2017-2018学年湖北省武汉市汉阳区德才中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)

2017-2018学年湖北省武汉市汉阳区德才中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣4=0 B．6x2+2=6x2﹣x C．﹣3x+2=0 D．x2+2xy﹣3y2=02．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）A．y=2x2﹣2 B．y=2x2+2 C．y=2（x﹣2）2D．y=2（x+2）23．（3分）一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．（3分）已知x=2是关于x的方程的一个解，则2a﹣1的值是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（3分）方程x2﹣2x﹣1=0的两实根为x1、x2，则x1•x2的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．（3分）对于抛物线y=﹣（x﹣1）2﹣3的说法错误的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而增大7．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为（）A．9.5% B．20% C．10% D．11%8．（3分）元旦当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，问小明给（）人发了短信？A．10 B．11 C．12 D．139．（3分）已知a是方程x2+x﹣2015=0的一个根，则的值为（）A．2014 B．2015 C．D．10．（3分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1．如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（）A．1 cm B．1.5 cm C．2 cm D．2.5 cm二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为﹣1，则另一个根为．12．（3分）方程x（x﹣2）=x的根是．13．（3分）y=2x2﹣8x+1的对称轴是直线：．14．（3分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若=6，则x=．15．（3分）如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴交于A、B两点，若B点的坐标是，则A点的坐标．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（）．三、解答题（共7题，共72分）17．（8分）解下列一元二次方程：（1）x2﹣x﹣3=0 （2）（x﹣2）2=（2x+3）2．18．（8分）关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根，求a值取值范围．19．（8分）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1x2=，请根据该材料解题：已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求下列各式的值．（1）+（2）x12x2+x1x22．20．（8分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，﹣1），并经过点（4，3）（1）求这个二次函数的解析式并直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标；（2）x时，函数值小于0；（3）x时，y随x的增大而增大．21．（8分）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．22．（10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？（3）根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？23．（10分）已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，求∠BFC的度数；（2）如图2，∠ABC=α，∠ACD=β，BC=6，BD=8．①若α=30°，β=60°，AB的长为；②若改变α、β的大小，但α+β=90°，求△ABC的面积．24．（12分）如图，抛物线y=ax2﹣4ax+b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB=OC=3．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D为抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连OP交直线BC于G，连GD，是否存在点P，使=？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M、N，若∠MON=45°，求m的值．2017-2018学年湖北省武汉市汉阳区德才中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣4=0 B．6x2+2=6x2﹣x C．﹣3x+2=0 D．x2+2xy﹣3y2=0【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【解答】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；B、由原方程得到x+2=0，未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；C、该方程中未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；D、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．2．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）A．y=2x2﹣2 B．y=2x2+2 C．y=2（x﹣2）2D．y=2（x+2）2【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．【解答】解：二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，得y=2x2+2．故选：B．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．3．（3分）一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．4．（3分）已知x=2是关于x的方程的一个解，则2a﹣1的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】把x=2代入已知方程可以求得2a=6，然后将其整体代入所求的代数式进行解答．【解答】解：∵x=2是关于x的方程的一个解，∴×22﹣2a=0，即6﹣2a=0，则2a=6，∴2a﹣1=6﹣1=5．