∴|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y﹣0=（x﹣c），化为：y=（x﹣c），代入椭圆方程+=1（a＞b＞0），可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，∴x C×（﹣c）=，解得x C=．∵，∴c﹣（﹣c）=2（﹣c）．化为：a2=5c2，解得．故答案为：．三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，即可写出直线l的参数方程；求得圆心坐标，可得圆的直角坐标方程，利用，可得圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）求出直线l的普通方程，可得圆心到直线的距离，与半径比较，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为，∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16∵，∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）直线l的普通方程为，∴圆心到直线的距离为∴直线l和圆C相离．18．在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率之和等于1可计算出第二小组的频率；（2）由总数=频数÷频率计算出总人数，进而求出各组人数，可得中位数的位置．【解答】解：（1）∵各小组的频率之和为1，第一、三、四、五小组的频率分别是0.3，0.15，0.1，0.05，∴第二小组的频率为：1﹣（0.3+0.15+0.1+0.05）=0.4，∴落在k，k hslx3y3h，k∈Z，（2）∵f（A）=2sin（2A﹣）=2，∴2A﹣=2k，k∈Z，即有A=k，k∈Z，∵角A为△ABC中的内角，有0＜A＜π，∴k=0时，A=，B=π﹣A﹣C=，故由正弦定理可得：，解得a=，=acsinB=sin=．∴S△ABC20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．21．设椭圆C：过点（0，4），离心率为（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）利用椭圆经过的点列出方程，离心率列出方程，利用a、b、c关系式，即可求出a、b的值，即可求C的方程；（2）利用直线过点（3，0）且斜率为，写出直线方程，联立方程组，利用写出公式求出被C所截线段的长度．【解答】解：（1）将（0，4）代入C的方程得，∴b=4，又，得即，∴a=5∴C的方程为．（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入C的方程，得，即x2﹣3x﹣8=0，∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣8．∴．22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx （k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E，F到直线AB的距离分别，表示出四边形AEBF的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF面积的最大值时的k值即可．【解答】解：（1）由题意知：=∴=，∴a2=4b2．…又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…故所求椭圆C的方程为…（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又点E，F到直线AB的距离分别为，．…所以四边形AEBF的面积为==…===，…当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…2017年4月2日。
四川省成都市龙泉一中2016-2017学年高二上学期入学数学试卷(文科) 含解析
2016-2017学年四川省成都市龙泉一中高二(上）入学数学试卷（文科)一、选择题：共12小题，每小题5分,共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．经过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为4，则直线l的方程为（）A．x﹣2y+9=0或x+2y+3=0 B．2x﹣y+9=0或2x+y+3=0C．x+2y+3=0或x﹣2y+9=0 D．x+2y+9=0或2x﹣y+3=02．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（)A．B．C．﹣D．±3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.54．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点( ）A．（0，0）B．（0,1）C．（1，2）D．（1，1)5．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0},U=R，则∁U M=（）A．[2，3] B．(﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[﹣1，6］D．［﹣6，1］6．已知向量=（2,1），=（﹣1，k），⊥，则实数k 的值为( ）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣17．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间［2，3］上的实根，取区间中点x0=2。
5，则下一个有根区间是（）A．［2，2。
5] B．［2。
5,3］C．D．以上都不对8．如图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,BD∩AC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为( ）A．B．C．D．19．如图，在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中，错误的为（)A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°10．已知函数f（x)=ln（cosx），则下列说法中,错误的是（）①f（x）在定义域上存在最小值；②f（x）在定义域上存在最大值③f（x）在定义域上为奇函数；④f（x）在定义域上为偶函数．A．①③B．②④C．①②D．③④11．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（)A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变12．已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l ⊥m⇒α⊥β二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为______．14．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos(πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ______．15．将一个总体分为A,B，C三个层次,已知A，B,C的个体数之比为5：3:2，若用分层抽样法抽取容量为150的样本,则B中抽取的个体数应该为______个．16．