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．5．（3分）方程x2﹣2x﹣1=0的两实根为x1、x2，则x1•x2的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】直接利用根与系数的关系求得两个根的积即可．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1=0的两实根为x1、x2，∴x1•x2=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．6．（3分）对于抛物线y=﹣（x﹣1）2﹣3的说法错误的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而增大【分析】找到题目中函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性后即可得到答案．【解答】解：y=﹣（x﹣1）2﹣3中a=﹣＜0，开口向下，顶点坐标为（1，﹣3），对称轴为x=1，当x＞1时，y随着x的增大而减小．故选：D．【点评】本题考查了抛物线y=a（x﹣h）2+k的性质，能正确的说出顶点坐标、对称轴及开口方向是解题的关键．7．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为（）A．9.5% B．20% C．10% D．11%【分析】本题可根据：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价，然后列出方程求解即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x，依题意得：1000（1﹣x）2=810，化简得：（1﹣x）2=0.81，解得：x=0.1或1.9（舍去），所以平均每次降价的百分率为10%．故选：C．【点评】本题考查降低率的问题，解题关键是根据原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价列出方程，难度一般．8．（3分）元旦当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，问小明给（）人发了短信？A．10 B．11 C．12 D．13【分析】首先设小明发短信给x个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有x+1人收到了短信，第二次转发有1+x+x2人收到了短信，由题意可得方程人收到了短信=157，再解方程即可．【解答】解：设小明发短信给x个人，由题意得：1+x+x2=157，解得：x1=12，x2=﹣13（不合题意舍去），答：小明发短信给12个人，故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．9．（3分）已知a是方程x2+x﹣2015=0的一个根，则的值为（）A．2014 B．2015 C．D．【分析】把x=a代入方程x2+x﹣2015=0求出a2+a=2015，再化简所求代数式，得出=，求出答案即可．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的一个根，∴a2+a﹣2015=0，∴a2+a=2015，∴=﹣===．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，正确化简分式是解决问题的关键．10．（3分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1．如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（）A．1 cm B．1.5 cm C．2 cm D．2.5 cm【分析】可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的，可列方程求解．【解答】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则（30﹣2x）（20﹣4x）=30×20×（1﹣），整理得：x2﹣20x+19=0，解得：x1=1，x2=19（不合题意，舍去）．答：竖彩条的宽度为1cm．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，设出横竖条的宽，以面积作为等量关系列方程求解．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为﹣1，则另一个根为﹣3．【分析】因为一元二次方程的常数项是已知的，可直接利用两根之积的等式求解．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为﹣1，设另一根为x1，由根与系数关系：﹣1•x1=3，解得x1=﹣3．【点评】本题考查的是一元二次方程的根与系数关系式的合理选择．12．（3分）方程x（x﹣2）=x的根是x1=0，x2=3．【分析】观察原方程，可先移项，然后用因式分解法求解．【解答】解：原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0，x（x﹣2﹣1）=0，x=0或x﹣3=0，解得：x1=0，x2=3．【点评】只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．13．（3分）y=2x2﹣8x+1的对称轴是直线：x=2．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求对称轴．【解答】解：∵y=2x2﹣8x+1=2（x﹣2）2﹣7，∴抛物线的对称轴是直线x=2．故答案为x=2；【点评】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．也可以用公式法解答．14．（3分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若=6，则x=4．【分析】利用上述规律列出式子（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）2=6，再化简，解方程即可．【解答】解：定义=ad﹣bc，可得（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）2=6，解得：x=4，故答案为：4【点评】此题考查完全平方公式，关键是需要利用上述规律先列出式子，再进行解方程．15．（3分）如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴交于A、B两点，若B点的坐标是，则A点的坐标（，0）．【分析】已知抛物线的对称轴和x轴的一个交点坐标，可根据对称轴方程x=求得其中一坐标．【解答】解：根据题意设A点坐标为（x1，0），则有=1，解得x1=2﹣，∴A点的坐标是（2﹣，0）．【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点和对称轴的关系．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为（55，）．【分析】根据A（﹣3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为y=x+1，根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式y=x+1中，可求纵坐标．