已知矩形ABCD中,AB=2，BC=1，在矩形ABCD 内随机取一点M，则BM＜BC的概率为______．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集为实数集,集合A={x｜1＜x＜4｝，B=｛x|3x﹣1＜x+5｝．（1)求集合B及∁R A;（2）若C=｛x｜x≤a},(∁R A）∩C=C，求实数a的取值范围．18．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM 所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求:（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19．在△ABC中,角A,B，C所对的边长分别为a，b，c，B=．（1)若a=3，b=，求c的值；(2)若f(A）=sinA（cosA﹣sinA），a=，求f（A)的最大值及此时△ABC的外接圆半径．20．如图所示，圆O的半径为R,A、B、C为圆O上不同的三点，圆心O在线段AC上．(1）当AB=4,BC=3时，在圆O内任取一点P，求所取点P恰好位于△ABC内的概率;(2）当R=1,B点为圆O上的动点时，此时在圆O内任取一点Q，求点Q位于△ABC内的概率的取值范围．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C 三点满足=+．（Ⅰ)求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1,cosx）、B（1+cosx,cosx）,x∈[0，］，f（x)=•﹣（2m+）｜｜的最小值为﹣,求实数m 的值．22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形,M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ)证明：MN∥平面PAD；（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．2016—2017学年四川省成都市龙泉一中高二(上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．经过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为4，则直线l的方程为（）A．x﹣2y+9=0或x+2y+3=0 B．2x﹣y+9=0或2x+y+3=0C．x+2y+3=0或x﹣2y+9=0 D．x+2y+9=0或2x﹣y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线l的距离d,利用弦长公式：=r2即可得出．【解答】解：圆x2+y2+4y﹣21=0配方可得：x2+（y+2）2=25，可得圆心C（0，﹣2）,半径r=5．设经过点M（﹣3,﹣3)的直线l的方程为：y+3=k(x+3),化为：kx﹣y+3k﹣3=0．圆心到直线l的距离d==，∴+=52，化为：2k2﹣3k﹣2=0，解得k=2或﹣．∴直线l的方程为x+2y+9=0或2x﹣y+3=0．故选：D．2．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinC=，又AB ＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC的值．【解答】解：∵AB=2，AC=3,∠B=30°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB＜AC，C为锐角，∴cosC==．故选：A．3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.5【考点】众数、中位数、平均数．【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，求出的平均数与实际平均数的差可以求出．【解答】解：∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，而=3∴平均数少3，∴求出的平均数减去实际的平均数等于﹣3．故选B．4．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（)A．(0，0）B．(0,1）C．（1，2）D．（1，1）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数必要（1，0）点,结合函数图象的平移变换法则，可得答案．【解答】解：对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1)的图象过定点（1，0），函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象由对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1)的图象向上平移一个单位得到，故函数y=log a x+1（a＞0,且a≠1)的图象过定点（1，1），故选：D．5．设集合M={x｜x2﹣5x﹣6＞0｝，U=R，则∁M=( )UA．［2,3］ B．（﹣∞,2］∪［3，+∞)C．［﹣1,6］D．[﹣6，1］【考点】补集及其运算．【分析】先求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】解：x2﹣5x﹣6＞0即（x﹣6)(x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞6，∴M=（﹣∞．﹣1)∪（6，+∞），∴∁U M=[﹣1，6］，故选：C6．已知向量=（2，1），=(﹣1,k），⊥，则实数k 的值为( )A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．【解答】解:∵；∴；∴k=2．故选:A．7．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3］上的实根,取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A．［2,2。
四川省成都市龙泉一中、新都一中等九校2016-2017学年高一6月联考数学(理)试题含答案
2016～2017学年度（下期)高2016级六月联考试题数学(文科) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。
设,,a b c R且a b ，则下列选项中正确的是( )A 。
ac bcB 。
22ab C.33ab D 。
11a b2。
计算sin 21cos9sin 69sin 9°°°°的结果是( )A.32B.12D 。
123.已知na 为等差数列，若159aa a ，则28cosa a 的值为( ）AB.12C.32D 。
124。
已知直线,m n 和平面,，则下列四个命题中正确的是( )A 。
若,m，则mB 。
若m,n ∥，则mnC 。
若m ∥，n m ∥，则n ∥D 。
若m ∥，m ∥，则∥5.二次不等式210axbx 的解集为112x x，则ab 的值为( )A 。
6B 。
2C 。
2 D.6 6.已知、为锐角，3sin5,1tan 3，则tan ( )A.139 B 。
913 C.3 D 。
137。
水平放置的ABC △，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的'''A B C △,其中''''2O A O B ，''3O C ，则ABC △绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( ）A 。
83B 。
163C 。