【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，（k≠0），∵A（﹣3，0），B（0，1），∴，解得，∴直线AB的解析式为y=x+1，∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，观察发现：每个数都是前两个数的和，∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55，∴抛物线C8的顶点坐标为（55，）．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力．三、解答题（共7题，共72分）17．（8分）解下列一元二次方程：（1）x2﹣x﹣3=0 （2）（x﹣2）2=（2x+3）2．【分析】（1）公式法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得．【解答】解：（1）∵a=1、b=﹣1、c=﹣3，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=1+12=13＞0，则x=；（2）∵（x﹣2）2=（2x+3）2，∴x﹣2=2x+3或x﹣2=﹣2x﹣3，解得：x=﹣5或x=﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根，求a值取值范围．【分析】分a﹣6=0和a﹣6≠0两种情况考虑：当a﹣6=0时，通过解一元一次方程可求出方程的解，由此可得出a=6符合题意；当a﹣6≠0时，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可求出a的取值范围．综上即可得出结论．【解答】解：当a﹣6=0，即a=6时，原方程为﹣8x+9=0，解得：x=，∴a=6符合题意；当a﹣6≠0，即a≠6时，有△=（﹣8）2﹣4×9（a﹣6）≥0，解得：a≤且a≠6．综上所述：a值取值范围为a≤．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分a﹣6=0和a﹣6≠0两种情况考虑是解题的关键．19．（8分）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1x2=，请根据该材料解题：已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求下列各式的值．（1）+（2）x12x2+x1x22．【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣6、x1x2=3，将其分别代入（1）+=、（2）x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）中即可求出结论．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴x1+x2=﹣6，x1x2=3．（1）原式===﹣2；（2）原式=x1x2（x1+x2）=3×（﹣6）=﹣18．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2=﹣6、x1x2=3是解题的关键．20．（8分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，﹣1），并经过点（4，3）（1）求这个二次函数的解析式并直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标；（2）x1＜x＜3时，函数值小于0；（3）x＞2时，y随x的增大而增大．【分析】（1）根据顶点坐标设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，然后将点（4，3）代入求出a的值，从而得解，再令y=0，求出与x轴的交点坐标，令x=0求出与y轴的交点坐标；（2）根据函数与x轴的交点坐标写出x轴下方部分的x的取值范围即可；（3）根据抛物线开口向上写出对称轴右边部分的x的取值范围即可．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将（4，3）代入得，a（4﹣2）2﹣1=3，解得a=1，所以，抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣1，令y=0，则（x﹣2）2﹣1=0，解得x1=1，x2=3，所以，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），令x=0，则y=（0﹣2）2﹣1=3，所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；（2）∵抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），抛物线开口向上，∴1＜x＜3时，函数值小于0；（3）∵对称轴为直线x=2，抛物线开口向上，∴x＞2时，y随x的增大而增大．故答案为：（2）1＜x＜3；（3）＞2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，本题利用顶点式解析式求解更简便．21．（8分）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．【分析】设金色纸边的宽为x分米，关键题意列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设金色纸边的宽为x分米，方程为（8+2x）（6+2x）=80，解方程得：x=﹣8或x=1，经检验x=﹣8或1都是所列方程的解，但是宽不能为负数，即x=1，答：金色纸边的宽是1分米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键．22．（10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？（3）根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？【分析】（1）根据进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，再根据每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件和销售利润=件数×每件的利润列出关系式，即可得出答案．（2）利用（1）的函数关系式建立方程即可得出结论；（3）利用（1）的函数关系式建立不等式即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得，y=（50+x﹣40）（210﹣10x）=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15）（2）由（1）知，y=﹣10x2+110x+2100，∵每个月的利润恰为2200元，∴﹣10x2+110x+2100=2200，∴x=1或x=10，∴x+50=51或60，即：每件商品的售价定为51或60元时，每个月的利润恰为2200元；（3）由（1）知，y=﹣10x2+110x+2100，∵每个月的利润不低于2200元，∴﹣10x2+110x+2100≥2200，∴（x﹣1）（x﹣10）≥0，∵x为正整数，∴x﹣1≥0，∴x﹣10≥0，∴x≥10，∵0＜x≤15，∴10≤x≤15，即：10≤x≤15时，每个月的利润不低于2200元．