833D.163128。
在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若2bac，30A°,则sin b Bc（ )A.12B 。
22C.32D.349.在公比为2的等比数列na 中，若142sin5a a ,则25cosa a 的值是( ）A.75B.1725 C 。
75 D 。
72510.如图,正四面体DABC的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox ,Oy，Oz 上，则在下列命题中，错误的是（ )A.O ABC是正三棱锥B.直线OB 与平面ACD 相交C.直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为32D.异面直线AB 和CD 所成角是90°11。
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成都龙泉二中高2016级新生入学考试试题数 学（满分150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题）一. 选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．在△ABC 中，∠C=90o ，AB=15，sinA=31，则BC 等于（ ） A ．45 B ． 5 C ． 15 D ． 1452．一元二次方程2x 2-7x+k=0的一个根是x 1=2,则另一个根和k 的值是 ( )A ．x 2=1 ，k=4B ．x 2= - 1, k= -4C ．x 2=32,k=6D ．x 2= 32-,k=-6 3．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a b c c a ---+-的结果是 （ ）A 、2aB 、2bC 、2cD 、04．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（ ）A ． 1颗B ． 2颗C ． 3颗D ． 4颗5．如图，二次函数y=﹣x 2﹣2x 的图象与x 轴交于点A 、O ，在抛物线上有一点P ，满足S △AOP =3，则点P 的坐标是（ ）A ． （﹣3，﹣3）B ． （1，﹣3）C ． （﹣3，﹣3）或（﹣3，1）D ． （﹣3，﹣3）或（1，﹣3）6．如图，AB=AC=AD ，若∠BAD=80°，则∠BCD=（ ）A ．80°B ．100°C ．140°D ．160°7．已知Rt △ACB ，∠ACB=90°，I 为内心，CI 交AB 于D ，BD=，AD=，则S △ACB =（ ）A ．12B ． 6C ．3D ．7.5 8．设a, b, c, d 都是非零实数，则四个数：-ab, ac, bd, cd （ ）A ．都是正数B ．都是负数C ．是两正两负D ．是一正三负或一负三正9．下列图中阴影部分的面积与算式122)21(|43|-++-的结果相同的是（ ）10．若不等式组 的解集为空集，则a 的取值范围是（ ） A ． a>3 B ． a ≥3 C ． a < 3 D ． a ≤ 311．已知a n=（n=1，2，3，…），我们又定义b 1=2（1﹣a 1）=，b 2=2（1﹣a 1）（1﹣a 2）=，b 3=2（1﹣a 1）（1﹣a 2）（1﹣a 3）=，…，根据你观察的规律可推测出b n =（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，△ABC 和△DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，⎪⎩⎪⎨⎧>->+-a x x x 54252ABCD点B 、C 、E 、F 在同一直线上．现从点C 、E 重合的位置出发，让△ABC 在直线EF 上向右作匀速运动，而△DEF 的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为y ，运动的距离为x ．下面表示y 与x 的函数关系式的图象大致是（ ）第Ⅱ卷（非选择题）二. 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD AB D ⊥于，AC ＝10， CD ＝6，则sinB 的值为________。
14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<+-1312412x x x x 的整数解为 15．点P （3，1﹣a ）在y=2x ﹣1上，点Q （b+2，3）在y=2﹣x 上，则a+b= ．16．如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，∠A=30°，经过点C 的切线与OB 的延长线交于点D ，则∠D 的度数为 ．17．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．三. 解答题（共6小题，共82分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.（6分）解方程：19.（本小题满分12分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆，交AB 于D，交BC于E，（1）求证：EC=ED（2）已知：AB=5，BC=6，求CD长。
20．（12分）一个口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是．（1）取出白球的概率是多少？（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？21．（本小题满分15分）已知抛物线25y x kx k =-+-．（1）求证：不论k 为何实数，此抛物线与x 轴一定有两个不同的交点；（2）若此二次函数图像的对称轴为x=1，求它的解析式；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ， 若P 为x 轴上一点，且△PAB 为等腰三角形，求点P 的坐标．22.（14分）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c 与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（6分）（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．（8分）23.（13分）已知节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）该生在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（4分）（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（4分）（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？（5分）成都龙泉二中高2016级新生入学考试试题数 学（解答版）（满分150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题）一. 选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．在△ABC 中，∠C=90o ，AB=15，sinA=31，则BC 等于（ B ） A ．45 B ． 5 C ． 15 D ． 1452．一元二次方程2x 2-7x+k=0的一个根是x 1=2,则另一个根和k 的值是 ( C )A ．x 2=1 ，k=4B ．x 2= - 1, k= -4C ．x 2=32,k=6D ．x 2= 32-,k=-6 3．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a b c c a ---+-的结果是 （ D ）A 、2aB 、2bC 、2cD 、04．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（ B ）A ． 1颗B ． 2颗C ． 3颗D ． 4颗5．如图，二次函数y=﹣x 2﹣2x 的图象与x 轴交于点A 、O ，在抛物线上有一点P ，满足S △AOP =3，则点P 的坐标是（ D ）A ． （﹣3，﹣3）B ． （1，﹣3）C ． （﹣3，﹣3）或（﹣3，1）D ． （﹣3，﹣3）或（1，﹣3）6．如图，AB=AC=AD ，若∠BAD=80°，则∠BCD=（ C ）A ．80°B ．100°C ．140°D ．160°7．已知Rt △ACB ，∠ACB=90°，I 为内心，CI 交AB 于D ，BD=，AD=，则S △ACB =（ B ）A ．12B ． 6C ．3D ．7.5 8．设a, b, c, d 都是非零实数，则四个数：-ab, ac, bd, cd （ D ）A ．都是正数B ．都是负数C ．是两正两负D ．是一正三负或一负三正9．下列图中阴影部分的面积与算式122)21(|43|-++-的结果相同的是（ D ）10．若不等式组 的解集为空集，则a 的取值范围是（ B ） A ． a>3 B ． a ≥3 C ． a < 3 D ． a ≤ 311．已知a n=（n=1，2，3，…），我们又定义b 1=2（1﹣a 1）=，b 2=2（1﹣a 1）（1﹣a 2）=，b 3=2（1﹣a 1）（1﹣a 2）（1﹣a 3）=，…，根据你观察的规律可推测出b n =（ B ）A ．B ．C ．D ．12．如图，△ABC 和△DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点B 、C 、E 、F 在同一直线上．现从点C 、E 重合的位置出发，让△ABC 在直线EF 上向右⎪⎩⎪⎨⎧>->+-a x x x 54252ABCD 作匀速运动，而△DEF 的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为y ，运动的距离为x ．下面表示y 与x 的函数关系式的图象大致是（ C ）第Ⅱ卷（非选择题）三. 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD AB D ⊥于，AC ＝10， CD ＝6，则sinB 的值为__45___。
14．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<+-1312412x x x x 的整数解为 0，1，2，3，4 15．点P （3，1﹣a ）在y=2x ﹣1上，点Q （b+2，3）在y=2﹣x 上，则a+b= ﹣7 ．16．如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，∠A=30°，经过点C 的切线与OB 的延长线交于点D ，则∠D 的度数为 30° ．17．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 n 2+2n ．三. 解答题（共6小题，共82分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.（6分）解方程： 解：原方程化为：方程两边同时乘以x （x+1）得：x ﹣1+2x （x+1）=2x 2化简得：3x ﹣1+2x 2=2x 2解得：x=，检验：当x=时，x （x+1）≠0；∴原方程的解是x=．19.（本小题满分12分）如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作圆，交AB 于D ，交BC 于E ，（3）求证：EC=ED （4） 已知：AB=5，BC=6，求CD 长。
解：（1）证明：AC AE BC ∴⊥∴∠∠∴为直径，，AB=AC ， BAE=CAE EC=ED （2）由AB=5，BC=6 得：BE=3，AE= 90AC CDA AEB B B ∴∠=∠=︒∠=∠为直径，，624545BC CD BDCBEA AB AE CD CD ∴∆∆∴==∴=即：20．（12分）一个口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是．（1）取出白球的概率是多少？（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？解：（1）取出白球与取出红球为对立事件，概率之和为1．故P （取出白球）=1﹣P （取出红球）= ； 答：取出白球的概率是．（2）设袋中的红球有x 只，则有，解得x=6．经检验x=6是分式方程的解．故口袋中的红球有6只．21．（本小题满分15分）已知抛物线25y x kx k =-+-．（1）求证：不论k 为何实数，此抛物线与x 轴一定有两个不同的交点；（2）若此二次函数图像的对称轴为x=1，求它的解析式；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ， 若P 为x 轴上一点，且△PAB 为等腰三角形，求点P 的坐标．解：(1) 证明：∵⊿=k 2-4k+20=(k-2)2+16＞0 ，∴不论k 为何实数，此抛物线与x 轴一定有两个不同的交点 ．(5分)(2) 解：由已知得2k =1，∴k=2，∴所求函数的解析式为y=x 2-2x-3． (5分)(3)(-2，0)， (3-0)， (3+0)， (-1，0) ． (5分)22.（14分）如图，已知直线y=x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（6分）（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．（8分）解：（1）∵直线y=x+1与y轴交于点A，∴A（0，1），∵y=x2+bx+c过（1，0）和（0，1），则，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+1；（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2﹣m+1即E点的坐标（m，m2﹣m+1），又∵点E在直线y=x+1上，∴m2﹣m+1=m+1解得m1=0（舍去），m2=4，∴E的坐标为（4，3）．（Ⅰ）当A为直角顶点时，过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（﹣2，0），由Rt△AOD∽Rt△P1OA得=，即=，∴a=，∴P1（，0）．（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，，即，（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、0），由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，，解得b1=3，b2=1，∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）．23.（13分）已知节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）该生在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（4分）（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（4分）（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？（5分）解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．。