【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23．（10分）已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，求∠BFC的度数；（2）如图2，∠ABC=α，∠ACD=β，BC=6，BD=8．①若α=30°，β=60°，AB的长为；②若改变α、β的大小，但α+β=90°，求△ABC的面积．【分析】（1）根据SAS，可首先证明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度数；（2）①如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，EC=BD=8，因为BC=6，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE 即可；②过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）如图1，∵AE=AB，AD=AC，∵∠EAB=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠EAC=∠DAB，在△AEC和△ABD中，，∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC=∠ABD，∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°；（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．由（1）可知△EAC≌△BAD．∴EC=BD．∴EC=BD=8，∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．在Rt△EBC中，EC=8，BC=6，∴EB===2，∴AB=BE=2．②如图2，作AH⊥BC交BC于H，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°．∵BE∥AH，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，BE=2AH，∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．∵K为BE的中点，BE=2AH，∴BK=AH．∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形．又∵∠EBC=90°，∴四边形AKBH为矩形．∠ABE=∠ACD，∴∠AKB=90°．∴AK是BE的垂直平分线．∴AB=AE．∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，即∠EAC=∠BAD，在△EAC与△BAD中，，∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD=8．在Rt△BCE中，BE==2，∴AH=BE=，∴S=BC•AH=3．△ABC故答案为：2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．24．（12分）如图，抛物线y=ax2﹣4ax+b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB=OC=3．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D为抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连OP交直线BC于G，连GD，是否存在点P，使=？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M、N，若∠MON=45°，求m的值．【分析】（1）把B（3，0），C（0，3），代入y=ax2﹣4ax+b，解方程组即可．（2）如图1中，连接OD、BD，对称轴交x轴于K，将△OBD绕点O逆时针旋转90°得到△OCG，则点G在线段BC上，只要证明△GOD是等腰直角三角形，即可得到直线GO与抛物线的交点即为所求的点P．利用方程组即可解决问题．（3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG，首先证明MN2=CM2+BN2，设M（x1，y1），N（x2，y2），则MN2=[（x2﹣x1）]2=2[（x1+x2）2﹣4xx2]，1设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3+m，由消去y得到x2﹣3x+m=0，由，推出y1=x2，y2=x1，M、N关于直线y=x对称，所以CM=BN，设CM=BN=a，则MN=3﹣2a，利用勾股定理求出a以及MN的长，再根据根与系数关系，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3），代入y=ax2﹣4ax+b，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）如图1中，连接OD、BD，对称轴交x轴于K．由题意D（2，﹣1），B（3，0），C（0，3），∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，设G（m，﹣m+3），∴GD=GO，∴（m﹣2）2+（﹣m+4）2=2[m2+（﹣m+3）2]，解得m=±1，当m=1时，G（1，2）设直线OG的解析式为y=kx，把G点坐标代入得到，k=2，∴直线OG的解析式为y=2x，由解得或，∵点P在对称轴左侧，∴点P坐标为（3﹣，6﹣2）．当m=﹣1时，G（﹣1，4），直线OG的解析式为y=﹣4x，方程组无解，此时点P不存在，综上所述，满足条件的点P坐标为（3﹣，6﹣2）．（3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG．第21页（共23页）∵∠MON=45°，∴∠MOC+∠NOB=∠NOB+∠BOG=45°，∴∠MON=∠GON=45°，∵ON=ON，OM=OG，∴△ONM≌△ONG，∴MN=NG，∵∠NBG=∠NBO+∠OBG=45°+45°=90°，∴NG2=BN2+BG2，∴MN2=CM2+BN2，设M（x1，y1），N（x2，y2），则MN2=[（x2﹣x1）]2=2[（x1+x2）2﹣4x1x2]，设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3+m，由消去y得到x2﹣3x+m=0，∴∴y1=x2，y2=x1，∴M、N关于直线y=x对称，∴CM=BN，设CM=BN=a，则MN=3﹣2a，∴（3﹣2a）2=a2+a2，∴a=3﹣3（负根已经舍弃），第22页（共23页）∴MN=6﹣3，∴（6﹣3）2=2（32﹣4m），∴m=（﹣1）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、全等三角形的判定和性质．等腰直角三角形的性质和判定、根与系数关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组以及根与系数的关系，构建方程解决问题，题目比较难，属于中考压轴题．第23页（共23页）。